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Mecânica Clássica ( 2019 / 1 )\nLicenciatura em Física – Bloco VII\nLista de Exercícios 1D\nData de entrega: 26 / 04 / 2019\n\n1. Uma partícula se move numa órbita circular em um campo de força definido por \nF ( r ) = k\n\n( r 2 )\n\nDemonstre que , se k diminuir repentinamente para metade de seu valor original , a órbita da partícula se torna parabólica.\n\n2. Suponha a órbita da Terra como sendo circular e que a massa do Sol se reduza subitamente a metade de seu valor. Qual será a nova órbita da Terra? A Terra escapará por o sistema solar ?\n\n3. Uma partícula P de massa m está sujeita a uma força proporcional ao inverso do cubo da distância dada por F = \nk x\n\nr 2\n\nr 3 , onde k é uma constante positiva.\n\nInicialmente P está a uma grande distância do orifício O e projeta-se perpendicular a O com velocidade v ao longo de uma reta , cuja distância perpendicular até O é\n\na . Obtenha a equação do caminho para a partícula P. Para o caso no qual v = 15 k\n\n2\n\n2 0 5\n\nf 8 .\n\nA\n\n\\n \nc . 6. De acordo com a Teoria de Yukawa para forças nucleares , a força de atração entre um nêutron e um próton está associada ao potencial :\n\nV ( r ) = \n\nK e^{- \u03B1 r}\n\nr \nK < 0\n\na ) Encontre a força , e a compare com a lei da força do inverso do quadrado da distância r .\nb ) Discuta os tipos de movimento dos quais podem ocorrer se a partícula de massa m se move sob a ação de tal força .\nc ) Encontre L e E para o movimento circular e uma trajetória de uma circunferência de raio a .\nd ) Encontre o período para o movimento circular e o período para pequenas oscilações .\n\n7. Examine o movimento de uma partícula repelida por um centro de força de acordo com a lei F ( r ) = kr . Demonstre que a órbita eventualmente poderá ser hiperbólica.\n\n8. Verifique se a Terceira Lei de Kepler é válida para órbitas elípticas . Dado que a área de uma elipse é A = \u03C0 a 2 ( 1 - e 2 ) 1 / 2 onde a é o semi-eixo maior da elipse e e é sua excentricidade .\n\n9. Uma partícula P de massa m está sob a ação de uma força atrativa proporcional ao inverso do quadrado da distância F = k m / x 2 , inicialmente P está num ponto C , distante d do ponto O , quando é projetada com velocidade \n\n( 1 / 2)\n\nna direção que faz um ângulo agudo a com linha OC . Encontre as distâncias apsidais na órbita resultante. Dado que a órbita corresponde a uma elipse com dois focos não coincide com o ponto O, encontre os semi-eixos maior e menor dessa elipse . \n\n10. Um satélite da Terra tem uma velocidade de 28700 km / h quando em seu periégeo de 220 km acima da superfície do planeta . Determine a distância ao apogeu e seu período de revolução. LISTA 1D\n\nB Solução :\n\nV ( r ) = k e^{- \u03B1 r} \u03B3 ,\nK < 0\n\n( 4 )\n\n( 9 ) Uma das definições de força conservativa é dada por:\n\nF = - \u2207 V ( r )\n\n( 2 )\n\nObserva-se que com a eq. ( 7 ) podemos determinar a