Métodos de Energia - Teorema de Castigliano

Métodos de Energia– Teorema de Castigliano Alberto B. Vieira Jr. UFBA – Escola Politécnica Depto. de Construção e Estruturas ENG301 O que diz o Teorema de Castigliano ? R.: O Teorema de Castigliano diz que o deslocamento em um determinado ponto é igual à derivada parcial da Função Energia de Deformação em relação a um carregamento genérico aplicado naquele local, e diretamente relacionado ao deslocamento. C. A. Castigliano (1847-1884) Engenheiro e matemático italiano (Fonte: Commons Wikimedia) di = U Pi U = f (Pi, ..., Pn) Imagine-se, inicialmente, um elemento infinitesimal de força dPi aplicado em um ponto específico da estrutura (no caso, o ponto A): A B x y z . C 1,8 1,2 dPi dd A Pi dd A B x y z . C 1,8 1,2 dPi Pn A d A d B dW = dU = dPi×ddA 2 (Teorema de Clapeyron) Depois disso, são aplicadas, gradualmente, as forças reais ou efetivas Pi e Pn : U = f(Pi+dPi, Pn) = dPi×ddA 2 + dPi×dA + Pi×dA 2 Pi×dA 2 + . . f(Pi,Pn) f(Pi+dPi, Pn) U(Pi, Pn) U = f(Pi +dPi, Pn) = U(Pi, Pn) + U Pi dPi dPi×ddA 2 + dPi×dA + U(Pi, Pn) U = U(Pi, Pn) + Pi dPi Teorema de Castigliano U dPi×dA = Pi dPi dA = U Pi → Exemplo A B x y z . C (kN-m) 1,8 1,2 Pi Pn 5,0 7,0 dA = ? Determine, utilizando o Teorema de Castigliano, as flechas no ponto A, dA e no ponto B, dB Já se determinou, em exercício anterior, que, neste caso, a Função Energia de Deformação U, decorrente de flexão, é dada por: 1 .EI UAC = 4,5 Pi 2 + 3,888 Pi Pn + 0,972 Pn 2 M (kNm) ou (kJ) dA = U Pi 1 .EI = 9,0 Pi + 3,888 Pn Pi = 5,0 kN e Pn=7,0 kN 1 .EI → dA = 9,0×5,0 + 3,888×7,0 dB = U Pn 1 .EI = 3,888×Pi + 1,944×Pn → dB = 1 .EI 3,888×5,0 + 1,944×7,0 → dA = 72,2 . EI → dB = 33,0 . EI dB = ? A aplicação do Teorema de Castigliano desta forma direta pode ser extremamente trabalhosa no caso de haver um número maior de carregamentos, pela dificuldade em se obter, nesses casos, a Função Energia de Deformação. vA = -72,2 . EI vB = -33,0 . EI (*)Obs.: EIU [(kN)2m3] Forma modificada (e mais prática) de aplicação do Teorema de Castigliano d.i = U Pi Exemplo com o caso da Energia de Deformação U decorrente de flexão. = Pi M2 dx 2EI 0 L = Pi 0 L 1 2EI (M2) dx = Pi 0 L 1 2EI dx 2.M M → d.i = Pi 0 L 1 EI dx (M) M Caso nem o Módulo de Elasticidade E, e nem o Momento de Inércia I variem ao longo do trecho, d.i = Pi 0 L 1 E.I dx (M) M (*)Obs.: Atente-se para o fato de que a derivada parcial (da função que descreve o esforço solicitante, no caso, M) é em relação ao carregamento externo (Pi) diretamente relacionado ao deslocamento que se quer determinar (di), e não em relação a x ! Observações práticas quanto à utilização do Teorema de Castigliano A utilização do Teorema de Castigliano baseia-se na derivação da Energia de Deformação (forma direta) ou de esforços solicitantes (forma modificada) em relação a um carregamento P (ou M) diretamente relacionado ao deslocamento que se quer determinar. O carregamento P (ou M), então, precisa ser variável destas funções. Isso é feito de uma das seguintes formas: - Se já existe, no ponto em que se quer determinar o deslocamento, um carregamento com valor definido diretamente relacionado a esse deslocamento, substitui-se esse carregamento por um carregamento genérico P (ou M). No final, substitui-se, na expressão do deslocamento (que fica em função de P ou M), o valor real desse carregamento; - Se não existe, no ponto em que se quer determinar o deslocamento, um carregamento com valor definido diretamente relacionado a esse deslocamento, aplica-se nesse ponto um carregamento genérico P (ou M). No final, substitui-se, na expressão do deslocamento (que fica em função de P ou M), o valor zero para o carregamento; (*)Obs. 1: Às vezes o que se busca é justamente uma fórmula para o deslocamento. Nesses casos, a aplicação do Teorema de Castigliano é especialmente apropriada, pois resulta em uma expressão para esse deslocamento (apenas não será colocado um valor para o carregamento no final); (*)Obs. 2: Na determinação de incógnitas hiperestáticas, o que se substitui, no final, não é o valor do carregamento, e sim o valor do deslocamento nulo que se conhece, para determinação do valor do carregamento, que equivale à incógnita hiperestática. Observações práticas quanto à utilização do Teorema de Castigliano (cont.) A utilização do Teorema de Castigliano sempre pressupõe, então, trabalhar com um problema associado genérico. Às vezes se escolhe trabalhar com dois problemas simultaneamente: o problema real e um problema associado genérico, no qual o único carregamento será o carregamento genérico P (ou M), que será utilizado apenas para obtenção das derivadas dos esforços solicitantes em relação ao carregamento genérico. P 4,0 A B C D 9,0 Problema associado genérico 6,0 4,0 A B C D 9,0 Problema Real P A B C D Problema associado genérico ou 6,0 4,0 A B C D 9,0 Problema Real dB = ? + Fornece tanto as equações dos esforços solicitantes, como suas derivadas em relação a P. Fornece apenas as equações dos esforços solicitantes. Fornece apenas as derivadas dos esforços solicitantes em relação a P. Observações práticas quanto à utilização do Teorema de Castigliano (cont.) A opção por dois problemas (o problema real e um associdado com apenas uma carga, genérica), torna a utilização do Teorema de Castigliano muito semelhante à de outro método de energia, o Princípio dos Trabalhos Virtuais – PTV, também chamado Método da Carga Unitária. Nesse caso, porém a utilização, do PTV é mais direta, pois dispensa derivações. A semelhança entre os dois métodos relaciona-se ao fato de que a derivada de um esforço solicitante decorrente de um carregamento genérico, em relação a esse carregamento, equivale, numericamente, ao esforço solicitante produzido por uma carga unitária única. A B x 3,0 P M = -P×x dM = -x dP M = -MA dM = -1,0 dMA A B x 3,0 1,0 M = -1,0×x M = -x A B x 3,0 MA M = -1,0 A B x 3,0 1,0