Definições de Conjuntos Limitados e Supremum

Def conjuntos limitado Seja S ℝ um conjunto nãovazio i O conjunto S é dito limitada superiormente se existe K ℝ tal que x K para todo x S Nesse caso K é o limite superior para S ou cota superior para S ii O conjunto S é dito limitada inferiormente se existe K ℝ tal que K x para todo x S Nesse caso K é o limite inferior para S ou cota inferior para S iii S é limitado se for limitado superior e inferiormente iv S é nãolimitado se não for limitado Ex S 01 S 3 x S 0 x 1 S ab x ℝ a x b ab x ℝ a x b ab x ℝ a x b ab x ℝ a x b b x ℝ x b b x ℝ x b a x ℝ x a a x ℝ x a ℝ e ilimitado S x ℝ x² 2 S 2 2 2 SupS ou seja é a menor das cotas superiores 000001 2 2 2 000001 2 2 2 000001 2 000001 S x ℝ 2 x 2 Quando o conjunto X é limitado deve estar contido em algum intervalo ab Def Seja X ℝ limitado superiormente um número k ℝ é dito o supremo de X quando k é a menor das cotas superiores ou seja i x X tem x k ii Se c ℝ é tal que x c para todo x X então k c ou iii Se c k então existe x ℝ com x c Muitas vezes pode ser usada iii da forma Para todo ε 0 existe x X tal que k ε x Denotamos k Sup X1 para o supremo de X Det Dizemos que b X é o máximo de X quando b x para todo x X Def Seja X ℝ limitado inferiormente um número k ℝ é dito o ínfimo de S quando k é a maior das conts inferiores ou seja i x X temos x k ii Se c ℝ é tal que c x para todo x X então c k ou iii Se k c então existe x X com x c Muitas vezes pode ser usada ii da forma Para todo ε 0 existe x X tal que x k ε Denotamos k inf X para o ínfimo de X Def Dizemos que a X é o mínimo de X quando a x para todo x X ab não é o mínimo do intervalo ab não possui mínimo mas α infab ordem Dizer que ℝ é um corpo completo significa que todo conjunto nãovazio limitado supremamente X ℝ possui supremo b supX ℝ Ex Os racionais é um corpo ordenado mas que não é completo Seja S x ℚ 1 x² 2 por definição S ℚ S é limitado supremamente e o supS 2 mas 2 ℚ logo ℚ não é um corpo completo Ex Se A B ℝ e B é limitado supremamente prove que A é limitado supremamente e que supA supB Prova Como B é limitado supremamente nós B ℝ existe por completude de ℝ x A temos que x B logo x supB e portanto A é limitado supremamente e supA existe supA supB De B 13 e A 12 então supA supB logo supA supB Ex Seja A ℝ nãovazio e limitado supremamente Seja c ℝ e defina o conjunto cA y ℝ x y cx prove que se c 0 então cA é limitado supremamente e supcA c supA mostre um exemplo que se c 0 então cA não necessita ser limitado supremamente mesmo se A é limitado supremamente