Fundamentos da Matemática

Fundamentos da Matemática Fundamentos da Matemática A minha esposa Karyn Siebert A meus filhos Milagros André Matheus Nykolas e Kevyn iii iv Fundamentos da Matemática Título do original Fundamentos da Matemática Primeira Edição janeiro de 2008 Direitos exclusivos para língua portuguesa GEPEM UFT CAMPUS DE ARAGUAÍNA 5195 Pinedo Christian Quintana 1954 Fundamentos da Matemática Christian José Quintana Pinedo Uni versidade Federal do Tocantins Campus de Araguaína Curso de Ciências Habilitação plena em Matemática 2007 250 p il 297mm I Lógica matemática Christian Q Pinedo II Série III Título CDD 5195 ed CDU Araguaína TO 2007 SUMÁRIO Notações x Prefácio xi 1 LÓGICA MATEMÁTICA 1 11 EVOLUÇÃO DA LÓGICA 1 111 Introdução 1 112 Evolução da lógica 3 12 UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA 4 121 Lógica Indutiva 4 122 Lógica Dedutiva 5 123 O que a lógica não é 5 124 O que é a lógica matemática 5 13 ENUNCIADOS PROPOSIÇÕES 6 131 Noção de raciocínio 7 132 Noção de verdade 8 133 Enunciados abertos 10 134 Composição de proposições 10 135 Conectivos lógicos 11 136 Argumento Indutivo Dedutivo 16 137 Tabelaverdade de uma proposição composta 17 138 Construção de uma tabela verdade 17 Exercícios 11 23 14 TAUTOLOGIA 27 141 Tautologias elementares 29 142 Implicação lógica 31 143 Equivalência lógica 33 Exercícios 12 35 15 ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES 39 151 Propriedades da conjunção 39 152 Propriedades da disjunção 41 153 Propriedades da disjunção e conjunção 42 154 Método dedutivo 44 v vi Fundamentos da Matemática 155 Redução do número de conectivos 45 156 Princípio de dualidade 49 Exercícios 13 51 Miscelânea 11 55 2 TEORIA DA DEMONSTRAÇÃO 59 21 ARGUMENTO 60 211 Argumento Dedutivo Indutivo 60 212 Premissas 61 213 Inferência 62 214 Conclusão 62 215 A Implicação em detalhes 63 216 Validade de um argumento 64 217 Condicional associada a um argumento 67 218 Reconhecendo Argumentos 67 219 Argumentos consistentes fundamentais 68 22 INFERÊNCIA LÓGICA 69 221 Regras de inferência 69 222 Principais regras de inferência lógica 70 223 Verificação com o uso de tabelaverdade 74 224 Verificação sem o uso de tabelaverdade 75 Exercícios 21 77 23 DEMONSTRAÇÃO 81 231 Demonstrações diretas 82 232 Demonstrações indiretas 85 24 FUNÇÕES PROPOSICIONAIS 99 241 Função proposicional 99 242 Raiz de uma função proposicional 99 25 QUANTIFICADORES 100 251 Negação de quantificadores 102 252 Ambigüidades 104 Exercícios 22 105 Miscelânea 21 109 3 CONJUNTOS 111 31 ESTUDO AXIOMÁTICO DA TEORIA DE CONJUNTOS 112 311 Conceitos primitivos 115 312 Axioma de extensão 119 313 Axioma de especificação 120 314 Definições de classes 120 315 Conjunto Infinito 121 316 Classe Vazia Universal 122 Christian José Quintana Pinedo vii 317 Axioma do par não ordenado 123 318 Inclusão de conjuntos 124 319 Axioma das potências 126 3110 Conjunto Potência Disjunto 127 3111 Diagramas De VennEuler Linear 128 3112 Complemento de um conjunto 129 Exercícios 31 131 32 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 135 321 União de conjuntos 135 322 Interseção de conjuntos 137 323 Diferença de conjuntos 140 324 Diferença simétrica de conjuntos 142 33 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 143 331 Leis da álgebra de conjuntos 143 332 Princípio de dualidade 144 333 Família de conjuntos 145 334 Axioma das uniões 145 335 Operações generalizadas 147 336 Axioma do conjunto vazio 149 Exercícios 32 151 4 RELAÇÕES 155 41 OUTRAS CLASSES DE CONJUNTOS 155 411 Propriedade definida sobre um conjunto 156 412 Quantificadores 157 42 CONJUNTO PRODUTO 158 421 Par ordenado 158 422 Produto cartesiano 159 423 Diagonal de um produto cartesiano 161 424 Relações 161 425 Domínio e Imagem de uma relação 162 426 Diagramas de coordenadas 163 427 Gráfico de uma relação 164 43 TIPOS DE RELAÇÕES 164 431 Relação binária 164 432 Relação reflexiva 165 433 Relação simétrica 165 434 Relação antisimétrica 166 435 Relação transitiva 167 436 Relação de equivalência 167 437 Relação inversa 169 Exercícios 41 171 viii Fundamentos da Matemática 44 CLASSES DE EQUIVALÊNCIA 175 441 Conjunto quociente 175 442 Partição de um conjunto 176 45 APLICAÇÃO 177 451 Domínio e Imagem de uma aplicação 179 452 Axioma de substituição 179 453 Gráfico de uma aplicação 181 454 Definição formal de aplicação 182 455 Aplicação biunívoca sobrejetiva e bijetiva 182 456 Composição de aplicações 183 457 Imagem inversa de uma aplicação 185 458 Aplicação inversa 185 46 CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO 187 461 Conjuntos enumeráveis 188 462 Paradoxo de Cantor 190 Exercícios 42 191 Miscelânea 41 195 5 NÚMEROS NATURAIS 197 51 CONJUNTO INDUTIVO 198 511 Axioma de Infinitude 199 52 NÚMEROS NATURAIS 200 521 Indução matemática 202 522 Adição de números naturais 203 523 Relação de ordem em N 205 524 Multiplicação de números naturais 208 525 Potência inteira de um número natural 211 Exercícios 51 213 53 PROPRIEDADES ADICIONAIS EM N 215 531 Multiplicidade 215 532 Divisibilidade 215 533 Relação entre o mmc e mdc 221 534 Propriedades adicionais de divisibilidade 221 Exercícios 52 227 Miscelânea 51 230 6 OPERAÇÕES BINÁRIAS 233 61 RELAÇÃO DE ORDEM 234 611 Relação de ordem parcial 234 612 Relação de ordem total 235 62 LIMITES Superior Inferior 236 621 Supremo Ínfimo 236 Christian José Quintana Pinedo ix 622 Elementos Maximal Minimal 237 63 LEIS DE COMPOSIÇÃO 238 631 Lei de composição interna 238 632 Isomorfismo 239 633 Lei de composição externa 240 64 OPERAÇÕES BINÁRIAS 241 641 Operação binária univocamente definida 242 642 Sistema matemático 242 643 Classificação dos sistemas matemáticos 243 Exercícios 61 246 Índice 250 x Fundamentos da Matemática NOTAÇÕES Seção negação 135 conjunção 135 disjunção inclusiva 135 disjunção exclusiva 135 condicional 135 bicondicional 135 p1 p2 pn q argumento de premissas p1 p2 pn e conclusão q 214 quantificador universal 25 quantificador existencial 25 N conjunto dos números inteiros 311 Z conjunto dos números inteiros 311 Q conjunto dos números racionais 311 R conjunto dos números reais 311 C conjunto dos números complexos 311 classe vazia 316 U classe universal 316 inclusão de conjuntos 31 inclusão própria de conjuntos 31 PA conjunto potência de A 34 CUA complemento de A em U 326 união de conjuntos 36 interseção de conjuntos 37 diferença simétrica de conjuntos 324 A B produto cartesiano de A com B 42 R A B aplicação R de A em B 417 m n m divide n 532 m n m não divide a n 532 A B A isomorfo com B 632 PREFÁCIO Considerando que a matemática é uma ciência formal não empírica os fatores que incidem no problema do conhecimento para o aprendizado da matemática é muito complexo este tema na verdade é um dos grandes desafios para os pesquisadores da didática geral A maioria dos estudantes de todos os níveis do ensino dizem que aprender matemática é difícil não obstante poucas vezes buscase uma explicação do porque não aprendem as ciências exatas os alunos Os alunos não aprendem matemática porque não sabem relacionar conhecimentos que se ensinam na escola com os problemas que se apresentam na vida real Além disto a maioria dos estudantes optaram por aprender matemática pelo modo mecanicista que é o pior de todos os métodos Outro grave problema é que o aprendizado não é significativo Estas notas pretendem motivar aos estudantes para que com a ajuda da lógica matemática ele seja capaz de achar estes relacionamentos entre os diferentes esquemas do aprendizado e deste modo tenha uma boa estrutura cognitiva Uma inquietude bastante natural no aluno interessado em um curso de lógica matemática é a de aprender a demonstrar Porém demora em entender o que é uma demonstração em matemática isto se deve ao fato que o aluno não tem claro o que é demonstrar nesta ciência Somente tem a preparação regular na manipulação mecânica de alguns conceitos matemáticos o estudante carece de espírito analítico Confunde os desenvolvimentos formalistas mecanicistas e a memorização com o raciocínio correto Precisamente essa falta de espírito analítico é o que provoca um rechaço à análise de conceitos e métodos básicos da matemática como por exemplo o método da redução ao absurdo o conceito de limite e o principio da indução matemática Considero que se uma pessoa aprende lógica matemática saberá relacionar estes conhecimen tos com as outras áreas para deste modo criar conhecimento Esta obra representa o esforço de sínteses na seleção de um conjunto de notas de aula de xi xii Fundamentos da Matemática Fundamentos da Matemática I de um Curso de Licenciatura em Matemática sob a Lógica Matemática e Teoria de Conjuntos úteis quando um estudante começa a estudar esta ciên cia O objetivo deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa raciocinar matematicamente e interpretar a solução de sentenças matemáticas Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar os exercícios apresentados estão classificados de menor a maior dificuldade A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir minha experiência profissional durante muitos anos de exercício como Consultor em Matemática Pura e Aplicada assim como professor de Ensino Superior com atuação na graduação e pósgraduação da docência universitária Estas notas servem como prérequisito ao estudo de uma disciplina de estruturas algébricas onde os conceitos de grupos anéis e corpos são estudados desde um ponto de vista da teoria de conjuntos Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos leitores Christian Quintana Pinedo Pato Branco PR Janeiro de 2007 Nas questões matemáticas não se compreende a incerteza nem a dúvida assim como também não podese estabelecer distinções entre verdades médias e verdades de grau superior David Hilbert1 A Ciência pelo caminho da exatidão só tem dois olhos A Matemática e a Lógica De Morgan2 1O Ph Dr David Hilbert nasceu em Königsberg Prussia em 1862 foi matemático excepcionalmente abrangente e talentoso fez contribuições à lógica matemática à físicamatemática teoria da relatividade teoria cinética dos gases equações integrais etc Faleceu em Göttingen Alemanha em 1943 2Augustus De Morgan nasceu cego de um olho em Madras em 1806 era bastante versado em filosofia e história da matemática Escreveu sobre álgebra cálculo diferencial lógica e teoria das probabilidades Morgan faleceu em Londres em 1871 Capítulo 1 LÓGICA MATEMÁTICA Aristóteles Aristóteles nasceu em Estagira em 384 aC e faleceu em Calcis Eubea em 322aC Estudou com Platão durante vinte anos e lecionou na Academia que Platão fundou Depois de viajar por vários países voltou a Atenas onde abriu uma escola de Filosofia que competiu com seriedade e exito com a Academia de seu mestre Esteve bastante ligado com Alexandre o Grande 356 323 aC de quem havia sido conselheiro razão pela qual à morte de este teve que abandonar Atenas onde não pode mais ingressar Aristóteles representa o ponto máximo da ciência e filosofia clássica as quais contribuiu como pensador excepcional e como pesquisador audacioso e sistemático É daí que praticamente todas suas obras estão relacionadas com a ciência da natureza além da lóg ica da metafísica da ética da política da retórica e da poética algo assim como uma enciclopédia do saber de sua época 11 EVOLUÇÃO DA LÓGICA 111 Introdução Podemos pensar a lógica como o estudo do raciocínio correto O raciocínio é o processo de obter conclusões a partir de suposições ou fatos O raciocínio correto é o raciocínio onde as conclusões seguemse necessária e inevitavelmente das suposições ou fatos A lógica procura estudar as coisas da mente e não as coisas reais Por exemplo quando dize mos arcoíris bonito sol distante praia suave são classificações que damos às coisas Aplicamos lógica na filosofia matemática computação física entre outros Na filosofia para determinar se um certo raciocínio é válido ou não pois uma frase pode ter diferentes interpretações não obstante a lógica permite saber o significado correto Nas matemáticas para demonstrar teoremas e inferir resultados corretos que podam ser aplicados nas pesquisas Na computação para determinar se um determinado programa é correto ou não na física para obter conclusões de experimentos Em geral a lógica aplicamos nas tarefas do diadia 1 2 Fundamentos da