Descrição do Movimento Não Linear

DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO NÃO LINEAR Prof Dr Fernando Rodolfo Espinoza Quiñones Disciplina Física Geral Experimental II Curso Engenharia Química Ano Letivo 2022 Introdução à mecânica de rotações O movimento de um sistema de partículas ou corpo físico quando visto como um todo aparenta ser complexo pois há uma combinação de movimentos específicos que surgem devido à possibilidade do corpo ter a liberdade de se mover fazendo deslocamento lineares eou curvilíneos O espaço no qual transcorre o movimento muitas vezes condiciona ao surgimento de movimentos curvilíneos de corpos físicos Pode se pensar que é o entorno do corpo tanto o espaço como a matéria influenciam os graus de liberdade que possa ter o corpo Por exemplo o planeta Terra devido a sua massa cria no seu entorno o que chamamos de Gravidade que influencia a todo corpo físico com massa a seguir a melhor trajetória ou o caminho nesse espaço a linha reta que une o centro de massa do corpo e o centro de massa do planeta com a tendência ou aparentemente de estar caindo para o centro de massa da Terra Outro exemplo corpos físicos que entram perpendicularmente ao campo de Gravidade da Terra podem ficar presos se a energia cinética deles for menor que a energia de atração gravitacional obrigandoos a ficarem em orbita e circulando o planeta com aceleração centrífuga que compensa a força de queda devido à gravidade Exemplo Satélites natural ou artificiais Center of gravity of the EarthMoon system No Universo tudo está em movimento e a descrição física deste ou parte deste pode estar a depender ou não do referencial escolhido para destacar parte do movimento ou uma das componentes do movimento No ponto de vista de um Observador no Centro de Massa da Terra por exemplo na descrição da queda livre de um corpo físico com massa o corpo sente uma força inercial de cair em linha reta para o Centro de massa do sistema pelo efeito que a gravidade causa ao espaço pela presença da massa A força de gravidade é uma força natural cuja existência não está a depender do referencial de observação Se um corpo estiver por exemplo a circumnavegar o planeta mantendo uma altura constante à superfície do planeta há o surgimento de outras forças não inerciais percebidas por um Observador na superfície da Terra enquanto ele gira junto com a Terra que irão se juntar na descrição do movimento completo As forças nãoinerciais são todas aquelas que existem ou se manifestam pela escolha do referencial de observação Assim por exemplo o planeta Terra aparenta estar em repouso movimento relativo pois o efeito da rotação do próprio planeta é quase imperceptível ou desprezível à escala de tempo distâncias e velocidades muito pequenas Este fato torna a superfície da terra como um Referencial Quaseinercial efeito da rotação desprezível Referenciais INERCIAIS isento de forças Referenciais NÃOINERCIAIS sob efeito de forças Descrição do movimento de um corpo Muitas vezes a análise ou descrição do movimento de um corpo no contexto das leis da mecânica é feita de forma a tornar o movimento geral com certo número de graus de liberdade como uma composição de movimentos relativos aos graus de liberdade do próprio corpo isto é simplificandoo por equivalência física Ao ir ao encontro da simplicidade a análise do movimento tornase mais resumida e enxuta por exemplo em cada dimensão espacial ou grau de liberdade preservando o conjunto de vínculos por exemplo relações cinemáticas eou dinâmicas entre os movimentos componentes para poder posteriormente unificá los Assim por exemplo o movimento de translação do sistema TerraLua entorno do Sol pode ser analisado ao descrever o ponto representativo do sistema TerraLua o Centro de massa do conjunto porém ao desejar a adição do movimento interno do sistema TerraLua é bem possível que se use o referencial