Questão - Corrente em Fio - Eletromagnetismo 2022-1

3ª. Questão (3,5 pontos) Um fio cilíndrico de raio a é orientado com o eixo z. O fio conduz uma corrente não uniforme de densidade \(j = br \hat{z} (\frac{a}{z})\), onde b é uma constante. (a) Qual a corrente total que flui no fio (0,5 ponto) (b) Encontre \(\vec{H}\) \(0 < r < a\) (1,0 ponto) (c) Encontre \(\vec{H}\) \(r > a\) (1,0 ponto) (d) Verifique os resultados dos itens b e c através da 3ª equação de Maxwell na forma diferencial\(\Delta \times \vec{H} = \vec{j}\). 3) Temos \(\vec{j} = br \hat{z}\) (a) Para calcularmos a corrente total, precisamos integrar a densidade de \(\vec{j}\) na área de secção transversal do fio. Logo, \(i = \int \vec{j} \cdot d\vec{A} = 2 \pi \int_{0}^{a} jr \: dr \), onde apontamos o vetor área na direção z e estamos trabalhando em coordenadas polares, sendo o elemento de área \(d\vec{A} = r \, dr \, d\phi = 2 \pi \, r \, dr \) (onde já usamos que \(\vec{j}\) não depende do ângulo ). Logo, como \(j = br\), \(i = 2 \pi \int_{0}^{a} br^2 \, dr = 2 \pi \, b \, \frac{a^3}{3}\) (A) (b) Vamos utilizar a Lei de Ampère na forma integral: Seja o laço amperiano uma circunferência coaxial ao fio, de raio r tal que \(0 < r \leq a\). Temos, pela lei de Ampère, \(\oint \vec{H} \cdot \vec{dl} = i_r\), onde \(i_r\) é a corrente total compreendida dentro da área definida pelo laço. Logo, \(i_r = \int_{0}^{r} 2 \pi \, br \, dr \)= \(2 \pi \, b \int_{0}^{r} r^{2} \, dr = 2 \pi \, b \, \frac{r^3}{3}\). Temos, \(\oint \vec{H} \cdot \vec{dl} = H \cdot 2 \pi \, r = 2 \pi \, \frac{br^3}{3}\) \(\Rightarrow H = \frac{b \, r^2}{3}\) Como j depende apenas da distância radial, H é circunferencial e, então H = \frac{b \cdot r^2}{3} \hat{\phi} (\frac{A}{m}) c) Já para pontos fora do cilindro, utilizamos uma circunferência de raio r > a, e a corrente emcursoada é a calculada no item a). Logo, \oint \vec{H} \cdot \vec{dl} = i \Rightarrow H \cdot 2 \pi \cdot r = 2 \pi \cdot \frac{ba^3}{3} \Rightarrow \vec{H} = \frac{ba^3}{3\pi} \hat{\phi} \left( \frac{A}{m} \right) d) Para r > a, temos \vec{\nabla} \times \vec{H} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} \left( rH_\phi \right) \right) \hat{z}, pois todos os outros termos do rotacional se anulam, já que \vec{H} só depende de r e aponta em \hat{\phi}. \vec{\nabla} \times \var{H} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{ba^3}{3} \right) \right) \hat{z} = 0, como esperado pois \vec{j} = 0 para r > a. Já para 0 \leq r < a, \vec{\nabla} \times \vec{H} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{br^3}{3} \right) \right) \hat{z} \vec{\nabla} \times \vec{H} = \frac{1}{r} \cdot br^2 \hat{z} = br \hat{z} = j, como queríamos demonstrar.