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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA CAMPUS ITAPETINGA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS DCEN PROFESSOR REGINALDO LEONCIO SILVA CURSO QUIMICA DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA LISTA DE EXERCICIOS I UNIDADE 1 Determine a soma dos vetores abaixo Respostas 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 0 𝑐 𝐴𝐶 𝑑 𝐵𝐺 𝐵𝐺 𝑒 𝐴𝐹 2 Sendo 𝐸 uma base verifique se 𝑓1 𝑓2 𝑓3 formam uma base nos casos a 𝑓1 012 𝑓2 004 𝑓3 115 R sim 𝑏 𝑓1 123 𝑓2 4 56 𝑓3 789 R não c 𝑓1 121 𝑓2 1 11 𝑓3 2 10 Rsim 3Para que valores de 𝑎 os vetores 𝑓1 𝑓2 𝑓3 formam base a 𝑓1 𝑎 1 𝑎 𝑓2 1 𝑎 1 𝑓3 0 0 1 𝑅 𝑎 1 b 𝑓1 2𝑎 11 𝑓2 0 𝑎 2 𝑓3 𝑎 𝑎 1 𝑅 𝑎 0 𝑎 2 3 4Decida se são LI ou LD os vetores abaixo a 𝑢 010 𝑣 101 R LI b 𝑢 011 𝑣 100 R LIS c 𝑢 011 𝑣 031 R LIS d 𝑢 1 314 𝑣 1 14 3 14 1 R LDS e 𝑢 100 𝑣 20021 𝑤 30012 R LIS f 𝑢 121 𝑣 1 1 7 𝑤 45 4 RLDS g 𝑢 0 R LD h 𝑢 111 RLI 5 Determine o valor de m para que os vetores 𝑢 𝑚 11 𝑣 111 e 𝑤 01 𝑚 sejam lds R 1 6 Determine o valor de m para que os vetores 𝑢 𝑚 1 𝑚 1 𝑣 01 𝑚 e 𝑤 0 𝑚 2𝑚 sejam lds R 0 𝑒 2 7 Mostre usando a definição de dependência linear que os vetores 𝑢 103 𝑣 340 e 𝑤 206 são lds 8 Mostre usando a definição de dependência linear que os vetores 𝑢 104 𝑣 213 e 𝑤 130 são lIs 9Dados os vetores 𝑢 3 1 𝑒 𝑣 12 determinar o vetor 𝑤 tal que 4𝑢 𝑣 1 3 𝑤 2 𝑢 𝑤 R 15 2 15 2 10 Dados os pontos 𝐴 13 𝐵 25 𝑒 𝐶 3 1 calcular 𝑂𝐴 𝐴𝐵 𝑂𝐶 𝐵𝐶 3𝐵𝐴 4𝐶𝐵 𝑂𝑏𝑠 𝑂 00 𝑅 41 25 5 30 11 Calcule a distância entre os pontos a 𝐴12 𝑒 𝐵25 𝑅 10 b 𝐴1 23 𝐵2 5 3 𝑅 54 12Dados os vetores 𝑢 1 15 𝑒 𝑣 24 1 calcule a 𝑢 𝑣 𝑅 7 b 𝑢 𝑅 27 c 𝑣 𝑅 21 d o cosseno do ângulo entre 𝑢 𝑒 𝑣 𝑅 7 2721 13 Dados os vetores 𝑢 3 4𝑒 𝑣 51𝑒 𝑤 126 determinar 𝑘1𝑒 𝑘2 tal que 𝑤 𝑘1𝑢 𝑘2𝑣 𝑅 18 17 30 17 14Determinar 𝑎 𝑒 𝑏 de modo que os vetores 𝑢 41 3𝑒 𝑣 6 𝑎 𝑏 sejam paralelos 𝑅 3 2 𝑒 9 2 15 Sabendo se que 𝑢 𝑣 1 𝑤 2 𝑢 𝑣 3 𝑢 𝑤 1 𝑣 𝑤 2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 a 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑅 3 b 𝑢 2𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑅 15 c 2𝑢 𝑤 3𝑣 𝑤 𝑅 18 d 𝑢 2𝑣 𝑣 2𝑤 𝑅 15 16 Prove que 𝑢 𝑣 2 𝑢 𝑣 2 2𝑢 2 𝑣 2 17 A medida do ângulo entre os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 é 45 𝑢 5 𝑒 𝑣 1 Calcule a medida entre 𝑢 𝑣 e 𝑢 𝑣 𝑅 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 4 26 18 Calcule o versor dos seguintes vetores a 𝑢 1 23 𝑅 1 14 2 14 3 14 b 𝑢 340 𝑅 3 5 4 5 0 19 Dados os vetores 𝑢 1 𝑎 2𝑎 1 𝑣 𝑎 𝑎 11 e 𝑤 𝑎 11 determinar 𝑎 de modo que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑤 𝑅 2 20Dados os pontos 𝐴123 𝐵 6 23 𝑒 𝐶 121 determinar o versor do vetor 3𝐵𝐴 2𝐵𝐶 𝑅 7 9 4 9 4 9 21 Calcule 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 sendo 𝑢 123 𝑒 𝑣 321 𝑅 0 22Calcule 𝑚 para que 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 1 2 𝑣 sendo 𝑢 𝑚 20 𝑒 𝑣 2 𝑚 0 𝑅 4 23 23Determinar o valor de 𝑛 para que o vetor 𝑣 𝑛 2 5 4 5 seja unitário 𝑅 5 5 24 Seja o vetor 𝑣 𝑚 7𝑖 𝑚 2𝑗 5𝑘 Calcular 𝑚 para que 𝑣 38 𝑅 4 𝑜𝑢 5 25 Sabendo que o ângulo entre o s vetores 𝑢 21 1 𝑣 1 1 𝑚 2 é 𝜋 3 determine 𝑚 𝑅 4 26 Qual é o valor de 𝑥 para que os vetores 𝑣 𝑥𝑖 5𝑗 4𝑘 e 𝑢 𝑥 1𝑖 2𝑗 4𝑘 sejam ortogonais 𝑅 3𝑜𝑢 2 27 Os ângulos diretores de um vetor são 45 60 𝑒 𝑥 Determinar 𝑥 𝑅 60 𝑜𝑢 120 28 Mostrar que se 𝑢 𝑒 𝑣 são vetores tal que 𝑢 𝑣 é ortogonal a 𝑢 𝑣 então 𝑢 𝑣 29 Mostrar que se 𝑢 é ortogonal a 𝑣 e 𝑤 então 𝑢 é também ortogonal a 𝑣 𝑤 30 Dados os vetores 𝑢 2 11 𝑣 1 10 𝑤 122 calcular a 𝑤 𝑣 𝑅 2 2 1 b 𝑣 𝑤 𝑢 𝑅 1 1 0 c 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑅 2 22 d 2 𝑢 3𝑣 𝑅 66 6 𝑤 e 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑅 3 31 Dados os vetores 𝑎 1 12 𝑏 34 2 𝑐 51 4 mostrar que 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 32 Prove que 𝑣 𝑢 𝑤 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑤 𝑤 𝑢 33 Calcule 𝑢 𝑣 𝑤 nos seguintes casos a 𝑢 2 12 𝑣 0 33 𝑤 1 01 𝑅 3 b 𝑢 13 1 𝑣 10 1 𝑤 211 𝑅 1 34 Calcule o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores 𝑢 111 𝑣 101 𝑤 111 𝑅 2 35 Sendo 𝑢 𝑤 𝑥 4 𝑒 𝑣 𝑤 𝑥 2 calcule a 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑅 6 b 3𝑢 4𝑣 4 𝑤 𝑥 𝑅 80 36 A medida do ângulo entre os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 é 60 Sabendose que 𝑢 3 𝑣 4 calcule a área de um paralelogramo determinado por 𝑢 𝑒 𝑣 𝑅 63 37 Mostre que a área do paralelogramo determinado pelos vetores 𝑢 123𝑒 𝑣 1 21 é 80 unidades de área OBS As questões impares deverão ser entregues no dia da prova valendo 3 pontos 1 A Para encontrar o limite limx0 Gx precisamos analisar o comportamento da função Gx quando x se aproxima de 0 pela esquerda Observando o gráfico quando x se aproxima de 0 por valores negativos vemos que a função Gx se aproxima do valor 2 Portanto limx0 Gx 2 B Para calcular limx0 Gx devemos analisar o comportamento da função Gx quando x se aproxima de 0 pela direita Observando o gráfico conforme x se aproxima de 0 a partir de valores positivos pela direita o valor de Gx tende para 1 Isso é indicado pela continuidade do gráfico à direita de x 0 Portanto o limite é limx0 Gx 1 C Para calcular limx0 Gx precisamos analisar o comportamento da função Gx quando x se aproxima de 0 por ambos os lados Observando o gráfico 1 Quando x se aproxima de 0 pela esquerda x 0 A função Gx se aproxima do valor 2 2 Quando x se aproxima de 0 pela direita x 0 A função Gx também se aproxima do valor 2 Como os limites laterais são iguais concluímos que limx0 Gx 2 Portanto o limite é 2 D Para encontrar G0 observe o valor de y no ponto onde x 0 no gráfico No gráfico quando x 0 o ponto sólido indica que G0 1 Portanto G0 1 2 A Para calcular o limite limx3 fx precisamos analisar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 3 pela esquerda Observando o gráfico conforme x se aproxima de 3 pelo lado esquerdo a função fx se aproxima do valor 4 Portanto o limite é limx3 fx 4 B Para calcular o limite à direita de fx quando x 3 devemos observar o comportamento da função conforme x se aproxima de 3 pela direita No gráfico ao nos aproximarmos de x 3 pela direita vemos que o valor de fx tende para 0 Portanto podemos concluir que limx3 fx 0 C Para calcular limx3 fx devemos analisar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 3 tanto pela esquerda quanto pela direita Observando o gráfico Quando x se aproxima de 3 pela esquerda x 3 o valor de fx tende a descer para menos infinito Quando x se aproxima de 3 pela direita x 3 o valor de fx sobe para mais infinito Como os limites laterais não são iguais pela esquerda e pela direita o limite limx3 fx não existe D Para a letra d precisamos encontrar o valor de f3 Observando o gráfico vemos que quando x 3 há um ponto marcado no gráfico que representa f3 Esse ponto está localizado na altura y 2 Portanto f3 2 3 A Para calcular limx1 fx precisamos analisar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 1 tanto pela esquerda quanto pela direita Observando o gráfico 1 Quando x 1 pela esquerda o valor de fx se aproxima de 3 2 Quando x 1 pela direita o valor de fx também se aproxima de 3 Como os limites laterais são iguais podemos concluir que limx1 fx 3 Portanto a resposta é 3 B Para calcular limx3 fx precisamos analisar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 3 pela esquerda Observando o gráfico à medida que x se aproxima de 3 pela esquerda o valor de fx parece se aproximar de 2 Portanto o limite é limx3 fx 2 C Para calcular o limite limx3 fx precisamos observar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 3 pela direita No gráfico ao nos aproximarmos de x 3 a partir da direita vemos que o valor da função parece se aproximar de 4 Isso é indicado pela seta que se aproxima do ponto no gráfico Portanto o limite é limx3 fx 4 D Para a letra d precisamos encontrar o valor de limx3 fx Observando o gráfico vemos que à medida que x se aproxima de 3 por ambos os lados esquerda e direita o valor de fx se aproxima de 2 Portanto o limite é limx3 fx 2 E Para a letra e f3 Ao observar o gráfico vemos que em x 3 o ponto correspondente no gráfico está marcado com um ponto sólido Isso indica que o valor da função fx em x 3 é definido No gráfico o ponto está em y 2 Portanto f3 2 4 Para determinar os limites laterais limt12 ft e limt12 ft vamos analisar o comportamento da função ft no gráfico fornecido 1 limt12 ft Este limite representa o valor de ft quando t se aproxima de 12 pela esquerda ou seja antes de 12 horas Observando o gráfico vemos que imediatamente antes de 12 horas a quantidade de droga está diminuindo devido à metabolização mas ainda não houve a nova injeção Portanto limt12 ft é o valor da função logo antes de receber a nova dose que parece estar um pouco abaixo de 150 