Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA Professoras Me Marcela Gimenes Bera Oshita Me Juliana Moraes da Silva GRADUAÇÃO Unicesumar Acesse o seu livro também disponível na versão digital C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Núcleo de Educação a Distância OSHITA Marcela Gimenes Bera SILVA Juliana Moraes da Matemática Financeira Marcela Gimenes Bera Oshita Juliana Moraes da Silva MaringáPr Unicesumar 2020 Reimpresso em 2022 192 p Graduação EaD 1 Matemática 2 Financeira 3 EaD I Título ISBN 9788545917748 CDD 22 ed 51393 CIP NBR 12899 AACR2 Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário João Vivaldo de Souza CRB8 6828 Impresso por Reitor Wilson de Matos Silva ViceReitor Wilson de Matos Silva Filho PróReitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva PróReitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi NEAD Núcleo de Educação a Distância Diretoria Executiva Chrystiano Mincof James Prestes Tiago Stachon Diretoria de Graduação Kátia Coelho Diretoria de Pósgraduação Bruno do Val Jorge Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de Design Educacional Débora Leite Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie Fukushima Gerência de Processos Acadêmicos Taessa Penha Shiraishi Vieira Gerência de Curadoria Carolina Abdalla Normann de Freitas Gerência de de Contratos e Operações Jislaine Cristina da Silva Gerência de Produção de Conteúdo Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Projetos Especiais Daniel Fuverki Hey Supervisora de Projetos Especiais Yasminn Talyta Tavares Zagonel Coordenador de Conteúdo Juliana Moraes da Silva Designer Educacional Lilian Vespa Projeto Gráfico Jaime de Marchi Junior José Jhonny Coelho Arte Capa Arthur Cantareli Silva Ilustração Capa Bruno Pardinho Editoração Arthur Murilo Heicheberg Qualidade Textual Eloisa Dias Lourenço Ilustração Marta Sayuri Kakitani Em um mundo global e dinâmico nós trabalhamos com princípios éticos e profissionalismo não so mente para oferecer uma educação de qualidade mas acima de tudo para gerar uma conversão in tegral das pessoas ao conhecimento Baseamonos em 4 pilares intelectual profissional emocional e espiritual Iniciamos a Unicesumar em 1990 com dois cursos de graduação e 180 alunos Hoje temos mais de 100 mil estudantes espalhados em todo o Brasil nos quatro campi presenciais Maringá Curitiba Ponta Grossa e Londrina e em mais de 300 polos EAD no país com dezenas de cursos de graduação e pósgraduação Produzimos e revisamos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil exemplares por ano Somos reconhecidos pelo MEC como uma instituição de excelência com IGC 4 em 7 anos consecutivos Estamos entre os 10 maiores grupos educacionais do Brasil A rapidez do mundo moderno exige dos educa dores soluções inteligentes para as necessidades de todos Para continuar relevante a instituição de educação precisa ter pelo menos três virtudes inovação coragem e compromisso com a quali dade Por isso desenvolvemos para os cursos de Engenharia metodologias ativas as quais visam reunir o melhor do ensino presencial e a distância Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária Vamos juntos Seja bemvindoa caroa acadêmicoa Você está iniciando um processo de transformação pois quan do investimos em nossa formação seja ela pessoal ou profissional nos transformamos e consequente mente transformamos também a sociedade na qual estamos inseridos De que forma o fazemos Crian do oportunidades eou estabelecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desafios que surgem no mundo contemporâneo O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância oa acompanhará durante todo este processo pois conforme Freire 1996 Os homens se educam juntos na transformação do mundo Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógi ca e encontramse integrados à proposta pedagógica contribuindo no processo educacional complemen tando sua formação profissional desenvolvendo com petências e habilidades e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade de maneira a inserilo no mercado de trabalho Ou seja estes materiais têm como principal objetivo provocar uma aproximação entre você e o conteúdo desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhe cimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional Portanto nossa distância nesse processo de cresci mento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita Ou seja acesse regularmente o Studeo que é o seu Ambiente Virtual de Aprendizagem interaja nos fó runs e enquetes assista às aulas ao vivo e participe das discussões Além disso lembrese que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra dis ponível para sanar suas dúvidas e auxiliáloa em seu processo de aprendizagem possibilitandolhe trilhar com tranquilidade e segurança sua trajetória acadêmica AUTORAS Profa Me Marcela Gimenes Bera Oshita Mestrado em Controladoria pela Universidade Estadual de Maringá UEM Especialização em Gestão Contábil e Financeira pela Universidade Estadual de Maringá Graduação em Ciências Econômicas e Contábeis também pela UEM Atua como professora no Centro de Ensino Superior Unicesumar e no Departamento de Administração do Instituto Adventista Paranaense Link httplattescnpqbr7867304750238505 Profa Me Juliana Moraes da Silva Mestrado em Ciências Contábeis pela Universidade Estadual de Maringá UEM2016 Graduação em Licenciatura em Matemática pela UEM 2001 Bacharelado em Ciências Contábeis pela UEM 2006 Atualmente é coordenadora e docente dos Cursos de Ciências Contábeis e Gestão Financeira na modalidade a distância do Centro Universitário Maringá Unicesumar Link httplattescnpqbr0551257296562180 SEJA BEMVINDOA Olá caroa alunoa seja bemvindoa à nossa disciplina Matemática Financeira Gos taríamos de iniciar o nosso conteúdo destacando que essa temática é um ramo da matemática que se dedica ao estudo das transformações monetárias no tempo e ao estudo dos fluxos de caixas Você alguma vez já pensou que a matemática financeira está o tempo todo presente em nossas tomadas de decisões sobre o que comprar como pagar onde ou em que ativo investir Pois bem você perceberá estudando a nossa disciplina que o bom entendimento des se conteúdo é vital para podermos tomar a melhor decisão de forma a otimizar os re cursos Em termos gerais aprenderemos que a aplicação da matemática financeira está mais próxima do nosso cotidiano do que você imagina pois ela nos dá embasamento para conhecer os juros aplicados por exemplo em um financiamento ou em um in vestimento Essa disciplina oferecerá subsídios conceituais e ferramentas para que se tomem decisões racionais sobre as operações financeiras e alternativas considerando o valor que o dinheiro apresenta ao longo do tempo Legal Agora que você já sabe a importância da matemática financeira para tomada de decisões diárias seja no contexto pessoal seja empresarial convidooa a navegar por esse universo de forma a absorver esse conhecimento a fim de tomar as melhores decisões ao longo de sua jornada pessoal ou profissional Para isso iniciamos a Uni dade I com os conceitos e aspectos básicos sobre os conceitos fundamentais e juros simples o valor do dinheiro no tempo conceitos dos elementos financeiros taxas de juros sistemas de capitalização e fluxo de caixa Na Unidade II você terá a oportunidade de conhecer o sistema de capitalização sim ples como juros simples equivalência simples e desconto simples Na Unidade III avançaremos na matemática financeira para isso veremos os aspec tos do sistema de capitalização composta juros compostos equivalência composta e desconto composto Na Unidade IV imergiremos em rendas e anuidades classificação de rendas e anuida des rendas certas rendas diferidas e rendas perpétuas Por fim na Unidade V entra remos na temática dos sistemas de amortização e aplicações Sistema de Amortização Constante SAC Sistema Francês de Amortização SAF e as aplicações dos sistemas de amortização Diante disso eu o convido a embarcar nesta jornada e para conseguir atingir a finali dade desta disciplina utilize as referências indicadas neste material Reforço também a indicação das leituras complementares que serão de grande valia A partir do seu avanço no conhecimento sobre a área comece na prática ajudando al APRESENTAÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA guém da família ou um colega que não entende do assunto mas que precisa tomar uma decisão com relação aos aspectos financeiros Ofereçase para ajudar sempre pois assim aprenderá na prática os aspectos da matemática financeira que de início pode parecer complicada mas na verdade não é No entanto ela exigirá de você a realização de muitos exercícios e também aplicações práticas para poder fixar os inú meros detalhes exigidos na utilização desta área do conhecimento Pois bem agora que já conhece o assunto com que trabalharemos eu o convido a embarcar nesta jornada que será de grande valia para você Bons estudos e muito sucesso na aplicação da matemática financeira no seu cotidiano seja pessoal seja empresarial APRESENTAÇÃO SUMÁRIO 09 UNIDADE I CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES 15 Introdução 16 O Valor do Dinheiro no Tempo 20 Conceitos dos Elementos Financeiros 27 Taxas de Juros 31 Sistemas de Capitalização 34 Fluxo de Caixa 37 Considerações Finais 43 Referências 44 Gabarito UNIDADE II SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 51 Introdução 52 Juros Simples 62 Equivalência Simples 73 Desconto Simples 78 Considerações Finais 84 Referências 85 Gabarito SUMÁRIO 10 UNIDADE III SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 91 Introdução 92 Juros Compostos 101 Equivalência Composta 113 Desconto Composto 116 Considerações Finais 121 Referências 122 Gabarito UNIDADE IV RENDAS E ANUIDADES 131 Introdução 132 Classificação De Rendas E Anuidades 134 Rendas Certas 146 Rendas Diferidas 150 Rendas Perpétuas 152 Considerações Finais 156 Referências 158 Gabarito SUMÁRIO 11 UNIDADE V SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES 163 Introdução 164 Sistema de Amortização Constante SAC 167 Sistema Francês de Amortização SAF 176 Aplicações dos Sistemas de Amortização 182 Considerações Finais 191 CONCLUSÃO UNIDADE I Professoras Me Marcela Gimenes Bera Oshita Me Juliana Moraes da Silva CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Objetivos de Aprendizagem Explicar ao discente os conceitos do valor do dinheiro no tempo Demonstrar os conceitos dos elementos financeiros Explanar a definição de taxa de juros Instruir acerca dos sistemas de capitalização Ensinar sobre o fluxo de caixa Plano de Estudo A seguir apresentamse os tópicos que você estudará nesta unidade O valor do dinheiro no tempo Conceitos dos elementos financeiros Taxas de juros Sistemas de capitalização Fluxo de caixa INTRODUÇÃO Caroa alunoa esta unidade dará início ao processo de entendimento sobre os conceitos fundamentais da matemática financeira bem como acerca da taxa de juros simples Aprenderemos porque ao pegarmos um dinheiro emprestado ou ao realizarmos uma compra a prazo pagase um valor extra pela antecipa ção do consumo juros Da mesma forma quando colocamos o dinheiro em um investimento financeiro verificaremos porque recebemos um valor maior do que aquele investido remuneração Neste contexto veremos que o dinheiro tem um valor no tempo e por isso é importante saber que uma unidade monetária de hoje não vale a mesma coisa do que uma unidade monetária de ontem ou de amanhã Desta forma traba lharemos os conceitos dos elementos financeiros para que você possa entender o conceito básico da matemática financeira como valor presente e valor futuro Nesta perspectiva você passará a entender o conceito de taxas de juros o custo de empréstimos ou remuneração pelo uso do capital respectivamente para o tomador e para o emprestador Logo veremos que o uso do dinheiro exige um pagamento que denominamos de remuneração do capital Aprenderemos também sobre os sistemas de capitalização simples e com posta Na capitalização simples os juros incidem apenas sobre o valor do capital inicial que cresce de forma linear o que significa que não há existência de juros sobre juros Por sua vez na capitalização composta os juros incidem sobre o capital inicial e sobre os juros e o montante cresce de forma geométrica Por fim entenderemos o conceito de Fluxo de Caixa visto que as decisões financeiras são tomadas com base nele em que as entradas e saídas de dinheiro ocorrem em momentos diferentes no tempo Pois bem agora que já conhece o assunto com que trabalharemos nesta unidade convidamos a iniciar esta jor nada que será de grande valia para você Introdução Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 15 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 16 O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Muitos de nós assistimos às histórias do Tio Patinhas criação de Walt Disney ou já ouvimos falar delas em que nos acostumamos a ver o Tio Patinhas cur tindo sua fortuna guardada a sete chaves em seu cofre No mundo real no entanto poucas pessoas estão dispostas a agir como Tio Patinhas Longe disso quem tem dinheiro disponível nem pensa em guardálo consigo ao contrário ele procura alguma maneira de empregálo de forma a obter mais dinheiro seja na aquisição de bens no mercado financeiro seja simplesmente empres tandoo a terceiros A matemática financeira trata em essência do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo Seu objetivo básico é efetuar análises e comparações dos vários flu xos de entrada e saídas de dinheiro de caixa verificadas em diferentes momentos Receber uma mesma quantia hoje ou no futuro não é evidentemente a mesma coisa A princípio uma unidade monetária hoje é preferível a mesma unidade monetária disponível amanhã Postergar a entrada de caixa por certo período de tempo envolve sacrifício financeiro o qual deve ser pago mediante uma recompensa Tudo isso é feito a partir de um princípio básico quem empresta dinheiro espera recebêlo depois de certo tempo acrescido de uma quantia adicional O Valor do Dinheiro no Tempo Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 17 cobrada a título de recompensa ou aluguel do dinheiro conforme representado na Figura 1 A quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro emprestado é o que chamamos de juro As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar a O risco envolvido na operação representado genericamente pela incer teza com relação ao futuro b A perda do valor de compra motivada pela inflação c O valor emprestadoaplicado gerando um ganho ao proprietário Neste contexto ao refletir sobre a palavra valor podemos observar que ela varia ao longo do tempo independentemente do bem Caroa alunoa pense quanto você estaria disposto a pagar por um disquete de computador ou uma fita cassete Ainda qual o valor de uma empresa que fabrica disco de vinil Acredito que a sua resposta seria Depende do período isto é da época Nesta perspectiva ao tomarmos uma decisão seja de consumo ou investi mento faremos olhando para o futuro pois o presente é um instante em que ao pensarmos nele já se torna passado Desta forma podemos dizer que toma mos decisões que dão o início a um futuro Observe que os bens e o dinheiro possuem valor no tempo As pessoas que possuem dinheiro podem adquirir bens e serviços no momento desejado Por sua vez as que não necessitam esperar um tempo até que consigam o dinheiro para realizar tal transação Para destacar que a quantia de dinheiro varia ao longo do tempo observe que a quantidade de dinheiro que você utiliza hoje para comprar determinado alimento por exemplo provavelmente é bem maior do que há alguns anos Neste Quantia emprestada Quantia adicional Quantia que se pretende receber de volta Figura 1 Representação da quantia adicional Fonte as autoras CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 18 sentido se você for ao mercado com a mesma quantia de tempos atrás com cer teza voltará com menos mercadorias conforme a Figura 2 Isto acontece por causa da inflação perda do poder de compra da moeda Figura 2 Redução do poder de compra do dinheiro em relação ao tempo A decisão de emprestar dinheiro independentemente da inflação só será tomada se ao final do período o indivíduo superavitário puder comprar uma quantidade maior de bens e serviços quando comparado com a quantidade original MULLER ANTONIK 2012 Assim o indivíduo só realizará a troca de abrir mão do con sumo presente em prol do consumo futuro se isso lhe permitir adquirir maior quantidade de bens o que significa que ele exigirá ganho real sobre o valor empres tado independentemente da inflação do período O valor do dinheiro no tempo está sedimentado na matemática financeira MULLER ANTONIK 2012 p 4 Prezadoa estudante cabe destacar que outro aspecto que reforça o valor dife rente do dinheiro no tempo é o risco CORREIA NETO 2011 p 198 O risco é uma função crescente do prazo à medida que ao optar por receber o dinheiro em uma data futura é mais arriscado do que no presente visto que o futuro é incerto Nesta perspectiva podemos observar que a essência da matemática financeira é estudar o valor do dinheiro no tempo MULLER ANTONIK 2012 p 3 O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saídas de dinheiro de caixa verificadas em diferentes momentos O Valor do Dinheiro no Tempo Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 19 Exemplificaremos o valor do dinheiro em relação ao tempo imagine que você precise de R1000000 para atender a uma necessidade financeira pessoal Uma determinada instituição financeira propõelhe um empréstimo de exatamente R1000000 que deverá ser pago após quatro meses O valor será depositado em sua conta e você pagará à instituição o valor R1300000 ao final desse período Observe que esta situação leva você a identificar os elementos que serão estuda dos na disciplina de matemática financeira segundo Puccini 2011 1 Ocorreu uma transação financeira entre o agente credor banco e o tomador vocêcliente que podemos chamar de operação financeira 2 A transação financeira com duração de três meses tem um valor ini cial de R 1000000 valor no início da operação e um valor final de R1300000 valor no final da operação 3 Observe que a diferença entre o valor do início para o valor final é o acrés cimo denominado juro da operação 4 Neste exemplo o juro será um custo para você e uma remuneração para o banco 5 O agente que empresta o dinheiro é o credor e o que toma o dinheiro emprestado é o devedor Agora sabemos que o dinheiro não tem o mesmo valor no tempo Não perca tempo aprenderemos a calcular os elementos financeiros juro prazo taxa de juros capital e montante A matemática financeira ajudará você no contexto dos negócios a quanti ficar no tempo o valor de juros despesas riscos dinheiro impostos lucros inflação taxa de juros entre outros CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 20 CONCEITOS DOS ELEMENTOS FINANCEIROS Caroa alunoa você já conhece os aspectos do valor do dinheiro no tempo avan çaremos para os conceitos gerais da matemática financeira Você pode observar que na seção anterior trabalhamos o conceito mais simples de cálculo de juros Agora estudaremos as terminologias da taxa de juros utilizadas no mercado JUROS Juros é a remuneração recompensa do valor emprestadoaplicado Para quem investe os juros correspondem ao retorno recompensa do investimento para quem toma emprestado os juros correspondem ao custo aluguel pelo empréstimo Os juros são expressos em uma unidade monetária R US e indi cado pela letra J Exemplo juros J R 1000 CAPITAL OU VALOR PRESENTE Capital ou Valor Presente é qualquer quantia monetária disponível em determi nada operação referenciada geralmente na data focal zero O capital que dá início a uma operação financeira é chamado de capital inicial ou principal O capital é expresso em uma unidade monetária e indicado pela letra C ou PV Valor Presente Conceitos dos Elementos Financeiros Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 21 Exemplo Capital Inicial Valor Presente C PV R 25000 PRAZO OU PERÍODO Prazo é o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação financeira ou os períodos fracionados de uma operação para pagamentos par celados É contado em períodos de tempo sendo o menor deles o dia dia mês bimestre trimestre semestre ano e indicado pela letra n Exemplo Prazo n 7 meses Na prática o prazo pode ser contado a partir de duas convenções a Prazo exato aquele que conta os dias de acordo com o chamado ano civil no qual os dias são contados pelo calendário podendo o ano ter 365 ou 366 dias Exemplo 1 fevereiro tem 28 dias fevereiro tem 29 dias abril tem 30 dias dezembro tem 31 dias Exemplo 2 Alberto comprou uma camisa