Questões - Álgebra Linear 2023 1

Exercício 1 Seja a transformação linear S ℝ² P₁ℝ dada por Sx y x x y t Ou seja S transforma um vetor x y do ℝ² em um polinômio na variável t de grau menor ou igual a um Mostre que S é um isomorfismo e a seguir determine o isomorfismo inverso S¹ Questão 1 Exercício 2 Considere o operador linear T ℝ³ ℝ³ dado por Tx y z x x y 2x y z Por outro lado veja que temos também que begincases A21 1 cdot left beginarrayccc 0 0 0 1 1 1 endarray right 0 A22 1 cdot left beginarrayccc 1 0 0 2 1 1 endarray right 1 A23 1 cdot left beginarrayccc 1 0 0 2 1 1 endarray right 1 endcases Por fim temos que begincases A31 1 cdot left beginarrayccc 0 0 0 1 0 0 endarray right 0 A32 1 cdot left beginarrayccc 1 0 0 1 1 0 endarray right 0 A33 1 cdot left beginarrayccc 1 0 0 1 1 1 endarray right 1 endcases Com isso segue que a matriz inversa da matriz associada a transformação T é T1 frac1detT beginpmatrix 1 1 1 0 1 1 0 0 1 endpmatrixt beginpmatrix 1 0 0 1 1 0 1 1 1 endpmatrix Logo o isomorfismo inverso é tal que T1beginpmatrix x y z endpmatrix beginpmatrix 1 0 0 1 1 0 1 1 1 endpmatrixbeginpmatrix x y z endpmatrix beginpmatrix x x y x y z endpmatrix logo temos que Tx y 2x y z x x y x y z Portanto aplicando T em x x y 2x y z vamos ter que Tx x y 2x y z x x x y x x y 2x y z x y z Que verifica que T1 é de fato o isomorfismo inverso procurado