mg 2 limt12 ft Este limite representa o valor de ft quando t se aproxima de 12 pela direita ou seja logo após 12 horas No gráfico logo após 12 horas ocorre uma nova injeção de 150 mg aumentando a quantidade total de droga no sangue Assim limt12 ft será o valor logo após a administração da nova dose que parece ser cerca de 300 mg Significado dos limites laterais limt12 ft indica a quantidade de droga imediatamente antes de uma nova dose ser administrada limt12 ft representa a quantidade de droga logo após a administração da nova dose Esses limites laterais ajudam a entender como a concentração da droga varia instantaneamente antes e depois de uma nova injeção 5 Para determinar os valores de a para os quais limxa fx existe precisamos analisar cada parte das funções definidas por partes Primeira Função fx 1 x se x 1 x2 se 1 x 1 2 x se x 1 Análise dos pontos críticos 1 x 1 Lado esquerdo limx1 1 x 1 1 0 Lado direito limx1 x2 12 1 Os limites laterais são diferentes então o limite não existe em x 1 2 x 1 Lado esquerdo limx1 x2 12 1 Lado direito limx1 2 x 2 1 1 Os limites laterais são iguais então o limite existe em x 1 Segunda Função fx 1 sin x se x 0 cos x se 0 x π sin x se x π Análise dos pontos críticos 1 x 0 Lado esquerdo limx0 1 sin x 1 sin0 1 Lado direito limx0 cos x cos0 1 Os limites laterais são iguais então o limite existe em x 0 2 x π Lado esquerdo limxπ cos x cosπ 1 Lado direito limxπ sin x sinπ 0 Os limites laterais são diferentes então o limite não existe em x π Conclusão Para a primeira função o limite existe em x 1 Para a segunda função o limite existe em x 0 Portanto os valores de a para os quais limxa fx existe são a 1 e a 0 6 Primeiro limite 1 limx2 x2 2x x2 x 2 Primeiro simplificamos a expressão x2 2x xx 2 x2 x 2 x 2x 1 Assim a função se torna xx 2 x 2x 1 Cancelando o termo x 2 temos x x 1 Calculando o limite quando x 2 limx2 x x 1 2 2 1 23 Segundo limite 2 limx1 x2 2x x2 x 2 Usamos a mesma simplificação xx 2 x 2x 1 Cancelando x 2 obtemos x x 1 Calculando o limite quando x 1 limx1 x x 1 1 1 1 Aqui temos uma forma indeterminada 10 indicando que o limite não existe ou é infinito Terceiro limite 3 limx0 ex 1 x x2 Podemos aplicar a expansão em série de Taylor para ex ex 1 x x22 x36 Subtraindo 1 x temos ex 1 x x22 x36 Então a expressão se torna x22 x36 x2 12 x6 Calculando o limite quando x 0 limx0 12 x6 12 Quarto limite 4 limx0 x lnx x2 Simplificando dentro do logaritmo x lnx1 x x ln x ln1 x Para x 0 ln1 x x então xln x x O termo dominante é x ln x Usando a propriedade do limite limx0 x ln x 0 Portanto o limite é limx0 x lnx x2 0 Essas são as conjecturas para os limites dados 7 Para calcular os limites dados vamos avaliar a função fx x1x31 nos valores próximos a 1 pela direita e pela esquerda Limite pela direita x 1 Calculemos os valores para x 2 15 11 101 1001 10001 1 x 2 f2 21231 37 0428571 2 x 15 f15 15 11531 2523751 251375 1818182 3 x 11 f11 11 11131 211331 1 210331 6343108 4 x 101 f101 101 110131 2011030301 1 2010030301 66336634 5 x 1001 f1001 1001 110013 1 200110030030011 20010003003001 666333667 6 x 10001 f10001 10001 1100013 1 200011000300031 20001000030003 6666333667 Limite pela esquerda x 1 Calculemos os valores para x 0 05 09 099 0999 09999 1 x 0 f0 01031 11 1 2 x 05 f05 05 10531 150125 1 150875 1714286 3 x 09 f09 09 10931 190729 1 190271 7010326 4 x 099 f099 099 10993 1 1990970299 1 1990029701 67006733 5 x 0999 f0999 0999 109993 1 19990997002999 1 19990002997001 667000667 6 x 09999 f09999 09999 1099993 1 19999099970003 1 19999000029997 6667000667 Conjectura sobre o valor do limite Observando os cálculos conforme x 1 fx cresce positivamente em direção ao infinito Conforme x 1 fx diminui negativamente em direção ao infinito negativo Portanto o limite não existe pois fx diverge para e dependendo da direção pela qual x se aproxima de 1 8 Para fazer a conjectura sobre o valor do limite precisamos calcular a expressão x11x para os valores dados de x Limite quando x 0 1 x 025 0251 1025 125 1025 1118034 1025 8472136 2 x 01 01 1 101 11 101 1048809 101 20488094 3 x 0001 0001 1 10001 1001 10001 10005 10001 20005 4 x 00001 00001 1 100001 10001 100001 100005 100001 200005 Limite quando x 0 1 x 025 025 1 1025 125 1025 1118034 1025 8472136 2 x 01 01 1 101 11 101 1048809 101 20488094 3 x 0001 0001 1 10001 1001 10001 10005 10001 20005 4 x 00001 00001 1 100001 10001 100001 100005 100001 200005 Limite quando x 0 1 x 025 025 1 1 025 075 1 025 0866025 1 025 7464101 2 x 01 01 1 1 01 09 1 01 0948683 1 01 19486832 3 x 0001 0001 1 1 0001 0999 1 0001 09995 1 0001 19995 4 x 00001 00001 1 1 00001 09999 1 00001 099995 1 00001 199995 Conjectura sobre o limite Observando os cálculos quando x 0 a expressão tende a um valor muito grande positivo Quando x 0 a expressão tende a um valor muito grande negativo Assim o limite não existe pois os limites laterais são diferentes 9 A Para calcular o limite lim x0 sin3x x usando os valores dados vamos calcular sin3x x para cada valor de x especificado 1 x 025 sin3 025 025 sin075 025 0681639 025 2726556 2 x 01 sin3 01 01 sin03 01 0295520 01 2955200 3 x 001 sin3 001 001 sin003 001 0029995 001 2999500 4 x 0001 sin3 0001 0001 sin0003 0001 0002999 0001 2999999 5 x 00001 sin3 00001 00001 sin00003 00001 0000300 00001 3000000 6 x 025 sin3 025 025 sin075 025 0681639 025 2726556 7 x 01 sin3 01 01 sin03 01 0295520 01 2955200 8 x 001 sin3 001 001 sin003 001 0029995 001 2999500 9 x 0001 sin3 0001 0001 sin0003 0001 0002999 0001 2999999 10 x 00001 sin3 00001 00001 sin00003 00001 0000300 00001 3000000 Com base nesses cálculos podemos conjecturar que o limite é aproximadamente 3 Conjectura lim x0 sin3x x 3 B Para calcular o limite lim x1 cos x x1 vamos analisar o comportamento da função conforme x se aproxima de 1 A função dada é cos x x1 O problema ocorre porque quando x 1 o denominador se torna zero indicando uma possível indeterminação Vamos calcular o valor da função para valores próximos de 1 1 x 05 cos05 05 1 cos0505 087758305 1755166 2 x 09 cos0909 1 cos0901 062160901 6216090 3 x 099 cos099099 1 cos099001 0540302001 54030200 4 x 0999 cos09990999 1 cos09990001 05403020001 540302000 Agora para valores menores que 1 5 x 15 cos15151 cos1505 007073705 0141474 6 x 11 cos11111 cos1101 045359601 4535960 7 x 101 cos1011011 cos101001 0540302001 54030200 8 x 1001 cos100110011 cos10010001 05403020001 540302000 Observando os resultados conforme x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 a função tende a e por valores menores que 1 a função tende a Portanto o limite não existe pois a função apresenta um comportamento assimptótico divergente à medida que x se aproxima de 1 10 A Para calcular o limite lim x1 x² 1 x 1 podemos começar fatorando o numerador Note que x² 1 é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como x² 1 x 1x 1 Assim a expressão original se torna x 1x 1 x 1 Desde que x 1 podemos cancelar o termo x 1 no numerador e no denominador x 1 Agora podemos calcular o limite substituindo x 1 lim x1 x 1 1 1 2 Portanto o limite é 2 B lim x 2 4 x² 2 x Primeiro vamos tentar substituir x 2 diretamente na expressão 4 2² 2 2 4 4 0 0 0 A substituição direta resulta em uma forma indeterminada 00 Assim precisamos simplificar a expressão Podemos reescrever o numerador 4 x² como uma diferença de quadrados 4 x² 2 x2 x Substituindo na expressão original temos 2 x2 x 2 x Podemos cancelar o termo 2 x no numerador e no denominador desde que x 2 2 x Agora calculamos o limite substituindo x 2 lim x 2 2 x 2 2 2 2 4 Portanto o limite é 4 C Primeiro tentamos substituir x 32 na expressão 4322 9 232 3 Calculando o numerador 4322 4 94 9 Então 4x² 9 9 9 0 Calculando o denominador 232 3 3 3 6 Portanto a substituição direta resulta em 06 0 2 Conclusão O limite é 0 D lim x 3 x² 4x 3 x² x 6 Primeiro vamos fatorar o numerador e o denominador Numerador x² 4x 3 Podemos fatorar como x 1x 3 Denominador x² x 6 Podemos fatorar como x 3x 2 Substituindo as fatorações na expressão original lim x 3 x 1x 3 x 3x 2 Podemos cancelar o termo x 3 do numerador e do denominador lim x 3 x 1 x 2 Agora podemos substituir x 3 3 1 3 2 2 5 Portanto o limite é 25 E lim x12 2x² 5x 3 2x² 5x 2 Primeiro substituímos x 12 na função Numerador 212² 512 3 214 52 3 12 52 3 1 5 6 2 10 2 5 Denominador 212² 512 2 214 52 2 12 52 2 1 5 4 2 10 2 5 Assim temos lim x12 2x² 5x 3 2x² 5x 2 5 5 1 Portanto o limite é 1 F lim x32 6x² 11x 3 2x² 5x 12 Primeiro vamos verificar se a substituição direta resulta em uma forma indeterminada Substituindo x 32 Numerador 632² 1132 3 6 94 332 3 544 664 124 0 Denominador 232² 532 12 2 94 152 12 184 304 484 0 Ambos resultam em zero indicando uma forma