força tornando o gradiente do potencial do Yukawa dado pela eq. ( 4 ) . Então, veja : \n\n- \u2207 V ( r ) = k \u2207 e^{- \u03B1 r} = K [ \n\n- e^{- \u03B1 r} \n\nk \u2212 2 \n\n] \n\n= K [ - \n\ne^{- \u03B1 r} ( -\u03B1 r - 1 ) ] \n\n= K [- \n\ne^{- \u03B1 r} ( -\u03B1 r - 1 )]\n\nC\n\n- \u2207 V ( r ) = - k e^{- \u03B1 r} \n\n( -\u03B1 r - 1 )\n\n7\n\ng\n\nK < 0 \n\n\na\n\nF = k [ e^{- \u03B1 r} \n\n( -\u03B1 r - 1 ) ]\n\n( 3 )\n\n( b ) Solução :\n\nO potencial de Yukawa é dado por :\n\nV ( t ) = k e^{- \u03B1 r} \n\n\u03B3\n\n( 4 ) a = É O RAIO DA TRAJETÓRIA. A expressão para a força associada\npotencial de Yukawa encontramos:\n\nF = k [e^{-αr} (-αr -1)]\n{r^2} (10)\n\nCOMBINANDO AS EQS. (10) E (4), TEMOS QUE:\n\nk e^{-αr} (-αr -1)/{r^2} = m r^2/a = \n{m r^2/r²} (11)\n\nr = √{ka/m r} e^{-α(r-1)}\n{(12)}\n\nSUBSTITUINDO (11) EM (8), VEM:\n\nE = 1/2 k a^2/{r^2} e^{-α(r-1)} + L^2/(2m r^2) + V(r) (23)\n\nCOMO V(r) É DADO PELA eq. (1), A SUBSTITUIMOS EM (5) E OBTEMOS:\n\nE = 1/2 {k/{2 r^2} e^{α(r-α)} + L^2/{2m r^2} + k e^{α}/r} (14)\n\nA eq. (14) AINDA PODE TOMARSE MAIS PRECISA SE DETERMINARMOS O MOMENTO ANGULAR L. O MÓDULO DO MOMENTO ANGULAR É DADO POR:\nL = m r^2 (15)\n\nSUBSTITUINDO O RESULTADO (12) NA EQ. (15), TEMOS QUE:\n\nL = m √{ka/m r} e^{-α(r-1)} (16) Então, temos:\nF = k [c e^{-α(r-1)} - (2k e^{-α(r-1)})/(2r^2)] (9)\n\nAssim:\nF = -dV/dr. \nV(0) = e^{-α/(k)}k k'. k < 0 \n\nSolução\nPara forças centrais, a expressão para a energia é definida por:\n\nE = 1/2 m r^2 \dot{θ}^2 + L^2/2 m r^2 + V(r) (8)\n\nPrecisamos de uma melhor descrição da energia. Para tanto, reescrevermos\nA eq. (8). Inicialmente, lembremos do nó da aceleração da centrípeta:\nF = m r²/a (9) Nf órbita, Ṫ=a e assim redescobrimos a eq. (26):\n\nL = m a √{[k a/m]\n{e^{-2a} (-αa -1)}^{1/2}} \n\ni.e. L = m a √{[k/m]\n{e^{-2a} (-αa -1)}^{1/2}} \n\nL = m a o e^{-a}\n{(-αa - 1)}^{1/2} (17)\n\nONDE UTILIZAMOS A DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA ANGULAR ω: \nω = √{k/m} (18)\n\nSUBSTITUINDO (17) EM (14), ENCONTRAMOS:\n\nE = 1/2 k a^2/r^2 \n{[e^{-α(r-1)}] + 1/(2π r^2) m a^2 ω^2 [e^{-α(r-1)}] + k e^{-αr}/r} (19)\n\nDA eq. (18) SABEMOS QUE \nk = ω^2 m (20)\n\nAPLICANDO (20) EM (19), OBTEMOS:\n\nE = 1/2 k a^2/r^2 \n{[e^{α(r-1)}] + 1/(2 r^2) k^2 a^2/{k^2/a} \n{e^{-α(r-a)}] + k e^{-αr}/r} (20)\n\nESSA = A EXPRESSÃO PARA A ENERGIA NO CASO AQUI TRATADO. 6 - b) solução:\n\nCont...\n\nA eq. (7) da 4.6, item b) nos permite obter o gráfico do potencial:\n\nv(r)\n\nComo esse é um problema de força central, temos também:\n\nv(r) = ke^{-kr} + l^{2}/2mr^{2} (8)\n\nOs possíveis casos:\n\nkce^{-kr} + l^{2}/2mr^{2} < 0 (a)\n\n2|k||m|re^{kr} > l^{2}\n\nCom os resultados (9), obtemos o gráfico v(r)\n\n[l^{2} > 2|k|m|re^{kr}\n\n2|k|m|re^{-kr}\n\nl^{2} < 2|k|m|re^{kr}\n\n] QUESTÃO 6:\n(d) Solução:\n\nConsideremos a circunferência descrita pela partícula, com raio a:\n\nS = πa^{2} (10)\n\nUma associação entre a eq. (10) e o período é dada por:\n\nT = 2πa^{2}/L (11)\n\nO momento angular encontrado é dado por:\n\nL = mav = [e^{-αa} - e^{-α(A)}]^{1/2} (12)\n\nSubstituindo (12) em (11), temos que:\n\nT = 2πa^{2}/L * [e^{-αa} - e^{-α(A)}]^{-1/2} (13)\n\nT = 2πa\n\nω * [e^{-αa} - e^{-α(A)}]^{1/2} (15)\n\nAgora, determinamos o período para pequenas oscilações, Unilaterais.