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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍUESPI CURSO LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA ELEMENTOS DA MATEMÁTICA II PRIL 20231 PROFESSOR AFONSO NORBERTO DA SILVA 1 Fgv 2022 O número 3 2 2 3 2 2 é um número racional ou um número irracional Escrevao na sua forma mais simples Basta fornecer a resposta Não é necessário apresentar o desenvolvimento da solução 2 Ufjfpism 1 2021 Representar a dízima periódica simples 0232323 como uma fração irredutível 3 Uel 2018 Um estudante fez uma pesquisa com um grupo de universitários para obter um panorama a respeito da utilização de três redes sociais Ao computar as informações fornecidas pelas pessoas entrevistadas constatou que 55 utilizam Snapchat Instagram e Facebook 70 utilizam Snapchat e Facebook 105 utilizam Snapchat e Instagram 160 utilizam Instagram e Facebook 180 utilizam Snapchat 225 utilizam Instagram 340 utilizam Facebook 85 não utilizam qualquer uma das redes sociais da pesquisa A partir dessas informações quantas pessoas foram entrevistadas Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão 4 Uerj 2017 O proprietário de uma lanchonete vai ao supermercado comprar sardinha e atum enlatados Cada lata de sardinha pesa 400 g e cada lata de atum 300 g Como sua bolsa de compras suporta até 65 kg ele decide comprar exatamente 6 kg dessas latas Sabe se que foi comprada pelo menos uma lata de cada pescado Determine o maior número possível de latas que o proprietário da lanchonete poderá comprar 5 Ufpr 2014 Um método numérico que fornece aproximações para a solução de um problema estabeleceu a seguinte regra para gerar pontos no plano cartesiano 2 n 2 4 2n P 3 n n 1 Dessa forma quando n 1 o ponto gerado é 71 e assim por diante a Calcule as coordenadas dos quatro primeiros pontos fornecidos por essa regra b Conforme n aumenta n P se aproxima de qual ponto do plano cartesiano 6 Ufrj 2011 Se x 3 8 3 8 mostre que x é inteiro e negativo Sugestão calcule x2 2 7 G1 cftce 2005 A expressão representa uma fração a b Calcule a b 8 Ufpe 2003 Seja AB com A e B inteiros primos entre si a fração geratriz da dízima periódica 4373737 Indique a soma dos algarismos de A 9 Ufc 2000 Se 113 14 pq onde p e q são números inteiros positivos relativamente primos determine pq 10 G1 1996 Represente em linguagem simbólica os seguintes subconjuntos de IR 11 G1 1996 Represente na reta numerada os seguintes subconjuntos de IR a A x R x 3 2 b B x R 2 x 5 12 Unicamp 1996 a Quais são o quociente e o resto da divisão de 3785 por 17 b Qual o menor número natural maior que 3785 que é múltiplo de 17 13 G1 1996 Complete as sentenças a seguir com os símbolos referentes às funções contém não contém contido não contido de forma a tornar todas elas verdadeiras 3 14 G1 1996 Dados os subconjuntos de IR calcule faça o gráfico A x IR 2 x 3 B x IR 1 x 4 C x IR x 0 a A B b A B c A C B 15 G1 1996 Classifique em verdadeira V ou falsa F cada uma das seguintes afirmações 16 Eear 2022 Seja uma função f A B tal que A 0 1 2 3 4 e B A alternativa que apresenta todos os pontos de um possível gráfico de f é a 0 0 0 1 0 2 0 3 e 0 4 b 0 0 1 0 2 0 3 0 e 4 0 c 0 0 1 1 2 2 e 3 3 d 0 1 2 3 4 5 e 5 6 17 Efomm 2021 Coloque V nas proposições Verdadeiras e F nas Falsas Dados os conjuntos A 0 71 e B x y1 se A B podemos afirmar que x 0 e y 7 Um conjunto A tem α elementos e β subconjuntos e um conjunto B tem três elementos a mais que o conjunto A então o número de subconjuntos de B é 3 β Sejam os conjuntos A 1 2 3 4 e C 1 2 O conjunto B tal que B C 1 e B C A então B 2 3 4 Dados A 2 3 4 B 3 4 5 6 e a Relação Binária R de A em B tal que R x y A B x divide y então a relação inversa de R é uma função sobrejetora Lendose a coluna de parênteses de cima para baixo encontrase a V F V F b V F F V c F F V F d V F F F e F F F F 4 18 Enem PPL 2021 Uma moça estacionou seu carro na interseção da Rua 1 com a Avenida A Ela está hospedada em um hotel na Rua 3 posicionado a exatos 40 metros de distância da Avenida A contados a partir da Avenida A em direção à Avenida B No mapa está representado um plano cartesiano cujo eixo das abscissas coincide com a Avenida A e o das ordenadas com a Rua 1 sendo a origem 0 0 o local onde se encontra estacionado o veículo Os quarteirões formados pelos cruzamentos dessas vias formam quadrados de lados medindo 100 m A ordenada do ponto que representa a localização do hotel é a 60 b 40 c 0 d 40 e 60 19 G1 ifsul 2017 Uma função do 1º grau f possui o gráfico abaixo A lei da função f é a x 3 fx 2 2 b fx x 1 c 1 fx 2x 2 d x 1 fx 2 2 5 20 G1 ifsul 2016 Considere o intervalo real 5 5 multipliqueo por 3 e someo a 5 Qual é a razão entre o menor e o maior número desse intervalo a 3 b 2 c 1 d 0 21 Enem PPL 2014 Alunos de um curso de engenharia desenvolveram um robô anfíbio que executa saltos somente nas direções norte sul leste e oeste Um dos alunos representou a posição inicial desse robô no plano cartesiano pela letra P na ilustração A direção nortesul é a mesma do eixo y sendo que o sentido norte é o sentido de crescimento de y e a direção lesteoeste é a mesma do eixo x sendo que o sentido leste é o sentido de crescimento de x Em seguida esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação para o robô 4 norte 2 leste e 3 sul nos quais os coeficientes numéricos representam o número de saltos do robô nas direções correspondentes e cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano Depois de realizar os comandos dados pelo aluno a posição do robô no plano cartesiano será a 0 2 b 0 3 c 1 2 d 1 4 e 21 22 Enem 2ª aplicação 2014 Uma pesquisa do Instituto de Pesquisa Econômica Ipea investigou qual área faz a economia crescer mais e quais os maiores responsáveis pela diminuição da desigualdade na distribuição de renda 6 Considerando apenas as áreas que contribuem para o crescimento econômico mais do que o investimento em exportação qual delas é a que mais influencia para a maior igualdade a Bolsa família b Educação c Investimento em construção civil d Previdência Social e Saúde TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO As atividades de comunicação humana são plurais e estão intimamente ligadas às suas necessidades de sobrevivência O problema de contagem por exemplo se confunde com a própria história humana no decorrer dos tempos Assim como para os índios mundurucus do sul do Pará os waimiriatroari contam somente de um até cinco adotando os seguintes vocábulos awynimi é o número 1 typytyna é o 2 takynima é o 3 takyninapa é o 4 e finalmente warenipa é o 5 Texto Adaptado Scientific American Brasil Etnomatática Edição Especial Nº 11 ISSN 16795229 23 Uepa 2014 Considere A o conjunto formado pelos números utilizados no sistema de contagem dos waimiriatroari ou seja A 12345 Nestas condições o número de elementos da relação R1 xy A A y x é igual a a 5 b 10 c 15 d 20 e 25 24 Fuvest 2023 Duas empresas de entrega de mercadorias A e B são concorrentes A empresa A obra R 400 por quilo da encomenda e mais R 3000 de taxa fixa Já a tarifa da empresa B é de R 600 por quilo sem taxa fixa para encomendas de até 30 quilos para encomendas de mais de 30 quilos a empresa B cobra R 200 por quilo mais uma taxa fixa de R 12000 a Dê a expressão da função que descreve a tarifa cobrada pela empresa A em termos do peso x da encomenda b Para qual intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa A do que pela empresa B c Um cliente solicitou duas encomendas uma entregue pela empresa A e outra pela empresa B com peso total de 200 quilos Quais são as possíveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas sabendo que a tarifa de entrega total foi de R 85000 25 Ufjfpism 1 2020 Um tanque é abastecido por uma torneira e o volume de água em milhares de litros em seu interior é dado por 1 V t 3t 13 com t contado em horas a partir do instante t 0 em que a torneira é aberta No instante 1t em que o volume de água atinge a capacidade máxima do tanque a torneira é automaticamente fechada e imediatamente um registro é aberto permitindo que a água acumulada nesse tanque abasteça caixas dágua menores A partir do momento em que esse registro é aberto o volume dágua no tanque passa a ser descrito pela função 2 V t 2t 58 para 1 t t até que o tanque esteja completamente vazio a Calcule a capacidade máxima do tanque b Em quanto tempo o tanque estará vazio depois de fechada a torneira e aberto o registro 7 26 Fgv 2020 Para celebrar uma festa o centro acadêmico de uma faculdade escolhe entre dois lugares cujos preços são Salão A Salão B R 100000 mais R 500 por pessoa R 20000 mais R 1000 por pessoa A capacidade máxima de ambos os lugares é de 300 pessoas O centro não tem ainda o número de pessoas que irá à festa a Para que número de pessoas é indiferente o salão a ser escolhido pelo centro acadêmico b Represente graficamente em um mesmo par de eixos cada uma das duas funções que expressa o preço de cada salão em função do número de pessoas que irá à festa Que salão deve ser escolhido caso o número de pessoas presentes na festa seja maior do que o número