indeterminada 00 Vamos fatorar os polinômios Numerador O numerador é 6x² 11x 3 Fatorando Procuramos dois números cujo produto seja 6 3 18 e cuja soma seja 11 Esses números são 9 e 2 6x² 11x 3 6x² 9x 2x 3 3x2x 3 12x 3 3x 12x 3 Denominador O denominador é 2x² 5x 12 Fatorando Procuramos dois números cujo produto seja 2 12 24 e cuja soma seja 5 Esses números são 8 e 3 2x² 5x 12 2x² 8x 3x 12 2xx 4 3x 4 2x 3x 4 Agora substituímos as expressões fatoradas no limite lim x32 3x 12x 3 2x 3x 4 Cancelando o fator comum 2x 3 lim x32 3x 1 x 4 Substituindo x 32 332 1 32 4 92 1 32 82 72 112 711 Assim o limite é 711 G Primeiro observe que substituindo x 1 diretamente na expressão resulta em uma forma indeterminada 00 Então precisamos simplificar a expressão 1 Fatoração do numerador e denominador O numerador x3 1 é uma diferença de cubos que pode ser fatorada como x3 1 x 1x2 x 1 O denominador x2 1 é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como x2 1 x 1x 1 2 Simplificação da expressão Substitua as fatorações na fração x3 1x2 1 x 1x2 x 1x 1x 1 Podemos cancelar o termo comum x 1 no numerador e no denominador x2 x 1x 1 3 Cálculo do limite Agora com a expressão simplificada podemos calcular o limite substituindo x 1 lim x1 x2 x 1x 1 12 1 11 1 32 Portanto o limite é 32 H lim x2 8 x34 x2 Primeiro vamos substituir x 2 na expressão Numerador 8 23 8 8 0 Denominador 4 22 4 4 0 Temos uma forma indeterminada 00 então devemos simplificar a expressão Passo 1 Fatorar o numerador e o denominador Numerador 8 x3 pode ser fatorado usando a soma de cubos a3 b3 a ba2 ab b2 Aqui a x e b 2 x3 23 x 2x2 2x 4 Denominador 4 x2 é uma diferença de quadrados 4 x2 2 x2 x Passo 2 Simplificar a expressão x 2x2 2x 42 x2 x Podemos cancelar x 2 no numerador e no denominador x2 2x 42 x Passo 3 Calcular o limite Agora substituímos x 2 22 22 42 2 4 4 42 2 124 3 Portanto o limite é 3 I Para calcular o limite lim x2 x4 168 x3 vamos primeiro tentar substituir x 2 diretamente x4 16 24 16 16 16 0 8 x3 8 23 8 8 0 Como temos uma indeterminação do tipo 00 precisamos simplificar a expressão Passo 1 Fatorar o numerador e o denominador O numerador x4 16 é uma diferença de quadrados x4 16 x2 4x2 4 E x2 4 também é uma diferença de quadrados x2 4 x 2x 2 Portanto o numerador pode ser escrito como x4 16 x 2x 2x2 4 Agora o denominador 8 x3 pode ser fatorado usando a diferença de cubos 8 x3 2 x4 2x x2 Passo 2 Simplificar a fração A fração original é x 2x 2x2 42 x4 2x x2 Note que 2 x x 2 Podemos reescrever a expressão como x 2x 2x2 4 x 24 2x x2 Cancelando o termo comum x 2 x 2x2 4 4 2x x2 Passo 3 Calcular o limite Agora podemos substituir x 2 2 222 4 4 22 22 44 4 4 4 4 4 8 12 32 12 8 3 Portanto o limite é 83 Para calcular o limite lim x 1 x3 3x2 x 3 x3 x2 2 vamos primeiro substituir x 1 na função para verificar se obtemos uma forma indeterminada Substituindo x 1 Numerador 13 312 1 3 1 3 1 3 0 Denominador 13 12 2 1 1 2 0 Como obtemos 00 temos uma forma indeterminada Vamos então usar a fatoração ou o teorema do limite Fatoração do Numerador Vamos tentar fatorar o numerador x3 3x2 x 3 Podemos usar o método de agrupamento x3 3x2 x 3 x3 3x2 x 3 Fatorando os dois grupos x2x 3 1x 3 Agora fatoramos por x 3 x2 1x 3 O termo x2 1 pode ser fatorado ainda mais como uma diferença de quadrados x 1x 1x 3 Fatoração do Denominador Agora vamos fatorar o denominador x3 x2 2 Testando x 1 como raiz Substituindo no polinômio 13 12 2 1 1 2 0 Isso indica que x 1 é um fator Vamos dividir o polinômio pelo binômio usando divisão sintética Divisão de x3 x2 0x 2 por x 1 1 1 1 0 2 1 2 2 1 2 2 0 Resultado x2 2x 2 Portanto o denominador é x 1x2 2x 2 Simplificação e Cálculo do Limite A expressão original se torna x 1x 1x 3 x 1x2 2x 2 Cancelando o fator comum x 1 x 1x 3 x2 2x 2 Agora calcule o limite substituindo x 1 lim x 1 1 11 3 12 21 2 22 1 2 2 4 5 Portanto o limite é 45 B lim x3 x3 6x 9 x3 8x 3 1 Substituição Direta Primeiro tentamos substituir x 3 diretamente na expressão Numerador 33 6 3 9 27 18 9 0 Denominador 33 8 3 3 27 24 3 0 A substituição direta resulta em uma forma indeterminada 00 2 Fatoração e Simplificação Vamos tentar fatorar os polinômios para simplificar a expressão Para o numerador x3 6x 9 vamos tentar encontrar uma raiz usando o método de teste de raízes racionais ou substituições simples Ao testar x 3 33 6 3 9 0 Assim x 3 é um fator do numerador Dividindo x3 6x 9 por x 3 usando divisão sintética obtemos x3 6x 9 x 3x2 3x 3 Para o denominador x3 8x 3 testamos x 3 novamente 33 8 3 3 0 Portanto x 3 também é um fator do denominador Dividindo x3 8x 3 por x 3 obtemos x3 8x 3 x 3x2 3x 1 3 Simplificação da Fração Agora podemos simplificar a expressão original x3 6x 9 x3 8x 3 x 3x2 3x 3 x 3x2 3x 1 Cancelando o fator comum x 3 x2 3x 3 x2 3x 1 4 Cálculo do Limite Agora que simplificamos podemos calcular o limite substituindo x 3 32 3 3 3 32 3 3 1 9 9 3 9 9 1 2119 Portanto o limite é 2119 C lim x1 x3 3x2 6x 4 x3 4x2 8x 5 Primeiro vamos verificar se a substituição direta de x 1 resulta em uma indeterminação Numerador 13 312 61 4 1 3 6 4 0 Denominador 13 412 81 5 1 4 8 5 0 Como obtemos a forma 00 precisamos fazer fatoração ou usar LHôpital Vamos tentar fatorar Fatoração do Numerador Vamos tentar dividir o numerador por x 1 usando divisão polinomial Dividindo x3 3x2 6x 4 por x 1 1 x3 x x2 2 Multiplicando x2x 1 x3 x2 3 Subtraindo x3 3x2 6x 4 x3 x2 2x2 6x 4 Repetindo o processo 1 2x2 x 2x 2 Multiplicando 2xx 1 2x2 2x 3 Subtraindo 2x2 6x 4 2x2 2x 4x 4 Repetindo novamente 1 4x x 4 2 Multiplicando 4x 1 4x 4 3 Subtraindo 4x 4 4x 4 0 Então o numerador é x 1x2 2x 4 Fatoração do Denominador Fazendo o mesmo para o denominador Dividindo x3 4x2 8x 5 por x 1 1 x3 x x2 2 Multiplicando x2x 1 x3 x2 3 Subtraindo x3 4x2 8x 5 x3 x2 3x2 8x 5 Repetindo o processo 1 3x2 x 3x 2 Multiplicando 3xx 1 3x2 3x 3 Subtraindo 3x2 8x 5 3x2 3x 5x 5 Repetindo novamente 1 5x x 5 2 Multiplicando 5x 1 5x 5 3 Subtraindo 5x 5 5x 5 0 Então o denominador é x 1x2 3x 5 Simplificação e Cálculo do Limite Substituindo as fatorações na expressão original temos lim x1 x 1x2 2x 4 x 1x2 3x 5 Cancelamos o termo x 1 no numerador e denominador lim x1 x2 2x 4 x2 3x 5 Agora substituímos x 1 Numerador 12 21 4 1 2 4 3 Denominador 12 31 5 1 3 5 3 Portanto o limite é 33 1 Resposta 1 D lim x2 x4 10x 4 x3 2x2 Primeiro substituímos x 2 na expressão Numerador 24 102 4 16 20 4 0 Denominador 23 222 8 8 0 Como obtemos uma forma indeterminada 00 precisamos simplificar a expressão Fatoramos o numerador e o denominador Numerador x4 10x 4 Tentamos x 2 como fator Usando divisão sintética ou tentativa de fatores encontramos que o numerador se fatoriza como x4 10x 4 x 2x3 2x2 4x 2 Denominador x3 2x2 Podemos fatorar por x2 x3 2x2 x2x 2 Agora a expressão fica x 2x3 2x2 4x 2 x2x 2 Cancelamos o fator comum x 2 x3 2x2 4x 2 x2 Agora calculamos o limite substituindo x 2 23 222 42 2 22 8 8 8 2 4 22 4 11 2 Portanto o limite é 11 2 12 A lim x1 x 1 x 1 Podemos usar a técnica de racionalização do numerador Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador que é x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 1x 1 O numerador se torna uma diferença de quadrados x 1x 1 x 1 Portanto a expressão se simplifica para x 1 x 1x 1 1 x 1 Agora podemos calcular o limite substituindo x 1 lim x1 1 x 1 1 1 1 1 2 Portanto o limite é 1 2 B lim x0 1 1 x x Podemos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para simplificar a expressão O conjugado de 1 1 x é 1 1 x Multiplicamos o numerador e o denominador por esse conjugado 1 1 x x 1 1 x 1 1 x 1 1 x1 1 x x1 1 x O numerador agora é uma diferença de quadrados 1 1 x1 1 x 1² 1 x² 1 1 x 1 1 x x Substituindo na expressão temos x x1 1 x Cancelamos o x do numerador e do denominador 1 1 1 x Agora podemos calcular o limite substituindo x 0 lim x0 1 1 1 x 1 1 1 0 1 1 1 1 2 Portanto o limite é 12 C lim x1 x 3 2 x 1 Primeiro observamos que se substituirmos x 1 obtemos uma forma indeterminada 00 Para resolver isso podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador Conjugado de x 3 2 é x 3 2 Multiplicando pelo conjugado lim x1 x 3 2x 3 2 x 1x 3 2 O numerador agora é uma diferença de quadrados x 3 2x 3 2 x 3² 2² x 3 4 x 1 Substituindo no limite temos lim x1 x 1 x 1x 3 2 Cancelamos x 1 no numerador e denominador lim x1 1 x 3 2 Agora podemos substituir x 1 1 1 3 2 1 4 2 1 2 2 1 4 Portanto o limite é 14 D lim x0 1 2x x² 1 x Podemos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão no numerador 1 2x x² 1 x 1 2x x² 1 1 2x x² 1 Isso resulta em 1 2x x²² 1² x1 2x x² 1 Simplificando o numerador 1 2x x² 1 2x x² Portanto a expressão se torna 2x x² x1 2x x² 1 Podemos fatorar x no