em 15 de março para liquidar em 20 dias Considerando o prazo exato qual a data de vencimento 04 de abril observe que março tem 31 dias b Prazo comercial é aquele que conta os dias de acordo com o chamado ano comercial no qual o mês é considerado sempre como tendo 30 dias e o ano 360 dias Exemplo 1 fevereiro tem 30 dias abril tem 30 dias dezembro de 30 dias Exemplo 2 Alberto comprou uma camisa em 15 de março para liquidar em 20 dias Considerando o prazo comercial qual a data de vencimento 05 de abril Observe que março tem 30 dias como todos os outros meses do ano Destacase que em algumas operações de curto prazo é comum ou conve niente utilizar taxas de juros simples diárias equivalentes isto é os prazos são contados em dias e a taxa de juros são anuais Neste caso você terá duas opções utilizar juros exato e juro comercial ou bancário Conforme abordado o juro exato considera que o ano civil tem 365 ou 366 dias e cada mês tem os núme ros de dias respectivos por sua vez os juros comercial ou bancário consideram o ano com 360 dias e o mês com 30 dias CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 22 Caroa estudante como saber qual desses utilizar Comumente utilizase a convenção de juros comerciais HAZZAN POMPEO 2007 Vamos ver a diferença entre os dois por meio do exemplo um capital de R1000000 VP foi aplicado por 43 dias n à taxa i de 30 aa no regime de juros simples a Juros exatos 1000000 030 43 1000000 030 43 129000 35342 365 365 365 365 VP i n R R J b Juros comerciais ou bancários 1000000 030 43 1000000 030 43 129000 35833 360 360 360 360 VP i d R R J Observe que os juros exatos anuais são menores que os juros comerciais Caso você queira saber mais sobre a utilização de taxas de curto prazo com juros sim ples pesquise sobre as operações de Hot Money TAXA DE JUROS Taxa de juros é o coeficiente obtido pela relação estabelecida entre o valor do juro do período e o capital emprestadoaplicado ou seja é a remuneração do fator capital utilizadoaplicado durante um certo período de tempo Juro é a remuneração sob o capital empregado Quando cedemos dinheiro a alguém abrindo mão do seu usufruto o valor acrescido a esse dinheiro é o juro Neste sentido se abrirmos mão de gastar R 100000 mil reais para rece bermos R 120000 mil e duzentos reais daqui a um ano o diferencial de R 20000 duzentos reais denominamos de juro Observe que o juro é a relação entre a quantia inicial e a futura Logo temos Conceitos dos Elementos Financeiros Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 23 20000 020 20 1 00000 J R i ou a a C R Onde J juros recebidos C capital empregado na operação Preste atenção a taxa de juros citada anteriormente está ao ano aa isto quer dizer que se deve especificar a taxa de juros no período de tempo As taxas de juros referemse sempre a uma unidade de tempo dia mês ano indicadas pela letra i e podem ser representadas de duas maneiras taxa percentual e taxa unitária a Taxa percentual representa o juro de cem unidades do capital no período tomado como unidade de tempo ou seja referese aos centos do capital Exemplo taxa i 30 ao mês 30 am b Taxa unitária ou centesimal representa o juro de uma unidade do capi tal no período tomado como unidade de tempo Exemplo taxa i 030 ao mês 030 am Utilizamos o cálculo da taxa de juros para fazer um financiamento uma sim ples compra a prazo e também para realizar um investimento Entretanto muitas pessoas ao realizar o ato de consumir ou investir no tempo não conhece a com posição de tal taxa e muito menos a diferença no tempo Por isso a taxa de juros pode ser calculada diaria mensal semestral ou anualmente tudo depende do objetivo que se busca Todavia quando você escutar na televisão que a taxa básica de juros da economia está 65 isto significa que é a taxa anual Ou seja comumente as taxas de juros de investimentos e financiamentos são divulga das com percentuais anuais Por exemplo se a taxa de juros for de 65 anual significa que você receberá ou pagará no final 65 do principal isto é sobre o capital emprestado ou investido As terminologias de taxas de juros utilizadas são abreviadas conforme apre sentado na Figura 3 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 24 Figura 3 Terminologias utilizadas para expressar a taxa de juros no tempo Fonte as autoras Observe que a taxa de juros i e os períodos n devem estar expressos na mesma referência temporal Se a taxa de juros for mensal por exemplo o tempo deve ser mensal também CORREIA NETO 2011 p 202 Você pode estar pensando que para achar a taxa de juros equivalente men sal é só dividir a taxa anual por 12 ou para obter a taxa anual é só multiplicar a mensal por 12 Pois bem veremos durante o nosso estudo que encontrar a equivalência entre taxa de juros e o tempo pode envolver certa complexidade MONTANTE OU VALOR FUTURO Montante ou valor futuro corresponde a uma cumulação relativa à aplicação de um capital C é definido como o capital acrescido de seu respectivo juro expresso em uma unidade monetária e indicado pelas letras M ou S ou FV valor futuro Exemplo Montante Valor futuro M FV R 250000 ad ao dia am ao mês ab ao bimestre at ao trimestre aq ao quadrimestre as ao semestre aa ao ano Conceitos dos Elementos Financeiros Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 25 Cabe ressaltar que o Valor Nominal VN de uma operação financeira é o valor constante do título de crédito por exemplo na fatura de cartão de crédito inde pendentemente se é o valor presente ou o valor futuro da operação Verifique que entre as notações técnicas está apresentado o valor presente e o valor futuro Como o nome já diz o valor presente VP é o valor da opera ção financeira iniciada hoje isto é na data presente Como o valor presente e o capital coincidem eles são tratados como sinônimos No entanto o valor futuro VF é o valor de uma operação financeira entre a data atual ou presente e o vencimento da operação O capital mais os juros também podemos conside rar como sinônimo de montante Assim o valor futuro pode ser representado matematicamente por VF VP J ou M C J Por fim temos que o valor devolvido no futuro corresponde ao valor origi nal somado ao adicional aluguel do dinheiro isto é montante igual capital mais o juro Observe que a percentagem faz parte do universo da matemática financei ra Desta forma percentagem significa por cento ou por cem Isto é re presenta valores em relação a cem 100 Por exemplo 50 50 100 20 20 100 10 10 100 Pense que esta fração centesimal pode ser escrita em forma decimal Obser ve o exemplo a seguir CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 26 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 26 Agora para deixar clara a nomenclatura que utilizaremos no livro adotaremos algumas simbologias que facilitem o entendimento não só da taxa de juros no tempo mas também outras notações técnicas encontradas no estudo da matemá tica financeira No Quadro 1 você observa a notação técnica utilizada neste livro Quadro 1 Notações técnicas i Taxa unitária de juros Exemplo 010 am r ou i Taxa percentual de juros Exemplo 10 am j ou J Juros simples decorridos n períodos J ou j Juros compostos decorridos n perío dos n Número de períodos PMT Termo prestação ou série de pagamen tos uniformes C Capital ou valor presente VP VP Valor atual ou valor presente PV P Principal valor atual ou valor presente 50 50 05 100 20 20 02 100 10 10 010 100 Note que podemos calcular porcentagem de um número de várias formas para isso pegaremos um dos exemplos anteriores 50 50 05 100 Agora escreveremos a porcentagem em forma decimal e multiplicaremos por um número Imagine que 50 das 20000 vinte mil pessoas votaram no candidato X Quantas pessoas votaram no candidato X 50 50 05 05 20000 1 0000 100 Logo o candidato X recebeu 10000 votos Portanto as taxas podem ser ex pressas de duas formas em percentual 10 ou unitária ou decimal 010 Fonte as autoras Taxas de Juros Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 27 Taxas de Juros Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 27 VF Valor futuro ou montante M M Montante de capitalização simples valor futuro S Montante de capitalização composta valor futuro Fonte adaptado de Muller e Antonik 2012 p 5 Ressaltamos que os conceitos de prestações PMT e o sistema de capitalização composta serão abordados em outras unidades desta obra TAXAS DE JUROS Você sabia que as transações financeiras são fundamentadas na determinação antecipada de taxas de juros Os juros representam as compensações financeiras nas operações ativas e passivas CORREIA NETO 2011 p 200 Assim para o investidor os juros são remunerações dos investimentos operação ativa e para o tomador eles representam o custo do capital operação passiva CORREIA NETO 2011 Neste sentido quem paga tem custo despesa ou prejuízo e quem recebe obtém ganho de capital isto é rendimento ou receita financeira Cabe ressaltar que a taxa de juros pode ser influenciada pela inflação risco da ope ração utilidade e custo de oportunidade do capital a inflação leva à perda de poder CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 28 de compra da moeda isto é corroendo o capital de forma que se compra cada vez menos com a mesma quantia em dinheiro o que exige que o investimento produza resultado maior que o capital investido que deve ser superior a inflação do período Observe quanto maior a inflação maior a taxa de juros CORREIA NETO 2011 O risco da operação cresce com relação ao prazo ou seja a incerteza quanto ao futuro Desta forma quanto maior o risco maior será a remuneração exigida isto é maior a taxa de juros Agora perceba que investimentos com menor risco fornecem uma taxa de retorno mais baixas CORREIA NETO 2011 O conceito de utilidade também influencia o comportamento da taxa de juros CORREIA NETO 2011 p 201 Isto quer dizer que quando você decide investir impede que o dinheiro circule na economia isto é que esse dinheiro seja utilizado para o consumo Assim para você abrir mão do capital hoje e ficar sem consumir exigirá um prêmio Quanto maior a utilidade do capital mais alta deve ser a taxa de juros CORREIA NETO 2011 Por fim o custo de oportunidade é um ponto determinante das taxas de juros na medida em que você ao selecionar uma oportunidade de investimentos abrirá mão de outra oportunidade em que por sinal não será remunerado Desta forma há um custo de oportunidade representado pelo que se deixou de ganhar De fato quanto maior o custo de oportunidade maior será a taxa exigida do investimento A taxa de juros é a razão entre o juro recebido ou pago no final de um perí odo de tempo e o capital inicialmente empregado Assim a taxa será sempre relacionada com uma unidade de tempo MULLER ANTONIK 2012 p 10 grifo nosso Perceba que há uma diferença entre taxa de juros e o valor dos juros A taxa de juros é o percentual aplicado ao capital inicial para que ele seja res gatado no futuro Assim a taxa de juros como já vimos é expressa em 2000 020 20 1 0000 J R i ou a a C R Em contrapartida o juro é o valor expresso em dinheiro por exemplo em reais referente à remuneração do capital inicial empregado é o valor gerado por meio da capitalização simples ou composta de um investimento transcorrido no tempo Taxas de Juros Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 29 Nos juros simples ou capitalização simples os juros incidem apenas sobre o valor inicial isto é o capital Por sua vez na capitalização composta no final de cada período de capitalização os juros incorporamse ao valor inicial tornando um novo valor que passa a render juros juros sobre juros Por exemplo Um empréstimo de R1000000 é adquirido pelo prazo de 3 meses com taxa de juros de 10 am ao mês Cálculo de juros simples Juros simples VP i n Cálculo dos juros compostos 1 n Valor Futuro VP i Juros VF VP Observe que os juros compostos são maiores que os juros simples pois neste modelo o cálculo leva em consideração os juros sobre juros Nas próximas unidades compreenderemos as definições e aplicações de juros simples e juros compostos Juros simples 1000000 010 3 R 300000 Valor Futuro 10 000 00 1 0 10 13 010 00 3 Juros 1331000 10000 R 331000 1331000 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 30 Cabe ressaltar que não se pode comparar ou somar dinheiro a menos que ele esteja no mesmo instante de tempo MULLER ANTONIK 2012 p 1 Não obs tante caso o dinheiro não esteja no mesmo instante de tempo para somálo é necessário mover o dinheiro no tempo associado a uma taxa de juros MULLER ANTONIK 2012 p 1 Neste contexto sempre que há concessão de dinheiro o disponibilizador do recurso credor deverá receber o dinheiro emprestado adi cionado a uma taxa de juros Logo quem empresta o dinheiro tem expectativa de recebêlo com uma taxa de retorno isto é a taxa de juros Variação percentual Pense que em um determinado mês o preço de um produto seja R 5000 e no mês seguinte o preço tenha sido alterado para R 5500 A alteração de preço foi positiva em R 500 Assim a variação percentual de preço nas datas consideradas foram 0 0 tV V J V 5500 5000 5000 J 010 10 Observe que o juro ou a variação percentual é a diferença entre o preço na data futura Vt e a data inicial V0 dividido pelo preço da data inicial V0 Neste sentido quando a variação percentual é positiva denominamos taxa de crescimento e quando negativa decrescimento Fonte adaptado de Iezzi Hazzan e Degenszajn 2013 Sistemas de Capitalização Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 31 SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO Os regimes de capitalização esclarecem como os juros são calculados e incorpo rados ao capital ou seja como o montante varia no tempo Logo o regime de capitalização é uma forma contínua no tempo que descreve como o juro é adi cionado ao capital MULLER ANTONIK 2012 p 12 Fique atentoa pois há dois regimes de capitalização simples juros simples e composto juros compostos Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo sempre sobre o capital inicial dizemos que há um sistema de capitalização simples juros simples ou aplicado de forma linear MULLER ANTONIK 2012 p 12 Imagine que ofereceram a você um empréstimo de R 100000 com prazo de 5 anos e taxa de 10 ao ano a juros simples conforme indicado na Tabela 1 Tabela 1 Capitalização simples ANO SALDO NO INÍCIO DE CADA ANO JUROS APURADOS PARA CADA ANO SALDO DEVEDOR AO FINAL DE CADA ANO CRESCIMENTO ANUAL DO SALDO DEVEDOR Início do 1º ano Fim do 1º ano Fim do 2º ano Fim do 3º ano Fim do 4º ano Fim do 5º ano 100000 110000 120000 130000 140000 010 100000 10000 010 100000 10000 010 100000 10000 010 100000 10000 010 100000 10000 100000 110000 120000 130000 140000 150000 10000 10000 10000 10000 10000 Fonte adaptada de Assaf Neto 2012 p 4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 32 Observe que os juros incidem somente sobre o capital o que apresenta valores idênticos no final de cada ano Como consequência o crescimento dos juros é linear o que revela um comportamento igual ao de uma progressão aritmética com o valor de R 50000 no final do período ASSAF NETO 2012 Verifique que neste caso não ocorre o fenômeno dos juros sobre juros Como o juro é simples você pode converter a taxa anual para a mensal simplesmente dividindo 10 aa por 12 meses 10 aa 12 meses 0833am Exemplo de capitalização simples Um capital de R 200000 foi aplicado por quatro anos à taxa de 5 aa em um regime de juros simples Resolução Ao longo do 1º ano o juro originado foi de 200000 005 10000 Ao longo do 2º ano o juro originado foi de 200000 005 10000 Ao longo do 3º ano o juro originado foi de 200000 005 10000 Ao longo do 4º ano o juro originado foi de 200000 005 10000 Assim como somente o capital aplicado rende juros o montante no final dos quatro anos foi de R 240000 Conquanto no regime de capitalização com posta o juro do 1º período agregase ao capital resultante no montante No 2º período agregase a taxa de juros do período anterior ao montante e se calcula uma nova taxa de juros e adiciona ao montante E assim consecutivamente de forma que se agrega a taxa de juros ao montante no início do período e passa a render juros Observe que no regime de capitalização composta ocorre um comporta mento equivalente à progressão geométrica ASSAF NETO 2012 Pense que você adquiriu uma dívida de R 100000 e a ela deve ser paga em juros compostos a uma taxa de 10 ao ano a sua situação fica conforme apresentado na Tabela 2 Sistemas de Capitalização Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 33 Tabela 2 Capitalização composta ANO SALDO NO INÍCIO DE CADA ANO JUROS APURADOS PARA CADA ANO SALDO DEVEDOR AO FINAL DE CADA ANO Início do 1º ano Fim do 1º ano Fim do 2º ano Fim do 3º ano Fim do 4º ano Fim do 5º ano 100000 110000 121000 133100 146410 010 100000 10000 010 110000 11000 010 121000 12100 010 133100 13310 010 146410 14641 100000 110000 121000 133100 146410 161051 Fonte adaptada de Assaf Neto 2012 p 5 Caroa estudante você deve ter observado na tabela anterior que os juros não incidem sobre o capital inicial de R100000 mas sobre o saldo total existente a cada ano ASSAF NETO 2012 O crescimento dos juros acontece de forma exponencial ao longo do tempo Exemplo de capitalização composta Um capital de R 200000 foi aplicado por quatro anos à taxa de 5 aa em um regime de juros compostos Resolução Ao longo do 1º ano o juro originado foi de 200000 005 10000 Ao longo do 2º ano o juro originado foi de 210000 005 10500 Ao longo do 3º ano o juro originado foi de 220500 005 11025 Ao longo do 4º ano o juro originado foi de 231525 005 11576 Assim como somente o capital aplicado rende juros o montante no final dos quatro anos foi de R 243101 Na capitalização composta a taxa de juros fica maior do que na capitaliza ção simples por levar em consideração os juros sobre juros Nesta perspectiva a capitalização composta proporciona crescimento do capital de forma exponencial ao contrário do crescimento linear da capitalização simples CORREIA NETO 2011 p 206 Desta forma o regime de capitalização composta cresce mais do que o de capitalização simples Observe o exemplo um capital de R 200000 foi aplicado por quatro anos à taxa de 5 aa conforme indicado no Quadro 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 34 Quadro 2 Diferença entre capitalização simples e composta ANO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 0 R 200000 R 200000 1 R 210000 R 210000 2 R 220000 R 220500 3 R 230000 R 231525 4 R 240000 R 243101 Fonte as autoras É importante ressaltar que você poderá encontrar no mercado a capitalização contínua e descontínua De acordo com Assaf Neto 2012 a capitalização con tínua promove uma sequência na capitalização distribuída ao longo do tempo e não apenas na data final de período Entretanto este tipo de regime de capita lização é pouco utilizado pela sua dificuldade de aplicação prática Por sua vez na capitalização descontínua Assaf Neto 2012 ressalta que os juros são formados somente ao final de cada período de capitalização Um exemplo são as cadernetas de poupança que remuneram com juros no final do mês e não durante o mês Cabe destacar que a capitalização descontínua pode ser identificada em juros simples e juros compostos ASSAF NETO 2012 p 6 FLUXO DE CAIXA A matemática financeira estuda as relações dos movimentos monetários ao longo do tempo Movimentos esses que são identificados no tempo por meio de entra das e saídas que denominamos fluxo de caixa ASSAF NETO 2012 O fluxo de Fluxo de Caixa Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 35 caixa é de grande valia na matemática financeira no sentido que permite visu alizar o que ocorre com o capital no tempo como representado na Figura 4 Figura 4 Fluxo de caixa Fonte adaptada de Assaf Neto 2012 p 2 Na Figura 4 a linha horizontal representa o horizonte de tempo da operação O ponto zero indica o momento inicial e os demais as datas no tempo ASSAF NETO 2012 As setas para cima representam as entradas de caixa ou recebi mentos de dinheiro as setas para baixo indicam as saídas ou aplicações de dinheiro ASSAF NETO 2012 De fato as entradas podem ser iguais ou diferentes bem como os intervalos de tempo que podem ser regulares ou não Observe que o fluxo de caixa PMT retrata uma série de pagamentos ou rece bimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo Exemplos de fluxo de caixa empréstimos investimentos e dividendos Neste sentido baseados nestes fluxos são realizados os planos de amortização de pagamen tos Além disso o fluxo de caixa pode ser utilizado para avaliação de empresas eou opções de investimentos para verificar qual seria a melhor opção do ponto de vista financeiro O fluxo de caixa pode ser classificado de acordo com o período de ocorrên cia postecipado e antecipado No fluxo de caixa postecipado há a entrada ou saída no