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Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 1 Tensões na Flexão Flexão Estudar a flexão em barras é estudar o efeito dos momentos fletores nestas barras O estudo da flexão que se inicia será dividido para fim de entendimento em duas partes Tensões na flexão Deformações e deslocamentos Tensões na Flexão Antes de iniciar o estudo propriamente dito das tensões desenvolvidas na flexão é necessário recordar Momento de uma força em relação a um ponto A intensidade do momento de uma força em relação a um ponto é igual ao produto entre a força e a distância entre o ponto e a linha de ação da força d F P Plano do Momento Linha de ação da Força Figura 1 Força F ponto P e o plano do momento Para o ponto P da figura 1 a intensidade do momento M da força F é igual a d F M e seu sentido é antihorário Lembrese aqui que a distância entre um ponto e uma linha é sempre tomada na direção perpendicular a esta linha Plano de um momento O plano de um momento é aquele que contém a força e o ponto considerado Plano do Momento P M Figura 2 Momento M no ponto P e o plano do momento Momento Fletor Em uma barra um momento é fletor quando o eixo da barra estiver contido no plano do momento Figura 3 Momento fletor em uma barra Uma observação importante é lembrar que os esforços solicitantes são sempre calculados em relação ao Eixo da barra Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 2 Tensões na Flexão centro de gravidade da seção estudada Classificação da Flexão O estudo das tensões na flexão se inicia pela classificação da flexão A flexão é classificada de acordo com dois critérios 1 De acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos central de inércia da seção Com este critério a flexão pode ser 11 Flexão Normal Quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da seção Na figura 4 o par de eixos centrais de inércia é constituído pelos eixos y e z Nesta figura o plano do momento contém o eixo y Figura 4 Flexão Normal 12 Flexão Oblíqua Quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do momento Na figura 5 o plano do momento está inclinado em relação ao par de eixos centrais de inércia da seção Figura 5 Flexão Oblíqua 2 De acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor Com este critério a flexão pode ser 21 Flexão Pura Quando o momento fletor é o único esforço solicitante que atua na seção 22 Flexão Simples Quando além do momento fletor atua uma força cortante na seção 23 Flexão Composta Quando além do momento fletor atua uma força normal na seção Notese que estes critérios são complementares Assim é possível existir uma flexão pura normal uma flexão simples oblíqua etc Tensões Normais na Flexão Pura Normal Seja uma seção transversal de área A de uma barra em equilíbrio onde é conhecido o par de eixos central de inércia yz Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 3 Tensões na Flexão solicitada por um momento fletor M cujo plano contém o eixo z como o mostrado na figura 6 Figura 6 Flexão pura normal em uma seção de uma barra Notese que quando uma barra prismática é solicitada por um momento fletor como mostra a figura 7 a seções deixam de ser paralelas Eixo da barra M M Seção Transversal Seção Transversal Eixo da barra ϕ Figura 7 Barra sob a ação de um momento fletor Sob a ação do momento estas seções sofrem uma rotação diferente para cada uma fazendo com que exista um ângulo de inclinação ϕ entre elas Desta maneira a seção da figura 6 sob a ação do momento M sofrerá uma rotação em torno do eixo y proveniente das deformações de seus pontos como a apresentada na figura 8 Figura 8 Rotação da seção transversal ação de um momento fletor Mantidas as hipóteses de Navier a seção permanece plana e assim os pontos que estão à mesma distância do eixo y possuem a mesma deformação Isto pode ser observado na figura 9 Figura 9 Deformação dos pontos de uma seção transversal Sendo assim é possível estudar a rotação da seção estudando apenas a deformação dos pontos que se encontram no eixo z Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 4 Tensões na Flexão M Z Figura 10 Deslocamento dos pontos de uma seção transversal Notese que as deformações que ocorrem nos pontos são deformações longitudinais ε Este tipo de deformação está associada à presença de uma tensão normal σ Dentro do regime elástico as deformações destes pontos são proporcionais às tensões que neles atuam Assim é possível concluir que as tensões normais que atuam nos pontos da seção são proporcionais às distâncias entre os pontos e o eixo y M σ σ z Figura 11 Distribuição de tensões ao longo de uma linha paralela ao eixo z Como a tensão é proporcional à distância entre o ponto que ela atua e o eixo y a variação desta tensão é linear com esta distância e pode ser escrita como b z a σ 1 onde a e b são constantes Para determinar a tensão normal que atua em cada ponto da seção se deve lembrar que σ A z dA M 2 σ A dA N 3 Lembrando que não existe força normal aplicada na seção o resultado da expressão 3 deve ser nulo Assim se tem 0 dA N A σ 0 b dA z a A 0 dA b z dA a A A 0 dA b z dA a A A 4 Na expressão 4 a integral A z dA é igual ao momento estático da área da seção em relação ao eixo y Como o eixo y contém o centro de gravidade da seção este momento estático é igual a zero Assim é possível escrever 0 A b 0 a Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 5 Tensões na Flexão 0 A b 5 Na expressão 5 a área A não pode ser igual a zero então a constante b deve ser igual a zero Desta forma a expressão 1 pode ser escrita da forma apresentada na expressão 7 σ a z 7 Quando a expressão 7 é substituída na expressão 3 se encontra A z dA z