Cálculo da Velocidade Angular em Naves Cilíndricas e Análise da Gravidade Aparente

tornamse reais porém sendo aparentes ou ficticias dentro de uma perspectiva mais geral extensa e completa Exercicio 1 Uma nave espacial de formato cilindrica e oca de comprimento igual a 1 km e didmetro igual a 300 m deve dar suporte a vida humana sobre a sua superficie interna Qual deveria ser a velocidade angular desta nave cilindrica para se ter artificialmente uma aceleracdo radial igual a aceleracdo da gravidade na superficie do planeta Terra Do ponto de vista do observador na parede lateral o Sy interna da nave a velocidade angular de rotacdo do SOON aN cilindro em torno do eixo de simetria ira produzir ray artificialmente uma aceleracdo radial do tipo Ces Xe centrifuga eNO n 2a x BQx7 For UGart U X W x7 Gart TwT oo Aer X 0 x7 9g 98ms2 025 51 w w 025s T 150m Exercicio 2 Devido a rotacdo do planeta Terra o peso aparente de um objeto depende da latitude na wo qual é medido Entretanto o peso verdadeiro é ONS Gr d ap inteiramente devido a gravidade do planeta Terra a Determine o méddulo do vetor aceleracdo da SO XG gravidade aparente na latitude e na linha i NAR oo equatorial es Na superficie do planeta Terra qualquer objeto yo experimentaria duas aceleragdes uma vinda da os atracdo gravitacional da Terra sobre o objeto e a outra vinda da rotacdao do planeta Terra NS a Mr A A A Gr Gat 9f e Gf X Wx Rrf Rr Gap Gr t Acf Gr X X Rrf Onde dcp wRrk x k x sin 8 cosgitsin sing f cosé k dcr wRr sind cospitsing j Por tanto 2 Gap Gr dcr Gr dcr Or ac 21GrGcr cosz 6 Gap Var w2Rr sin 2gwRr sin 8 Na linha equatorial 9 22 2 Gap 9Gr Rr 257 A CONSTANTE GRAVITACIONAL A constante Gravitacional Universal G foi medida num importante experimento realizado por Henry Cavendish em 1798 O aparelho construido por Cavendish foi uma balangca de torcdo consistindo de uma vara de madeira 18 m de comprimento e 51 mm de didmetro suspendida C por um fio com esferas de chumbo massa 073kg fixadas nos extremos podendo oscilar livremente D num plano horizontal de acordo com o coeficiente mn de torcdo A torcdo do fio é originada pela forca gravitacional atuante no plano horizontal devido a A incluir duas esferas de chumbo de massas bem maiores 158 kg posicionados e fixados em lados alternados dos bracos da balanca A atracdo gravitacional mutua aplicada as pequenas esferas de chumbo torce o fio que suporta os bracos da balanca até se equilibrar com a torcdo restauradora do fio O coeficiente de torcdo k determinado da medida do periodo do movimento oscilatério cujo valor depende basicamente do momento de inércia do conjunto pendurado ao fio Aplicandose a segunda Lei de Newton para introduzir o momento de inércia encontrase a equacao diferencial de segunda ordem do movimento oscilatério e por conseguinte a do coeficiente de tordo lew op k900 TH a fa k 4m 4 eee Medindo o angulo que descreve os bracos da balanca e conhecendo o coeficiente de torcdo é possivel determinar a constante gravitacional ee s mm ko ad Px fyk60 LGK0 G 1M O aparelho construido por Cavendish foi notoriamente muito sensivel para sua época permitindolhe medir deflexdes muito pequenas utilizando uma escala vernier posicionada nos extremos dos bracos de giro obtendose G 674 x 1011Nmkg Medidas ainda mais precisas foram posteriormente feitas fornecendo um valor mais aceito de G 667384 x 1014Nm2kg Percebese que o valor da constante gravitacional é extremamente pequeno além da distancia entre as massas a escala astrondmica 6 comumente enorme alertando que a atracdo gravitacional se torna apreciavel e bem intensa quando se tratar de planetas ou estrelas porém é desprezivel quando se trata de particulas de massa comparativamente bem menores como as encontradas a escala at6mica por exemplo a atracdo gravitacional entre a massa do proton m 16 x 107kg e a massa do elétron m 191 x 10731kg dentro da estrutura do dtomo de hidrogénio 7 53 x 107m resulta ser da ordem de F 107N Similarmente encontrase forcas extremamente fracas entre moléculas E de esperar por tanto tratar a forca gravitacional como um efeito desprezivel em circunstancias nas quais as massas sdo comparativamente pequenas embora as distancias possam ser também pequenas Por 258 outro lado o efeito gravitacional sobre o movimento em sistemas mecdnicos é levado em conta principalmente em eventos astrondmicos nos quais as massas participantes sdo muito enormes ou em fendmenos mecanicos a escala laboratorial envolvendo um planeta e particulas nos quais a massa do planeta M 102kg compensa o pequeno valor da constante gravitacional G 10711Nmkg FORMA VETORIAL DA LEI DA GRAVITAGAO UNIVERSAL A Lei da Gravitacdo Universal pode ser escrita de forma vetorial para englobar tanto o cardter oe m dependente da intensidade da forga com o inverso do 7 quadrado da distancia F2 17 7 bem Foy como o produto das massas F2 MMz2 além de 7 Fy destacar o cardter centripeto ou atrativo desta forca my Fis ll 7 Como se esta lidando com uma 2 entidade fisica a massa tida essencialmente com positiva o produto deles sempre 6 uma quantidade positiva assim como é quadratura do inverso da distancia Por esse motivo o efeito atrativo 6 posto em evidéncia na forma de o sinal negativo que vem alterar o sentido do vetor posido da particula que experimenta a atracdo gravitacional pela outra particula Como sistema de referéncia escolhese um qualquer onde possa se descrever ambas as forcas centripetas de acordo com o postulado da Terceira Lei de Newton mm 7 F Fra G ih onde itz In 7 In 7 Um sistema de referéncia interessante 6 0 centro de massa ou particula matematica que carrega toda a massa e energia do sistema de particulas Quando as particulas estdo acopladas sob o efeito gravitacional de suas massas cada uma delas tendera a realizar Orbitas elipticas ou circulares em torno do centro de massa do sistema formado EFEITO GRAVITACIONAL DE UM CORPO SIMETRICAMENTE ESFERICO Na deducao da Lei de atracdo gravitacional Isaac Newton considerou massas pontuais que em outras palavras sua analise se baseava estritamente na condicdo de particulas que possuiam massa sem tamanho ou seja como se fossem particulas matematicas Na realidade no movimento orbital planetario as massas nao eram particulas e sim corpos com distribuicdo de massa no formato esférico Para ser aplicavel a Lei da Gravitacdo e coerente com o movimento observado dos corpos envolvidos na interacdao gravitacional esta Lei deveria ser estendida para se encontrar o efeito gravitacional para um Corpo celeste simetricamente esférico Esta ampliacdo a Lei da atracdo gravitacional é proposta no Teorema de Camadas Isto nado foi problema para Isaac Newton da demonstracdo na equivaléncia de efeitos isto 6 a Unica caracteristica do corpo para se ter a interacdo 6 a massa além de qualquer corpo poder ser representado matematicamente por um ponto ou massa pontual chamado de centro de massa Newton mostrou que o efeito gravitacional originado por um corpo é equivalente a ter toda a massa do corpo concentrada no Centro de massa A distancia entre as particulas gravitacionalmente interagentes é a distancia entre os seus centros de massa consolidando a Lei de atracdo entre massas pontuais