\n\nIniciaremos a eq. que define a frequência angular ω:\n\nω = (k/m)^{1/2} (14)\n\nLembremos ainda que:\n\nk = d^{2}V/dx^{2} (15)\n\n Assim, reescrevemos (14) com a utilização de (15):\n\nω^{2} = 1/m * [d^{2}V/dr^{2}]_{r=a}\n\n(16)\n\nONDE ASSUMIMOS r=a (ponto). Então, desenharemos (17):\n\n[d^{2}V/dr^{2}] = [ - (α(r+1) + k) e^{-αr} ]\n\n= d/dr [ -(αr + l^{2}/mβ^{2}) - kα^{2} e^{-αr} ]\n\n= αk^{2} e^{-αr} + 2k^{2} e^{-αr} - k^{2α} e^{-αr} + 3l^{2}/mα^{4} (17)\n\nAí, substituindo (18) em (16), obtemos:\n\nω^{2} = 1/m * [ 2k^{2} α e^{-αa} - k^{2}α e^{-αa} + 3l^{2}/mα^{4} ]\n\n= 2k^{2} α e^{-αa} + 2k^{2} a^{3} e^{-αa} - k^{2}α e^{-α} + 3l^{2}/mα^{4}\n\n= - k_{α} e^{-αa}/ma^{4}\n\n ω² = -K(1 + αa - α'²a²)e^(-αa) ⇔ \n = [ -K(1 + αa - α'²a²) * e^(-αa) \n ------------------------- ] (19)\n [ m³ ]\n\nAinda podemos reescrever a eq. (19) para obtermos o período, lembre-se \nmas de uma relação entre período e frequência angular:\n\nT = 2π/ω (20)\n\nDessa forma, reescrevemos a eq. (19) e obtemos:\n\nT = 2π \n [ ------------------- ] (21)\n [ -K(1 + αa - α'²a²) * e^(-αa) ] 1/2\n [ m³ ]\n\n\n(Período para pequenas oscilações da partícula)
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Mecânica Clássica ( 2019 / 1 )\nLicenciatura em Física – Bloco VII\nLista de Exercícios 1D\nData de entrega: 26 / 04 / 2019\n\n1. Uma partícula se move numa órbita circular em um campo de força definido por \nF ( r ) = k\n\n( r 2 )\n\nDemonstre que , se k diminuir repentinamente para metade de seu valor original , a órbita da partícula se torna parabólica.\n\n2. Suponha a órbita da Terra como sendo circular e que a massa do Sol se reduza subitamente a metade de seu valor. Qual será a nova órbita da Terra? A Terra escapará por o sistema solar ?\n\n3. Uma partícula P de massa m está sujeita a uma força proporcional ao inverso do cubo da distância dada por F = \nk x\n\nr 2\n\nr 3 , onde k é uma constante positiva.\n\nInicialmente P está a uma grande distância do orifício O e projeta-se perpendicular a O com velocidade v ao longo de uma reta , cuja distância perpendicular até O é\n\na . Obtenha a equação do caminho para a partícula P. Para o caso no qual v = 15 k\n\n2\n\n2 0 5\n\nf 8 .\n\nA\n\n\\n \nc . 6. De acordo com a Teoria de Yukawa para forças nucleares , a força de atração entre um nêutron e um próton está associada ao potencial :\n\nV ( r ) = \n\nK e^{- \u03B1 r}\n\nr \nK < 0\n\na ) Encontre a força , e a compare com a lei da força do inverso do quadrado da distância r .\nb ) Discuta os tipos de movimento dos quais podem ocorrer se a partícula de massa m se move sob a ação de tal força .