Rendas Certas e Anuidades: Conceitos e Cálculos

24052023 1 Rendas certas e anuidades Séries Uniformes Uma renda certa ou série uniforme corresponde a toda e qualquer sequência de entradas ou saídas de caixa com um dos seguintes objetivos i Amortização de uma dívida ii Capitalização de um montante Cálculo de prestações ou mensalidades Podese ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso sem que haja amortização que é o caso de aluguéis CÁLCULO DE VALOR PRESENTE VALOR ATUAL PV CÁLCULO DE VALOR FUTURO MONTANTE FV CÁLCULO DE ANUIDADES PARCELAS PMT NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS CÁLCULO DE TIR E VPL OUTRAS APLICAÇÕES COTIDIANAS Previdência Aposentadoria etc Aplicações 24052023 2 Há basicamente dois tipos de rendas ou séries de pagamentos a Rendas certas ou determinísticas São aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados não dependendo de condições externas Os diversos parâmetroscondições valor das parcelas prazo de duração taxa de juros são fixos e imutáveis São estudados pela matemática financeira b Rendas aleatórias ou probabilísticas Os valores eou as datas de pagamentos ou recebimentos podem ser variáveis aleatórias Ex seguros de vida o valor do seguro a receber e a data de recebimento é aleatória São estudados pela matemática atuarial Classificação das rendas certas ou séries 1 Quanto ao número de prestações Finitas Quando ocorrem durante um período determinado e tempo Infinitas ou perpetuidades isto é quando duram infinitamente 2 Quanto a periodicidade dos pagamentos Periódicas Quando pagamentosrecebimentos ocorrem em intervalos constantes Nãoperiódicas Quando pagamentosrecebimentos ocorrem em intervalos irregulares 3 Quanto ao valor das prestações Constante ou Uniformes Quando pagamentosrecebimentos são iguais Variáveis ou Não uniformes Quando pagamentosrecebimentos não são iguais apresentam valores distintos 4 Quanto ao prazo dos pagamentos Postecipadas Quando pagamentosrecebimentos iniciam após o final do primeiro período Antecipadas Quando o primeiro pagamentorecebimento ocorre na entrada no início da série 5 Quanto ao primeiro pagamento Diferidas ou com carência quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e a data de pagamento da primeira prestação Imediatas Não diferidas quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento 24052023 3 Quadroresumo tipos de série Quadroresumo tipos de série Modelo básico de rendasséries 24052023 4 Classificação das rendas certas ou séries Classificação das rendas certas ou séries 24052023 5 Classificação das rendas certas ou séries Definições rendas certas ou séries 24052023 6 Rendas certas imediatas postecipadas Fórmulas matemáticas derivação Rendas certas imediatas postecipadas Fórmulas matemáticas derivação 11 24052023 7 Derivação das fórmulas de séries ou valor das prestações a partir do Valor Futuro 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 11 Rendas certas imediatas postecipadas Fórmulas matemáticas derivação 12 24052023 8 Rendas certas imediatas postecipadas Fórmulas matemáticas derivação 13 EX1 João compra um carro que irá pagar em 4 prestações mensais de 262624 sem entrada As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2 am Perguntase o preço do carro à vista Resolução o preço do carro a vista corresponde à soma dos valores atuais das prestações na data focal zero calculados à taxa de 2 am OBS duas formas de fazer esse cálculo i utilizando equivalência de capitais atualização de um conjunto de capitais VP ou ii utilizando fórmula n 13 PMT 24052023 9 EX2 Um aparelho eletrônico está anunciado nas seguintes condições 1500 de entrada e 