a M A z2 dA a M A z2 dA a M 8 Na expressão 8 a integral A z2 dA é igual ao momento de inércia da seção em relação ao eixo y Iy Assim é possível escrever y a M Ι y M a Ι 9 Substituindo a expressão 9 na expressão 7 se obtém z M y σ Ι 10 A expressão 10 mostra que a tensão em cada ponto depende do momento fletor que atua na seção do momento de inércia da seção em relação ao eixo em torno do qual a seção gira e da distância entre o ponto considerado e este eixo Notese também que neste tipo de flexão a tensão será nula quando a distância entre o ponto considerado e o eixo em torno do qual a seção gira for igual a zero Isto é para os pontos da seção que se encontram sobre este eixo À linha formada pelos pontos onde a tensão normal é nula se dá o nome de Linha Neutra A linha neutra divide a seção em duas partes uma parte onde os pontos são tracionados e outra onde os pontos são comprimidos Isto pode ser observado pela figura 11 A figura 12 mostra mostra para a seção da figura 9 a parte tracionada a parte comprimida e a linha neutra Figura 10 Linha Neutra Parte tracionada e parte comprimida de uma seção em uma flexão normal pura Lembrese que no caso do momento girar a seção em torno do eixo z a tensão em cada ponto da seção pode ser determinada por Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 6 Tensões na Flexão y M z σ Ι 11 Figura 13 Deformação dos pontos de uma seção transversal quando o momento gira a seção em torno do eixo z Observese ainda que a presença de uma força cortante não irá alterar a tensão normal desenvolvida nos pontos da seção Com isto se conclui que a tensão normal na flexão simples normal tem o mesmo equacionamento que a aqui encontrada OBS 1 Para fazer uma diferenciação se deve indicar o momento que gira a seção em torno do eixo y por My e o momento que gira a seção em torno do eixo z por Mz Assim as equações que mostram a tensão que atua em um ponto ficam z M y y σ Ι y M z z σ Ι 2 Como já foi apresentado em um ponto de uma seção transversal de uma barra solicitada por uma flexão a depender de sua posição pode ocorrer uma tensão de tração ou uma tensão de compressão A intensidade desta tensão depende da distância entre o ponto e o eixo em torno do qual a seção gira Como neste estudo se está trabalhando apenas com o módulo do momento fletor para fornecer à tensão que atua no ponto o sinal correto positivo para a tração e negativo para a compressão darse á à distância entre o ponto e o eixo em torno do qual a seção gira sinal positivo quando este se encontrar no mesmo lado em que o momento traciona a barra e negativo quando ele se encontrar no lado em que o momento comprime a barra Tensões Extremas Em uma seção submetida à flexão como já visto a tensão normal que ocorre em um ponto depende de sua posição na seção Na figura 14 pode se observar que o ponto A é o ponto de maior distância à linha neutra que se encontra no lado tracionado da seção Neste ponto irá ocorrer a maior tensão de tração desta seção A esta tensão se dá o nome de Tensão Extrema de Tração da seção e se indica por máx σ Linha Neutra Lado tracionado Lado Comprimido Tensão extrema de tração A Tensão extrema de compressão Figura 14 Linha Neutra Parte tracionada e parte comprimida e pontos onde ocorrem as tensões extremas Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 7 Tensões na Flexão Observase ainda na figura 14 que no lado comprimido existe uma linha de pontos mais afastada da linha neutra Nestes pontos irá ocorrer a tensão de compressão mais negativa A esta tensão se dá o nome de Tensão Extrema de Compressão da seção e se indica por min σ Devese lembrar que em uma barra podem existir momentos fletores diferentes em seções diferentes Assim é possível dizer que a Tensão Extrema de Tração de uma barra é a maior tensão de tração encontrada dentre as extremas de tração das seções desta barra Da mesma forma a Tensão Extrema de Compressão de uma barra é a tensão de compressão mais negativa encontrada dentre as extremas de compressão das seções desta barra Dimensionamento O dimensionamento de uma barra submetida à flexão com relação à intensidade do esforço aplicado é feito limitandose as tensões extremas aos valores das tensões admissíveis do material isto é tração máx σ σ 12 compressão min σ σ 13 Flexão Composta Normal Na flexão composta além do momento fletor existe a presença de uma força normal Isto pode ser observado na figura 15 Sabendose que a força desenvolve em cada ponto da seção uma tensão normal A σ N 14 é possível concluir que a tensão normal resultante existente em uma flexão composta é o resultado da soma vetorial entre a tensão normal desenvolvida pelo momento e a tensão normal desenvolvida pela força Figura 15 Esforços na flexão normal composta Assim para os esforços apresentados na figura 15 a tensão resultante em cada ponto fica A N z M y y σ Ι 15 No caso do momento girar a seção em torno do eixo z a tensão Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 8 Tensões na Flexão resultante em cada ponto na flexão composta fica A N y M z z σ Ι 16 OBS 1 As expressões 15 e 16 mostram que a resultante da tensão normal em cada ponto é o resultado da soma algébrica entre a tensão normal desenvolvida pelo momento fletor e a tensão normal desenvolvida pela força normal 2 Nos pontos que se encontram sobre o eixo em torno do qual a seção gira pelo momento a tensão normal resultante não é igual a zero A tensão normal resultante será nula nos pontos de uma linha paralela a este eixo Assim em uma flexão normal composta a linha neutra será um segmento de reta paralelo ao eixo em torno do qual a seção gira 3 Para determinar a posição desta linha neutra se deve lembrar que