Equivalência de Capitais e Cálculos de Juros

10052023 1 Equivalência de capitais Esse conteúdo permite transformar formas de pagamentos ou de recebimentos em outras equivalentes e consequentemente efetuar comparações entre alternativas Definição Dois ou mais capitais nominais com vencimento em prazos diferentes são ditos equivalentes quando para uma data focal à mesma taxa de juros e em idênticas condições produzem valores iguais Podem ser adotados nos regimes de juros simples utilizado para operações de desconto e composto para todas as demaiscomparações de capitais aplicações dívidas atualização de valores comparativo de investimentos 0 1 2 3 CE C1 C2 0 1 2 3 C1 C2 CE Data focal em t 0 Data focal em t 3 Data focal consiste na data considerada como base de comparação referência dos valores referidos a diferentes datas Mediante a aplicação da mesma taxa de juros fluxos de capitais somados igualamse na mesma data focal Equivalência de capitais juros compostos meses meses 10052023 2 Caso 1 Equivalência de dois capitais Dois ou mais capitais C1 e C2 com vencimentos para as datas t1 e t2 contados a partir de uma data focal t0 e considerada uma taxa de juros i são equivalentes se os seus valores atuais forem iguais ou seja 𝑉𝐹1 1 𝑖 𝑡1 𝑉𝐹2 1 𝑖 𝑡2 Normalmente por utilizarmos a data focal de hoje t0 precisamos trazer para o presente os valores a serem comparados Neste caso a fórmula a ser utilizada é a do Desconto Racional Composto que é a mesma da fórmula do capital inicial do juros compostos 𝑉𝑃 𝑉𝐹 1𝑖𝑛 𝐶𝑜 𝑀 1𝑖𝑛 Ex 1 Dados dois capitais que podem ser contas a receber opções de investimento financeiro nos valores de 1520816 e 1710711 com vencimento para 5 e 8 meses respectivamente verificar se são equivalentes na data de hoje considerada a taxa de juros de 4 am 1520816 1 004 5 1710711 1 004 8 1520816 121665 1710711 136857 12500 12500 Dados VF1 1520816 n1 5 i 4 am VF2 1710711 n2 8 Data focalreferência t 0 Diagrama do fluxo de caixa Cálculo R São equivalentes 10052023 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1710711 1520816 Ex1 Diagrama do fluxo de caixa CE VP meses 𝑉𝐹1 𝑉𝐹2 𝑉𝑃1 1 𝑖 𝑛 𝑉𝑃2 1 𝑖 𝑛 1520816 1 004 7 1710711 1 004 4 1520816 131593 1710711 116986 2001290 2001290 Ex1 continuação Caso quiséssemos comparar esses dois capitais para daqui a 12 meses a partir de hoje ficaria CE VF meses 10052023 4 Em juros compostos a equivalência de capitais se mantém para qualquer data focal escolhida Normalmente se utiliza a data do momento zero hoje por isso se utiliza mais a fórmula do Valor Presente x y 0 n meses 0 n meses 𝑥 1 𝑖 𝑛 y 𝑥 𝑦 1 𝑖 𝑛 Quando a data focal é no futuro aplicase a fórmula do Montante Quando a data focal é no presente t0 aplicase a fórmula do Valor Presente CE VF CE VP Ex2 A uma taxa de juros compostos de 2 am 150000 para daqui a três meses equivalem a quanto hoje 0 3 meses 150000 𝑉𝑃 150000 1 002 3 𝑉𝑃 150000 10612 𝑉𝑃 14134835 