Matemática qualquer trabalho que realizarmos tem um procedimento lógico A lógica é somente mais uma teoria do pensamento Aristóteles é considerado o criador da lógica porem o nome lógica veio bem depois No início ela não tinha um nome Para Aristóteles a lógica seria um modo a ser usado para as pessoas poderem raciocinar com segurança evitando errar Observe um exemplo da lógica dedutiva de Aristóteles Todo planeta é quadrado A Terra é um planeta Logo a Terra é quadrada É lógica dedutiva pelo fato que ao começar com algumas informações podese chegar a uma conclusão deduzir esta investigação é chamada de Silogismo Esta lógica não se preocupa com o fato de a Terra ser quadrada mesmo que se saiba que ela é redonda Pouco importa ela aceita a informação que lhe foi dada Mas exige que o raciocínio esteja correto Preocupase com a forma A B então B A Ela não presta atenção ao conteúdo A ou B podem ser planetas burros plantas etc Por isso esta lógica é formal de forma e dedutiva de dedução A nossa lógica formal dedutiva funciona assim a partir de uma seqüência de orações ver dadeiras chegamos a uma conclusão verdadeira a lógica sempre utiliza uma linguagem exata símbolos sinais Isso simplifica e facilita seu estudo Aristóteles também elaborou a argumentação lógica indutiva A baleia o homem e o cãozinho são mamíferos A baleia o homem e o cãozinho mamam Logo os mamíferos mamam Ou seja de enunciados singulares chegamos a um universal Mais tarde Bacon e Stuart Mill aprofundaram esses ensinamentos e dividiram a lógica em três áreas 1 Formal Aquela que acabamos de explicar 2 Transcendental Esta lógica estuda as condições que dão base ao nosso conhecimento Kant explicou que o intelecto tende a colocar todo em ordem cada tijolinho no lugar Aliás cada pessoa já possui uma lógica natural ao interpretar e classificar o que ela vivencia 3 Matemática Os filósofos desenvolveram a lógica matemática há pouco tempo Frege Peano Russell e outros Ela origina fórmulas de outras fórmulas é puro raciocinio São regras e mais regras inventadas como jogos de cartas Hegel no entanto achava que a lógica referiase ao pensamento e à realidade disse que todo o que é racional é real e todo o que é real é racional Christian José Quintana Pinedo 3 A lógica é uma ciência uma arte um jogo todo se passa como em um tabuleiro de xadrez Mas vejamos também um outro tipo de lógica a que considera a verdade o conteúdo Ela considera o desconhecido a dúvida a opinião a certeza É chamada de lógica material Ela não aceita o fato se alguém diz que a Terra é quadrada Temos alguns conceitos nesta lógica Ignorância é a falta do conhecimento Dúvida é a indecisão entre uma afirmação e uma negação Opinião é uma opção que envolve a dúvida Certeza é um firme apego à verdade A verdade pode gerar muita discussão e barulho Afinal como podemos saber o que é mesmo a verdade Os céticos por exemplo acham que não podemos afirmar nada pois todo é incerto Já quem segue o dogmatismo considera que a razão humana pode conhecer a verdade E há muitas outras posições sobre a verdade positivistas idealistas e outras O importante é saber que a verdade varia conforme os muitos sistemas filosóficos Isso pode ser poético Existem verdades e a lógica utiliza a que deseja utilizar A lógica material defende a verdade na qual acredita de perigos como o sofisma Sofisma é um raciocínio errado com a aparência de verdadeiro tem a intenção de conduzir ao erro observe o raciocínio Maria Alice é bonita Maria Clara é bonita Logo todas as Marias são bonitas Você já imaginou o que seria se não existisse lógica nas coisas Já imaginou se nada fizesse sentido Hoje a lógica é fundamental em nossa sociedade Dizemos que ela está na informática no ensino na matemática na medicina etc Logo o resumo de todo isto é que podemos considerar como sendo válida a seguinte definição Definição 11 Lógica Definese lógica como a ciência da argumentação prova reflexão ou inferência Ela lhe permitirá analisar um argumento ou raciocínio e deliberar sobre sua veracidade A lógica não é um pressuposto para a argumentação é claro mas conhecendoa mesmo que superficialmente tornase mais fácil evidenciar argumentos inválidos 112 Evolução da lógica 1121 Período Aristotélico 390 aC a 1840 dC A história da lógica tem início com o filósofo grego Aristóteles de Estagira 384 322 aC hoje Estavo na Macedônia Aristóteles criou a ciência da lógica cuja essência era a teoria do silogismo certa forma de argumento válido Seus escritos foram reunidos na obra denominada 4 Fundamentos da Matemática Organon Instrumento da Ciência Na Grécia distinguiramse duas grandes escolas de lógica a Peripatética que derivava da escola fundada por Aristóteles e a Estóica fundada por Zenão 326 264 aC A escola Estóica foi desenvolvida por Crisipo 280 250 aC a partir da escola Megária fundada por Euclides seguidor de Sócrates Segundo Kneale O Desenvolvimento da lógica houve durante muitos anos certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da lógica embora na verdade as teorias destas escolas fossem complementares Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 1716 merece ser citado apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX 1122 Período Booleano 1840 a 1910 Iniciase com George Boole 1815 1864 e Augustus de Morgam 1806 1871 Publicaram os fundamentos da chamada Álgebra da lógica respectivamente com Mathematical Analysis of Logic e Formal Logic Gotlob Frege 1848 1925 um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra Begriffsschrift de 1879 As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905 É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu Giuseppe Peano 18581932 e sua escola com Burali Forti Vacca Pieri Pádoa Vailati etc Quase toda a simbologia da matemática se deve a essa escola italiana 1123 Período Atual 1910 Com Bertrand Russell 18721970 e Alfred North Whitehead 18611947 se inicia o período atual da lógica com a obra Principia Mathematica David Hilbert 1862 1943 e sua escola alemã com Von Neuman Bernays Ackerman e outros Kurt Gödel 19061978 e Alfred Tarski 1902 1983 com suas importantes contribuições Surgem as lógicas nãoclássicas NCA da Costa Universidade de São Paulo com as lógicas paraconsistentes L A Zadeh Universidade de BerkeleyUSA com a lógica fuzzy e as contribuições dessas lógicas para a Informática no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas Especialistas Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em lógica englobam muitas áreas do conhecimento 12 UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA 121 Lógica Indutiva Útil no estudo da teoria da probabilidade não será abordada Christian José Quintana Pinedo 5 122 Lógica Dedutiva Que pode ser dividida em Lógica Clássica Considerada como o núcleo da lógica dedutiva É o que chamamos hoje de Cálculo de predicados de primeira ordem com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas Três princípios entre outros regem a lógica clássica Da identidade Da contradição e Do terceiro excluído os quais serão abordados mais adiante Lógicas Complementares da Clássica Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio Estas são lógica modal lógica deôntica lógica epistêmica entre outras Lógicas Nãoclássicas Assim caracterizadas por desconsiderar algum ou alguns dos princípios da lógica clássica Sendo estas lógica paracompleta e lógica intuicionista des consideram o princípio do terceiro excluído lógica paraconsistente desconsidera o princí pio da contradição lógica nãoalética desconsidera o terceiro excluído e o da contradição lógica nãoreflexiva desconsidera o princípio da identidade lógica probabilística lógica polivalente lógica fuzzy entre outras 123 O que a lógica não é Vale fazer alguns comentários sobre o que a lógica não é Primeiro A lógica não é uma lei absoluta que governa o universo Muitas pessoas no passado concluíram que se algo era logicamente impossível dada a ciência da época então seria sempre literalmente impossível Acreditavase também que a geometria euclidiana era uma lei universal afinal era logicamente consistente Mas sabemos que tais regras geométricas não são universais Segundo A lógica não é um conjunto de regras que governa o comportamento humano Pessoas podem possuir objetivos logicamente conflitantes Por exemplo Pedro quer falar com o Coordenador do Curso de Matemática O Coordenador é Carlos Logo Pedro quer falar com Carlos Infelizmente pode ser que Pedro também deseje por outros motivos evitar contato com Carlos tornando seu objetivo conflitante Isso significa que a resposta lógica nem sempre é praticável 124 O que é a lógica matemática Temse tentado caracterizar a matemática ao longo dos tempos quer quanto a seu conteúdo ou a sua forma e métodos acontece que a matemática constantemente está evoluindo com novas teorias assim é mais proveitoso caracterizar estes conhecimentos matemáticos quanto à natureza de seus conteúdos 6 Fundamentos da Matemática No inicio do século XIX tentouse caracterizar as matemáticas como uma ciência da quanti dade embora esta concepção ainda perdure na mente da maioria das pessoas esta errada Com o desenvolvimento de novas teorias como por exemplo Teorias algébricas ou de ordens estru turas topológicas a moderna teoria da medida a teoria dos conjuntos etc Todas estas novas teorias foram se impondo de modo natural de modo que a fines do século XIX muitas disciplinas matemáticas são denominadas pela idéia de estrutura de tal modo que desde que N Bourbaki 1 começou a publicar seu tratado Éléments de Mathématique em 1939 a matemática é concebida como a ciência das estruturas Os lógicos profissionais preferem desenvolver e aplicar a lógica matemática a definila mas quando instados encaram sua atividade como relativa essencialmente a um ou a outro dos aspectos seguintes Aspecto explicativo A lógica matemática é um sofisticado instrumento da análise e ulte rior formalização de fragmentos dos discursos coloquiais das ciências em particular na matemática competindo parcialmente com a lingüística geral Aspecto calculativo A lógica matemática considerada como instrumento do cálculo formal destinado a substituir a argumentação indutiva e formal que consiste na a Demonstração de uma proposição q a partir de certas hipóteses p b Não demonstração de q a partir de p c Indecibilidade do problema da demonstrabilidade de q a partir de p Os ramos da lógica matemática organizamse pelo seus aspectos em cinco ramos com suas especificações próprias interligados entre sim a saber i Teoria da demonstração ii Teoria dos conjuntos iii Teoria dos modelos iv Teoria da computabilidade v Lógica matemática intuicinistaconstrutivista 13 ENUNCIADOS PROPOSIÇÕES Todos nós usamos a lógica no diadia às vezes sem nos darmos conta disso Exemplo 11 Seu pai lhe diz Se você tirar dez em Física e Matemática lhe darei um presente Você sabe que não basta tirar dez apenas em Física ou apenas em Matemática Para ganhar o presente é necessário tirar 10 nas duas disciplinas Se por outro lado ele dissesse Se você tirar dez em Física ou Matemática lhe darei um presente aí bastaria tirar dez em uma das matérias 1Nicolas Bourbaki 1936 Seu nome está escrito em grego sua nacionalidade é francesa e sua história muito curiosa 9 É um dos matemáticos mais influentes do século XX existem muitas lendas sobre ele Christian José Quintana Pinedo 7 Esse foi um exemplo simples da utilização da lógica Muitos outros poderiam ser listados O que os matemáticos fizeram foi dar um aspecto matemático à lógica além de aprimorála Mas a idéia fundamental é antiga As pessoas em geral pretendem raciocinar agir logicamente no diadia nos estudos falando de política futebol de seus projetos ou do futuro da humanidade No entanto a lógica que fundamenta os raciocínios e as ações raramente é explicada ou submetida a críticas Ela é incorporada de forma inconsciente a partir sobretudo do aprendizado da língua natural e parece tão bem partilhado por todos que poucos se julguem carentes de lógica ou considerem necessário estudála Por outro lado é muito freqüente ouvirmos dizer que estudar matemática desenvolve o raciocínio lógico Apesar de esta relação não ser totalmente certa a percepção da estreita relação entre a matemática e lógica entre a lógica e