quando o momento gira a seção em torno do eixo y a tensão normal resultante é dada por 0 A N z M y y σ Ι A N z M y y Ι y y M A N z Ι 17 Figura 16 Posição da linha neutra na flexão normal composta 4 Quando o momento gira a seção em torno do eixo z a posição da linha neutra é dada por z z M A N y Ι 18 Módulo de Resistência Como visto anteriormente o dimensionamento à flexão normal é feito limitandose os valores das tensões extremas aos valores das tensões admissíveis As tensões extremas são localizadas em pontos característicos da seção transversal Por exemplo na seção da figura 17 quando o momento gira a seção em torno do eixo y as tensões extremas irão ocorrer sempre nos pontos A e B Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 9 Tensões na Flexão y y z z Ponto onde irá ocorrer uma das tensões extremas Pontos onde irão tensões extremas ocorrer uma das A B ZA ZB Figura 17 Pontos onde ocorrem tensão extrema em uma seção que giraem torno do eixo y Como esta posição relativa entre estes pontos e o momento de inércia em relação ao eixo em torno do qual a seção gira não se modifica é possível tratar tratala como uma propriedade da seção Assim é possível escrever A y y extre z M Ι σ B y y I z M extre Ι σ Considerando o que foi dito no parágrafo anterior é possível registrar A y y extre z M Ι σ 19 B y y I z M extre Ι σ 20 As relações entre o momento de inércia e as coordenadas dos pontos que aparecem nas expressões 19 e 20 são chamadas de Módulo de Resistência da seção em relação ao eixo y e indicadas por A y y z W Ι 21 B y I y z W Ι 22 Analogamente observando a figura 18 é possível definir os Módulos de Resistência em relação ao eixo z y y z z A B YC YD Figura 18 Pontos onde ocorrem tensão extrema em uma seção que giraem torno do eixo z C z z y W Ι 23 D z I z y W Ι 24 OBS 1 Quando os pontos onde ocorrem as tensões extremas possuem a mesma distância em relação ao eixo se diz que a seção possui Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 10 Tensões na Flexão um único módulo de resistência em relação a este eixo 2 Quando os pontos onde ocorrem as tensões extremas possuem distâncias diferentes em relação ao eixo se indica por W o módulo de resistência de menor valor encontrado para o ponto mais distante do eixo e por W o módulo de resistência de maior valor encontrado para o outro ponto 3 Quando se trabalha com materiais que possuem a mesma resistência à tração e à compressão se usa apenas W Perfis Laminados Para a construção de estruturas metálicas é muito comum a utilização de barras de aço carbono obtidas por laminação A estas barras se dá o nome de perfis laminados O nome do perfil normalmente traduz a forma da seção transversal Os perfis mais comuns são Perfil I Perfil C Perfil T Cantoneira de abas desiguais Cantoneira de abas iguais A parede vertical da seção destes perfis é chamada de alma do perfil A parede horizontal é chamada de mesa do perfil No caso das cantoneiras cada parede da seção é chamada de aba Estes perfis são normalmente designados pelo comprimento da alma e pela massa por metro linear de comprimento do perfil Para cada um destes perfis existe uma família de seções que são fabricadas de acordo com padrões já estabelecidos Encontrase dois tipos de padrão o padrão americano e o padrão europeu A diferença básica entre estes padrões é que no perfil europeu existe apenas uma espessura para cada comprimento de alma já no padrão americano existem algumas espessuras de alma para cada comprimento Em cada um dos padrões são encontradas tabelas que fornecem as características da seção transversal dos perfis Pelo visto para uma determinada solicitação se deve selecionar o perfil que melhor se Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 11 Tensões na Flexão adapte às condições de dimensionamento Esta seleção é feita por meio do módulo de resistência à flexão do perfil As tabelas do anexo a este texto a partir da página 13 fornecem as propriedades de seções para alguns tipos de perfil com padrão americano Vale observar que são encontrados perfis dobrados que da mesma forma que os perfis laminados também possuem padronização Flexão Oblíqua Como foi definida a flexão oblíqua é aquela onde o momento fletor gira a seção em torno de uma linha que não é um dos eixos centrais de inércia ou uma linha paralela a eles A figura 19 mostra uma flexão oblíqua de uma seção transversal qualquer Figura 19 Seção transversal sujeita a uma flexão oblíqua Notese na figura 19 que entre o plano do momento e o eixo z existe uma inclinação com um ângulo α Lembrando que o momento é uma quantidade vetorial ele pode ser determinado por suas componentes em dois planos perpendiculares entre si como mostra a figura 20 Figura 20 Componentes do momento fletor em uma flexão oblíqua Estas componentes giram a seção em torno dos eixos centrais de inércia yz Assim sendo é possível encarar a flexão oblíqua como a superposição entre duas flexões normais A tensão normal resultante em cada ponto então pode ser obtida pela soma algébrica entre as tensões normais desenvolvidas neste ponto pelas componentes do momento fletor M ou seja y Msen z cos M z y Ι α Ι α σ 25 Lembrando que My Mcos α Mz Msen α podemos escrever Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 12 Tensões na Flexão y M z M z z y y Ι σ Ι 26 Tensões Extremas e Posição da Linha Neutra Como se sabe as tensões extremas ocorrem nos pontos mais afastados da linha neutra e a linha neutra é formada pelos pontos onde a tensão normal resultante é igual a zero Para a determinação da posição da linha neutra se deve tomar a expressão 25 e igualala a zero isto é 0 y Msen z cos M z y Ι α Ι α σ y Msen z cos M z y Ι α Ι α y cos M Msen