final de um período após a ocorrência do fato Por exemplo ao adquirir um empréstimo para a primeira parcela PMT após 30 dias conforme pode mos observar na Figura 5 0 1 2 3 n t PMT PMT PMT PMT Figura 5 Fluxo de caixa postecipado Fonte as autoras Entradas de caixa Saídas de caixa 0 1 2 3 5 4 6 7 Tempo 8 CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 I U N I D A D E 36 Por sua vez no fluxo antecipado muito comum na ocorrência de investimen tos há o desembolso no início do período conforme indicado na Figura 6 Isto é quando você adquire um imóvel por exemplo paga a entrada no início e na sequência as demais parcelas 0 1 2 3 n t PMT PMT PMT PMT PMT Figura 6 Fluxo de caixa antecipado Fonte as autoras Os fluxos de caixas podem ser periódicos ou não periódicos Assim os perió dicos apresentam um intervalo igual entre os fluxos de caixa por exemplo os pagamentos são realizados todo mês Por outro lado aos não periódicos os inter valos são diferentes Com relação à duração do fluxo de caixa ele pode ser limitado finito ou indeterminado indefinido A duração limitada ocorre quando os prazos dos pagamentos ou recebimentos são conhecidos como um financiamento por 4 anos que será pago neste intervalo de tempo Em contrapartida os indetermi nados ou indefinidos ocorrem por exemplo no pagamento de aluguel e projetos de investimentos Ainda os valores do fluxo de caixa podem ser constantes ou variáveis Por constante entendese que os pagamentos eou recebimentos são iguais entre si Não obstante os valores variam ao longo do tempo Nesta unidade caroa alunoa pudemos ter um parâmetro do estudo da matemática financeira Falamos sobre os aspectos do valor do dinheiro no tempo conceitos dos elementos financeiros taxa de juros sistemas de capita lização e fluxo de caixa Pois bem agora que você já conhece esses elementos fundamentais da matemática financeira poderá avançar em seu conhecimento sobre o tema Bons estudos Considerações Finais Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 37 CONSIDERAÇÕES FINAIS Prezadoa alunoa chegamos ao fim desta unidade com a qual demos início ao processo de entendimento sobre os conceitos fundamentais para trabalhar a mate mática financeira Acima de tudo passamos a compreender o valor do dinheiro no tempo Vimos que ao antecipar o consumo pagase um valor extra que denomina mos juros podendo ser simples ou compostos Não obstante os empréstimos são comumente realizados a juros compostos De forma semelhante acontece com os nossos investimentos que em alguns casos específicos pode acontecer de empre garmos o nosso capital e ora recebermos juros simples ora compostos Aprendemos que o dinheiro possui valor no tempo isto é uma unidade monetária neste momento não tem o mesmo valor que uma unidade monetá ria de ontem ou de amanhã Neste sentido trabalhamos conceitos dos elementos financeiros essenciais para que se possa entender conceitos básicos da matemá tica financeira como valor presente e valor futuro Desta forma passamos a compreender o conceito de taxas de juros que pode ser para o tomador ou investidor custo de empréstimos ou remuneração pelo uso do capital respectivamente Neste contexto vimos que o uso do dinheiro exige um pagamento que é denominado remuneração do capital Conhecemos os sistemas de capitalização simples e composta e aprendemos que capitalização simples os juros incidem apenas sobre o valor principal VP ou capital inicial que cresce em progressão aritmética eou linear o que induz a concluir que não há existência de juros sobre juros Ao contrário na capitalização composta os juros sobre o principal crescem de forma geométrica eou exponencial Aprendemos também o conceito de Fluxo de caixa em que as entradas e saídas de dinheiro podem ser diferentes e ocorrem em momentos distintos no tempo Por fim prezadoa acadêmicoa agora que você já tem uma base ini cial sobre a matemática financeira nós o convidamos a continuar esta jornada Bons estudos 38 1 Complete o quadro a seguir TAXA DE JUROS TAXA DE JUROS NA FORMA PERCENTUAL TAXA DE JUROS NA FORMA UNITÁRIA 2 ao dia 2 ad 002 ad 24 am 0503 ab 905 ao semestre 315 aa 050 ao dia 2 Vimos a diferença entre juros exato e comercial que compreende calcu lar os juros levando em consideração os 365 366 ou 360 dias Um capital de R1000000 VP foi aplicado por quarenta dias d à taxa i de 20 aa no regime de juros simples Calcule o valor aproximado dos juros exato e comercial e assinale a alternativa correta a Juros exato 21917 e comercial 22222 b Juros exato 22323 e comercial 21925 c Juros exato 22510 e comercial 22820 d Juros exato 22820 e comercial 22520 e Juros exato 21917 e comercial 24222 3 Pudemos observar que os juros são os pilares da matemática financeira Nesta perspectiva considere um capital de R 2500000 que foi aplicado durante três meses gerando um montante de R 3000000 Calcule a taxa de juros sim ples do período e assinale a alternativa correta a 012 ou 12 b 015 ou 15 c 02 ou 20 d 025 ou 25 e 031 ou 31 39 4 Temos dois tipos de juros simples e compostos O juro simples incide sempre sobre o valor do capital e o composto sobre o montante Desta forma um empréstimo de R 2000000 é adquirido pelo prazo de três meses após esse período quem disponibilizou o dinheiro para o empréstimo recebeu um mon tante de R 2600000 Calcule a taxa de juros simples do período 5 Na matemática financeira encontramos diversas simbologias visto que o estu do do dinheiro no tempo é realizado por meio de equações em que se encon tram relacionadas as diversas variáveis econômicas Neste contexto descreva a diferença entre valor presente VP e valor futuro VF 6 Compreendese como capitalização simples a taxa de juros aplicada somente ao capital inicial diferentemente da capitalização composta em que incorre juros sobre juros Nesta perspectiva um capital de R 300000 foi aplicado por quatro anos à taxa de 10 aa Calcule o valor dos juros total ao longo do perí odo pelo regime de juros simples e em seguida pelo composto 7 Represente as informações a seguir em um fluxo de caixa a Tempo 0 saída de caixa de R 400000 b Tempo 1 saída de caixa de R 200000 c Tempo 2 entrada de caixa de R 50000 d Tempo 5 saída de caixa de R 250000 e Tempo 6 entrada de caixa de R 520000 f Tempo 8 saída de caixa de R 350000 8 Converta a taxa simples indicada em taxa diária a 120 aa b 36 am c 72 as 9 Converta a taxa simples indicada em taxa mensal a 01 ad b 28 ab c 6 aq d 258 aa 10 Converta a taxa simples de 24 aa em taxa diária mensal bimestral trimestral e semestral INSTRUMENTAL MATEMÁTICO O objetivo desta leitura complementar não é ensinar nem revisar matemática básica mas explicar e discutir conceitos e aplicações indispensáveis para os conteúdos de matemática financeira Precisão nos cálculos 1 Arredondamento Se você parar para analisar verá grande parte dos cálculos financeiros envolvem fração Algumas delas têm precisão finita 2010 2 e outras infinita 103 3333 Se estivermos buscando um valor em reais no primeiro caso a resposta seria R 200 de forma precisa Todavia no segundo caso temos um problema de precisão em apresentação em valores reais já que a moeda permite até duas casas decimais DE CASTRO DAL ZOT 2015 Neste caso somos forçados a arredondar para 333 que é o número mais próximo da resposta correta Exemplos de arredondamento de casas decimais 205685 é arredondado para 2057 281249 é arredondado para 2012 29949 é arredondado para 299 800500 é arredondado para 801 2 Precisão Compreenda que para evitar arredondamento desnecessário e uma maior precisão nos cálculos o arredondamento só deve ser feito na resposta final DE CASTRO DAL ZOT 2015 Para isso é importante utilizarse de recursos da calculadora fazendo cálculos de forma sequencial Por exemplo 4 6 pode ser feito de duas formas 4 6 067 e após 067 x 100 4 6 x 100 4 x 100 6 6667 Observe que a segunda opção é mais precisa que a primeira A diferença é que na primeira ocorreu um arredondamento nos cálculos intermediários 067 e o resultado foi a perda de precisão DE CASTRO DAL ZOT 2015 Razão e proporção Pense que você abriu um negócio e no primeiro ano obteve receita de R 10000000 e 41 no segundo ano as receitas foram de R 15000000 Ao comparar os valores observa mos que a diferença é de R 5000000 Entretanto esta comparação não oferece a ideia de crescimento das vendas de um ano para o outro Para isso é necessário efetuarmos uma comparação dividindo as receitas do segundo ano pelas receitas do primeiro ano 1500000010000000 O resultado desta razão é igual 15 Diante disso dizemos que a receita do segundo ano é 15 vezes maior que a do primeiro ano Agora vamos imaginar que as receitas do terceiro ano sejam de R 8000000 e no quarto ano de R 12000000 Observe que a razão das receitas do ano quatro é de 120000008000000 que é igual a 15 Pois bem a razão do quarto ano equivale à razão 1500000010000000 que pode ser visualizada a seguir 15000000 12000000 10000000 8000000 Portanto essa igualdade de duas razões é chamada de proporção IEZZI HAZZAN DEGENSZAJN 2013 p 2 e pode ser ditada da seguinte forma 15000000 está para 10000000 assim como 12000000 está para 8000000 Isto é há uma sentença de igualdade que denominamos de proporção Potenciação Você deve ter observado que para calcular os juros compostos precisará relembrar a potenciação Pense que a potenciação é um número multiplicado por ele mesmo inú meras vezes Por exemplo an aaaaa Sendo a a base que é o número multiplicado por ele mesmo e n o expoente em outras palavras é o número de vezes que o número é multiplicado Para entendermos melhor vamos imaginar o número 33 em que temos 33 3 x 3 x 3 9 x 3 27 Sendo 3 Base 3 Expoente 27 Resultado do produto Fonte adaptado de De Castro e Dal Zot 2015 e Iezzi Hazzan e Degenszajn 2013 MATERIAL COMPLEMENTAR Matemática Financeira instrumentos financeiros para a tomada de decisão em Administração Economia e Contabilidade Aderbal Nicolas Muller e Luis Roberto Antonik Editora Saraiva Sinopse este é um livrotexto que se propõe a ser um manual prático completo e com aplicações a serem utilizadas também no cotidiano das empresas e de seus gestores nos processos de tomadas de decisão Esta obra conta com as nuances da matemática financeira e comercial Traz diversos exemplos práticos ilustrados tanto para uso com calculadoras tipo HP12c como para aplicações em Excel Conta com material de apoio e planilhas de casos práticos aplicados à tomada de decisão em negócios Prezadoa alunoa como vimos os juros dependem do capital da taxa de juros e do tempo por isso convidamos você a assistir este vídeo a fim de reforçar seus conhecimentos sobre o tema Web httpswwwyoutubecomwatchvYmKSgHYpGQ REFERÊNCIAS 43 REFERÊNCIAS 43 ASSAF N Matemática Financeira São Paulo Editora Atlas 2012 CORREIA NETO J F Excel para profissionais de finanças manual prático 2 ed Rio de Janeiro 2011 HAZZAN S POMPEO J N Matemática Financeira 6 ed São Paulo Saraiva 2007 IEZZI G HAZZAN S DEGENSZAJN D M Fundamentos de matemática elemen tar Matemática Comercial Matemática Financeira e Estatística Descritiva Sl Atu al 2013 MULLER A N ANTONIK L R Matemática Financeira instrumentos financeiros para a tomada de decisão em Administração Economia e Contabilidade São Paulo Saraiva 2012 PUCCINI A L Matemática financeira e análise de investimentos Florianópolis Departamento de Ciências da AdministraçãoUFSC Brasília CAPES 2011 GABARITO 1 TAXA DE JUROS TAXA DE JUROS NA FORMA PERCENTUAL TAXA DE JUROS NA FORMA UNITÁRIA 2 ao dia 2 ad 002 ad 24 ao mês 24 am 024 am 503 ao bimestre 503 ab 0503 ab 905 ao semestre 905 as 0905 as 315 ao ano 315 aa 315 aa 050 ao dia 05 ad 0005 ad 2 A 3 C 4 Taxa de juros 600020000 03 ou 30 5 O valor presente é o capital empregado eou emprestado e o valor futuro é a soma do valor presente eou o capital mais os juros incorridos no período 6 Ao longo do 1º ano o juro originado foi de 300000 010 30000 Ao longo do 2º ano o juro originado foi de 300000 010 30000 Ao longo do 3º ano o juro originado foi de 300000 010 30000 Ao longo do 4º ano o juro originado foi de 300000 010 30000 Capitalização simples valor dos juros R 120000 Ao longo do 1º ano o juro originado foi de 300000 010 30000 Ao longo do 2º ano o juro originado foi de 330000 010 33000 Ao longo do 3º ano o juro originado foi de 363000 010 36300 Ao longo do 4º ano o juro originado foi de 399300 010 39930 Capitalização composta valor dos juros R 139230 GABARITO 45 7 500 4000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2000 2500 3500 5200 8 120 360 0333 ad 36 30 12 ad 72 180 04 ad 9 01 x 30 3 am 28 2 14 am 6 4 15 am 258 12 215 am 10 24 360 00667 ad 24 12 2 am 24 6 4 ab 24 4 6 at 24 2 12 as ANOTAÇÕES ANOTAÇÕES UNIDADE UNIDADE II Professoras Me Marcela Gimenes Bera Oshita Me Juliana Moraes da Silva SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Objetivos de Aprendizagem Instruir o acadêmico a respeito dos juros simples Orientar o aluno quanto à equivalência simples Ensinar o discente acerca do desconto simples Plano de Estudo A seguir apresentamse os tópicos que você estudará nesta unidade Juros simples Equivalência simples Desconto simples Introdução Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 51 INTRODUÇÃO Prezadoa alunoa a cada momento ocorre uma transferência de recursos entre os agentes econômicos Esta utilização do dinheiro no sistema econômico gera mais dinheiro isto é lucros Uma vez que o preço do dinheiro é calculado via taxa de juros precisamos nos aprofundar nos conceitos inerente às operações financeiras De fato nesta unidade aprofundaremosnos em conceitos sobre juros sim ples equivalência simples e desconto simples que são a base para avançarmos na matemática financeira de forma a passarmos a compreender as operações mais complexas que envolvem juros compostos Assim aprenderemos que os juros simples são calculados com base no capi tal Logo não há incidência de juros sobre juros isto é os juros são os mesmo ao longo do período Este tipo de operação pode ser encontrada no mercado de investimentos em operações de curtíssimo prazo em que a taxa de juros é cal culada diariamente Para trabalharmos juros simples utilizaremos as fórmulas matemáticas algébricas e a calculadora financeira HP12C A equivalência simples envolve analisar quando dois ou mais capitais com diferentes vencimentos são conduzidos para uma mesma data e a mesma taxa ocasiona valores iguais Você verá que a equivalência de capitais é utilizada por pessoas empresas instituições financeiras entre outros na busca de compati bilização de entrada e saída ao longo do tempo Além disso trabalharemos o desconto simples ou desconto por fora que nada mais é do que antecipações de valores a receber ou a pagar Aprenderemos de fato caroa estudante dois tipos de desconto o comercial e o racional Pois bem agora que já conhece o assunto com que trabalharemos nesta uni dade nós oa convidamos a se aprofundar nos estudos pois o conhecimento gerado servirá como base para a operacionalização da matemática financeira ao longo dos seus estudos SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 52 JUROS SIMPLES Caroa alunoa o juro envolvido em uma operação financeira é chamado juros simples quando sua geração em cada um dos períodos a que se refere a taxa apli cada durante todo o seu prazo da operação for feita exclusivamente com base no capital inicial principal Vale ressaltar que na operação de juros simples os juros são pagos somente no final da operação do contrato sem parcelamento Você verá que os juros simples são aplicados diretamente sobre o capital e compreendem normalmente aplicações de curto prazo Deste modo os juros simples são de fácil entendimento pois a matemática financeira exige apenas cálculos utilizando equações lineares Considere um empréstimo de R 2000000 à taxa de juros simples de 30 ao ano a ser paga no final de 4 anos Para apresentar a evolução da dívida colo caremos em forma de quadro para verificar a memória de cálculo no Quadro 1 Quadro 1 Evolução dos juros simples ANO SALDO INICIAL JUROS SIMPLES SALDO FINAL 0 R 2000000 R 2000000 1 R 2000000 20000 030 R 6000 R 2600000 2 R 2600000 20000 030 R 6000 R 3200000 3 R 3200000 20000 030 R 6000 R 3800000 4 R 3800000 20000 030 R 6000 R 4400000 Fonte as autoras Juros Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 53 Você sabia que comumente em juros simples não há capitalização intermedi ária durante o período isto é o merecedor dos juros adquire o direito somente no final do período A fim de obtermos a relação para o cálculo de juros sim ples consideraremos uma situação modelo Apliquei um capital C à taxa i pelo prazo n Quanto gerei de juros simples Resolução Juros após 1 período J1 C i Juros após 2 períodos J2 Ci Ci 2 Ci Juros após 3 períodos J3 Ci Ci Ci 3 C i Juros após n períodos Jn Ci Ci Ci Ci n Ci J C i n ou J VP i n Onde J Juros C VP Capital i Taxa n Prazo Cabe ressaltar que i e n devem referirse a um mesmo período de tempo Vamos considerar o seguinte exemplo um capital aplicado por 6 meses a uma taxa simples de 10 am R5000 R4000 R3000 R2000 R1000 R Período 1 Período 2 Período 3 Período 4 Figura 1 Comportamento dos juros lineares Fonte as autoras SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 54 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES A relação J C i n foi estabelecida de modo a aceitar somente a taxa e o prazo referindose a mesma unidade de tempo Caso isso não ocorra devemos trans formar uma destas grandezas ou mesmo as duasPara tanto necessitamos às vezes do conceito de taxas equivalentes a Taxas equivalentes duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando ao serem aplicadas a capitais iguais por prazos também iguais produ zem juro igual Nos problemas que envolvem o sistema de capitalização simples a obtenção da taxa equivalente a uma dada taxa pode ser conseguida facilmente pois duas taxas equivalentes são também taxas proporcionais b Taxas proporcionais duas ou mais taxas de juros simples são ditas proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo reduzidos a uma mesma unidade formam uma proporção A fórmula algébrica matemática não é a única forma de resolução de exer cícios O uso de calculadoras auxilia na busca pelas respostas aos exemplos exercícios e às aplicações Nas operações de juros simples calculadoras sim ples que realizam as quatro operações matemáticas são suficientes Um tipo de calculadora muito útil inclusive nas operações de juros compostos ren das e anuidades bem como nos sistemas de amortizações é a Calculadora Financeira como a HP12C Utilizando a Calculadora HP12C para apuração dos Juros Simples CHS PV valor do capital i taxa de juros sempre anual n tempo sempre em dia f int Fonte as autoras Juros Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 55 Assim por exemplo as taxas 3 ad e 90 am são proporcionais pois Taxa período 3 1 dia 3 1 90 30 dias 90 30 Na prática a obtenção da taxa proporcional de certa taxa simples pode ser feita facilmente bastando para tanto efetuar uma multiplicação ou divisão conveniente Exemplo 1 um capital de R 1000000 foi aplicado a juros simples durante 5 anos com uma taxa de 2 am Obtenha o valor dos juros Resolução Algébrica A taxa de 2 am equivale a 24 aa em juros simples Como um ano tem doze meses a taxa anual é doze vezes a taxa mensal J VP i n J 10000 024 5 J R 1200000 Resolução HP12 C 10000 CHS PV 24 i 1800 n f int R 1200000 Exemplo 2 um capital de R 700000 foi aplicado a juros simples durante um ano e meio com uma taxa de 8 as Obtenha o valor dos juros Resolução Algébrica 8 ao semestre é proporcional a 16 ao ano como 1 ano tem dois semes tres logo a taxa anual é duas vezes a taxa simples do semestre J VP i n J 7000 016 15 J R 168000 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 56 Resolução HP12 C 7000 CHS PV 16 i 540 n f int R 168000 Exemplo 3 uma aplicação financeira de R 10000 rendeu juros simples de R 1200 durante o período de um ano Obtenha a taxa mensal de juros da aplicação Resolução Algébrica J VP i n 12 100 i 1 i 12 100 012 ao ano ou 12 ao ano Como um ano tem doze meses 12 ao ano dividido por 12 meses corres ponde à taxa proporcional de 1 ao mês Resolução HP12 C 100 enter 12 T 1 12 ao ano MONTANTE SIMPLES Montante M ou Valor Futuro FV relativo à aplicação de um capital C é defi nido como sendo o capital C acrescido de seu respectivo juro J No sistema de capitalização simples o montante ou valor futuro é apurado da seguinte forma M C J Como J Cin Então M C C i n M C 1 i n Juros Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 57 ou 1 FV PV i n Exemplo 1 encontrar o montante obtido na aplicação de um capital de R 1000000 à taxa simples de 5 am durante um período de 8 meses Resolução Algébrica M C 1 i n M 10000 1 005 8 M 10000 140 R 1400000 Exemplo 2 no dia 08 de fevereiro de 20XX uma pessoa