Exercício 2 Resolvido-2022 1

Considere o seguinte produto interno definido no espaço vetorial P_2(\mathbb{R}) (polinômios de grau menor ou igual a 2). ⟨p(t), q(t)⟩ = p(1)q(1) + p(-1)q(-1) + p(0)q(0) Determine o valor de a para que o conjunto B = \{1 + t + t^2, 4 - 5t^2, -4 + at - 4t^2\} seja uma base ortogonal de P_2(\mathbb{R}). Resposta: Seja T um operador linear de um espaço vetorial V, com \dim V = 14. Sabendo que \dim ( \ker(T) \cap \Im(T) ) = 4 e \dim ( \ker(T) ) = 5, se d_1 = \dim (\Im(T)) e d_2 = \dim ( \ker(T) + \Im(T) ), então d_1 \cdot d_2 é igual a: Resposta: Aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt à base ordenada B = [v_1, v_2, v_3] \subset \mathbb{R}^3, com v_1 = (-1, -1, 4), v_2 = (5, -3, 4) e v_3 = (-5, -2, 2), obtemos a base ortogonal B = [u_1, u_2, u_3]. Determine o vetor u_3. Escolha uma opção: a. \( u_3 = \left( \frac{9}{11}, \frac{38}{11}, \frac{9}{11} \right) \) b. \( u_3 = \left( \frac{20}{11}, \frac{16}{11}, \frac{31}{11} \right) \) c. \( u_3 = \left( \frac{20}{11}, \frac{49}{11}, \frac{31}{11} \right) \) d. \( u_3 = \left( \frac{9}{11}, \frac{27}{11}, \frac{9}{11} \right) \) e. \( u_3 = \left( \frac{20}{11}, \frac{5}{11}, \frac{31}{11} \right) \) Seja T : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 uma transformação linear dada por T(a, b, c, d) = (-2a + 4d, -a - 2b + 4d, -b + d, -a - 2b + 4d). Qual dos seguintes subespaços é igual a imagem de T? Escolha uma opção: a. \Im(T) = \{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4; 2a - 4b + 8c = 0, -b + d = 0\} b. \Im(T) = [(-1, 1, 1, 0), (-1, -1, 0, 1)] c. \Im(T) = \{(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4; -a - b + d = 0\} d. \Im(T) = \mathbb{R}^4 e. \Im(T) = [(-2, -1, 0, -1)] Seja T : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{P}_3 (\mathbb{R}) transformação linear, cuja matriz em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e de \mathbb{P}_3 (\mathbb{R}) é dada por \left[ T \right] = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 4 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & \kappa^2 - 2 \\ -4 & -1 & 3 \end{bmatrix}, \text{ com } \kappa \in \mathbb{R}. T é injetora se, e somente se, \kappa^2 \neq a, indique o valor de a. Se para todo \kappa \in \mathbb{R} a transformação T não é injetora, responda com o número 100. Resposta: Encontre a expressão da transformação linear T : \mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{P}_2 (\mathbb{R}) definida por T(1, 1, 1, 1) = 1 - 7t + 3t^2, T(0, 1, 1, -1) = 3 + t - t^2, T(0, 0, -1, 1) = -t + t^2 \quad \text{e} \quad T(0, 0, 0, -1) = 1 + 4t. Sejam \mathcal{B} = \left[ (2, 1, 2), (3, 1, 3), (1, 0, 0) \right] e \mathcal{B}' = \left[ (1, -1, 1), (1, 1, 0), (-2, 1, -1) \right] duas bases para o \mathbb{R}^3 e T(a, b, c) = (a + b - 3c, -a + 2b + c, a - 2c) uma transformação linear invertível. Calcule: 1. [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} 2. [v]_{\mathcal{B}}, \text{ sabendo que } [Tv]_{\mathcal{B}'} = (3, 3, -1) 1\nSeja:\np_1(t) = 1 + t + t^2\np_2(t) = 4 - 5t^2\np_3(t) = -4 + at - 4t^2\n\np_1(0) = 1 + 0 + 0 = 1\np_1(1) = 1 + 1 + 1 = 3\n\np_2(0) = 4 - 0 = 4\np_2(t) = 4 - 5 = -1\n\np_3(0) = 4 + 0 + 0 = -4\np_3(1) = -4 + a - 4 = a - 8\n\nB e uma base ortogonal\n\n{\langle p_1(t), p_2(t) \rangle = 0 \u2460\n\n\langle p_2(t), p_2(t) \rangle = 0 \u2461\n\n\u2460: 0 = \langle p_1(t), p_3(t) \rangle = p_1(1)p_3(1) + p_1(0)p_3(0) + p_1(1)p_3(t)\n= 3(a - 8) + 1(-4) + 1(-a -8)\n= 3a - 24 + 4 - a - 8\n= 2a - 36\n\n-> a = 18\n\n\u2461: 0 = \langle p_2(t), p_3(t) \rangle = p_2(1)p_3(1) + p_2(0)p_3(0) + p_2(1)p_3(-4)\n= -1(a - 8) + 4(-4) + (-1)(a - 8)\n= -a + 8 + 16 + 2 + 8 = 0\n\nResposta: 18 2\nT(V), ter T subespaco vetorial de V \n\ndim T(V) \cap \ker T + \dim (T(V) + \ker T) = \dim T(V) + \dim \ker T\n\n4 + d_2 = d_1 = 5\nd_1 - d_2 = -1\n\n\dim V = \dim \ker T + \dim T(V)\n\n14 = 5 + d_1 \Rightarrow d_1 = 9\nd_1 - d_2 = -1 \Rightarrow d_2 = 10\n\nd_1.d_2 = 9.10 = 90\n\nResposta: 90\n\n3\nV_1 = (-1, -1, 4)\nV_2 = (5, -3, 4)\nV_3 = (-5, -2, 2)\n\nU_2 = \frac{V_1}{||V_1||} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1+ 16}}(-1, -1, 4) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}(- \frac{\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{2 \sqrt{2}}{3})\n\nU_2' = V_2 - \langle V_2, U_1 \rangle U_1 = (5, -3, 4) - (-\frac{5\sqrt{2}}{6} + \frac{3\sqrt{2}}{6} + \frac{8\sqrt{2}}{3})(- \frac{\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{2\sqrt{2}}{3}) \n= (5, -3, 4) + \frac{7\sqrt{2}}{9}( - \frac{\sqrt{2}}{6}, -\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{2\sqrt{2}}{3})\n\n= (5, -3, 4) + \frac{7}{9}(\frac{7}{9} , \frac{7}{9} , -28\frac{7}{9})\n\n= (5, -3, 4) + \frac{7}{9}(\frac{7}{9} , -\frac{27}{9} , \frac{36 - 28}{9})\n\n= (\frac{45 + 7}{9} , -\frac{27 + 7}{9} , \frac{36 - 28}{9})=(\frac{52}{9}, \frac{20}{9}, \frac{8}{9}) \n\nU_2' U_2' = \frac{U_2'}{||U_2'||} = (\frac{52^2 + 400 + 64}{81})^{-\frac{1}{2}}(\frac{52}{9}, \frac{20}{9}, \frac{8}{9}) = \frac{81}{\sqrt{704 + 400 + 64}} \cdot U_2' =\n= \sqrt{\frac{81}{3168}} \cdot U_2' = \frac{81}{\sqrt{9.16.22}} \cdot U_2' = \frac{9}{12 \sqrt{22}} U_2' = \frac{3}{4 \sqrt{22}} U_2' = \n= \frac{3 \sqrt{22}}{88} \cdot (\frac{52 \sqrt{22}}{3.88}, \frac{20 \sqrt{22}}{3.88}, \frac{8 \sqrt{22}}{3.88})=\n= (\frac{13 \sqrt{22}}{66}, \frac{5 \sqrt{22}}{66}, \frac{\sqrt{22}}{33}) \n\nU_3' = V_3 - \langle V_3, U_1 \rangle U_1 - \langle V_3, U_2 \rangle U_2 \n= (-5, -2, 2) - 4) T(a, b, c, d) = (-2a + 4d, -a - 2b + 4d, -b + d, -d - 2b + 4d) 2(-2a + 4d) - 4(-a - 2b + 4d) + 8(-b + d) -4a + 8d + 4a + 8b - 16d - 8b + 8d = 0 -a - 2b + 4d) + (-a - 2b + 4d) = 0 Respuesta: a 5) T inyectiva ⟷ (T(v) = 0 ⇒ v = 0) Lije v ∈ ker T, v = (v1, v2, v3) Tv = 0 ⇒ | 1 4 5 | |v1| |0| | 4 -3 1 | |v2| = |0| | 2 1 k²-2 | |v3| |0| | 4 -1 3 | { v1 + 4v2 + 5v3 = 0 4v1 - 3v2 + v3 = 0 2v1 + v2 + (k²-2)v3 = 0 4v1 - v2 + 3v3 = 0 k² - 2 = -2v1 - v2 v3 k² = -2v1 - v2 + 2 k = √2 - 2v1 - v2/ v3 v3 (4) u_1 + 4u_2 + 5u_3 = 0 (I) 4u_1 - 3u_2 + u_3 = 0 (II) 4u_1 - u_2 + 3u_3 = 0 (III) 9u_1 + 0 + 9u_3 = 0 => u_3 = -u_1. 9u_1 + 0 + 9u_3 = 0 => u_3 = -u_1. II: 0 = 4u_1 - 3u_2 + u_3 = 3u_1 - 3u_2 => u_1 = u_2. III: 0 = 4u_1 - u_2 + 3u_3 = 4u_1 - u_1 - 3u_1 = 0 (redundant) I: 0 = u_1 + 4u_2 + 5u_3 = 5u_1 - 5u_2 = 0 (redundant) k = \sqrt{2 - \frac{2u_1}{u_3}, \frac{u_2}{u_3}} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{5} Resposta: \sqrt{5} 6) T(0,0,0,1,-1) = 1 + 4t => T(0,0,0,4) = -1 - 4t T(0,0,1,-4) = T(0,0,4,0) - T(0,0,0,1) -> T(0,0,1,0) = -1 + t^2 + (1 + 4t) = 1 + 3t + t^2 T(0,0,1,0) = -1 - 3t - t^2 T(0,1,0,0) = T(0,1,4,-1) - T(0,0,1,0) - T(0,0,0,4) = 3 + t - t^2 - (-1 - 3t - t^2) - (-1 - 4t) = 5 + 8t (5) T(1,0,0,0) = T(4,1,1,1) - T(0,4,0,0) - T(0,0,1,0) - T(0,0,0,1) = 1 - 7t + 3t^2 - (5 + 8t) - (-1 - 3t - t^2) - (-1 - 4t) = -2 - 8t + 4t^2 => T(x,y,z,w) = (2 - 8t + 4t^2)x + (5 + 8t)y + (-1 - 3t - t^2)z + (-1 - 4t)w (6)