z z y α Ι α Ι y Mtg z z y Ι Ι α 27 Notese pela expressão 27 que os pontos da linha neutra formam uma reta inclinada em relação ao par de eixos centrais de inércia yz Esta inclinação depende da posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos centrais de inércia ângulo α e depende da relação existente entre os momentos de inércia da seção em relação a estes eixos Desta maneira a linha neutra é inclinada em relação a este par de eixos e oblíqua em relação ao plano do momento daí o nome flexão oblíqua A figura 21 mostra a linha neutra para uma flexão oblíqua Figura 21 Linha Neutra em uma flexão oblíqua A localização dos pontos onde ocorrem as tensões extremas não constante em relação ao par de eixos centrais de inércia elas dependem da inclinação do plano do momento em relação a este par de eixos A figura 22 mostra a localização dos pontos onde ocorrem as tensões extremas para a flexão da figura 21 Figura 22 Pontos onde ocorrem as tensões extremas em uma flexão oblíqua Prof José Carlos Morilla Cantoneiras Abas iguais Bitola h cm Peso kgm Área cm² to cm JxJy cm4 WxWy cm³ ixiy cm iz mim cm Xg cm 12 x 18 1270 055 070 0317 010 011 037 025 043 58 x 18 1588 071 090 0317 020 019 047 032 051 34 x 18 1905 087 111 0317 036 027 057 038 059 78 x 18 2220 104 132 0317 058 038 066 046 066 1 x 18 2540 119 148 0317 083 049 079 048 076 1 x 316 2540 173 219 0476 125 066 076 048 081 1 x 14 2540 222 284 0635 166 098 076 048 086 114 x 18 3175 150 193 0317 167 082 097 064 089 114 x 316 3175 220 277 0476 250 115 097 061 097 114 x 14 3175 286 362 0635 333 147 094 061 102 112 x 18 3810 183 232 0317 333 115 117 076 107 112 x 316 3810 268 342 0476 458 164 117 074 112 112 x 14 3810 348 445 0635 583 213 115 074 119 134 x 18 4445 214 271 0317 541 164 140 089 122 134 x 316 4445 315 400 0476 750 230 137 089 130 134 x 14 4445 412 522 0635 957 313 135 086 135 2 x 18 5080 246 310 0317 791 213 160 102 140 2 x 316 5080 363 458 0476 1170 313 158 102 145 2 x 14 5080 474 606 0635 1460 410 155 099 150 2 x 516 5080 583 742 0794 1750 491 153 099 155 2 x 38 5080 699 876 0952 2000 573 150 099 163 212 x 316 6350 457 580 0476 2300 491 198 124 175 212 x 14 6350 610 767 0635 2900 640 196 124 183 212 x 516 6350 744 948 0794 3500 787 193 124 188 212 x 38 6350 878 1116 0952 4100 935 191 122 193 3 x 316 7620 552 703 0476 4000 721 239 150 208 3 x 14 7620 729 929 0635 5000 950 236 150 213 3 x 516 7620 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tf Ix Wx ix Iy Wy iy S Kgm mm mm mm mm mm mm cm4 cm3 cm cm4 cm3 cm cm2 W 150 x 130 130 148 100 118 138 43 49 635 858 618 82 164 222 166 W 150 x 180 180 153 102 119 139 58 71 939 1228 634 126 247 232 234 W 200 x 150 150 200 100 170 190 43 52 1305 1305 820 87 174 212 194 W 200 x 193 193 203 102 170 190 58 65 1686 1661 819 116 227 214 251 W 200 x 225 225 206 102 170 190 62 80 2029 1970 837 142 279 222 290 W 200 x 266 266 207 133 170 190 58 84 2611 2523 873 330 496 310 342 W 200 x 313 313 210 134 170 190 64 102 3168 3017 886 410 612 319 403 W 250 x 179 179 251 101 220 240 48 53 2291 1826 996 91 181 199 231 W 250 x 223 223 254 102 220 240 58 69 2939 2314 1009 123 241 206 289 W 250 x 253 253 257 102 220 240 61 84 3473 2702 1031 149 293 214 326 W 250 x 284 284 260 102 220 240 64 100 4046 3112 1051 178 348 220 366 W 250 x 327 327 258 146 220 240 61 91 4937 3827 1083 473 648 335 421 W 250 x 385 385 262 147 220 240 66 112 6057 4624 1105 594 808 346 496 W 250 x 448 448 266 148 220 240 76 130 7158 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2140 2098 484 913 W 360 x 790 790 354 205 288 320 94 168 22713 12832 1498 2416 2357 489 1012 W 410 x 388 388 399 140 357 381 64 88 12777 6405 1594 404 577 283 503 W 410 x 461 461 403 140 357 381 70 112 15690 7787 1627 514 734 295 592 W 410 x 530 530 403 177 357 381 75 109 18734 9297 1655 1009 1140 384 684 W 410 x 600 600 407 178 357 381 77 128 21707 10667 1688 1205 1354 398 762 W 410 x 670 670 410 179 357 381 88 144 24678 12038 1691 1379 1541 400 863 W 410 x 750 750 413 180 357 381 97 160 27616 13373 1698 1559 1732 403 958 W 460 x 520 520 450 152 404 428 76 108 21370 9498 1791 634 835 309 666 W 460 x 600 600 455 153 404 428 80 133 25652 11276 1835 796 1041 323 762 W 460 x 680 680 459 154 404 428 91 154 29851 13007 1846 941 1222 328 876 W 460 x 740 740 457 190 404 428 90 145 33415 14624 1877 1661 1748 418 949 W 460 x 820 820 460 191 404 428 99 160 37157 16155 1884 1862 1950 422 1047 W 460 x 890 890 463 192 404 428 105 177 41105 17756 1898 2093 2180 428 1141 W 530 x 660 660 525 165 478 502 89 114 34971 13322 2046 857 1039 320 836 W 530 x 720 720 524 207 478 502 90 109 39969 15255 2089 1615 1560 420 916 W 530 x 740 740 529 166 478 502 97 136 40969 15489 2076 1041 1255 331 951 W 530 x 820 820 528 209 477 501 95 133 47569 18018 2134 2028 1941 441 1045 W 530 x 850 850 535 166 478 502 103 165 48453 18113 2121 1263 1522 342 1077
