Exercício 1 Resolvido-2022 1

Dentre os subconjuntos abaixo, identifique em cada caso se o subconjunto é uma base do subespaço do espaço vetorial indicado. B_1 = \{t - t^3, \ t + 4t^2 + 3t^3\} é base de U = \{p(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 \in P_3(\mathbb{R}); \ p(0) = 0 = p(-1) = 0\} B_2 = \{1 + t + t^3, \ t^2 - 5t^3, \ 2t + 2 + t^3\} é base de U = \{p(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 \in P_3(\mathbb{R}); \ 2a_0 - 3a_1 + 5a_02 + a_3 = 0\} B_3 = \{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\} é base de U = \{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R}); \ a_{21} = 0 = a_{12} = a_{11} - a_{12}\} B_4 = \{1 + 2t - 7t^3, \ -3t^2 + t + 5t^3, \ t + t^3\} é base de U = \{p(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 \in P_3(\mathbb{R}); \ a_3 = -9a_0 + a_1 + 8a_2 \} Sua resposta deve ser a soma dos índices dos subconjuntos que são bases, por exemplo, se você concluir que os conjuntos B_2 e B_3 são subespaços, sua resposta deve ser 2 + 8 = 10. Se nenhum dos conjuntos é base do respectivo subespaço vetorial, responda 0. Em M_2(\mathbb{R}) consideremos os subespaços vetoriais U_1 = \{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R}); \ a_{11} = 3a_{12}, \ a_{21} = 2a_{11} - a_{12} \ e \ a_{22} = -3a_{12} + a_{21} \}, U_2 = \{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\} e U_3 = \{A \in M_2(\mathbb{R}); A \text{ é simétrica}\}. Sendo k_1 = \dim U_1, k_2 = \dim U_2 e k_3 = \dim U_3, então: k = k_1^{k_2} + k_2^{k_3} + k_3^{k_1} é igual a: Seja U = \{(4, -3, 0, 3), (2, 4, -2, 2)\} \subseteq \mathbb{R}^4. Escolha o espaço vetorial W tal que \mathbb{R}^4 = U \oplus W. Escolha uma opção: O a. \qquad W = \{(8, -5, -1, 4), (2, 5, -5, 2)\}. O b. \qquad W = \{(2, -7, 2, 1), (4, -2, -1, 1)\}. O c. \qquad W = \{(6, 1, -2, 5), (4, -3, 2, 1)\}. O d. \qquad W = \{(2, -7, 2, 1), (4, -1, -4, 1)\}. O e. \qquad W = \{(6, 1, -2, 5), (0, 1, -3, 0)\}. Escolha a alternativa que associa corretamente como V (verdadeira) ou F (falsa) as seguintes afirmações na ordem em que aparecem. ( ) O conjunto das matrizes \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) tais que \( a = 2d \) não é um subespaço vetorial de \( \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) (matrizes quadradas reais de ordem 2). ( ) O conjunto de matrizes \( M = \left\{ \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -8 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \right\} \) é Linearmente Independente. ( ) Sejam \( X \) e \( Y \) conjuntos de vetores de um espaço vetorial \( V \) tal que \( \dim(V) = n \). Se \( \dim([X] + [Y]) = n \) então podemos concluir que \( [X] \cap [Y] = \{0_V\} \). ( ) O conjunto de vetores \( A = \{(-5, 0, 3), (0, 5, 2)\} \) forma uma base para o subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \) definido pelo conjunto \( \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 6x = 4y + 10z = 0\} \). ( ) Sejam \( U \) e \( W \) os subespaços vetoriais de \( \mathbb{P}_2 (\mathbb{R}) \) (espaço dos polinômios de grau menor ou igual a dois) gerados, respectivamente, por \( \{p_1 (t) = t^2 - 3\} \) e \( \{p_2 (t) = -t^2 + 3\} \). Assim, é correto afirmar que \( \mathbb{P}_2 (\mathbb{R}) = U + W \). Escolha uma opção: \( \bigcirc \) a. \( V - V - F - V - F \) \( \bigcirc \) b. \( F - F - F - V - F \) \( \bigcirc \) c. \( F - F - V - F - V \) \( \bigcirc \) d. \( V - V - F - V - V \) \( \bigcirc \) e. \( F - V - V - V - F \) Seja \( B' = \{(-1, -1, 2), \ (0, 1, 0), \ (1, 1, -1)\} \) base de \( \mathbb{R}^3 \). Determine: (a) \( M_{B}^{B'} \), a matriz mudança de base da base canônica \( B \) de \( \mathbb{R}^3 \) para a base \( B' \). (b) As coordenadas do vetor \( u = (13, 7, -6) \) em relação à base \( B' \). Em \( \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) consideremos os subespaços vetoriais \( U_1 = \left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \in \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}); \ a_{11} = 3a_{12}, \ a_{21} = 2a_{11} - a_{12} \ e \ a_{22} = -3a_{12} + a_{21} \right\}, \) \( U_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \right\} \) e \( U_3 = \left\{ A \in \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}); \ A \ e \ simétrica \right\} \). Sendo \( k_1 = \dim U_1, \ k_2 = \dim U_2 \ e \ k_3 = \dim U_3 \), então: \( k = k_1^{k_2^1} + k_2^{k_3^1} + k_3^{k_1^3} \) é igual a: 1) \beta_1 = \{ t - t^3 , t + 4t^2 + 3t^3 \} U = \{ p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) ; \ p(0) = 0 , \ p(-1) = 0 \} \bullet \ p(0) = a_0 \Rightarrow a_0 = 0. \bullet\ p(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 \Rightarrow 0 = -a_1 + a_2 - a_3 \Rightarrow a_2 = a_1 + a_3 Logo, \ p(t) = a_1 t + (a_1 + a_2) t^2 + a_3 t^3. \ E\ veja\ que \ a(t-t^3) + b(t+4t^2+3t^3) = (a+b)t + \frac{4b}{a_2}t^2 + \frac{3b-a}{a_3}t^3 \ \frac{a_1}{(a+b)+(3b-a)=4b } , \ \beta_1 \ e \ base \ de \ U. \beta_2 = \{ 1 + t + t^3 , t^2 - 5 t^3 , 2 t + t^2 + t^3 \} U = \{ p(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 \in \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) ; 2a_0 - 3a_1 + 5a_3 + a_3=0 \} \ a(1+t+t^3) + b(t^2 - 5t^3) + c(2t + t^2 + t^3) = = \ a_0 +(a+2c)t + (b+c)t^2 +(a-5b+c)t^3 =0 quando\ \ a=b=c=0 \ \ logo, \ \beta \ e \ L.I.. \ \ Ainda,\ 2a - 3(a+2c)+5(b+c)+(a-5b+c)= = 2a - 3a-6 c + 5 b +5c + a - 5b + c = 0 . Logo, \ \beta_2 \ e \ base \ de \ U . \beta_4 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \right\} \ e - U = \left\{ \begin{array}{r} a_{11} , a_{12}\\ a_{22} , a_{23} \end{array} \right\} \in M_2 (\mathbb{R}) ; \ a_{22} = 0 ; \ a_{22} = a_{11} - a_{12} \right\} V\ e\ que\ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \ logo \ \beta_4 \ não \ e \ base \ de \ U \ pois \ e - \ L.I \beta_8 = \{ 1 + 2 t - 7 t^3 , -3 t + t^2 + 5 t^3 , t + t^3 \} U = \{ p(t)=a_*+t+a_2 t^2+a_3 t^3\in\mathcal{P}_3 (\mathbb{R}); \ a_3 = - 9 a_0 +a_1 +8a_2 \} a(1+2t-7t^3)+b(-3t+t^2+5t^3) + c(t+t^3)= =a_* +(2a_3b+c)t \, \ \ +(b)t^2 +( -7a+5b+c)t^3 =0 quando \ a=b=c=0 \rightarrow \beta_8 \ e - L.I. Ainda, -\underline{g}_{a^*}+2a_{2}-3b+c\underline{\overline{}+8b}\underline{\overline{=\underline{-7a+5b+c}} logo, \beta_3\ e - base \ de \ U . Resposta: \ 1 + 2 + 8 = 11 . 2) \ U_1 = \left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{22} & a_{32} \end{bmatrix} \in M_2 (\mathbb{R}) ; \ \ a_{11} = 3a_{12} ; \ a_{32} = 2a_{11} - a_{12} \ \right\} \Rightarrow a_{21} = 2.3a_{12} - a_{12} = 5a_{12} \Rightarrow a_{22} = -3a_{12} + 5a_{12} = 2a_{12}. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \ a_{23} & a_{21} \end{matrix} \right]=a_{32} \begin{pmatrix}3&1 \ ^5&2\end{pmatrix} \Rightarrow, \dim \ U_1 =1=K_1 \ U_2=\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\} a\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -2 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & 0 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & -2 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} (a+c) & (b+c) \ (-b+ , +c - d) & -c\ 0\dim \ U_2=3=K_2 • U3 = { A ∈ M2(R) ; A é Simétrica } ⇒ A = A^t\n a = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right], A^t = \left[\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\right] ⇒ b = c\n Logo, A = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ b & d \end{array}\right] = a \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] + b \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] + d \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\n Logo, dim U3 = 3 = K3\n ⇒ K = K1^3 + K2^3 + K3^1 = 1^3 + 3^3 + 3^1 = 1 + 27 + 3\n Logo, K = 31 ← Resposta.\n 3) Para W⊕U = R⁴ devemos encontrar W={U,0} tal que:\ndet \left| \begin{array}{ccc} U1 & U2 & 0 \\ \end{array}\right| ≠ 0 , onde {U1, U2} = U.\n ⎛ 4 -3 0 3 ⎞\na) det ⎜ 2 4 -2 2 ⎟ = -120 ≠ 0 ,\n ⎝ 8 -5 -1 4 ⎠ logo, W = {(8,-5,-1,4),(2,5,-5,2)}\n Resposta A OBS Se Ᾱ1 = (4,-3,0,3) e Ᾱ2 = (2,4,-2,2) , temos:\n • (2,-7,2,1) = Ᾱ1 - Ᾱ2 por isso, b) e d) não podem ser W.\n • (6,1,-2,5) = Ᾱ1 + Ᾱ2 por isso, c) e e) não podem ser W.\n 4) \n [2d b] \n [c d] = d \left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right]c + b \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\n • (F) é subespaço vetorial.\n • (F) a\left[\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 3 & -8 \end{array}\right] + b\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right] + c\left[\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 2 & -4 \end{array}\right] + d\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{array}\right] =\n = [−2a + b − c + d 2a + 2b + 2c − 2d]\n [3a + 3b + 3c − 3d −8a + 4b − 4c + 4d]\n = [0 0]\n [0 0]\n\n⇒ a = -\frac{2(c-d)}{3} e b = -\frac{c-d}{3}\n\n logo M não é base pois é L.D. • (F) dim (W1+W2) = dim(W1) + dim(W2) — dim(W1 ∩ W2)\n Se V = R² e W1={(0,1), (1,0)} e W2={(1,1), (-1,-1) }, \n então [W1] ∩ [W2] = R² dim V = 2 , dim(W1 + W2) = 2.\n ≠ {0v}?\n • (V) a⋅(-5,0,3) + b⋅(0,5,2) = 0 ⇒\n (-5a, 5b, 3a + 2b) = 0 ⇒ a = b = 0\n logo, A é base com x = -5a, y = 5b,\n z = 3a + 2b.\n ⇒ 6x — 4y + 10z = -30a — 20b + 30a + 20b = 0.\n • (F) Logo que P2-P3 = P. Logo U + W ≠ P2(R).\n Resposta B. → F F F V F.\n 5) B’ = {(-1,-1,2), (0,1,0), (1,1,-1)}.\n a) Devemos encontrar a,b,c,d,e,f,g,h,i ∈ R tais que:\n • (1,0,0) = a⋅(-1,-1,2) + b⋅(0,1,0) + c⋅(1,1,-1)\n• (0,1,0) = d⋅(-1,-1,2) + e⋅(0,1,0) + f⋅(1,1,-1)\n• (0,0,1) = g⋅(-1,-1,2) + h⋅(0,1,0) + i⋅(1,1,-1) (1,0,0) = (-a+c, -a+b+c, 2a-c) logo {2a-c=0 => a=1 -a+c=1 logo c=1+a => c=2 => b=a-c=1-2=-1 => b=-1 (0,1,0) = (-d+f, -d+e+f, 2d-f) logo {2d-f=0 => d=0 logo f=d => f=0 -d+f=0 => e=1+d-f=1+0-0 => e=1 (0,0,1) = (-g+i, -g+h+i, 2g-i) logo {2g-i=1 => g=1 logo i=g => i=1 -g+i=0 => h=g-i=1-1 => h=0 Portanto, Mpβ' = | 1 0 1 | | -1 1 0 | | 2 0 1 | b) Se u=(13,7,-6) na base β então Mpβ' * u = upβ', ou seja, | 1 0 1 | | 13 | | 13-6 | | 7 | | -1 1 0 | * | 7 | = |-13+7| = |-6 | | 2 0 1 | |-6 | | 26-6 | | 20 | Portanto, upβ' = (7, -6, 20).