linguagem entre a linguagem e o pensamento con tribui bastante para esclarecer muitas razões pelas quais estudamos certos assuntos sobre todo matemática Na linguagem natural utilizamos frases de vários tipos Declarativas Fredy é escritor Todos os gatos são pardos Existem estrelas maiores que o Sol Imperativas Segure firme Não faça isso Procure a entrada Interrogativas Quando será a prova de Fundamentos Quantos peruanos trabalham na Coordenação de Matemática Exclamativas Que loira bem gelada Parabéns a você Não serão objeto de estudo as sentenças imperativas interrogativas ou exclamativas 131 Noção de raciocínio A noção de raciocínio está presente em todos os estudos da lógica Freqüentemente quando falamos de lógica pensamos em razão Segundo a definição de nossa linguagem a razão é a faculdade que tem o ser humano de avaliar julgar e ponderar idéias universais 8 Fundamentos da Matemática Entendemos como raciocinar ao fato de utilizar da razão para conhecer para julgar da relação das coisas Assim raciocínio é o ato ou efeito de raciocinar O raciocínio argúi as premissas que inferem resultados exatos e coincidentes com elas e pretende no melhor dos casos ser o resultado de um processo orgânico de isso que chamamos cérebro humano 132 Noção de verdade O método que usamos para saber se uma situação é verdadeira é o que chamamos de linguagem veritativo é a parte da linguagem clássico que utiliza os termos de verdade falsidade etc Existe duvidas entre os mesmos especialistas quais as regras que devese utilizar em nossa própria linguagem Por isso não deveremos desvalorizar ou negar o critério que tem as pessoas em comum do conceito de verdade Ao perguntar a uma pessoa o que é verdade com certeza será uma pergunta bastante difícil de responder isto devido ao fato que o conceito de verdade é uma tarefa de análise filosófica e não de levantamento de dados Para a verdade não existe um critério geral que a obtenha como aplicável a todos os casos porém que são sempre parciais e confiáveis Estamos interessados somente na pergunta do verdadeiro aplicado a o que dizemos e não a objetos pessoas etc Deste modo a verdade sim podemos definila e teorizarla Não depende de conhecimentos necessários embora sim viceversa Definição 12 Enunciado Um enunciado é qualquer frase ou oração Exemplo 12 a A Lua é um satélite da Terra b 3 2 1 4 c x 3 5 d Sócrates é o mestre de Platão e 8 é um número primo f O rio Paraná Aqui estamos utilizando o conceito de identidade expresso pelo símbolo de igualdade isto é claro no exemplo b Nos enunciados a d e e o é não é predicativo como quando dizemos Sócrates é mortal mas sim um é idêntica a podendo escrever na forma a A Lua um satélite da Terra d Sócrates mestre de Platão e 8 um número primo 1321 Classificação da pergunta O que é verdade 1o Quais são os enunciados que são verdadeiros ou falsos Aqui os enunciados são os portadores da verdade Christian José Quintana Pinedo 9 2o Que têm que acontecer para que um enunciado seja verdadeiro Aqui se pede uma definição de um enunciado verdadeiro 3o Como temos certeza que o enunciado é verdadeiro Aqui se pergunta pelo conhecimento Perguntase como averiguar se um enunciado é ver dadeiro e onde o critério de verdade é um processo Em nossas investigações sobre a linguagem natural interessanos aquela que alcança uma compreensão mais clara de suas estruturas lógicas e traduzilas posteriormente para uma lin guagem matemática Consideremos inicialmente as frases declarativas já que elas podem ser classificadas como verdadeiras v ou falsas f estas sentencias na matemática são chamadas de proposição Definição 13 Proposição Proposição é todo enunciado que exprime um pensamento de sentido completo isto é aquele pensamento que admite um e somente um dos valores verdadeiro v ou falso f Concluise que as proposições devem satisfazer os dois princípios fundamentais 1 Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa 2 Uma alternativa não pode ser verdadeira e falsa As proposições denotamse com as letras minúsculas p q r s t também chamadas de variáveis proposicionais Exemplo 13 a p O número 2 é menor que 3 v b q 3 π v c r 7 1 2 4 5 f d s A Terra é uma estrela f e t Existem prefeitos que são honestos v Portanto as proposições são sentenças declarativas afirmativas expressão de uma linguagem da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa A lua é quadrada f A neve é branca v Matemática é uma ciência v Definição 14 Axioma Definese axioma como uma proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático 10 Fundamentos da Matemática A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes ax iomas Axioma 11 Do terceiro excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa isto é verificase sempre um destes dois casos e nunca um terceiro Axioma 12 Da não contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Assim a lógica matemática é bivalente 133 Enunciados abertos Se na proposição p 5 4 substituímos o número 5 pela letra x temos que a expressão x 4 o qual é chamado de enunciado aberto pois dependendo do valor numérico que assume a variável x podemos atribuir valores de verdade v ou falsidade f Exemplo 14 São enunciados abertos a x é primo de José b x y z c x 7 8 Observe que os enunciados abertos são de muita importância na matemática pois quase a totalidade de enunciados matemáticos problemas utilizam uma ou mais variáveis 134 Composição de proposições 1341 Proposição composta Ao utilizarmos a linguagem combinamos idéias simples ligamos proposições através de conec tivos que permitem obter outras proposições A composição de proposições consiste em dadas uma ou duas proposições obter uma nova proposição mediante o uso de palavras denominadas conectivos lógicos São conectivos lógicos as palavras e não ou se então se e somente se Uma proposição simples também é chamada de proposição atômica e as proposições com postas de proposição molecular O valor de verdade de uma proposição composta é determinado pelo valor de verdade de cada uma das proposições simples e de modo como elas estão ligadas pelo conectivológico para formar a proposição composta Os parênteses que servem para denotar o alcance dos conectivos são chamados de símbolos auxiliares Christian José Quintana Pinedo 135 Conectivos lógicos 1351 Negação Já dissemos que uma proposição p pode ser verdadeira ou falsa não havendo outra possibilidade Alfred Tarski foi um dos maiores lógicos de todos os tempos criador da teoria dos modelos moderna teoria semântica A negação de uma proposição p escrevese p e se lê não p ou é falso que p ou não é verdade que p é outra proposição que nega se cumpre a proposição p A negação de uma proposição não afirma que aconteça o contrário a Tabel a11 mostra o valor verdade para a proposição p p p v f f v Tabela 11 Negação da proposição p Exemplo 15 Suponha a proposição p 12 é um número ímpar logo a proposição p Não é verdade que 12 seja número ímpar Observe que p somente nega p e não afirma o oposto de aquilo que afirma p Exemplo 16 Suponha a proposição p Lima é a capital do Peru v p Lima não é a capital do Peru f p Não é verdade que Lima é a capital do Peru f Exemplo 17 Seja a proposição p Maria é bonita logo p Não é verdade que Maria seja bonita A proposição p não afirma que Maria seja feia pois do fato ser bonita ao fato ser feia existem outras possibilidades bonita feia outras possibilidades Discutir o seguinte exemplo Exemplo 18 Paradoxo 3 da frase Seja a proposição p Esta frase é falsa Se p é f então p Não é verdade que esta frase é falsa É uma frase verdadeira 12 Fundamentos da Matemática Se p é v então p Não é verdade que esta frase é falsa também é uma frase verdadeira Observação 11 a Negar uma proposição p não é apenas afirmar algo diferente do que p afirma ou algo com valor lógico diferente Por exemplo a proposição q Lima é a capital de Perú v não é a negação de p Brasília é a capital de Perú f b Sendo verdadeira uma proposição p a sua negação é falsa e viceversa como conseqüência a negação da proposição p afirma o mesmo que p isto é a negação da negação de p é logicamente equivalente a p Escrevemos p p lêse logicamente equivalente A tabelaverdade ao lado resume o afirmado p p p v f v f v f 1352 Conjunção Chamase conjunção das proposições p e q à proposição representada por p q cujo valor lógico é verdadeiro v somente quando as duas proposições p e q sejam ambas verdadeiras e é falsa f nos demais casos A notação p q se lê p e q e o valor lógico é definido pela seguinte tabelaverdade p q p q v v v v f f f v f f f f Tabela 12 Conjunção de p e q A Tabela 12 prevê todas as possibilidades para o valor lógico de uma proposição composta a partir dos valores lógicos das componentes e dos conectivos lógicos é chamada tabelaverdade da proposição composta O conectivo lógico traduz a idéia de simultaneamente É conveniente diferenciar entre o e que usamos na determinação da conjunção p e q o e na utilização da linguagem do diadia O mesmo texto permitira diferenciar um do outro Assim por exemplo quando se diz Seja a proposição p e q entendese claramente que o e está determinando sua função lógica no outro caso quando se diz Sejam as proposições p e q fazemos uso do e no sentido da linguagem do diaadia Exemplo 19 a Curitiba encontrase em São Paulo e São Paulo tem uma população predominantemente latina Esta proposição é falsa f pois as duas proposições simples são falsas Tratase de uma proposição composta falsa f uma vez que a primeira proposição é falsa independente do valor lógico da segunda proposição Christian José Quintana Pinedo 13 b Platão era grego e Pilatos romano Esta proposição é verdadeira v pois as duas proposições simples são verdadeiras Exemplo 110 Consideremos p 2 8 5 e q 8 6 então temos as quatro possibilidades 2 8 5 8 6 esta proposição composta é v 2 8 5 8 6 esta proposição composta é f 2 8 5 8 6 esta proposição composta é f 2 8 5 8 6 esta proposição composta é f 1353 Disjunção inclusiva Chamase disjunção das proposições p e q à proposição composta p q cujo valor lógico é falso f quando ambas as proposições p e q sejam falsas e nos demais casos é verdadeira v A notação p q se lê p ou q e o valor lógico é definido pela seguinte tabelaverdade p q p q v v v v f v f v v f f f Tabela 13 Disjunção inclusiva de p e q Mostrase na Tabela 13 todas as possibilidades de ocorrer na proposição composta p q Exemplo 111 Se p 4 7 11 e q 15 3 12 então temos as quatro possibilidades 4 7 11 15 3 12 esta proposição composta é v 4 7 11 15 3 12 esta proposição composta é v 4 7 11 15 3 12 esta proposição composta é v 4 7 11 15 3 12 esta proposição composta é f Discuta o seguinte exemplo Exemplo 112 Paradoxo da existência de Deus Mostre que Deus existe Demonstração Sejam as proposições p Deus existe e q esta frase é falsa logo p q Deus existe ou esta frase é falsa Suponhamos ao menos uma das proposições seja verdadeira logo a frase p q é verdadeira Para o caso que simultaneamente p e q sejam falsas então a frase p q é falsa Como q é falso então pela Tabela 13 segue que p q é verdadeira Portanto Deus existe 14 Fundamentos da Matemática Observação 12 Na linguagem do diaadia a palavra ou tem dois sentidos 1o p Mário é motorista ou professor 2o q Carlos é gaúcho ou paulista Da proposição p podemos obter as proposições Mário é motorista assim como Mário é professor podendo ser ambas verdadeiras então temos que Mário é motorista e professor Mas na proposição q temos as proposições Carlos é gaúcho e a outra Carlos é paulista sendo verdadeira somente uma de elas que exclua o valor verdade da outra não é possível ocorrer Carlos é gaúcho e paulista Na proposição p a disjunção é inclusiva e na proposição q a disjunção é exclusiva O símbolo indica o conectivo lógico exclusivo e sua tabelaverdade indicase na Tabela 14 p q p q v v f v f v f v v f f f Tabela 14 Disjunção exclusiva de p e q 1354 Condicional Chamase proposição condicional das proposições p e q nessa ordem à proposição composta p q cujo valor lógico é falso f quando p seja verdadeiro e q falso nos demais casos a proposição é verdadeira v p q p q v v v v f f f v v f f v Tabela 15 Condicional de p e q A notação p q se lê se p então q Seu valor lógico é definido pela tabela verdade 15 Na proposição p q a proposição p é