Questões - Barra Condutora - Eletromagnetismo 2022-1

1ª Questão (4.0 pontos) Uma barra condutora conduzindo \( \vec{K} = K_z \hat{z} \ (A/m) \) está situada no plano \( x = 0 \) entre \( y = a \) e \( y = b \ (m) \). Há também um filamento conduzindo corrente \( I \ (A) \) na direção \( \hat{z} \) no eixo \( z \). Determine: (a) O campo magnético produzidos pela barra condutora em qualquer ponto sobre o fio, \( P = P(0,0,z) \); e o campo magnético produzido pelo fio em qualquer ponto \( P = P(0,y,z) \) situado na região que se encontra a barra condutora; (2.0 pontos) (b) A força exercida por unidade de comprimento no filamento pela barra de corrente; (1.0 ponto) (c) A força exercida por unidade de comprimento na barra pelo filamento. (1.0 ponto) 2ª Questão (2.5 pontos) Um toróide com raio menor \( r_1 \) e maior \( r_2 \), e raio médio \( r_0 \) possui uma seção transversal como mostrado na figura abaixo. Uma bobina com \( N \) espiras está envolvendo uniformemente o toróide. Um fio longo e infinito conduzindo corrente elétrica \( I \) passa através do centro do toróide. (a) Calcule a indutância mútua entre o fio e a bobina do toróide se ele está preenchido pelo ar; (2.0 pontos) (b) Visando aumentar a indutância mútua entre os circuitos, o toróide é construído com ferrite cuja permeabilidade relativa é \( \mu_r \). Calcule a indutância mútua entre os circuitos. (0.5 ponto). 2) Não há corrente elétrica entre os raios do toróide. Dessa maneira, a indutância mútua entre o toróide e o fio é dada por \( M_{21} = N \frac{\Phi_1}{I} \), onde \( \Phi_1 \) é o fluxo magnético produzido no interior do toróide pelo campo gerado pela corrente \( I \) do fio. Mas, pela Lei de Ampère em sua forma integral, podemos calcular o campo gerado pela corrente no fio: \[ \oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I \rightarrow \vec{H} = \frac{I}{2 \pi r} \hat{\phi}, \text{ onde usamos uma circunferência coaxial ao fio de raio } r \text{ como laço amperiano. Como o toróide está preenchido com ar, } \vec{B} = \mu_0 \vec{H} = \mu_0 \frac{I}{2 \pi r} \hat{\phi}. \text{ Mas, o fluxo é } \Phi_1 = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}, \text{ onde } d\vec{A} = dr dz \hat{\phi}, \text{ como ilustrado ao lado: } Portanto, a indutância mútua é \( M_{21} = N \frac{\Phi_1}{I} \) e temos \[ M_{21} = N \mu_0 a \frac{\ln \frac{r_2}{r_1}}{2 \pi}. \text{ Para deixarmos a resposta em termos dos parâmetros dados na figura b) do enunciado, notamos que} \left\{ \begin{array}{l} r_2 - r_1 = b \\ r_2 + r_1 = 2r_0 \\ \end{array}\right\} \Rightarrow r_2 = \frac{b}{2} + r_0, \ r_1 = r_0 - \frac{b}{2} e\ E, por fim: \] \[M_{21} = N \mu_0 a \frac{\ln \left( \frac{2 r_0 + b}{2 r_0 - b} \right)}{2 \pi} \ \text{(Wb)} \] (b) Ora, se agora temos um material com \( \mu = \mu_r \mu_0 \), então temos \( \vec{B} = \mu_r \mu_0 \vec{H} = \mu_r \mu_0 \frac{I}{2 \pi r} \hat{\phi} \), de modo que basta pegarmos \( \mu_0 \to \mu_r \mu_0 \) no resultado anterior para a indutância mútua: \[ M_{21} = N \mu_r \mu_0 a \frac{\ln \frac{r_2}{r_1}}{2 \pi} = N \mu_r \mu_0 a \frac{\ln \left( \frac{2 r_0 + b}{2 r_0 - b} \right)}{2 \pi} \ \text{(Wb)} \] Logo, \overrightarrow{F} = \frac{k_1 m_0 I}{2 \pi} \left( \hat{z} \times (-\hat{x}) \right) \int dz \int_a^b \frac{dy}{y} Como \int dz = L, logo \frac{\overrightarrow{F}}{L} = \frac{k_1 m_0 I}{2 \pi} \ln \frac{b}{a} (-\hat{y}) \left( \frac{N}{m} \right) Ou seja, o pio e a barra se atraem mutuamente.