Um capital de 150000 para daqui a 3 meses é o mesmo que ter 14134835 pois caso aplicássemos hoje esse valor por 3 meses a taxa de 2 teríamos ao final do período o valor de 150000 Se alguém oferecer 140000 hoje a troca é vantajosa 10052023 5 EX3 João irá receber 6600 dentro de um ano como parte de seus direitos na venda de um barco Contudo necessitando de dinheiro transfere seus direitos a um amigo que os compra entregandolhe uma nota promissória no valor de 6000 com vencimento para 6 meses João fez bom negócio se a taxa de mercado for de 15 am 𝑉𝑃 6600 1 0015 6 𝑉𝑃 6600 10934 𝑉𝑃 603598 R Não são equivalentes Não é um bom negócio 0 6 12 meses VF VP Dados VF 6600 VP 6000 i 15 am n 6 Se VF VP são equivalentes Resolução Síntese Se você vai receber um determinado valor É mais vantajoso que seu VP seja maior que o VP alternativo Se você vai pagar um determinado valor É mais vantajoso que o VP seja menor que o VP alternativo 10052023 6 EX4 Um título de capitalização no valor nominal de 7000 com vencimento para 5 meses é trocado por outro com vencimento para 3 meses Sabendo que a taxa de juros corrente no mercado é de 3 am qual o valor nominal do novo título Dados VF1 7000 VF2 n 5 n 3 i 3 am Para serem equivalentes VP1 VP2 𝑉𝑃1 7000 1 003 5 𝑉𝑃1 603826 𝑉𝑃1 𝑉𝐹2 1 003 3 603826 𝑉𝐹2 1 003 3 𝑉𝐹2 603826 1 003 3 𝑉𝐹2 659817 Resolução Exercício Exerc1 Uma Nota Promissória NP cujo valor nominal é 50000 vence daqui a um mês O devedor propõe a troca por outra NP a vencer daqui a 3 meses Qual deve ser o valor nominal da nova NP para que os capitais sejam equivalentes à taxa de juros de compostos de 2 am 10052023 7 Caso 2 Valor atual de um conjunto de capitais Suponhamos que uma pessoa ou empresa tenha uma carteira de aplicações ou de títulos com datas de vencimento diferentes Essa carteira de valores nominais é um conjunto de capitais O conjunto pode ser caracterizado pelos valores nominais dos títulos e por suas datas de vencimento Uma questão normal é a de saber qual o valor da carteira ou conjunto de capitais em uma determinada data Para isto é necessário fixarse a taxa de juros i e a data focal Nestas condições o valor da carteira pode ser obtido descontandose os títulos para a data zero e somandose os valores obtidos VP 𝑉𝐹1 1𝑖 1 𝑉𝐹2 1𝑖 2 𝑉𝐹n 1𝑖 n O total obtido VP é o valor atual do conjunto de capitais na data zero É o valor atual desta carteira que é quanto ela vale nesta data focal Caso 2 Valor atual de um conjunto de capitais 10052023 8 Ex5 Admitamos o seguinte conjunto de capitais dispostos na tabela abaixo Considerando que a taxa de juros de 3 am qual é o valor atual desta carteira t 0 Capital Data de vencimento mês 100000 6 200000 12 500000 15 𝑉𝑃 1000 103 6 2000 103 12 5000 103 15 𝑉𝑃 1000 11941 2000 14258 5000 15580 𝑉𝑃 83748 140276 320931 𝑉𝑃 544955 Ex 5 Resolução Concluise que o valor de 544955 é o valor da carteira na data focal zero à taxa de 3 am 