ao caso de corpos celestes com formato esférico 259 Para mostrar essa equivaléncia gravitacional na forma do teorema da camada simetricamente esférica Newton valeuse do calculo a época também desenvolvido por ele pois requeria de um formalismo matematico que sintetizasse essa equivaléncia como correta além de ter ne we EV dM f i RT WSS i a in 3 f Ue 2 i dF LY ILA 2 Mo i y IL So peeeee eee eee 6 ee ae ee provido de uma ferramenta como método de analise muito util em desvendar assuntos aparentemente dificeis e intrigantes Como ponto de partida pode se aplicar a Lei da atracgdo entre massas pontuais escolhendose qualquer par de massas pontuais cujo efeito gravitacional é ditado pela Lei da gravitacional universal Isto deve ser feito para as inumeras massas pontuais dentro de um corpo e uma outra particula qualquer no Universo O efeito gravitacional do corpo celeste que 6 um conjunto de particulas agindo sobre uma Unica particula é o resultado da superposicdo das forcas de atracdo particulaparticula Por questdo de simplicidade 0 corpo pode ser assumido de formato perfeitamente esférico e massa distribuida uniformemente no volume deste corpo ou seja a cada particdo do corpo tendo a mesma quantidade de massa lhe correspondera 0 mesmo volume embora esteja em posicdes diferentes dentro do corpo o que acarretara ter diferentes distancias entre as particulas interagentes Esta particdo deve ser tao pequena que possa ser considerada como uma massa pontual ou particula Isto 6 previsto no calculo considerando particdes de massas diferenciais Assim a forca gravitacional de um corpo com distribuicdo uniforme de massa e simetricamente esférico sobre uma massa pontual deve ser a soma das inumeras contribuicdes gravitacionais advindas da acdo de cada elemento de massa diferencial do corpo sobre a massa pontual Um corpo solido esférico de massa total M e raio R pode se pensar como uma sucessao infinita de camadas esféricas concéntricas de massa diferencial proporcional e de raio variavel Por sua vez uma camada simetricamente esférica pode ser segmentada numa sucessdo de fatias transversais ao eixo de simetria ou anéis coaxiais de massa diferencial dM posicionadas ao longo do eixo de simétrica e de raios variaveis af od r 4 Ir r Assumindo que a massa esteja distribuida uniformemente sobre a camada esférica uM aM dM M si 6déd o SS SS Ci sin 4mR Rsindddp Ant 260 Além disto é importante definir o vetor posicdo da particula 7 de massa mp relativo ao elemento diferencial de massa dM posicionado num ponto da superficie descrito em coordenadas esférica R8 como sendo a diferenca destes vetores posicdo 7 Z RO O vetor posigdo do elemento diferencial de massa em coordenadas esféricas é definido como R6 Z9A69 enquanto que 2Z9Rcosdk e p09 RsincosyiRsin sing f O quadrado do médulo do vetor posiao da particula 7 que é equivalente a distancia quadratica entre as massas pontuais pode ser obtido aplicando o produto escalar de um par de vetores idénticos 32 2 I7 ZRO 9 2R9 2Z R 2ZR cose r ZR22ZRcos A forga gravitacional resultante é obtida por uma integracgdo dupla primeiro na variavel e segundo na variavel 8 Por uma questdo de simetria a forca gravitacional resultante deve ter somente componente na direcdo do eixo de simetria definido pela linha que une o centro da esfera e a massa pontual Isto comprovado ao fazer a integracdo na variavel w desde que a distribuigdo de massa seja uniforme como mostrado a seguir MoM 2 Zk RcosOk sind cospisin sing j f atl GE elem os smocosgt sn0sneD a sng 4m Jo Jo Z2 R2 2ZR cos 62 MoM sin 6d cos 6 sin dé kk G z an r IK 2 o Z2R22ZRcos62 o Z2R22ZRcos62 Por uma questdo de transformar ambas as integrais em formas mais compactas e simples é conveniente fazer as seguintes definicdes a Z R e b 2ZR além de fazer a seguinte mudanga de variavel u a bcos edu bsiné dé MoM Z tt du R 2 audul Fg G Zz a azk 2 b ab U2 b ab U2 moe 1 1 1 1 2R a F G 5vatbvab e 9 2 Wasp Vann ae ana Das definigdes prévias encontrase que VatbZR e VabZ R Devese ter cuidado com o argumento da fungdo raiz quadrada pois a diferenga pode ser negativa ou positiva dependendo se a particula esta dentro ou fora da camada esférica z cmM 1 1 AZ 1 1 Gm ee eee g 2RZR ZR 4ZR ZR ZR R a T Z RZRk aR Ha duas situacées fisicas que pode se apresentar na interacdo gravitacional da camada esférica e a massa pontual a primeira se refere quando a massa pontual esta por dentro da esfera Z R 0 ea segunda se refere quando a massa pontual esta por fora da esfera Z R 0 No caso da massa pontual estiver por dentro da camada esférica Z R EF GmyM 2 2 R lk GmM 9 o RR2 Z2 2ZRR2 Z2 ZR d 261 Embora a massa pontual esteja em qualquer ponto interno a camada esférica o efeito resultante que ha internamente devido a atracdo gravitacional sobre a massa pontual é por en un tanto nulo Para ter um melhor entendimento do porqué fy 0 we desse fato tdo especial e de aplicagdes a diversos casos D wa semelhantes se fara do ponto de vista da simetria exibida é a pelo corpo Considerando como direcdo referencial o eixo Ss Z de simetria que passa pelo centro da esfera e a massa Z pontual podese perceber que a linha de acdo gravitacional a sobre a massa pontual é nesta direcdo de referéncia devido SS a consideracgdes de simetria ja esbocadas acima Levando em conta a simetria do corpo pode se entender que ha um equilibrio entre as forcas de atracdo gravitacional agindo internamente em sentidos opostos por duas partes da camada esférica Dividindo a camada esférica por um plano que passa pela massa pontual e é perpendicular ao eixo de referéncia obtémse a contribuicdo destas duas partes A parte da camada esférica em frente a massa pontual exerce uma fora de atracdo puxandoa frontalmente porém a parte da camada esférica por tras a massa pontual exerce uma forca de atracdo puxandoa em sentido oposto aquela forca frontal e consequentemente anulandose entre si ambas as forcas frontal e traseira Embora uma das partes possa ter maior quantidade de massa que a outra devido a uma divisdo assimétrica da camada esférica o efeito do inverso do quadrado da distancia compensa a possivel maior influéncia gravitacional da parte de maior massa mantendo a massa pontual em equilibrio de forcas gravitacionais Baseado nesta argumentacao 0 efeito gravitacional nulo é independente da posicdo que a massa pontual se encontre dentro da camada esférica Se forem acrescentadas mais camadas esféricas e a massa pontual ainda estiver dentro dessas camadas ou da cavidade formada o efeito gravitacional sera mantido sempre nulo Caso da massa pontual estiver por fora da camada esférica Z R 1 Z R 1 fy Omolt ep aaa oA MoM FG srk O efeito gravitacional resultante de uma camada esférica agindo sobre uma massa pontual externa a esfera 6 como um a se toda a massa da camada esférica estivesse concentrada FE ae no ponto central da camada esférica que é exatamente o centro de massa da mesma produzindo uma atracdo Dense a gravitacional entre duas massas pontuais uma localizada ox no centro de massa da camada esférica e a outra na posicdo da massa pontual além de estarem separadas 1 CM entre si na distancia Z Em outras palavras a massa M pontual percebe uma atracao gravitacional vindo