Centro de massa para descrever as rotações destes corpos em torno do Centro de massa do conjunto A seguir pode se utilizar do referencial Centro de massa do planeta Terra para descrever o seu próprio movimento de rotação além de descrever qualquer outro corpo com movimento à superfície do planeta cuja descrição venha a depender da rotação do planeta Earth Moon One lunar month Trajectory of the EarthMoon center of gravity Referencial Inercial 𝑟 𝐶𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 Referencial do Corpo Trajetória do CM 𝑥 𝑦 𝑧 Descrição no referencial do Corpo Relações cinemáticas de FrenetSerret Vetor TANGENTE unitário A descrição física da trajetória da partícula representativa Centro de Massa de um corpo pode ser feita aplicando o operador derivada sobre o vetor POSIÇÃO do CM cujo efeito é fornecer o vetor TANGENTE à trajetória Para desenhar o REFERENCIAL do CORPO é conveniente definir três vetores unitários e mutuamente ortogonais entre si Um destes vetores é o vetor TANGENTE à trajetória O vetor velocidade da partícula CM é tangente à trajetória cujo módulo é proporcional ao comprimento de arco Normalizando o vetor velocidade pelo seu módulo encontra se a definição do vetor TANGENTE unitário Exemplo 1 Descreva vetorialmente o movimento circular de uma partícula que gira em torno de um eixo que passa pelo centro de curvatura e encontre o vetor TANGENTE unitário i Utilizando coordenadas polares é possível decompor o vetor posição em termos da variável angular mantendo fixo a distância da partícula ao centro de giro ii Calculando o vetor velocidade iii Extraindo o módulo do vetor velocidade e o diferencial de arco iv Vetor TANGENTE unitário cos 𝜃 𝑗 sin 𝜃 𝑖 cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 𝑗 𝑟 𝑅cos 𝜃 𝑖sin 𝜃 𝑗 𝑅cos 𝜃 𝑖 𝑅sin 𝜃 𝑗 𝑟 𝑇sin𝜃 𝑖cos 𝜃 𝑗 𝑑𝑟𝑅𝑑 𝜃 sin 𝜃 𝑖cos 𝜃 𝑗 𝑅𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝜃 𝑥 𝑦 𝑑𝑠𝑅𝑑 𝜃 𝑣𝑑 𝑟 𝑑𝑡 𝑅 𝑑 𝑑𝑡 cos 𝜃 𝑖sin 𝜃 𝑗 𝑅𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑇 Ao longo da trajetória de uma partícula a cada diferencial de tempo a partícula irá percorrer uma distância denominada de diferencial de arco O diferencial de arco é o módulo do diferencial do vetor posição Na descrição completa de um vetor quaisquer é requerida uma base de vetores unitários e ortogonais Módulo Vetor unitário Há operadores vetoriais que permitem testar a qualidade de vetores e suas relações Produto escalar Produto vetorial Vetor TANGENTE unitário Exemplo 2 O cálculo vetorial permite definir o vetor normal a um plano quaisquer via o produto vetorial de dois vetores quaisquer que pertencem ao plano No contexto do produto vetorial encontre ou defina o vetor normal ao plano em termos do produto vetorial dos vetores posição e momentum linear que caracterizam o movimento circular Definindo o vetor velocidade angular ou de giro Vetor NORMAL unitário Se continuarmos derivando o próximo vetor cinemático a definir é o vetor aceleração da partícula CM Contudo o vetor aceleração pode estar contido num plano específico que contem o vetor TANGENTE unitário e talvez um segundo vetor unitário Pode se indagar sobre a ortogonalidade entre os vetores e utilizando o conceito de vetor unitário e sua derivada respectiva Podese definir então o vetor NORMAL à trajetória como sendo proporcional ao diferencial do vetor TANGENTE unitário Logo outra forma de descrever a aceleração é Definindo o vetor NORMAL unitário 𝑑𝑇 𝑇 Exemplo 3 Analise o vetor aceleração linear no contexto do movimento circular da partícula Centro de massa com raio de curvatura Encontre as duas componentes mutuamente ortogonais do vetor aceleração e quais direções elas se fazem evidentes no movimento circular em termos dos vetores TANGENCIAL unitário e NORMAL unitário Vetor posição Vetor velocidade Vetor aceleração 𝑇 𝑁 𝑎 𝑎𝑇𝑟 𝑑 𝜔 𝑑𝑡 𝑇 𝑎 𝑁𝑟 𝜔2 𝑁 Vetor BINORMAL unitário Percebese que o vetor aceleração