obtido no item a 27 Pucrj 2017 Dadas as funções f g definidas por 2 fx x 13x 36 e gx 2x 12 a Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas funções b Encontre os valores reais de x para os quais fx g x c Encontre os valores reais de x que satisfazem fx 1 gx 2 28 Uel 2015 ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de passeio que cobra uma tarifa diária de R 16000 mais R 150 por quilômetro percorrido em carros de categoria A AluCar é uma outra empresa que cobra uma tarifa diária de R 14600 mais R 200 por quilômetro percorrido para a mesma categoria de carros a Represente graficamente em um mesmo plano cartesiano as funções que determinam as tarifas diárias cobradas pelas duas empresas de carros da categoria A que percorrem no máximo 70 quilômetros b Determine a quantidade de quilômetros percorridos para a qual o valor cobrado é o mesmo Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados 29 Fgv 2014 A quantidade de cópias vendidas de cada edição de uma revista jurídica é função linear do número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública Uma edição com quatro matérias desse tipo vendeu 33 mil exemplares enquanto que outra contendo sete matérias que abordavam aqueles julgamentos vendeu 57 mil exemplares a Quantos exemplares da revista seriam vendidos caso fosse publicada uma edição sem matéria alguma que abordasse julgamento de casos com ampla repercussão pública b Represente graficamente no plano cartesiano a função da quantidade Y de exemplares vendidos por edição pelo número X de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública c Suponha que cada exemplar da revista seja vendido a R 2000 Determine qual será o faturamento por edição em função do número de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública 30 Famema 2023 Sejam as funções y fx e y gx com f 0 6 e g 610 cujos gráficos representados no plano cartesiano são segmentos de reta como indica a figura 8 Seja f gx 610 a função composta de y fx e y gx em que f gx fgx Assim fgx é igual a a 2 3 b 5 3 c 6 d 8 3 e 3 31 Efomm 2022 Seja a função f definida por f1 4 f2 1 f3 3 f4 5 e f5 2 Considere por exemplo que 3 f x fffx é a composta de f três vezes e que n f x é a n ésima composta da função f O valor de 2022 f 4 é a 1 b 2 c 4 d 5 e 6 32 FuvestEte 2022 Sejam f e g duas funções tais que 1 gx 1 x e 2 gfx x x 2 Então fx é igual a a 2 x b 2 1 x 1 c x2 x 2 d 2 1 x x 1 e 2 1 1 x 1 33 Fmj 2022 Seja a função f definida por 2x 7 se x 5 fx 18 3x se x 5 O valor de ff6 ff0 é igual a 9 a 26 b 39 c 13 d 28 e 14 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1 Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como processamento de sinais Considere a função x 1 y fx x 1 definida para x x 1 que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius 34 Unicamp 2023 Sobre a função inversa de fx é correto afirmar que a f 1 x fx para x 1 b f 1 x 1 fx para x 1 c f 1 x fx para x 1 d f 1 x f x para x 1 35 Integrado Medicina 2022 Dado duas funções reais e invertíveis tais que fx 4x 3 e gx 5 x Assinale a alternativa que indique corretamente a função jx fohx onde hx g1x a jx 4x 17 b jx 4x 17 c jx 4x 23 d jx 4x 23 e jx 4x 21 36 Espcex Aman 2022 Abaixo temos 3 proposições I x2 x para todo x real II x x para todo x real III x ax b x b x a para todo x real Analisando as proposições acima podemos afirmar que a I é a única proposição verdadeira b I e III são as únicas proposições verdadeiras c todas as proposições são verdadeiras d nenhuma proposição é verdadeira e II e III são as únicas proposições verdadeiras 37 Espcex Aman 2020 A área da região compreendida entre o gráfico da função fx x 4 2 o eixo das abscissas e as retas x 0 e x 6 é igual a em unidades de área a 2 b 4 c 6 d 10 e 12 10 38 Fuvest 2023 Considere a b e c e a função f dada por 2 fx ax bx c a Determine os valores de a b e c para que f 1 1 f 0 0 e f 1 1 b Para a 1 e b 4 determine o valor de c de modo que a área do triângulo ABV da figura seja igual a 32 ua onde V é o vértice da parábola representada por f c Considere g a função dada por gt cos t Se a 3 e c 8 determine para quais valores de b a equação f gt 0 possui ao menos uma solução real 39 Famerp 2023 Seja uma função polinomial do segundo grau dada por 2 fx x mx p com m p Se o gráfico dessa função no plano cartesiano intersecta o eixo x nos pontos de coordenadas 2 0 e 4 0 então m p é igual a a 10 b 12 c 8 d 6 e 6 40 Eear 2023 Seja a função definida em reais 2 fx kx 1 18 com k Para que seu gráfico seja uma parábola cuja ordenada do vértice seja o valor mínimo da função é necessário que a k 0 b k 0 c k 0 d k 0 41 Famema 2023 No plano cartesiano ortogonal a distância entre os pontos em que a parábola dada pela função 4 2 8 fx x x 4 9 3 intersecta os eixos em unidades de comprimento do plano é igual a a 6 b 4 c 5 d 2 e 3 11 42 Unicamp 2023 Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola de uma reta e o ponto P ab que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola O valor de a b é a 75 b 7 c 65 d 6 43 Enem 2022 Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês ao longo de um ano O modelo é dado por 2 pt t 10t 24 sendo t um número natural variando de 1 a 12 que representa os meses do ano e pt a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia Foram apresentadas cinco propostas I II III IV e V com diferentes períodos de intensificação das propagandas I 1 t 2 II 3 t 4 III 5 t 6 IV 7 t 9 V 10 t 12 A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que segundo o modelo há a maior quantidade de infectados A sugestão foi aceita A proposta escolhida foi a a I b II c III d IV e V 44 Uece 2022 A comissão de Formatura do Curso de Matemática contratou junto à empresa AIRBR um avião para transportar um grupo de concludentes nos seguintes termos I O avião disponibiliza 90 assentos II para cada assento ocupado a empresa recebe R 90000 fixos mais um valor variável v III o valor variável v é igual a n R5000 onde n é o número de assentos desocupados Nessas condições a maior receita que a empresa poderá obter está entre 12 a R 14000000 e R 15000000 b R 17000000 e R 18000000 c R 15000000 e R 16000000 d R 16000000 e R 17000000 45 Uscs Medicina 2022 Considere a função quadrática 2 fx mx 3x n em que m e n são constantes reais Sabendo que o vértice da parábola que representa o gráfico da função f é o ponto 1 9 podese afirmar que a m n 8 b mn 9 c m n 3 d m n 6 e mn 9 46 Unisc 2022 Os gafanhotos são conhecidos por serem capazes de ocasionar danos às plantações O desmatamento promove uma redução do número de predadores naturais permitindo o aumento de indivíduos além das mudanças climáticas que provocam um aumento da temperatura o que favorece a proliferação de insetos Um gafanhoto cuja característica marcante é a presença do último par de pernas alongado e adaptado para saltos salta para o alto percorrendo uma trajetória descrita por 2 hx 3x 30x em que hx é a altura em centímetros e x é a distância horizontal alcançada também em centímetros A altura máxima em cm atingida pelo gafanhoto no salto é a 55 b 25 c 100 d 75 e 50 47 Ufsc 2022 Some os números associados às proposições corretas 01 Sejam f e g funções cujos domínios são respectivamente Df e Dg Se f e g são tais que Df Dg e fx gx para todo x Df então f e g são iguais 02 Se f é a função definida por 1 se x fx 0 se x então f não é par nem ímpar 04 Se f a definida por 2 fx x 4x 9 é uma função sobrejetora então a é 5 08 Se f é a função afim decrescente tal que f1 1 e f f0 3 então f10 é um número primo 16 O nível de potência sonora N é uma medida da carga de energia de uma fonte e é definido por 12 N 10 log10 W sendo W a potência sonora da fonte em watts e N expressa em decibéis dB Se a potência sonora de um altofalante for multiplicada por 10 então o aumento do nível de potência será de 10 dB 32 Se x2 5x 1 5 x 2 então existe x que satisfaz a inequação 64 Considere as funções reais fx x 2 e x 2 se x 3 gx 5 se 3 x 4 9 x se x 4 O contorno da região plana delimitada pelos gráficos das funções f e g é um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 540 48 Enem 2022 O funcionário de uma loja tem seu salário mensal formado por uma parcela fixa de 675 reais mais uma comissão que depende da quantidade de peças vendidas por ele no mês O cálculo do valor dessa comissão é feito de acordo com estes critérios até a quinquagésima peça vendida pagase 5 reais por peça a partir da quinquagésima primeira peça vendida o valor pago é de 7 reais por peça 13 Represente por q a quantidade de peças vendidas no mês por esse funcionário e por Sq o seu salário mensal em real nesse mês A expressão algébrica que descreve Sq em função de q é a Sq 675 12q b Sq 325 12q c Sq 675 7q d 625 5q se q 50 Sq 925 7q se q 50 e 625 5q se q 50 Sq 575 7q se q 50 49 Unicamp 2023 Suponha que uma função fx satisfaça à propriedade fx y fx fy Sabendo que f7 2 e f17 3 o valor de f2023 é a 7 b 8 c 17 d 18 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1 Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como processamento de sinais Considere a função x 1 y fx x 1 definida