tomou emprestado a quantia de R 18550000 comprometendose a liquidar a dívida em 1 mês e 10 dias pagando o empréstimo por R 29680000 A que taxa simples diária se deuse esta operação Resolução Algébrica M C 1 i n 296800 185500 1 i 40 296800 185500 1 40 i 160 1 40 i 160 1 40 i 060 40 i i 060 40 i 0015 ad ou 15 ad Exemplo 3 em quantos meses um capital dobra de valor se aplicado a juros simples de 2 am Resolução Algébrica M C 1 i n 2C C 1 002 n 2C C 1 002n 2 1 002 n 2 1 002 n SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 58 1 002 n n 1 002 n 50 meses Exemplo 4 qual é o capital que aplicado à taxa simples de 2 ab durante 1 ano e 7 meses resultou num montante de R 112000 Resolução Algébrica Taxa de 2 ab é proporcional a 1 am M C 1 i n 1120 C 1 001 19 1120 C 1 019 1120 119 C C 1120 119 R 94118 Neste sentido podemos verificar que os cálculos financeiros muitas vezes são realizados por meio de calculadoras e por isso não podemos nos esquecer delas já que simplificam o processo no que tange a resolução de problemas financeiros Nesta perspectiva trabalharemos o método algébrico ALG utilizado na maio ria das calculadoras e o RPN Notação Polonesa Reversa para calculadoras HP Agora considerando um capital de R 2000000 a uma taxa de 30 a a e um período de 4 anos vamos refazer os cálculos dos juros RPN ALG 20000 ENTER 20000 X 03 X 03 X 4 X 4 24000 24000 Vamos refazer os cálculos do Valor Futuro RPN ALG 03 ENTER 030 X Juros Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 59 4 X 4 1 1 X 20000 X 20000 44000 44000 Exercício resolvido 1 Qual valor futuro ou montante e o valor dos juros simples gerados numa apli cação financeira de R 1600000 durante 12 meses com taxa de 14 ao mês VP 1600000 n 12 meses i 14 ao mês VF J 1 VF VP i n VF 16000 1 001412 VF 16000 1 0168 VF 16000 1168 VF 18688 Valor dos Juros J VP i n J 16000 0014 12 2688 ou J VF VP J 18688 16000 2688 Resolução o valor futuro ou montante é de R 1868800 e o valor dos juros é de R 268800 Agora caroa estudante se quisermos determinar o valor presente tendo os dados do valor futuro basta isolar a fórmula atual do montante ou valor futuro VF Observe que a fórmula do montante é suficiente para resolver qualquer problema de juros simples BUENO RANGEL SANTOS 2011 p 6 1 VF VP i n SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 60 Exemplo 5 uma aplicação rendeu após 4 anos o montante de R 3000000 a uma taxa de juros anual de 20 Qual o valor aplicado 30000 30000 1666667 1 02 4 18 VP Verifique que o valor inicial aplicado no investimento foi de R 1666667 Vamos refazer os cálculos na calculadora RPN ALG 30000 ENTER 30000 02 ENTER 02 X 4 1 4 X 1 1666667 1666667 Observe que utilizando a calculadora na forma algébrica você terá que calcular a princípio o valor dos juros vezes o tempo somado 1 Conforme 4 30000 1 02 Exercício resolvido 2 Qual valor presente ou capital e o valor dos juros gerados numa aplicação finan ceira de R 1868800 durante 12 meses com taxa de 14 ao mês 12 meses 14 ao mês 18688 VP J n i VF Juros Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 61 1 VF VP i n 18688 VP 1 0014 12 18688 1 01680 18688 11680 16000 VP VP VP 16000 0014 12 2688 J VP i n J ou 18688 16000 2688 J VF VP J Resolução o valor presente é de R 1600000 e o valor dos juros é de R 268800 Imagine agora que você quer saber qual seria o tempo necessário para um capi tal ou valor presente de R 2500 aplicado com taxa de 10 ao mês e produz R 500 de juros J R 500 VP R 2500 i 10 am n Resolução Isolando o n na fórmula básica J VP i n J n VP i 500 2 n 2500 010 meses SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 62 Assim o tempo necessário para que o capital produza juros de R 50000 é de dois meses Observe que a taxa estava em meses caso estivesse ao ano o resultado seria dois anos e não dois meses Por isso para realizar esta conta é importante prestar atenção no período da taxa de juros dia mês bimestre tri mestre semestre e ano EQUIVALÊNCIA SIMPLES Observe que nos exemplos de juros simples considerouse que os períodos dos juros são iguais à capitalização ou ao pagamento dos juros isto é a taxa e o tempo estavam no mesmo período por exemplo se a taxa de juros é mensal o período de capitalização deve ser mensal também Entretanto na vida real nem sempre é assim é comum você encontrar taxa de juros anuais e períodos de capitalização mensais Ainda dívidas vincendas podem ser substituídas por outras de modo a não favorecer nem prejudicar as partes envolvidas ou seja buscase manter o equilíbrio monetário Equivalência Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 63 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS No caso de juros simples realizar a conversão entre as taxas mensais para as anu ais e as anuais para as mensais é relativamente simples Por exemplo imagine que você queira saber a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1 Para isso basta você multiplicar por 12 meses Isso mesmo se a taxa de juros for simples é só pegar a taxa e multiplicar ou dividir sem complexidade Neste caso o valor da taxa anual é 12 012 ou 12 001 Outro exemplo é considerar os juros simples qual a taxa mensal equivalente a 12 ao trimestre Para achar é só dividir 12 por 3 0123 004 ou 4 Assim 6 ab ao bimestre é equivalente a 3 am 9 at ao trimestre é equivalente a 3 a m 18 as ao semestre é equivalente a 3 a m 36 aa ao ano é equivalente a 3 a m Podemos dizer prezadoa acadêmicoa que as taxas são equivalentes quando aplicamos o mesmo capital durante determinado período de tempo e origi nam os mesmos juros Um capital R 400000 pode ser aplicado à taxa de juros de 1 ao mês ou 12 a a Com um prazo de dois anos veremos se as taxas são realmente equivalentes 4000 001 24 960 J VP i n J J 4000 012 2 960 J VP i n J J Assim em juros simples as taxas de 1 am e 12 aa são equivalentes Qual a taxa anual de juros simples que um determinado investimento rendeu visto que o capital aplicado foi de R 1000000 e o valor de resgate foi de R 1105000 após 12 meses Resolução J 1050 VP 10000 VF 11050 n12 meses1 ano i i J VPn i 1050 100001 0105 ou 105 ao ano A taxa de juros anual foi de 105 Utilizando a calculadora RPN ALG 1050 ENTER 1050 10000 10000 1 1 0105 ou 105 0105 ou 105 Você sabia que quando há divergências entre taxas de juros e período de tempo é mais fácil converter o tempo e não a taxa Por exemplo se a taxa de juros está mensal e o tempo está em dias então preciso transformar o tempo em meses e não o contrário Vejamos qual é o rendimento de uma aplicação financeira de R 458900 após 149 dias à taxa de 29 ao mês am Para resolver este problema precisamos transformar o tempo de dia 149 para mês Dados Observe que precisamos de uma informação antes de prosseguir isto é o prazo J VP 458900 i 29 0029am n 149d30 4966666666 meses está em dias e a taxa está em mês J VP i n J 4589 0029 14930 J 4589 0029 14930 J 660968967 Preste atenção nos arredondamentos neste caso por exemplo n 496666 Se esse valor for arredondado antes de se calcular a resposta final podese perder a precisão Conforme podemos observar a seguir ARREDONDANDO N 149 DIAS PARA RESULTADO DE JVPIN 49 4589 0029 49 65209 496 4589 029 496 660081 4966 4589 0029 4966 660880 4966666666 mais precisão possível 4589 0029 4966666 660968967 sendo essa a resposta mais correta Comumente a exatidão é exigida por meio de duas casas após a vírgula no entanto neste caso qualquer arredondamento forneceria respostas inexatas ao problema estudado Neste sentido para obter mais precisão seria importante utilizar todas as casas após a vírgula Agora veremos como resolver este exercício na calculadora SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 66 RPN ALG 4589 ENTER 4589 x 0029x 0029 X 149 X 149 30 30 660968967 660968967 Agora caroa alunoa imaginaremos que foi realizado um empréstimo no valor de R 400000 à taxa de juros simples de 36 aa ao ano comercial para ser qui tado após 30 dias Observe que o tempo no qual a taxa está expressa é diferente do tempo no qual o período está expresso sendo necessário deixálos em uma mesma unidade de tempo Para isso utilizase a regra do banqueiro isto é por meio da conversão Dados Foram pagos rendimentos no valor de R 12000 Utilizando a calculadora RPN ALG 4000 ENTER 4000 x 036 X 036 X 30 X 30 360 360 120 120 Vamos calcular agora o valor principal isto é o capital necessário para apli car num investimento que remunere a taxa de juros simples de 30 ao ano para 4000 36036 30 30 d 083333333 anos 360 J VP i a a n 4000 036 083333333 120 J VP i n 008333 anos 008333 120 Equivalência Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 67 conseguir um valor de R 70000 e 50 dias Dados Assim é necessário realizar uma aplicação de R1680000 Avançando no assunto de equivalência calcularemos a taxa de juros em que uma aplicação financeira de R 5000 rende juros de R 55000 após 340 dias Para isso precisaremos achar a taxa de juros simples anual utilizada Dados Assim a taxa anual é de 1165 Utilizando a calculadora temos RPN ALG 550 ENTER 550 5000 ENTER 5000 X 340 360 340 X 360 01165 ou 1165 01165 ou 1165 700 30 50 50 d 360 VP J i n J VP i n 700 03 50 360 16800 VP J i n VP 5000 550 340 340 d 360 a VP J n i J VP i n 550 5000 340 360 01165 ou 1165 i J VP n i SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 68 Neste instante que você já conhece como calcular a taxa de juros aprenderemos a trabalhar a equivalência no cálculo do prazo Para isso considere um emprés timo de R 6500 que rende juros de R 89000 à taxa mensal de juros simples de 35 am Qual o número de meses que durou o empréstimo Dados Assim a duração do empréstimo foi de 391 meses Se você quiser saber o número de dias que durou o empréstimo terá que converter o número de meses em dias Agora utilizaremos a calculadora RPN ALG 890 ENTER 890 6500 ENTER 6500 X 0035 0035 X 391 391 X 30 30X 11736 dias 11736 dias Pois bem calcularemos agora o montante Imagine um capital no valor de R 10000 emprestado à taxa de juros simples de 48 aa ao ano Qual o mon tante após 550 dias 6500 890 350035 em meses VP J i a m n J VP i n 890 6500 0035 391 n J VP i n Equivalência Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 69 Dados O montante foi de R 1733333 Utilizando a calculadora temos RPN ALG 048 ENTER 048 X 550 X 550 360 360 1 1 X 10000 X 10000 1733333 1733333 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL A Equivalência Financeira constituise no raciocínio básico da matemática finan ceira Conceitualmente dois ou mais capitais representativos em uma certa data se dizem equivalentes quando a uma taxa de juros produzem resultados iguais numa data comum Exemplo 1 o valor de R 12000 vencível daqui a 1 ano e R 10000 hoje são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20 aa Se com um capital de R 10000 à taxa de 20 aa obtivermos R 12000 em um ano então dizemos que R 10000 hoje equivale a R 12000 daqui a 1 ano 10000 48048 550 d 550 360 VP i a a n VF 1 100001 048 550 360 1733333 VF VP i n VF VF SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 70 Exemplo 2 determine se R 43808000 vencíveis daqui a 8 meses são equivalentes a se receber hoje R 29600000 admitindo uma taxa de juros simples de 6 am Para serem equivalentes R29600000 hoje devem corresponder a R 43808000 daqui a 8 meses com taxa de 6 am 1 M C i n A equivalência de capitais pode então ser generalizada a partir da seguinte representação gráfica 0 1 A1 B1 A2 B2 B3 2 3 4 5 6 11 Os capitais A1 A2 B1 B2 e B3 dizemse equivalentes se quando expressos em valores de uma data comum data de comparação ou data focal e a uma mesma taxa de juros apresentam resultados iguais Sendo o momento escolhido 6 data focal temse 1 2 1 2 3 A 1 5i A 1 4i B 1 3i B 1 2i B 1 1 i 1 1001 020 1 1001 020 100 120 12000 logo são equivalentes M C i n M M M M R 8 2960001 048 296000 148 43808000 logo são equivalentes 2960001 006 M M M M R Equivalência Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 71 A equivalência de capitais em juros simples é dependente da data de comparação escolhida data focal Exemplo 3 admita que Fulano deve a Beltrano os seguintes pagamentos sem incidência de taxas de juros R 5000000 de hoje a 4 meses R 8000000 de hoje a 8 meses Propõese substituir pelo pagamento de R 1000000 hoje R 3000000 de hoje a 6 meses e o restante ao final de um ano 12 meses Sabendo que a taxa de juros simples nesta substituição de pagamento é de 24 aa apurar o saldo a ser pago 80000 50000 10000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30000 Para serem equivalentes os pagamentos devem produzir os mesmos resultados à determinada taxa de juros em qualquer data comum Admita inicialmente que a data focal selecionada é o tempo O capital 1 de R 5000000 produzirá o Montante 1 no tempo 12 O capital 2 de R 8000000 produzirá o Montante 2 no tempo 12 Capitais 1 e 2 são equivalentes a O capital 3 de R 1000000 produzirá o Montante 3 no tempo 12 O capital 4 de R 3000000 gera um Montante 4 no tempo 12 O Montante 5 no tempo 12 corresponde ao valor faltante para liquidar a dívida Para que haja equivalência temse que M1 M2 M3 M4 M5 500001002 8 800001002 4 100001 002 12 300001002 6 M5 50000 11680000 108 100001124 30000 112 M 58000 86400 12400 33600 M M R 9840000 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 72 Na equivalência financeira em juros simples é importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados fracionados sob pena de alterar os resultados Exemplo 4 verifique se o montante no final de dois anos de R 10000 aplica dos hoje à uma taxa de juros de 20 aa equivale a R 14000 No entanto este processo de capitalização linear não pode ser fracionado de forma alguma Por exemplo não pode apurar inicialmente o montante ao final do primeiro ano e a partir disso chegar ao montante do segundo ano envolve a capitalização de juros juros sobre juros prática esta não adotada em regime de juros simples Dois capitais equivalentes ao fracionar os seus prazos deixam de produzir mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples 1 1001 020 2 14000 logo 10000 e 14000 são equivalentes M C i n M M R R R Desconto Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 73 DESCONTO SIMPLES Caroa estudante a palavra desconto dá a entender que é um abatimento de um valor monetário em determinada condição Por exemplo quando você com pra à vista ou adquire determinada quantidade é comum você conseguir um desconto por preço ou por quantidade Logo nestas condições o desconto cos tuma ser um percentual aplicado sobre o preço HAZZAN POMPEO 2007 Neste sentido o desconto é uma operação financeira que objetiva fazer antecipação de recursos recebíveis de quaisquer espécies duplicatas cheques notas promissórias vale refeição MULLER ANTONIK 2012 p 117 O des conto por preço ocorre quando o valor de uma mercadoria a prazo é R 40000 e o vendedor oferece um desconto de 10 para pagamento à vista O valor do desconto será de R 4000 e o preço à vista da mercadoria R 36000 Agora o desconto por quantidade pode ser realizado por unidade isto é caso o compra dor leve mais que quatro unidades ele ganha um desconto de 5 na unidade Imagine que o preço seja R 4000 com um desconto de 5 que é igual a R 200 o novo preço passa a ser R 3800 Pode ocorrer outra situação envolvendo o desconto Por exemplo uma empresa vende a prazo e emite um boleto para o cliente ou pega um cheque prédatado para 30 dias Caso a empresa precise do dinheiro antes ela vai até o banco e faz um borderô isto é troca a duplicata ou o cheque por dinheiro Assim o desconto simples é uma modalidade de desconto mais utilizada no mercado e os cálculos são realizados com conceito de juros simples Neste sentido há dois tipos de desconto o racional ou por dentro e o comercial conhecido como bancário ou por fora MULLER ANTONIK 2012 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 74 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA O desconto comercial ou desconto por fora é muito utilizado no mercado e no comércio em geral ele pode ser realizado pela seguinte fórmula D N d n ou D VF VP Onde D Desconto N Valor Nominal VF d Taxa de desconto n Tempo VP Valor Presente Agora considere uma operação de troca de duplicata com valor de R 3000000 com vencimento para 2 meses e taxa de juros de desconto simples de 8 am ao mês D N d n D 30000 008 2 4800 Observe que o valor do desconto foi de 4800 Utilizando a calculadora temos RPN ALG 30000 ENTER 30000 X 008 X 008 X 2 X 2 X 4800 4800 Agora precisamos conhecer o valor líquido do título isto é o valor descontado Vd ou valor atual comercial Para isso utilizaremos a seguinte fórmula Desconto Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 75 Vd N D ou VP VF D Onde Vd valor descontado VP Continuando o exemplo anterior o valor descontado 30000 4800 2520000 Vd Exercício resolvido 4 Considere uma duplicata de R 1000000 descontada em um banco 48 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto comercial de 3 a m Qual o valor do desconto D N d n 10000 003 30 48 48000 D Qual o valor líquido recebido pela empresa sabendo que o banco cobrou uma taxa de serviço de 1 do valor da duplicata pago no dia que se rea lizou o desconto Qual a taxa efetiva de juros da operação no período Taxa de serviço 0011000000 10000 Valor recebido pela empresa 1000000 48000 10000 942000 10000 1 00616 616 9420 i ou ao período SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 76 DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO Na prática este tipo de desconto não é muito utilizado Também é conhecido como desconto verdadeiro e é calculado de forma semelhante aos juros sim ples Valor descontado 1 VF i n D i n Considere uma operação cujo título tem valor nominal de R 30000 com ven cimento para 2 meses e taxa de juros de desconto simples por dentro de 8 am ao mês Qual o valor do desconto 30000 008 2 413793 1 008 2 D O valor do desconto foi de R 413793 Agora calcularemos o valor presente que o indivíduo receberá VP VF D VP 30000 413793 2586207 Assim o valor presente do título é de R 2586207 Desta forma caroa estudante vamos imaginar um título que vence daqui a 60 dias O banco opera com desconto racional simples e cobra taxa de juros de 8 ao mês Sabendo que o valor do desconto é de R 413793 qual o valor nominal e o valor presente deste título 413793 2 meses 8 VF D n i Desconto Simples Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 77 1 VF i n D i n 008 2 016 413793 1 008 2 116 VF VF 016 413793 1 16 VF 016 479999 VF 479999 016 VF 2999999 3000000 VF ou aproximadamente Observe que o valor nominal ou futuro do título foi de 30000 Assim o valor descontado do título é 30000 413793 2586207 VP Prezadoa estudante nesta unidade pudemos conhecer a base da matemática financeira por meio dos juros simples equivalência simples e desconto simples Assim este ensinamento permitirá a você avançar na disciplina conhecendo a dinâmica dos juros compostos descontos compostos e equivalência composta Desta forma desejamos bons estudos SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 II U N I D A D E 78 CONSIDERAÇÕES FINAIS Caroa alunoa aprendemos nesta unidade que a movimentação financeira de curto prazo entre os tomadores e poupadores pode gerar a taxa de juros sim ples que é a base da matemática financeira isto é a partir dela trabalharemos mais à frente o conceito de juros compostos Nesta perspectiva as transferências de recursos entre os agentes possibilita a geração de recursos que denomina mos lucros Passamos a perceber que as operações financeiras estão mais próximas do nosso cotidiano do que imaginávamos Para compreendermos de forma mais profunda vimos como realizar os cálculos por meio da fórmula matemática e HP12C Observe que dependendo do lugar em que estiver seja no escritório em casa seja na rua você terá meios para calcular a taxa de juros Por isso é aconselhável ter uma calculadora sempre próxima de você Vimos que o capital é a base para o cálculo dos juros simples no tempo Ao aplicarmos os conceitos em exemplos práticos pudemos perceber que não há incidência de juros sobre juros ou seja os juros não mudam ao longo do perí odo Nesta perspectiva você provavelmente encontrará a taxa de juros simples no mercado em investimentos e operações de curtíssimo prazo Passamos a compreender o que é equivalência simples utilizada por empresas instituições financeiras e por pessoas que buscam a compatibilização de entrada e saída ao longo do tempo Por fim trabalhamos o desconto por fora ou des conto simples isto é as antecipações de valores a receber ou a pagar Diante disso esta unidade permitiu a você alunoa ter um panorama geral de como calcular a taxa de juros e analisar a equivalência de forma linear Por sua vez o conhecimento gerado até o momento servirá como base para o seu avanço na matemática financeira