está contido no plano definido pelos vetores TANGENTE e NORMAL em cada ponto da trajetória curvilínea porém a evolução da posição da partícula pode estar se desenhando sobre uma superfície curvilínea 3D requerendose portanto de um terceiro vetor unitário para ampliar a base de vetores unitários ortogonais de modo a permitir as representações tanto de trajetórias como de superfícies curvilíneas Podese obter um terceiro vetor unitário e ortogonal pela aplicação do produto vetorial de dois vetores unitários e ortogonais TANGENTE e NORMAL Este terceiro vetor unitário que é normal tanto ao vetor TANGENTE como ao vetor NORMAL é conhecido como o vetor BINORMAL Neste plano de ação da aceleração o vetor NORMAL ou centrípeta representa a taxa na qual a direção tangente é curvada caracterizada pelo raio de curvatura A taxa do vetor unitário BINORMAL deverá trazer à tona a informação de quanto é deslocado o plano de ação da aceleração caracterizado pelo raio de torção FÓRMULAS DE FERRETSERRET A operação derivada do vetor unitário ortogonal NORMAL relativo ao comprimento de arco diferencial percorrido pela partícula ao longo da trajetória curvilínea transforma o vetor NORMAL em outro vetor que deverá estar contido no plano perpendicular ao vetor NORMAL ou seja àquele definido pelos vetores unitários BINORMAL e TANGENTE Exemplo 4 Uma partícula descreve uma trajetória sobre uma superfície cilíndrica avançando ao longo do eixo do cilindro a velocidade constante e gira entorno do eixo a velocidade angular constante A parametrização da trajetória helicoidal é dada pelo vetor posição Determine o raio de curvatura desta trajetória i Vetores velocidade e TANGENTE unitário ii Vetor NORMAL unitário e o raio de curvatura iii Determinando o vetor NORMAL unitário iv Determinando o vetor BINORMAL unitário v Determinando o raio de torsão Exemplo 5 A trajetória curvilínea da partícula Centro de massa é parametrizada pelo seu vetor posição cujas componentes são funções do tempo Determine os raios de curvatura e de torsão i Definindo o vetor TANGENTE unitário à trajetória ii Determinando o raio de curvatura Efeitos não inerciais na descrição dinâmica Na descrição do movimento de um sistema de partículasfísicas ou corpo é necessário definir um bom observador de referência Como bons observadores de referência escolhemse aqueles onde as Leis da mecânica são válidas isto é a descrição mecânica de qualquer fenômeno físico não dependa do referencial escolhido ou seja as leis da mecânica são invariantes Tais sistemas de referências são chamados de inerciais No entanto entre os observadores de referência surgem também aqueles que não estão isentos de acelerações que por sua vez não permitiria a descrição de sistemas físicos em equilíbrio de forças além de efeitos fictícios no movimento hão de surgir pelo fato de estar sob efeitos de acelerações O planeta Terra é um destes referenciais não inerciais pois a própria rotação do planeta faz que qualquer observador na sua superfície evidencie artefatos cinemáticos não inerciais tais como acelerações centrifuga e de Coriolis que não são esperados a ocorrer num referencial inercial REFERENCIAL NÃO INERCIAL Considerese dois referenciais um deles no Centro de massa da Terra e o outro na superfície da Terra O movimento de uma partícula fundamental ou representativa é descrita ou parametrizada pelos vetores posição um deles relativo a e o outro relativo a Há duas bases de vetores unitários uma atrelada ao referencial e invariante no tempo e outra atrelada ao referencial cujas orientações mudam no tempo pois o conjunto acompanha o movimento de rotação da Terra caracterizada pelo vetor velocidade angular mantendo a suas unitariedade e ortogonalidade entre si A descrição do vetor VELOCIDADE pode ser apresentada de forma diferenciada pelo fato da base de vetores no referencial são variáveis no tempo enquanto