para x x 1 que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius 50 Unicamp 2023 Considere a sequência 1 2 x x definida por x1 6 e para cada n 1 temos n 1 n x fx ou seja x1 6 2 1 7 x fx 5 3 2 x fx e assim sucessivamente Então a soma dos 100 primeiros termos desta sequência vale a 140 b 370 c 600 d 740 14 51 Epcar Afa 2022 Considere o gráfico da função real f representado abaixo Nele y 1 é uma assíntota Com base no gráfico marque a alternativa correta a fff2 f0 b Se x 1 então fx 1 c O conjunto imagem de f é y y 1e y 1 d Se A f 10 f 100 f 1000 f 10000 então A 1 0 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Para conter uma certa epidemia viral uma vacina será aplicada a uma população Sabese que a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivíduos vacinados que estarão imunes à doença e para controlar a epidemia a porcentagem mínima de uma dada população a ser imunizada é dada pela fórmula 0 0 0 IR 100R 1 R em que R0 1 é um valor associado às características da epidemia Assumese ainda que uma eventual imunização somente é adquirida por meio da vacina 52 Unicamp 2022 Em relação à epidemia e à vacinação é correto afirmar que a a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia é sempre maior que 50 b para uma vacina quanto maior 0 R menor a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia c para uma vacina quanto maior 0 R maior a porcentagem mםnima da populaדחo que deve ser vacinada para controlar a epidemia d para um dado 0 R quanto maior a efetividade da vacina maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia 53 Uea 2021 A função real 2 fx x kx m com k e m números reais e k 0 passa pelo ponto P 1 0 Se f k 2 o valor de fk m é igual a a 5 b 6 c 4 d 3 e 2 15 54 Fgv 2021 O maior valor que pode ser assumido pela função real definida por 4 fx 16 x20 x é a 2 2 b 3 2 c 2 5 d 2 6 e 3 3 55 Pucrj 2022 Seja a função f cujo gráfico está representado abaixo Assinale a alternativa correta a f2 f3 0 b 1 5 1 f f f 0 2 2 2 c f1 f0 0 d f não possui raízes reais 16 56 Unicamp 2020 Seja a função polinomial do terceiro grau 3 2 fx x x 2x 1 definida para todo número real x A figura abaixo exibe o gráfico de y fx no plano cartesiano em que os pontos A B e C têm a mesma ordenada A distância entre os pontos A e C é igual a a 2 b 2 2 c 3 d 3 2 57 Uece 2020 No plano com o sistema de coordenadas cartesianas usual o gráfico da função real de variável real 4 2 fx x 10x 9 cruza o eixo dos x nos pontos a 0 b 0 c 0 e d 0 Assim é correto afirmar que a soma 2 2 2 2 a b c d é igual a a 22 b 16 c 20 d 18 58 Fmp 2018 Uma função f é tal que a f1 f5 b f3 0 c fx 0 para todo valor de x Um gráfico que poderia ser aquele associado à função é a b 17 c d e 59 Upf 2017 O gráfico a seguir representa a função polinomial fx ax bx cx d O valor de a b c d é a 2 b 5 3 c 1 3 d 7 3 e 2 18 60 Ufpr 2017 A respeito da função representada no gráfico abaixo considere as seguintes afirmativas 1 A função é crescente no intervalo aberto 4 6 2 A função tem um ponto de máximo em x 1 3 Esse gráfico representa uma função injetora 4 Esse gráfico representa uma função polinomial de terceiro grau Assinale a alternativa correta a Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras b Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras c Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras d Somente as afirmativas 1 2 e 4 são verdadeiras e Somente as afirmativas 2 3 e 4 são verdadeiras 19 Gabarito comentado Resposta da questão 1 É fácil ver que 3 2 2 3 2 2 Assim fazendo x 3 2 2 3 2 2 vem 2 2 2 2 x 3 2 2 3 2 2 x 3 2 2 2 3 2 23 2 2 3 2 2 x 6 2 9 8 x 2 Portanto segue que 3 2 2 3 2 2 2 ou seja um número racional Resposta da questão 2 x 0232323 100x 23232323 100x 10x 23 99x 23 23 x 99 Resposta 23 99 Resposta da questão 3 Fazendo um diagrama de Venn Assim 60 50 55 15 15 105 165 85 550 Resposta da questão 4 Sejam s e a respectivamente o número de latas de sardinha e o número de latas de atum com s 1 a 1 e s a Logo vem 60 3s 300s 400a 6000 a 4 20 Para que o total de latas seja máximo o número de latas de atum deve ser mínimo e o de sardinhas deve ser máximo Assim vem s 16 e a 3 Em consequência a resposta é s a 19 Resposta da questão 5 a Supondo que os pontos pedidos são 1 2 3 P P P e 4 P temos 1 P 71 2 2 2 4 2 2 8 P 3 5 2 5 2 1 2 3 2 4 2 3 13 9 P 3 3 3 5 3 1 e 2 4 2 4 2 4 32 P 3 4 4 17 4 1 b Tomando n suficientemente grande a parcela 4 n se aproxima de zero Logo a abscissa de n P se aproxima de 3 Por outro lado como 2 2 2 2 2 2 2 2 2n 2n 2 2 n 1 n 1 2n 1 2 n 1 n 1 2 2 n 1 para n suficientemente grande a ordenada de n P se aproxima de 2 Em consequência conforme n aumenta n P se aproxima do ponto 3 2 Resposta da questão 6 É fácil ver que 3 8 3 8 Logo x 3 8 3 8 0 2 2 x 3 8 3 8 3 8 2 3 83 8 3 8 6 2 9 8 4 x 4 2 Por conseguinte x 2 que é um número inteiro e negativo 21 Resposta da questão 7 70 Resposta da questão 810 Resposta da questão 9 p q 19 Resposta da questão 10 a 30 b 710 Resposta da questão 11 Observe a figura a seguir a b Resposta da questão 12 a 222 e 11 respectivamente b 3791 Resposta da questão 13 a b c d e Resposta da questão 14 Observe a figura a seguir a b c Resposta da questão 15 a V b V c V d V e V Resposta da questão 16 B Dentre as alternativas a que obedece os pares ordenados possíveis é a B pois representa corretamente o conjunto A em suas coordenadas Resposta da questão 17 E I Falsa Podemos ter x 7 e y 0 II Falsa Dos subconjuntos de A temos que β 2α 22 E o número de subconjuntos de B é dado por 3 3 2 2 2 8 α α β III Falsa Das informações dadas deveríamos ter B 1 3 4 IV Falsa Relação Binária R e sua inversa 1 R 2 4 2 6 3 3 3 6 4 4 R 4 2 6 2 3 3 6 3 4 4 1 R não é função pois R 1 4 2 4 e R 1 6 2 3 Resposta da questão 18 B Se os quarteirões formados pelos cruzamentos das vias formam quadrados de lados medindo 100 m e o hotel se encontra na Rua 3 então a abscissa da posição do hotel em metros é x 200 Ademais como a posição do hotel corresponde a exatos 40 metros de distância da Avenida A contados a partir da Avenida A em direção à Avenida B segue que a ordenada da posição do hotel em metros é y 40 Resposta da questão 19 D Para determinar a equação da reta devemos obter o coeficiente angular m e escolher dois pontos Tomando os pontos 11 e 7 4 temos b a b a y y 4 1 3 1 m x x 7 1 6 2 Aplicando o coeficiente angular na equação da reta 0 0 y y m x x e tomando o ponto 11 1 x 1 y 1 x 1 y 2 2 2 Resposta da questão 20 B Realizando as operações temos 1 55 3 1515 2 1515 5 2010 20 3 2 10 Resposta da questão 21 C Temse que P 11 Portanto após realizar os comandos dados pelo aluno a posição do robô no plano cartesiano será 1 21 4 3 1 2 Resposta da questão 22 E As áreas que contribuem para o crescimento econômico mais do que o investimento em exportação são Investimento em construção civil Saúde e Educação política Dentre essas a que mais influencia para a maior igualdade é Saúde 23 Resposta da questão 23 C É fácil ver que o resultado pedido é dado por 5 4 3 2 1 15 Resposta da questão 24 a A tarifa cobrada pela empresa A em R é dada por yA 4x 30 b Tarifa cobrada pela empresa B B 6x x 30 y 2x 120 x 30 Pontos de equilíbrio entre as tarifas 1 1 1 2 2 2 4x 30 6x x 15 4x 30 2x 120 x 45 Graficamente podemos notar que o intervalo buscado é 15 x 45 c Sejam x e y respectivamente a massa comprada na empresa A e na empresa B Temos os seguintes sistemas x y 200 x y 200 x 190 e y 10 4x 30 6y 850 2x 3y 410 ou x y 200 x y 200 x 150 e y 50 4x 30 2y 120 850 2x y 350 Portanto é possível distribuir as massas de acordo com as soluções obtidas Resposta da questão 25 a No instante em que a torneira é fechada e o registro aberto temos 1 2 V t V t 3t 13 2t 58 5t 45 t 9 h Portanto o volume máximo será dado por 1 V 9 3 9 13 40 L 24 b Teremos 2 V t 2t 58 0 2t 58 2t 58 t 29 Considerando que 1 t t o tempo o tanque estará vazio depois de fechada a torneira e aberto o registro será de 29 9 20 h Resposta da questão 26 a Valores cobrados por cada salão em função do número x de pessoas Salão A SA 1000 5x Salão B SB 200 10x O número de pessoas que torna indiferente a escolha do salão é 1000 5x 200 10x 5x 800 x 160 b Para 300 pessoas os valores cobrados são A B S 1000 5 300 2500 S 200 10 300 3200 Temos então os gráficos Como podemos observar caso o número de pessoas seja superior a 160 o salão A deve ser o escolhido 25 Resposta da questão 27 a Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de f e g basta resolvermos a equação fx gx De 2 fx x 13x 36 gx 2x 12 e fx gx 2 2 x 13x 36 2x 12 x 11x 24 0 Resolvendo a equação acima x 3 ou x 8 De x 3 g3 2 3 12 g3 6 De x 8 g8 2 8 12 g8 4 Logo os pontos de interseção dos gráficos das funções são 3 6 e 8 4 b De fx gx 2 2 x 13x 36 2x 12 x 11x 24 0 x 3 x 8 0 x 3 ou x 8 c De 2 fx x 13x 36 2 2 2 fx 1 x 1 13 x 1 36 fx 1 x 2x 1 13x 13 36 fx 1 x 11x 24 De g x 2x 12 gx 2 2 x 2 12 gx 2 2x 4 12 gx 2 2x 16 Então 2 2 x 11x 24 2x 16 x 9x 8 0 Resolvendo a equação acima x 1 ou x 8 26 Resposta da questão 28 a Sejam fg 0 70 com fx 15x 160 e gx 2x 146 cujos gráficos estão representados na figura abaixo b Queremos calcular o valor de x para