Exercício Resolvido Força de Arrasto e Ação Gravitacional Juntas

(b) Qual a velocidade terminal no campo?\nSolução:\nTomando o caso limite t → +∞ na eq. (10), obtemos:\nv_t = \\frac{\\sqrt{g}}{b} \\sqrt{v_0} \\sqrt{v_1}\n\nA raiz em cada grandeza física surge devido à dependência de um v². Porém, no caso em que a força de arrasto é somente bv, não surge a raiz quando em cada grandeza física.\n\n(c) Expanda a sua solução em série de potências de t, expandindo termos em t→t.\nSolução\nA expansão em série de Taylor será: (em torno de t=0)\nv(t) = \\left( \\frac{bv + \\sqrt{m g} \\sqrt{v_1}}{b} \\right) + \\left( \\frac{bv + \\sqrt{m g} \\sqrt{v_1}}{b} \\right) + \\left( \\frac{\\sqrt{v_1}}{2 \\sqrt{g}} \\right) + \\left( \\frac{2 \\sqrt{v_1} g}{m} \\right) t^2 \\left(\\frac{2}{21}\\right) + ...\n\nv(t) = \\left( \\frac{bv + m \\sqrt{g} \\sqrt{v_1}}{b} \\right) + \\left( \\frac{\\sqrt{m g} \\sqrt{b}}{2 \\sqrt{b}} \\right) + \\left( \\frac{b v + \\sqrt{m g} \\sqrt{b}}{m b} \\right) + + ...\n\n+ \\left( \\frac{4 b^2 v_3 + \\sqrt{m g} \\sqrt{v_3} b}{mb} \\right) \\left( \\frac{t^2}{21} \\right) + ... Assim, temos ao substituir (a) em cd):\n\\int_0^v \\frac{dv}{-g + \\frac{b}{m} v^2} = \\left[ \\frac{\\sqrt{m}}{2 \\sqrt{g}} ln \\left[ \\frac{bv - \\sqrt{m g}}{bv + \\sqrt{m g}} \\right] \\right]_0^v\n= t\n= \\frac{\\sqrt{m}}{2 \\sqrt{g}} ln \\left[ \\frac{bv - \\sqrt{m g}}{bv + \\sqrt{m g}} \\right] = t\n= ln \\left[ \\frac{bv - \\sqrt{m g}}{bv + \\sqrt{m g}} \\right] = \\frac{2 \\sqrt{b g}}{\\sqrt{m}} t\n\ndá \\left[ \\frac{bv - \\sqrt{m g} b}{bv + \\sqrt{m g}} \\right] = exp \\left( \\frac{2 \\sqrt{b g}}{\\sqrt{m}} t \\right)\n\\qquad\\;\n\\;bv - \\sqrt{m g} \\sqrt{b}/b = \\left[ b v + \\frac{m g}{b} \\right] exp \\left( \\frac{2 \\sqrt{b g}}{\\sqrt{m}} t \\right)\n\\qquad\\;\n\\;v = \\left[ \\frac{bv + \\sqrt{m g}}{b} \\right] exp \\left( \\frac{2 \\sqrt{b g}}{\\sqrt{m}} t \\right)\n\\qquad\\;\n\\;= \\left[ \\frac{bv + \\sqrt{m g}}{b} \\right] + \\left[ \\frac{2 \\sqrt{g}}{\\sqrt{m}} t \\right] + ...\n\\qquad\\;\n\\;v(t) = \\left( \\frac{bv + \\sqrt{m g} \\sqrt{b}}{b} \\right) exp \\left( \\frac{2 \\sqrt{b g}}{\\sqrt{m}} + \\frac{1}{b} \\sqrt{5} \\right) + ... (10) - Um corpo de massa m cai a partir do repouso através de um meio que exerce um arrasto (um tipo de força de atrito) expresso como -bv.\n\n(a) Encontre a sua velocidade v(t).