de uma se le particula pontual posicionada no centro de massa da camada esférica Por uma questdo de simétrica exposta pela distribuigdo de massa e pelo formato da esfera o mesmo efeito é esperado acontecer se a massa pontual em qualquer outro vetor posicdo relativa ao centro de massa cujo mddulo seja o mesmo Isto quer dizer que a 262 forcdo gravitacional devido a um corpo simetricamente esférico age na direcdo radial apontando para a origem de coordenadas posicionada no centro de massa do corpo Se forem internamente acrescentadas mais camadas esféricas ira se aumentar a massa total do corpo esférico sem mudar a posicdo do seu centro de massa tendose o mesmo resultado como se toda a massa estivesse concentrada no centro de massa Podese ter uma camada esférica ou esfera solida da mesma massa que ira se gerar o mesmo resultado gravitacional Exercicio 3 Suponha que hipoteticamente se tenha um corpo celeste simetricamente esférico e sdlido de massa total M e raio R Neste corpo foi perfurado um tunel até chegar ao centro de massa do corpo celeste Se uma massa pontual mg for deixada cair do repouso em queda livre dentro do tunel a qual seria o valor da gravidade que a massa pontual sentiria conforme ela se aproxima do centro do corpo celeste b Que tipo de movimento a massa pontual experimentaria se o tunel for feito de modo a diametralmente atravessar o corpo celeste O tunel foi escavado na direcdo radial até chegar ao centro de massa Neste caso pode se utilizar o postulado do teorema de camadas para dizer que conforme avanca pelo tunel a massa pontual 2 sentira o efeito gravitacional nulo da camada esférica Fig 0 de espessura R 1r que deixou para tras e o efeito gravitacional ndonulo da esfera sdlida F 0 de raior Re massa mr M que ainda precisara atravessar pela frente até chegar no centro de massa mrmMo Fyr Foam Fso1 0 Gzt Assumindo que o corpo celeste simetricamente esférico possui uma densidade volumétrica de massa uniforme pode se estabelecer uma relacdo entre a massa de uma esfera solida interna e concentricamente a esfera completa do corpo celeste e a massa total do corpo celeste M mr p 4m pn3 ATs 3 3 T 3 mr M R Substituindo 3 Tr Mo Er G mM g R r2 M A gn Gas rr A gravidade iria a ser reduzida linearmente desde seu valor maximo R r obtido na superficie do corpo celeste lg GMR até chegar a ser nula quando a massa pontual atingir o centro de massa do corpo celeste Se o tunel atravessar diametralmente o Gap corpo celeste a gravidade seria um vetor gr radial que apontaria sempre para o centro de massa do corpo celeste e reduziria linearmente seu valor conforme se aproxima do centro de massa Este efeito gravitacional teria oo mesmo comportamento da Lei de Hooke na 263 qual o vetor forca restauradora do movimento é o oposto ao vetor posicdo ao longo do deslocamento da massa pontual pelo tunel Além disto esta forca gravitacional deveria mudar o estado de movimento da massa pontual de acordo com a segunda Lei de Newton permitindo encontrar a equacdo do movimento oscilatério harmG6nico que exibiria a massa pontual Mm d7 io 645 mae d77 GM Stbel 5 GM Ft Roos ie To E possivel utilizar a gravidade com dependéncia linear t i dentro do planeta para fazer o transporte de veiculos sob 7 Ne a atracdo gravitacional que ira levalos de uma localidade OO da superficie do planeta até outra va ry3 FimpT G 5 Mmor cos ao LEl DE GAUS DA GRAVITAGAO Uma forma equivalente de representar a interacdo gravitacional é através da introducdo do conceito de Campo gravitacional que classicamente atribuise o nome de gravidade ou pela relatividade geral associase a curvatura do espaco tempo O Campo gravitacional criase em torno de corpos ou particulas que possuem massa cuja intensidade é reflexo da quantidade de massa e que depende com a distancia de acordo com a Lei do inverso do quadrado da distancia Qualquer massa pontual do Universo na presenca deste campo gravitacional evidencia uma forca gravitacional sendo o campo gravitacional o mediador da interacdo 7 F M kg mgMr gMr i Gat 0 A representacdo da interacdo gravitacional é feita por linhas de agdo ou por linhas de forca ou linhas de gravidade Assim por exemplo nas proximidades de um corpo celeste do tipo esférico a aceleracdo gravitacional ou gravidade é representado por um vetor que aponto para o centro de massa do corpo e por sua vez é perpendicular a superficie do planeta além de sua intensidade depender com 0 inverso do quadrado da distancia até o centro de massa do planeta Em outras palavras se for feito o mapeamento da gravidade em cada ponto em torno do planeta se perceberia um vetor radial e centripeto No entanto quando o ponto em questao estiver sob a influéncia gravitacional de outros corpos celestes a gravidade resultante seria a superposicdo da gravidade gerada por cada corpo esperando que este vetor aceleracdo gravitacional resultante seja o mediador da interacdo gravitacional que uma massa pontual sentiria nesse ponto do espaco e por tanto o condicionador do movimento da massa pontual levandoo a descrever trajetorias das mais variadas Estas trajetorias seriam as geodésicas que no espaco curvo massas pontuais fariam e tangentes a estas trajetdrias se teria o vetor campo gravitacional 264 Em outras palavras o espacotempo modificado pela massa é representados na forma de linhas de campos gravitacionais Assim quanto mais adensamento de linhas de campo se tiver numa localidade do espaco esperase uma maior intensidade da gravidade Entretanto o menor adensamento de linhas de campo numa localidade do espaco é sin6nimo de menor intensidade da gravidade e uma auséncia completa de linhas campo gravitacional ou seja o espacotempo nao curvo levaria a representar uma gravidade nula Uma medida indireta da intensidade do campo gravitacional poderia ser estabelecida pela determinacdo da quantidade de linhas de campo que atravessam uma superficiesensor Esta medida em fisica 6 conhecida como o Fluxo de linhas de campo gravitacional Assim dependendo como o vetor superficiesensor esta orientado relativo a direcdo da linha de campo gravitacional podese ter maximo fluxo ou minimo fluxo de linhas Isto leva a estabelecer uma transformacdo vetorial que gere um escalar a partir de dois vetores gravidade e superficie sensor também conhecido como produto escalar de modo a se coletar o maior numero de linhas de campo e indiretamente encontrar a intensidade deste campo de gravidade dgds 5 g43 Através de uma infinidade de coletores ou superficiessensores de linhas de campo gravitacional podese fazer uma coleta completa das linhas de campo gravitacional que entram num corpo celeste considerandose para tanto uma superficie qualquer fechada Do ponto de vista da coleta total de linhas de campo gravitacional esperase indagar sobre a fonte que deu origem ao campo gravitacional ou seja a massa Para um corpo celeste simetricamente esférico M A GPgds O G5P ds Além disso podese introduzir o conceito de angulo sdlido Q an 2 fds fdsdAgr r sinddédp z dQ sin ddd Otot tp sin dOdg 41 Isto leva a determinar o fluxo total de linhas de campo gravitacional que atravessam a superficie fechada e seguem na direcdo da fonte deste campo gravitacional fds GM 9 