o qual se tem fx gx Logo segue que 15x 160 2x 146 x 28km Resposta da questão 29 Seja f a função afim definida por fx ax b em que fx é o número de cópias vendidas e x é o número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública Sabendo que o gráfico de f passa pelos pontos 4 33000 e 7 57000 temse que 57000 33000 a 8000 7 4 Logo 33000 8000 4 b b 1000 a O valor inicial da função f definida acima é igual a 1000 b O gráfico pedido é c Seja g a função definida por gx 20 fx em que gx é o faturamento por adição e fx é o número de cópias vendidas conforme definido em a Portanto seguese que gx 20 8000x 1000 160000x 20000 27 Resposta da questão 30 D Note que f é uma função linear e g é uma função constante Assim temos 4 fx 6 x e gx 4 A resposta é 4 8 fgx 4 6 3 Resposta da questão 31 B Da regra de formação temos que 1 2 3 2 4 3 5 4 f 4 5 f 4 ff4 f5 2 f 4 ff 4 f2 1 f 4 ff 4 f1 4 f 4 ff 4 f4 5 Ou seja é dado um padrão de formação a cada 4 termos Sendo assim 2022 2 2022 4 505 2 f 4 f 4 2 Resposta da questão 32 D Temos que 1 gfx 1 fx Sendo assim 2 2 2 2 2 1 x x 2 1 fx fx 1 x x 2 fx fx x x 2 fx 1 fx x x 1 1 1 fx x x 1 Resposta da questão 33 E f6 18 3 6 0 ff6 f0 2 0 7 7 f0 2 0 7 7 ff0 f 7 2 7 7 21 Portanto ff6 ff0 7 21 7 21 14 Resposta da questão 34 A A inversa de fx é dada por para x 1 28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f x 1 x f x 1 xf x x f x 1 xf x f x x 1 x 1f x x 1 x 1 f x x 1 f x fx Resposta da questão 35 A Questão anulada no gabarito oficial O primeiro passo será determinar a função inversa da função g 1 gx 5 x x 5 gx hx g x 5 x Determinando agora a função j temos jx foh jx fhx jx 4hx 1 jx 4 5 x 3 jx 20 4x 3 jx 4x 17 A questão foi anulada pois não havia opção correta Resposta da questão 36 D Analisando as afirmativas A Falsa x2 x B Falsa x x se x 0 x x se x 0 C Falsa x ax b x b para x a x a Portanto nenhuma proposição é verdadeira 29 Resposta da questão 37 C Seja a função g tal que gx x 4 2 x 4 2 se x 4 0 x 4 2 se x 4 0 x 6 se x 4 x 2 se x 4 Logo o gráfico de g é Mas fx gx e portanto segue que o gráfico de f é A resposta é igual a 1 1 2 2 4 2 6 ua 2 2 Resposta da questão 38 a Substituindo os valores na função dada obtemos 2 2 2 a 1 b 1 c 1 a b c 1 a 0 b 0 c 0 c 0 a b c 1 0 0 a b c 1 a 1 b 1 c 1 30 b Coordenadas do vértice da parábola 2 v 2 v fx x 4x c 4 x 2 2 1 y 2 4 2 c 4 c Raiz positiva da função 4 16 4c x 2 4 c 2 Logo 2 2 3 6 AB VA 32 2 2 4 c 2 4 c 32 2 4 c4 c 64 4 c 4 4 c 16 c 12 c Temos que 2 2 fgt 3cos t bcost 8 0 b b 96 cost 6 Como b2 96 0 b a equação acima resulta em valores reais para a incógnita cost Porém para que a equação possua ao menos uma solução real também é necessário que 1 cost 1 Ou seja 2 2 f1 f 1 0 3 1 b 1 8 3 1 b 1 8 0 b 5 b 5 0 b 5 ou b 5 Resposta da questão 39 A Substituindo os pontos dados na função obtemos 2 2 0 2 m 2 p 4 2m p 0 I 16 4m p 0 II 0 4 m 4 p Fazendo II I 12 6m 0 m 2 4 2 2 p 0 p 8 Portantom p 10 Resposta da questão 40 D A função f é dada por 2 2 2 fx kx 1 18 k x 2kx 17 Para que o gráfico seja uma parábola devemos ter k 0 E para que a função dada possua valor mínimo devemos ter k2 0 Logo como k é real é necessário que k 0 31 Resposta da questão 41 C Pondo fx 0 temos 2 4 2 8 2 x x 4 0 x 2 0 9 3 3 x 3 Logo a parábola intersecta o eixo das abscissas no ponto 3 0 Como o termo independente da lei de f é 4 segue que a parábola intersecta o eixo das ordenadas no ponto 0 4 Os pontos de interseção da parábola com os eixos coordenados e a origem do sistema de eixos cartesianos são os vértices de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 Desse modo podemos concluir que a hipotenusa desse triângulo mede 5 e a resposta segue de imediato Com efeito tratase do triângulo retângulo pitagórico de lados 3 4 e 5 Resposta da questão 42 B Equação da reta x y 1 1 0 1 0 y 2x 2 0 2 1 Equação da parábola 2 2 y x 2x 1 2 0 20 1 2 2 1 y x 2x 1 y x x 2x 2 y x x 2 α α α α Ponto de interseção entre a reta e a parábola 2 2 2 y 2x 2 y x x 2 2x 2 x x 2 x 3x 0 xx 3 0 x 0 e y 2 0 2 2 ou x 3 e y 2 3 2 4 Como o ponto P pertence ao 3º quadrante devemos ter que P 3 4 Logo a b 3 4 7 Resposta da questão 43 C Escrevendo a lei de p na forma canônica vem 2 2 pt t 10t 24 49 t 5 Assim é fácil ver que para t 5 pt assume o seu valor máximo Como 5 5 6 segue que a proposta escolhida foi a III 32 Resposta da questão 44A Seja rn a receita obtida pela empresa Logo temos rn 900 50n 90 n 50 n 18 n 90 O valor de n para o qual a receita é máxima é igual a 18 90 36 2 Portanto a receita máxima é r36 50 36 18 36 90 R 14580000 ou seja um valor entre R 14000000 e R 15000000 Resposta da questão 45 D Da abscissa do vértice obtemos 3 1 2m 3 m 2 Da ordenada do vértice obtemos 2 3 3 4 n 2 9 3 4 2 9 6n 9 6 9 6n 54 6n 45 15 n 2 Logo 3 15 12 m n 2 2 2 m n 6 Resposta da questão 46 D A altura máxima atingida pelo gafanhoto pode ser obtida através da ordenada do vértice da parábola 2 máx máx máx 30 4 3 0 h 4a 4 3 900 h 12 h 75 cm Δ 33 Resposta da questão 47 04 08 16 64 92 01 Falsa Neste item é necessário saber distinguir os termos equivalência e igualdade Por exemplo sejam as funções fx e gx que satisfazem as condições do enunciado fx x 2 3x 6 gx 3 Embora sejam equivalentes e produzam os mesmos resultados numéricos não são iguais 02 Falsa Se x então x E se x então x Logo fx fx e f é uma função par 04 Verdadeira Imagem da função 2 v 4 4 1 9 y 5 4a 4 1 Im 5 Δ Como se trata de uma função sobrejetora devemos ter a 5 08 Verdadeira Do enunciado obtemos 2 2 2 fx ax b a 0 f1 a b 1 b 1 a fx ax 1 a ffx aax 1 a 1 a ffx a x a 1 ff0 a 1 3 a 2 e b 3 fx 2x 3 f 10 2 10 3 23 Portanto f10 é um número primo 16 Verdadeira O aumento será de 10 dB pois 12 120 10 120 10 10 10 10 10 10 N 10 log10 W log10 W N log10 logW 120 logW N 120 log10W 120 log10 logW N 120 10 logW N N 10 32 Falsa Resolvendo a inequação 2 2 x 5x 1 x 9 x 3x 3 5 0 0 0 x 2 x 2 x 2 34 S x 3 x 2 ou x 3 Portanto não existe x que satisfaz a inequação 64 Verdadeira A região formada pelos gANULADA Questгo anulada no gabarito oficial Temse que 675 5q se q 50 Sq 675 5 50 7q 50 se q 50 675 5q se q 50 575 7q se q 50 Sem resposta Resposta da questão 49 B Como 2 2023 7 17 Fazendo x 7 e y 17 obtemos f7 17 f7 f17 f119 2 3 f119 5 Fazendo agora x 17 e y 119 chegamos a f17 119 f17 f119 f2023 3 5 f2023 8 Resposta da questão 50 B A soma dos 100 primeiros termos da sequência dada vale 7 7 7 S 6 6 6 5 5 5 7 S 50 6 5 S 300 70 S 370 Resposta da questão 51 B Analisando as afirmativas A Falsa Temos que f2 3 ff2 f3 1 fff2 f1 B Verdadeira De acordo com o gráfico para x 1 teremos sempre fx 1 C Falsa O conjunto imagem de f é y y 1 D Falsa O valor da função tende a 1 para x o que não ocorre necessariamente com o valor da soma dada 35 Resposta da questão 52 C Temse que 0 0 0 0 100R 1 IR R 1 100 1 R Logo sendo R0 1 I será máximo quando 0 1 R for mínimo Isso ocorre quando 0 R é máximo Portanto para uma vacina quanto maior 0 R maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia Resposta da questão 53 B Substituindo os dados do enunciado na função obtemos 2 2 2 2 f 1 1 k 1 m 0 1 k m 0 m k 1 f k k k k k 1 2 k k k 1 2 k 3 m 2 Logo 2 fk m f1 1 3 1 2 6 Resposta da questão 54 B A função f está definida se e somente se 16 x20 x 0 x 16x 20 0 20 x 16 Seja a função g dada por gx x 16x 20 Temse que a abscissa do vértice da parábola que representa g é V 16 20 x 2 2 Logo o valor máximo de g é igual a máx 2 4 g 2 2 16 2 20 2 3 Em consequência como f atinge seu máximo quando g também assume o seu valor máximo temos 4 2 4 fmáx 2 2 3 3 2 Resposta da questão 55 B Como f2 0 e f3 0 temos f2 f3 0 É verdade que 1 5 1 f f f 0 2 2 2 pois 1 f 0 2 f 5 0 2 e 1 f 0 2 Sendo f1 0 e f0 0 é claro que f1 f0 0 Se f2 0 então x 2 é raiz de f É claro que 2 é um número real Resposta da questão 56 C A ordenada do ponto B é tal que yB f0 1 Logo devemos impor 36 3 2 2 fx 1 x x 2x 1 1 xx x 2 0 xx 1x 2 0 Portanto sendo xA 1 e xC 2 temos C A dA C x x 3 Resposta da questão 57 C É imediato que a b c e d são os zeros de f Logo temos 4 2 2 2 2 2 2 fx x 10x 9 x 5 4 x 9x 1 x 3x 3x 1x 1 Portanto vem a 3 b 3 c 1 e d 1 A resposta é 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d 3 3 1 1 9 9 1 1 20 Resposta da questão 58 D No gráfico da alternativa D temse f1 f5 4 e fx 0 para todo x Já no gráfico da alternativa A temos f1 f5 e nos gráficos das alternativas B C e E temos fx 0 para pelo menos um valor real de x Resposta da questão 59 B Calculando Das intersecções do gráfico temse fx ax 2x 1x 3 se a 1 f0 0 20 10 3 6 intersecção em 6 0 mas a interseção é 1 0 2 a 3 1 fx x 2x 1x 3 3 1 5 a b c d 2 1 3 3 3 Resposta da questão 60 A 1 Verdadeira Com efeito pois para quaisquer 1 x x2 4 6 com 1 2 x x temse 1 2 fx fx 2 Verdadeira Vamos supor que o domínio de f seja o conjunto dos números reais Logo desde que para todo elemento x do domínio de f se verifica fx f1 podemos concluir que f tem um ponto de máximo em x 1 3 Falsa Basta observar que f possui mais de uma raiz real 4 Falsa O gráfico de f corta o eixo das abscissas em quatro pontos Logo f possui no mínimo quatro raízes reais e portanto não pode ser uma função polinomial de terceiro grau