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Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 1 Tensões na Flexão Flexão Estudar a flexão em barras é estudar o efeito dos momentos fletores nestas barras O estudo da flexão que se inicia será dividido para fim de entendimento em duas partes Tensões na flexão Deformações e deslocamentos Tensões na Flexão Antes de iniciar o estudo propriamente dito das tensões desenvolvidas na flexão é necessário recordar Momento de uma força em relação a um ponto A intensidade do momento de uma força em relação a um ponto é igual ao produto entre a força e a distância entre o ponto e a linha de ação da força d F P Plano do Momento Linha de ação da Força Figura 1 Força F ponto P e o plano do momento Para o ponto P da figura 1 a intensidade do momento M da força F é igual a d F M e seu sentido é antihorário Lembrese aqui que a distância entre um ponto e uma linha é sempre tomada na direção perpendicular a esta linha Plano de um momento O plano de um momento é aquele que contém a força e o ponto considerado Plano do Momento P M Figura 2 Momento M no ponto P e o plano do momento Momento Fletor Em uma barra um momento é fletor quando o eixo da barra estiver contido no plano do momento Figura 3 Momento fletor em uma barra Uma observação importante é lembrar que os esforços solicitantes são sempre calculados em relação ao Eixo da barra Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 2 Tensões na Flexão centro de gravidade da seção estudada Classificação da Flexão O estudo das tensões na flexão se inicia pela classificação da flexão A flexão é classificada de acordo com dois critérios 1 De acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos central de inércia da seção Com este critério a flexão pode ser 11 Flexão Normal Quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da seção Na figura 4 o par de eixos centrais de inércia é constituído pelos eixos y e z Nesta figura o plano do momento contém o eixo y Figura 4 Flexão Normal 12 Flexão Oblíqua Quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do momento Na figura 5 o plano do momento está inclinado em relação ao par de eixos centrais de inércia da seção Figura 5 Flexão Oblíqua 2 De acordo com o esforço solicitante que acompanha o momento fletor Com este critério a flexão pode ser 21 Flexão Pura Quando o momento fletor é o único esforço solicitante que atua na seção 22 Flexão Simples Quando além do momento fletor atua uma força cortante na seção 23 Flexão Composta Quando além do momento fletor atua uma força normal na seção Notese que estes critérios são complementares Assim é possível existir uma flexão pura normal uma flexão simples oblíqua etc Tensões Normais na Flexão Pura Normal Seja uma seção transversal de área A de uma barra em equilíbrio onde é conhecido o par de eixos central de inércia yz Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 3 Tensões na Flexão solicitada por um momento fletor M cujo plano contém o eixo z como o mostrado na figura 6 Figura 6 Flexão pura normal em uma seção de uma barra Notese que quando uma barra prismática é solicitada por um momento fletor como mostra a figura 7 a seções deixam de ser paralelas Eixo da barra M M Seção Transversal Seção Transversal Eixo da barra ϕ Figura 7 Barra sob a ação de um momento fletor Sob a ação do momento estas seções sofrem uma rotação diferente para cada uma fazendo com que exista um ângulo de inclinação ϕ entre elas Desta maneira a seção da figura 6 sob a ação do momento M sofrerá uma rotação em torno do eixo y proveniente das deformações de seus pontos como a apresentada na figura 8 Figura 8 Rotação da seção transversal ação de um momento fletor Mantidas as hipóteses de Navier a seção permanece plana e assim os pontos que estão à mesma distância do eixo y possuem a mesma deformação Isto pode ser observado na figura 9 Figura 9 Deformação dos pontos de uma seção transversal Sendo assim é possível estudar a rotação da seção estudando apenas a deformação dos pontos que se encontram no eixo z Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 4 Tensões na Flexão M Z Figura 10 Deslocamento dos pontos de uma seção transversal Notese que as deformações que ocorrem nos pontos são deformações longitudinais ε Este tipo de deformação está associada à presença de uma tensão normal σ Dentro do regime elástico as deformações destes pontos são proporcionais às tensões que neles atuam Assim é possível concluir que as tensões normais que atuam nos pontos da seção são proporcionais às distâncias entre os pontos e o eixo y M σ σ z Figura 11 Distribuição de tensões ao longo de uma linha paralela ao eixo z Como a tensão é proporcional à distância entre o ponto que ela atua e o eixo y a variação desta tensão é linear com esta distância e pode ser escrita como b z a σ 1 onde a e b são constantes Para determinar a tensão normal que atua em cada ponto da seção se deve lembrar que σ A z dA M 2 σ A dA N 3 Lembrando que não existe força normal aplicada na seção o resultado da expressão 3 deve ser nulo Assim se tem 0 dA N A σ 0 b dA z a A 0 dA b z dA a A A 0 dA b z dA a A A 4 Na expressão 4 a integral A z dA é igual ao momento estático da área da seção em relação ao eixo y Como o eixo y contém o centro de gravidade da seção este momento estático é igual a zero Assim é possível escrever 0 A b 0 a Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 5 Tensões na Flexão 0 A b 5 Na expressão 5 a área A não pode ser igual a zero então a constante b deve ser igual a zero Desta forma a expressão 1 pode ser escrita da forma apresentada na expressão 7 σ a z 7 Quando a expressão 7 é substituída na expressão 3 se encontra A z dA z a M A z2 dA a M A z2 dA a M 8 Na expressão 8 a integral A z2 dA é igual ao momento de inércia da seção em relação ao eixo y Iy Assim é possível escrever y a M Ι y M a Ι 9 Substituindo a expressão 9 na expressão 7 se obtém z M y σ Ι 10 A expressão 10 mostra que a tensão em cada ponto depende do momento fletor que atua na seção do momento de inércia da seção em relação ao eixo em torno do qual a seção gira e da distância entre o ponto considerado e este eixo Notese também que neste tipo de flexão a tensão será nula quando a distância entre o ponto considerado e o eixo em torno do qual a seção gira for igual a zero Isto é para os pontos da seção que se encontram sobre este eixo À linha formada pelos pontos onde a tensão normal é nula se dá o nome de Linha Neutra A linha neutra divide a seção em duas partes uma