a outra base de vetores no referencial ser invariante Operador derivada num referencial não Inercial HIPÓTESE Quando se assume que o referencial é não inercial o operador derivada é definido de forma diferente daquele comumente empregado em referenciais inerciais Analisemos como muda o operador derivada quando o referencial gira em torno de um eixo definido por Há a seguinte condição física cada vetor unitário e ortogonal que compõe a base de vetores atrelada ao referencial sob rotação muda a sua direção pois o conjunto gira em torno deste eixo O cálculo do vetor velocidade no referencial foi ampliado a conter o efeito de rotação de cada vetor unitário e ortogonal Diferencial de arco e o velocidade do vetor unitário da base Parâmetros cinemáticos em referenciais não inerciais Supondo que as origens de coordenadas de ambos os referencias inercial e nãoinercial isto é os vetores velocidades relativas aos referencia inercial e nãoinercial são claramente diferentes Derivar em referenciais não inerciais faz introduzir artefatos que acusam o fato de o próprio referencial girar Ao expandir este operador derivada no cálculo do vetor aceleração podese constatar contribuições não inerciais à aceleração própria de uma partícula física Isto conduz a incorporar duas componentes à aceleração medida no referencial não inercial Vetor aceleração de CORIOLIS Vetor aceleração CENTRÍFIGO Considerações cinemáticas Observadores de referência não inercial perceberiam os efeitos cinemáticos rotacionais como se fossem aparentemente reais à luz das evidências experimentais e considerados na determinação dos parâmetros cinéticos da partícula Em outras palavras a análise cinemática tornase mais complexa pela não escolha de um referencial verdadeiramente inercial Assim alguns exemplos da presença desses artefatos cinemáticos rotacionais criados pelo efeito de rotação do planeta Terra são vistos na atmosfera na qual correntes de ar são empurrados transversalmente pela força de Coriolis dando origem aos FURACÕES A aceleração de Coriolis se faz presente também no Lançamento balístico de projéteis desviandoos transversalmente da direção dos alvos quando estes estão a longas distâncias Objetos em Queda livre que deveriam cair em linha reta ao longo do raio da Terra são desviados lateralmente devido à força de Coriolis Sistema de partículas sob rotação no referencial CM A rotação de um sistema de partículas é um movimento coletivo de partículas que todas giram com a mesma velocidade angular em torno de um eixo específico que geralmente passa pela posição da partícula Centro de massa CM Neste caso podemos dizer que o movimento de rotação é a soma de suas contribuições dinâmicas que cada partícula dentro do sistema experimenta ao girar de forma coletiva no contexto da 1ª ou 2ª Leis de Newton Para caracterizar de forma dinâmica o movimento de rotação é preciso transformar o vetor momento linear da coletividade num equivalente dinâmico rotacional quando se fixa como eixo de rotação como aquele que passa pelo ponto de referência inercial chamado de Centro de massa 𝜔 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑟 𝑖 𝑣𝑖 𝑑𝑠𝑖 𝑑𝑡 𝑇 𝑖 𝑑𝜃 𝛼𝑖 𝐶𝑀 Diferencial de arco e velocidade tangencial Relação entre as VELOCIDADES TANGENCIAL ANGULAR Descrições vetoriais de ambas as VELOCIDADES TANGENCIAL ANGULAR de cada partícula em torno de um eixo que passa pela partícula Centro de massa i Vetores posição e raio de curvatura ii Vetor velocidade tangencial iii Transformação Aplicase o momentum do vetor velocidade 𝐶𝑀 𝑟𝑖𝑧𝑖𝜌𝑖 𝑧𝑖𝑧𝑖𝐵 𝜌𝑖𝜌 𝑖 𝑁 𝑖 𝑣𝑖𝜔 𝜌 𝑖𝑇 𝑖 𝜔𝜔𝐵 𝛼 𝑖 𝑇 𝑖 𝑁𝑖 𝐵 Relação entre as ACELERAÇÕES LINEAR ANGULAR Descrições vetoriais de ambas as ACELERAÇÕES LINEAR ANGULAR i Vetor velocidade tangencial ii Vetor aceleração linear iii Transformação Aplicase o momentum do vetor aceleração linear 𝐶𝑀 𝑟𝑖𝑧𝑖𝜌𝑖 𝑧𝑖𝑧𝑖𝐵 𝜌𝑖𝜌 𝑖 𝑁 𝑖 𝑣𝑖𝜔 𝜌 𝑖𝑇 𝑖 𝜔𝜔𝐵 𝛼 𝑖 𝑎𝑖 𝛼𝛼 𝐵 𝑇 𝑖 𝑁𝑖 𝐵 DINÂMICA