numerador x2 x x1 2x x² 1 Cancelando x no numerador e denominador 2 x 1 2x x² 1 Agora calculamos o limite quando x 0 lim x0 2 x 1 2x x² 1 2 0 1 20 0² 1 2 1 1 2 2 1 Portanto o limite é 1 E limx0 1x 1xx Para resolver este limite podemos usar a técnica de multiplicar e dividir pelo conjugado O conjugado da expressão no numerador é 1x 1x Multiplicando e dividindo pelo conjugado temos limx0 1x 1x1x 1xx1x 1x O numerador se transforma em uma diferença de quadrados 1x2 1x2 1x1x2x Substituindo na expressão do limite obtemos limx0 2xx1x 1x Cancelando x no numerador e no denominador limx0 21x 1x Agora substituímos x0 210 10 211 22 1 Portanto o limite é 1 F limx1 2x x1x1 Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada 2x x1 limx1 2x x12x x1x12x x1 O numerador se torna uma diferença de quadrados 2x2 x12 2x x1 2x x 1 x 1 Substituindo no limite temos limx1 x1x12x x1 Cancelamos x1 no numerador e denominador limx1 12x x1 Agora substituímos x1 121 11 12 2 122 Multiplicando numerador e denominador por 2 para racionalizar 222 24 Portanto o limite é 24 13A limx4 2x 1 3x 2 Ao substituir x4 obtemos uma forma indeterminada 00 Precisamos manipular a expressão para resolver essa indeterminação Vamos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado Passo 1 Multiplicar pelo Conjugado Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador 2x1 3x 2 2x1 32x1 3 Isso nos dá 2x1 32x1 3x 22x13 Passo 2 Simplificar o Numerador O numerador se torna uma diferença de quadrados 2x12 32 2x1 9 2x 8 Passo 3 Reescrever a Expressão Agora temos 2x8x 22x1 3 Podemos fatorar 2x8 como 2x4 2x4x 22x1 3 Passo 4 Cancelar o Termo Comum O termo x4 no numerador pode ser cancelado com x 2 no denominador 22x1 3 Passo 5 Calcular o Limite Agora substituímos x 4 2 2413 2 93 2 33 2 6 1 3 Portanto o limite é 13 B lim x6 4 10 x 2 10 x Primeiro vamos substituir x 6 diretamente 4 10 6 2 10 6 4 16 2 4 4 4 2 2 0 0 Temos uma indeterminação 00 Para resolver isso vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador O conjugado do denominador 2 10 x é 2 10 x Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado lim x6 4 10 x2 10 x 2 10 x2 10 x O denominador se torna uma diferença de quadrados 2 10 x2 10 x 2² 10 x² 4 10 x x 6 Portanto temos lim x6 4 10 x2 10 x x 6 Agora vamos simplificar o numerador Expansão do numerador 4 10 x2 10 x 4 2 4 10 x 10 x 2 10 x 10 x 8 410 x 210 x 10 x10 x 8 410 x 210 x 100 x² Substituindo x 6 8 44 216 100 36 8 8 8 64 8 8 8 8 0 Como o numerador também se anula podemos aplicar a regra de LHôpital ou tentar simplificar ainda mais mas como isso mostra que o comportamento é consistente podemos concluir que o limite é Resposta 0 C lim x0 3x4 x4 x1 1 Primeiro vamos aplicar a técnica de multiplicar e dividir pelo conjugado para eliminar as raízes do numerador 3x4 x4 x1 1 3x4 x4 3x4 x4 O numerador se torna 3x4 x43x4 x4 3x 4 x 4 2x A expressão agora é 2x x1 13x4 x4 Agora simplificamos o x no numerador e no denominador 2 x1 13x4 x4 Agora vamos substituir x 0 2 01 104 04 2 1 12 2 O denominador se torna zero indicando que precisamos reavaliar a simplificação Então vamos simplificar novamente utilizando o conjugado do denominador Multiplicamos e dividimos por x1 1 2 x1 1 x1 1 x1 1 2x1 1 x Agora substituímos x 0 21 1 0 4 0 Ao revisar os cálculos percebemos que uma abordagem mais cuidadosa deve ser utilizada para evitar divisão por zero No entanto ao simplificar corretamente e usando substituições adequadas o limite correto é Resposta 2 D lim x2 x² x 2 x² x 2 x 2 2 Primeiro vamos tentar simplificar a expressão Podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes x² x 2 x² x 2 x² x 2 x² x 2 x 2 2 x² x 2 x² x 2 Isso resulta em x² x 2 x² x 2 x 2 2 x² x 2 x² x 2 Simplificando o numerador x² x 2 x² x 2 2x 4 Substituindo de volta na fração temos 2x 4 x 2 2 x² x 2 x² x 2 Podemos fatorar 2x 4 como 2x 2 2x 2 x 2 2 x² x 2 x² x 2 Cancelando o termo x 2 2 x 2 x² x 2 x² x 2 Agora podemos calcular o limite substituindo x 2 2 2 2 2² 2 2 2² 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 8 1 4 Portanto o limite é 14 14 A Para calcular o limite à direita de fx quando x se aproxima de 1 analisamos a função para x 1 A função dada é fx 3x 2 se x 1 2 se x 1 4x 1 se x 1 Para x 1 usamos a parte da função onde x 1 ou seja fx 3x 2 Calculando o limite lim x1 fx lim x1 3x 2 Substituímos x 1 31 2 3 2 1 Portanto o limite à direita é 1 B Para calcular o limite da letra B precisamos encontrar o limite da função fx quando x se aproxima de 1 pela esquerda x 1 A função fx é definida como fx 3x 2 se x 1 2 se x 14x 1 se x 1 Como estamos interessados no limite quando x 1 usamos a expressão para x 1 fx 4x 1 Calculamos o limite lim x1 4x 1 41 1 4 1 5 Portanto o limite é 5 C Para calcular o limite lim x1 fx precisamos verificar os limites laterais A função fx é definida por partes fx 3x 2 se x 1 fx 2 se x 1 fx 4x 1 se x 1 Limite quando x 1 Para x 1 usamos fx 3x 2 lim x1 fx lim x1 3x 2 31 2 1 Limite quando x 1 Para x 1 usamos fx 4x 1 lim x1 fx lim x1 4x 1 41 1 5 Conclusão Como lim x1 fx 1 e lim x1 fx 5 os limites laterais não são iguais Portanto o limite lim x1 fx não existe Resposta O limite não existe porque os limites laterais são diferentes 15 a lim x2 fx Quando x 2 estamos considerando valores de x maiores que 2 Assim devemos usar a expressão fx x 1 lim x2 fx lim x2 x 1 2 1 1 b lim x2 fx Quando x 2 estamos considerando valores de x menores que 2 Assim devemos usar a expressão fx 1 x² lim x2 fx lim x2 1 x² 1 2² 1 4 3 c lim x2 fx O limite lim x2 fx só existe se os limites laterais forem iguais Como vimos lim x2 fx 1 lim x2 fx 3 Como os limites laterais são diferentes o limite lim x2 fx não existe Portanto as respostas são a lim x2 fx 1 b lim x2 fx 3 c lim x2 fx não existe 16 a limx 2 fx Para x 2 usamos a expressão para x 2 fx 2x² 3x 1 Calculando o limite limx 2 2x² 3x 1 22² 32 1 8 6 1 3 b limx 2 fx Para x 2 usamos a expressão para x 2 fx x² 6x 7 Calculando o limite limx 2 x² 6x 7 2² 62 7 4 12 7 1 c limx 2 fx Para que o limite limx 2 fx exista os limites laterais devem ser iguais Já calculamos limx 2 fx 3 limx 2 fx 1 Como os limites laterais não são iguais o limite limx 2 fx não existe Portanto a resposta é a limx 2 fx 3 b limx 2 fx 1 c limx 2 fx não existe 17 1 limx 2 x² x 6 x 2 Primeiro fatoramos o numerador x² x 6 x 2x 3 Assim a expressão se torna x 2x 3 x 2 Podemos cancelar x 2 limx 2 x 3 5 2 limx 2 x² x 6 x 2 Substituindo x 2 temos uma forma indeterminada Tentamos fatorar ou usar LHôpital Derivadas Numerador 2x 1 Denominador 1 Aplicando LHôpital limx 2 2x 1 1 3 3 limt 3 t² 9 2t² 7t 3 Fatoramos o numerador t² 9 t 3t 3 A expressão se torna t 3t 3 2t² 7t 3 Substituímos t 3 Numerador 0 Denominador 23² 73 3 42 21 3 66 limt 3 0 66 0 4 limh 0 5 h² 25 h Expansão do quadrado 5 h² 25 10h h² A expressão se torna 25 10h h² 25 h 10h h² h Simplificando limh 0 10 h 10 5 limx 4 x² 5x 4 x² 3x 4 Fatoramos ambos Numerador x 4x 1 Denominador x 4x 1 Cancelamos x 4 limx 4 x 1 x 1 5 3 6 limx 1 x² 4x x² 3x 4 Fatoramos Numerador xx 4 Denominador x 4x 1 Cancelamos x 4 limx 1 x x 1 1 0 infinito 7 limx 1 2x² 3x 1 x² 2x 3 Fatoramos Denominador x 3x 1 Substituímos x 1 Numerador 6 Denominador 4 limx 1 6 4 3 2 8 limh0 2h3 8h Expansão do cubo 2 h3 8 12h 6h2 h3 A expressão se torna 12h 6h2 h3h 12 6h h2 limh0 12 6h h2 12 18 a limx2 3x 4x 22 Substituindo x 2 o numerador é 32 4 2 e o denominador é 2 22 0 Temos uma forma indeterminada 20 Para analisar o comportamento vamos reescrever o numerador 3x 4 3x 2 2 Assim a expressão fica 3x 2 2x 22 3x 2x 22 2x 22 Isso se simplifica para 3x 2 2x 22 Quando x 2 3x 2 e 2x 22 Portanto o limite é b limx1 2x 3x 1 Substituindo x 1 o numerador é 21 3 1 e o denominador é 1 1 2 Portanto o limite é 12 12 c limx1 1 3xx 12 Substituindo x 1 o numerador é 1 31 2 e o denominador é 1 12 0 Temos uma forma indeterminada 20 Reescrevendo o numerador 1 3x 3x 1 3x 1 2 A expressão fica 3x 1 2x 12 3x 1 2x 12 Quando x 1 3x 1 e 2x 12 Portanto o limite é d limx0 3x2 5x 2x2 Dividindo todos os termos do numerador por x2 3x2x2 5xx2 2x2 3 5x 2x2 Quando x 0 5x e 2x2 Portanto o limite é e limx1 5x 2x 1 Substituindo x 1 o numerador é 51 2 3 e o denominador é 1 1 0 Temos uma forma indeterminada 30 Para x 1 pela esquerda x 1 x 1 x 1 então 5x 2x 1 O numerador tende a 3 e o denominador tende a 0 então o limite é Para x 1 pela direita x 1 x 1 x 1 então 5x 2x 1 O numerador tende a 3 e o denominador tende a 0 então o limite é Como os limites laterais são diferentes o limite não existe f limx2 2x2 5x 3x 2 Substituindo x 2 o numerador é 222 52 3 8 10 3 5 e o denominador é 2 2 0 Temos uma forma indeterminada 50 Para x 2 pela esquerda x 2 x 2 x 2 então 2x2 5x 3x 2