por isso incentivo você a não parar por aqui pois a prática e o aprofundamento permitirão a você avançar nesta área 79 1 Considere um empréstimo de R 2000000 à taxa de juros simples de 20 ao ano a ser paga no final de 4 anos Calcule o valor dos juros e assinale a alter nativa correta a 1200000 b 1600000 c 1800000 d 2000000 e 2200000 2 Imagine um empréstimo de R 3000000 à taxa de juros simples de 20 ao ano a ser paga no final de 5 anos Calcule o valor do montante ou valor futuro VF juros e assinale a alternativa correta a 6000000 b 5500000 c 5000000 d 4500000 e 4000000 3 Considere uma operação de troca de duplicata com valor de R 4000000 com vencimento para 2 meses 60 dias e uma taxa de juros de desconto de 5 am Calcule o valor do desconto e em seguida o valor descontado e assinale a alternativa correta a D 1000 e Vd 39000 b D 2000 e Vd 38000 c D 2500 e Vd 37500 d D 3000 e Vd 37000 e D 4000 e Vd 36000 80 4 Uma aplicação rendeu após 5 anos o montante de R 5000000 taxa de juros anual de 15 Realize os cálculos desconto por dentro para encontrar o valor da aplicação inicial isto é o valor presente da operação e assinale a alternativa que corresponde ao valor aplicado a 2578135 b 2688153 c 2742547 d 2857143 e 2934172 5 Calcule o valor necessário para aplicar num investimento que remunere a taxa de juros simples de 30 ao ano para conseguir um juro de R 80000 em 55 dias 6 Verifique se o valor de R 560000 vencível daqui a 60 meses e R 325000 hoje são equivalentes à taxa de juros simples de 144 aa 81 Taxas de inflação Vimos que o fenômeno que causa o aumento generalizado de preços dos produtos e serviços denominase inflação Isto é a perda do poder de compra da moeda que leva à perda do poder aquisitivo dos salários aluguéis elevando a desigualdade social e também à desorganização do mercado de capitais Isto ocorre porque as pessoas trocam ativos monetários por ativos reais o que ocasiona aumento na procura por aquisição de casas terrenos entre outros a fim de se defenderem da inflação Por outro lado temos a deflação fenômeno que causa queda persistente dos preços dos bens e serviços A deflação ocasiona problemas como a queda do investimento e da produção aumenta o desemprego o que pode levar o país à depressão econômica Observe que tanto a inflação quanto a deflação trazem prejuízos às famílias e às em presas mas infelizmente precisamos lidar com elas No Brasil o fenômeno da inflação é mais comum e já trouxe grandes problemas ao longo da história do país Pois bem como não temos como evitar a inflação temos que aprender a lidar com ela Para isso precisamos ter expertise e utilizar o conhecimento sobre a matemática financeira para tomada de decisões Isto é se não soubermos calcular corretamente este fenômeno no período pode levar a empresa à redução do seu poder de compra Logo a organização poderá reduzir de tamanho A inflação comumente é medida por meio da composição de uma cesta de produtos determinada representando a cesta de bens de uma família por exemplo A varia ção mensal do preço desta cesta é que compõe a taxa de inflação do período Por exemplo ao admitirmos que a cesta foi constituída por dois produtos A e B com os preços em janeiro de R 12000 e R 6000 respectivamente Assim o valor da cesta deste mês será de 12000 6000 18000 V Agora imagine que os preços dos bens passaram em fevereiro a custar R 13000 e R 6500 e a cesta teria o valor 13000 6500 19500 V Assim a taxa de inflação de fevereiro foi de 19500 1 00833 833 18000 i ou Você enquanto gestora de uma organização deve estar atentoa às variações da taxa da inflação porque ela impacta no preços dos insumos dos salários aluguéis e lucros Por isso saber como calcular a inflação do período a fim de repassálas para os preços é importante para manter o poder de compra da organização No caso de taxas mensais de inflação de meses sucessivos a taxa acumulada de inflação é dada por 1 2 3 1 1 1 1 n 1 j j j j j 82 Exemplo em outubro novembro e dezembro as taxas de inflação foram 1 15 e 2 respectivamente Para calcular a taxa do trimestre temos j 1 001 1 0015 1 002 1 00457 457 Assim a taxa acumulada do trimestre foi de 457 Fonte adaptado de Iezzi Hazzan e Degenszajn 2013 Material Complementar MATERIAL COMPLEMENTAR MATERIAL COMPLEMENTAR Matemática Financeira fundamentos e aplicações Wuli Dal Zot e Manuela Longoni de Castro Editora Bookman Sinopse este livro ensina os fundamentos da matemática para que se compreenda o seu impacto no nosso dia a dia Com ele oa leitora vai entender como a matemática explica os juros do seu investimento o custo do seu imóvel a tomada de decisões financeiras o planejamento das empresas os seguros e as transações de valores mobiliários Para isso apresenta conceitos seguidos de exemplos problemas acompanhados de solução e o passo a passo com o uso de calculadoras Os exemplos foram retirados do mundo dos negócios e enriquecidos pela experiência dos autores no ensino da disciplina Prezadoa alunoa nesta unidade estudamos as Relações de Equivalência da Matemática Financeira agora convidamos você a assistir este vídeo a fim de reforçar os seus conhecimentos sobre o tema Web httpswwwyoutubecomwatchvOl7pf3i31uE REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS 84 BUENO R L S RANGEL A S SANTOS J C S Matemática financeira moderna São Paulo Cengage Learning 2011 HAZZAN S POMPEO J N Matemática Financeira 6 ed São Paulo Saraiva 2007 MULLER A N ANTONIK L R Matemática Financeira instrumentos financeiros para a tomada de decisão em Administração Economia e Contabilidade São Paulo Saraiva 2012 GABARITO 85 GABARITO 1 B 2 A 3 E 4 D 5 800 30 55 55 d 360 VP J i n VP Assim neste caso é necessário realizar uma aplicação de R17454 6 60 3250172 559000 32501 0012 M R Logo R 325000 e R 560000 não são equivalentes 800 1745455 55 03 360 J VP i n J VP i n VP ANOTAÇÕES ANOTAÇÕES UNIDADE III Professoras Me Marcela Gimenes Bera Oshita Me Juliana Moraes da Silva SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Objetivos de Aprendizagem Instruir o acadêmico sobre juros compostos Orientar o aluno quanto a equivalência composta Diferenciar taxa nominal de taxa efetiva Ensinar o discente a respeito do desconto composto Plano de Estudo A seguir apresentamse os tópicos que você estudará nesta unidade Juros compostos Equivalência composta Taxas nominal e efetiva Desconto composto INTRODUÇÃO Caroa alunoa acredito que você ao realizar um investimento provavelmente gostará de ver seu dinheiro crescer de forma exponencial Por outro lado ao rea lizar um financiamento você deseja pagar a menor remuneração possível pelo uso do dinheiro Pois bem nesta unidade vamos nos aprofundar nos conceitos inerentes às operações financeiras que envolvem juros Estudaremos de forma prática os conceitos sobre juros compostos equi valência composta e desconto composto que são uma evolução na matemática financeira Passaremos a compreender operações mais complexas que envolvem juros compostos Assim aprenderemos que os juros compostos são calculados com base no capital somados aos juros do período anterior Logo há incidência de juros sobre juros isto é o juro não é o mesmo ao longo do período Este tipo de operação pode ser diversamente encontrado no mercado em investimentos e nos financiamentos Para trabalharmos juros compostos utilizaremos as fór mulas matemáticas algébricas e a calculadora financeira HP12C A equivalência composta seguindo a mesma lógica dos juros simples envolve analisar quando dois ou mais capitais com diferentes vencimentos são condu zidos para uma mesma data a mesma taxa de juros e nas mesmas condições leva a valores iguais Entretanto a equivalência composta é diferente da simples pois para encontrála você não poderá simplesmente dividir a taxa anual pelo número de meses Além disso trabalharemos o desconto composto ou des conto por dentro que na prática nada mais é do que antecipações de valores a receber ou a pagar Aprenderemos de fato o desconto racional Pois bem agora que já conhece o assunto com que vamos trabalhar nesta unidade nós oa con vidamos a se aprofundar nos estudos visto que este conhecimento poderá ser muito utilizado tanto em suas operações cotidianas como em tomadas de deci sões empresariais Introdução Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 91 JUROS COMPOSTOS Durante o nosso estudo você perceberá que o dinheiro investido a juros compostos cresce de forma exponencial isto porque a base de cálculo dos próximos períodos é baseada no principal somados aos juros do período atual Enquanto o cálculo dos juros simples é sempre baseado no principal original os compostos crescem mais rápido do que quando aplicado em juros simples a mesma taxa de juros DE CASTRO DAL ZOT 2015 Desta forma se tivermos um principal de R 20000 a uma taxa de juros de 10 ao ano em juros simples tanto os juros do primeiro ano quanto os do segundo serão R 2000 cada um P i 200 010 Nos juros compostos haverá uma diferença entre os juros calculados no primeiro e no segundo ano DE CASTRO DAL ZOT 2015 p 23 Observe que no primeiro ano os juros serão R 2000 P i 200 010 2000 igualmente aos juros simples entretanto no segundo ano o cálculo dos juros será R 2200 P i 220 010 2200 Vejamos que a diferença entre sistemas de juros simples e compostos devese no segundo ano ao fato de que a base de cálculo dos juros compostos não é apenas o principal original mas sim aquele principal acrescido dos juros calculados nos períodos passados neste caso os R2000 do primeiro ano Considere um empréstimo de R1000000 a ser realizado com uma taxa de 30 ao ano durante 10 anos Ao fazer um comparativo na Figura 1 entre os juros simples e compostos podemos visualizar facilmente a diferença da evolução que ambos produzem ao longo dos 10 anos Juros Compostos Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 93 S Juros compostos 13785849 4000000 1000000 Juros simples e n anos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 1 Cotejamento de juros simples e compostos Fonte De Castro e Dal Zot 2015 p 25 Assim os juros simples também são denominados juros lineares enquanto os juros compostos são também chamados de juros exponenciais DE CASTRO DAL ZOT 2015 p 25 Desta forma nos juros compostos os montantes aumentam conforme uma progressão geométrica Assim considere a fórmula do montante VF VP i n 1 Aproveitando a relação obtida para o montante composto temos a relação de juro composto M C J J M C J C 1 i n C J C 1 i ⁿ 1 Agora considere uma aplicação financeira de R1500000 que será resgatada após 26 meses à taxa de juros de 3 5 am VF VP R n i VF VP i VF n 15 000 00 26 3 5 1 15 000 1 0 meses 035 36 689 38 26 R Utilizando a calculadora RPN ALG FÓRMULA HP12C 1035ENTER 1035yx ffin 26yx 26x 35i 15000x 15000 26n 3668938 3668938 15000PVFV 3668938 Observe que o valor encontrado pela calculadora financeira é negativo Isso ocorre por causa da interpretação de que todo empréstimo funciona como um fluxo de caixa se o principal é positivo entrada significa que quem faz o cálculo é o tomador do empréstimo e logo deverá restituir o valor de resgate representando uma saída negativo DE CASTRO DAL ZOT 2015 p 26 SAIBA MAIS Juros compostos com a calculadora financeira Para fazer o cálculo na HP12C de uma das variáveis você deve informar as variáveis conhecidas digitando o valor na memória de cálculo e em seguida clicar na tecla que corresponde à incógnita cujo valor pretende descobrir e a calculadora fará o cálculo para você Vamos conhecer um pouco sobre as funções da calculadora n corresponde ao número de períodos de tempo i corresponde à taxa de juros informar a taxa percentual PV corresponde ao valor presente PMT corresponde ao valor da prestação FV corresponde ao montante ou valor futuro Cabe ressaltar que se digitarmos na calculadora um valor positivo para PV e quisermos que ela calcule o PMT a resposta apresentada será ne Juros Compostos Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 95 Cálculo do valor presente Para transformar o valor futuro em valor presente em juros compostos basta colocar n tempo em exponencial VP VF i n 1 Exemplo para que um investimento atinja o valor de R7500000 após 1 080 dias com taxa de juros compostos de 45 ao ano qual deve ser o valor inicial VP VF R n dias i a a 75 000 00 1 080 45 Observe que neste exemplo o prazo está diferente da unidade de tempo da taxa Por isso devemos converter o tempo pela regra do banqueiro n anos 1 080 360 3 Pois bem agora resolveremos o exemplo VP VF R n anos i a a 75 000 00 3 45 gativa Portanto o leitor deve observar que quando for calcular a taxa ou o prazo os sinais das variáveis que representam valores PV PMT ou FV devem ser contrários Para isso utilize a tecla CHS Fonte adaptado de De Castro e Dal Zot 2015 VP 75000 1 0453 2460125 Assim o capital inicial a ser investido deve ser R2460125 Utilizando a calculadora temos RPN ALG FÓRMULA HP12C 75000 ENTER 75000 ffin 145ENTER 145yx3 45i 3yx 2460125 3n 75000FVPV 2460125 2460125 Cálculo da taxa de juros Podemos também realizar o cálculo da taxa de juros Para isso precisamos isolar i na fórmula do montante VF VP1in VF VP 1in VF VP 1n 1in 1n 1i i VF VP 1n 1 Pois bem agora que conseguimos obter a fórmula da taxa de juros podemos prosseguir com nosso exemplo considere uma dívida de R1000000 que foi resgatada por R1600000 após 11 meses Vamos então calcular a taxa de juros mensal da operação i VP R1000000 VF R1600000 n 11 meses i VF VP 1n 1 i 16000 10000 111 1 00436 ou 436 Neste exemplo a taxa de juros mensal foi de 436 ao mês RPN ALG FÓRMULA HP12C 16000 ENTER 16000 ffin 10000 10000yx 16000FV 11 1x 11 1X 11n yx 10000CHSPV 1 00436 i 00436 436 É importante destacar que na HP12C as teclas PV e FV devem ter sinais opostos CHS troca o sinal fazendo a função da tecla de algumas calculadoras Cálculo do prazo Agora calcularemos o prazo necessário para que uma aplicação acumule um determinado valor Para isso precisamos da fórmula do n na fórmula do montante SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 III U N I D A D E 98 VF VP i VF VP i VF VP i VF VP n n n ln ln ln 1 1 1 n i n VF VP i ln ln ln 1 1 Por exemplo quantos meses são necessários para que uma aplicação de R2500000 acumulese em um saldo de R5000000 à taxa de juros com postos de 3 5 a m n VP R VF R i a m 25 000 00 50 000 00 3 5 O prazo necessário é de 20 14 meses n VF VP i n ln ln ln ln 1 50 000 25 000 1 0 035 2 1035 0 693147 0 034401 20 14 ln ln 50000 ENTER 50000 ffin 25000 25000 50000FV LN 1035LN LN 35 i 2014 2014 n 21 meses Observe que neste caso a HP12C arredonda o resultado Temos também os períodos não inteiros Por exemplo considere um investimento de R2000000 a uma taxa de juros de 90 aa Qual o valor do resgate após 800 dias VF VP 2000000 i 9009 aa n 800 d 800360 aa VF VP1iⁿ VF 20000109⁸⁰⁰³⁶⁰ 8326881 O valor do resgate é de R 8326881 Utilizando a calculadora 19ENTER 19yˣ ffin 800ENTER 800360 90I 360 X 800ENTER360n yˣ 20000 20000PV 20000X 8326881 FV 8326881 8326882 Ao utilizar a Fórmula HP12C para períodos não inteiros coloque a calculadora em modo C por meio das teclas STO e após EEX Depois de realizar a conta pode clicar nas mesmas teclas para tirar o modo C Exemplo 1 CDB ou RDB Mário procurou o Banco Marcondes SA pois queria realizar um investimento O gerente deu duas opções investir em CDB R500000 durante 2 anos a juros compostos de 2 am ou investir RDB R500000 durante 1 ano a juros compostos de 3 ao mês O que é mais vantajoso VF VP1iⁿ VF 500010 02²⁴ R804218 VF 50001003¹² R712880 Observe que ao comparar os investimentos o melhor é em CDB Equivalência Composta Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 101 EQUIVALÊNCIA COMPOSTA Na unidade anterior estudamos a equivalência de taxas e de capitais no sistema de capitalização simples Nesta unidade abordaremos os mesmos conceitos os mesmos problemas de finanças mas sob outro enfoque agora utilizando o sistema de capitalização composta Vale ressaltar que devido à equivalência de taxas e capitais a escolha da data focal no sistema composto é irrelevante PARENTE 1996 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Agora seguiremos a mesma lógica utilizada com juros simples mas aplicado aos juros compostos Assim a equivalência de taxa de juros composta é dife rente da capitalização simples visto que na simples a taxa de juros é proporcional enquanto na composta o juro é exponencial ieq ic nt nc 1 1 1ENTER ieq taxa equivalente ic taxa conhecida nt prazo da taxa procurada nc prazo da taxa conhecida Nesta perspectiva taxa equivalente dáse pela comparação de duas taxas que aplicando sobre um mesmo montante e num mesmo período produz o mesmo juro Por exemplo qual é a rentabilidade mensal de uma aplicação financeira com taxa de juros compostos de 15 aa ieq 1icⁿₜnc1 ieq 1015³⁰³⁶⁰1 ieq 1015¹¹²1 ieq 10117111714 am RPN ALG FÓRMULA HP12C 1ENTER 115yˣ ffin 015 30360 15 i 30ENTER 1 100CHSPV 360 x 30nFV 1yˣ 100 360ni 1 11714 am 11714 am 11714 am 11714 am Agora considere o exemplo de aplicação financeira em que temos taxa de 5 am e queremos taxa equivalente a 45 dias Vejamos ieq 10054530 1 10515 1 107593 1 007592 ou 7592 isto é a taxa no período foi de 7592 Utilizando a calculadora RPN ALG FÓRMULA HP12C 1 ENTER 105 yx f fin 005 45 30 5 i 45 ENTER 1 100 CHS PV 30 x 45 n FV yx 100 30 n i 1 7592 ap 7592 ap 100 x 7592 ap Considere uma aplicação financeira com uma rentabilidade mensal com taxa de juros compostos de 18 aa ieq 101830360 1 118112 1 10138 1 001388 ou 1388 am Vejamos agora um título que rende 5 num prazo de 45 dias Qual a taxa anual ieq 100536045 1 1058 1 04774 4774 Considera mais um exemplo uma instituição pegou emprestado R2000000 à taxa de juros de 15 aa pelo prazo de 90 dias ou 1 trimestre Verificaremos qual foi a taxa trimestral equivalente do empréstimo e o montante pago ieq 101590360 1 11514 1 1035558 1 0035558 ou 35558 at Assim a taxa trimestral que equivale à taxa anual de 15 aa é de 35558 at Agora se você quiser calcular o montante para o final do período basta utilizar a fórmula do valor futuro VF VF 20000000 1015 90360 VF 20711161 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 III U N I D A D E 106 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL O conceito de equivalência de capital no sistema de capitalização composta pos sibilita alterar as datas e as formas de pagamentos ou recebimentos em outras equivalentes mantendo o equilíbrio financeiro entre as partes e consequente mente cotejar as alternativas Na aplicação de equivalência devedor não paga valores além dos devidos e credores não recebem valores diferentes das condi ções contratadas Considere os valores de dois capitais x e y separados um do outro por um período n de tempo por exemplo o primeiro capital x na data 0 zero e o segundo y na data n Dizse que x e y são equivalentes se ao aplicar mos uma taxa de juros composto i sobre x da data 0 zero até a data n e o montante obtido for igual a y Dizemos também que x é o valor atual de y Exemplo 1 Considere uma nota promissória de R 1 500 00 com vencimento daqui a 3 meses Se aplicarmos taxa de juros compostos de 2 a m determine o valor equivalente da promissória hoje VF VP i VP VP VP R n 1 1 500 1 0 02 1 500 1 061208 1 413 3 48 Exemplo 2 Uma indústria de detergentes prevê o pagamento de uma duplicata de R 200 000 00 daqui a um mês e outra de R 500 000 00 daqui a três meses Quanto a indústria deverá aplicar hoje à taxa composta de 1 5 a m para fazer frente a essas duplicatas em seus respectivos vencimentos 0 1 200000 500000 2 3 Valor Futuro 1 de R 200 000 00 gera um Valor Presente 1 Assim a taxa nominal produziu uma taxa efetiva de 5194 aa Entretanto é necessário tomar cuidado ao tratar de taxa nominal visto que esta é convertida por meio de taxas proporcionais Isto é após ser convertida em taxa efetiva do período de capitalização é capitalizada por meio de juros compostos Comumente a taxa nominal em período anual é convertida em taxa efetiva em períodos menores como mês trimestre ou semestre Desta forma a taxa efetiva de 3 am é resultado da divisão da taxa nominal de 36 aa por 12 isto é número de meses do ano Assim taxa efetiva de 3 capitalizada de forma composta mensalmente corresponde a 4257 aa Equivalência Composta Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 107 Valor Futuro 2 de R 500 000 00 gera um Valor Presente 2 A soma dos dois Valores Presentes corresponde ao valor que deve ser apli cado hoje momento zero VF VP i VP VP VP R n 1 200 000 1 0 015 200 000 1 015 197 1 044 34 VF VP i VP VP VP R n 1 500 000 1 0 015 500 000 1 0456784 3 478 158 50 Aplicação de R 675 202 84 soma de VP SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 III U N I D A D E 108 TAXAS NOMINAL E EFETIVA Em alguns tipos de operação financeira costumase expressar a taxa de juro no