ROTACIONAL Prof Dr Fernando Rodolfo Espinoza Quiñones Disciplina Física Geral Experimental II Curso Engenharia Química Ano Letivo 2020 Considerações físicas No estudo do MOVIMENTO ROTACIONAL de um sistema de partículas é interessante fazer algumas observações pertinentes às características físicas do corpo formado por inúmeras partículas Muitas vezes o corpo físico é caracterizado como RÍGIDO quando a distância entre as partículas constituintes é invariante quando se gira o corpo cujo efeito seria deformálo se as ligações entre as partículas for muito fraca A dinâmica de um corpo rígido sob rotação se torna mais simples de descrever quando se reduz os graus de liberdade das partículas Numa perspectiva curvilínea orbita circular a análise é feita numa única dimensão curvilínea do que fazêla numa descrição linear movimento em duas dimensões o plano das órbitas Nesse contexto se houver um eixo de rotação fixo que passe pela partícula representativa Centro de massa todas as partículas constituintes tendem a se mover coletivamente fazendo cada uma delas órbitas circulares há a invariância no raio de curvatura de cada uma delas Porém os parâmetros cinéticos velocidades e acelerações lineares limitam a maior abrangência à análise precisando por tanto levar em conta a inércia de cada partícula do sistema cuja distribuição desta inércia no espaço irá condicionar também a resposta dinâmica O estudo dinâmica de rotações tornase mais simples quando se usa o equivalente dinâmico do momentum linear MOMENTUM ANGULAR para se ter uma perspectiva de análise coletiva e mais simples do que uma análise individual das N ou inúmeras partículas do sistema físico sob rotação O Momentum Angular i Descrição matemática das velocidades linear e angular Estas duas descrições cinemáticas podem ser reescritas a se tornarem dinâmicas com a introdução da massa inercial de cada partícula e definição do momentum linear Porém na perspectiva curvilínea e coletiva percebese maior simplicidade na descrição dinâmica via uma transformação de o momentum linear para o angular Onde definese o MOMENTUM ANGULAR No contexto dinâmico o MOMENTUM LINEAR é o parâmetro físico essencial para descrever analisar a evolução e previsão de estados de movimentos lineares de sistemas de partículas No entanto quando há a mudança de movimentos lineares para curvilíneos por exemplo o movimento circular é necessário fazer a conversão do parâmetro físico MOMENTUM LINEAR para seu equivalente dinâmico chamado de MOMENTUM ANGULAR No movimento linear há um único grau de liberdade que possam assumir as partículas ou partícula CM porém no movimento curvilíneo se incrementa os graus de liberdade e tornase mais complexo Via uma transformação chamada de Momentum reduzse os graus de liberdade da análise dinâmica de dois descrição dinâmica no plano da órbita para uma dimensão descrição no eixo da órbita MOVIMENTO ANGULAR DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS O efeito inercial da coletividade está expressa pela superposição ou aditividade de um parâmetro físico que carrega a informação da distribuição espacial da inércia de cada partícula chamado de MOMENTO DE INÉRCIA Na ROTAÇÃO do sistema de partículas ou órbita circular de cada uma delas o importante é ressaltar o RAIO DE CURVATURA porém de forma quadrática pois nesse contexto se torna relevante a descrição da coletividade O Movimento geral de um Corpo Rígido sistema de partículas é decomposto e descrito parte dele como de TRANSLAÇÃO feita pela análise da partícula CENTRO DE MASSA e a outra parte como de ROTAÇÃO feito pela análise relativa ao eixo que passa pelo Centro de massa A rotação é um fenômeno coletivo pois todas as partículas giram em torno do eixo em comum com a mesma velocidade angular Essa coletividade da rotação é mais simples de ser estudada ou analisada quando se usa o MOMENTUM ANGULAR total para englobar