parte onde os pontos são tracionados e outra onde os pontos são comprimidos Isto pode ser observado pela figura 11 A figura 12 mostra mostra para a seção da figura 9 a parte tracionada a parte comprimida e a linha neutra Figura 10 Linha Neutra Parte tracionada e parte comprimida de uma seção em uma flexão normal pura Lembrese que no caso do momento girar a seção em torno do eixo z a tensão em cada ponto da seção pode ser determinada por Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 6 Tensões na Flexão y M z σ Ι 11 Figura 13 Deformação dos pontos de uma seção transversal quando o momento gira a seção em torno do eixo z Observese ainda que a presença de uma força cortante não irá alterar a tensão normal desenvolvida nos pontos da seção Com isto se conclui que a tensão normal na flexão simples normal tem o mesmo equacionamento que a aqui encontrada OBS 1 Para fazer uma diferenciação se deve indicar o momento que gira a seção em torno do eixo y por My e o momento que gira a seção em torno do eixo z por Mz Assim as equações que mostram a tensão que atua em um ponto ficam z M y y σ Ι y M z z σ Ι 2 Como já foi apresentado em um ponto de uma seção transversal de uma barra solicitada por uma flexão a depender de sua posição pode ocorrer uma tensão de tração ou uma tensão de compressão A intensidade desta tensão depende da distância entre o ponto e o eixo em torno do qual a seção gira Como neste estudo se está trabalhando apenas com o módulo do momento fletor para fornecer à tensão que atua no ponto o sinal correto positivo para a tração e negativo para a compressão darse á à distância entre o ponto e o eixo em torno do qual a seção gira sinal positivo quando este se encontrar no mesmo lado em que o momento traciona a barra e negativo quando ele se encontrar no lado em que o momento comprime a barra Tensões Extremas Em uma seção submetida à flexão como já visto a tensão normal que ocorre em um ponto depende de sua posição na seção Na figura 14 pode se observar que o ponto A é o ponto de maior distância à linha neutra que se encontra no lado tracionado da seção Neste ponto irá ocorrer a maior tensão de tração desta seção A esta tensão se dá o nome de Tensão Extrema de Tração da seção e se indica por máx σ Linha Neutra Lado tracionado Lado Comprimido Tensão extrema de tração A Tensão extrema de compressão Figura 14 Linha Neutra Parte tracionada e parte comprimida e pontos onde ocorrem as tensões extremas Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 7 Tensões na Flexão Observase ainda na figura 14 que no lado comprimido existe uma linha de pontos mais afastada da linha neutra Nestes pontos irá ocorrer a tensão de compressão mais negativa A esta tensão se dá o nome de Tensão Extrema de Compressão da seção e se indica por min σ Devese lembrar que em uma barra podem existir momentos fletores diferentes em seções diferentes Assim é possível dizer que a Tensão Extrema de Tração de uma barra é a maior tensão de tração encontrada dentre as extremas de tração das seções desta barra Da mesma forma a Tensão Extrema de Compressão de uma barra é a tensão de compressão mais negativa encontrada dentre as extremas de compressão das seções desta barra Dimensionamento O dimensionamento de uma barra submetida à flexão com relação à intensidade do esforço aplicado é feito limitandose as tensões extremas aos valores das tensões admissíveis do material isto é tração máx σ σ 12 compressão min σ σ 13 Flexão Composta Normal Na flexão composta além do momento fletor existe a presença de uma força normal Isto pode ser observado na figura 15 Sabendose que a força desenvolve em cada ponto da seção uma tensão normal A σ N 14 é possível concluir que a tensão normal resultante existente em uma flexão composta é o resultado da soma vetorial entre a tensão normal desenvolvida pelo momento e a tensão normal desenvolvida pela força Figura 15 Esforços na flexão normal composta Assim para os esforços apresentados na figura 15 a tensão resultante em cada ponto fica A N z M y y σ Ι 15 No caso do momento girar a seção em torno do eixo z a tensão Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 8 Tensões na Flexão resultante em cada ponto na flexão composta fica A N y M z z σ Ι 16 OBS 1 As expressões 15 e 16 mostram que a resultante da tensão normal em cada ponto é o resultado da soma algébrica entre a tensão normal desenvolvida pelo momento fletor e a tensão normal desenvolvida pela força normal 2 Nos pontos que se encontram sobre o eixo em torno do qual a seção gira pelo momento a tensão normal resultante não é igual a zero A tensão normal resultante será nula nos pontos de uma linha paralela a este eixo Assim em uma flexão normal composta a linha neutra será um segmento de reta paralelo ao eixo em torno do qual a seção gira 3 Para determinar a posição desta linha neutra se deve lembrar que quando o momento gira a seção em torno do eixo y a tensão normal resultante é dada por 0 A N z M y y σ Ι A N z M y y Ι y y M A N z Ι 17 Figura 16 Posição da linha neutra na flexão normal composta 4 Quando o momento gira a seção em torno do eixo z a posição da linha neutra é dada por z z M A N y Ι 18 Módulo de Resistência Como visto anteriormente o dimensionamento à flexão normal é feito limitandose os valores das tensões extremas aos valores das tensões admissíveis As tensões extremas são localizadas em pontos característicos da seção transversal Por exemplo na seção da figura 17 quando o momento gira a seção em torno do eixo y as tensões extremas irão ocorrer sempre nos pontos A e B Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 9 Tensões na Flexão y y z z Ponto onde irá ocorrer uma das tensões extremas