41GM Embora este ultimo resultado tenha sido deduzido d3 para o caso particular de um corpo celeste ee simetricamente esférico o mesmo nao perde validade Lf b ar para outros casos de distribuigdo de massas geradoras de campo gravitacional sendo conhecida como a Lei i de Gauss da gravitacao i j fb gd3 4nGM D S De acordo com o teorema de camadas de massa aplicavel a corpos simetricamente esféricos somente 265 a quantidade de massa delimitada pelo volume interno a camada esférica ira contribuir com campo gravitacional ndo nulo Sob esta perspectiva havera fluxo ndo nulo pela quantidade de massa que estiver dentro da superficie fechada ou da massa enclausurada pela propria superficie de integracdo que delimita o volume maximo que ocupa a fonte que gera o campo gravitacional nado nulo Exercicio 4 Suponha que hipoteticamente se tenha um corpo celeste simetricamente esférico e sdlido de massa total M e raio R Neste corpo foi encontrada uma pequena cavidade simetricamente esférica muito préxima da superficie do corpo celeste A cavidade possui um raio r cujo centro esta numa distancia 2r da superficie do corpo celeste Num ponto acima da superficie na linha que passa pelo centro de massa do corpo celeste e da cavidade qual deveria ser o fator de reducdo da gravidade relativa a gravidade com auséncia de cavidade no corpo celeste O efeito gravitacional resultante do corpo celeste simetricamente esférico sdlido com uma cavidade pode ser analisado como equivalente a soma da contribuigdo do corpo sdlido sem cavidade M e da contribuido da cavidade preenchida com massa L negativa Mgqy entendendose como massa S negativa ao fato de ter sido retirada massa para se fazer a cavidade ae Gsolcav Gsol Gcav Gsolcav Ast p G Mear R 2r Assumindo que 0 corpo celeste possui uma densidade volumétrica de massa uniforme podese estabelecer uma relagdo entre a massa que foi removida para fazer a cavidade esférica e a massa do corpo esférico sdlido Mso1 IMeav ry3 a a IMcavl Mso1 A R3 43 R 3 3 Substituindo M G r3 M r Geotvea O REF gra q Moot ORE 1 gp Gso1cav 1 al lGsor 4R 266 MOVIMENTO RELATIVO AO CENTRO DE MASSA Explicitando o vetor posicdo de cada massa relativa ao sistema de referéncia Centro de massa podese extrair uma relacdo entre os vetores posicdo 7 e 7 e o vetor posicdo relativo levando em conta a massa relativa entre eles om 8 N Mr M272 Roy 0 m m y Sos e 3 XN S P T Y2 NY F se 7 21 Ms 2 mM ji ae v 1 TJ P2 s m m2 r r cM ou e Ts r 3 mM My 5 lr r YT a Ne fT m m Além disso é conveniente introduzir os parametros chamados de massa total e massa reduzida MM oe Mmm e h a we O vetor forca gravitacional F2 agindo sobre a massa u 5 M exposto em termos do vetores posiao 7 na Fy v perspectiva do centro de massa DE I 1 mm uM r M Fy Gr Gs5r Al iF Na perspectiva centro de massa a interacdo V gravitacional ocorre entre duas particulas a primeira concentra toda a massa do sistema formado na posicdo do centro de massa e a segunda a massa reduzida Considerando 0 caso que mz m quando por exemplo é comparado a massa de uma estrela mz com a massa de um planeta m oua massa de um planeta com um satélite artificial a massa total MV m m 2m é aproximadamente a massa do corpo maior enquanto que a massa reduzida u mmM m 6 aproximadamente a massa do corpo menor Contudo ha casos onde se tem dois corpos celestes com massas comparativas m m2 por exemplo duas estrelas ou dois planetas interagindo gravitacionalmente Em outras palavras a particula massa reduzida 4 se move em torno da particula centro de massa M sendo seu movimento descrito pelo seu vetor posicdo 7 Adicionalmente o vetor forca gravitacional é tido do tipo centripeto e obedece a Segunda Lei de Newton do movimento evidenciando a equacao genérica do movimento orbital z C uM d7 Gs5r U7T g 72 dt2 r T dt l78 Por tanto o movimento governado pela atracdo gravitacional é representado matematicamente por uma equacao diferencial ordinaria EDO de segunda ordem cuja solugdo fornece o vetor posigdo como funcao do tempo 7t que descreve o tipo de trajetdria 267 percorrida pela particula massa reduzida 1 em torno da particula centro de massa M como por exemplo em boa aproximacao um planeta sendo a particula massa reduzida e a estrela sendo a particula centro de massa Da série de solugdes que admite a EDO escolhese aquela que seja coerente com as condides do movimento a energia mecanica e momento angular do sistema formado Exercicio 5 Considerando que a forcgapeso que qualquer objeto de massa mp experimenta perto da superficie do planeta Terra M R seja de origem gravitacional encontre uma relacgdo vetorial da definigdo da aceleracdo da gravidade como funcdo das caracteristicas geométricas e inercias da Terra Nesta situacdo o objeto na superficie do planeta Terra assume o papel da particula massa reduzida e o planeta Terra é a particula centro de massa Fy GSfzamg gGfr Rr Rr Exercicio 6 Um objeto que possui massa Mg se encontra sob a atracdo gravitacional do planeta Terra M sendo verificado na forma de aceleracdo de valor g 98ms na queda livre do objeto nas proximidades da superficie da Terra Se o raio do planeta Terra 6 Ry 64 x 10m dé uma estimativa da massa da Terra Da segunda Lei de Newton e da Lei da Gravitacdo Universal podese extrair o valor aproximado da massa do planeta Terra de modo a criar uma gravidade igual g 98ms Mrmg gRrl Gfmg M 98ms 64 x 10m M 2Bmss 164 x T0m 6x 1074kg 667 x 1011Nmkg Exercicio 7 Um astronauta ao descer no satélite natural da Terra faz medidas da aceleracdo da gravidade da Lua descobrindo que o valor 6 aproximadamente a sexta parte da aceleracdo da gravidade na superficie da Terra Qual a massa da Lua reativa a da Terra sabendo que o raio da Lua é aproximadamente R 1740 kmeo da Terra é Rp 6370 km M G Gat Ri M Ri 1 e z lel 0012 5 G Mr Mr Rr gr Jt G7a7aT IRr Exercicio 8 Uma nave espacial se encontra a caminho da Lua seguindo a linha que une os centros de massa da Terra e da Lua A que distancia do centro de massa do planeta Terra a nave ira experimentar que a gravidade da Terra foi anulada pela gravidade da Lua Mr ML F T F L 0 G E 9 g r Rr 1 Rr r i aL laa 1 268 DESCRICAO DO MOVIMENTO EM COORDENADAS POLARES Neste movimento ambos os vetores posicao 7t e velocidade vt definem o plano do movimento orbital explicitando que a solucdo da EDO admite um vetor posicdo contido no plano da orbita o qual pode ser definido em termos de coordenadas polares variaveis no tempo rt e pt porém a distancia ao centro de massa depende com a posicdo angular r rrycospising f Onde I VFF ry r 7 pene iy io f cosgitsing f B Ir ae r9 df dg ia singicosgj sy de att Si a wos ar ry S i S 2 S 4 singit cosg a dp Q QJ dt dt dp i singj iM 9 cosgisin dt dt PJ pare beeen eee eee ene dt x n dt A r cosgitsin dp Q PJ dt A velocidade orbital pode ser descrita em termos de coordenadas polares como tendo uma componente radial e outra perpendicular a direcdo radial revelando velocidades radial e azimutal respectivamente Um caso particular do movimento seria quando a velocidade radial é nula ou seja a particula massa reduzida mantem constante sua distancia ao centro de massa descrevendo uma trajetoria circular Em geral a velocidade radial descreve a aproximacdo ou afastamento