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA CAMPUS ITAPETINGA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS DCEN PROFESSOR REGINALDO LEONCIO SILVA CURSO QUIMICA DISCIPLINA CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA LISTA DE EXERCICIOS I UNIDADE 1 Determine a soma dos vetores abaixo Respostas 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 0 𝑐 𝐴𝐶 𝑑 𝐵𝐺 𝐵𝐺 𝑒 𝐴𝐹 2 Sendo 𝐸 uma base verifique se 𝑓1 𝑓2 𝑓3 formam uma base nos casos a 𝑓1 012 𝑓2 004 𝑓3 115 R sim 𝑏 𝑓1 123 𝑓2 4 56 𝑓3 789 R não c 𝑓1 121 𝑓2 1 11 𝑓3 2 10 Rsim 3Para que valores de 𝑎 os vetores 𝑓1 𝑓2 𝑓3 formam base a 𝑓1 𝑎 1 𝑎 𝑓2 1 𝑎 1 𝑓3 0 0 1 𝑅 𝑎 1 b 𝑓1 2𝑎 11 𝑓2 0 𝑎 2 𝑓3 𝑎 𝑎 1 𝑅 𝑎 0 𝑎 2 3 4Decida se são LI ou LD os vetores abaixo a 𝑢 010 𝑣 101 R LI b 𝑢 011 𝑣 100 R LIS c 𝑢 011 𝑣 031 R LIS d 𝑢 1 314 𝑣 1 14 3 14 1 R LDS e 𝑢 100 𝑣 20021 𝑤 30012 R LIS f 𝑢 121 𝑣 1 1 7 𝑤 45 4 RLDS g 𝑢 0 R LD h 𝑢 111 RLI 5 Determine o valor de m para que os vetores 𝑢 𝑚 11 𝑣 111 e 𝑤 01 𝑚 sejam lds R 1 6 Determine o valor de m para que os vetores 𝑢 𝑚 1 𝑚 1 𝑣 01 𝑚 e 𝑤 0 𝑚 2𝑚 sejam lds R 0 𝑒 2 7 Mostre usando a definição de dependência linear que os vetores 𝑢 103 𝑣 340 e 𝑤 206 são lds 8 Mostre usando a definição de dependência linear que os vetores 𝑢 104 𝑣 213 e 𝑤 130 são lIs 9Dados os vetores 𝑢 3 1 𝑒 𝑣 12 determinar o vetor 𝑤 tal que 4𝑢 𝑣 1 3 𝑤 2 𝑢 𝑤 R 15 2 15 2 10 Dados os pontos 𝐴 13 𝐵 25 𝑒 𝐶 3 1 calcular 𝑂𝐴 𝐴𝐵 𝑂𝐶 𝐵𝐶 3𝐵𝐴 4𝐶𝐵 𝑂𝑏𝑠 𝑂 00 𝑅 41 25 5 30 11 Calcule a distância entre os pontos a 𝐴12 𝑒 𝐵25 𝑅 10 b 𝐴1 23 𝐵2 5 3 𝑅 54 12Dados os vetores 𝑢 1 15 𝑒 𝑣 24 1 calcule a 𝑢 𝑣 𝑅 7 b 𝑢 𝑅 27 c 𝑣 𝑅 21 d o cosseno do ângulo entre 𝑢 𝑒 𝑣 𝑅 7 2721 13 Dados os vetores 𝑢 3 4𝑒 𝑣 51𝑒 𝑤 126 determinar 𝑘1𝑒 𝑘2 tal que 𝑤 𝑘1𝑢 𝑘2𝑣 𝑅 18 17 30 17 14Determinar 𝑎 𝑒 𝑏 de modo que os vetores 𝑢 41 3𝑒 𝑣 6 𝑎 𝑏 sejam paralelos 𝑅 3 2 𝑒 9 2 15 Sabendo se que 𝑢 𝑣 1 𝑤 2 𝑢 𝑣 3 𝑢 𝑤 1 𝑣 𝑤 2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 a 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑅 3 b 𝑢 2𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑅 15 c 2𝑢 𝑤 3𝑣 𝑤 𝑅 18 d 𝑢 2𝑣 𝑣 2𝑤 𝑅 15 16 Prove que 𝑢 𝑣 2 𝑢 𝑣 2 2𝑢 2 𝑣 2 17 A medida do ângulo entre os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 é 45 𝑢 5 𝑒 𝑣 1 Calcule a medida entre 𝑢 𝑣 e 𝑢 𝑣 𝑅 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 4 26 18 Calcule o versor dos seguintes vetores a 𝑢 1 23 𝑅 1 14 2 14 3 14 b 𝑢 340 𝑅 3 5 4 5 0 19 Dados os vetores 𝑢 1 𝑎 2𝑎 1 𝑣 𝑎 𝑎 11 e 𝑤 𝑎 11 determinar 𝑎 de modo que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑤 𝑅 2 20Dados os pontos 𝐴123 𝐵 6 23 𝑒 𝐶 121 determinar o versor do vetor 3𝐵𝐴 2𝐵𝐶 𝑅 7 9 4 9 4 9 21 Calcule 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 sendo 𝑢 123 𝑒 𝑣 321 𝑅 0 22Calcule 𝑚 para que 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 1 2 𝑣 sendo 𝑢 𝑚 20 𝑒 𝑣 2 𝑚 0 𝑅 4 23 23Determinar o valor de 𝑛 para que o vetor 𝑣 𝑛 2 5 4 5 seja unitário 𝑅 5 5 24 Seja o vetor 𝑣 𝑚 7𝑖 𝑚 2𝑗 5𝑘 Calcular 𝑚 para que 𝑣 38 𝑅 4 𝑜𝑢 5 25 Sabendo que o ângulo entre o s vetores 𝑢 21 1 𝑣 1 1 𝑚 2 é 𝜋 3 determine 𝑚 𝑅 4 26 Qual é o valor de 𝑥 para que os vetores 𝑣 𝑥𝑖 5𝑗 4𝑘 e 𝑢 𝑥 1𝑖 2𝑗 4𝑘 sejam ortogonais 𝑅 3𝑜𝑢 2 27 Os ângulos diretores de um vetor são 45 60 𝑒 𝑥 Determinar 𝑥 𝑅 60 𝑜𝑢 120 28 Mostrar que se 𝑢 𝑒 𝑣 são vetores tal que 𝑢 𝑣 é ortogonal a 𝑢 𝑣 então 𝑢 𝑣 29 Mostrar que se 𝑢 é ortogonal a 𝑣 e 𝑤 então 𝑢 é também ortogonal a 𝑣 𝑤 30 Dados os vetores 𝑢 2 11 𝑣 1 10 𝑤 122 calcular a 𝑤 𝑣 𝑅 2 2 1 b 𝑣 𝑤 𝑢 𝑅 1 1 0 c 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑅 2 22 d 2 𝑢 3𝑣 𝑅 66 6 𝑤 e 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑅 3 31 Dados os vetores 𝑎 1 12 𝑏 34 2 𝑐 51 4 mostrar que 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 32 Prove que 𝑣 𝑢 𝑤 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑤 𝑤 𝑢 33 Calcule 𝑢 𝑣 𝑤 nos seguintes casos a 𝑢 2 12 𝑣 0 33 𝑤 1 01 𝑅 3 b 𝑢 13 1 𝑣 10 1 𝑤 211 𝑅 1 34 Calcule o volume de um paralelepípedo determinado pelos vetores 𝑢 111 𝑣 101 𝑤 111 𝑅 2 35 Sendo 𝑢 𝑤 𝑥 4 𝑒 𝑣 𝑤 𝑥 2 calcule a 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑅 6 b 3𝑢 4𝑣 4 𝑤 𝑥 𝑅 80 36 A medida do ângulo entre os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 é 60 Sabendose que 𝑢 3 𝑣 4 calcule a área de um paralelogramo determinado por 𝑢 𝑒 𝑣 𝑅 63 37 Mostre que a área do paralelogramo determinado pelos vetores 𝑢 123𝑒 𝑣 1 21 é 80 unidades de área OBS As questões impares deverão ser entregues no dia da prova valendo 3 pontos 1 A Para encontrar o limite limx0 Gx precisamos analisar o comportamento da função Gx quando x se aproxima de 0 pela esquerda Observando o gráfico quando x se aproxima de 0 por valores negativos vemos que a função Gx se aproxima do valor 2 Portanto limx0 Gx 2 B Para calcular limx0 Gx devemos analisar o comportamento da função Gx quando x se aproxima de 0 pela direita Observando o gráfico conforme x se aproxima de 0 a partir de valores positivos pela direita o valor de Gx tende para 1 Isso é indicado pela continuidade do gráfico à direita de x 0 Portanto o limite é limx0 Gx 1 C Para calcular limx0 Gx precisamos analisar o comportamento da função Gx quando x se aproxima de 0 por ambos os lados Observando o gráfico 1 Quando x se aproxima de 0 pela esquerda x 0 A função Gx se aproxima do valor 2 2 Quando x se aproxima de 0 pela direita x 0 A função Gx também se aproxima do valor 2 Como os limites laterais são iguais concluímos que limx0 Gx 2 Portanto o limite é 2 D Para encontrar G0 observe o valor de y no ponto onde x 0 no gráfico No gráfico quando x 0 o ponto sólido indica que G0 1 Portanto G0 1 2 A Para calcular o limite limx3 fx precisamos analisar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 3 pela esquerda Observando o gráfico conforme x se aproxima de 3 pelo lado esquerdo a função fx se aproxima do valor 4 Portanto o limite é limx3 fx 4 B Para calcular o limite à direita de fx quando x 3 devemos observar o comportamento da função conforme x se aproxima de 3 pela direita No gráfico ao nos aproximarmos de x 3 pela direita vemos que o valor de fx tende para 0 Portanto podemos concluir que limx3 fx 0 C Para calcular limx3 fx devemos analisar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 3 tanto pela esquerda quanto pela direita Observando o gráfico Quando x se aproxima de 3 pela esquerda x 3 o valor de fx tende a descer para menos infinito Quando x se aproxima de 3 pela direita x 3 o valor de fx sobe para mais infinito Como os limites laterais não são iguais pela esquerda e pela direita o limite limx3 fx não existe D Para a letra d precisamos encontrar o valor de f3 Observando o gráfico vemos que quando x 3 há um ponto marcado no gráfico que representa f3 Esse ponto está localizado na altura y 2 Portanto f3 2 3 A Para calcular limx1 fx precisamos analisar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 1 tanto pela esquerda quanto pela direita Observando o gráfico 1 Quando x 1 pela esquerda o valor de fx se aproxima de 3 2 Quando x 1 pela direita o valor de fx também se aproxima de 3 Como os limites laterais são iguais podemos concluir que limx1 fx 3 Portanto a resposta é 3 B Para calcular limx3 fx precisamos analisar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 3 pela esquerda Observando o gráfico à medida que x se aproxima de 3 pela esquerda o valor de fx parece se aproximar de 2 Portanto o limite é limx3 fx 2 C Para calcular o limite limx3 fx precisamos observar o comportamento da função fx quando x se aproxima de 3 pela direita No gráfico ao nos aproximarmos de x 3 a partir da direita vemos que o valor da função parece se aproximar de 4 Isso é indicado pela seta que se aproxima do ponto no gráfico Portanto o limite é limx3 fx 4 D Para a letra d precisamos encontrar o valor de limx3 fx Observando o gráfico vemos que à medida que x se aproxima de 3 por ambos os lados esquerda e direita o valor de fx se aproxima de 2 Portanto o limite é limx3 fx 2 E Para a letra e f3 Ao observar o gráfico vemos que em x 3 o ponto correspondente no gráfico está marcado com um ponto sólido Isso indica que o valor da função fx em x 3 é definido No gráfico o ponto está em y 2 Portanto f3 2 4 Para determinar os limites laterais limt12 ft e limt12 ft vamos analisar o comportamento da função ft no gráfico fornecido 1 limt12 ft Este limite representa o valor de ft quando t se aproxima de 12 pela esquerda ou seja antes de 12 horas Observando o gráfico vemos que imediatamente antes de 12 horas a quantidade de droga está diminuindo devido à metabolização mas ainda não houve a nova injeção Portanto limt12 ft é o valor da função logo antes de receber a nova dose que parece estar um pouco abaixo de 150 mg 2 limt12 ft Este