Fisica Ensino Superior

1 Desenvolva em série de Fourier a seguinte função fe Questões que satisfaz as condições 3 Deternine a solução da equação fr 2 Resolva utilizando série de poténcias a seguinte equaç e velocidade inicial uula au 1 7 SI0 0rT 1 y3y 0 2k kL L 0 L 0 2 L r L EXERCÍCIOS DE FÍSICA 4 Questão 1 Série de Fourier Enunciado Desenvolva em série de Fourier a seguinte função fx 1 π x 0 1 0 x π Desenvolvimento 1 Função e Periodicidade A função fx é uma função ímpar periódica com período 2π A série de Fourier para uma função ímpar contém apenas termos senoidais série de Fourier seno fx Σ n1 até bn sinnx onde os coeficientes bn são dados por bn 2π de 0 a π fx sinnx dx 2 Cálculo dos Coeficientes bn Substituindo fx na integral bn 2π de 0 a π 1 sinnx dx de π a 0 1 sinnx dx Para a primeira integral de 0 a π sinnx dx 1n cosnx de 0 a π 1n cosnπ cos0 2n para n ímpar Para a segunda integral de π a 0 sinnx dx de π a 0 sinnx dx 2n para n ímpar Assim bn 2π 2n 2n 8 nπ 3 Representação da Série de Fourier Portanto a série de Fourier é fx Σ n1 ímpar até 8 nπ sinnx Questão 2 Série de Potências Enunciado Resolva utilizando série de potências a seguinte equação y 3y 0 Desenvolvimento 1 Suposição de Solução em Série de Potências Assumimos uma solução na forma de série de potências yx Σ n0 até an xn Derivando essa série duas vezes yx Σ n2 até nn1 an xn2 2 Substituição na Equação Diferencial Substituindo na equação diferencial Σ n2 até nn1 an xn2 3 Σ n0 até an xn 0 Para igualar os expoentes de x Σ n2 até nn1 an xn2 3 Σ n0 até an xn 0 3 Mudança de Índice e Correspondência de Potências Substituindo m n2 na primeira série obtemos Σ m0 até m2m1 am2 xm 3 Σ n0 até an xn 0 Comparando coeficientes m2m1 am2 3 am 0 Portanto am2 3 am m2m1 4 Cálculo dos Coeficientes Para m 0 a2 3 a0 2 Para m 1 a3 3 a1 6 a1 2 Para m 2 a4 3 a2 12 33 a0 2 12 9 a0 24 a0 8 Para m 3 a5 3 a3 20 3 a1 2 20 a1 40 Assim temos uma solução em série de potências para a equação diferencial Questão 3 Equação da Onda Enunciado Determine a solução da equação ²ut² a² ²ux² que satisfaz as condições fx 2kxL 0 x L2 2kL xL L2 x L e velocidade inicial nula Desenvolvimento 1 Separação de Variáveis Para resolver a equação da onda utilizamos a separação de variáveis ux t XxTt Isso resulta em XxXx Tta²Tt λ Assim obtemos duas EDOs T λa²T 0 X λX 0 2 Soluções das EDOs As soluções são Tt A cosaλ t B sinaλ t Xx C cosλ x D sinλ x Com as condições de contorno u0 t 0 e uL t 0 temos X0 0 C 0 XL 0 D sinλ L 0 λ L nπ λ nπL² Portanto Xnx Dn sinnπxL Tnt An cosnπatL Bn sinnπatL 3 Solução Geral A solução geral é ux t Σ n1 até An cosnπatL Bn sinnπatL sinnπxL Para t 0 ux 0 Σ n1 até An sinnπxL fx 4 Coeficientes de Fourier Os coeficientes An são dados pela série de Fourier de fx An 2L de 0 a L fx sinnπxL dx Utilizando a função fx fornecida An 2L de 0 a L2 2kxL sinnπxL dx de L2 a L 2kL xL sinnπxL dx Resolva estas integrais para encontrar os coeficientes An Como a velocidade inicial é nula Bn 0 Assim a solução final é ux t Σ n1 até An cosnπatL sinnπxL