do planeta ao centro de massa do sistema formado Entretanto a velocidade azimutal visa descrever a taxa Com a qual gira particula massa reduzida em torno do centro de massa O eixo de giro é perpendicular ao plano XY e passa pela posicdo do centro de massa cuja direcdo é definida pelo vetor unitario 2 7 x f que é independente da posicdo angular ou seja o eixo 6 Unico Se houver um terceiro corpo celeste ira surgir uma forca gravitacional cuja tendéncia seria girar o plano da orbita do sistema binario formado realizando um movimento de precessdo 5 royrp Ze r Le wh ryt vt rr ftrtnrftv dt P77 dt dt r Bt Rt 2 2 vt vt i os dt dt E notorio que a velocidade orbital em geral um vetor que possui componentes tanto na direcdo radial v definida pelo vetor unitario 7 como na direcdo perpendicular a direcdo radial ou azimutal vg definida pelo vetor unitario A primeira componente mede a taxa de aproximacdo da particula massa reduzida ao centro de massa enquanto que a segunda componente mede a taxa de giro da particula massa reduzida em torno da particula centro de massa além de variar com a distancia ao centro de massa Dada a caracteristica centripeta ou radial da forca gravitacional 6 de esperar que havera somente componente radial do vetor 269 aceleracdo estando isenta ou nula por tanto da contribuigdo azimutal da aceleracdo No referencial centro de massa e utilizando coordenadas polares a aceleracdo orbital ou centripeta d2t d2tF é essencialmente nao nula e a Unica componente fisicamente aceitavel at dvt d C p dp 2 at 7 r dt dtlat ae dr dp dp dr dp aSo7F freer eeGShle Ee a dt dtdt os SS a Ag0 at a o 2 a a7r 7TI T dt dt Tanto a segunda Lei de Newton do movimento como a Lei da gravitacdo sdo duas perspectivas que faria a mesma descricdo da forca que rege 0 movimento quando normalizada a massa inercial ou gravitacional ie i alg ial at pv u u oat oie dr 2 Gfur r r2 Nae dt A forma da EDO do movimento em coordenadas polares mostra que o movimento deve ser parametrizado implicitamente em termos de uma funcdo da distancia r e expresso como segue dr 2 Le M 0 T dt dt r2 Exercicio 9 A EDO do movimento em coordenadas polares tornase simples quando ndo ha variagdo temporal da distancia radial o que significa manter uma Orbita circular Determine a velocidade orbital dr 0 dp GM se 7 T lS dt e rR dt R3 O vetor velocidade orbital pode ser obtida a partir da definicdo do vetor velocidade angular em termos dos vetores unitarios ortogonais tangencial 7 e normal NV a trajetoria circular e do vetor unitario Binormal B T x N perpendicular ao plano da orbita dp xR a x RN 5 GM P lat 270 CONSERVACGAO DO MOMENTO ANGULAR Exigindo a condicdo radial do vetor aceleracdo orbital ou centripeta da atracdo foi encontrado uma expressdo da aceleracgdo do tipo azimutal que é essencialmente nula ag 0 pois ndo ha aceleracdo perpendicular a direcdo radial dg dr de d9 2dr do ra t257 9 dt dtdt dt r dt dt Introduzindo o conceito de velocidade angular w no movimento orbital encontrase uma grandeza fisica que se conserva durante a atracdo gravitacional centripeta dp dw 2fo I I inc wo o InwInIn dt dt r dt w r r2 dp 2 2 uro pruc LH Lu dt L L ur2 é invariante Outra forma de chegar a este mesmo resultado é analisando 0 movimento orbital de uma perspectiva do momento da forca no qual a forca gravitacional agindo a distancia sobre a particula reduzida 4 por exemplo um planeta comunicalhe um torque relativo ao eixo que passa pelo centro de massa Pelo fato de ambos o vetor forca e 0 vetor posiccdo de aplicacdo da forca serem paralelos o torque deve ser nulo Este torque gravitacional também pode ser interpretado dentro da perspectiva da segunda Lei de Newton para rotac6ées no intuito de trazer a tona a conservacdo do momento angular Lem devido ao cardter centripeto da forca gravitacional FE LM 0 d 7 0 T TrTx 7TxX1GQs5T T rx CM 9 Fe CM FE Ptot dr dr foe Ltot 7 X Peot T X 1M at My at e invariante Em coordenadas polares podese encontrar uma expressdo para o vetor momento angular da particula massa reduzida em movimento orbital em torno do centro de massa dr dr dr dy dr dy Leot 7 X M mM r x m Str r tm rer ror ge Me Ge aT dt dt adt dt m 2 m 2d Liop M r m oP iP xt mM My my Mp2 dt e Lo mame 2s wre 2s for Im m dt dt ee u W ou Lror ur2 A taxa da variagdo da coordenada polar chamada também de Anomalia verdadeira deve ser dependente com o inverso do quadrado do médulo do vetor posido de modo a manter o vetor momento angular conservado ou invariante durante o movimento Ltot Ic T 271 CONSERVACAO DA ENERGIA MECANICA Energia Potencial Gravitacional O fato de se ter uma forca gravitacional do tipo centripeta comandando o movimento orbital da particula massa reduzida resulta na realizacdo de um trabalho pela forca gravitacional alterando a todo instante sua quantidade de movimento e consequentemente surgindo uma aceleracdo centripeta Como a forca gravitacional é sempre radial ou centripeta a todo instante ao longo da trajetoria ha trabalho ndo nulo somente ao longo de variacées ao longo do raio vetor independentemente da trajetoria percorrida pela particula A ndo dependéncia com a trajetoria e somente das posicées inicial e final leva a afirmar que a forca gravitacional é conservativa pois o formato da trajetéria nado altera o trabalho realizado pela forca gravitacional sendo que este é dado pela diferenca de energias associadas as posicdes da particula massa reduzida chamada de energia potencial gravitacional U 1 w d I owl d cum ar G35Tar 12 72 u r2 f drf rdot fdr WGuM GuM Tr r iT L 1 1 W GuM 4 f Tj Devido a gravidade ou a forca gravitacional ser associada a curvatura do espacotempo a propria curvatura do espacotempo se manifesta também na forma de energia havendo por tanto em cada ponto desse espacotempo curvado energia potencial gravitacional ou energia intrinseca da propria curvatura do espacotempo A propria curvatura do espacotempo Ihe confere a cada particula energia embora aparentemente parecesse que surgiu do vazio pois nao é perceptivel aos nossos sentidos uM se Ur G W U 77 Ugri Dado o carater conservativo da forca gravitacional ou da curvatura do espacotempo na realizagdo do movimento ou deslocamento ao longo de uma trajetdria existe por tanto uma funcgdo energia potencial gravitacional associada a forca gravitacional Podese fazer o processo inverso de encontrar a forca conservativa que produz trabalho a partir de variagdes da fundo energia potencial Isto é possivel devido a curvatura do espacotempo se explicita via a forca gravitacional ou sua forma equivalente de energia dU OU ap 4 eo gs 4 ag a recu d7 r dr ds dz Ff 2 rdr 9 7 ar rd az dr rdp az 9 7 v dU VUr dr Além disso podemos definir o trabalho diferencial realizado pela forca gravitacional como sendo dW dU F dr Fy VU7 272 Exercicio 10 Um objeto de massa mp nas proximidades da superficie da Terra M com altura comparativamente bem menor que o raio do planeta Terra z Rr é deixado livre e em repouso numa altura z até alcancar uma altura menor zz havendo um diferenca de altura h Z1 Zz Determine o trabalho feito pela forga gravitacional em termos da diferenga de altura W URr 22 UgRr 21 GMrm GMrm GMm 1 1 w rmo re TMo Rp 2Z2 Rr 2 Rr 14242 14 Rr Rr Considerando