Pontos onde irão tensões extremas ocorrer uma das A B ZA ZB Figura 17 Pontos onde ocorrem tensão extrema em uma seção que giraem torno do eixo y Como esta posição relativa entre estes pontos e o momento de inércia em relação ao eixo em torno do qual a seção gira não se modifica é possível tratar tratala como uma propriedade da seção Assim é possível escrever A y y extre z M Ι σ B y y I z M extre Ι σ Considerando o que foi dito no parágrafo anterior é possível registrar A y y extre z M Ι σ 19 B y y I z M extre Ι σ 20 As relações entre o momento de inércia e as coordenadas dos pontos que aparecem nas expressões 19 e 20 são chamadas de Módulo de Resistência da seção em relação ao eixo y e indicadas por A y y z W Ι 21 B y I y z W Ι 22 Analogamente observando a figura 18 é possível definir os Módulos de Resistência em relação ao eixo z y y z z A B YC YD Figura 18 Pontos onde ocorrem tensão extrema em uma seção que giraem torno do eixo z C z z y W Ι 23 D z I z y W Ι 24 OBS 1 Quando os pontos onde ocorrem as tensões extremas possuem a mesma distância em relação ao eixo se diz que a seção possui Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 10 Tensões na Flexão um único módulo de resistência em relação a este eixo 2 Quando os pontos onde ocorrem as tensões extremas possuem distâncias diferentes em relação ao eixo se indica por W o módulo de resistência de menor valor encontrado para o ponto mais distante do eixo e por W o módulo de resistência de maior valor encontrado para o outro ponto 3 Quando se trabalha com materiais que possuem a mesma resistência à tração e à compressão se usa apenas W Perfis Laminados Para a construção de estruturas metálicas é muito comum a utilização de barras de aço carbono obtidas por laminação A estas barras se dá o nome de perfis laminados O nome do perfil normalmente traduz a forma da seção transversal Os perfis mais comuns são Perfil I Perfil C Perfil T Cantoneira de abas desiguais Cantoneira de abas iguais A parede vertical da seção destes perfis é chamada de alma do perfil A parede horizontal é chamada de mesa do perfil No caso das cantoneiras cada parede da seção é chamada de aba Estes perfis são normalmente designados pelo comprimento da alma e pela massa por metro linear de comprimento do perfil Para cada um destes perfis existe uma família de seções que são fabricadas de acordo com padrões já estabelecidos Encontrase dois tipos de padrão o padrão americano e o padrão europeu A diferença básica entre estes padrões é que no perfil europeu existe apenas uma espessura para cada comprimento de alma já no padrão americano existem algumas espessuras de alma para cada comprimento Em cada um dos padrões são encontradas tabelas que fornecem as características da seção transversal dos perfis Pelo visto para uma determinada solicitação se deve selecionar o perfil que melhor se Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 11 Tensões na Flexão adapte às condições de dimensionamento Esta seleção é feita por meio do módulo de resistência à flexão do perfil As tabelas do anexo a este texto a partir da página 13 fornecem as propriedades de seções para alguns tipos de perfil com padrão americano Vale observar que são encontrados perfis dobrados que da mesma forma que os perfis laminados também possuem padronização Flexão Oblíqua Como foi definida a flexão oblíqua é aquela onde o momento fletor gira a seção em torno de uma linha que não é um dos eixos centrais de inércia ou uma linha paralela a eles A figura 19 mostra uma flexão oblíqua de uma seção transversal qualquer Figura 19 Seção transversal sujeita a uma flexão oblíqua Notese na figura 19 que entre o plano do momento e o eixo z existe uma inclinação com um ângulo α Lembrando que o momento é uma quantidade vetorial ele pode ser determinado por suas componentes em dois planos perpendiculares entre si como mostra a figura 20 Figura 20 Componentes do momento fletor em uma flexão oblíqua Estas componentes giram a seção em torno dos eixos centrais de inércia yz Assim sendo é possível encarar a flexão oblíqua como a superposição entre duas flexões normais A tensão normal resultante em cada ponto então pode ser obtida pela soma algébrica entre as tensões normais desenvolvidas neste ponto pelas componentes do momento fletor M ou seja y Msen z cos M z y Ι α Ι α σ 25 Lembrando que My Mcos α Mz Msen α podemos escrever Univesidade Santa Cecília Engenharia Mecânica Resistência dos Materiais I Prof José Carlos Morilla 12 Tensões na Flexão y M z M z z y y Ι σ Ι 26 Tensões Extremas e Posição da Linha Neutra Como se sabe as tensões extremas ocorrem nos pontos mais afastados da linha neutra e a linha neutra é formada pelos pontos onde a tensão normal resultante é igual a zero Para a determinação da posição da linha neutra se deve tomar a expressão 25 e igualala a zero isto é 0 y Msen z cos M z y Ι α Ι α σ y Msen z cos M z y Ι α Ι α y cos M Msen z z y α Ι α Ι y Mtg z z y Ι Ι α 27 Notese pela expressão 27 que os pontos da linha neutra formam uma reta inclinada em relação ao par de eixos centrais de inércia yz Esta inclinação depende da posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos centrais de inércia ângulo α e depende da relação existente entre os momentos de inércia da seção em relação a estes eixos Desta maneira a linha neutra é inclinada em relação a este par de eixos e oblíqua em relação ao plano do momento daí o nome flexão oblíqua A figura 21 mostra a linha neutra para uma flexão oblíqua Figura 21 Linha Neutra em uma flexão oblíqua A localização dos pontos onde ocorrem as tensões extremas não constante em relação ao par de eixos centrais de inércia elas dependem da inclinação do plano