chamada de antecedentehipóteses e a proposição q de conseqüente tese Exemplo 113 Sejam as proposições p 3 2 5 e q 3 5 então temos as quatro possibilidades Se 3 2 5 3 5 esta proposição composta é v Se 3 2 5 3 5 esta proposição composta é f Se 3 2 5 3 5 esta proposição composta é v Se 3 2 5 3 5 esta proposição composta é v Christian José Quintana Pinedo 15 As proposições condicionais são importantes na matemática e tem varias maneiras diferentes de enuncialas assim por exemplo p q podemos entender como uma das seguintes formas p implica q p é condição suficiente para q Para que p é necessário que q q é condição necessária para p Se p também q q cada vez que p q se p q sempre que p Toda implicação está associada a outras três proposições elas são a recíproca a inversa e a contrarecíproca Suponha temos a proposição composta p q Podemos obter outras proposições com postas relacionadas com p e q sendo estas de muita utilidade na teoria da demonstração Recíproca q p Inversa p q Contrarecíproca q p Exemplo 114 Escreva a recíproca a inversa e contrarecíproca de cada uma das seguintes proposições i Se 7 7 0 então 7 7 ii Se a termina em zero então a é múltiplo de 2 iii Se x y então x y é par Soluçãoi Temos p 7 7 0 e q 7 7 a proposição é da forma p q Recíproca Se 7 7 então 7 7 0 é da forma q p Inversa Se 7 7 0 então 7 7 é da forma p q Contrarecíproca Se 7 7 então 7 7 0 é da forma q p Soluçãoii Temos p a termina em zero e q a é múltiplo de 2 a proposição é da forma p q Recíproca Se a é múltiplo de 2 então a termina em zero Inversa Se a não termina em zero então a não é múltiplo de 2 Contrarecíproca Se a não é múltiplo de 2 então a não termina em zero Soluçãoiii 16 Fundamentos da Matemática Temos p x y e q x y é par Recíproca Se x y é par então x y Inversa Se x y então x y não é par Contrarecíproca Se x y não é par então x y 1355 Bicondicional Chamase proposição bicondicional das proposições p e q à proposição composta p q cujo valor lógico é verdade v quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e é falsa f nos demais casos A notação p q se lê p se e somente se4 q o valor lógico é definido pela seguinte tabela verdade Tabela 16 p q p q v v v v f f f v f f f v Tabela 16 Bicondicional de p e q Uma proposição bicondicional obtémse por definição como a conjunção de uma condicional e sua recíproca isto é p q é equivalente a p q q p 136 Argumento Indutivo Dedutivo Nosso principal objetivo será a investigação da validade de argumentos Argumentar é apresentar uma proposição como sendo uma conseqüência de uma o mais proposições Definição 15 Argumento Chamamos de argumento a um conjunto de proposições operadas por conectivos lógicos as quais uma proposição é a conclusão e as demais são premissas5 Isto é um argumento é constituído pelas proposições p1 p2 pn chamadas premissas nas quais nos baseamos segundo os conectivos lógicos para garantir uma proposição q chamada conclusão Os argumentos estão tradicionalmente divididos em dedutivos e indutivos Definição 16 Argumento dedutivo Dizse que um argumento é dedutivo quando sendo suas premissas verdadeiras a conclusão é também verdadeira Premissa Premissa Conclusão Todo homem é mortal João é homem João é mortal Esses argumentos serão objeto de estudo para a compreensão de teorias matemáticas 4A frase se e somente se é devida a A Tarski 5Cada uma das proposições de um silogismo que serve de base à conclusão Christian José Quintana Pinedo 17 Definição 17 Argumento indutivo Dizse que um argumento é indutivo quando a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão Premissa Premissa Conclusão É comum após a chuva ficar nublado Está chovendo Ficará nublado As premissas e a conclusão de um argumento formuladas em uma linguagem estruturada permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade 137 Tabelaverdade de uma proposição composta Dadas varias proposições p q r podemos combinalas pelos conectivos lógicos e construir proposições compostas tais como Pp q p p q Qp r p r r Rp r s p s r s p s Observação 13 1o Se você tiver n proposições simples o número de linhas que resultam de todas as combinações de verdade v e falsidade f é 2n Assim caso numa tabelaverdade estivermos trabalhando com três proposições simples então teríamos nessa tabelaverdade 23 8 linhas 2o Uma proposição composta também é chamada funçãoverdade 3o Se você tiver n proposições simples então existem 22n proposições compostas diferentes Por exemplo dadas as proposições p e q então podemos obter 222 24 16 proposições compostas diferentes a saber p q p q p q p q p p p p p p p q p q p q p q p q p q p p p p p p 138 Construção de uma tabela verdade Suponha temos a construir a tabelaverdade para a proposição Pp q p q logo teremos a considerar o seguinte roteiro da Tabela 17 a Formase em primeiro lugar o par de colunas correspondentes às duas proposições simples p e q coluna 1a b logo em seguida formase a coluna para q coluna 2a c depois formase a coluna para p q coluna 3a 18 Fundamentos da Matemática d finalmente a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta Pp q p q coluna 4a p q q p q p q v v f v f v f v v f f v f f v f f v v f 1a 2a 3a 4a Tabela 17 Também podemos considerar o seguinte roteiro Tabela 18 a Formamse as primeiras colunas correspondentes às duas proposições simples p e q coluna 1a b em seguida à direita traçase uma coluna para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que figuram na proposição composta dada colunas 2a 3a e 4a c logo em certa ordem completamse essas colunas escrevendo em cada uma delas os valores lógicos correspondentes no modo abaixo indicado coluna 5a p q p q v v f v v f v v f f v v v f f f v f f f v f f f f v v f 1a 5a 2a 4a 3a 2a Tabela 18 Os valores lógicos da proposição composta dada encontramse na coluna completada escrita por último 5a Exemplo 115 Construir tabelaverdade da proposição Pp q p q q p Solução Utilizando o roteiro sugerido temos p q p q q p v v f v v v f f v v v v f v v f f v v f f v f v v f f v v v v f f f f v f f f v f f v f 1a 4a 2a 3a 2a 5a 4a 2a 3a 2a Christian José Quintana Pinedo 19 Exemplo 116 Construir tabelaverdade da proposição Pp q p q p q Solução Utilizando o roteiro sugerido temos p q p q p q v v f v f v f v v v f v f v v f f f v v 1a 2a 1a Problema 131 Miguel Pedro e Humberto têm duas ocupações cada um motorista contrabandista pintor jardineiro barbeiro e músico Dados 1 O motorista ofendeu o músico rindo do seu cabelo comprido 2 o músico e o jardineiro só gostavam passear com Miguel 3 o pintor comprou do contrabandista um relógio da Suíça 4 o motorista paquerava a irmã do pintor 5 Pedro devia cinco mil reais ao jardineiro 6 Humberto venceu Pedro e ao pintor jogando xadrez Que ocupação tem Miguel Solução É melhor resolver considerando uma tabela com todos os dados de dupla entrada e descar tando possibilidades de não ocorrer X como mostramos a seguir Motor Músico Contra Barbe Jardine Pintor Miguel X X X Ok X Ok Pedro X Ok Ok X X X Humberto Ok X X X Ok X Observando o quadro concluímos que Miguel é o barbeiro Problema 132 Num determinado prédio existem 4 andares Ocupados por um advogado um construtor um contador e um dentista Há no prédio um condicionador de ar uma geladeira um rádio e 20 Fundamentos da Matemática um televisor Trabalha também o seguinte pessoal um sócio um encarregado de relações públicas atendente uma secretária e um officeboy Chamamse Alberto Benedito Camargo e David mas aqui não estão relacionados na ordem de profissões acima citada Sabendose que O que ocupa a 1o andar tem um officeboy no 3o andar existe um rádio o advogado e o construtor trabalham próximos o construtor nunca passa pelo andar do dentista mas Alberto tem que passar pelo andar de Benedito quando vai falar com a secretária David tem sua sala um andar depois do contador a sala onde tem a secretária fica acima da sala de Benedito e embaixo do que tem a geladeira o advogado possui um condicionador de ar na sala onde existe o televisor seu proprietário tem um encarregado de relações públicas que namora a secretária o construtor trabalha no andar embaixo do contador Quem é quem Solução Recomendase para a solução de problemas deste tipo uma tabela de dupla entrada como mostraremos a seguir Após da análise com os dados do enunciado chegamos à seguintes conclusão Andares Empregados Eletrônicos Profissão Nome 1o Officeboy Cond de ar Advogado Alberto 2o Encarregado Tv Construtor Benedito 3o Secretária Rádio Contador Camargo 4o Sócio Geladeira Dentista David Assim temos de acordo com a tabela completada acima Advogado de nome Alberto tem um office boy um condicionado de ar e ocupa a primeira sala O construtor tem um encarregado das relações públicas dispõe de Tv ocupa a segunda sala e seu nome é Benedito O contador tem uma secretária um rádio ocupa a terceira sala e seu nome é Camargo O dentista tem um sócio uma geladeira ocupa a quarta sala e chamase David Christian José Quintana Pinedo 21 Problema 133 Após lançar três dados sobre a mesa Rodrigo somou os números das suas faces superiores e encontrou o número 10 Em seguida ele multiplicou os mesmos 3 números e encontrou como resultado 30 Qual o produto dos números das faces inferiores desses dados Observação Num dado a soma dos números de 2 faces opostas é sempre igual a 7 Solução Como o produto dos 3 números das faces superiores é igual a 30 estes 3 números só podem ser 1 6 e 5 ou 2 3 e 5 já que 30 2 3 5 e que os números nas faces de um dado não são maiores que 6 Das 2 possibilidades que enunciamos apenas a que é composta pelos números 2 3 e 5 tem a soma dos 3 números iguais a 10 Encontrado que os números das faces superiores são 2 3 e 5 de imediato se chega aos números das faces inferiores 5 4 e 2 respectivamente Assim o produto procurado é 5 4 2 40 Problema 134 Mário mente as segundas terças e quartasfeiras e fala a verdade nos demais dias da semana Paula mente apenas as quintas sextas e aos sábados Num certo dia foram feitas as afirmações por Mário ontem foi meu dia de mentir por Paula ontem foi também meu dia de mentir Qual o dia da semana em que foram feitas estas afirmações Solução Note que se Mário e Paula fazem a mesma afirmação ou ambos falam a verdade ou ambos mentem ou um deles fala a verdade enquanto o outro mente Mas não há dia da semana em que ambos mentem o que nos leva a descartar esta hipótese Para ambos falarem a verdade o único dia possível de isso acontecer é no domingo já que nos outros dias da semana um dos dois ou Mário ou Paula mente Resta então que um falou a verdade enquanto o outro mentiu Mas se um deles falou a verdade quando disse que ontem foi dia de mentir então esse dia só pode ser quintafeira ou domingo Como já vimos que domingo é um dia impossível de ambas as afirmações ocorrerem o dia da semana em que foram feitas estas afirmações foi quintafeira Problema 135 A cada dois anos no período de 1858 a 1864 nasceu um compositor famoso Claude Debussy nasceu na França Gustav Mahler nasceu na Áustria Giacomo Puccini nasceu na Itália e Richard Strauss na Alemanha Debussy não era o mais velho Puccini era 2 anos mais velho que Mahler Strauss era mais novo que Debussy Descubra o ano no qual nasceu cada compositor Solução Antes de tudo vamos identificar as 3 afirmações que o enunciado nos trouxe i Debussy não era o mais velho ii Puccini era 2 anos mais velho que Mahler iii Strauss era mais novo que Debussy 22 Fundamentos da Matemática Por ii concluímos que Puccini nasceu e logo em seguida 2 anos depois veio Mahler Como Strauss era mais novo que Debussy iii mas Debussy não era o mais velho i Debussy não pode ter nascido antes de Puccini pois neste caso seria o mais velho de todos Dado isto a única alternativa que há é a seguinte primeiro nasceu Puccini em seguida Mahler depois Debussy e por fim Strauss Problema 136 Malba Than Três pessoas num bar fizeram uma despesa que importou em R9 00 para cada uma total izando R27 00 Todavia cada uma deu ao garçom R10 00 Por falta de troco este devolveu R5 00 Destes tiraramse R300 que lhe deram como gorjeta Então como sobraram R2 00 Solução Os R2 00 correspondem ao abatimento feito pelo garçom Problema 137 Três estudantes Alberto Bernardo e Carlos tem por namoradas a Ana Beatriz e Claudia não necessariamente nessa ordem Em uma