a condicdo z Rr podese fazer uso da seguinte aproximaao se xl 1 1 tt ay3 1 1x45xx 2 1x Rr 1x 2 3 GMrm 1 1 GMrm Zz Zz Wa et alse ne td Rr 1 22 1 41 Rr Rr Rr Rr Rr GMr GM W mo z Zm raat Rr Rr WwW zmMggh Energia cinética A funcdo trabalho também permite converter via uma integral de linha a forca gravitacional exercida pela particula centro de massa em mudanga de energia de movimento da particula massa reduzida dyv uf ul rdary dpy wkat sar afew e a 722 9 dt aI vv aI dt dt e walt 1 pr 2 Ul 1 pr 2 2at 2 dt 2de 2 dt I A propria curvatura do espacotempo lhe confere a particula massa reduzida energia de movimento chamada de energia cinética embora aparentemente parecesse que surgiu do vazio pois nao é perceptivel aos nossos sentidos Em coordenadas polares a energia cinética é definida como dr ur dpy 2 dt 2 dt A energia de mecanica da particula massa reduzida 6 uma entidade mecdanica que se conserva pois o trabalho realizado internamente pela forca gravitacional é dito como uma variacao negativa da energia potencial gravitacional W AU ou como uma variado positiva da energia cinética W AK e viceversa sem a possibilidade que haja perda de energia nessa transformagcao interna de energia caso o sistema binario esteja isolado do resto do Universo Como ambas as particulas centro de massa e massa reduzida se encontram acopladas via a interacdo gravitacional a energia cinética total do sistema binario formado fica condicionada a ser alterada quando houver variacdao da energia potencial gravitacional por uma questdo de conservacdo da energia mecanica deste sistema Ambos os resultados do trabalho do ponto de 273 vista de variacdes de energias potencial e cinética mostram que enquanto é evidenciada um aumento na energia potencial gravitacional por mudanca de posicdo da particula massa reduzida no espacotempo SS tentando sair do poco de energia potencial a mesma particula vem a experimentar uma reducdo na sua energia de movimento ou viceversa durante o deslocamento pela sua trajetoria mantendo invariante a energia LA mecdnica total sendo parte potencial gravitacional e a outra parte de movimento conhecida como a Lei de conservacgdo da energia W Ug17 Ug Kp Ki Emec Ki Ug 1 Ky Ug Te A energia mecanica como parametro invariante do movimento tornase importante para se obter outras relacdes importantes que caracterizam o movimento orbital dos planetas 2 2 2 EKUr F 2 gitt t 2 dt Tr Utilizando a definicdo da quantidade de momento angular total que se conserva no movimento sob a influéncia gravitacional a energia mecanica pode ser escrita como 2 2 E 2 t Fe iM 2dt 2r2 wu r Quando a particula massa reduzida ou corpo celeste planeta asteroide etc entra na influéncia gravitacional de um corpo massivo como uma estrela ha trés possibilidades de situac6es fisicas que podem acontecer A primeira situacdo fisica 6 que a energia mecanica seja muito positiva quando interage permitindolhe ter energia de movimento suficiente para escapar da influéncia ou poco de energia potencial gravitacional criado pelo corpo massivo e ocorrendo o nao retorno Ha a atracdo da particula sem colisdo com o corpo massivo até seu ponto de maxima aproximacdo com energia de movimento extra para continuar com desvio de sua trajetoria até se livrar da atracdo para nao voltar conhecido como movimento hiperbdlico A segunda situacdo fisica quando a particula possui energia mecdnica exatamente aquela do limiar de ser capturada ou seja energia mecdanica nula Sob esta condicao fisica a particula é atraida Ugepocc ccc cccccccre Emec 9 para dentro do poco gravitacional de atracdo E 0 ganhando energia de movimento porém sem mec colidir com a particula massiva sentindo um 0 K U r desvio de sua trajetoria para logo sair ejetada YE 0 do poco gravitacional por uma questdao de conservacdo da energia mecdnica sem uM retorno conhecido como movimento aa parabdlico A terceira situacdo fisica 6 quando a particula possui energia mecanica negativa ficando capturada pois a energia de movimento é menor que a energia da atracdo pelo poco de potencial Se a particula ndo estiver em rota de 274 colisdo com a particula massiva ela permanecera dando voltas em torno dela com trajetdrias de formato eliptico A particula ndo tem energia de movimento suficiente para vencer a atracgdo pelo poco de potencial havendo maxima aproximacao ou periélio e maximo afastamento ou afélio conhecido como movimento eliptico Por outro lado quando a particula ja esta presa no poco de potencial ou seja a energia de movimento seja bem inferior em valor absoluto comparativamente a energia do poco de potencial ha situagdes que podem também acontecer caso seja fornecido energia extra a particula de escapar dessa prisdo gravitacional De acordo com a quantidade de energia fornecida a particula lancada da superficie da Terra pode evidenciar trés situagdes escapar do poco gravitacional da Terra e ter ainda energia suficiente para continuar seu afastamento e nunca mais voltar escapar do poco gravitacional da Terra e nado ter energia de movimento no seu maximo afastamento e por ultimo nado conseguir escapar do poco de potencial e retornar inexoravelmente a Terra Exercicio 11 Considere um objeto por exemplo um satélite artificial de massa mg que deve ser langado na direcado vertical para fora da superficie terrestre com uma velocidade inicial de modo a vencer a energia do poco gravitacional criado pela massa da Terra M 6 x 102kg Qual deve ser a velocidade minima do objeto para que possa escapar da atracdo gravitacional da Terra Neste caso o satélite artificial assume o papel da particula massa reduzida mp p enquanto que o planeta Terra assume a fungdo de ser a particula Centro de massa Mr M Como o movimento 6 na direcdo vertical ou seja na perspectiva global na direcdo radial a energia mecdnica 6 composta de dois termos um cinético radial e o outro gravitacional pois ndo ha a componente associada ao momento angular do objeto Leoe 0 Além disso 0 objeto deve iniciar o movimento desde a superficie da Terra r Rr 64 X 10m com certa velocidade minima de escape V para 0 mesmo nao retorne a Terra r ou seja solicitase a velocidade de escape com energia mecanica nula Ej ec 0 2 p2 Mrmo 9 a Vose 26M 112 x 103ms 2 dt Rr dt min Rr Independentemente da massa do objeto a velocidade de escape assume 0 mesmo valor para qualquer objeto seja este grande ou pequeno em massa Certamente se o objeto ja estivesse voando ou na alta atmosfera numa altura h relativa a superficie da Terra iria requerer uma velocidade de escape menor 2GM 3 Vose 112 x 10ms Rr h Os resultados da velocidade de escape dos planetas junto com a teoria cinética dos gases explicam porque alguns planetas possuem atmosfera e outros nado Sabese que uma molécula gasosa possui uma energia cinética média que depende com sua temperatura Por tanto as moléculas na atmosfera que possuem maior massa tais como oxigénio e nitrogénio tem menores velocidades podendo sua velocidade média nado ultrapassar a velocidade de escape do planeta e permanecendo elas retidas em boas quantidades na atmosfera No entanto moléculas mais leves tais como hidrogénio e hélio podem alcancar velocidades maiores podendo ser maior que a velocidade de