do momento em relação a este par de eixos A figura 22 mostra a localização dos pontos onde ocorrem as tensões extremas para a flexão da figura 21 Figura 22 Pontos onde ocorrem as tensões extremas em uma flexão oblíqua Prof José Carlos Morilla Cantoneiras Abas iguais Bitola h cm Peso kgm Área cm² to cm JxJy cm4 WxWy cm³ ixiy cm iz mim cm Xg cm 12 x 18 1270 055 070 0317 010 011 037 025 043 58 x 18 1588 071 090 0317 020 019 047 032 051 34 x 18 1905 087 111 0317 036 027 057 038 059 78 x 18 2220 104 132 0317 058 038 066 046 066 1 x 18 2540 119 148 0317 083 049 079 048 076 1 x 316 2540 173 219 0476 125 066 076 048 081 1 x 14 2540 222 284 0635 166 098 076 048 086 114 x 18 3175 150 193 0317 167 082 097 064 089 114 x 316 3175 220 277 0476 250 115 097 061 097 114 x 14 3175 286 362 0635 333 147 094 061 102 112 x 18 3810 183 232 0317 333 115 117 076 107 112 x 316 3810 268 342 0476 458 164 117 074 112 112 x 14 3810 348 445 0635 583 213 115 074 119 134 x 18 4445 214 271 0317 541 164 140 089 122 134 x 316 4445 315 400 0476 750 230 137 089 130 134 x 14 4445 412 522 0635 957 313 135 086 135 2 x 18 5080 246 310 0317 791 213 160 102 140 2 x 316 5080 363 458 0476 1170 313 158 102 145 2 x 14 5080 474 606 0635 1460 410 155 099 150 2 x 516 5080 583 742 0794 1750 491 153 099 155 2 x 38 5080 699 876 0952 2000 573 150 099 163 212 x 316 6350 457 580 0476 2300 491 198 124 175 212 x 14 6350 610 767 0635 2900 640 196 124 183 212 x 516 6350 744 948 0794 3500 787 193 124 188 212 x 38 6350 878 1116 0952 4100 935 191 122 193 3 x 316 7620 552 703 0476 4000 721 239 150 208 3 x 14 7620 729 929 0635 5000 950 236 150 213 3 x 516 7620 907 1148 0794 6200 1160 234 150 221 3 x 38 7620 1071 1361 0952 7500 1360 231 147 226 3 x 12 7620 1400 1774 1270 9100 1800 229 147 236 312 x 14 8890 856 1090 0635 8370 1300 277 176 246 312 x 516 8890 1059 1350 0794 10200 1600 275 175 252 312 x 38 8890 1258 1600 0952 12100 1920 275 175 258 4 x 14 10160 981 1251 0635 12500 1640 317 200 277 4 x 516 10160 1219 1548 0794 15400 2130 315 200 284 4 x 38 10160 1457 1845 0952 18300 2460 312 200 290 4 x 716 10160 1680 2135 1111 20800 2950 312 198 295 4 x 12 10160 1903 2419 1270 23300 3280 310 198 300 5 x 516 12700 1531 1950 0794 30800 3340 397 253 347 5 x 38 12700 1830 2329 0952 36200 3950 394 251 353 5 x 12 12700 2410 3064 1270 47000 5250 391 249 363 5 x 58 12700 2980 3780 1588 56600 6400 386 246 376 Prof José Carlos Morilla Dimensões c Peso Área Ix Iy Wx Wy ix iy ix min Xg Yg pol mm mm kgm mm² mm4 mm4 mm3 mm3 mm mm mm mm mm 89 143 729 929 749000 325000 12300 6700 284 189 137 155 282 x 159 908 1148 916000 391000 15300 8200 282 185 137 163 290 3 13 x 2 ½ 64 175 1071 1361 1082000 458000 18200 9700 282 183 137 168 295 102 175 1071 1348 1415000 708000 20200 12500 324 229 165 193 320 X 121 1265 1600 1665000 791000 24000 14100 323 222 163 198 325 206 1458 1852 1873000 916000 27100 16400 318 222 163 203 330 4 x 3 76 222 1652 2097 2081000 999000 30500 18200 315 218 163 211 338 102 159 908 1168 1207000 874000 16600 13300 321 274 185 231 295 175 1146 1452 1498000 1082000 20800 16500 321 273 185 236 300 X 191 1354 1723 1748000 1249000 24500 19300 319 269 185 244 307 206 1577 1994 1998000 1415000 28200 22100 317 266 183 249 312 4 x 3½ 89 222 1771 2258 2206000 1582000 31400 24900 313 265 183 254 318 127 191 1295 1652 2747000 1124000 31700 16600 408 261 193 213 404 206 1548 1968 3247000 1332000 37700 19800 406 260 193 218 409 X 222 1786 2277 3704000 1498000 43300 22500 403 257 193 224 414 238 2024 2581 4162000 1662000 49100 25300 402 254 191 231 422 89 2262 2884 4579000 1831000 54300 28000 398 253 191 236 427 27 25 3174 4995000 1998000 59600 30800 397 251 191 241 432 2723 3465 5411000 2164000 65000 33600 395 250 191 246 437 5 x 3½ 302 2947 3748 5786000 2331000 70100 36700 393 249 191 254 445 152 222 183 2329 5619000 2040000 54700 26100 491 296 224 239 493 238 2128 2697 6452000 2331000 63100 30000 489 294 221 244 498 X 254 2411 3065 7242000 2622000 71300 34100 486 292 221 251 505 27 2694 3426 8033000 2872000 79600 37600 484 290 221 257 511 102 286 2976 3781 8782000 3122000 87500 41200 482 287 218 262 516 3244 4129 9490000 3371000 95200 44900 479 286 218 269 523 6 x 4 317 3512 4477 10198000 3621000 102800 48500 477 284 218 274 528 178 254 2664 3387 11113000 2705000 95400 34400 573 283 221 234 615 27 2976 3794 12320000 2997000 106200 38400 570 281 221 239 620 X 286 3289 4187 13486000 3247000 116800 41800 568 278 218 244 625 3601 4574 14610000 3538000 127300 46000 565 278 218 251 632 7 x 4 102 317 3899 4961 15733000 3788000 137800 49600 563 278 218 257 638 203 254 2917 3710 16025000 2789000 122900 34800 657 274 218 218 726 27 3259 4148 17815000 3080000 137200 38700 655 272 218 224 732 X 286 3601 4587 19521000 3371000 151200 42700 652 271 218 231 739 3944 5019 21228000 3621000 165100 46200 650 269 216 236 744 102 317 4271 5445 22851000 3913000 178400 50200 648 268 216 241 749 4613 5865 24433000 4162000 191900 54000 645 266 216 249 757 349 4926 6277 25973000 4370000 204800 57000 643 264 216 254 762 5253 6690 27513000 4620000 217800 60700 641 263 216 259 767 8 x 4 381 5566 7097 28970000 4828000 230800 64100 639 261 216 267 775 Cantoneiras de Abas Desiguais Prof José Carlos Morilla Perfil U h x peso h hgctf to to b Área hbtf Ix Wx ix Iy Wy iy xg pol X kgm mm mm pol mm mm cm² 1cm cm4 cm² cm cm4 cm³ cm mm 3x 61 762 624 17000 432 3580 778 306 689 181 298 82 332 103 111 3x 74 762 159 25800 655 3800 948 289 772 203 285 103 382 104 111 3x 89 762 69 35600 004 4050 114 271 863 227 275 127 439 106 116 4x 80 10160 866 18000 457 4010 101 337 1595 314 397 131 461 114 116 4x 93 10160 159 24700 627 4180 119 324 1744 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