as contribuições individuais 𝜌3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣3 𝜔𝜌3 𝜔 𝑉 𝐶𝑀 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑣1 𝜔𝜌 1 𝑣2 𝜔𝜌 2 ℒ𝑠𝑖𝑠 𝐼 𝑠𝑖𝑠 𝜔 𝐼 𝑠𝑖𝑠𝑚1𝜌1 2𝑚2𝜌 2 2𝑚3𝜌 3 2 𝜌1 𝜌2 𝐸𝑖𝑥𝑜𝑑𝑒𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑅𝐶𝑀 Momentum angular momento de inércia EXEMPLO 6 Encontre o Momentum angular de uma molécula de água que gira naturalmente em torno de seu centro de massa que se encontra localizado na posição como mostrado na figura i Raio de curvatura de cada partícula ii Momento de Inércia da molécula 𝐶𝑀 iii Momentum Angular da molécula MOMENTO DE INÉRCIA para um sistema contínuo de partículas No limite quando os elementos de massa se tornam diferenciais de massa e o raio de curvatura Usando o conceito de densidade O Momento de Inércia definido para um sistema discreto de N partículas pode ser ampliado no contexto de se ter inúmeras partícula Um sistema contínuo pode ser particionado em um número finito de elementos de massa onde cujo centro é representado por uma partícula centro de massa e esta por sua vez possui raio de curvatura ou distância ao eixo de rotação invariável no tempo MOMENTO DE INÉRCIA EXEMPLO 6 Determine o MOMENTO DE INÉRCIA de uma vara de comprimento e massa total relativo ao seu centro de massa assumindo uma distribuição uniforme de sua massa ao longo de seu comprimento i Considere um elemento diferencial de massa localizado pelo seu vetor posição ou raio de curvatura relativo ao sendo cujo diferencial de momento de inércia é descrito como segue ii O momento de inercia total é a integração de seu diferencial correspondente a cada elemento de massa relativo ao CM da vara MOMENTO DE INÉRCIA EXEMPLO 7 Determine o Momento de inércia de uma vara de massa quando ela tem a possibilidade de girar em torno de um ponto qualquer ao longo de seu comprimento Assuma que a distribuição de massa é uniforme ao longo de seu comprimento Qual é o ponto para o momento de inércia ser mínimo i O eixo de giro da vara não passa necessariamente pelo seu centro de massa além de o vetor raio de curvatura de cada elemento de massa é definido 𝐶𝑀 𝑃 𝑥0 𝑥𝐿 𝜌𝑥 𝑥 𝑃 𝑖 𝑥𝑃 𝑑𝑚 𝑥 𝑑𝑥 ii Momento de inércia no ponto qualquer iii Cálculo do momento de inércia mínimo MOMENTO DE INÉRCIA EXEMPLO 8 Determine o momento de Inércia de um paralelepípedo sólido de comprimento largura e altura cuja massa total é distribuída uniformemente em todo o volume relativo ao eixo que passa pelo seu centro de massa i Assumindo que o corpo gire em torno do eixo somente há contribuição no momento de inércia devido ao vetor raio de curvatura definido no plano relativo ao eixo que passa pelo do corpo 𝑊 𝜌 2𝑥2𝑦 2 𝑑 𝐼 𝐶𝑀𝜌 2𝑑𝑚 𝐿 𝐻 𝑦 𝐶𝑀 𝑥 𝜌 𝑦 𝑥 𝑑𝑚 ii Integrando nas dimensões do paralelepípedo relativas ao MOMENTO DE INÉRCIA ii Fazendo a integração iii No caso de uma casca cilíndrica iv No caso de um cilindro sólido EXEMPLO 8 Determine o momento de Inércia de um cilindro oco de raio interno e raio externo e altura cuja massa total é distribuída uniformemente em todo o volume relativo ao eixo que passa pelo seu centro de massa i Assumindo que o corpo gire em torno do eixo somente há contribuição ao momento de inércia devido ao vetor raio de curvatura definido no plano base circular do cilindro 𝑑𝑚 𝐻 𝑅1 𝑅2 𝜑 𝜌 𝑧 𝐶𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 MOMENTO DE INÉRCIA ii Integrando iii Esfera sólida iv Casca esférica EXEMPLO 9 Determine o momento de Inércia de uma esfera oca de raio interno e raio externo cuja massa total é distribuída uniformemente em todo o volume relativo ao eixo polar que passa pelo seu centro de massa ou geométrico i Assumindo que o corpo gire em torno do eixo somente há contribuição ao momento de inércia devido ao vetor raio de curvatura definido no plano fatias circulares da esfera 𝑑𝑚𝛿𝑑𝑉 𝑅1 𝑅2 𝜑 𝜌𝑟 cos 𝜃 cos 𝜑 𝑖sin𝜑 𝑗 𝑧𝑟 sin 𝜃 𝑘 𝐶𝑀 𝑥 𝑦 𝑧 𝑟 𝜃 𝑟𝜌𝑧 𝑑𝑉𝑟 2𝑑𝑟 sin 𝜃𝑑 𝜃𝑑 𝜑