Resumo Momento Teoremas de Energia e Força Dependente do Tempo

Mecânica Clássica\n\nSymon - pag 21\n\nA eq. que governa o movimento de uma partícula de massa m ao longo do eixo-x é dada por:\n\nm x\" = F (1)\n\nDessa forma, definimos a expressão para o movimento linear:\n\nP = m v\" (2)\n\nSubstituindo na eq. (1) facilmente encontramos:\n\nF = p (3)\n\nCompreendendo o negação do lado ver...\nf = dp / dt (4)\n\nMultiplicando ambos os lados da (4) por dt,\n\nF dt = dp (5)\n\nAferindo (5) no intervalo entre t1 e t2, temos:\n\nt2\n∫ F dt = ∫ dp\nt1\n\nP2 - P1 = ∫ F dt\n\n Por fim, temos\n\nP2 - P1 = ∫ F dt (A)\n\nonde F é o denominado impulso. Uma outra escala\n\nDinâmica da intensidade e a energia cinética, definindo por:\n\nT = (1/2) mv² (7)\n\nAo multiplicarmos a eq. (1) por v, temos que:\n\nmv dv = F v\n\ndt = \n\n(d/dt)(mv) = (d/dt) = F v\n\ndt = dt\n\nAssim, temos a prática na (1),\ndt = rv\ndt\n\n\nt2 = ∫ F dt = ∫ F v dt (8)\n\nt1\n\nt1\n Se a eq. acima (q) precisar somente de uma dependência temporal (força) podemos resolvê-la facilmente:\n\nt2\n∫ x dt = (1/m) ∫ F(t) dt\n\nt1\n\nm ∫ x dt = ∫ F dt\n\nt1\nt2\n\nm x - m x1 = ∫ F dt'\n\nt0\nt0\n\nmx - mx1 = F(t) dt\n\n m(x - x_0) = \\int_{t_0}^{t} f(t) dt\nẋ = x_0 + \\frac{1}{m} \\int_{t_0}^{t} f(t) dt (10)\nMultiplicando (10) por dt:\nẋ dt = \\left( x_0 + \\frac{1}{m} \\int_{t_0}^{t} f(t) dt \\right) dt (11)\nIntegrando a eq (11) facilmente encontramos:\n\nx = x_0 + ẋ (t - t_0) + \\frac{1}{m} \\int_{t_0}^{t} f(t) dt\n(x, no new) mesmo (13)\n\nVamos para panificíco no massa contínua em e\nsublim. À ação em uma função dependente no tempo.\nReferendum (13) portanto:\nx = x_0 + \\dot{x}(t - t_0) + \\frac{1}{m} \\int_{t_0}^{t} f(t) dt PROBLEMA: Encontre a eq. do movimento de um elétron\nsendo massa e sujeito a um campo elétrico com muívo.\nR. utilizando o stico x = x, sabendo que o campo é\nconstante.\nE_x = E_0 cos(\\omega t + \\theta) (1)\n\nSolução\nSabendo que a força em um elétron devido ao campo elétrico e dado por:\nF = -E_f (A)\n\nAo substituirmos (x) na eq.(a) encontramos:\nF = -E_f cos(\\omega t + \\theta)\nẋ = -\\frac{E_f cos(\\omega t + \\theta)}{m}\ndv = -\\frac{E_f cos(\\omega t + \\theta)}{m}\ndt\n\n\\int_{0}^{t} dv = \\int_{0}^{t} \\left( -\\frac{E_f cos(\\omega t + \\theta)}{m} \\right)\ndt\n\nv - v_0 = -\\frac{E_f}{m} \\int_{0}^{t} cos(\\omega t + \\theta) dt v = v_0 - \\frac{E_f}{m \\omega} \\left[ sen(\\omega t + \\theta) \\right] +\nv = v_0 + \\frac{E_f}{m \\omega} \\left[ sen(\\omega t + \\theta) - sen(\\theta) \\right]\nv = v_0 - \\frac{E_f}{m \\omega} sen(\\theta) + \\frac{E_f}{m \\omega} sin(\\omega t + \\theta) (2s)\nA eq (3) nos permaneça a eq. de movimento para o problema apresentado.\n(x)\n\n\\int_{0}^{t} dx = \\int_{0}^{t} v \\ dt = \\int_{0}^{t} \\left( \\frac{E_f}{m \\omega} sen(\\omega t + \\theta) + \\frac{E_f}{m \\omega} sen(\\theta) \\right) dt\n\nx - x_0 = \\int_{0}^{t} v_0 dt + \\frac{E_f}{m \\omega} \\left( \\int_{0}^{t} sen(\\omega t + \\theta) dt + \\int_{0}^{t} sen(\\theta) dt \\right)\nx = x_0 + v_0 t + \\frac{E_f}{m \\omega} sen(\\theta) t + \\frac{E_f}{m \\omega^{2}} cos(\\omega t + \\theta) - \\frac{E_f}{m \\omega^{2}} cos(\\theta) Se o elétron está inicialmente em repouso, v = 0.\n\nx = v_t + eE_t sin(θ)\n\nt = eE_t cos(ωt + φ)\n\nmω\n\n(Eq. 1)\n\nEsse problema é de extrema relevância com aplicações na propagação de ondas de rádio na maneira que possível elevar a densidade de cargas. A velocidade da luz é:\n\nv = (ε₀Eₕ)\n\n(Eq. 5)\n\nSe eₕ, as ondas de rádio se propagan com velocidade superior à velocidade da luz no vácuo. Com isso, as ondas inclusas na indústria são direcionadas na volta à Terra. Note-se na eq. de Maxwell que há uma proporção de magnitude inversa de ω. Isso para uma frequência suficientemente elevada, as ondas incidentes na missão não apresentam a Terra.\n\nPodemos escrever o momento dipolar do elétron considerando somente a parte oscilante de (g₁) eEₕ.\n\n−(x − eEₕ cos(ωt + φ)) = − c²E₂ₕ(ωt + φ)\n\n(Eq. 6)\n\nSabemos que Eₕ = Eₕ cos(ωt + φ). Logo,\n\n−(x) = −c²Eₕ\n\n(Eq. 7)\n\nExistem N elétrons por cm³. Logo, o momento do dipolo para unidade de volume:\n\npₓ = Nₑ eEₕ\n\nmω²\n\nJandaia