\nc ) Encontre L e E para o movimento circular e uma trajetória de uma circunferência de raio a .\nd ) Encontre o período para o movimento circular e o período para pequenas oscilações .\n\n7. Examine o movimento de uma partícula repelida por um centro de força de acordo com a lei F ( r ) = kr . Demonstre que a órbita eventualmente poderá ser hiperbólica.\n\n8. Verifique se a Terceira Lei de Kepler é válida para órbitas elípticas . Dado que a área de uma elipse é A = \u03C0 a 2 ( 1 - e 2 ) 1 / 2 onde a é o semi-eixo maior da elipse e e é sua excentricidade .\n\n9. Uma partícula P de massa m está sob a ação de uma força atrativa proporcional ao inverso do quadrado da distância F = k m / x 2 , inicialmente P está num ponto C , distante d do ponto O , quando é projetada com velocidade \n\n( 1 / 2)\n\nna direção que faz um ângulo agudo a com linha OC . Encontre as distâncias apsidais na órbita resultante. Dado que a órbita corresponde a uma elipse com dois focos não coincide com o ponto O, encontre os semi-eixos maior e menor dessa elipse . \n\n10. Um satélite da Terra tem uma velocidade de 28700 km / h quando em seu periégeo de 220 km acima da superfície do planeta . Determine a distância ao apogeu e seu período de revolução. LISTA 1D\n\nB Solução :\n\nV ( r ) = k e^{- \u03B1 r} \u03B3 ,\nK < 0\n\n( 4 )\n\n( 9 ) Uma das definições de força conservativa é dada por:\n\nF = - \u2207 V ( r )\n\n( 2 )\n\nObserva-se que com a eq. ( 7 ) podemos determinar a força tornando o gradiente do potencial do Yukawa dado pela eq. ( 4 ) . Então, veja : \n\n- \u2207 V ( r ) = k \u2207 e^{- \u03B1 r} = K [ \n\n- e^{- \u03B1 r} \n\nk \u2212 2 \n\n] \n\n= K [ - \n\ne^{- \u03B1 r} ( -\u03B1 r - 1 ) ] \n\n= K [- \n\ne^{- \u03B1 r} ( -\u03B1 r - 1 )]\n\nC\n\n- \u2207 V ( r ) = - k e^{- \u03B1 r} \n\n( -\u03B1 r - 1 )\n\n7\n\ng\n\nK < 0 \n\n\na\n\nF = k [ e^{- \u03B1 r} \n\n( -\u03B1 r - 1 ) ]\n\n( 3 )\n\n( b ) Solução :\n\nO potencial de Yukawa é dado por :\n\nV ( t ) = k e^{- \u03B1 r} \n\n\u03B3\n\n( 4 ) a = É O RAIO DA TRAJETÓRIA. A expressão para a força associada\npotencial de Yukawa encontramos:\n\nF = k [e^{-αr} (-αr -1)]\n{r^2} (10)\n\nCOMBINANDO AS EQS. (10) E (4), TEMOS QUE:\n\nk e^{-αr} (-αr -1)/{r^2} = m r^2/a = \n{m r^2/r²} (11)\n\nr = √{ka/m r} e^{-α(r-1)}\n{(12)}\n\nSUBSTITUINDO (11) EM (8), VEM:\n\nE = 1/2 k a^2/{r^2} e^{-α(r-1)} + L^2/(2m r^2) + V(r) (23)\n\nCOMO V(r) É DADO PELA eq. (1), A SUBSTITUIMOS EM (5) E OBTEMOS:\n\nE = 1/2 {k/{2 r^2} e^{α(r-α)} + L^2/{2m r^2} + k e^{α}/r} (14)\n\nA eq. (14) AINDA PODE TOMARSE MAIS PRECISA SE DETERMINARMOS O MOMENTO ANGULAR L. O MÓDULO DO MOMENTO ANGULAR É DADO POR:\nL = m r^2 (15)\n\nSUBSTITUINDO O RESULTADO (12) NA EQ. (15), TEMOS QUE:\n\nL = m √{ka/m r} e^{-α(r-1)} (16) Então, temos:\nF = k [c e^{-α(r-1)} - (2k e^{-α(r-1)})/(2r^2)] (9)\n\nAssim:\nF = -dV/dr. \nV(0) = e^{-α/(k)}k k'. k < 0 \n\nSolução\nPara forças centrais, a expressão para a