3 prestações mensais iguais de 122548 Sabendo se que o juro cobrado no comércio é de 25 am calcular o preço à vista EX3 Uma geladeira possui preço a vista de 800 podendo ser paga em 3 parcelas mensais e iguais sem entrada Sabendo que a taxa de juros praticada pela loja é de 5 am calcule o valor da prestação a ser cobrado pela loja EX4 Uma pessoa deposita 1000 mensalmente Sabendose que ela está ganhando 2 am quanto possuirá em 2 anos EX5 Uma pessoa deseja comprar um veículo por 40000 a vista daqui a 12 meses Admitindose que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em um CDB rendendo 22 am de juros compostos determinar quanto deve ser poupado mensalmente EX6 Um tapete persa é vendido por 3046187 Pode ser adquirido também por prestações mensais de 88571 a juros de 3 am Considerando essas informações qual será o número total de prestações a ser paga n 24052023 10 EX7 Um automóvel é vendido por 20000 a vista ou em 12 prestações mensais de 194974 Qual é a taxa de juros mensal que está sendo cobrada EX8 Um aparelho doméstico é vendido por 950 a vista podendo ser parcelado em 12 pagamentos mensais iguais e sem entrada sendo o valor de cada pagamento de 100 Qual a taxa de juros cobrada pela loja HP12c EX9 Uma loja anuncia a venda de um objeto por 600 a vista ou em 18 isto é com uma entrada e 8 parcelas mensais iguais de 8000 Qual a taxa cobrada pela loja HP12c Ex7 Calculando a taxa de juros usando interpolação linear em 5 passos Dados PV 20000 n 12 PMT 194974 i Fórmula 12 PV 𝑃V 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 1 𝑖 𝑛 20000 194972 1 𝑖 12 1 𝑖 1 𝑖 12 Passo 1 Encontrar o Fator de Valor Atual A com dados do problema 20000 194974 1 𝑖 12 1 𝑖 1 𝑖 12 102578 1 𝑖 12 1 𝑖 1 𝑖 12 A Fator de Valor Atual FVA i Tentativa e erro 24052023 11 Passo 2 utilizar fórmula auxiliar 1 para ter uma primeira aproximação de i 𝑖0 1 𝐴 𝐴 𝑛2 Podese utilizar gráfico para facilitar visualização 𝑖0 1 102578 102578 122 𝑖0 00975 00712 𝑖0 00263 FA1 Passo 3 utilizar fórmula auxiliar 2 para ter encontrar o A correspondente a primeira taxa aproximada i0 𝐴 1 1 𝑖n 𝑖 𝐴 1 1 0026312 00263 𝐴 107323 00263 𝐴 101775 Aqui temse para i0 263 então A 101775 FA2 24052023 12 Passo 4 encontrar novo par A e i utilizando fórmula auxiliar 2 OBS como a taxa calculada no passo 2 comparando no gráfico é superior do que queremos obter utilizase escolhese uma taxa menor agora Sugestão i 2 𝐴 1 1 𝑖n 𝑖 𝐴 1 1 00212 002 𝐴 1057 Aqui temse para i 200 então A 1057 Passo 5 utilizase interpolação linear usando a fórmula auxiliar 3 𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥0 𝑦 𝑦0 𝑦1 𝑦0 Dados x i y 102578 x0 20 y0 1057 x1 263 y1 101775 i 20 263 20 102578 1057 101775 1057 i 20 063 031 039 i 20 063 07949 𝑖 02 063 07949 𝑖 05008 20 𝑖 25008 FA3 24052023 13 Rendas certas antecipadas Fórmulas matemáticas derivação 21 Classificação das rendas certas ou séries 24052023 14 Rendas certas antecipadas Fórmulas matemáticas derivação 22 Rendas certas antecipadas Fórmulas matemáticas derivação 23 24052023 15 EX10 Um financiamento no valor de 12000 deverá ser amortizado mediante a cobrança de uma taxa de juros mensal de 5 am incidente sobre o saldo devedor Calcule o valor da prestação mensal se forem previstas 8 prestações com entrada EX11 A aquisição de um bem industrial deve ser financiada em 16 prestações mensais de 40000 que incluem juros calculados com a taxa de 248 am Determine o valor do principal desse financiamento no regime de juros compostos sabendo que a 1ª prestação ocorre no ato da realização da compra a título de entrada EX12 Quanto é preciso aplicar mensalmente num total de 48 prestações numa poupança para que