festa à que assistiram estas seis pessoas compraram rifas de preços diferentes cada uma Cada pessoa comprou tantos boletos como reais gastou essa mesma pessoa por rifa Alberto comprou 23 rifas mais que Beatriz e Bernardo comprou 11 mais que Ana Cada homem gastou 63 reais mais que sua namorada Qual era o nome da namorada de cada um Solução Suponha um homem compra m boletos a m reais cada um logo ele gastou m2 reais De modo análogo suponha cada mulher compra n boletos a n reais cada um logo ela gastou n2 reais Da relação m2 n2 63 segue que mnmn 63 e como 63 163 321 79 pode acontecer m n 63 m n 21 m n 9 m n 1 m n 3 m n 7 De onde obtemos três pares de valores para m e n 32 e 31 12 e 9 por último 8 e 1 Como Alberto comprou 23 boletos mais que Beatriz e Bernardo 11 mais que Ana então Alberto 32 Ana 1 Bernardo 12 Beatriz 9 Carlos 8 Claudia 31 Portanto os casais são Alberto casado com Claudia Bernardo casado com Beatriz e Carlos casado com Ana Christian José Quintana Pinedo 23 Exercícios 11 1 Das frases seguintes assinale quais são proposições atribuindolhes o valor lógico corre spondente 1 Perú e Brasil 2 Brasil foi campeão mundial de futebol em 1982 3 As diagonais de todo paralelogramo são de comprimentos iguais 4 O triplo de 6 5 Que horas são 6 Todo quadrado é um retângulo 7 a b2 a2 b2 8 2 5 9 As diagonais de alguns paralelogramos são de comprimentos iguais 10 senx senπ 2 x 11 1 2 3 n nn 1 2 12 Quadrados e triângulos 13 0 5 e 5 são raízes da equação x3 25x 0 14 1 3 5 7 9 2n 1 n2 15 Todo triângulo é um polígono 2 Sejam as proposições p A vaca foi para o brejo q O boi seguiu a vaca Forme frases na linguagem natural que correspondam às proposições seguintes 1 p 2 q 3 p q 4 p q 5 p q 6 p q 7 p q 8 p q 9 p q 10 p q 11 q 12 p q 3 Considere as proposições p Esta frio q Esta chovendo Traduzir para a linguagem natural as seguintes proposições 1 p 2 p q 3 p q 4 p q 5 p q 6 p q 7 p q 8 p q 9 p q p 10 p q 11 q 12 p q 4 Considere as proposições p Pedro é alto q Pedro é jogador de basquete Escreva em forma simbólica cada uma das seguintes proposições 1 Pedro não é alto 24 Fundamentos da Matemática 2 Pedro não é jogador de basquete 3 Não é verdade que Pedro não seja alto 4 Não é verdade que Pedro é jogador de basquete 5 Pedro é alto e jogador de basquete 6 Pedro é alto ou jogador de basquete 7 Pedro é alto e não é jogador de basquete 8 Pedro não é alto e é jogador de basquete 9 Pedro não é alto ou não é jogador de basquete 10 Não é verdade que Pedro é alto e jogador de basquete 11 Não é verdade que Pedro é alto ou jogador de basquete 12 Não é verdade que Pedro não é alto ou não é jogador de basquete 13 Pedro não é alto nem jogador de basquete 5 Sejam p Londres é a capital da Inglaterra q A torre Eiffel situase em Londres r O meridiano de Greenwich passa por Londres Traduza para a linguagem natural cada uma das proposições abaixo e determine o respec tivo valor lógico 1 p 2 q r 3 p r 4 q 5 p q 6 q p 7 r 8 p r 9 q p 10 p q 11 q p 12 p q 6 Determine todos os valores lógicos para a proposição p q a partir dos valores lógicos de p e q 7 Construa a tabelaverdade para cada uma das seguintes proposições 1 p q 2 p q 8 Mostre que a proposição p q q é uma contradição 9 O verso da uma folha é a página oposta à que se observa Que página corresponde ao verso do verso da página que se observa 10 O avesso de uma blusa é o lado contrário ao que se vê O que é o avesso do avesso do avesso da blusa O que é o avesso do avesso da blusa 11 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas 1 Se x 0 então y 3 2 Se x y 6 então z 0 Christian José Quintana Pinedo 25 3 Se x 6 ou x 5 então x2 11x 30 0 4 Se x2 11x 30 0 então x 6 ou x 5 5 Se z 5 então x 1 e x 2 6 Se y 4 e x y então x 5 12 Determine a recíproca inversa e contrarecíproca de cada uma das seguintes proposições condicionais 1 Se v é paralelo a w então w é paralelo a v 2 Duas retas se interceptam se não são paralelas 3 Se o Oscar se licenciar ele vai procurar emprego ou inscreverse num curso de mestrado 4 Se a Virgínia se licenciar e se inscrever num curso de mestrado então a sua licenciatura não é de Matemática 5 Se a Virgínia se licenciar com boa média em Matemática ela vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado 6 Aprovar em Álgebra é uma condição necessária para o Belo se licenciar 7 Uma condição suficiente para um triângulo satisfazer o Teorema de Pitágoras é ser um triângulo retângulo 8 Uma condição necessária para dois triângulos serem semelhantes é que tenham lados iguais 9 Um triângulo é equilátero só se os seus três ângulos são iguais ou os seus três lados são iguais 10 Três pontos estão sobre a mesma circunferência só se não forem colineares 13 Quem tem olhos azuis Em um grupo de três pessoas duas delas tem olhos escuros e a outra olhos azuis as pessoas que tem olhos escuros mentem e a pessoa de olhos azuis sempre diz a verdade Em uma conversa cada uma diz Marta Eu tenho olhos azuis Clara Marta mentiu quando disse ter olhos azuis Rita Clara é quem tem olhos azuis 14 Assinale uma conclusão correta Uma pessoa pode ser boa ou ruim A mesma pessoa pode ser estudante ou trabalhadora Mas esta pessoa é estudante e ruim Logo esta pessoa não pode ser a Estudante e trabalhadora b Boa e trabalhadora c Trabalhadora e ruim 15 Três senhoras Dona Branca Dona Rosa e Dona Violeta passeavam pelo parque quando Dona Rosa disse 26 Fundamentos da Matemática Não é curioso que estejamos usando vestidos das cores branca rosa e violeta embora nenhuma de nós esteja usando vestido de cor igual a seu próprio nome Uma simples coincidência respondeu a senhora com o vestido violeta Qual a cor do vestido de cada senhora 16 Considere a Terra como uma esfera perfeita e imagine a menor corda de comprimento entorno do Equador Cortase essa corda em um ponto adicionese a ela um metro linear de corda e coloquea novamente entorno do Equador Existirá uma separação entre o Equador e a corda aumentada entorno de toda a Terra ver Figura 11 O Equador da Terra mede aproximadamente 40000 km Figura 11 Figura 12 Intuitivamente de quanto é essa separação aproximadamente Só se pede uma resposta aproximada segundo a intuição a Menos de 1mm b Entre 1mm e 2cm c Pouco mais de 15cm 17 Considere uma laranja e imagine a menor corda de comprimento entorno do equador da laranja Cortase essa corda em um ponto adicionese a ela um metro linear de corda e coloquea novamente entorno do equador Existirá uma separação entre o equador da laranja e a corda aumentada entorno de toda a laranja ver Figura 12 Intuitivamente de quanto é essa separação aproximadamente Só se pede uma resposta aproximada segundo a intuição a Mais de 60cm b Entre 60 cm e 19cm c Menos de 16cm 18 São apresentadas três caixas a você Somente uma delas contém ouro o outras duas estão vazias Cada caixa tem uma pista sobre seu conteúdo só uma mensagem está contando a verdade as outras duas estão mentindo Qual caixa tem o ouro O ouro não está aqui O ouro não está aqui O ouro está na segunda caixa Christian José Quintana Pinedo 27 14 TAUTOLOGIA Os conectivos lógicos do mesmo modo que servem para construir proposições compostas a partir de proposições simples também são utilizados para obter esquemas lógicos muito mas complexos a partir de proposições compostas Em geral é o conectivo de menor hierarquia logo seguem e esses conectivos tem a mesma hierarquia logo é o de maior hierarquia Porem cada conectivo pode ser de maior hierarquia quando o indica o parênteses de coleção Lembre que os parênteses servem para denotar o alcance dos conectivos Exemplo 117 Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada Na linguagem simbólica escrevemos p q p A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca Na linguagem simbólica escrevemos p q Dada uma proposição composta os valoresverdade de esta proposição são os que correspon dem aos valores do conectivo de maior hierarquia presente na proposição Exemplo 118 A fórmula p q r p q deve ser entendida como p q r p q Definição 18 Tautologia Chamase tautologia toda proposição composta quando depois de procurar a última coluna de sua tabelaverdade achamos somente a letra v De outro modo tautologia é toda proposição composta Pp q r cujo valor lógico sempre é verdade v quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p q r Exemplo 119 A proposição p p é tautologia p p p p v f v f v v Exemplo 120 Determine a tabelaverdade para a seguinte proposição Pp q p q q p Solução p q p q q p v v v f f v v v f v v v v v f v v f f v f f f f f v v f 1o 3o 2o 5o 4o 28 Fundamentos da Matemática Para obter a tabelaverdade seguimos o seguinte roteiro 1o Aplicamos o valorverdade da disjunção para as proposições p e q 2o Aplicamos a negação à proposição q 3o Aplicamos a valorverdade às colunas 1o e 2o 4o Escrevemos novamente valorverdade para a proposição p 5o Aplicamos o valorverdade da implicação às colunas 3o e 4o Observese nesta proposição composta que o conectivo da implicação é o de maior hierarquia e na 5a coluna todas as linhas tem o valorverdade v logo a proposição é uma tautologia Definição 19 Contradição Chamase contradição toda proposição composta quando depois de procurar a última coluna de sua tabelaverdade achamos somente a letra f De outro modo contradição é toda proposição composta Pp q r cujo valor lógico sempre é falso f quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p q r Portanto Pp q r é uma tautologia se e somente se Pp q r é uma contradição Exemplo 121 A proposição p p é uma contradição p p p p v f f f v f Exemplo 122 Determine a tabelaverdade para a proposição Pp p p p Solução p p p p v f v v v v v f f f f f v f 6o 1o 3o 2o 5o 4o Portanto a proposição Pp p p p é uma contradição Definição 110 Contingência Chamase contingência toda proposição composta quando depois de procurar a última coluna de sua tabelaverdade achamos uma mistura de linhas com a letra v ou f De outro modo uma contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição As contingências também são chamadas de proposições contingentes ou proposições indeterminadas Christian José Quintana Pinedo 29 Exemplo 123 Determine a tabelaverdade para a proposição Pp q r p q r Solução Observe que o conectivo de maior hierarquia é p q r p q r v v v v v f f v v f f v v v v f v v f f f v f f v f f v f v v v f f f f v f v f f v f f v v f f f f f f v f f v Portanto a proposição Pp q r p q r é uma contingência 141 Tautologias elementares 1 Leis da equivalência a p p reflexiva b p q q p simetria c p q q r p r transitividade 2 Lei do terceiro excluído p p 3 Lei do silogismo hipotético p q q r p r 4 Lei do silogismo disjuntivo p q p q 5 Lei do absurdo a q p p q b q p p q c q p q p q 6 Lei de não contradição p p 7 Lei comutativa 30 Fundamentos da Matemática a Para a conjunção p q q p b Para a disjunção p q q p c Para a bicondicional p q q p 8 Lei associativa a Para a conjunção p q r p q r b Para a disjunção p q r p q r 9 Lei distributiva a p q r p q p r b p q r p q p r 10 Leis de Morgan a p q p q b p q p q 11 Dupla negação p p 12 Adição p p q 13 Simplificação a p q p b p q p 14 Modus Ponens p q p q 15 Modus Tollens q p p q 16 Idempotente a p p p b p p p 17 Transposição ou de contraposição p q q p 18 Implicação material p q p q Christian José Quintana Pinedo 31 19 Equivalência material a p q p q q p b p q p q p q 20 Dilema construtivo p q r s p r q s 21 Dilema destrutivo p q r s q s p r 22 Exportação a p q r p q r b p1 p2 pn r p1 p2 pn1 pn r 142 Implicação lógica Definição 111 Dizemos que uma proposição Pp q r implica logicamente outra proposição Qp q r se sempre que Pp q r seja verdadeira v então Qp q r também é verdadeira v Exemplo 124 Sejam Pp q p q e Qp q p q temos que p q p q p q v v v v v f f v v v f f v v p q Pp q Qp q v v v v f f v v f f v Logo a proposição Pp q implica logicamente a Qp q Exemplo 125 Mostre que a proposição Pp q p p q implica logicamente à proposição Qp q p q Solução p q p p q p q v v v v v f f v v v f f v v p q Pp q Qp q v v v v f f v v f f v 32 Fundamentos da Matemática Exemplo 126 Determine se a proposição Rp q p q implica logicamente a proposição Sp q p q Solução p q p q p q v v v v v f f v v f f f v v p q Rp q Sp q v v v v v v f f v v f f f f v v v Observe a terceira linha da tabelaverdade a verdade de Rp q não implica