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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍUESPI CURSO LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA ELEMENTOS DA MATEMÁTICA II PRIL 20231 PROFESSOR AFONSO NORBERTO DA SILVA 1 Fgv 2022 O número 3 2 2 3 2 2 é um número racional ou um número irracional Escrevao na sua forma mais simples Basta fornecer a resposta Não é necessário apresentar o desenvolvimento da solução 2 Ufjfpism 1 2021 Representar a dízima periódica simples 0232323 como uma fração irredutível 3 Uel 2018 Um estudante fez uma pesquisa com um grupo de universitários para obter um panorama a respeito da utilização de três redes sociais Ao computar as informações fornecidas pelas pessoas entrevistadas constatou que 55 utilizam Snapchat Instagram e Facebook 70 utilizam Snapchat e Facebook 105 utilizam Snapchat e Instagram 160 utilizam Instagram e Facebook 180 utilizam Snapchat 225 utilizam Instagram 340 utilizam Facebook 85 não utilizam qualquer uma das redes sociais da pesquisa A partir dessas informações quantas pessoas foram entrevistadas Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão 4 Uerj 2017 O proprietário de uma lanchonete vai ao supermercado comprar sardinha e atum enlatados Cada lata de sardinha pesa 400 g e cada lata de atum 300 g Como sua bolsa de compras suporta até 65 kg ele decide comprar exatamente 6 kg dessas latas Sabe se que foi comprada pelo menos uma lata de cada pescado Determine o maior número possível de latas que o proprietário da lanchonete poderá comprar 5 Ufpr 2014 Um método numérico que fornece aproximações para a solução de um problema estabeleceu a seguinte regra para gerar pontos no plano cartesiano 2 n 2 4 2n P 3 n n 1 Dessa forma quando n 1 o ponto gerado é 71 e assim por diante a Calcule as coordenadas dos quatro primeiros pontos fornecidos por essa regra b Conforme n aumenta n P se aproxima de qual ponto do plano cartesiano 6 Ufrj 2011 Se x 3 8 3 8 mostre que x é inteiro e negativo Sugestão calcule x2 2 7 G1 cftce 2005 A expressão representa uma fração a b Calcule a b 8 Ufpe 2003 Seja AB com A e B inteiros primos entre si a fração geratriz da dízima periódica 4373737 Indique a soma dos algarismos de A 9 Ufc 2000 Se 113 14 pq onde p e q são números inteiros positivos relativamente primos determine pq 10 G1 1996 Represente em linguagem simbólica os seguintes subconjuntos de IR 11 G1 1996 Represente na reta numerada os seguintes subconjuntos de IR a A x R x 3 2 b B x R 2 x 5 12 Unicamp 1996 a Quais são o quociente e o resto da divisão de 3785 por 17 b Qual o menor número natural maior que 3785 que é múltiplo de 17 13 G1 1996 Complete as sentenças a seguir com os símbolos referentes às funções contém não contém contido não contido de forma a tornar todas elas verdadeiras 3 14 G1 1996 Dados os subconjuntos de IR calcule faça o gráfico A x IR 2 x 3 B x IR 1 x 4 C x IR x 0 a A B b A B c A C B 15 G1 1996 Classifique em verdadeira V ou falsa F cada uma das seguintes afirmações 16 Eear 2022 Seja uma função f A B tal que A 0 1 2 3 4 e B A alternativa que apresenta todos os pontos de um possível gráfico de f é a 0 0 0 1 0 2 0 3 e 0 4 b 0 0 1 0 2 0 3 0 e 4 0 c 0 0 1 1 2 2 e 3 3 d 0 1 2 3 4 5 e 5 6 17 Efomm 2021 Coloque V nas proposições Verdadeiras e F nas Falsas Dados os conjuntos A 0 71 e B x y1 se A B podemos afirmar que x 0 e y 7 Um conjunto A tem α elementos e β subconjuntos e um conjunto B tem três elementos a mais que o conjunto A então o número de subconjuntos de B é 3 β Sejam os conjuntos A 1 2 3 4 e C 1 2 O conjunto B tal que B C 1 e B C A então B 2 3 4 Dados A 2 3 4 B 3 4 5 6 e a Relação Binária R de A em B tal que R x y A B x divide y então a relação inversa de R é uma função sobrejetora Lendose a coluna de parênteses de cima para baixo encontrase a V F V F b V F F V c F F V F d V F F F e F F F F 4 18 Enem PPL 2021 Uma moça estacionou seu carro na interseção da Rua 1 com a Avenida A Ela está hospedada em um hotel na Rua 3 posicionado a exatos 40 metros de distância da Avenida A contados a partir da Avenida A em direção à Avenida B No mapa está representado um plano cartesiano cujo eixo das abscissas coincide com a Avenida A e o das ordenadas com a Rua 1 sendo a origem 0 0 o local onde se encontra estacionado o veículo Os quarteirões formados pelos cruzamentos dessas vias formam quadrados de lados medindo 100 m A ordenada do ponto que representa a localização do hotel é a 60 b 40 c 0 d 40 e 60 19 G1 ifsul 2017 Uma função do 1º grau f possui o gráfico abaixo A lei da função f é a x 3 fx 2 2 b fx x 1 c 1 fx 2x 2 d x 1 fx 2 2 5 20 G1 ifsul 2016 Considere o intervalo real 5 5 multipliqueo por 3 e someo a 5 Qual é a razão entre o menor e o maior número desse intervalo a 3 b 2 c 1 d 0 21 Enem PPL 2014 Alunos de um curso de engenharia desenvolveram um robô anfíbio que executa saltos somente nas direções norte sul leste e oeste Um dos alunos representou a posição inicial desse robô no plano cartesiano pela letra P na ilustração A direção nortesul é a mesma do eixo y sendo que o sentido norte é o sentido de crescimento de y e a direção lesteoeste é a mesma do eixo x sendo que o sentido leste é o sentido de crescimento de x Em seguida esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação para o robô 4 norte 2 leste e 3 sul nos quais os coeficientes numéricos representam o número de saltos do robô nas direções correspondentes e cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano Depois de realizar os comandos dados pelo aluno a posição do robô no plano cartesiano será a 0 2 b 0 3 c 1 2 d 1 4 e 21 22 Enem 2ª aplicação 2014 Uma pesquisa do Instituto de Pesquisa Econômica Ipea investigou qual área faz a economia crescer mais e quais os maiores responsáveis pela diminuição da desigualdade na distribuição de renda 6 Considerando apenas as áreas que contribuem para o crescimento econômico mais do que o investimento em exportação qual delas é a que mais influencia para a maior igualdade a Bolsa família b Educação c Investimento em construção civil d Previdência Social e Saúde TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO As atividades de comunicação humana são plurais e estão intimamente ligadas às suas necessidades de sobrevivência O problema de contagem por exemplo se confunde com a própria história humana no decorrer dos tempos Assim como para os índios mundurucus do sul do Pará os waimiriatroari contam somente de um até cinco adotando os seguintes vocábulos awynimi é o número 1 typytyna é o 2 takynima é o 3 takyninapa é o 4 e finalmente warenipa é o 5 Texto Adaptado Scientific American Brasil Etnomatática Edição Especial Nº 11 ISSN 16795229 23 Uepa 2014 Considere A o conjunto formado pelos números utilizados no sistema de contagem dos waimiriatroari ou seja A 12345 Nestas condições o número de elementos da relação R1 xy A A y x é igual a a 5 b 10 c 15 d 20 e 25 24 Fuvest 2023 Duas empresas de entrega de mercadorias A e B são concorrentes A empresa A obra R 400 por quilo da encomenda e mais R 3000 de taxa fixa Já a tarifa da empresa B é de R 600 por quilo sem taxa fixa para encomendas de até 30 quilos para encomendas de mais de 30 quilos a empresa B cobra R 200 por quilo mais uma taxa fixa de R 12000 a Dê a expressão da função que descreve a tarifa cobrada pela empresa A em termos do peso x da encomenda b Para qual intervalo de pesos é mais barato pedir uma entrega pela empresa A do que pela empresa B c Um cliente solicitou duas encomendas uma entregue pela empresa A e outra pela empresa B com peso total de 200 quilos Quais são as possíveis maneiras de distribuir esse peso entre as duas empresas sabendo que a tarifa de entrega total foi de R 85000 25 Ufjfpism 1 2020 Um tanque é abastecido por uma torneira e o volume de água em milhares de litros em seu interior é dado por 1 V t 3t 13 com t contado em horas a partir do instante t 0 em que a torneira é aberta No instante 1t em que o volume de água atinge a capacidade máxima do tanque a torneira é automaticamente fechada e imediatamente um registro é aberto permitindo que a água acumulada nesse tanque abasteça caixas dágua menores A partir do momento em que esse registro é aberto o volume dágua no tanque passa a ser descrito pela função 2 V t 2t 58 para 1 t t até que o tanque esteja completamente vazio a Calcule a capacidade máxima do tanque b Em quanto tempo o tanque estará vazio depois de fechada a torneira e aberto o registro 7 26 Fgv 2020 Para celebrar uma festa o centro acadêmico de uma faculdade escolhe entre dois lugares cujos preços são Salão A Salão B R 100000 mais R 500 por pessoa R 20000 mais R 1000 por pessoa A capacidade máxima de ambos os lugares é de 300 pessoas O centro não tem ainda o número de pessoas que irá à festa a Para que número de pessoas é indiferente o salão a ser escolhido pelo centro acadêmico b Represente graficamente em um mesmo par de eixos cada uma das duas funções que expressa o preço de cada salão em função do número de pessoas que irá à festa Que salão deve ser escolhido caso o número de pessoas presentes na festa seja maior do