energia é definida por:\n\nE = 1/2 m r^2 \dot{θ}^2 + L^2/2 m r^2 + V(r) (8)\n\nPrecisamos de uma melhor descrição da energia. Para tanto, reescrevermos\nA eq. (8). Inicialmente, lembremos do nó da aceleração da centrípeta:\nF = m r²/a (9) Nf órbita, Ṫ=a e assim redescobrimos a eq. (26):\n\nL = m a √{[k a/m]\n{e^{-2a} (-αa -1)}^{1/2}} \n\ni.e. L = m a √{[k/m]\n{e^{-2a} (-αa -1)}^{1/2}} \n\nL = m a o e^{-a}\n{(-αa - 1)}^{1/2} (17)\n\nONDE UTILIZAMOS A DEFINIÇÃO DA FREQUÊNCIA ANGULAR ω: \nω = √{k/m} (18)\n\nSUBSTITUINDO (17) EM (14), ENCONTRAMOS:\n\nE = 1/2 k a^2/r^2 \n{[e^{-α(r-1)}] + 1/(2π r^2) m a^2 ω^2 [e^{-α(r-1)}] + k e^{-αr}/r} (19)\n\nDA eq. (18) SABEMOS QUE \nk = ω^2 m (20)\n\nAPLICANDO (20) EM (19), OBTEMOS:\n\nE = 1/2 k a^2/r^2 \n{[e^{α(r-1)}] + 1/(2 r^2) k^2 a^2/{k^2/a} \n{e^{-α(r-a)}] + k e^{-αr}/r} (20)\n\nESSA = A EXPRESSÃO PARA A ENERGIA NO CASO AQUI TRATADO. 6 - b) solução:\n\nCont...\n\nA eq. (7) da 4.6, item b) nos permite obter o gráfico do potencial:\n\nv(r)\n\nComo esse é um problema de força central, temos também:\n\nv(r) = ke^{-kr} + l^{2}/2mr^{2} (8)\n\nOs possíveis casos:\n\nkce^{-kr} + l^{2}/2mr^{2} < 0 (a)\n\n2|k||m|re^{kr} > l^{2}\n\nCom os resultados (9), obtemos o gráfico v(r)\n\n[l^{2} > 2|k|m|re^{kr}\n\n2|k|m|re^{-kr}\n\nl^{2} < 2|k|m|re^{kr}\n\n] QUESTÃO 6:\n(d) Solução:\n\nConsideremos a circunferência descrita pela partícula, com raio a:\n\nS = πa^{2} (10)\n\nUma associação entre a eq. (10) e o período é dada por:\n\nT = 2πa^{2}/L (11)\n\nO momento angular encontrado é dado por:\n\nL = mav = [e^{-αa} - e^{-α(A)}]^{1/2} (12)\n\nSubstituindo (12) em (11), temos que:\n\nT = 2πa^{2}/L * [e^{-αa} - e^{-α(A)}]^{-1/2} (13)\n\nT = 2πa\n\nω * [e^{-αa} - e^{-α(A)}]^{1/2} (15)\n\nAgora, determinamos o período para pequenas oscilações, Unilaterais.\n\nIniciaremos a eq. que define a frequência angular ω:\n\nω = (k/m)^{1/2} (14)\n\nLembremos ainda que:\n\nk = d^{2}V/dx^{2} (15)\n\n Assim, reescrevemos (14) com a utilização de (15):\n\nω^{2} = 1/m * [d^{2}V/dr^{2}]_{r=a}\n\n(16)\n\nONDE ASSUMIMOS r=a (ponto). Então, desenharemos (17):\n\n[d^{2}V/dr^{2}] = [ - (α(r+1) + k) e^{-αr} ]\n\n= d/dr [ -(αr + l^{2}/mβ^{2}) - kα^{2} e^{-αr} ]\n\n= αk^{2} e^{-αr} + 2k^{2} e^{-αr} - k^{2α} e^{-αr} + 3l^{2}/mα^{4} (17)\n\nAí, substituindo (18) em (16), obtemos:\n\nω^{2} = 1/m * [ 2k^{2} α e^{-αa} - k^{2}α e^{-αa} + 3l^{2}/mα^{4} ]\n\n= 2k^{2} α e^{-αa} + 2k^{2} a^{3} e^{-αa} - k^{2}α e^{-α} + 3l^{2}/mα^{4}\n\n= - k_{α} e^{-αa}/ma^{4}\n\n ω² = -K(1 + αa - α'²a²)e^(-αa) ⇔ \n = [ -K(1 + αa - α'²a²) * e^(-αa) \n ------------------------- ] (19)\n [ m³ ]\n\nAinda podemos reescrever a eq. (19) para obtermos o período, lembre-se \nmas de uma relação entre período e frequência angular:\n\nT = 2π/ω (20)\n\nDessa forma, reescrevemos a eq. (19) e obtemos:\n\nT = 2π \n [ ------------------- ] (21)\n [ -K(1 + αa - α'²a²) * e^(-αa) ] 1/2\n [ m³ ]\n\n\n(Período para pequenas oscilações da partícula)