a verdade de Sp q Portanto a proposição Rp q não implica logicamente a proposição Sp q Propriedade 11 A proposição Pp1 p2 pn implica logicamente a proposição Qp1 p2 pn se e somente se a condicional Pp1 p2 pn Qp1 p2 pn é tautologia Demonstração Condição necessária Se Pp1 p2 pn implica logicamente a proposição Qp1 p2 pn então não ocorre que os valores na mesma linha da tabela verdade sejam simultaneamente v e f nessa ordem logo a valor verdade na coluna da tabela da proposição Pp1 p2 pn Qp1 p2 pn somente é v assim esta condicional é tautologia Condição suficiente Se a condicional Pp1 p2 pn Qp1 p2 pn é tautologia isto é na última coluna de sua tabelaverdade temos somente a letra v então não ocorre que os valores si multâneos correspondentes à mesma linha sejam v e f nessa ordem Portanto a proposição Pp1 p2 pn implica logicamente Qp1 p2 pn Exemplo 127 Mostre que a proposição p implica logicamente a proposição q em cada um dos seguintes casos a p π 2 q tan π 6 3 3 b p senπ 3 3 2 q 8 3 2 c p 12 é múltiplo de 4 q 6 é divisível por 2 Soluçãoa b c A proposição p é verdadeira q verdadeira logo p q é verdadeira assim p implica logica mente a proposição q Christian José Quintana Pinedo 33 143 Equivalência lógica Definição 112 Dizemos que uma proposição Pp q r é logicamente equivalente a outra proposição Qp q r se a tabelaverdade destas duas proposições são idênticas Indicase que a proposição Pp q r é equivalente à proposição Qp q r com a notação Pp q r Qp q r Observe que no caso das proposições Pp q r e Qp q r ambas serem tautologias ou contradições então são equivalentes Exemplo 128 As proposições Pp q p p q e Qp q p q são equivalentes Com efeito observe a tabelaverdade p q p p q p q v v v v v f f f f v v v f f v v Exemplo 129 As proposições Rp q p q e Sp q p q q p são equivalentes Observe a tabelaverdade p q p q p q q p v v v v v f f f f v f f f f v v Logo as proposições Rp q e Sp q são logicamente equivalentes Exemplo 130 Consideremos a proposição p q assim como sua recíproca q p sua inversa p q e sua contrarecíproca q p Da seguinte tabelaverdade p q p q q p q p p q v v v v v v v f f f v v f v v v f f f f v v v v Podemos observar que as proposições p e q p são logicamente equivalentes assim como as proposições q p e p q 34 Fundamentos da Matemática Exemplo 131 Suponha estamos a demonstrar que Se x2 é número ímpar então x é número ímpar Podemos considerar a proposição p x2 é número ímpar e q x é número ímpar então temos que verificar a validade da proposição p q De o fato serem as proposições p q e q p logicamente equivalentes será suficiente mostrar que Se x não é número ímpar então x2 não é número ímpar Definição 113 a Chamase negação conjunta das proposições p e q à proposição p q e denotamos p q b Chamase negação disjunta das proposições p e q à proposição p q e denotamos p q Da Definição 113 resulta que a p q p q e b p q p q Exemplo 132 Determine a tabelaverdade da proposição p q p q Solução p q p q p q v v f v f v f f v v f v f v v f f v f v 1o 20 1o Pequeno dicionário de heurística Analogia É uma espécie de semelhança Objetos semelhantes coincidem uns com os outros em algum aspecto objetos análogos coincidem em certas relações de suas respectivas partes Considere a incógnita Este é um velho conselho Corresponde ao ditado latino respice finem isto é olhe para o fim Condicionante È uma das principais partes de um problema a demonstrar Corolário É um teorema que se demonstra facilmente pelo exame de outro teorema que se acaba de demonstrar A palavra é de origem grega e sua tradução mais literal seria galardão ou recompensa Decomposição Decompõese o todo em suas partes e recombinamse as partes num todo mais ou menos diferente Christian José Quintana Pinedo 35 Exercícios 12 1 Analisar os seguintes enunciados e 1 Determine quais são proposições 2 Determine quais são enunciados abertos 3 Determine quais não são nem proposições nem enunciados abertos 4 Determine o valor verdade das proposições a 7 12 19 b Você é estudante de matemática c 15 4 d x 4 10 e Cantor revolucionou o pensamento matemático f x 2 8 g Cantor Burali Forti e B Russell estudaram o problema dos paradoxos na matemática h x y 2 i x é engenheiro j Pedro é engenheiro ou Pedro é matemático k x 2 5 se e somente se x 4 l Escute com atenção m Todo retângulo é um quadrado 2 Sejam as seguintes proposições p 35 5 e q 83 5 Traduzir para a linguagem do diaadia as seguintes proposições 1 p 2 p q 3 p q 4 q q 5 p q 6 p q 7 p q 8 p q 9 p q p 3 Considere as seguintes proposições p Jorge é médico q Jorge é dentista r Pedro é engenheiro 1 Escrever cada uma das seguintes proposições em forma simbólica a Jorge é médico e Pedro é engenheiro b Se Jorge é médico ou Pedro é engenheiro então Jorge não é dentista c Jorge não é médico porem Pedro não é engenheiro d Se Pedro é engenheiro e Jorge não é dentista então Jorge não é médico 2 Escrever em forma de oração o significado das seguintes proposições 36 Fundamentos da Matemática 1 p q 2 p q r 3 p q 4 r p q 5 p q p q 6 p p q 4 Para cada uma das seguintes proposições elimine os parênteses segundo as convenções 1 p q p r 2 p q r s 3 p q r s p q 4 p q r s p r 5 Verificar quais as fórmulas é tautologia contradição ou contingência 1 p p q 2 p q q r p r 3 p q q p 4 p p q 5 p q p q 6 p p q 6 Sejam as proposições p Pedro é rico e q Fredy é feliz Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições 1 p q 2 p q 3 p q 4 q p 5 q 6 p q 7 p p q p 8 p q p 9 p q p q 7 Verificar as seguintes tautologias 1 p p p 2 p p 3 p q r p q r 4 p q p q 5 p p p 6 p q r p q r 7 p p q p 8 p q p 9 p q p q 10 p p q p 11 p p r 12 p q r p q p r 13 q p p q 14 p q q 15 p q r p q p r 8 Verificar se o conjunto de proposições da cada item é tautologia 1 Pedro é bom e Pedro é ruim acarreta que Paris é a capital de Chile Brasília é a capital do Brasil ou Brasília não é a capital de Brasil 2 Se Alberto é materialista Alberto é ateu Se Alberto é ateu então Alberto é material ista 3 Se João não encontrou Pedro ontem então ou Pedro é o assassino ou João morreu Se Pedro não é o assassino então João não encontrou Pedro ontem e o assassinato foi à meia noite Se o assassinato foi à meia noite então Pedro é o assassino ou João morreu Pedro é o assassino 9 Mostre que se p e p q são tautologias então q é tautologia Sugestão Supor que q não seja tautologia Christian José Quintana Pinedo 37 10 Mostre que 1 q implica logicamente p q 2 q implica logicamente p q p 3 p q não implica logicamente p q 4 p não implica logicamente p q 5 p q não implica logicamente p 11 Mostrar que x y x 4 x 4 x y 12 Mostrar que x 0 x y x y x 0 13 Mostre que as proposições p e q são equivalentes em cada um dos seguintes casos 1 p 2 6 8 q 2 62 64 2 p senπ 2 1 q cos π 2 0 3 p 30 1 q π 4 4 p x é ímpar q x 2 é ímpar6 5 p a b q b a 6 p ab q ba 7 p O triângulo ABC é retângulo em A q BC 2 AB 2 AC 2 14 Exprimir a bicondicional p q em função dos conectivos lógicos e 15 Mostre mediante tabelaverdade as seguintes equivalências lógicas 1 p p q p 2 p p q p 3q p q p q 4 p q p r p q r 5 p q p r p q r 6 p p q p q 16 Mostre que as proposições x 5 x 3 e x 3 x 5 não são equivalentes 17 Prove que os três conectivos e podemos escrever em função do conectivo do seguinte modo 1 p p p 2 p q p q p q 3 p q p p q q 18 Prove que os três conectivos e podemos escrever em função do conectivo do seguinte modo 1 p p p 2 p q p p q q 3 p q p q p q 6Lembre que a definição de número par ou ímpar somente é para inteiros Z 38 Fundamentos da Matemática 19 Determine a negação lógica das seguintes proposições 1 Estudo lógica ou esta prova é fácil 2 Não estudo lógica e esta prova não é fácil 3 Se você se comportar bem então levo você ao circo 4 Se você não se comportar bem então não levo você ao circo 5 Se você se comportar bem então não levo você ao circo 6 Se comporte bem e não levo você ao circo 7 3 x 8 ser branco 20 Resolva o seguinte enigma Um viajante pede a mão da filha do sultão Para têla o sultão diz ao viajante Destas cinco escravas você tem que deduzir a cor dos olhos da segunda e da terceira As cinco terão os olhos vendados de forma que você não seja capaz de vêlas Três têm olhos verdes duas têm olhos azuis As de olhos verdes sempre mentem as de olhos azuis sempre dizem a verdade Você pode fazer somente três perguntas para elas Ah esqueci se você comete um engano você morrerá por sua insolência Viajante De que cor são seus olhos Escrava 1 bla bla bla responde em um idioma incompreensível para ele Viajante Que falou tua companheira Escrava 2 Ela falou que tem olhos verdes Viajante Que falhou a primeira e de que cor são os olhos da segunda Escrava 3 A primeira diz ter olho azul e a segunda tem olho verde Conclusão O viajante caso com a princesa 21 Tenho três pares de sapatos S1 S2 e S3 um par preto um par é marrom e o outro é branco não necessariamente nesta ordem Somente uma das afirmações é verdadeira i S1 é preto ii S2 não é preto iii S3 não é branco Quais as cores dos sapatos S1 S2 e S3 nessa ordem Christian José Quintana Pinedo 39 15 ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES Tratase nesta seção de um conjunto de operações lógicas que podemos realizar com a uti lização dos conectivos da conjunção disjunção negação implicação e bicondicional 151 Propriedades da conjunção Consideremos p q r s e t proposições simples então o conectivo lógico da conjunção satisfaz as seguintes propriedades a p p p idempotente b p q q p comutativa c p q r p q r associativa d p t p sempre que t verdadeira v propriedade de p e p s s sempre que s falsa f propriedade de s Demonstração a Na seguinte tabelaverdade observe que as linhas das proposições p p e p são idênticas e a bicondicional p p p é uma tautologia p p p p v v v v f f v f Assim tanto p p quanto p são proposições logicamente equivalentes Demonstração b Com efeito observando as colunas da tabelaverdade para as proposições p q e q p mediante o conectivo obtemos uma tautologia p q p q q p v v v v v v f f v f f v f v f f f f v f Logo tanto p q quanto q p são proposições logicamente equivalentes Demonstração c Temos que a tabelaverdade para a proposição p q r p q r é uma tautologia 40 Fundamentos da Matemática p q r p q r p q r v v v v v v v v f f v f v f v f v f v f f f v f f v v f v f f v f f v f f f v f v f f f f f v f Fica mostrado que tanto p q r quanto p q r são proposições logicamente equivalentes Demonstração d Propriedade da identidade Somente no caso das proposições t verdadeira v e s falsa f temos que as proposições p t p e p s p são tautológicas Com efeito temos as tabelaverdade seguintes p t p t p v v v v v f v f v f p s p s s v f f v f f f f v f Estas propriedades exprimem de t e s são respectivamente o elemento neutro e o elemento absorvente da conjunção Exemplo 133 Propriedade idempotente i x 3 x 3 x 3 ii a 8 a 8 a 8 Exemplo 134 Propriedade comutativa i x 7 x 5 x 5 x 7 ii a 6 a 15 a 15 a 6 iii y 6 y 1 1 y y 6 Exemplo 135 Propriedade associativa i x 7 x 5 x 12 x 7 x 5 x 12 ii a 6 a 15 a 7 a 6 a 15 a 7 Exemplo 136 Propriedade da identidade i a 3 a 0 a 3 ii x 3 x 2 x 2 Christian José Quintana Pinedo 41 152 Propriedades da disjunção Sejam p q r s e t proposições simples então o conectivo lógico da conjunção satisfaz as seguintes propriedades a p p p idempotente b p q q p comutativa c p q r p q r associativa d p t t sempre que t verdadeira v propriedade de t p s p sempre que s falsa f propriedade de p Demonstração a Na seguinte tabelaverdade as proposições pp e p são idênticas e a bicondicional pp p é uma tautologia p p p p v v v v f f v f Demonstração b Com efeito observando as colunas da tabelaverdade para as proposições p q e q p mediante o conectivo obtemos uma tautologia p q p q q p v v v v v v f v v v f v v v v f f f v f Demonstração c Temos que a tabelaverdade para a proposição p q r p q r é uma tautologia p q r p q r p q r v v v v v v v v f v v v v f v v v v v f f v v v f v v v v v f v f v v v f f v v v v f f f f v f Demonstração d Somente no caso das proposições t verdadeira v e s falsa f temos que as proposições p t t e p s p são tautológicas Com efeito temos as tabelaverdade seguintes 42 Fundamentos da Matemática p t p t t v v v v v f v v v v p s p s p v f v v v f f f v f Estas propriedades exprimem de t e s são respectivamente o elemento absorvente