mesmo período de pagamento Por exemplo taxa mensal com capitalização mensal taxa anual com capitalização anual No entanto há muitas operações em que as taxas são expressas em percentual anual mas os períodos de capitaliza ção são diferentes das taxas por exemplo taxa anual com capitalização mensal bimestral semestral Desse fato decorrem situações em que a taxa de juro é expressa em um perí odo de capitalização não coincidente com o período de tempo ao qual se refere Nesses casos fazse necessária a distinção entre taxa efetiva e taxa nominal Taxa efetiva A taxa efetiva é aquela que como o próprio nome já diz efetivamente verifica uma operação É a taxa cobrada Exemplos 5 a m capitalizado mensalmente período da taxa é mensal período em que os encargos são juntados ao capital também é mensal 7 a b capitalizado bimestralmente período da taxa é bimestral perí odo em que os encargos são juntados ao capital também é bimestral Equivalência Composta Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 109 Na taxa efetiva o período da taxa é igual ao período de capitalização Taxa nominal A taxa nominal é uma taxa aparente escrita contratada que só pode ser defi nida quando a periodicidade da taxa a que se refere é diferente da periodicidade da capitalização Exemplos 10 a a capitalizado bimestralmente período da taxa é anual perí odo que os encargos são juntados ao capital é bimestral 4 a m capitalizado diariamente período da taxa é mensal período em que os encargos são juntados ao capital é diário Verificase que a taxa é nominal quando o período da taxa é diferente da perio dicidade da capitalização Considerando os conceitos de taxas na hora de contratar um financia mento empréstimo ou pagar alguma dívida o consumidor deve ficar atento se a taxa estipulada em contrato é nominal ou efetiva Geralmente os contra tos de financiamentos informam a taxa de juros nominal Entretanto a que realmente vigora para o cálculo das prestações e do saldo devedor é a taxa efetiva que é sempre maior do que a primeira Exemplo uma taxa de juros nominal contratada de 12 a a capitalizados mensalmente corresponderá na prática à taxa efetiva cobrada de 12 6825 aa taxa efetiva é maior que taxa nominal A taxa efetiva é aquela que real mente incide em determinada operação Por sua vez a taxa nominal é aquela Uma instituição financeira remunera um fundo de investimento com taxa nominal de 12 a a capitalizada mensalmente A taxa de juros utilizada nos cálculos é de 12 a a NÃO a taxa efetiva é de 1 a m ou 12 6825 a a Taxas proporcionais e taxas equivalentes compostas Taxas proporcionais e taxas equivalentes são denominações de um mesmo conceito são taxas que geram o mesmo resultado financeiro se aplicadas ao mesmo montante durante o mesmo período de tempo A diferença entre os dois conceitos consiste no modelo de juros utilizado para cálculo onde Taxas proporcionais são calculadas no modelo de juros simples Taxas equivalentes são calculadas no modelo de juros compostos Exemplo aplicando certa quantia 05am informe qual será a taxa anual Em juros simples será 6aa 05x12meses A apuração de taxas proporcionais é realizada por meio de operações de multiplicação e divisão Em juros compostos será 616778aa A apuração da taxa equivalente é realizada por meio de operação de exponenciação Na HP12C Para calcular taxa de juros de uma frequência menor para uma maior fReg 100CHSPV xxxn xxxi FV RCLPV Para calcular taxa de juros de uma frequência maior para uma menor Exemplo 1 Apure a taxa efetiva a 6aa capitalizados mensalmente 6aa12meses 05am efetiva pois 05am capitalizada mensalmente tem mesma periodicidade Para apurar a taxa efetiva anual é preciso aplicar a taxa equivalente ieq 1icntnc 1 ieq 100512 1 106168 1 6168aa b 12as capitalizados mensalmente 12as6meses 2am efetiva pois 2am capitalizada mensalmente tem mesma periodicidade Para apurar a taxa efetiva semestral é preciso aplicar a taxa equivalente ieq 1icntnc 1 ieq 1026 1 112616 1 12616as c 9 at capitalizados mensalmente 9at3meses 3am efetiva pois 3am capitalizada mensalmente tem mesma periodicidade Para apurar a taxa efetiva trimestral é preciso aplicar a taxa equivalente ieq 1icntnc 1 ieq 100331 1 ieq 109273 1 9273at 4am capitalizados diariament 4am30dias 0133333ad efetiva pois 013333ad capitalizada diariamente tem mesma periodicidade Para apurar a taxa efetiva mensal é preciso aplicar taxa equivalente ieq 1icntnc 1 ieq 100013333301 1 ieq 1040782 1 40782am Exemplo 2 Em juros compostos uma empresa tem duas opções de aplicações opção 1 aplicar um capital à taxa de 33aa ou opção 2 aplicar o mesmo capital à taxa de 75at capitalizada mensalmente Qual a melhor alternativa para um ano de investimento Na opção 1 taxa anual de 33aa Na opção 2 taxa nominal de 75at período da taxa é trimestral e período de capitalização é mensal 75at3meses 25 ao mês efetiva pois período e taxa e da capitalização são mensais Para apurar a taxa efetiva anual é preciso aplicar a taxa equivalente ieq 1icntnc 1 ieq 10025121 1 ieq 1344889 1 344889aa Logo a melhor alternativa é a opção 2 aplicar o capital à taxa de 75at capitalizada mensalmente Desconto Composto Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 113 DESCONTO COMPOSTO O desconto composto referese ao valor a ser abatido de um determinado título de crédito MULLER ANTONIK 2012 Assim o valor descontado é a dife rença entre o valor nominal do título e o desconto Neste contexto de forma conceitual existe somente o desconto racional Entretanto o mercado utiliza o desconto comercial ou bancário Desconto comercial Apesar do desconto Comercial Composto por fora não ser utilizado na prática vamos tratálo aqui visto que Muller e Antonik 2012 destacam esse tipo de desconto como análogo ao juro composto já que ele é análogo ao cálculo do juro composto Se pensarmos no tempo como n 1 a forma de cálculo seria Para n 2 devemos calcular da seguinte forma VP i 1 VP2 N1 i1 i Nesta sequência poderíamos considerar VPn N1 in Assim o valor do desconto é de D N VP Considere uma empresa que contratou um empréstimo no valor de R20000000 com uma taxa de juros de 10am e o prazo de vencimento de três meses Qual o desconto comercial N 20000000 i 10am t 3meses VPn N1 in VPn 2000001 013 VPn 14580000 D N VP D 200000 145800 54200 Assim o valor descontado foi de R14580000 e o valor do desconto de R5420000 Desconto racional Agora passaremos a entender o desconto racional por dentro que é amplamente utilizado no Brasil e que o desconto é obtido pela diferença entre o valor futuro e o valor atual de um compromisso financeiro que será pago em n períodos antes do vencimento MULLER ANTONIK 2012 p 123 D VF VP Entretanto como VF VP1in D N N1 in ou D N1 1 in Ou também VP N 1in Considere um exemplo que nas operações de desconto os juros são pagos antecipadamente Imagine que uma empresa contratou um empréstimo em uma instituição financeira no valor de R8000 sendo 35aa de desconto composto racional e prazo de vencimento de 3 meses Inicialmente é necessário encontrar a taxa equivalente mensal ieq 1 03530360 1 00253 ou 253 Agora encontraremos o valor descontado da operação VP 8000 1 002533 VP 742227 Assim o valor descontado da operação foi de R742227 Desta forma o valor do desconto foi D 800000 742227 R57773 Caroa acadêmicoa nesta unidade conheceremos a matemática financeira utilizada em nosso cotidiano por meio dos juros compostos equivalência e desconto composto Nesta perspectiva esse ensinamento permitirá a você avançar na disciplina conhecendo e aprofundando na classificação de rendas e anuidades rendas certas rendas diferenciadas e rendas perpétuas SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 III U N I D A D E 116 CONSIDERAÇÕES FINAIS Pois bem chegamos ao fim da nossa unidade em que estudamos os conceitos inerentes às operações financeiras que envolvem juros Agora você já tem bases para iniciar a realização de cálculos de juros sobre investimentos bem como financiamentos uma vez que você teve a oportunidade de ter contato com os cálculos seja com lápis e borracha isto é por meio de fórmulas matemáticas e já por meio das calculadoras inclusive a HP12C Acredito que você a partir dos conhecimentos gerados ao decidir investir ou emprestar recursos pensará e analisará a dinâmica dos juros antes de tomar a decisão Haja vista que se pensarmos racionalmente optaremos por um inves timento que trará melhor retorno sob um risco calculado Por outro lado ao realizar um financiamento optamos por aquele com a menor taxa do mercado Neste contexto pudemos aprender que os juros compostos são calculados com base no capital somados aos juros do período anterior Por isso há incidência de juros sobre juros uma vez que o valor dos juros não é mesmo ao longo do perí odo Aprendemos ainda que equivalência composta apesar de ter a mesma lógica da equivalência simples a fórmula de cálculo é diferente da simples pois para encontrála você poderá simplesmente dividir a taxa anual pelo número de meses Ainda aprendemos sobre o desconto composto ou desconto por dentro na prática isto é antecipações de valores a receber ou a pagar Portanto agora que você já conhece o universo composto da matemática financeira já pode come çar a praticar Chame a família e os amigos e se ofereça para calcular os juros sobre as operações financeiras que eles forem realizar Assim terá oportunidade de praticar a matemática financeira e ainda poderá auxiliálos a tomarem as melhores decisões Bons estudos 117 1 Considere uma aplicação financeira de R 25 000 00 que será resgatada após 26 meses a uma taxa de juros de 3 5 a m Calcule o Valor Futuro da opera ção e assinale a alternativa correta a R 61 148 96 b R 62 248 33 c R 63 336 25 d R 59 338 78 e R 57 999 66 2 Para que um investimento atinja o valor de R 95 000 00 após 1440 dias com taxa de juros compostos de 45 ao ano qual deve ser o valor inicial Antes de resolver observe que o prazo está diferente da unidade de tempo da taxa Por isso é necessário converter o tempo pela regra do banqueiro Assinale a alternativa correta a R 15 142 92 b R 16 349 93 c R 17 736 20 d R 19 738 70 e R 21 490 75 3 Considere uma dívida de R 20 000 00 que foi resgatada por R 26 000 00 após 11 meses Calcule a taxa de juros mensal composta da operação e assinale a alternativa correta a 1 89 b 2 29 c 2 41 d 2 99 e 3 5 4 Uma empresa solicita um financiamento de R 48 700 00 no Banco dos Brasi leiros com prazo de vencimento em parcela única 30 dias após a liberação do empréstimo Considerando a taxa de juros composta de 19 5 aa calcular o montante a pagar 5 A indústria de confecção Belas Peças possui uma nota promissória de valor no minal R 50 000 00 que vence daqui a um mês O devedor propõe a troca por outra nota promissória a vencer daqui a 3 meses Considerando uma taxa de juros de 2am na equivalência composta qual deve ser o valor da nova nota promissória Taxa nominal e taxa real A taxa nominal é aquela que encontramos no mercado adotada comumente em operações correntes que inclui os efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação Isto é aquela taxa que incorpora os efeitos da inflação em outras palavras constituise uma taxa prefixada de juros Logo num contexto inflacionário você encontrará uma taxa nominal prefixada devido à inflação e a taxa real que reflete os juros reais pagos ou recebidos Por isso nesta leitura complementar nós aprenderemos como apurar a taxa de juros real livre dos efeitos inflacionários Isto é o quanto você ganhou ou perdeu sem a interferência das variações de preços inflação Assim o cálculo da taxa real r tem como objetivo expurgar a indexação da taxa total de juros nominal de forma a expressar o juro real Por exemplo publicouse que a remuneração de determinado título foi de 128 num intervalo de tempo sendo 92 a taxa de inflação no mesmo período Assim quando apliquei R20000000 no início do período obtive um rendimento nominal de R2560000 128 R20000000 no período totalizando um montante de R22560000 Em contrapartida para manter inalterado o seu poder de compra o capital acumulado ao aplicador deve atingir ao final do período a soma de R21840000 R20000000 1092 Como o valor de resgate soma R22560000 concluise pela existência de um lucro real em valores líquidos R720000 R22560000 R21840000 Isto é o aplicador obteve um ganho real acima do principal investido corrigido pela inflação de R720000 Em termos percentuais o retorno real da operação determinado pela relação entre o lucro ganho e o valor aplicado ambos expressos em moeda de mesmo poder de compra é igual a 33R720000 R21840000 De uma forma geral a fórmula de apuração da taxa real é a seguinte Taxa real r 1 taxa nominali 1 taxa de inflaçãoI 1 Pode ocorrer não obstante de a taxa real ser negativa isto ocorre quando a inflação supera a variação nominal dos juros por exemplo o aumento do dólar Considerase que o dólar apresentou atualmente 75 abaixo da inflação de 92 Quem aplicou R20000000 neste ativo no período conseguiu resgatar R21500000 20000000 x 1075 Como precisava obter um montante de R21840000 para manter o poder de compra da moeda com base na taxa de inflação da economia concluise que o investidor teve uma perda real de R340000 R21500000 R21840000 Ou em termos percentuais a perda real atingiu a taxa negativa de 156 340000 21840000 isto é o investidor obteve somente 9844 R2150000021840000 do valor de seu investimento corrigido perdendo em consequência 156 em capacidade de compra Pela expressão de cálculo da taxa real temse r 1 variação nominal do dólar 1 taxa de inflação 1 1 0075 1 0092 1 156 Fonte adaptado de Assaf Neto 2017 MATERIAL COMPLEMENTAR Matemática financeira com a utilização da HP12C Arnaldo José Tosi Editora Atlas Sinopse este livro destinase ao profissional ou estudante da área financeira que busca informações técnicas atualizadas sobre a matemática financeira e sua utilização na solução dos problemas que envolvem o atual mercado financeiro brasileiro Apresenta a teoria de forma simples objetiva e didática amparada em inúmeros casos práticos e exemplos resolvidos A obra enfoca os conceitos que regem a matemática financeira como juros simples e compostos séries uniformes equivalência de taxas tipos de taxas desconto de títulos sistemas de amortização métodos para avaliação de alternativas de investimentos a utilização da calculadora HP12C e algumas terminologias do mercado financeiro CDI Selic Cetip taxa over Khan Academy é um dos recursos de internet que auxiliam cálculos matemáticos O link a seguir corresponde a uma maneira simples de visualizar a aplicação de juros compostos de forma dedutiva Web httpsptkhanacademyorgeconomicsfinancedomaincorefinanceinteresttutorial compoundinteresttutorialvintroductiontocompoundinterest REFERÊNCIAS 121 ASSAF NETO A Matemática financeira e suas aplicações Sl Atlas 2000 DE CASTRO M L DAL ZOT W Matemática Financeira fundamentos e aplicações SI Bookman Editora 2015 MULLER A N ANTONIK L R Matemática Financeira instrumentos financeiros para a tomada de decisão em Administração Economia e Contabilidade São Paulo Saraiva 2012 PARENTE E A M Matemática Comercial e Financeira São Paulo FTD 1996 1 A Resolução VF VP R2500000 n 26 meses i 35 VF VP1 in VF 250001 0035²⁶ 6114896 Utilizando a calculadora RPN ALG FÓRMULA HP12C 1035ENTER 1035x clear fin 26x 26x 35i 25000x 25000 26n 6114896 6114896 25000PVFV 6114896 2 E VP VF R9500000 n 1440 dias i 45 aa Observe que neste exemplo o prazo está diferente da unidade de tempo da taxa Por isso devemos converter o tempo pela regra do banqueiro n 1440 360 4 anos Pois bem agora resolveremos o exemplo VP VF R9500000 n 4 anos i 45 aa VP 95000 1 045⁴ 2149075 Assim o capital inicial a ser investido deve ser R2149075 Utilizando a calculadora temos RPN ALG FÓRMULA HP12C 95000ENTER 95000 clear fin 145ENTER 145x 4 45i 4 2149075 4n 95000FVPV 2149075 2149075 Neste exemplo a taxa de juros mensal foi de 2 41 ao mês RPN 26000ENTER 26000 clear fin 20000 20000 yx 26000FV 111X 111X 11n yx 20000CHSPV 1 0 02413 I 0 02413 2 41 4 VP R4870000 VF n 1 mês i 195aa Para apurar a taxa efetiva mensal é preciso aplicar a taxa equivalente ieq 1icnt 1 ieq 10195112 1 ieq 10149563 1 149563am VF VP1in VF R487001001495631 R4942837 Utilizando a calculadora RPN 1014963ENTER 1014963 yx f fin 1 yx 1X 149563i 48700x 48700 1n 49428370 49428370 48700PVFV 49428370 5 VP R5000000 VF n 2 meses i 2am VF VP1in VF 5000010022 5202000 Utilizando a calculadora RPN 102ENTER 102 yx clear fin 2 yx 2x 2i 50000x 50000 2n 5202000 5202000 50000PVFV 5202000 ANOTAÇÕES ANOTAÇÕES UNIDADE IV Professoras Me Marcela Gimenes Bera Oshita Me Juliana Moraes da Silva RENDAS E ANUIDADES Objetivos de Aprendizagem Explanar acerca da classificação de rendas e anuidades Ensinar o aluno a respeito das rendas certas Instruir o acadêmico com relação a rendas diferidas Explicar ao aluno os aspectos das rendas perpétuas Plano de Estudo A seguir apresentamse os tópicos que você estudará nesta unidade Classificação de rendas e anuidades Rendas certas Rendas diferidas Rendas perpétuas Introdução Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 131 INTRODUÇÃO Prezadoa acadêmicoa nesta unidade você passará a compreender algumas das operações com que têm contato diariamente a partir de decisões pessoais ou empresariais Inicialmente aprenderemos sobre a classificação de rendas em anuidades bem como a classificação das sequências de pagamentos Aprofundaremos de forma prática os conceitos sobre rendas certas pos tecipadas e antecipadas muito utilizadas em operações de empréstimos ou financiamentos do cotidiano seja para pessoa física seja jurídica Compreendese como renda postecipada a prestação a ser paga em um período por exemplo 30 dias após a realização do empréstimo ou financiamento Por sua vez a renda antecipada é aquela em que você dá a entrada em operação de financiamento por exemplo Desta forma passaremos a compreender as operações mais com plexas na matemática financeira Assim aprenderemos também que há alguns tipos de financiamentos que envolvem rendas diferidas isto é existe um prazo de carência para iniciar o pagamento das prestações Este tipo de financiamento é muito comum em ope rações de financiamento para investimentos em infraestrutura ou bens de capital Por fim você passará a entender os aspectos que envolvem a renda perpé tua de termos constantes ilimitados isto é a perpetuidade é uma série uniforme de fluxos de caixa com duração infinita Entre outras formas você poderá uti lizar a renda perpétua como uma técnica de avaliação de empresas valuation que utiliza o método de valor descontado dos fluxos de caixa combinado com a perpetuidade Pois bem agora que já conhece o assunto que estudaremos nesta unidade nós convidamos você a mergulhar nos estudos a fim de poder lidar com situações que envolvem a tomada de decisões de realização de empréstimos financiamen tos ou investimentos RENDAS E ANUIDADES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 IV U N I D A D E 132 CLASSIFICAÇÃO DE RENDAS E ANUIDADES É denominado renda ou anuidade uma sequência de pagamentos ou recebimen tos que incorrem em datas préestabelecidas isto é séries periódicas uniformes Podemos verificar as séries de pagamento por um diagrama de tempo ou fluxo de caixa que podem ser pagos em uma ou várias parcelas Vejamos na Figura 1 um exemplo de um projeto cujo investimento é de R 50 000 00 que nos próximos 4 anos gera entradas de caixa de R 20 000 00 Figura 1 Fluxo de caixa esquemático da operação Fonte Assaf Neto 2017 p 109 Observe que as sequências uniformes são muito comuns em operações comer ciais de financiamento de veículos viagens eletroeletrônicos empréstimos pessoais entre outros ASSAF NETO 2017 Neste sentido os pagamentos e recebimentos são representados por PMT Periodic Payment Quando a finalidade é investimento para resgatar numa data futura a partir de depó sitos sucessivos temse o processo de capitalização Por outro lado quando o objetivo é pagar uma dívida temse o processo de amortização ASSAF NETO 2017 Assim as sequências de pagamentos podem ser classificadas R 2000000 R 5000000 R 2000000 R 2000000 R 2000000 Classificação De Rendas E Anuidades Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 133 Quanto ao prazo como temporárias e perpétuas Quanto ao valor dos termos como constantes e variáveis Quanto à forma termo imediato ou diferido Quanto à periodicidade como periódicas e não periódicas Conforme detalhado no Quadro 1 Quadro 1 Classificação da sequência de pagamentos CLASSIFICAÇÃO DESCRIÇÃO Prazo Temporárias ou finitas quando ocorrem durante um perío do predeterminado de tempo exemplo financiamento de veículos Perpétuas ou infinitas quando ocorrem de forma ad aeternum isto é quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente exemplo condomínio