que o número obtido no item a 27 Pucrj 2017 Dadas as funções f g definidas por 2 fx x 13x 36 e gx 2x 12 a Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas funções b Encontre os valores reais de x para os quais fx g x c Encontre os valores reais de x que satisfazem fx 1 gx 2 28 Uel 2015 ViajeBem é uma empresa de aluguel de veículos de passeio que cobra uma tarifa diária de R 16000 mais R 150 por quilômetro percorrido em carros de categoria A AluCar é uma outra empresa que cobra uma tarifa diária de R 14600 mais R 200 por quilômetro percorrido para a mesma categoria de carros a Represente graficamente em um mesmo plano cartesiano as funções que determinam as tarifas diárias cobradas pelas duas empresas de carros da categoria A que percorrem no máximo 70 quilômetros b Determine a quantidade de quilômetros percorridos para a qual o valor cobrado é o mesmo Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados 29 Fgv 2014 A quantidade de cópias vendidas de cada edição de uma revista jurídica é função linear do número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública Uma edição com quatro matérias desse tipo vendeu 33 mil exemplares enquanto que outra contendo sete matérias que abordavam aqueles julgamentos vendeu 57 mil exemplares a Quantos exemplares da revista seriam vendidos caso fosse publicada uma edição sem matéria alguma que abordasse julgamento de casos com ampla repercussão pública b Represente graficamente no plano cartesiano a função da quantidade Y de exemplares vendidos por edição pelo número X de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública c Suponha que cada exemplar da revista seja vendido a R 2000 Determine qual será o faturamento por edição em função do número de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública 30 Famema 2023 Sejam as funções y fx e y gx com f 0 6 e g 610 cujos gráficos representados no plano cartesiano são segmentos de reta como indica a figura 8 Seja f gx 610 a função composta de y fx e y gx em que f gx fgx Assim fgx é igual a a 2 3 b 5 3 c 6 d 8 3 e 3 31 Efomm 2022 Seja a função f definida por f1 4 f2 1 f3 3 f4 5 e f5 2 Considere por exemplo que 3 f x fffx é a composta de f três vezes e que n f x é a n ésima composta da função f O valor de 2022 f 4 é a 1 b 2 c 4 d 5 e 6 32 FuvestEte 2022 Sejam f e g duas funções tais que 1 gx 1 x e 2 gfx x x 2 Então fx é igual a a 2 x b 2 1 x 1 c x2 x 2 d 2 1 x x 1 e 2 1 1 x 1 33 Fmj 2022 Seja a função f definida por 2x 7 se x 5 fx 18 3x se x 5 O valor de ff6 ff0 é igual a 9 a 26 b 39 c 13 d 28 e 14 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1 Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como processamento de sinais Considere a função x 1 y fx x 1 definida para x x 1 que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius 34 Unicamp 2023 Sobre a função inversa de fx é correto afirmar que a f 1 x fx para x 1 b f 1 x 1 fx para x 1 c f 1 x fx para x 1 d f 1 x f x para x 1 35 Integrado Medicina 2022 Dado duas funções reais e invertíveis tais que fx 4x 3 e gx 5 x Assinale a alternativa que indique corretamente a função jx fohx onde hx g1x a jx 4x 17 b jx 4x 17 c jx 4x 23 d jx 4x 23 e jx 4x 21 36 Espcex Aman 2022 Abaixo temos 3 proposições I x2 x para todo x real II x x para todo x real III x ax b x b x a para todo x real Analisando as proposições acima podemos afirmar que a I é a única proposição verdadeira b I e III são as únicas proposições verdadeiras c todas as proposições são verdadeiras d nenhuma proposição é verdadeira e II e III são as únicas proposições verdadeiras 37 Espcex Aman 2020 A área da região compreendida entre o gráfico da função fx x 4 2 o eixo das abscissas e as retas x 0 e x 6 é igual a em unidades de área a 2 b 4 c 6 d 10 e 12 10 38 Fuvest 2023 Considere a b e c e a função f dada por 2 fx ax bx c a Determine os valores de a b e c para que f 1 1 f 0 0 e f 1 1 b Para a 1 e b 4 determine o valor de c de modo que a área do triângulo ABV da figura seja igual a 32 ua onde V é o vértice da parábola representada por f c Considere g a função dada por gt cos t Se a 3 e c 8 determine para quais valores de b a equação f gt 0 possui ao menos uma solução real 39 Famerp 2023 Seja uma função polinomial do segundo grau dada por 2 fx x mx p com m p Se o gráfico dessa função no plano cartesiano intersecta o eixo x nos pontos de coordenadas 2 0 e 4 0 então m p é igual a a 10 b 12 c 8 d 6 e 6 40 Eear 2023 Seja a função definida em reais 2 fx kx 1 18 com k Para que seu gráfico seja uma parábola cuja ordenada do vértice seja o valor mínimo da função é necessário que a k 0 b k 0 c k 0 d k 0 41 Famema 2023 No plano cartesiano ortogonal a distância entre os pontos em que a parábola dada pela função 4 2 8 fx x x 4 9 3 intersecta os eixos em unidades de comprimento do plano é igual a a 6 b 4 c 5 d 2 e 3 11 42 Unicamp 2023 Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola de uma reta e o ponto P ab que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola O valor de a b é a 75 b 7 c 65 d 6 43 Enem 2022 Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês ao longo de um ano O modelo é dado por 2 pt t 10t 24 sendo t um número natural variando de 1 a 12 que representa os meses do ano e pt a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia Foram apresentadas cinco propostas I II III IV e V com diferentes períodos de intensificação das propagandas I 1 t 2 II 3 t 4 III 5 t 6 IV 7 t 9 V 10 t 12 A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que segundo o modelo há a maior quantidade de infectados A sugestão foi aceita A proposta escolhida foi a a I b II c III d IV e V 44 Uece 2022 A comissão de Formatura do Curso de Matemática contratou junto à empresa AIRBR um avião para transportar um grupo de concludentes nos seguintes termos I O avião disponibiliza 90 assentos II para cada assento ocupado a empresa recebe R 90000 fixos mais um valor variável v III o valor variável v é igual a n R5000 onde n é o número de assentos desocupados Nessas condições a maior receita que a empresa poderá obter está entre 12 a R 14000000 e R 15000000 b R 17000000 e R 18000000 c R 15000000 e R 16000000 d R 16000000 e R 17000000 45 Uscs Medicina 2022 Considere a função quadrática 2 fx mx 3x n em que m e n são constantes reais Sabendo que o vértice da parábola que representa o gráfico da função f é o ponto 1 9 podese afirmar que a m n 8 b mn 9 c m n 3 d m n 6 e mn 9 46 Unisc 2022 Os gafanhotos são conhecidos por serem capazes de ocasionar danos às plantações O desmatamento promove uma redução do número de predadores naturais permitindo o aumento de indivíduos além das mudanças climáticas que provocam um aumento da temperatura o que favorece a proliferação de insetos Um gafanhoto cuja característica marcante é a presença do último par de pernas alongado e adaptado para saltos salta para o alto percorrendo uma trajetória descrita por 2 hx 3x 30x em que hx é a altura em centímetros e x é a distância horizontal alcançada também em centímetros A altura máxima em cm atingida pelo gafanhoto no salto é a 55 b 25 c 100 d 75 e 50 47 Ufsc 2022 Some os números associados às proposições corretas 01 Sejam f e g funções cujos domínios são respectivamente Df e Dg Se f e g são tais que Df Dg e fx gx para todo x Df então f e g são iguais 02 Se f é a função definida por 1 se x fx 0 se x então f não é par nem ímpar 04 Se f a definida por 2 fx x 4x 9 é uma função sobrejetora então a é 5 08 Se f é a função afim decrescente tal que f1 1 e f f0 3 então f10 é um número primo 16 O nível de potência sonora N é uma medida da carga de energia de uma fonte e é definido por 12 N 10 log10 W sendo W a potência sonora da fonte em watts e N expressa em decibéis dB Se a potência sonora de um altofalante for multiplicada por 10 então o aumento do nível de potência será de 10 dB 32 Se x2 5x 1 5 x 2 então existe x que satisfaz a inequação 64 Considere as funções reais fx x 2 e x 2 se x 3 gx 5 se 3 x 4 9 x se x 4 O contorno da região plana delimitada pelos gráficos das funções f e g é um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 540 48 Enem 2022 O funcionário de uma loja tem seu salário mensal formado por uma parcela fixa de 675 reais mais uma comissão que depende da quantidade de peças vendidas por ele no mês O cálculo do valor dessa comissão é feito de acordo com estes critérios até a quinquagésima peça vendida pagase 5 reais por peça a partir da quinquagésima primeira peça vendida o valor pago é de 7 reais por peça 13 Represente por q a quantidade de peças vendidas no mês por esse funcionário e por Sq o seu salário mensal em real nesse mês A expressão algébrica que descreve Sq em função de q é a Sq 675 12q b Sq 325 12q c Sq 675 7q d 625 5q se q 50 Sq 925 7q se q 50 e 625 5q se q 50 Sq 575 7q se q 50 49 Unicamp 2023 Suponha que uma função fx satisfaça à propriedade fx y fx fy Sabendo que f7 2 e f17 3 o valor de f2023 é a 7 b 8 c 17 d 18 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1 Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como processamento de sinais Considere a função x 1 y fx x 1 definida