e o ele mento neutro da conjunção Exemplo 137 Propriedade idempotente i x 3 x 3 x 3 ii a 8 a 8 a 8 Exemplo 138 Propriedade comutativa i x 7 x 5 x 5 x 7 ii a 6 a 15 a 15 a 6 iii y 6 y 1 1 y y 6 Exemplo 139 Propriedade associativa i x 7 x 5 x 12 x 5 x 7 x 12 ii a 6 a 15 a 7 a 15 a 6 a 7 Exemplo 140 Propriedade de identidade i a 3 a 1 a 3 ii x 3 x 2 x 2 153 Propriedades da disjunção e conjunção Sejam p q e r proposições simples temos as seguintes propriedades 1 Absorção a p p q p b p p q p 2 Propriedade distributiva a p q r p q p r b p q r p q p r 3 Negação a p p Christian José Quintana Pinedo 43 4 Leis de Morgan a p q p q b p q p q Demonstração da propriedade de absorção Demonstração a Temos a seguinte tabelaverdade para as proposições p p q e p p q p p q p v v v v v v f v v v f v f v f f f f v f Observe que a bicondicional p p q p é tautologia logo as proposições p p q e p são logicamente equivalentes Demonstração b De modo análogo temos a seguinte tabelaverdade para as proposições p p q e p p q p p q p v v v v v v f v v v f v f v f f f f v f A bicondicional p p q p é tautologia logo as proposições p q r e p são logicamente equivalentes Demonstração das Leis de Morgan Demonstração a e b Observe a tabelaverdade para a bicondicional p q p q p q v v f v f v f v v v f v v v v f f v v v p q p q p q v v f v f v f v v f f v v v f f f v v v Nas duas tabelas temos tautologia logo as proposições indicadas são logicamente equiva lentes As demais demonstrações é exercício para o leitor Propriedade 12 Negação da condicional Temse que a negação da proposição p q é logicamente equivalente à proposição p q 44 Fundamentos da Matemática Demonstração Com efeito a mostrar que p q p q Observe a tabelaverdade p q p q p q v v v v v v f f v f f v v v v f f v v v Por outro lado a negação da proposição p q é a proposição p q isto é p q p q p q p q Portanto p q p q Observação 14 A condicional p q não satisfaz as propriedades idempotente comutativa e associativa Propriedade 13 Negação da bicondicional A negação da proposição p q é logicamente equivalente à proposição p q p q Demonstração Com efeito temos que p q é logicamente equivalente à proposição p q q p isto da seguinte tabelaverdade p q p q p q q p v v v v v v f f v f f v f v f f f v v v Logo aplicando as regras de Morgan temos que p q p q q p p q q p p q q p Portanto p q p q q p Observação 15 A bicondicional p q não satisfaz a propriedade idempotente pois é obvio que as proposições p p e p não são logicamente equivalentes A bicondicional satisfaz as propriedades associativa e comutativa 154 Método dedutivo Todas as condicionais e bicondicionais lógicas foram mostradas mediante a utilização de tabelaverdade No que segue estas condicionais e bicondicionais mostraremos pelo método mais eficiente chamado método dedutivo Neste método dedutivo são de muita importância as equivalências relativas à álgebra de proposições por exemplo para a seguinte proposição p q p temos p q p p q p tautologia Christian José Quintana Pinedo 45 p q p p q p lei de Morgan p q p p p q comutativa p p q T q tautologia T q T tautologia Portanto p q p é logicamente verdadeira é tautologia Observação 16 Denotamos com T as proposições logicamente verdadeiras tautologias e com C proposições logicamente falsas contradição Exemplo 141 Mostre a implicação p q p q modus ponens é logicamente verdadeira Demonstração p q p q hipótese p q p q tautologia p p q p q distributiva C q p q contradição q p q cancelamento T tautologia Portanto p q p p é logicamente verdadeira é tautologia 155 Redução do número de conectivos Foram estudados cinco conectivos lógicos entretanto podemos reduzir esse número para dois entendendose com isto que três deles podem ser definidos em função de dois confirmandose para estas novas definições a mesma tabelaverdade da proposição original Propriedade 14 Entre os cinco conectivos lógicos fundamentais três exprimemse em termos apenas dos seguintes pares a e b e c e Demonstração a 1o p q p q p q 46 Fundamentos da Matemática 2o p q p q 3o p q p q q p p q q p p q q p p q q p Demonstração b 1o p q p q p q 2o p q p q p q 3o p q p q q p p q p q Demonstração c 1o p q p q p q 2o p q p q p q 3o p q p q q p p q q p Observação 17 1 Os conectivos e não se exprimem em termos de e 2 O conectivo exprimese em função unicamente de pela equivalência p q p q q 3 Todos os conectivos exprimemse em termos de um único ou Definição 114 Forma normal Dizse que uma proposição esta na forma normal FN se e somente se quando muito contém os conectivos e Exemplo 142 As seguintes proposições estão na forma normal FN p q p q p q q r Definição 115 Forma normal conjuntiva Dizse que uma proposição esta na forma normal conjuntiva FNC se e somente se são verificadas as seguintes condições a Contém quando muito os conectivos e b opera sobre as proposições simples e não tem alcance sobre e c não aparecem sinais de negação sucessivos como d não tem alcance sobre não há expressões do tipo p1 p2 p3 Christian José Quintana Pinedo 47 Exemplo 143 As seguintes proposições estão na forma normal FNC p q p q r p q q r Exemplo 144 São FNC p q r s p p q p q p q Não são FNC p q r p q r p q Observação 18 Para todo proposição composta é possível determinar uma FNC a ela logicamente equiva lente Para isso usamos as seguintes regras a Eliminando p q por p q e p q mediante a substituição p q p q b Eliminando as negações repetidas e parênteses precedidos de pelas regras da negação dupla e de Morgan c Substituemse 1 p q r por p q p r 2 p q r por p q p r Exemplo 145 Seja p q q r q temos 1 p q q r q hipótese 2 p q q r q lei de Morgan 3 p q q r q lei de Morgan tautologia 4 p q q q r q tautologia 5 p q q q r p q q q q tautologia 6 p q r q q r p q q q q q Exemplo 146 Determine a FNC da proposição p q q q r Solução p q q q r p q q q r p q q q r p q q q q r 48 Fundamentos da Matemática Propriedade 15 Uma forma normal conjuntiva FNC é tautológica se e somente se cada elemento da con junção é uma tautologia isto é cada elemento equivale fórmula disjunta formada por p e a negação p Demonstração Efetivamente se cada elemento equivale à formula de tautologia então cada elemento é tautológico e dai cada um equivale a p p Reciprocamente se cada elemento equivalente é tautológico p p então a conjunção que é a FNC é tautologia Definição 116 Forma disjuntiva Dizse que uma proposição esta na forma normal disjuntiva FND se e somente se são verificadas as seguintes condições a Contém quando muito os conectivos e b opera sobre as proposições simples e não tem alcance sobre e c não aparecem sinais de negação sucessivos como d não tem alcance sobre não há expressões do tipo p1 p2 p3 Exemplo 147 As seguintes proposições estão na forma normal disjuntiva FND p q p q r p q p q r Exemplo 148 São FND p q r s p p p p q p q Não são FND p p q p q r Para todo proposição composta é possível determinar uma FND a ela logicamente equiv alente Para isso usamos as seguintes regras a Substituemse p q por p q e p q por q p q b Utilizando a lei de Morgan eliminase o conectivo da negação que precede ao parênteses c Eliminamse as negativas múltiplas d Substituemse 1 p q r por p q p r 2 p q r por p q p r Christian José Quintana Pinedo 49 Exemplo 149 Determinar a FND da proposição p q q p Solução p q q p p q q p q p p q q q p p p q Exemplo 150 Determinar a FND da proposição p q q r q Solução 1 p q q r q hipótese 2 p q q r q lei de Morgan 3 p q q r q lei de Morgan Propriedade 16 Uma fórmula normal disjuntiva é contradição se e somente se cada elemento é equivalente à fórmula conjunta p com sua negação p Demonstração De fato se cada elemento equivale a p p então a disjunção da FND é contradição Reciprocamente se a FND é contradição então cada elemento da disjunção é contradição e daí cada elemento é equivalente a p p Observação 19 1 Toda proposição pode ser levada para uma FN equivalente pela eliminação dos conectivos e 2 Existem duas espécies de FN para uma proposição a forma normal conjuntiva FNC e a forma normal disjuntiva FND 3 Uma mesma proposição pode ter mais de uma FNC ou FND 156 Princípio de dualidade Seja P uma proposição que só contem os conectivos e A proposição que resulta de P trocando cada conectivo por cada por é chamado de dual de P e denotado por P Propriedade 17 Se P e Q são duas proposições equivalentes que somente contem os conectivos e então as suas duais respectivas P1 e Q1 também são logicamente equivalentes Exemplo 151 50 Fundamentos da Matemática Da equivalência p p q p deduzse pelo principio de dualidade a equivalência p p q p A partir de p pq q deduzse pelo princípio de dualidade que p pq q Pequeno dicionário de heurística Definições De termos são descrições de seus significados por meio de outros termos que se supõe sejam bem conhecidos Os termos técnicos em matemática são de duas categorias Uns são aceitos como ter mos primitivos e não se definem ponto reta plano elemento conjunto etc Out ros consideramse como termos derivados e são definidos normalmente bissetriz círculo parábola etc Diagnóstico É um termo técnico em educação com o significado de caracterização mais rigorosa do aproveitamento do aluno Equacionamento É como tradução de um idioma para outro Esta comparação usada por Newton na sua Arithmetica Universalis pode contribuir para estabelecer a natureza de certas dificuldades muitas vezes encontradas na solução de um problema Heurística Ou heurética era o nome de um certo ramo de estudo não bem delimitado pertencente à lógica à filosofia muitas vezes delineado mas raramente apresentado com detalhes Idéia brilhante É uma expressão coloquial que significa um súbito avanço no sentido da solução Christian José Quintana Pinedo 51 Exercícios 13 1 Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e a proposição r falsa determinar o valor lógico v ou f das seguintes proposições 1 p q q r 2 p q q r r p 3 p q q r p 2 Traduza cada uma das frases para a linguagem do cálculo proposicional atribua letras às proposições atômicas e use conectivos e parênteses 1 O Pedro e a Maria vão à escola 2 Se o Pedro sai com a Maria então o Jorge não 3 O Pedro sai com a Maria ou o Jorge sai com a Maria mas não ambos 4 O Pedro passa a Lógica só se estudar 5 O Pedro não passa a Lógica a não ser que faça o trabalho de casa e estude 6 O Pedro inscreveuse em Lógica mas a Maria não 7 O Pedro não passa a Lógica se não fizer o trabalho de casa nem estudar 8 Não é verdade que Pedro passe a Lógica desde que faça o trabalho de casa e estude 9 Uma condição suficiente para Pedro passar a Lógica é que ele estude e faça o trabalho de casa 10 Nem o Pedro nem a Maria gostam do Jorge 11 Se o Pedro não estudar e fizer o trabalho de casa então ele não passa a Lógica 12 Se o Pedro e a Maria trabalharem a um ritmo constante então não há perda nem ganho de eficiência quando trabalham juntos 13 Se perder o minha Besta chego 10 minutos atrasado assumindo que o próximo vem à tabela 14 Hoje vamos ao parque desde que o carro não se estrague e não chova 15 Se Lógica é difícil o Pedro e a Maria só passam se estudarem 3 Mostre as propriedades comutativa e associativa da bicondicional 4 Determine as regras de Morgan para três proposições 5 Determine a negação de cada uma das seguintes proposições 1 É falso que não está nublado ou que está frio 2 Não é verdade que o pai de Pedro é chileno ou que a mãe é boliviana 3 Não é verdade de Maria estuda Matemática mas não Agronomia 4 Não é verdade que os preços estão aumentando e que as vendas estão diminuendo 6 Mostre as seguintes propriedades 52 Fundamentos da Matemática 1 p q r p q p r 2 p p 3 p q r p q p r 7 Sejam as proposições p chove e q faz frio Consideremos Pp q Se chove então chove ou faz frio Qp q Se chove e não chove então não é verdade que se faz frio então chove Mostre que Pp q Qp q 8 Sejam as proposições p Pedro estuda e q Carlos dança Consideremos Pp q Não é verdade que Pedro estuda e Carlos dança Qp q Se Pedro estuda Carlos não dança Mostre que Pp q Qp q 9 Sejam as proposições p o quadrado é retângulo e q o quadrado é paralelogramo Consideremos Pp q Se o quadrado não é retângulo então ele não é paralelogramo e se ele é retângulo então é paralelogramo Qp q Não é verdade que O quadrado é retângulo e não é paralelogramo ou o quadrado não é retângulo