Valor dos termos Constante ou uniforme com todos os pagamentos ou recebimentos em valores iguais exemplo empréstimo bancário Variável ou não uniforme quando os pagamentos ou recebimentos não são de valores iguais exemplo financia mento imobiliário pelo sistema de amortização crescente Sacre Forma Imediato quando o primeiro pagamento ou recebimento ocorre no primeiro período postecipado ou antecipado Diferido quando o primeiro pagamento ou recebimento não ocorre no primeiro período período de carência Periodicidade Periódica quando todos os intervalos entre os pagamentos ou recebimentos são iguais Não periódica quando os intervalos entre as parcelas não são iguais Fonte Assaf Neto 2017 p 111 RENDAS E ANUIDADES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 IV U N I D A D E 134 Agora conheceremos as rendas temporárias periódicas e constantes em que o vencimento da primeira prestação pode ser postecipada antecipada ou diferida DE CASTRO DAL ZOT 2015 A postecipada é quando a primeira parcela ou prestação ocorre após o primeiro período 1 mês 1 bimestre etc após a data do empréstimo isto é comumente conhecido como empréstimo sem entrada A antecipada ocorre na data da realização do empréstimo isto é quando você dá a entrada ao financiar algo Por fim é denominada diferida quando a data da primeira prestação ocorre mais de um período após a data do empréstimo DE CASTRO DAL ZOT 2015 RENDAS CERTAS Uma renda pode ser exemplificada como a compra a prazo com pagamentos mensais e número determinado de parcelas de valor fixo que pode ainda ser paga com ou sem entrada isto é antecipada ou postecipada respectivamente Esse tipo de renda geralmente é utilizado para pagamento de dívida contraída na aquisição de um bem Outro exemplo pode ser sequência de certo número de depósitos em caderneta de poupança de valores iguais e em datas determinadas que vai sendo capitalizado com a intenção de acumular uma quantia em dinheiro no futuro Rendas postecipadas Como vimos as rendas postecipadas acontecem sem a entrada isto é você só começará a pagar por exemplo após 30 dias conforme apresentado no diagrama a seguir Cabe ressaltar que o valor atual da anuidade deve ser igual ao valor presente VP e as rendas postecipadas são representadas por PMT VP PMT PMT 1i PMT 1in1 PMT 1in VP PMT 1 1i 1 1i2 1 1in1 1 1in VP PMT n j1 1 1ij O somatório n j1 1 1ij corresponde à soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a1 1 1i em que a razão é q 1 1i assim teremos n j1 1 1ij aq qn1 qa 1 1in1 1 1i1 1in1 i1in Desta forma o relacionamento entre as variáveis valor presente VP a prestação PMT o número de prestações n e a taxa de juros i Observe que a taxa de juros utilizada em rendas é a taxa composta devido aos juros compostos Vejamos um exemplo em que calcularemos o valor do principal em função da prestação uma empresa financiou um conjunto de sofás em 4 prestações mensais iguais a R150000 sem entrada sendo a primeira delas a ser paga 30 dias após a compra à taxa de juros de 35 ao mês Qual o valor à vista da compra PMT R150000 n 4 meses i 350035am VP VP PMT 1in1 i1in VP 1500 1003541 0035100354 1500 0147523 0040163 550962 Resposta R550962 Utilizando a calculadora temos RPN ALG FÓRMULA HP12C 1035ENTER 1035 yx clear fin 4 yx 4 1500PMT 1035ENTER 4 yx 11035 yx 4n 0035x 4x0035x 35i 1500x 1500 550962 550962 550962 Agora imagine que o cliente de uma loja adquiriu uma geladeira no valor de R300000 à vista em 5 prestações mensais iguais e sem entrada com uma taxa de juros de 2 ao mês Qual o valor da prestação que o cliente vai pagar VP R300000 n 5 pm i 2 PMT VP PMT 1in1 i1in PMT VP i1in 1in1 PMT 3000 00210025 100251 PMT 3000 0022082 100251 0104081 PMT 63647 Resposta R63647 Utilizando a calculadora temos RPN ALG FÓRMULA HP12C 102ENTER 102 yx clear fin 5 yx002x 5x 3000PV 102ENTER5 yx 002102 yx 1x 2i 3000x 3000 63647 63647 63647 Cálculo da taxa de juros Imagine o financiamento de um celular no valor de R500000 feito em 12 prestações mensais iguais a R50000 sendo a primeira com vencimento 30 dias após a compra VP R500000 n 12 pm PMT R50000 i Como podemos observar na equação VP PMT 1in 1 i1in é matematicamente impossível separar a taxa de juros para resolver esse problema podemos utilizar os recursos da calculadora financeira FÓRMULA HP12C clear fin 5000PV 12n 500CHSPMT i 2922584 Resposta 292 am Agora para saber a taxa de juros anual basta continuar a fórmula conforme podemos observar a seguir FÓRMULA HP12C clear fin 5000PV 12n 500CHSPMT i 2922854 0PMTFV706499 1ni 41299898 Podemos a partir das rendas postecipadas calcular também o valor futuro dos n termos de uma anuidade DE CASTRO DAL ZOT 2015 Por exemplo imagine que José transfere R50000 do seu salário para uma conta poupança que remunera a taxa de 10 ao mês Qual seria o valor da poupança de José após a décima segunda transferência PMT R50000 n 12 pm i 10010 am VF VF VP1in VP PMT1in 1 i1in VF PMT1in 1 i VF 500101012 1 010 VF 1069214 Resposta R1069214 Utilizando a calculadora temos RPN ALG FÓRMULA HP12C 110ENTER 110yx clear fin 12yx 12 500PMT 1 1 12n 010 010x 10i 500x 500FV 1069214 1069214 1069214 Você sabia que podemos calcular também a prestação em função do valor futuro Pois bem vejamos um exemplo quanto é necessário depositar mensalmente num fundo de investimentos cuja taxa de juros é de 2 ao mês para que após o trigésimo mês se alcance um saldo de R5000000 VF PMT1in 1 i PMT R50000001in 1 i n 30 pm PMT 5000000002 am PMT R123249 Resposta R123249 Utilizando a calculadora temos Rendas Antecipadas As rendas antecipadas ocorrem na data da realização do empréstimo ou seja quando se dá entrada ao financiar algo DE CASTRO DAL ZOT 2015 Assim temos PMTVPi1iⁿ11iⁿ1 Vejam um exemplo em que João adquiriu uma televisão cujo valor à vista é de R130000 em 3 prestações mensais a primeira na entrada com uma taxa de juros de 3 am Vamos calcular o valor da prestação VPR130000 n3 i3003am PMT Resposta R44610 Utilizando a calculadora temos PMTVPi1iⁿ11iⁿ1 PMT13000031003³11003³1 PMTR44610 Agora calcularemos o valor presente VP em função da prestação PMT Para isso considere um financiamento com 6 prestações mensais iguais a R65000 a primeira entrada sabendo que a taxa de juros foi de 25 VPR n6 i250025am PMTR65000 PMTVPi1iⁿ11iⁿ1 VPPMT1iⁿ1i1iⁿ1 VP650002510025⁶1002510025⁶1 VP65001596930025285 VP366978 Resposta R366978 Calculando a taxa de juros De acordo com De Castro e Dal Zot 2015 considere um financiamento no valor de R400000 realizado em 12 prestações iguais de R40000 a primeira entrada Calculemos a taxa de juros da operação VP R400000 n 12 i PMT R40000 Como no caso das postecipadas a taxa deve satisfazer a equação VP PMT 1in 1 em que não é possível isolar a taxa i Por isso realizaremos os cálculos i1in1 culs na calculadora financeira FÓRMULA HP12C clear fin g BEG 4000PV 12n 400CHSPMT i 3503153 Resposta 35 Podemos também realizar o cálculo do valor futuro dos n de uma unidade em que a data focal é um período após o último termo da anuidade DE CASTRO DAL ZOT 2015 Para isso considere um valor de R60000 depositado mensalmente em um fundo que remunera a taxa de juros de 24 ao mês Agora calcularemos o saldo acumulado um mês após o trigésimo período VF n 30 i 24 0024 am PMT R60000 VF VP1in VP PMT1in 1 i VF PMT1in 1 1i VF 6001002430 1 10024 0024 103703598 VF 600102430 VF 600 4321024 VF 2654812 Resposta R2654812 Utilizando a calculadora temos RPN ALG FÓRMULA HP12C 1024ENTER 1024 y x clear fin g BEG 30 y x 30 600PMT 002410024x 30n 1024x 1024x 24i 600x FV 2654812 2654812 2654812 RENDAS E ANUIDADES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 IV U N I D A D E 146 RENDAS DIFERIDAS As rendas diferidas ocorrem quando há um prazo dilatado para o primeiro paga mento Desta forma ocorre um período maior para pagamento da primeira parcela do financiamento ou empréstimo Por exemplo compre hoje e comece a pagar daqui a 120 dias ASSAF NETO 2017 As rendas diferidas possuem um intervalo de períodos em que não ocorrem pagamentos Intervalo esse que se dá o nome de carência simbolizado nesta disciplina pela letra k Assim o ponto de referência é a anuidade postecipada Em juros simples a conversão de taxa ocorre por meio de divisão ou por multi plicação em juros compostos por meio de taxa equivalente Em rendas e anui dades que obrigatoriamente realizasse conversão de taxas e não de prazos cuja carência k é zero Logo quando o primeiro termo de uma anuidade vence a dois períodos do ponto zero dizse que a carência k é igual a 1 DE CASTRO DAL ZOT 2015 Considerando que k é o número de períodos entre o ponto zero e o vencimento do termo temos PMT VPi1ink 1in 1 Onde k 1 é igual ao prazo da primeira prestação isolando o VP obtendo a fórmula VP PMT1in 1 i1ink Considere uma loja que financia um carro no valor de R1300000 em 12 prestações mensais iguais a primeira vencendo após 4 meses depois da compra com uma taxa de juros de 3 aam Vamos calcular o valor da prestação VP R1300000 n 12 k 41m 3m i 3 003 am PMT PMT VPi1ink 1in 1 13000 0031003123 100312 1 13000 004673902 042576089 PMT 142711 Resposta R142710 Agora considere um financiamento de uma casa realizado em 48 prestações mensais iguais a R300000 a primeira vencendo 13 meses após a compra Sabendo que a taxa de juros utilizada foi de 15 aam Segue o cálculo do valor à vista do imóvel VP n 48 k 13112 m i 150015 am PMT R300000 VP PMT1in 1i1ink VP 3000100154810015100154812 3000104347829003664830 R8541828 Utilizando a calculadora temos RENDAS PERPÉTUAS Renda perpétua é a anuidade que não tem previsão de término O número de termos é infinito por exemplo o pagamento de aluguel ou das despesas de um condomínio residencial O valor do termo ou prestação é exatamente o valor dos juros ou remuneração sobre o determinado capital VAPMTi Exemplo 1 Qual o valor da renda perpétua mensal de R10000 considerando que a taxa de juros aplicada sobre o capital seja de 12 am VAPMTi VA1000012 VA833333 Rendas Perpétuas Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 151 Exemplo 2 Um apartamento que vale R 60 000 00 está alugado por R 900 00 Qual a taxa correspondente VA PMT i i i a m 60 000 900 0 015 1 5 ou Prezadoa estudante nesta unidade pudemos conhecer de forma prática as ren das e anuidades vimos as rendas postecipadas e antecipadas bem como a renda diferida em que há um período de carência para o pagamento da primeira pres tação Neste sentido esse ensinamento permitirá a você avançar na disciplina conhecendo a dinâmica das rendas e anuidades de forma a ter a base para rea lizar as operações com sistemas de amortização Assim desejamos bons estudos RENDAS E ANUIDADES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 IV U N I D A D E 152 CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesta unidade você passou a entender algumas das operações que comumente temos contato no nosso cotidiano como ao realizamos uma compra a prazo Ela pode ocorrer mediante entrada no momento da compra ou a primeira parcela paga 30 dias após a aquisição Desse modo inicialmente passamos a compreen der a classificação de rendas em anuidades antecipadas e postecipadas Aprofundamos de forma prática nos conceitos sobre rendas certas poste cipadas e antecipadas constantemente utilizadas em operações do cotidiano das pessoas ou empresas Desta forma a renda postecipada ocorre quando na ope ração a prestação passa ser paga no período subsequente Por sua vez a renda antecipada é aquela em que você dá a entrada numa operação de financiamento Assim passamos a compreender as operações mais complexas na matemática financeira Aprendemos também que em alguns tipos de financiamentos podemos envolver as rendas diferidas ou seja aquelas que exigem um prazo de carên cia para iniciar o pagamento das prestações Este tipo de financiamento é muito utilizado em operações de financiamento habitacionais quando você financia um apartamento e a obra ainda está inacabada ou também nos casos em que as empresas realizam investimentos em infraestrutura ou bens de capital Você passou a compreender os aspectos que envolvem a perpetuidade em que é uma série uniforme de fluxos de caixa com duração infinita isto é perpétua Agora você poderá utilizar este conhecimento como uma técnica de avaliação de imóveis empresas ou investimentos em geral que utiliza o método de valor descontado dos fluxos de caixa combinado com a perpetuidade Assim agora que já se aprofundou no assunto desta unidade nós oa con vidamos a praticar por meio das atividades Bons estudos 153 1 Um produto é vendido à vista por R 1 000 00 ou em até 12 prestações men sais sem entrada cobrandose porém 5am de juros Qual deverá ser o valor das prestações para um cliente que propõe comprar em 10 prestações mensais e iguais iniciando os pagamentos somente 90 dias após a data da compra 2 Uma pessoa efetuou 8 depósitos mensais de R 20 000 00 cada recebendo uma taxa de 10 am de juros Quanto terá esta pessoa 4 meses após o último de pósito 3 Euler adquire um carro para ser pago nas seguintes condições 4 parcelas men sais iguais e sucessivas de R 2 626 24 cada sem entrada cujo vencimento se dará no fim de cada mês a partir do mês seguinte à aquisição com juros compos tos contratados de 2 am Qual foi o preço negociado à vista 4 Um televisor em cores custa à vista R 2 000 00 mas pode ser pleiteado nas seguintes condições sem entrada e 10 pagamentos mensais com vencimento no fim de cada mês à taxa de 3 am Calcular o valor de cada parcela 5 Um aparelho celular está em promoção sob as seguintes condições R 150 00 de entrada e 3 parcelas mensais iguais de R 122 55 todas a vencer no final do mês Se o juro cobrado no mercado for 2 5 am para esse tipo de financiamen to qual o valor à vista do aparelho 154 Matemática financeira e engenharia econômica Você sabia que a engenharia econômica é o estudo dos métodos e das técnicas usados para a análise econômicofinanceira de investimentos Pois bem esses métodos e essas técnicas devem ter base científica e encontram na matemática financeira as suas justi ficativas Isto é a necessidade de analisar investimentos propõe os problemas a enge nharia econômica apresenta as técnicas de solução e a matemática financeira justifica essas técnicas Neste sentido a análise de investimentos compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investimentos para escolha do melhor mas também a análise de um único investimento com a finalidade de julgar se é de seu interesse ou não Na análise de investimentos só serão levados em conta os fatores quantificáveis ou seja que puderem ser expressos em unidades de capital Se fatores não quantificáveis vão influir na tomada de decisão essa análise não poderá ser feita com um estudo matemá tico Desta forma na escolha entre dois bens de capital por exemplo não teria sentido uma análise matemática que envolvesse preços capacidade de produção custos ope racionais durabilidade etc se a pretensão fosse adquirir o mais estético ou o de menor porte Também não teria sentido analisar investimentos que não apresentassem viabi lidade de escolha por falta de recursos financeiros ou de quaisquer outras condições Quando apenas um investimento é analisado quanto à sua rentabilidade costumase fazer uma comparação entre a sua taxa de renda e uma taxa ideal ou seja que o investi dor estabelece como a taxa mínima de renda para que o investimento seja considerado atraente do ponto de vista financeiro Essa taxa ideal chamase taxa mínima de atrativi dade TMA ou apenas taxa de atratividade do investidor E comum adotar como taxa de atratividade a taxa de mercado isto é a taxa a qual qualquer capital pode ser aplicado sem dificuldade Há diversos métodos para análise de investimentos mas somente os chamados méto dos exatos são dignos de credibilidade pois só estes se baseiam nos princípios de equi valência de capitais São eles o método do valor presente líquido o método do valor periódico uniforme e o método da taxa interna de retorno Assim os três métodos citados anteriormente são equivalentes Logo se forem aplica dos com propriedade conduzirão ao mesmo resultado Conforme o tipo de análise que se quer fazer um método pode ser mais apropriado que os outros ou simplesmente mais cômodo por envolver menos cálculos Fonte Veras 2012 Material Complementar MATERIAL COMPLEMENTAR Matemática financeira Assaf Neto Editora Atlas Sinopse este livro foi elaborado para atender plenamente ao programa de ensino de cursos superiores em que a disciplina de Matemática Financeira é oferecida A principal contribuição do livro é oferecer conteúdo de qualidade e atualizado que permita um estudo mais direcionado de acordo com as necessidades e objetivos definidos pelas escolas brasileiras Por fim o livro é rico em exercícios propostos e resolvidos Livrotexto para a disciplina Matemática Financeira dos cursos de Administração de Empresas Ciências Contábeis Economia e Engenharia de Produção Livro complementar para as disciplinas Engenharia Econômica Elaboração e Análise de Projetos Administração Financeira e Mercado de Capitais dos cursos de Administração Economia Ciências Contábeis e Engenharia E indicado também para cursos intensivos de treinamento e cursos de MBA REFERÊNCIAS ASSAF NETO A Matemática financeira Edição Universitária São Paulo Atlas 2017 DE CASTRO M L DAL ZOT W Matemática Financeira fundamentos e aplicações Sl Bookman Editora 2015 VERAS L L Matemática financeira uso de calculadoras financeiras Aplicações ao Mercado Financeiro introdução à Engenharia Econômica 300 exercícios resolvidos e propostos com respostas 6 ed São Paulo Atlas 2012 GABARITO 1 ANTECPADA 0 1 2 3 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12C Primeiro 1000CHSPV 3n 5i O FV de R 1157625 é o VP da segunda operação Segundo CLx fCLx fxxy g7 1157625CHSPV 10n 5i PMT Resposta PMT R 14278 RESOLUÇÃO ALGÉBRICA M C1iⁿ M 10001005³ M 115762 GABARITO PV PMT 1iⁿ 1 i1iⁿ1 1157625 PMT 1005¹⁰ 1 0051005⁹ 1157625 PMT810780497 PMT 14278 POSTECIPADA 0 1 2 3 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12C Primeiro CLx fCLx fxxy 1000CHSPV 2n 5i FV O FV de R 110250 é o PV da segunda operação Segundo CLx fCLx fxxy 110250CHSPV 10n 5i PMT GABARITO Resposta PMT R 14278 RESOLUÇÃO ALGÉBRICA M C1iⁿ M 10001005² M 110250 PMT PV 1iⁿi 1iⁿ1 PMT 110250 1005¹⁰005 1005¹⁰ 1 PMT 1102500129504 PMT 14278 2 20000 CHSPMT 22871776 CHSPV 10i 10i 8n 4n FV 22871776 FV 33486568 3 4n262624CHSPMT2iPV1000001 4 10n3i2000CHSPVPMT23446 5 3n12255CHSPMT25iPV 350150 50000 UNIDADE V Professoras Me Marcela Gimenes Bera Oshita Me Juliana Moraes da Silva SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES Objetivos de Aprendizagem Instruir o discente com relação ao sistema de amortização constante Ensinar o acadêmico quanto ao sistema francês de amortização e orientar o aluno acerca do sistema Price Instruir o discente sobre as aplicações dos sistemas de amortização Plano de Estudo A seguir apresentamse os tópicos que você estudará nesta unidade Sistema de amortização constante SAC Sistema francês de amortização SAF Aplicações dos sistemas de amortização Introdução Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 163 INTRODUÇÃO Nesta unidade você terá a oportunidade de conhecer alguns sistemas de amor tizações de pagamentos Assim passará a compreender as formas de devolução do principal e dos juros deste principal isto é quanto deve ser pago em cada parcela de um determinado empréstimo Nesta perspectiva há inúmeras formas de pagar os empréstimos devendo as condições de cada operação estarem esta belecidas em contrato entre o credor e devedor Veremos agora as seguintes formas de se amortizar Sistema de Amortização Constante SAC e Sistema Francês de Amortização SAF isto é o Sistema Price Cabe ressaltar que nessas modalidades de pagamentos a serem estudadas é a uti lização exclusiva do critério de juros compostos em que os juros incidirão sobre o montante apurado no período anterior O Sistema de Amortização Constante SAC é muito utilizado em finan ciamentos imobiliários pois compreende em amortizações iguais de parte do valor emprestado Veja que neste sistema você reduz a dívida a cada pagamento de forma igual O Sistema Francês de Amortização SAF é conhecido pelas carac terísticas das prestações serem sempre iguais Este tipo de amortização é muito usado quando você adquire um automóvel financiado ou pega um empréstimo pessoal Por fim realizaremos as aplicações dos sistemas de amortização Pois bem caroa alunoa veremos que para cada sistema de amortiza ção SAC ou SAF deve ser construída uma planilha financeira que contenha os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos dentro de certa padronização Haja vista que já exploramos um pouco do assunto que estudaremos nesta unidade convidamos você a iniciar esta jornada aplicando os conhecimentos no