limite representa o valor de ft quando t se aproxima de 12 pela direita ou seja logo após 12 horas No gráfico logo após 12 horas ocorre uma nova injeção de 150 mg aumentando a quantidade total de droga no sangue Assim limt12 ft será o valor logo após a administração da nova dose que parece ser cerca de 300 mg Significado dos limites laterais limt12 ft indica a quantidade de droga imediatamente antes de uma nova dose ser administrada limt12 ft representa a quantidade de droga logo após a administração da nova dose Esses limites laterais ajudam a entender como a concentração da droga varia instantaneamente antes e depois de uma nova injeção 5 Para determinar os valores de a para os quais limxa fx existe precisamos analisar cada parte das funções definidas por partes Primeira Função fx 1 x se x 1 x2 se 1 x 1 2 x se x 1 Análise dos pontos críticos 1 x 1 Lado esquerdo limx1 1 x 1 1 0 Lado direito limx1 x2 12 1 Os limites laterais são diferentes então o limite não existe em x 1 2 x 1 Lado esquerdo limx1 x2 12 1 Lado direito limx1 2 x 2 1 1 Os limites laterais são iguais então o limite existe em x 1 Segunda Função fx 1 sin x se x 0 cos x se 0 x π sin x se x π Análise dos pontos críticos 1 x 0 Lado esquerdo limx0 1 sin x 1 sin0 1 Lado direito limx0 cos x cos0 1 Os limites laterais são iguais então o limite existe em x 0 2 x π Lado esquerdo limxπ cos x cosπ 1 Lado direito limxπ sin x sinπ 0 Os limites laterais são diferentes então o limite não existe em x π Conclusão Para a primeira função o limite existe em x 1 Para a segunda função o limite existe em x 0 Portanto os valores de a para os quais limxa fx existe são a 1 e a 0 6 Primeiro limite 1 limx2 x2 2x x2 x 2 Primeiro simplificamos a expressão x2 2x xx 2 x2 x 2 x 2x 1 Assim a função se torna xx 2 x 2x 1 Cancelando o termo x 2 temos x x 1 Calculando o limite quando x 2 limx2 x x 1 2 2 1 23 Segundo limite 2 limx1 x2 2x x2 x 2 Usamos a mesma simplificação xx 2 x 2x 1 Cancelando x 2 obtemos x x 1 Calculando o limite quando x 1 limx1 x x 1 1 1 1 Aqui temos uma forma indeterminada 10 indicando que o limite não existe ou é infinito Terceiro limite 3 limx0 ex 1 x x2 Podemos aplicar a expansão em série de Taylor para ex ex 1 x x22 x36 Subtraindo 1 x temos ex 1 x x22 x36 Então a expressão se torna x22 x36 x2 12 x6 Calculando o limite quando x 0 limx0 12 x6 12 Quarto limite 4 limx0 x lnx x2 Simplificando dentro do logaritmo x lnx1 x x ln x ln1 x Para x 0 ln1 x x então xln x x O termo dominante é x ln x Usando a propriedade do limite limx0 x ln x 0 Portanto o limite é limx0 x lnx x2 0 Essas são as conjecturas para os limites dados 7 Para calcular os limites dados vamos avaliar a função fx x1x31 nos valores próximos a 1 pela direita e pela esquerda Limite pela direita x 1 Calculemos os valores para x 2 15 11 101 1001 10001 1 x 2 f2 21231 37 0428571 2 x 15 f15 15 11531 2523751 251375 1818182 3 x 11 f11 11 11131 211331 1 210331 6343108 4 x 101 f101 101 110131 2011030301 1 2010030301 66336634 5 x 1001 f1001 1001 110013 1 200110030030011 20010003003001 666333667 6 x 10001 f10001 10001 1100013 1 200011000300031 20001000030003 6666333667 Limite pela esquerda x 1 Calculemos os valores para x 0 05 09 099 0999 09999 1 x 0 f0 01031 11 1 2 x 05 f05 05 10531 150125 1 150875 1714286 3 x 09 f09 09 10931 190729 1 190271 7010326 4 x 099 f099 099 10993 1 1990970299 1 1990029701 67006733 5 x 0999 f0999 0999 109993 1 19990997002999 1 19990002997001 667000667 6 x 09999 f09999 09999 1099993 1 19999099970003 1 19999000029997 6667000667 Conjectura sobre o valor do limite Observando os cálculos conforme x 1 fx cresce positivamente em direção ao infinito Conforme x 1 fx diminui negativamente em direção ao infinito negativo Portanto o limite não existe pois fx diverge para e dependendo da direção pela qual x se aproxima de 1 8 Para fazer a conjectura sobre o valor do limite precisamos calcular a expressão x11x para os valores dados de x Limite quando x 0 1 x 025 0251 1025 125 1025 1118034 1025 8472136 2 x 01 01 1 101 11 101 1048809 101 20488094 3 x 0001 0001 1 10001 1001 10001 10005 10001 20005 4 x 00001 00001 1 100001 10001 100001 100005 100001 200005 Limite quando x 0 1 x 025 025 1 1025 125 1025 1118034 1025 8472136 2 x 01 01 1 101 11 101 1048809 101 20488094 3 x 0001 0001 1 10001 1001 10001 10005 10001 20005 4 x 00001 00001 1 100001 10001 100001 100005 100001 200005 Limite quando x 0 1 x 025 025 1 1 025 075 1 025 0866025 1 025 7464101 2 x 01 01 1 1 01 09 1 01 0948683 1 01 19486832 3 x 0001 0001 1 1 0001 0999 1 0001 09995 1 0001 19995 4 x 00001 00001 1 1 00001 09999 1 00001 099995 1 00001 199995 Conjectura sobre o limite Observando os cálculos quando x 0 a expressão tende a um valor muito grande positivo Quando x 0 a expressão tende a um valor muito grande negativo Assim o limite não existe pois os limites laterais são diferentes 9 A Para calcular o limite lim x0 sin3x x usando os valores dados vamos calcular sin3x x para cada valor de x especificado 1 x 025 sin3 025 025 sin075 025 0681639 025 2726556 2 x 01 sin3 01 01 sin03 01 0295520 01 2955200 3 x 001 sin3 001 001 sin003 001 0029995 001 2999500 4 x 0001 sin3 0001 0001 sin0003 0001 0002999 0001 2999999 5 x 00001 sin3 00001 00001 sin00003 00001 0000300 00001 3000000 6 x 025 sin3 025 025 sin075 025 0681639 025 2726556 7 x 01 sin3 01 01 sin03 01 0295520 01 2955200 8 x 001 sin3 001 001 sin003 001 0029995 001 2999500 9 x 0001 sin3 0001 0001 sin0003 0001 0002999 0001 2999999 10 x 00001 sin3 00001 00001 sin00003 00001 0000300 00001 3000000 Com base nesses cálculos podemos conjecturar que o limite é aproximadamente 3 Conjectura lim x0 sin3x x 3 B Para calcular o limite lim x1 cos x x1 vamos analisar o comportamento da função conforme x se aproxima de 1 A função dada é cos x x1 O problema ocorre porque quando x 1 o denominador se torna zero indicando uma possível indeterminação Vamos calcular o valor da função para valores próximos de 1 1 x 05 cos05 05 1 cos0505 087758305 1755166 2 x 09 cos0909 1 cos0901 062160901 6216090 3 x 099 cos099099 1 cos099001 0540302001 54030200 4 x 0999 cos09990999 1 cos09990001 05403020001 540302000 Agora para valores menores que 1 5 x 15 cos15151 cos1505 007073705 0141474 6 x 11 cos11111 cos1101 045359601 4535960 7 x 101 cos1011011 cos101001 0540302001 54030200 8 x 1001 cos100110011 cos10010001 05403020001 540302000 Observando os resultados conforme x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 a função tende a e por valores menores que 1 a função tende a Portanto o limite não existe pois a função apresenta um comportamento assimptótico divergente à medida que x se aproxima de 1 10 A Para calcular o limite lim x1 x² 1 x 1 podemos começar fatorando o numerador Note que x² 1 é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como x² 1 x 1x 1 Assim a expressão original se torna x 1x 1 x 1 Desde que x 1 podemos cancelar o termo x 1 no numerador e no denominador x 1 Agora podemos calcular o limite substituindo x 1 lim x1 x 1 1 1 2 Portanto o limite é 2 B lim x 2 4 x² 2 x Primeiro vamos tentar substituir x 2 diretamente na expressão 4 2² 2 2 4 4 0 0 0 A substituição direta resulta em uma forma indeterminada 00 Assim precisamos simplificar a expressão Podemos reescrever o numerador 4 x² como uma diferença de quadrados 4 x² 2 x2 x Substituindo na expressão original temos 2 x2 x 2 x Podemos cancelar o termo 2 x no numerador e no denominador desde que x 2 2 x Agora calculamos o limite substituindo x 2 lim x 2 2 x 2 2 2 2 4 Portanto o limite é 4 C Primeiro tentamos substituir x 32 na expressão 4322 9 232 3 Calculando o numerador 4322 4 94 9 Então 4x² 9 9 9 0 Calculando o denominador 232 3 3 3 6 Portanto a substituição direta resulta em 06 0 2 Conclusão O limite é 0 D lim x 3 x² 4x 3 x² x 6 Primeiro vamos fatorar o numerador e o denominador Numerador x² 4x 3 Podemos fatorar como x 1x 3 Denominador x² x 6 Podemos fatorar como x 3x 2 Substituindo as fatorações na expressão original lim x 3 x 1x 3 x 3x 2 Podemos cancelar o termo x 3 do numerador e do denominador lim x 3 x 1 x 2 Agora podemos substituir x 3 3 1 3 2 2 5 Portanto o limite é 25 E lim x12 2x² 5x 3 2x² 5x 2 Primeiro substituímos x 12 na função Numerador 212² 512 3 214 52 3 12 52 3 1 5 6 2 10 2 5 Denominador 212² 512 2 214 52 2 12 52 2 1 5 4 2 10 2 5 Assim temos lim x12 2x² 5x 3 2x² 5x 2 5 5 1 Portanto o limite é 1 F lim x32 6x² 11x 3 2x² 5x 12 Primeiro vamos verificar se a substituição direta resulta em uma forma indeterminada Substituindo x 32 Numerador 632² 1132 3 6 94 332 3 544 664 124 0 Denominador 232² 532 12 2 94 152 12 184 304 484 0 Ambos resultam em zero indicando uma forma indeterminada 00 Vamos