\nSolução\nAo juntarmos força de arrasto e gravidade, temos para a força:\nF = -mg + bv² \n\nA partir da 2ª lei de Newton, obtemos a eq. de movimento:\n\\frac{dv}{dt} = -g + \\frac{b}{m} v^2\nMultiplicando ambos os lados da eq. (2) por dt, temos:\ndv = \\left( -g + \\frac{b}{m} v^2 \\right) dt\nSabemos das condições iniciais que t_0=0 e v_0=0. Então:\n\\int_0^{v} \\frac{dv}{-g + \\frac{b}{m} v^2} = \\int_0^t dk = t \\quad (\\alpha) CONT... (IV):\n\n\\[ \\int \\frac{dv}{bv - \\sqrt{g} \\sqrt{b}} \\to \\frac{1}{b} \\int \\frac{1}{u} du = \\frac{1}{b} \\ln(u) \\]\n\n\\[ \\frac{1}{b} \\ln \\left[ bv - \\sqrt{g} \\sqrt{b} \\right] \\tag{7} \\]\n\nSubstituindo (6) e (2) na (5):\n\n\\[ \\int \\frac{dv}{-g + bv^2} = \\left[ \\frac{\\sqrt{b}}{2 \\sqrt{g}} \\right] \\left[ \\ln \\left[ bv - \\sqrt{g} \\sqrt{b} \\right] \\right] - \\left[ \\frac{\\sqrt{b}}{2 \\sqrt{g}} \\right] \\frac{1}{b} \\ln \\left[ bv + \\sqrt{g} \\sqrt{b} \\right] \\]\n\n=\\[ \\frac{\\sqrt{b}}{2 \\sqrt{g}} \\left[ \\frac{1}{b} \\ln \\left[ bv - \\sqrt{g} \\sqrt{b} \\right] \\right] - \\left[ \\frac{\\sqrt{b}}{2 \\sqrt{g}} \\right] \\frac{1}{b} \\ln \\left[ bv + \\sqrt{g} \\sqrt{b} \\right] \\]\n\n\\[ = \\frac{\\left( \\frac{1}{2b \\sqrt{b}} \\right)}{\\sqrt{g}} \\left\\{ \\ln \\left[ bv - \\sqrt{g} \\sqrt{b} \\right] - \\ln \\left[ bv + \\sqrt{g} \\sqrt{b} \\right] \\right\\} \\]\n\n\\[ \\text{Como } \\ln(a) - \\ln(b) = \\ln \\left( \\frac{a}{b} \\right), \\text{v. em:} \\]\n\n\\[ \\int \\frac{dv}{-g + bv^2} = \\frac{\\left( \\frac{\\sqrt{b}}{2 \\sqrt{g}} \\right)}{b} \\left[ \\ln \\left( \\frac{bv - \\sqrt{g} \\sqrt{b}}{bv + \\sqrt{g} \\sqrt{b}} \\right) \\right] \\tag{8} \\}\n\nA parte no (8), temos no (a):\n\n\\[ \\int \\left( \\frac{dv}{\\sqrt{m} \\ln \\left[ bv - \\sqrt{g} \\sqrt{b} \\right]}\\right) \\]\n\n Avaliamos a integral (I)\n\n\\[ \\int \\frac{dv}{-gml + bv^2} = m \\left[ \\frac{1}{-g + bv^2} \\right] \\tag{4} \\]\n\n\\[ \\text{Em (II), aplica-se o método de frações parciais} \\]\n\n= \\[ -\\int\\frac{b}{-g + bv^2}dv = -\\int\\frac{(\\sqrt{g} \\sqrt{m} \\sqrt{b})-bv)(\\sqrt{g}\\sqrt{m} - b)(\\sqrt{g} \\sqrt{b} + bv)}{\\sqrt{g} \\sqrt{b} + bv} \\]\n\n=\\[ \\int \\left( \\frac{\\sqrt{b}}{2 \\sqrt{g}} \\right) dv \\]\n\n=\\[ -\\int \\frac{dv}{-g + b v^{2}}.\\right) = - \\int \\left( \\frac{b v^2 - \\sqrt{g} \\sqrt{b} v \\sqrt{m}}{2\\sqrt{g}} dv} \\right) \\]\n\n= \\[ \\int \\frac{dv}{-g+ bv^2} = -\\left[ g + bv^2 \\right]\\]\\[ = \\int \\frac{dv}{-g + bv^2} = \\left[ - \\frac{\\sqrt{g}}{2} \\right](\\sqrt{2}\\sqrt{g}+b) \\to dv - \\frac{ \\ln {} {g} + b^{2}}{2} \\]