seu cotidiano Para isso veja se conhece um amigo ou um familiar que está pensando em realizar um financiamento e faça a simulação para ele Assim você acabará aplicando os conceitos com que estamos trabalhando o que permitirá consolidar o seu conhecimento SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 V U N I D A D E 164 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE SAC Prezadoa acadêmicoa quando se fala em empréstimo e financiamento a dife rença entre eles é que no financiamento o valor liberado tem uma finalidade específica por exemplo para a compra de imóvel automóvel ou importação Por sua vez o empréstimo é um recurso concedido sem a necessidade de vinculálo a alguma finalidade por exemplo conta garantida cheque especial desconto de duplicata entre outros MASAKAZU 2016 Assim antes de iniciarmos os estudos sobre os sistemas de amortização é importante conhecer alguns termos empregados em operações que envolvem empréstimos e financiamentos de acordo com Assaf Neto 2017 Os encargos financeiros representam os juros da operação isto é repre sentam um custo para o devedor e uma receita para o credor A amortização referese ao pagamento do capital emprestado realizado de forma periódica mensal trimestral etc O saldo devedor é o valor da dívida em determinado momento após redução do valor já pago ao credor Prestação é composto pelo valor da amortização adicionado os encar gos financeiros A carência referese ao tempo para início dos pagamentos Por exemplo em um empréstimo o primeiro pagamento iniciar somente após 2 3 ou até mais meses após a liberação dos recursos Pois bem agora que você já conhece alguns termos com que trabalharemos na nossa unidade iniciaremos nosso conteúdo tratando do sistema de amortização constante SAC Como o nome já diz os valores das amortizações são constantes conforme apresentado na Tabela 1 Tabela 1 Sistema de Amortização Constante SAC n SALDO INICIAL JUROS CALC SALDO APÓS JUROS PGTO AMORT JUROS PAGOS SALDO FINAL Sn1 Jn Sjn Rn An Jn Sn Sn1 i Sn1 Jn An Jn Sjn Rn 1 80000 8000 88000 28000 20000 8000 60000 2 60000 6000 66000 26000 20000 6000 40000 3 40000 4000 44000 24000 20000 4000 20000 4 20000 2000 22000 22000 20000 2000 0 Totais 20000 100000 80000 20000 Fonte De Castro e Dal Zot 2015 p 99 Ademais é importante conhecer outra característica além da amortização constante os valores das prestações são decrescentes e dos juros também MASAKAZU 2016 Nesta perspectiva o valor referente à amortização é calculado da seguinte forma A Pn Onde P é igual ao principal e o n é o tempo Então temos A 800004 20000 Observe na Tabela 1 que a coluna das amortizações pode ser preenchida em primeiro lugar Desta forma o pagamento de cada ano é dado pela soma da amortização mais os juros Por isso depois de calcular o valor da amortização calculase os juros sobre o saldo devedor j VP i j 80000 10 8000 Agora o valor da prestação é a soma da amortização e o juro PMT A j PMT 20000 8000 28000 No período seguinte o valor dos juros será j 60000 10 6000 Assim o valor da prestação do período será PMT 20000 6000 26000 E assim consecutivamente Observe que se somarmos a coluna da amortização o valor final será 800000 Exemplo 01 Mário procurou o gerente do Banco Marcondes SA querendo financiar uma casa no valor de R120000 para pagar em 5 meses O gerente passou a taxa de financiamento que era de 1 am e o sistema de amortização era o SAC Qual é o valor da prestação mensal que Mário terá que pagar Sistema Francês de Amortização SAF Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 167 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO SAF O Sistema Francês de Amortização SFA ou Sistema Price é o mais utilizado no mercado financeiro e no comércio Neste sistema as prestações são uniformes e com periodicidade constante Assim o devedor ao obter o financiamento passa a pagar prestações comumente mensais de valores iguais até o final do financia mento constituídas de amortização e de juros MASAKAZU 2016 conforme podemos observar na Tabela 2 Tabela 2 Sistema Francês de Amortização SALDO INICIAL JUROS CALC SALDO APÓS JUROS PGTO AMORT n Sn1 Jn Sjn An Jn Sjn Rn 1 80000 8000 88000 25238 17238 8000 62762 2 62762 6276 69038 25238 18962 6276 43800 3 43800 4380 48180 25238 20858 4380 22942 4 22942 2294 25236 25236 22942 2294 0 Totais 20950 100950 80000 20950 Assim o cálculo da anuidade postecipada é obtido mediante a seguinte fórmula PMT VP i1iⁿ 1iⁿ1 800 0101010⁴ 1010⁴1 25238 Observe que ao montarse o plano financeiro a coluna dos pagamentos deve ser a primeira a ser preenchida conforme podemos verificar na Tabela 2 Veja que o primeiro pagamento ainda é a soma da amortização 17238 mais os juros do período 8000 totalizando o valor de 25238 Utilizando a calculadora temos Exemplo 02 Mário procurou o banco Marcondes SA pois quer comprar um carro no valor de R6000000 para pagar em 60 prestações mensais iguais O gerente do banco informou que a taxa mensal é de 2 Qual o valor da prestação a ser paga pelo comprador E qual o valor do montante final que Mário vai ter que pagar PMT VP i1iⁿ 1iⁿ1 60000 0021002 60 1002 60 1 172607 Utilizando a calculadora temos Ana paga R50000 reais de prestação de um carro Restam ainda 18 parcelas para quitálo Assim ela foi ao Banco Marcondes SA com um montante para quitálo na hora Qual seria o valor presente da dívida de Ana se a taxa de juros é de 162am clear fin 500PMT 18n 162i PV 775252 1 Prestações PMT PMTVP i1in1in11in11200000031003121003121PMT1205545 FÓRMULA HP12C clear fin 120000CHSPV 12n 3i PMT 8fAMORTRCLPV 4488129 3 Juros a serem pagos no quinto mês JtVPi1in1i11in1 Jt1200000031003121003511003121 Jt12000000314257608911250881 042576089 Jt253876 At 1it1i 1in1 At 120000 1003101003 1003121 At 120000 003914320 042576089 At 1103244 FÓRMULA HP12C clear fin 120000CHSPV 12n 3i PMT 9ƒAMORT 1ƒAMORT XY 1103244 4ƒAMORT 1ƒAMORT 253876 Sistema Francês de Amortização SAF Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 175 Exemplo 04 Considere uma série de pagamentos com prestações mensais iguais e sucessivas Considerando que a taxa contratada seja de 30 aa a Qual a taxa mensal aplicada no Sistema Francês de Amortização No SAF a conversão de taxa corresponde à taxa equivalente composta logo i i i eq eq eq 1 1 1 0 30 1 1 0221045 1 12 ic nt nc 1 2 2104 a m A taxa de 2 2104 am é a taxa aplicada para apurar as prestações mensais no SAF b Qual a taxa mensal aplicada na Tabela Price Na Tabela Price utilizase taxa proporcionar linear logo 30 aa 12 meses 2 5 am A taxa de 2 5 am é a taxa aplicada para apurar as prestações mensais na Tabela Price SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 V U N I D A D E 176 APLICAÇÕES DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Caroa alunoa trataremos de algo muito presente em nosso cotidiano as compras a crédito Quando um vendedor nos oferece um financiamento para a compra de um objeto ele está fazendo uso de tabelas que foram produzidas por sua gerência financeira com base nos tópicos que trataremos a Saldo devedor é a diferença entre o valor financiado reajustado e o valor total que já foi amortizado pago até o momento É o valor que ainda resta a ser pago b Amortização é a redução gradual do valor de uma dívida por meio do pagamento de prestações regulares até que o montante total emprestado tenha sido reembolsado As formas de pagamentos de dívidas na prática podem ocorrer como a SAC Sistema de Amortização Constante b SAF Sistema Francês de Amortização c SAM Sistema de Amortização Misto d SAA Sistema de Amortização Americano e Price Tabela Price derivação do sistema SAF Aplicações dos Sistemas de Amortização Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 177 Operações de financiamentos Características do contrato Condições contratadas Valor do Bem IOC ou IOF Imposto sobre Operação Financeira TAC Tarifa de Abertura de Crédito TEC Tarifa de Emissão de Carnê Serviços de Terceiros Número de parcelas Taxa de juros mensais Taxa de juros anual O sistema de amortização constante não é muito praticado no Brasil mas em operações de financiamento habitacional ainda é encontrado São características do sistema de Amortização Constante a Amortizações iguais b Juros decrescentes c Amortizações decrescentes O sistema Francês de amortização é amplamente utilizado mas se deve tomar muito cuidado para não confundir com a Tabela Price Em ambos os sistemas as prestações são iguais e constantes no entanto diferem na conversão de taxa de juros praticadas Tanto no SAF como na Tabela Price a série de pagamentos tem prestações constantes iguais Como diferenciar Enquanto no SAF utilizase a taxa equi valente composta na Tabela Price utilizase a taxa proporcional simples SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 V U N I D A D E 178 Exemplo 01 considere que você assinou um contrato de financiamento em uma instituição financeira em 010920XX com as seguintes características Valor do principal R 1 000 00 Sistema de amortização Tabela Price Taxa de juros 12 a a capitalizada mensalmente Prazo de amortização 12 meses Seguros R 50 00 mensais Taxa de administração R 20 00 por parcela Pedese Monte a planilha de evolução do financiamento Resolução Como o sistema é de Tabela Price a taxa mensal é a proporcional simples ou seja 1 ao mês N JUROS AMORT PARCELA SEGURO TX ADM DESEMBOLSO SALDO A BCA C D E FCDE G 100000 1 1000 7885 8885 5000 2000 15885 92115 2 921 7964 8885 5000 2000 15885 84121 3 842 8043 8885 5000 2000 15885 76108 4 761 8124 8885 5000 2000 15885 67984 5 680 8205 8885 5000 2000 15885 59779 6 598 8287 8885 5000 2000 15885 51492 7 515 8370 8885 5000 2000 15885 43122 8 431 8454 8885 5000 2000 15885 34668 9 347 8538 8885 5000 2000 15885 26130 10 261 8624 8885 5000 2000 15885 17507 11 175 8710 8885 5000 2000 15885 8797 12 088 8797 8885 5000 2000 15885 000 Exemplo 02 considere que você assinou um contrato de financiamento de sua bici cleta em uma instituição financeira em 010920XX com as seguintes características Valor da bicicleta R 1 000 00 Sistema de amortização SAC Aplicações dos Sistemas de Amortização Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 179 Taxa de juros 12 a a capitalizada semestralmente Prazo de amortização 12 meses Seguros R 50 00 mensais Taxa de administração R 20 00 Pedese Monte a planilha de evolução do financiamento Resolução 12aa capitalizada semestralmente taxa nominal 12aa 2 semestres no ano 6 ao semestre taxa efetiva i ic i i eq nt nc eq eq 1 1 1 0 06 1 1 0097588 1 1 6 0 97588 a m A taxa de 0 97588 am é a taxa aplicada sobre saldo devedor no sis tema SAC N JUROS AMOST PARCELA SEGURO TX ADM DESEMBOLSO SALDO A BSD12 CAB D E FCDE G 0 100000 1 976 8333 9309 5000 2000 16309 91667 2 895 8333 9228 5000 2000 16228 83333 3 813 8333 9147 5000 2000 16147 75000 4 732 8333 9065 5000 2000 16065 66667 5 651 8333 8984 5000 2000 15984 58333 6 569 8333 8903 5000 2000 15903 50000 7 488 8333 8821 5000 2000 15821 41667 8 407 8333 8740 5000 2000 15740 33333 9 325 8333 8659 5000 2000 15659 25000 10 244 8333 8577 5000 2000 15577 16667 11 163 8333 8496 5000 2000 15496 8333 12 081 8333 8415 5000 2000 15415 Exemplo 03 Considere que você tenha assinado um contrato de financiamento em uma instituição financeira em 010920XX com as seguintes características Valor do bem R100000 Sistema de amortização SAF Taxa de juros 12aa capitalizada anualmente Prazo de amortização 12 meses IOF financiado 2 do valor do bem Seguros R5000 mensais Pedese Monte a planilha de evolução do financiamento Resolução ieq 1icnc1 ieq 10121121 ieq 100948881 0948888am A taxa de 0948888 am é a taxa aplicada aplicada sobre saldo devedor no sistema SAF Aplicações dos Sistemas de Amortização Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 181 N JUROS AMORT PARCELA SEGURO IOF DESEMBOLSO SALDO 10 252 8781 9033 5000 14033 17813 11 169 8864 9033 5000 14033 8948 12 085 8948 9033 5000 14033 000 Caroa acadêmicoa nesta unidade conseguimos mostrar a utilização prática e contínua da matemática financeira nos negócios realizados no dia a dia das empresas Neste momento você está apto a efetuar cálculos de juros descontos séries de pagamentos e sistemas de amortização operações estas presentes nas finanças dos negócios e também nas finanças pessoais SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES Reprodução proibida Art 184 do Código Penal e Lei 9610 de 19 de fevereiro de 1998 V U N I D A D E 182 CONSIDERAÇÕES FINAIS Caroa alunoa nesta unidade você teve a oportunidade de avançar nos seus conhecimentos sobre o assunto de matemática financeira a partir dos sistemas de amortização de empréstimos Agora você passou a compreender o funciona mento das formas de financiamento a longo prazo em que se obtém um recurso emprestado e as formas de devolução incluem o principal adicionados os juros ou seja o valor total de cada parcela de um determinado empréstimo Neste contexto você pode conhecer as duas formas mais utilizadas no mercado para financiamento de longo prazo isto é o Sistema de Amortização Constante SAC e Sistema Francês de Amortização SAF isto é o Sistema Price Ainda você pode constatar que nessas modalidades de pagamentos que foram estudadas é de utilização exclusiva do critério de juros compostos Aprendemos que o SAC é mais voltado para financiamentos imobiliários já que compreende amortizações iguais de parte do valor emprestado isto é reduzse a dívida a cada pagamento de forma igual Por sua vez vimos que o SAF é muito utilizado no mercado na aquisição de empréstimos pessoais e também em financiamentos corriqueiros como o de automóveis Desta forma apren demos que o sistema SAF tem como características as prestações serem iguais Portanto aprendemos que cada sistema de amortização SAC ou SAF tem suas características e especificidades Por isso devese construir uma plani lha financeira padronizada que contenha os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos Agora que você já conhece os principais elementos da matemática finan ceira é hora de sair praticandoa visto que você utilizará esses conhecimentos em toda a sua jornada seja profissional seja pessoal Os empréstimos e finan ciamentos bem como os investimentos estão toda hora batendo à porta Por isso esperamos que você faça um bom uso da matemática financeira para tomar as melhores decisões pessoais ou profissionais 183 1 Construa a tabela de amortização de um empréstimo de R 10 000 00 para ser pago em 4 prestações mensais com taxa de juros de 2am pelo Sistema de Amortização Constante 2 Construa a tabela de amortização de um empréstimo de R 10 000 00 para ser pago em 4 prestações mensais com taxa de juros de 2am pelo Sistema de Amortização Constante Carência de Juros e Principal de 2 meses 3 Construa a tabela de amortização de um empréstimo de R 10 000 00 para ser pago em 4 prestações mensais com taxa de juros de 2am pelo Sistema de Amortização Constante Carência somente de Principal de 2 meses 4 Construa a tabela de amortização de um empréstimo de R 10 000 00 para ser pago em 4 prestações mensais com taxa de juros de 2am pelo Sistema Francês de Amortização 5 Construa a tabela de amortização de um empréstimo de R 10 000 00 para ser pago em 4 prestações mensais com taxa de juros de 2am pelo Sistema Francês de Amortização Carência de Juros e Principal de 2 meses 6 Construa a tabela de amortização de um empréstimo de R 10 000 00 para ser pago em 4 prestações mensais com taxa de juros de 2am pelo Sistema Francês de Amortização Carência somente de Principal de 2 meses Sistema de Amortização Crescente Sacre Podemos encontrar além do Sistema SAC e o Price também o Sacre em financiamento de imóveis As prestações pelo Sacre são determinadas a cada período de 12 meses pela soma do valor da amortização e dos juros calculadas como segue Valor da amortização Saldo do financiamento Número de prestações remanescentes Valor dos juros Saldo do financiamento taxa de juros Valor da prestação Valor da amortização valor dos juros Por exemplo utilizando o conjunto de fórmulas da 1ª à 12ª Valor da amortização 100000 36 277778 Valor dos juros 100000 0986358 98636 Valor da prestação 277778 98636 376414 Agora vamos obter o valor da 13ª a 24ª prestação Valor da amortização 7028075 24 292836 Valor dos juros 70280 0986358 69322 Valor da prestação 292836 69322 362158 Agora vamos obter o valor da 24ª a 36ª prestação Valor da amortização 3747581 12 312298 Valor dos juros 3747581 0986358 36965 Valor da prestação 312298 36965 349263 Sistema de Amortização Americano SAA No SAA o valor do empréstimo ou financiamento é liquidado somente ao final da operação isto é em uma única vez Neste tipo de amortização os juros são pagos continuamente durante o período de carência No entanto podem ocorrer operações em que os juros são integrados ao capital e pagos no vencimento da operação Ainda o SAA possui as seguintes características 186 Saldo inicial Soma das parcelas de atualização monetária Soma das amortizações Saldo final Fonte adaptado de Masakazu 2016 Material Complementar MATERIAL COMPLEMENTAR Matemática financeira com ênfase em produtos bancários Armando José Tosi Editora Atlas Sinopse este livro destinase ao profissional ou estudante da área financeira que busca informações técnicas atualizadas sobre a matemática financeira e sua utilização na solução dos problemas que envolvem o atual mercado financeiro brasileiro REFERÊNCIAS ASSAF NETO A Matemática financeira Edição universitária São Paulo Atlas 2017 AZEVEDO G H W Matemática financeira princípios e aplicações São Paulo Sa raiva 2015 DE CASTRO M L DAL ZOT W Matemática Financeira fundamentos e aplicações Sl Bookman Editora 2015 MASAKAZU H Matemática financeira didática objetiva e prática 1 ed São Paulo Atlas 2016 GABARITO 189 1 n JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 1000000 1 20000 250000 270000 750000 2 15000 250000 265000 500000 3 10000 250000 260000 250000 4 5000 250000 255000 2 JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 1000000 1 20000 1020000 2 20400 1040400 3 20808 260100 280908 780300 4 15606 260100 275706 520200 5 10404 260100 270504 260100 6 5201 260100 265302 3 JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 1000000 1 20000 20000 1000000 2 20000 20000 1000000 3 20000 250000 270000 750000 4 15000 250000 265000 500000 5 10000 250000 260000 250000 6 5000 250000 255000 n n GABARITO 4 JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 1000000 1 20000 242624 262624 757376 2 15148 247476 262624 509900 3 10198 252426 262624 257474 4 5149 257474 262624 5 JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 1000000 1 20000 1020000 2 20400 1040400 3 20808 252426 273234 787974 4 15759 257474 273234 530500 5 10610 262624 273234 267876 6 5358 267876 273234 000 6 JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR 0 1000000 1 20000 20000 1000000 2 20000 20000 1000000 3 20000 242624 262624 757376 4 15148 247476 262624 509900 5 10198 252426 262624 257474 6 5149 257474 262624 n n n CONCLUSÃO 191 Neste livro caroa alunoa descobrimos que a matemática financeira está mais pró xima do nosso cotidiano do que imaginávamos Vimos que ela está o tempo todo presente em nossas tomadas de decisões sobre investimentos ou financiamentos Assim durante a nossa disciplina pudemos compreender que a matemática finan ceira nos dá embasamento para conhecer como os juros são aplicados no mercado dando subsídios conceituais e ferramentas para que se tomem decisões racionais sobre as operações financeiras considerando o valor que o dinheiro apresenta ao longo do tempo Iniciamos os nossos estudos conhecendo os conceitos e os aspectos iniciais sobre os juros simples o valor do dinheiro no tempo os conceitos dos elementos financei ros as taxas de juros os sistemas de capitalização e o fluxo de caixa Na sequência tivemos a oportunidade de aprendermos na prática os sistemas de capitalização simples como os juros simples a equivalência simples e o desconto simples Posteriormente avançamos para o sistema de capitalização composta os juros compostos a equivalência composta e o desconto composto Neste livro você passou a ter o entendimento sobre as abordagens de rendas e anui dades compreendeu rendas certas rendas diferidas e rendas perpétuas Por fim passamos a entender os sistemas de amortização SAC e SAF e suas aplicações Agora que você já aprendeu sobre as aplicações da matemática financeira está apto para iniciar um mergulho no seu horizonte profissional Esperamos que a partir do seu avanço no conhecimento sobre a área você já tenha começado a praticar a ma temática financeira mesmo que em decisões pessoais ou seja numa compra a pra zo no financiamento de um bem ou imóvel ou até em investimentos no mercado financeiro Desejamos a você muito sucesso neste universo fantástico da matemática financeira