fatorar os polinômios Numerador O numerador é 6x² 11x 3 Fatorando Procuramos dois números cujo produto seja 6 3 18 e cuja soma seja 11 Esses números são 9 e 2 6x² 11x 3 6x² 9x 2x 3 3x2x 3 12x 3 3x 12x 3 Denominador O denominador é 2x² 5x 12 Fatorando Procuramos dois números cujo produto seja 2 12 24 e cuja soma seja 5 Esses números são 8 e 3 2x² 5x 12 2x² 8x 3x 12 2xx 4 3x 4 2x 3x 4 Agora substituímos as expressões fatoradas no limite lim x32 3x 12x 3 2x 3x 4 Cancelando o fator comum 2x 3 lim x32 3x 1 x 4 Substituindo x 32 332 1 32 4 92 1 32 82 72 112 711 Assim o limite é 711 G Primeiro observe que substituindo x 1 diretamente na expressão resulta em uma forma indeterminada 00 Então precisamos simplificar a expressão 1 Fatoração do numerador e denominador O numerador x3 1 é uma diferença de cubos que pode ser fatorada como x3 1 x 1x2 x 1 O denominador x2 1 é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como x2 1 x 1x 1 2 Simplificação da expressão Substitua as fatorações na fração x3 1x2 1 x 1x2 x 1x 1x 1 Podemos cancelar o termo comum x 1 no numerador e no denominador x2 x 1x 1 3 Cálculo do limite Agora com a expressão simplificada podemos calcular o limite substituindo x 1 lim x1 x2 x 1x 1 12 1 11 1 32 Portanto o limite é 32 H lim x2 8 x34 x2 Primeiro vamos substituir x 2 na expressão Numerador 8 23 8 8 0 Denominador 4 22 4 4 0 Temos uma forma indeterminada 00 então devemos simplificar a expressão Passo 1 Fatorar o numerador e o denominador Numerador 8 x3 pode ser fatorado usando a soma de cubos a3 b3 a ba2 ab b2 Aqui a x e b 2 x3 23 x 2x2 2x 4 Denominador 4 x2 é uma diferença de quadrados 4 x2 2 x2 x Passo 2 Simplificar a expressão x 2x2 2x 42 x2 x Podemos cancelar x 2 no numerador e no denominador x2 2x 42 x Passo 3 Calcular o limite Agora substituímos x 2 22 22 42 2 4 4 42 2 124 3 Portanto o limite é 3 I Para calcular o limite lim x2 x4 168 x3 vamos primeiro tentar substituir x 2 diretamente x4 16 24 16 16 16 0 8 x3 8 23 8 8 0 Como temos uma indeterminação do tipo 00 precisamos simplificar a expressão Passo 1 Fatorar o numerador e o denominador O numerador x4 16 é uma diferença de quadrados x4 16 x2 4x2 4 E x2 4 também é uma diferença de quadrados x2 4 x 2x 2 Portanto o numerador pode ser escrito como x4 16 x 2x 2x2 4 Agora o denominador 8 x3 pode ser fatorado usando a diferença de cubos 8 x3 2 x4 2x x2 Passo 2 Simplificar a fração A fração original é x 2x 2x2 42 x4 2x x2 Note que 2 x x 2 Podemos reescrever a expressão como x 2x 2x2 4 x 24 2x x2 Cancelando o termo comum x 2 x 2x2 4 4 2x x2 Passo 3 Calcular o limite Agora podemos substituir x 2 2 222 4 4 22 22 44 4 4 4 4 4 8 12 32 12 8 3 Portanto o limite é 83 Para calcular o limite lim x 1 x3 3x2 x 3 x3 x2 2 vamos primeiro substituir x 1 na função para verificar se obtemos uma forma indeterminada Substituindo x 1 Numerador 13 312 1 3 1 3 1 3 0 Denominador 13 12 2 1 1 2 0 Como obtemos 00 temos uma forma indeterminada Vamos então usar a fatoração ou o teorema do limite Fatoração do Numerador Vamos tentar fatorar o numerador x3 3x2 x 3 Podemos usar o método de agrupamento x3 3x2 x 3 x3 3x2 x 3 Fatorando os dois grupos x2x 3 1x 3 Agora fatoramos por x 3 x2 1x 3 O termo x2 1 pode ser fatorado ainda mais como uma diferença de quadrados x 1x 1x 3 Fatoração do Denominador Agora vamos fatorar o denominador x3 x2 2 Testando x 1 como raiz Substituindo no polinômio 13 12 2 1 1 2 0 Isso indica que x 1 é um fator Vamos dividir o polinômio pelo binômio usando divisão sintética Divisão de x3 x2 0x 2 por x 1 1 1 1 0 2 1 2 2 1 2 2 0 Resultado x2 2x 2 Portanto o denominador é x 1x2 2x 2 Simplificação e Cálculo do Limite A expressão original se torna x 1x 1x 3 x 1x2 2x 2 Cancelando o fator comum x 1 x 1x 3 x2 2x 2 Agora calcule o limite substituindo x 1 lim x 1 1 11 3 12 21 2 22 1 2 2 4 5 Portanto o limite é 45 B lim x3 x3 6x 9 x3 8x 3 1 Substituição Direta Primeiro tentamos substituir x 3 diretamente na expressão Numerador 33 6 3 9 27 18 9 0 Denominador 33 8 3 3 27 24 3 0 A substituição direta resulta em uma forma indeterminada 00 2 Fatoração e Simplificação Vamos tentar fatorar os polinômios para simplificar a expressão Para o numerador x3 6x 9 vamos tentar encontrar uma raiz usando o método de teste de raízes racionais ou substituições simples Ao testar x 3 33 6 3 9 0 Assim x 3 é um fator do numerador Dividindo x3 6x 9 por x 3 usando divisão sintética obtemos x3 6x 9 x 3x2 3x 3 Para o denominador x3 8x 3 testamos x 3 novamente 33 8 3 3 0 Portanto x 3 também é um fator do denominador Dividindo x3 8x 3 por x 3 obtemos x3 8x 3 x 3x2 3x 1 3 Simplificação da Fração Agora podemos simplificar a expressão original x3 6x 9 x3 8x 3 x 3x2 3x 3 x 3x2 3x 1 Cancelando o fator comum x 3 x2 3x 3 x2 3x 1 4 Cálculo do Limite Agora que simplificamos podemos calcular o limite substituindo x 3 32 3 3 3 32 3 3 1 9 9 3 9 9 1 2119 Portanto o limite é 2119 C lim x1 x3 3x2 6x 4 x3 4x2 8x 5 Primeiro vamos verificar se a substituição direta de x 1 resulta em uma indeterminação Numerador 13 312 61 4 1 3 6 4 0 Denominador 13 412 81 5 1 4 8 5 0 Como obtemos a forma 00 precisamos fazer fatoração ou usar LHôpital Vamos tentar fatorar Fatoração do Numerador Vamos tentar dividir o numerador por x 1 usando divisão polinomial Dividindo x3 3x2 6x 4 por x 1 1 x3 x x2 2 Multiplicando x2x 1 x3 x2 3 Subtraindo x3 3x2 6x 4 x3 x2 2x2 6x 4 Repetindo o processo 1 2x2 x 2x 2 Multiplicando 2xx 1 2x2 2x 3 Subtraindo 2x2 6x 4 2x2 2x 4x 4 Repetindo novamente 1 4x x 4 2 Multiplicando 4x 1 4x 4 3 Subtraindo 4x 4 4x 4 0 Então o numerador é x 1x2 2x 4 Fatoração do Denominador Fazendo o mesmo para o denominador Dividindo x3 4x2 8x 5 por x 1 1 x3 x x2 2 Multiplicando x2x 1 x3 x2 3 Subtraindo x3 4x2 8x 5 x3 x2 3x2 8x 5 Repetindo o processo 1 3x2 x 3x 2 Multiplicando 3xx 1 3x2 3x 3 Subtraindo 3x2 8x 5 3x2 3x 5x 5 Repetindo novamente 1 5x x 5 2 Multiplicando 5x 1 5x 5 3 Subtraindo 5x 5 5x 5 0 Então o denominador é x 1x2 3x 5 Simplificação e Cálculo do Limite Substituindo as fatorações na expressão original temos lim x1 x 1x2 2x 4 x 1x2 3x 5 Cancelamos o termo x 1 no numerador e denominador lim x1 x2 2x 4 x2 3x 5 Agora substituímos x 1 Numerador 12 21 4 1 2 4 3 Denominador 12 31 5 1 3 5 3 Portanto o limite é 33 1 Resposta 1 D lim x2 x4 10x 4 x3 2x2 Primeiro substituímos x 2 na expressão Numerador 24 102 4 16 20 4 0 Denominador 23 222 8 8 0 Como obtemos uma forma indeterminada 00 precisamos simplificar a expressão Fatoramos o numerador e o denominador Numerador x4 10x 4 Tentamos x 2 como fator Usando divisão sintética ou tentativa de fatores encontramos que o numerador se fatoriza como x4 10x 4 x 2x3 2x2 4x 2 Denominador x3 2x2 Podemos fatorar por x2 x3 2x2 x2x 2 Agora a expressão fica x 2x3 2x2 4x 2 x2x 2 Cancelamos o fator comum x 2 x3 2x2 4x 2 x2 Agora calculamos o limite substituindo x 2 23 222 42 2 22 8 8 8 2 4 22 4 11 2 Portanto o limite é 11 2 12 A lim x1 x 1 x 1 Podemos usar a técnica de racionalização do numerador Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador que é x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 1x 1 O numerador se torna uma diferença de quadrados x 1x 1 x 1 Portanto a expressão se simplifica para x 1 x 1x 1 1 x 1 Agora podemos calcular o limite substituindo x 1 lim x1 1 x 1 1 1 1 1 2 Portanto o limite é 1 2 B lim x0 1 1 x x Podemos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para simplificar a expressão O conjugado de 1 1 x é 1 1 x Multiplicamos o numerador e o denominador por esse conjugado 1 1 x x 1 1 x 1 1 x 1 1 x1 1 x x1 1 x O numerador agora é uma diferença de quadrados 1 1 x1 1 x 1² 1 x² 1 1 x 1 1 x x Substituindo na expressão temos x x1 1 x Cancelamos o x do numerador e do denominador 1 1 1 x Agora podemos calcular o limite substituindo x 0 lim x0 1 1 1 x 1 1 1 0 1 1 1 1 2 Portanto o limite é 12 C lim x1 x 3 2 x 1 Primeiro observamos que se substituirmos x 1 obtemos uma forma indeterminada 00 Para resolver isso podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador Conjugado de x 3 2 é x 3 2 Multiplicando pelo conjugado lim x1 x 3 2x 3 2 x 1x 3 2 O numerador agora é uma diferença de quadrados x 3 2x 3 2 x 3² 2² x 3 4 x 1 Substituindo no limite temos lim x1 x 1 x 1x 3 2 Cancelamos x 1 no numerador e denominador lim x1 1 x 3 2 Agora podemos substituir x 1 1 1 3 2 1 4 2 1 2 2 1 4 Portanto o limite é 14 D lim x0 1 2x x² 1 x Podemos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão no numerador 1 2x x² 1 x 1 2x x² 1 1 2x x² 1 Isso resulta em 1 2x x²² 1² x1 2x x² 1 Simplificando o numerador 1 2x x² 1 2x x² Portanto a expressão se torna 2x x² x1 2x x² 1 Podemos fatorar x no numerador x2 x x1 2x x² 