para x x 1 que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius 50 Unicamp 2023 Considere a sequência 1 2 x x definida por x1 6 e para cada n 1 temos n 1 n x fx ou seja x1 6 2 1 7 x fx 5 3 2 x fx e assim sucessivamente Então a soma dos 100 primeiros termos desta sequência vale a 140 b 370 c 600 d 740 14 51 Epcar Afa 2022 Considere o gráfico da função real f representado abaixo Nele y 1 é uma assíntota Com base no gráfico marque a alternativa correta a fff2 f0 b Se x 1 então fx 1 c O conjunto imagem de f é y y 1e y 1 d Se A f 10 f 100 f 1000 f 10000 então A 1 0 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Para conter uma certa epidemia viral uma vacina será aplicada a uma população Sabese que a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivíduos vacinados que estarão imunes à doença e para controlar a epidemia a porcentagem mínima de uma dada população a ser imunizada é dada pela fórmula 0 0 0 IR 100R 1 R em que R0 1 é um valor associado às características da epidemia Assumese ainda que uma eventual imunização somente é adquirida por meio da vacina 52 Unicamp 2022 Em relação à epidemia e à vacinação é correto afirmar que a a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia é sempre maior que 50 b para uma vacina quanto maior 0 R menor a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia c para uma vacina quanto maior 0 R maior a porcentagem mםnima da populaדחo que deve ser vacinada para controlar a epidemia d para um dado 0 R quanto maior a efetividade da vacina maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia 53 Uea 2021 A função real 2 fx x kx m com k e m números reais e k 0 passa pelo ponto P 1 0 Se f k 2 o valor de fk m é igual a a 5 b 6 c 4 d 3 e 2 15 54 Fgv 2021 O maior valor que pode ser assumido pela função real definida por 4 fx 16 x20 x é a 2 2 b 3 2 c 2 5 d 2 6 e 3 3 55 Pucrj 2022 Seja a função f cujo gráfico está representado abaixo Assinale a alternativa correta a f2 f3 0 b 1 5 1 f f f 0 2 2 2 c f1 f0 0 d f não possui raízes reais 16 56 Unicamp 2020 Seja a função polinomial do terceiro grau 3 2 fx x x 2x 1 definida para todo número real x A figura abaixo exibe o gráfico de y fx no plano cartesiano em que os pontos A B e C têm a mesma ordenada A distância entre os pontos A e C é igual a a 2 b 2 2 c 3 d 3 2 57 Uece 2020 No plano com o sistema de coordenadas cartesianas usual o gráfico da função real de variável real 4 2 fx x 10x 9 cruza o eixo dos x nos pontos a 0 b 0 c 0 e d 0 Assim é correto afirmar que a soma 2 2 2 2 a b c d é igual a a 22 b 16 c 20 d 18 58 Fmp 2018 Uma função f é tal que a f1 f5 b f3 0 c fx 0 para todo valor de x Um gráfico que poderia ser aquele associado à função é a b 17 c d e 59 Upf 2017 O gráfico a seguir representa a função polinomial fx ax bx cx d O valor de a b c d é a 2 b 5 3 c 1 3 d 7 3 e 2 18 60 Ufpr 2017 A respeito da função representada no gráfico abaixo considere as seguintes afirmativas 1 A função é crescente no intervalo aberto 4 6 2 A função tem um ponto de máximo em x 1 3 Esse gráfico representa uma função injetora 4 Esse gráfico representa uma função polinomial de terceiro grau Assinale a alternativa correta a Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras b Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras c Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras d Somente as afirmativas 1 2 e 4 são verdadeiras e Somente as afirmativas 2 3 e 4 são verdadeiras 19 Gabarito comentado Resposta da questão 1 É fácil ver que 3 2 2 3 2 2 Assim fazendo x 3 2 2 3 2 2 vem 2 2 2 2 x 3 2 2 3 2 2 x 3 2 2 2 3 2 23 2 2 3 2 2 x 6 2 9 8 x 2 Portanto segue que 3 2 2 3 2 2 2 ou seja um número racional Resposta da questão 2 x 0232323 100x 23232323 100x 10x 23 99x 23 23 x 99 Resposta 23 99 Resposta da questão 3 Fazendo um diagrama de Venn Assim 60 50 55 15 15 105 165 85 550 Resposta da questão 4 Sejam s e a respectivamente o número de latas de sardinha e o número de latas de atum com s 1 a 1 e s a Logo vem 60 3s 300s 400a 6000 a 4 20 Para que o total de latas seja máximo o número de latas de atum deve ser mínimo e o de sardinhas deve ser máximo Assim vem s 16 e a 3 Em consequência a resposta é s a 19 Resposta da questão 5 a Supondo que os pontos pedidos são 1 2 3 P P P e 4 P temos 1 P 71 2 2 2 4 2 2 8 P 3 5 2 5 2 1 2 3 2 4 2 3 13 9 P 3 3 3 5 3 1 e 2 4 2 4 2 4 32 P 3 4 4 17 4 1 b Tomando n suficientemente grande a parcela 4 n se aproxima de zero Logo a abscissa de n P se aproxima de 3 Por outro lado como 2 2 2 2 2 2 2 2 2n 2n 2 2 n 1 n 1 2n 1 2 n 1 n 1 2 2 n 1 para n suficientemente grande a ordenada de n P se aproxima de 2 Em consequência conforme n aumenta n P se aproxima do ponto 3 2 Resposta da questão 6 É fácil ver que 3 8 3 8 Logo x 3 8 3 8 0 2 2 x 3 8 3 8 3 8 2 3 83 8 3 8 6 2 9 8 4 x 4 2 Por conseguinte x 2 que é um número inteiro e negativo 21 Resposta da questão 7 70 Resposta da questão 810 Resposta da questão 9 p q 19 Resposta da questão 10 a 30 b 710 Resposta da questão 11 Observe a figura a seguir a b Resposta da questão 12 a 222 e 11 respectivamente b 3791 Resposta da questão 13 a b c d e Resposta da questão 14 Observe a figura a seguir a b c Resposta da questão 15 a V b V c V d V e V Resposta da questão 16 B Dentre as alternativas a que obedece os pares ordenados possíveis é a B pois representa corretamente o conjunto A em suas coordenadas Resposta da questão 17 E I Falsa Podemos ter x 7 e y 0 II Falsa Dos subconjuntos de A temos que β 2α 22 E o número de subconjuntos de B é dado por 3 3 2 2 2 8 α α β III Falsa Das informações dadas deveríamos ter B 1 3 4 IV Falsa Relação Binária R e sua inversa 1 R 2 4 2 6 3 3 3 6 4 4 R 4 2 6 2 3 3 6 3 4 4 1 R não é função pois R 1 4 2 4 e R 1 6 2 3 Resposta da questão 18 B Se os quarteirões formados pelos cruzamentos das vias formam quadrados de lados medindo 100 m e o hotel se encontra na Rua 3 então a abscissa da posição do hotel em metros é x 200 Ademais como a posição do hotel corresponde a exatos 40 metros de distância da Avenida A contados a partir da Avenida A em direção à Avenida B segue que a ordenada da posição do hotel em metros é y 40 Resposta da questão 19 D Para determinar a equação da reta devemos obter o coeficiente angular m e escolher dois pontos Tomando os pontos 11 e 7 4 temos b a b a y y 4 1 3 1 m x x 7 1 6 2 Aplicando o coeficiente angular na equação da reta 0 0 y y m x x e tomando o ponto 11 1 x 1 y 1 x 1 y 2 2 2 Resposta da questão 20 B Realizando as operações temos 1 55 3 1515 2 1515 5 2010 20 3 2 10 Resposta da questão 21 C Temse que P 11 Portanto após realizar os comandos dados pelo aluno a posição do robô no plano cartesiano será 1 21 4 3 1 2 Resposta da questão 22 E As áreas que contribuem para o crescimento econômico mais do que o investimento em exportação são Investimento em construção civil Saúde e Educação política Dentre essas a que mais influencia para a maior igualdade é Saúde 23 Resposta da questão 23 C É fácil ver que o resultado pedido é dado por 5 4 3 2 1 15 Resposta da questão 24 a A tarifa cobrada pela empresa A em R é dada por yA 4x 30 b Tarifa cobrada pela empresa B B 6x x 30 y 2x 120 x 30 Pontos de equilíbrio entre as tarifas 1 1 1 2 2 2 4x 30 6x x 15 4x 30 2x 120 x 45 Graficamente podemos notar que o intervalo buscado é 15 x 45 c Sejam x e y respectivamente a massa comprada na empresa A e na empresa B Temos os seguintes sistemas x y 200 x y 200 x 190 e y 10 4x 30 6y 850 2x 3y 410 ou x y 200 x y 200 x 150 e y 50 4x 30 2y 120 850 2x y 350 Portanto é possível distribuir as massas de acordo com as soluções obtidas Resposta da questão 25 a No instante em que a torneira é fechada e o registro aberto temos 1 2 V t V t 3t 13 2t 58 5t 45 t 9 h Portanto o volume máximo será dado por 1 V 9 3 9 13 40 L 24 b Teremos 2 V t 2t 58 0 2t 58 2t 58 t 29 Considerando que 1 t t o tempo o tanque estará vazio depois de fechada a torneira e aberto o registro será de 29 9 20 h Resposta da questão 26 a Valores cobrados por cada salão em função do número x de pessoas Salão A SA 1000 5x Salão B SB 200 10x O número de pessoas que torna indiferente a escolha do salão é 1000 5x 200 10x 5x 800 x 160 b Para 300 pessoas os valores cobrados são A B S 1000 5 300 2500 S 200 10 300 3200 Temos então os gráficos Como podemos observar caso o número de pessoas seja superior a 160 o salão A deve ser o escolhido 25 Resposta da questão 27 a Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de f e g basta resolvermos a equação fx gx De 2 fx x 13x 36 gx 2x 12 e fx gx 2 2 x 13x 36 2x 12 x 11x 24 0 Resolvendo a equação acima x 3 ou x 8 De x 3 g3 2 3 12 g3 6 De x 8 g8 2 8 12 g8 4 Logo os pontos de interseção dos gráficos das funções são 3 6 e 8 4 b De fx gx 2 2 x 13x 36 2x 12 x 11x 24 0 x 3 x 8 0 x 3 ou x 8 c De 2 fx x 13x 36 2 2 2 fx 1 x 1 13 x 1 36 fx 1 x 2x 1 13x 13 36 fx 1 x 11x 24 De g x 2x 12 gx 2 2 x 2 12 gx 2 2x 4 12 gx 2 2x 16 Então 2 2 x 11x 24 2x 16 x 9x 8 0 Resolvendo a equação acima x 1 ou x 8 26 Resposta da questão 28 a Sejam fg 0 70 com fx 15x 160 e gx 2x 146 cujos gráficos estão representados na figura abaixo b Queremos calcular o valor de x para