escape do planeta e escapando na sua grande maioria 275 da atmosfera Este mecanismo explica por que a Terra nado retém moléculas de hidrogénio e hélio na sua atmosfera enquanto que as moléculas tais como oxigénio e nitrogénio ndo escapam PROVA DAS LEIS DE KEPLER LEI DAS ORBITAS A partir das Leis de Newton derivouse as Leis de conservacdo da Energia mecanica e da quantidade de momento angular pois a forca gravitacional 6 uma entidade fisica vetorial conservativa e de carater centripeta Para encontrar a parametrizacao da trajetoria descrita pelo planeta em termos das coordenadas polares r podese fazer uso da equacdo da energia mecdnica para extrair o mddulo da velocidade radial 2 2 2E 2GM 1 Leoe dr 2E 2GM 1 Leoe i dt mM r r7 us dt mM r r7 us Como o corpo celeste mostra aproximacao radial ao centro de massa junto com o deslocamento angular em torno do centro de massa ha uma evidente dependéncia do mddulo da posigdo com o angulo de giro r Ao invés de encontrar a forma fundo temporal do mddulo da posicdo é conveniente derivar a forma funcional angular da posicdo Para tanto procedese a derivacdo da posicao relativa ao angulo no intuito de deduzir a fungdo que vincula ambas as coordenadas polares incluindo para tanto as definicdes da energia mecanica e do momento angular dr drat ee do dry Z2 tary S I j J dp dtdp dt lat a Fla 4escalal L dr ag leod br 2 2E 26M 1 Eroe u ro r 5 o Vero ur 2 2 2E fee poe pte H Z coel Hr Etoe dr SSMS 2 2 2 e 7 30 2 2 r 4 Leotl LU Ltoel Ltoe Ha um paradmetro muito importante na mecdanica de corpos celestes chamado semilactus rectum A que deve ser introduzido o qual é definido como a distancia entre o foco e um ponto da orbita obtida a partir da direcdo perpendicular ao semieixo maior da orbita Este parametro é proporcional ao quadrado do mddulo do vetor momento angular que por sua vez caracteriza o movimento do corpo celeste 2 4 Leeoe GM 276 dr dr p T oS 1 2uUE 1 1 1 2uUE 1 1 2 J244H j2 2 EE 92 2 r peo i r Bled 2m i Ltoe Ltoe Definindo o parametro adimensional chamado de excentricidade e cujo valor ira definir 0 tipo de cénica especifica descrita pelo corpo celeste A excentricidade principalmente depende da energia mecanica e do momento angular do movimento do corpo celeste 2uUE se e 14 2 Eeoel Hoe er 14 2a A e Ir Fazendo a substituido 1 fC dr xC1 e dxz det go cos x er V1x 90s t1 cos er 9 oe T 1 ecosp 2 ou r ya level GMu 1 ecosg Exercicio 12 A excentricidade 6 um pardmetro que depende tanto do momento angular total Zeotl como da energia mecanica total E do sistema binario formado por duas particulas cujo movimento descrito no centro de massa do conjunto pela funcdo rp A1 ecosg1 72 na qual a excentricidade é definida como e 1 2uELeot A eo parametro semilactus 2 rectum é definido como A Lrot GMu Mostre que o valor da energia mecanica condiciona 0 tipo de movimento A funcdo r corresponde a descrido de qualquer das trés possiveis orbitas hiperbolicas parabdlicas e elipticas pois depende explicitamente do valor da excentricidade da trajetoria As trés possiveis Orbitas podem ser identificadas de acordo com o valor assumido pela excentricidade a qual sempre é positiva e 0 md 2 2 Se 1 2uELeoc A21 2uELroe 22 0 a E 0 hiperbdlico 1215 5s 2 Parabola Hipérbole Se J12uELeoe A1 2wELyo 42 0 E0parabblico 277 2 2 Se 0 4 2uELrot A21 3 1 2uELiot A 0 2 Zeot oa E 0 eliptico 2u Exercicio 13 Entre as possiveis 6érbitas evidenciadas por uma particula massa reduzida relativo ao centro de massa de acordo com o valor positivo ou negativo da energia mecanica a Orbita mais simples é a circular na qual a sua excentricidade é nula Sob esta suposicdo mostre que o parametro semilactus rectum A assume o raio de curvatura da Orbita circular Utilizaando a formula de parametrizacdo da trajetoria da particula massa reduzida em coordenadas polares podese encontrar a definicdo do raio de curvatura da Orbita circular 2 R limrg lim 4 RA roe 30 e301 ecos GM Exercicio 14 Visto que o valor da excentricidade do movimento depende da energia mecdanica e do momento angular e considerando uma excentricidade nula e 0 ou seja um movimento orbital circular com o parametro semilactus rectum igual ao raio de curvatura A R mostre que a energia mecanica é a metade do valor da energia potencial gravitacional Encontre uma relacdo entre a energia cinética e o momento angular para Orbitas circulares 2uE Ero 1 GMu2R 1 e lt Gi0 B a Gq Ltoe M M 1GuM EFE ian 0 2 R Além disso podese se calcular a energia cinética rotacional visto que ndo ha energia cinética radial no movimento orbital circular pat dr 4 u Leot Me K Leoe 2 dt 2R2 u R rot 2uR2 a 0 Exercicio 15 Visto que sao obtidas Orbitas elipticas quando a excentricidade assume valores menores que um 0 e 1 encontre a formulacdo dos pardmetros da elipse comprimentos dos semieixos maior a e menor b da elipse e a distancia do foco f ao centro da elipse Analisando e manipulando a equacdo paramétrica do movimento orbital eliptico o comprimento do semieixo maior a 6 a metade da soma das distancias do afélio maximo afastamento do centro de massa rzz e do periélio minimo afastamento do centro de massa r0 relativo ao centro de massa que fica num dos focos da elipse 2 1 r0 A A A armr a 1e ite 1 e A distancia focal f 6 a metade da diferenga entre as distancias do afélio e do periélio relativas ao centro de massa que fica num dos focos da elipse 2f rxr0 f ae rmr 1e 1e 278 7 i s A o 1 a i o OXF Fe costo 8 4 fo a 1 Oe F 5 2 f ae I m A Leoe i 14 GMu2 Ses frp meee 4 oma Foc fF ga A epee 1e L A determinacdo do comprimento do semieixo menor b pode ser obtida relacionando os modulos dos vetores posicdo relativo ao centro da elipse O e a um dos focos F GOft7ro or4 ae 2aercosy Ha um angulo polar especifico no qual temse a condiao o b permitindo encontrar a relagdo do Teorema de Pitdgoras ry b ae 2ea71 e cosg A b2 b 2ae 5 cosge 1rya 1ecosg Pb 1e2 baVv1e Em termos dos semieixos maior e menor da elipse podese definir a excentricidade do movimento orbital eliptico como b2 e 1 a Na realidade a trajetoria eliptica do corpo celeste pode se pensar como a mesma estando inscrita dentro de um circulo de raio igual ao comprimento do semieixo maior da elipse além de um circulo de raio igual ao comprimento do semieixo menor estando inscrito nela Isto tem suas vantagens quando se é requerida uma descrigdo mais simples do movimento orbital do corpo celeste relativo ao centro da elipse ao invés do foco da elipse Na mecAnica celeste ha dois parametros angulares importantes utilizados no calculo da posido de um corpo em orbitas elfpticas um deles é a Anomalia verdadeira que é 0 angulo que faz o vetor posicdo do corpo relativo ao ponto focal da 6rbita com o eixo maior da elipse e o outro é a Anomalia excéntrica que é o angulo 7 que faz o vetor posicdo com comprimento igual ao semieixo maior da elipse relativo ao centro da elipse cuja componente perpendicular ao eixo maior da elipse intercepta a Orbita eliptica na posicdo do corpo celeste 279 Exercicio 16 Tendo como marco de referéncia o centro da elipse relativo ao qual definese o dangulo de Anomalia excéntrica 0 encontre as coordenadas cartesianas da posicdo Oe yen ES da particula na Orbita eliptica além de Uo os s 7 cg