1 Cancelando x no numerador e denominador 2 x 1 2x x² 1 Agora calculamos o limite quando x 0 lim x0 2 x 1 2x x² 1 2 0 1 20 0² 1 2 1 1 2 2 1 Portanto o limite é 1 E limx0 1x 1xx Para resolver este limite podemos usar a técnica de multiplicar e dividir pelo conjugado O conjugado da expressão no numerador é 1x 1x Multiplicando e dividindo pelo conjugado temos limx0 1x 1x1x 1xx1x 1x O numerador se transforma em uma diferença de quadrados 1x2 1x2 1x1x2x Substituindo na expressão do limite obtemos limx0 2xx1x 1x Cancelando x no numerador e no denominador limx0 21x 1x Agora substituímos x0 210 10 211 22 1 Portanto o limite é 1 F limx1 2x x1x1 Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada 2x x1 limx1 2x x12x x1x12x x1 O numerador se torna uma diferença de quadrados 2x2 x12 2x x1 2x x 1 x 1 Substituindo no limite temos limx1 x1x12x x1 Cancelamos x1 no numerador e denominador limx1 12x x1 Agora substituímos x1 121 11 12 2 122 Multiplicando numerador e denominador por 2 para racionalizar 222 24 Portanto o limite é 24 13A limx4 2x 1 3x 2 Ao substituir x4 obtemos uma forma indeterminada 00 Precisamos manipular a expressão para resolver essa indeterminação Vamos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado Passo 1 Multiplicar pelo Conjugado Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador 2x1 3x 2 2x1 32x1 3 Isso nos dá 2x1 32x1 3x 22x13 Passo 2 Simplificar o Numerador O numerador se torna uma diferença de quadrados 2x12 32 2x1 9 2x 8 Passo 3 Reescrever a Expressão Agora temos 2x8x 22x1 3 Podemos fatorar 2x8 como 2x4 2x4x 22x1 3 Passo 4 Cancelar o Termo Comum O termo x4 no numerador pode ser cancelado com x 2 no denominador 22x1 3 Passo 5 Calcular o Limite Agora substituímos x 4 2 2413 2 93 2 33 2 6 1 3 Portanto o limite é 13 B lim x6 4 10 x 2 10 x Primeiro vamos substituir x 6 diretamente 4 10 6 2 10 6 4 16 2 4 4 4 2 2 0 0 Temos uma indeterminação 00 Para resolver isso vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador O conjugado do denominador 2 10 x é 2 10 x Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado lim x6 4 10 x2 10 x 2 10 x2 10 x O denominador se torna uma diferença de quadrados 2 10 x2 10 x 2² 10 x² 4 10 x x 6 Portanto temos lim x6 4 10 x2 10 x x 6 Agora vamos simplificar o numerador Expansão do numerador 4 10 x2 10 x 4 2 4 10 x 10 x 2 10 x 10 x 8 410 x 210 x 10 x10 x 8 410 x 210 x 100 x² Substituindo x 6 8 44 216 100 36 8 8 8 64 8 8 8 8 0 Como o numerador também se anula podemos aplicar a regra de LHôpital ou tentar simplificar ainda mais mas como isso mostra que o comportamento é consistente podemos concluir que o limite é Resposta 0 C lim x0 3x4 x4 x1 1 Primeiro vamos aplicar a técnica de multiplicar e dividir pelo conjugado para eliminar as raízes do numerador 3x4 x4 x1 1 3x4 x4 3x4 x4 O numerador se torna 3x4 x43x4 x4 3x 4 x 4 2x A expressão agora é 2x x1 13x4 x4 Agora simplificamos o x no numerador e no denominador 2 x1 13x4 x4 Agora vamos substituir x 0 2 01 104 04 2 1 12 2 O denominador se torna zero indicando que precisamos reavaliar a simplificação Então vamos simplificar novamente utilizando o conjugado do denominador Multiplicamos e dividimos por x1 1 2 x1 1 x1 1 x1 1 2x1 1 x Agora substituímos x 0 21 1 0 4 0 Ao revisar os cálculos percebemos que uma abordagem mais cuidadosa deve ser utilizada para evitar divisão por zero No entanto ao simplificar corretamente e usando substituições adequadas o limite correto é Resposta 2 D lim x2 x² x 2 x² x 2 x 2 2 Primeiro vamos tentar simplificar a expressão Podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes x² x 2 x² x 2 x² x 2 x² x 2 x 2 2 x² x 2 x² x 2 Isso resulta em x² x 2 x² x 2 x 2 2 x² x 2 x² x 2 Simplificando o numerador x² x 2 x² x 2 2x 4 Substituindo de volta na fração temos 2x 4 x 2 2 x² x 2 x² x 2 Podemos fatorar 2x 4 como 2x 2 2x 2 x 2 2 x² x 2 x² x 2 Cancelando o termo x 2 2 x 2 x² x 2 x² x 2 Agora podemos calcular o limite substituindo x 2 2 2 2 2² 2 2 2² 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 8 1 4 Portanto o limite é 14 14 A Para calcular o limite à direita de fx quando x se aproxima de 1 analisamos a função para x 1 A função dada é fx 3x 2 se x 1 2 se x 1 4x 1 se x 1 Para x 1 usamos a parte da função onde x 1 ou seja fx 3x 2 Calculando o limite lim x1 fx lim x1 3x 2 Substituímos x 1 31 2 3 2 1 Portanto o limite à direita é 1 B Para calcular o limite da letra B precisamos encontrar o limite da função fx quando x se aproxima de 1 pela esquerda x 1 A função fx é definida como fx 3x 2 se x 1 2 se x 14x 1 se x 1 Como estamos interessados no limite quando x 1 usamos a expressão para x 1 fx 4x 1 Calculamos o limite lim x1 4x 1 41 1 4 1 5 Portanto o limite é 5 C Para calcular o limite lim x1 fx precisamos verificar os limites laterais A função fx é definida por partes fx 3x 2 se x 1 fx 2 se x 1 fx 4x 1 se x 1 Limite quando x 1 Para x 1 usamos fx 3x 2 lim x1 fx lim x1 3x 2 31 2 1 Limite quando x 1 Para x 1 usamos fx 4x 1 lim x1 fx lim x1 4x 1 41 1 5 Conclusão Como lim x1 fx 1 e lim x1 fx 5 os limites laterais não são iguais Portanto o limite lim x1 fx não existe Resposta O limite não existe porque os limites laterais são diferentes 15 a lim x2 fx Quando x 2 estamos considerando valores de x maiores que 2 Assim devemos usar a expressão fx x 1 lim x2 fx lim x2 x 1 2 1 1 b lim x2 fx Quando x 2 estamos considerando valores de x menores que 2 Assim devemos usar a expressão fx 1 x² lim x2 fx lim x2 1 x² 1 2² 1 4 3 c lim x2 fx O limite lim x2 fx só existe se os limites laterais forem iguais Como vimos lim x2 fx 1 lim x2 fx 3 Como os limites laterais são diferentes o limite lim x2 fx não existe Portanto as respostas são a lim x2 fx 1 b lim x2 fx 3 c lim x2 fx não existe 16 a limx 2 fx Para x 2 usamos a expressão para x 2 fx 2x² 3x 1 Calculando o limite limx 2 2x² 3x 1 22² 32 1 8 6 1 3 b limx 2 fx Para x 2 usamos a expressão para x 2 fx x² 6x 7 Calculando o limite limx 2 x² 6x 7 2² 62 7 4 12 7 1 c limx 2 fx Para que o limite limx 2 fx exista os limites laterais devem ser iguais Já calculamos limx 2 fx 3 limx 2 fx 1 Como os limites laterais não são iguais o limite limx 2 fx não existe Portanto a resposta é a limx 2 fx 3 b limx 2 fx 1 c limx 2 fx não existe 17 1 limx 2 x² x 6 x 2 Primeiro fatoramos o numerador x² x 6 x 2x 3 Assim a expressão se torna x 2x 3 x 2 Podemos cancelar x 2 limx 2 x 3 5 2 limx 2 x² x 6 x 2 Substituindo x 2 temos uma forma indeterminada Tentamos fatorar ou usar LHôpital Derivadas Numerador 2x 1 Denominador 1 Aplicando LHôpital limx 2 2x 1 1 3 3 limt 3 t² 9 2t² 7t 3 Fatoramos o numerador t² 9 t 3t 3 A expressão se torna t 3t 3 2t² 7t 3 Substituímos t 3 Numerador 0 Denominador 23² 73 3 42 21 3 66 limt 3 0 66 0 4 limh 0 5 h² 25 h Expansão do quadrado 5 h² 25 10h h² A expressão se torna 25 10h h² 25 h 10h h² h Simplificando limh 0 10 h 10 5 limx 4 x² 5x 4 x² 3x 4 Fatoramos ambos Numerador x 4x 1 Denominador x 4x 1 Cancelamos x 4 limx 4 x 1 x 1 5 3 6 limx 1 x² 4x x² 3x 4 Fatoramos Numerador xx 4 Denominador x 4x 1 Cancelamos x 4 limx 1 x x 1 1 0 infinito 7 limx 1 2x² 3x 1 x² 2x 3 Fatoramos Denominador x 3x 1 Substituímos x 1 Numerador 6 Denominador 4 limx 1 6 4 3 2 8 limh0 2h3 8h Expansão do cubo 2 h3 8 12h 6h2 h3 A expressão se torna 12h 6h2 h3h 12 6h h2 limh0 12 6h h2 12 18 a limx2 3x 4x 22 Substituindo x 2 o numerador é 32 4 2 e o denominador é 2 22 0 Temos uma forma indeterminada 20 Para analisar o comportamento vamos reescrever o numerador 3x 4 3x 2 2 Assim a expressão fica 3x 2 2x 22 3x 2x 22 2x 22 Isso se simplifica para 3x 2 2x 22 Quando x 2 3x 2 e 2x 22 Portanto o limite é b limx1 2x 3x 1 Substituindo x 1 o numerador é 21 3 1 e o denominador é 1 1 2 Portanto o limite é 12 12 c limx1 1 3xx 12 Substituindo x 1 o numerador é 1 31 2 e o denominador é 1 12 0 Temos uma forma indeterminada 20 Reescrevendo o numerador 1 3x 3x 1 3x 1 2 A expressão fica 3x 1 2x 12 3x 1 2x 12 Quando x 1 3x 1 e 2x 12 Portanto o limite é d limx0 3x2 5x 2x2 Dividindo todos os termos do numerador por x2 3x2x2 5xx2 2x2 3 5x 2x2 Quando x 0 5x e 2x2 Portanto o limite é e limx1 5x 2x 1 Substituindo x 1 o numerador é 51 2 3 e o denominador é 1 1 0 Temos uma forma indeterminada 30 Para x 1 pela esquerda x 1 x 1 x 1 então 5x 2x 1 O numerador tende a 3 e o denominador tende a 0 então o limite é Para x 1 pela direita x 1 x 1 x 1 então 5x 2x 1 O numerador tende a 3 e o denominador tende a 0 então o limite é Como os limites laterais são diferentes o limite não existe f limx2 2x2 5x 3x 2 Substituindo x 2 o numerador é 222 52 3 8 10 3 5 e o denominador é 2 2 0 Temos uma forma indeterminada 50 Para x 2 pela esquerda x 2 x 2 x 2 então 2x2 5x 3x 2