o qual se tem fx gx Logo segue que 15x 160 2x 146 x 28km Resposta da questão 29 Seja f a função afim definida por fx ax b em que fx é o número de cópias vendidas e x é o número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública Sabendo que o gráfico de f passa pelos pontos 4 33000 e 7 57000 temse que 57000 33000 a 8000 7 4 Logo 33000 8000 4 b b 1000 a O valor inicial da função f definida acima é igual a 1000 b O gráfico pedido é c Seja g a função definida por gx 20 fx em que gx é o faturamento por adição e fx é o número de cópias vendidas conforme definido em a Portanto seguese que gx 20 8000x 1000 160000x 20000 27 Resposta da questão 30 D Note que f é uma função linear e g é uma função constante Assim temos 4 fx 6 x e gx 4 A resposta é 4 8 fgx 4 6 3 Resposta da questão 31 B Da regra de formação temos que 1 2 3 2 4 3 5 4 f 4 5 f 4 ff4 f5 2 f 4 ff 4 f2 1 f 4 ff 4 f1 4 f 4 ff 4 f4 5 Ou seja é dado um padrão de formação a cada 4 termos Sendo assim 2022 2 2022 4 505 2 f 4 f 4 2 Resposta da questão 32 D Temos que 1 gfx 1 fx Sendo assim 2 2 2 2 2 1 x x 2 1 fx fx 1 x x 2 fx fx x x 2 fx 1 fx x x 1 1 1 fx x x 1 Resposta da questão 33 E f6 18 3 6 0 ff6 f0 2 0 7 7 f0 2 0 7 7 ff0 f 7 2 7 7 21 Portanto ff6 ff0 7 21 7 21 14 Resposta da questão 34 A A inversa de fx é dada por para x 1 28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f x 1 x f x 1 xf x x f x 1 xf x f x x 1 x 1f x x 1 x 1 f x x 1 f x fx Resposta da questão 35 A Questão anulada no gabarito oficial O primeiro passo será determinar a função inversa da função g 1 gx 5 x x 5 gx hx g x 5 x Determinando agora a função j temos jx foh jx fhx jx 4hx 1 jx 4 5 x 3 jx 20 4x 3 jx 4x 17 A questão foi anulada pois não havia opção correta Resposta da questão 36 D Analisando as afirmativas A Falsa x2 x B Falsa x x se x 0 x x se x 0 C Falsa x ax b x b para x a x a Portanto nenhuma proposição é verdadeira 29 Resposta da questão 37 C Seja a função g tal que gx x 4 2 x 4 2 se x 4 0 x 4 2 se x 4 0 x 6 se x 4 x 2 se x 4 Logo o gráfico de g é Mas fx gx e portanto segue que o gráfico de f é A resposta é igual a 1 1 2 2 4 2 6 ua 2 2 Resposta da questão 38 a Substituindo os valores na função dada obtemos 2 2 2 a 1 b 1 c 1 a b c 1 a 0 b 0 c 0 c 0 a b c 1 0 0 a b c 1 a 1 b 1 c 1 30 b Coordenadas do vértice da parábola 2 v 2 v fx x 4x c 4 x 2 2 1 y 2 4 2 c 4 c Raiz positiva da função 4 16 4c x 2 4 c 2 Logo 2 2 3 6 AB VA 32 2 2 4 c 2 4 c 32 2 4 c4 c 64 4 c 4 4 c 16 c 12 c Temos que 2 2 fgt 3cos t bcost 8 0 b b 96 cost 6 Como b2 96 0 b a equação acima resulta em valores reais para a incógnita cost Porém para que a equação possua ao menos uma solução real também é necessário que 1 cost 1 Ou seja 2 2 f1 f 1 0 3 1 b 1 8 3 1 b 1 8 0 b 5 b 5 0 b 5 ou b 5 Resposta da questão 39 A Substituindo os pontos dados na função obtemos 2 2 0 2 m 2 p 4 2m p 0 I 16 4m p 0 II 0 4 m 4 p Fazendo II I 12 6m 0 m 2 4 2 2 p 0 p 8 Portantom p 10 Resposta da questão 40 D A função f é dada por 2 2 2 fx kx 1 18 k x 2kx 17 Para que o gráfico seja uma parábola devemos ter k 0 E para que a função dada possua valor mínimo devemos ter k2 0 Logo como k é real é necessário que k 0 31 Resposta da questão 41 C Pondo fx 0 temos 2 4 2 8 2 x x 4 0 x 2 0 9 3 3 x 3 Logo a parábola intersecta o eixo das abscissas no ponto 3 0 Como o termo independente da lei de f é 4 segue que a parábola intersecta o eixo das ordenadas no ponto 0 4 Os pontos de interseção da parábola com os eixos coordenados e a origem do sistema de eixos cartesianos são os vértices de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 Desse modo podemos concluir que a hipotenusa desse triângulo mede 5 e a resposta segue de imediato Com efeito tratase do triângulo retângulo pitagórico de lados 3 4 e 5 Resposta da questão 42 B Equação da reta x y 1 1 0 1 0 y 2x 2 0 2 1 Equação da parábola 2 2 y x 2x 1 2 0 20 1 2 2 1 y x 2x 1 y x x 2x 2 y x x 2 α α α α Ponto de interseção entre a reta e a parábola 2 2 2 y 2x 2 y x x 2 2x 2 x x 2 x 3x 0 xx 3 0 x 0 e y 2 0 2 2 ou x 3 e y 2 3 2 4 Como o ponto P pertence ao 3º quadrante devemos ter que P 3 4 Logo a b 3 4 7 Resposta da questão 43 C Escrevendo a lei de p na forma canônica vem 2 2 pt t 10t 24 49 t 5 Assim é fácil ver que para t 5 pt assume o seu valor máximo Como 5 5 6 segue que a proposta escolhida foi a III 32 Resposta da questão 44A Seja rn a receita obtida pela empresa Logo temos rn 900 50n 90 n 50 n 18 n 90 O valor de n para o qual a receita é máxima é igual a 18 90 36 2 Portanto a receita máxima é r36 50 36 18 36 90 R 14580000 ou seja um valor entre R 14000000 e R 15000000 Resposta da questão 45 D Da abscissa do vértice obtemos 3 1 2m 3 m 2 Da ordenada do vértice obtemos 2 3 3 4 n 2 9 3 4 2 9 6n 9 6 9 6n 54 6n 45 15 n 2 Logo 3 15 12 m n 2 2 2 m n 6 Resposta da questão 46 D A altura máxima atingida pelo gafanhoto pode ser obtida através da ordenada do vértice da parábola 2 máx máx máx 30 4 3 0 h 4a 4 3 900 h 12 h 75 cm Δ 33 Resposta da questão 47 04 08 16 64 92 01 Falsa Neste item é necessário saber distinguir os termos equivalência e igualdade Por exemplo sejam as funções fx e gx que satisfazem as condições do enunciado fx x 2 3x 6 gx 3 Embora sejam equivalentes e produzam os mesmos resultados numéricos não são iguais 02 Falsa Se x então x E se x então x Logo fx fx e f é uma função par 04 Verdadeira Imagem da função 2 v 4 4 1 9 y 5 4a 4 1 Im 5 Δ Como se trata de uma função sobrejetora devemos ter a 5 08 Verdadeira Do enunciado obtemos 2 2 2 fx ax b a 0 f1 a b 1 b 1 a fx ax 1 a ffx aax 1 a 1 a ffx a x a 1 ff0 a 1 3 a 2 e b 3 fx 2x 3 f 10 2 10 3 23 Portanto f10 é um número primo 16 Verdadeira O aumento será de 10 dB pois 12 120 10 120 10 10 10 10 10 10 N 10 log10 W log10 W N log10 logW 120 logW N 120 log10W 120 log10 logW N 120 10 logW N N 10 32 Falsa Resolvendo a inequação 2 2 x 5x 1 x 9 x 3x 3 5 0 0 0 x 2 x 2 x 2 34 S x 3 x 2 ou x 3 Portanto não existe x que satisfaz a inequação 64 Verdadeira A região formada pelos gANULADA Questгo anulada no gabarito oficial Temse que 675 5q se q 50 Sq 675 5 50 7q 50 se q 50 675 5q se q 50 575 7q se q 50 Sem resposta Resposta da questão 49 B Como 2 2023 7 17 Fazendo x 7 e y 17 obtemos f7 17 f7 f17 f119 2 3 f119 5 Fazendo agora x 17 e y 119 chegamos a f17 119 f17 f119 f2023 3 5 f2023 8 Resposta da questão 50 B A soma dos 100 primeiros termos da sequência dada vale 7 7 7 S 6 6 6 5 5 5 7 S 50 6 5 S 300 70 S 370 Resposta da questão 51 B Analisando as afirmativas A Falsa Temos que f2 3 ff2 f3 1 fff2 f1 B Verdadeira De acordo com o gráfico para x 1 teremos sempre fx 1 C Falsa O conjunto imagem de f é y y 1 D Falsa O valor da função tende a 1 para x o que não ocorre necessariamente com o valor da soma dada 35 Resposta da questão 52 C Temse que 0 0 0 0 100R 1 IR R 1 100 1 R Logo sendo R0 1 I será máximo quando 0 1 R for mínimo Isso ocorre quando 0 R é máximo Portanto para uma vacina quanto maior 0 R maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia Resposta da questão 53 B Substituindo os dados do enunciado na função obtemos 2 2 2 2 f 1 1 k 1 m 0 1 k m 0 m k 1 f k k k k k 1 2 k k k 1 2 k 3 m 2 Logo 2 fk m f1 1 3 1 2 6 Resposta da questão 54 B A função f está definida se e somente se 16 x20 x 0 x 16x 20 0 20 x 16 Seja a função g dada por gx x 16x 20 Temse que a abscissa do vértice da parábola que representa g é V 16 20 x 2 2 Logo o valor máximo de g é igual a máx 2 4 g 2 2 16 2 20 2 3 Em consequência como f atinge seu máximo quando g também assume o seu valor máximo temos 4 2 4 fmáx 2 2 3 3 2 Resposta da questão 55 B Como f2 0 e f3 0 temos f2 f3 0 É verdade que 1 5 1 f f f 0 2 2 2 pois 1 f 0 2 f 5 0 2 e 1 f 0 2 Sendo f1 0 e f0 0 é claro que f1 f0 0 Se f2 0 então x 2 é raiz de f É claro que 2 é um número real Resposta da questão 56 C A ordenada do ponto B é tal que yB f0 1 Logo devemos impor 36 3 2 2 fx 1 x x 2x 1 1 xx x 2 0 xx 1x 2 0 Portanto sendo xA 1 e xC 2 temos C A dA C x x 3 Resposta da questão 57 C É imediato que a b c e d são os zeros de f Logo temos 4 2 2 2 2 2 2 fx x 10x 9 x 5 4 x 9x 1 x 3x 3x 1x 1 Portanto vem a 3 b 3 c 1 e d 1 A resposta é 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d 3 3 1 1 9 9 1 1 20 Resposta da questão 58 D No gráfico da alternativa D temse f1 f5 4 e fx 0 para todo x Já no gráfico da alternativa A temos f1 f5 e nos gráficos das alternativas B C e E temos fx 0 para pelo menos um valor real de x Resposta da questão 59 B Calculando Das intersecções do gráfico temse fx ax 2x 1x 3 se a 1 f0 0 20 10 3 6 intersecção em 6 0 mas a interseção é 1 0 2 a 3 1 fx x 2x 1x 3 3 1 5 a b c d 2 1 3 3 3 Resposta da questão 60 A 1 Verdadeira Com efeito pois para quaisquer 1 x x2 4 6 com 1 2 x x temse 1 2 fx fx 2 Verdadeira Vamos supor que o domínio de f seja o conjunto dos números reais Logo desde que para todo elemento x do domínio de f se verifica fx f1 podemos concluir que f tem um ponto de máximo em x 1 3 Falsa Basta observar que f possui mais de uma raiz real 4 Falsa O gráfico de f corta o eixo das abscissas em quatro pontos Logo f possui no mínimo quatro raízes reais e portanto não pode ser uma função polinomial de terceiro grau