10052023 9 Ex6 Uma empresa prevê o pagamento de 2000 daqui a um mês 3000 daqui a dois meses e 5000 daqui a três meses Quanto deverá aplicar hoje a juros compostos de 15 am para fazer frente a essas despesas sobrando saldo nulo após o último pagamento 𝑉𝑃 2000 1015 1 3000 1015 2 5000 1015 3 𝑉𝑃 2000 1015 3000 10302 5000 10457 𝑉𝑃 197044 291206 478149 𝑉𝑃 966399 Exercício Exerc2 Uma TV é vendida à vista por 1500 ou então à prazo em 3 prestações mensais iguais sem entrada Qual o valor de cada prestação se a loja pretende ganhar 3 am no financiamento 10052023 10 Caso 3 Conjunto de capitais equivalentes Dizse que dois conjuntos de capitais são equivalentes quando fixada uma data focal e uma taxa de juros os valores atuais dos dois conjuntos forem iguais 𝑉𝑃1 𝑉𝐹1 1𝑖 1 𝑉𝐹2 1𝑖 2 𝑉𝐹n 1𝑖 n 𝑉𝑃2 𝑉𝐹1 1𝑖 1 𝑉𝐹2 1𝑖 2 𝑉𝐹n 1𝑖 n 𝑉𝑃1 𝑉𝑃2 EX7 Verifique se os fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes na data focal zero mediante o emprego de uma taxa igual a 8 am Conjunto 1 ou Fluxo de Caixa 1 Conjunto 2 Fluxo de Caixa 2 Capital Data de vencimento mês 86400 1 37791 3 42846 7 Capital Data de vencimento mês 81648 2 36733 5 74037 8 10052023 11 𝑉𝑃1 864 108 1 37791 108 3 42846 108 7 𝑉𝑃1 864 108 37791 12597 42846 17138 𝑉𝑃1 800 300 250 𝑉𝑃1 1350 𝑉𝑃2 81648 108 2 36733 108 5 74037 108 8 𝑉𝑃2 81648 11664 36733 14693 74037 18509 𝑉𝑃2 700 250 400 𝑉𝑃2 1350 Resolução Conjunto 1 Conjunto 2 EX8 um comerciante devedor de um empréstimo de 40000 para 3 anos deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais um no fim de 1 ano e outro no fim de 2 anos Sabendo que a taxa é de 40 aa calcule o valor desses pagamentos OBS mesma lógica do Ex4 mas agora com mais valores capitais Dados Conjunto 1 VF1 40000 n 3 i 40 aa 𝑉𝑃1 40000 1 04 3 𝑉𝑃1 1457726 𝑉𝑃1 𝑉𝑃2 Conjunto 2 VF2 n 1 VF3 n 2 VF2 VF3 10052023 12 𝑉𝑃2 𝑉𝐹2𝑉𝐹3 𝑉𝑃2 𝑉𝐹2 14 1 𝑉𝐹3 14 2 1457726 𝑉𝐹2 14 1 𝑉𝐹3 14 2 1457726 𝑉𝐹2 14 𝑉𝐹3 196 Duas formas de fazer i inverte os valores nos denominadores 1x Ou ii mínimo múltiplo comum 1457726 07143𝑉𝐹 05102𝑉𝐹 1457726 12245𝑉𝐹 𝑉𝐹 1457726 12245 𝑉𝐹 1190466 Continuação resolução Ex8 Exerc3 Um conjunto de dormitório é vendido em uma loja por 5000 a vista ou a prazo em dois pagamentos trimestrais iguais não se exigindo entrada Qual é o valor dos pagamentos se a taxa de juros considerada for de 8 at Exercício 10052023 13 Equivalência de capitais Juros Simples Segue a mesma lógica de resolução utilizada para juros compostos ou seja visa encontrar o valor presente de diferentes capitais e comparálos Dado que a operação em juros simples mais utilizada é o desconto comercial utilizaremos essa fórmula para encontrar o valor presente 𝑉𝑃 𝑉𝐹1 𝑖 𝑛 OBS Diferentemente dos juros compostos se mudarmos a data focal a equivalência de capitais não será mantida Desse modo em juros simples capitais equivalentes em uma data não serão em outra EX9 Verifique se as carteiras de títulos ou fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes usando o desconto comercial simples Considere a data focal zero e a taxa de juros de 4 am OBS mesma lógica do Ex7 mas com juros simples Período Valor Final 3 10000 5 5000 7 20000 9 30000 Carteira 1 Fluxo de Caixa 1 Período Valor Final 1 20000 7 25000 8 15000 Carteira 2 Fluxo de Caixa 2 Para serem equivalentes 𝑉𝑃1 𝑉𝑃2 𝑉𝑃11 𝑉𝑃12 𝑉𝑃13 𝑉𝑃14 𝑉𝑃21 𝑉𝑃22 𝑉𝑃23 VP1 VP11 VP12 VP13 VP14 VP2 VP21 VP22 VP23 10052023 14 Ex9 resolução 𝑉𝑃11 100 1 004 3 𝑉𝑃11 88 𝑉𝑃12 50 1 004 5 𝑉𝑃12 40 𝑉𝑃13 200 1 004 7 𝑉𝑃13 144 𝑉𝑃14 300 1 004 9 𝑉𝑃14 192 𝑉𝑃1 𝑉𝑃11 𝑉𝑃12 𝑉𝑃13 𝑉𝑃14 𝑉𝑃1 88 40 144 192 𝑽𝑷𝟏 𝟒𝟔𝟒 𝑉𝑃21 200 1 004 1 𝑉𝑃21 192 𝑉𝑃22 250 1 004 7 𝑉𝑃22 180 𝑉𝑃23 150 1 004 8 𝑉𝑃23 102 𝑉𝑃2 𝑉𝑃21 𝑉𝑃22 𝑉𝑃23 𝑉𝑃2 192 180 102 𝑽𝑷𝟐 𝟒𝟕𝟒 Achando o VP1 carteira 1 Achando o VP2 carteira 2 É muito frequente a necessidade de substituir um título ou mais por outro ou outros com vencimentos diferentes ou ainda saber se duas formas de pagamento são equivalentes Esses problemas estão ligados de modo geral à equivalência de capitais diferidos Capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes A solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data data de comparação e comparar os valores atuais dos títulos em questão nesta data Se resultar em igualdade então há equivalência de capitais 10052023 15 EX10 Quero substituir um título de 5000 com vencimento para daqui a 3 meses por outro com vencimento para daqui a 5 meses Sabendo que esses títulos podem ser descontados a taxa de 35 am qual o valor nominal comercial do novo título OBS Mesma lógica do ex4 mas com juros simples Dados VF1 5000 VF2 n 3 n 5 i 35 am Para serem equivalentes VP1 VP2 𝑉𝑃2 𝑉𝐹2 1 0035 5 Como 𝑉𝑃2 𝑉𝑃1 4475 𝑉𝐹2 1 0035 5 4475 𝑉𝐹2 0825 𝑉𝐹2 4475 0825 𝑉𝐹2 542424 𝑉𝑃1 5000 1 0035 3 𝑉𝑃1 5000 0895 𝑉𝑃1 4475 EX11 Queremos substituir dois títulos um de 5000 para 90 dias e outro de 12000 para 60 dias por três outros com o mesmo valor nominal vencíveis respectivamente em 30 60 e 90 dias Calcule o valor nominal comum sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3 am OBS mesma lógica Ex8 mas com juros simples Dados Conjunto 1 VF11 5000 n 3 VF12 12000 n 2 i 3 am Conjunto 2 VF21 n 1 VF22 n 2 VF23 N 3 VF21 VF22 VF23 Para serem equivalentes 𝑉𝑃1 𝑉𝑃2 𝑉𝑃11 𝑉𝑃12 𝑉𝑃21 𝑉𝑃22 𝑉𝑃23 10052023 16 Ex11 resolução 𝑉𝑃11 5000 1 003 3 𝑉𝑃11 4550 𝑉𝑃12 12000 1 003 2 𝑉𝑃12 11280 VP1 VP11 VP12 VP1 4550 11280 𝑽𝑷𝟏 𝟏𝟓 𝟖𝟑𝟎 Achando o VP1 conjunto 1 Achando o VP2 conjunto 2 𝑉𝑃2 𝑉𝑃21 𝑉𝑃22 𝑉𝑃23 𝑉𝑃2 𝑉𝐹21 1 003 1 𝑉𝐹22 1 003 2 𝑉𝐹23 1 003 3 𝑉𝑃2 𝑉𝐹21 097 𝑉𝐹22 094 𝑉𝐹23 091 𝑉𝑃2 097𝑉𝐹 094𝑉𝐹 091𝑉𝐹 𝑉𝑃2 282𝑉𝐹 Como 𝑉𝑃2 𝑉𝑃1 15830 282𝑉𝐹 𝑉𝐹 15830 282 𝑽𝑭 𝟓 𝟔𝟏𝟑 𝟒𝟖 Continuação resolução Ex11 10052023 17 Exerc4 Uma pessoa deseja trocar dois títulos um de valor nominal de 3000 e outro de 3600 vencíveis respectivamente dentro de 2 e 6 meses por um único título vencível em 4 meses Sendo a taxa de juros igual a 3 am qual será o valor do novo título Exercício