encontrar a forma paramétrica da B ir Q elipse em coordenadas cartesianas I ll 9 gp So No referencial centro da elipse as Ot sow xacosd coordenadas de posiao x9 y Foy da particula massa reduzida ao longo SO f ae a da oOrbita eliptica podem ser S oc interpretadas como 5 ON ae a Projecdo do vetor semieixo maior G4 x9i ayj no eixo x b Projecdo do vetor semieixo menor b by yOf no eixo y x9 atacosv e TT a y0 bfbsind Fazendo a normalizagdo destas coordenadas x e y pelo comprimento dos semieixos maior e menor respectivamente encontrase a equacdo da elipse em coordenadas cartesianas x 0 xO yO cos e sind 1 a b a b Exercicio 17 Ao invés de formular a parametrizacdo da posicdo do corpo celeste ou particula massa reduzida em termos das coordenadas polares 7 que inclui a distancia da particula ao centro de massa que depende do angulo chamado de Anomalia verdadeira escreva a formula da parametrizacgdo da posicdo do corpo celeste utilizando o angulo da Anomalia excéntrica 0 que permita caracterizar o médulo do vetor posicdo de forma equivalente 79 f xt yj ale cosiay1esindf r7979 a71 ecosvd 7rd all1ecosv Exercicio 18 Considere quatro satélites artificiais de massas reduzidas idénticas u Uy Hz U4 LL e iguais momentos angulares Lrotl relativos ao centro de massa do planeta Terra com energias mecdanicas positivas e negativas Os satélites estado realizando suas aproximacg6ées ao planeta Terra em Orbitas hiperbdlica e 1 parabdlica e 1 eliptica 0 e3 1 e circular e 0 Mostre que entre os pontos do semilactus rectum e o periélio a distancia de aproximacdo ao planeta Terra 6 a menor possivel encontrada na Orbita hiperbolica seguida da parabdlica eliptica e finalmente a circular Quanto é a minima distancia entre as quatro particulas quando passam pelo periélio com energia mecanica duas vezes o valor absoluto da energia potencial gravitacional 280 Utilizando a relacdo de comparacao entre os quatro valores de excentricidade correspondentes as Orbitas hiperbolica parabdlica eliptica e circular e considerando as mesmas posicdes angulares entre os pontos da Orbita correspondentes ao semilactus rectum A 2 Leot GM1 o qual o mesmo para as quatro satélites e ao periélio C g 0 parao qual cos g 0 encontrase a seguinte relacao ey ep e3 eg 7 1tecosp1ecosp 1e3cosp 1ecosp a A A a Se F 1ecosg 1ecosp 1e3cosp 1ecose 19 m9 9 n Na posigdo do periélio o Angulo Anomalia verdadeira corresponde ao valor nulo p O ea velocidade radial 6 nula por estar na minima aproximacdo na qual a energia mecanica possui uma componente associada ao momento angular e a outra sendo a energia potencial gravitacional M Ecol M Eeoel E 2g a gat 6GMTmin Tmin 2 nin u Tmin u 2 7 11 Ibeol A mn 6GM u 6 Exercicio 19 Considere duas particulas massa reduzida orbitando o Sol com a primeira fazendo uma Orbita circular de raio R e a segunda fazendo uma Orbita eliptica de excentricidade e 12 Foi observado que a primeira particula possui um comprimento semilactus rectum menor em quatro quintos do valor para a segunda particula A R A2 Qual a posicdo angular do ponto de intersecdo entre ambas as Orbitas circular e eliptica Impondo a condicdo de intersecdo podese deixar em evidéncia o angulo Anomalia verdadeira para o qual isto ocorre Se ny n29 1 e r r SF 1 a 1ecosg 1ecosp Sabendo que e 0 ee 12 para as Orbitas circulares e elipticas respectivamente encontrase que Ay Ay 1 cos 224 5 gy60 p a 2 Q Il LEI DAS AREAS Além do mais no plano da 6rbita um segmento diferencial da area é definido pelo produto vetorial do vetor posicdo 7 e do vetor velocidade orbital d7dt cuja integracdo fornece a area de um setor do plano da orbita além de provar a LEI DAS AREAS proposta por Kepler ii xd réxdrérdgt r2dpZ Leor it 2 2 2 Qu Leot f AA dt 2u tj 281 Ltot mt At AA 2u Podese estender este resultado para relacionar o periodo da orbita quando é calculada a area total da elipse Os semieixos maior a e menor b da elipse estado relacionados com a excentricidade da elipse b av1 e2 além do mais A a1 e2 Além disso area total da elipse é proporcional ao produto dos semieixos maior e menor Aelipse Tab nay1e ny Aa Ill LE1 DOS PERIODOS Substituindo na Lei das Areas considerando uma revolucdo completa do planeta o qual requer de um periodo T provase a LE DOS PERIODOS Aetipse My Aa beotl 5 elipse 2u 2 22 22 Pa Anu 102 An Leot a 2 2 GM leroe leroe 2 2 oo 72 ase g Le GM Gm mz Caso de orbitas circulares Neste caso o médulo do vetor posicao 7t R é invariante com o tempo isto é qualquer ponto da trajetoria ao centro de massa mantem a mesma distancia a equacdo diferencial ordinaria se reduz a forma simples do movimento harmG6nico dr GM GM at Fs r0 t Rcoswtisinwtj onde w Re Do movimento orbital pode se afirmar que existe um tempo minimo necessario ndo nulo de modo a particula voltar a passar pela mesma posicdo na orbita chamado de periodo orbital Entdo a solucdo da equacado do movimento deve satisfazer a condicdo harmonica 7t T 7t Desta condicao fisica derivase uma relacao entre a frequéncia angular w do movimento circular e o periodo da orbita T wT 27 provandose por tanto a Lei dos periodos de Kepler para Orbitas circulares r 20 3 R3 7 An R3 Tw w GM GM Exercicio 20 Um satélite esta numa orbita circular em torno de um planeta de raio R Se a altitude do satélite é h e seu periodo é T a mostre que a densidade do planeta é 370 1 l PGT2R 282 A partir da Lei dos Periodos de Kepler podese encontrar uma relacdo da massa do planeta o qual orbita o satélite sendo o raio da orbita circular R h ra len m Rens GM GT Normalizando pelo volume de um planeta simetricamente esférico V R encontrase a densidade do planeta An 3 M lara R h 37 1 ny Pey 4p GT RR 3 Exercicio 21 Para uma particula massa reduzida em orbita circular em torno do centro de massa de um sistema binario de massa total M prove que a A energia total da particula é a metade da energia potencial associada a Orbita b A velocidade da particula é inversamente proporcional a raiz quadrada do raio da Orbita A partir da Lei da gravitacdo e da segunda lei de Newton é encontrada a EDO que descreve o movimento orbital dr dp uM r rGr0 u oe a r Porém para Orbitas circulares ndo ha mudanca temporal do mddulo do vetor raio da Orbita pois ela é invaridvel durante a orbita circular Apenas acontece a variacdo temporal da direcdo do vetor raio da érbita que ira gerar a velocidade tangente a orbita v vé R a 0 To e o dt Além de haver uma relacdo vetorial entre a velocidade orbital e a velocidade angular no movimento circular dp v DxXR w dt R Substituindo na EDO do movimento orbital dp uM v2 GM GM r G770 v B dt R2 R R3 v R A energia cinética e a energia mecanica da particula massa reduzida sao por tanto 2 pv EM uM EM K G6 EKU0 GG 2 2R 9 2R R E G uy U 2R 29 Exercicio 22 Um satélite 6 colocado numa 6rbita em torno do planeta Terra cujo periodo seja igual ao de rotacdo da mesma isto é sincrono Calcule a altitude da orbita do satélite em termos da massa do planeta Terra e do seu raio 283 A partir da Lei dos periodos de Kepler para orbitas circulares podese determinar a altitude do satélite 72 4 e n no OMT ep GM 4n O periodo de rotacdo do planeta Terraé T 24 X 3600 s 864005 amassadaTerraéM 6 x 1024 kg eo raio do planeta é R 64 x 10m h 36000 km 284