Lista de Exercícios Resolvidos - Geometria Analítica - Superfícies - UFBA

1 Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática Departamento de Matemática Disciplina MAT AO1 Geometria Analítica Última atualização 2005 4ª Lista de Exercícios Superfícies 1 Determine as equações das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições a Centro no ponto C 4 2 3 e é tangente ao plano α 2x y 2z 7 0 b De diâmetro AB onde A6 2 5 e B4 0 7 c Centro na interseção de S x 4 z 1 com o eixo Oz e é tangente à reta r x 2y z 2 d O centro pertence à reta r X 2 0 0 t 0 0 1 t ℜ e é tangente aos planos α x 2z 8 0 e β 2x z 5 0 e O centro pertence a reta m X 0 2 0 t 1 0 0 t ℜ é tangente ao plano π x y 3 z 3 0 e à reta s X 0 1 3 h 0 2 1 h ℜ 2 Seja S uma superfície esférica de equação x y z 3x 7y 4z 3 0 Verifique a posição relativa dos pontos dados a seguir em relação a S interior exterior ou sobre S a O 0 0 0 b P 1 5 2 c Q 1 1 1 d R 0 2 1 3 Determine o raio e as coordenadas do centro do círculo que se obtém seccionando a superfície esférica S x y z 16 com o plano α x y z 1 0 4 Em cada item abaixo determine uma equação da superfície cilíndrica de diretriz C cujas geratrizes são paralelas à reta r Esboce essas superfícies c C 0 x 2 4z y2 e r 3 2 z 1 1 y x d C 0 y 0 y 4z z 4x 2 2 2 e r R t 2t 2 z t 1 y t x 5 Dada a superfície cilíndrica S determine em cada item uma equação da diretriz e a direção da geratriz Esboce as superfícies a S x 4 4y 3 16 0 b S y 4 y 4z 4 0 2 6 Em cada um dos itens abaixo determine uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva C em torno do eixo especificado Esboce a superfície 0 3 y 0 0 eixo s x 4 3 y 0 f C x 2 7 Mostre em cada um dos itens a seguir que a equação dada representa uma superfície de revolução e determine as equações do eixo de revolução e de uma geratriz num plano contendo o eixo Esboce a superfície a S x y 2z 0 b S 2x 2z y 8 0 c S e y z 0 d S x y z y 1 0 e S x 1 5 y 3 5 z 2 25 0 f S 4 x 2 y 4 4 z 1 16 0 8 Considere a superfície S x 2 y x z 4 z 6 0 a Determine uma equação da superfície simétrica de S em relação ao eixo Ox b Verifique se S é simétrica em relação ao plano y O z c Determine e identifique a interseção de S com os planos α x 2 e β z 4 9 Identifique e esboce cada superfície dada a seguir a S 16 x 9 y 4 z 144 0 b S x 2 2 y 0 c S 4 x 9 y 2 4 z 0 d S x y z 8 x 4 y 6 z 13 0 e S 36 x 16 y 9 z 144 0 f S 9 y x 9 0 3 g S 4 y 9 z 36 y 0 h S 4 y 9 x 36 z 0 i S x 4 x 4 y 16 z 12 0 j S 12 x 9 y 16 z 0 k S 9 x 4 y 36 z 36 x 8 y 72 z 32 0 l S 4 x 4 y 2 2 z 1 0 Respostas 1 a x y z 8 x 4 y 6 z 20 0 b x y z 2 x 2 y 2 z 59 0 c 9 x 9 y 9 z 1 8 z 4 0 d 5 x 5 y 5 z 20 x 110 z 481 0 ou 5 x 5 y 5 z 20 x 30 z 49 0 e x y z 5 x 4 y 1 ou x y z 4 y 1 2 a Interior a S b Exterior a S c Sobre S d Interior a S 3 Raio r 47 3 e centro C 13 13 13 4 a x 4 y 4 0 b 9 z 4 x 36 0 Sup Cilíndrica hiperbólica reta Sup Cilíndrica elíptica reta c y x 4 z 3x 2 0 d 4 x y z 2y 4 z 2y 0 4 Superfície cilíndrica parabólica oblíqua Superfície cilíndrica elíptica oblíqua e 2 x 3 z 6 0 5 Superfície cilíndrica elíptica reta Superfície cilíndrica parabólica reta 6 a x 2 y 2 z 1 0 b x y 2 z 1 0 5 Hiperbolóide de revolução de duas folhas Hiperbolóide de revolução de uma folha c y 10 4 x 4 z 0 d y 2 z 2 x 5 0 Superfície cônica de revolução Parabolóide de revolução esboço no sist Oxyz e 9 x 1 9 y 2 z 2 9 0 f x 4 y 3 4 0 Elipsóide de revoluçãoesboço no sist Oxyz Cilindro de revolução 7 a Eixo Oz e G 0 x 2z y bEixo Oy e G 0 x 8 2 y 1 z2 6 Superfície cônica de revolução Parabolóide de revolução c Eixo Ox e G 0 z e y x d Eixo Oy e G 0 x 1 y 2 z e Eixo s 0 2 z 0 3 y e G 0 2 z 25 3 5y 1 x 2 2 f Eixo s 0 1 z 0 2 x e G 0 2 x 16 1 4z 4 y 2 2 Hiperbolóide de revolução com duas folhas esboço no sist Oxyz Elipsóide de revoluçãoesboço no sist Oxyz 8 a x 2 y x z 4 z 6 0 b Não 7 c 1 P 2 x 5 z y2 Parábola com vértice em V205 c 2 H 4 z 14 2y 2 x 2 2 Hipérbole com centro em C204 9 a 16 x 9 y 4 z 144 0 b S x 2 2 y 0 Elipsóide Sup Cilíndrica parabólica reta c 4 x 9 y 2 4 z 0 d x y z 8 x 4 y 6 z 13 0 Superfície cônica de revolução Superfície esférica e S 36 x 16 y 9 z 144 0 f S 9 y x 9 0 8 Hiperbolóide de duas folhas Superfície cilíndrica hiperbólica reta g S 4 y 9 z 36 y 0 h S 4 y 9 x 36 z 0 Superfície cilíndrica elíptica reta Parabolóide hiperbólicosela i S x 4 x 4 y 16 z 12 0 j S 12 x 9 y 16 z 0 Elipsóide Parabolóide Elíptico k S 9 x 4 y 36 z 36 x 8 y 72 z 32 0 l S 4 x 4 y 2 2 z 1 0 9 Hiperbolóide de uma folha Parabolóide Hiperbólico sela Sistema Oxyz O421