possa resgatar 52800 no final do período à taxa de 4 am começando a aplicação agora EX13 Depositando mensalmente US 100 a partir de hoje em um fundo que rende 1 am quanto terei ao final do 20º mês 24052023 16 Rendas certas diferidas Fórmulas matemáticas derivação 31 Rendas certas diferidas Fórmulas matemáticas derivação 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑉𝑑 𝑖1 𝑖𝑚𝑛 1 𝑖𝑛1 Onde PVd Valor presente PMT Valor da Anuidade parcelatermo i taxa m número de períodos de carência n número de parcelas pagamentos ou recebimentos 32 24052023 17 Observações Em rendas diferidas não há necessidade de diferenciar se são antecipadas ou se são imediatas pela fórmula isso se faz pela atribuição do m número de períodos de carência Os montantes de rendas diferidas são calculados da mesma forma como são calculados os montantes das rendas não diferidas Em rendas diferidas se considera que durante a carência não há quaisquer pagamentosrecebimentos Havendo deve ser tratado como rendas variáveis Rendas certas diferidas Fórmulas matemáticas derivação EX14 Qual o valor atual de uma renda de 15 termos mensais de 70000 com 3 meses de carência à taxa de 15 am EX15 Uma dívida de 20000 deve ser amortizada com 6 pagamentos mensais Qual o valor desses pagamentos sendo a taxa de juros igual a 15 am e tendo havido carência de 2 meses 24052023 18 Séries Perpétuas Séries em que os pagamentosrecebimentos se estendem ad eternum Exemplo planos de aposentadoria que geram renda vitalícia ou títulos corporativos que pagam juros eternamente Só tem sentido calcular o valor atual uma vez que o Montante será infinito Para calcular o C0 PV de séries perpétuas utilizase a fórmula de Gordon 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 𝑖 41 Essa fórmula pode ser usada para se fazer uma avaliação rápida de imóveis Para tanto é necessário considerar a hipótese de que o imóvel tenha um horizonte de aproveitamento infinito e que renda um aluguel constante Nestas condições o valor do imóvel pode ser entendido como sendo o valor atual da soma dos alugueis descontados O desconto é a taxa de juros de mercado taxa que o investidor receberia caso optasse em aplicar no mercado financeiro ao invés de comprar o imóvel representa o custo de oportunidade EX16 Se um apartamento está rendendo um aluguel de 1000 por mês e se a taxa de juros da melhor aplicação em um banco for de 1 am qual seria uma primeira estimativa do imóvel 24052023 19 EX17 Uma empresa está pensando em emitir 600 debêntures que pagam juros anuais perpétuos no valor de R 8200 Sabendo que o custo de oportunidade dos recursos da empresa são iguais a 25 ao ano estime a Qual será o valor negociado de cada debênture b Quanto a empresa conseguirá captar EX18 Um plano de aposentadoria particular oferece a um cliente a possibilidade de comprar um certificado de investimento no valor de 156000 que permite ao titular receber rendimentos mensais ad eternum no valor de 4000 Sabendose que a taxa de juros associado ao risco dessa operação é de 28 aa Será um bom negócio a compra do título Séries perpétuas com crescimento Quando a série perpétua apresenta um crescimento homogêneo dos fluxos de caixa 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 𝑖 𝑔 Em que i taxa de juros da operação g taxa de crescimento dos fluxos de caixa OBS a taxa de juros i deve ser maior que a taxa de crescimento i g 42 24052023 20 EX19 As ações da empresa XYZ preveem pagar um dividendo igual a 040 por ação no próximo ano Sabese que historicamente os dividendos da empresa crescem a uma taxa igual a 2 aa e o custo do capital i da empresa é estimado em 16 aa Qual o valor da ação