e é paralelogramo Mostre que Pp q Qp q 10 Definir e a partir de e 11 Definir e a partir de e 12 Definir e em função do símbolo de Sheffer idem para o símbolo 13 Simplificar as proposições 1 p q 2 p q p q 3 p p 4 p q 5 p q p q 6 p q p 7 p q 8 p p q p q 14 Determinar a FNC equivalente para as seguintes proposições 1 p q r 2 p q 3 p q q p 4 p q 5 p q 6 p q q p 7 p q 8 p q 9 p q r q 10 p q 11 p q 12 p q q r s Christian José Quintana Pinedo 53 15 Determinar a FND equivalente para as seguintes proposições 1 p q 2 p q 3 p q s q 4 p q 5 p q 6 p q q q r 7 p q 8 p q 9 p q r q s 10 p q 11 p q r 12 p q p q 16 Demonstrar as equivalências 1 p p q p 2 p p q p 17 Demonstre a equivalência p q p p p p q q 18 Usar o método dedutivo para demonstrar o seguinte 1 p p q 2 p q q p q 3 p p p 4 p p q p q 5 p r q r p q r 6 p q p r p q r 19 Demonstrar p q p p q q p p q q 20 Determine uma forma normal conjuntiva FNC equivalente para cada uma das seguintes proposições 1 p q 2 p p 3 p p 4 p q 5 p p 6 p p 7 p q q 8 p p q q 9 p p 10 p q 11 p p q q 12 p q p 13 p q p 14 p q r p 21 Determinar uma forma normal disjuntiva FND equivalente para cada uma das seguintes proposições 1 p q 2 p q 3 p q p 4 p q 5 p q p 6 p q 7 p p 8 p p 9 p q 10 p q 11 p p 12 p p 22 Determine os duais das seguintes proposições 1 p q r 2 p q p 3 p q r s 4 p q r 5 p q 6 q p r 54 Fundamentos da Matemática 23 Qual é a negação lógica de Todo cão late 24 Mostre que se Pp q é uma FNC tautológica se e somente se Pp q é contradição Sugestão Use a condição para que FNC seja tautológica 25 Mostre que Pp q Qp q é tautológica nas condições do problema anterior então Qp q Pp q é tautológica Sugestão Lembrar que Pp q Qp q Pp q Qp q 26 Mostre que se P p q obtémse de Pp q pela troca dos conectivos e e negação dos átomos então P p q Pp q 27 Num povoado de uma cidadezinha da Amazônia foi celebrado um juízo no qual são três os acusados um de eles o culpado sempre mente e os outros dois sempre dizem a verdade Um deles não fala o português e o juiz decide considerar como intérprete a os outros dois acusados O juiz interrogando ao primeiro que não fala português pergunta é você culpado e os interpretes dizem O segundo O acusado falou que não é culpado O terceiro O acusado falou que sim é culpado Perguntase quem é o culpado a O primeiro b O segundo c O terceiro 28 Resolver o seguinte enigma Na audiência O inspetor Nyko tinha costume de ir à audiência para observar os juízos Deste modo o inspetor testava sua capacidade de raciocínio Um dos casos com os que ele se encontrou foi o seguinte Temos quatro acusados A B C e D Aconteceram os seguintes fatos Se A é culpado então B era seu cúmplice Se B é culpado então o bem C era o cúmplice ou bem A é inocente Se D é inocente então A é culpado e C é inocente Se D é culpado também o é A Perguntase Quem são os inocentes e quem os culpáveis 29 Os ovos de galinha são mais baratos do que os de perua Não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de ovos de galinha logo a Tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de ovos de galinha b Não tenho dinheiro para comprar duas dúzias de ovos de perua Christian José Quintana Pinedo 55 Miscelânea 11 1 Substituindo m por p na palavra mapa O resultado é a papa b mama c pama 2 Se trocarmos p por m na palavra mapa O resultado é a papa b mama c pama 3 Traduza cada uma das frases para a linguagem do cálculo proposicional atribua letras às proposições atômicas e utilize conectivos e parênteses 1 Se duas retas são coplanares uma condição necessária e suficiente para serem paralelas é que não se interceptem nem coincidam 2 Se Q é um quadrilátero então Q é um paralelogramo se os seus lados opostos são paralelos e iguais 3 Se a aplicação f é contínua no intervalo a b então f tem um máximo em a b ou f não é contínua em a e b 4 Uma condição suficiente para a aplicação f ter um máximo em a b é que f seja contínua em a b e que f seja contínua em ambos a e b 5 Se f está definida num intervalo a b uma condição necessária e suficiente para f ser crescente em a b é que f seja positiva em a b 6 Uma condição necessária e suficiente para f ser positiva em a b é que f esteja definida em a b e f seja crescente em a b 7 Se A é uma aproximação de I obtida pelo método do trapézio então se f 0 para 8 Se 3 e 4 forem substituir x e y respectivamente na desigualdade 2x y x 3y obtemos a desigualdade 10 15 9 Se v1 v2 v3 são três vetores de R3 aplicados na origem então o conjunto v1 v2 v3 é linearmente independente se os três vetores estão no mesmo plano 4 Traduza cada das orações dos seguintes exercícios em uma declaração no cálculo proposi cional 1 Toda menina boa merece fruta 2 Meninos bons sempre merecem fruta 3 Algumas vacas não são pássaros e alguns são 4 Algumas vacas são pássaros mas nenhuma vaca é pessoa 5 Alguns números são maiores que dois outros não são 6 Todo número menor que 6 também são menores que 600 5 Determine a negação lógica das seguintes proposições 1 Ser branco 56 Fundamentos da Matemática 2 3 x 3 Todo cão late 4 Se você se comportar bem então levo você ao circo 5 Se eu estudo lógica esta prova é fácil 6 Eu estudo lógica e esta prova não é fácil 7 Estudo lógica ou esta prova é fácil 8 Não estudo lógica e esta prova não é fácil 9 Se esta prova está difícil então reprovo em Fundamentos 10 3 5 6 5 6 3 11 Se esta prova está fácil aprovo em Fundamentos 6 Sejam A B conjuntos e seja w um objeto tal que w A B então a w A e w B bw A e w B ou w B c w A ou w B 7 Um número está formado pelos dígitos 1 3 4 6 7 e 8 não necessariamente nessa ordem O número 7 está depois do 1 o 3 e 4 não são vizinhos do 1 nem do 7 O número 4 e o 1 não são vizinhos do 6 o 6 está depois do 8 Perguntase qual é o número procurado 8 Foi cometido um delito os suspeitos são Andrés Arnaez Bonifácio Benites Carlos Corso e Dario Diaz Na defesa Arnaez diz que no momento do fato esteve com Carlos e Benites Bonifácio diz que no momento do fato esteve com Corso e Andrés Carlos diz que esteve com Dario Por último Diaz diz que esteve com Andrés Se duas afirmações coincidem então são verdadeiras Perguntase quais são os culpáveis Sabese que no máximo duas pessoas cometeram o delito 9 Cinco aviões Xavantes são identificados por letras de cores diferentes Cada um dos aviões apresenta uma variação Todos os pilotos fumam marcas de cigarros diferentes ou cachimbo ou charuto e praticam esportes distintos o aparelho do coronel Milton tem letras vermelhas e fica próximo do que tem letras amarelas o rádio transmissor do tenente Walter está em pane o piloto do avião com letras verdes fica à direita do avião com letras marrom o major Rui pratica natação o piloto do avião com letras verdes e adora pesca o piloto que fuma charuto está com o altímetro desregulado 20 pés o piloto do avião com letras amarelas fuma Continental o do avião com letras vermelhas joga golf o aparelho do capitão Pedro é o da extrema esquerda Christian José Quintana Pinedo 57 o piloto que fuma Minister voa ao lado do avião que está com a pressão do sistema hidráulico caindo o piloto que fuma Continental voa ao lado do piloto que está com a bússola desviada 5 graus a mais o piloto que fuma Hollywood pratica equitação o brigadeiro Washington fuma cachimbo o capitão Pedro voa ao lado do avião com letras azuis o que se dedica a equitação ao voar é vizinho do que pratica golf Perguntase 1 Qual o piloto que pratica tênis 2 Qual o avião cujo motor está com a temperatura subindo 10 Quem é o atleta Em um bar encontramse quatro amigos cujos nomes são Mário Marcelo Rafael e Ed uardo Estes por sua vez são atleta futebolista operário e engenheiro não necessariamente nessa ordem O atleta é primo de Mário é o mais jovem de todos e sempre vai ao cinema com Marcelo Rafael que é mais velho de todos é vizinho do futebolista que por sua vez é milionário Mário que é demasiado pobre e tem cinco anos menos que o engenheiro 11 Quem é a esposa de João Os nomes das esposas de Pedro Pablo João e Romão são Carmem Rosa Ana Maria não necessariamente nessa ordem Pablo e sua esposa se dirigem a praia e encontram Romão e Pedro com suas respectivas esposas Logo falam Carmem Olá faz muito tempo que nos esperam Ana Não chegamos faz pouco tempo Viram a Rosa no caminho Pedro interrompendo Ana Olha querida ela está vindo 12 Em uma escola privada seis mestres dão aulas do primeiro ao sexto ano Seus nomes por ordem alfabética são Abel Carlos Diego Laura Mário e Silvia O professor do sexto ano é o pai do quinto O do primeiro ano é sogro do quarto Laura em anos anteriores foi professora do terceiro ano mas não é agora Abel é o noivo de Laura Carlos tem 26 anos Mário é muito amigo do professor do sexto ano Qual o ano que cada um deles dá aulas 58 Fundamentos da Matemática 13 José Miguel João Rosa Maria e Diana amigos e estudantes universitários se encontram em uma festa Em um momento em que os seis estão dançando resolvem fazer uma roda composta por quatro deles e os outros no centro da mesma Se trata de averiguar com quem cada um estuda se sabe que Maria está dançando com a pessoa que estuda matemática Rosa encontrase entre José e a pessoa que estuda engenharia A pessoa que estuda química se encontra na frente da que estuda medicina Miguel se encontra a direita de Diana e na esquerda da que estuda medicina Rosa é parente da pessoa que estuda economia Então O que estuda cada um deles se José não estuda física 14 Kriztian mente às segundas terças e quartasfeiras e fala a verdade nos demais dias da semana Karyn mente apenas às quintas sextas e aos sábados Num certo dia foram feitas as afirmações Kriztian ontem foi meu dia de mentir Karyn ontem foi também meu dia de mentir Qual o dia da semana em que foram feitas estas afirmações 15 Se Vera disse a verdade Roberto e Júlio mentiram Se Júlio mentiu Regina falou a verdade Se Regina falou a verdade Brasília é banhada pelo mar Ora Brasília não é banhada pelo mar logo a Vera e Roberto disseram a verdade b Vera e Regina mentiram 16 Quatro amigas vão ao teatro e uma delas resolve entrar sem pagar Aparece o vigilante e quer saber qual delas entrou sem pagar Eu não fui diz Gabriela Foi a Graciela diz a Manuela Foi a Daniela diz a Graciela A Manuela não tem razão diz a Daniela Só uma delas mentiu Quem não pagou a entrada Capítulo 2 TEORIA DA DEMONSTRAÇÃO B Russell Bertrand Artur William Russell descendente de uma família aris tocrática nasceu perto de Trelleck País de Gales em 18 de maio de 1872 e faleceu em 2 de fevereiro de 1970 em Penrhyndeudraeth País de Gales Foi um dos mais influentes matemáticos filósofos e lógicos que viveram no século XX Um importante político liberal ativista e um popularizador da filosofia Milhões de pessoas respeitaram Russell como uma espécie de profeta da vida racional e da criatividade A sua postura em vários temas foi controversa Ganhou de uma bolsa de estudos para estudar no Trinity College Cam bridge foi aluno de Whitehead 1861 1947 e distinguiuse notavelmente em matemática e filosofia Russell estudou filosofia na Universidade de Cam bridge tendo iniciado os estudos em 1890 Tornouse membro do Trinity College em 1908 Pacifista e recusando alistarse na Primeira Guerra Mundial perdeu a cátedra do Trinity College e esteve preso durante seis meses Neste período escreveu a Introdução à filosofia matemática Em 1920 Russell viajou até à Rússia tendo posteriormente sido professor de filosofia em Pequim por um ano Em 1950 Russell recebeu o prêmio Nobel da Literatura em reconhecimento dos seus variados e significativos escritos nos quais ele se bateu por ideais humanitários e pela liberdade do pensamento Além de lecionar amplamente em universidades americanas escreveu mais de quarenta livros entre matemática lógica filosofia sociologia e educação Foi contemplado com muitos prêmios como as medalhas Sylvester e De Morgan Royal Society 1934 a Ordem de Mérito 1940 e o Prêmio Nobel de Literatura 1950 Duas atitudes corajosas e francas muitas vezes envolveramno em controvérsias Durante a primeira Guerra Mundial foi desligado da Universidade de Cambridge e preso durante quatro meses por seus pontos de vista pacifistas e por se opor à conscrição Na década de 1960 liderou movimentos pacifistas pela proscrição das armas nucleares e também acabou preso embora poor pouco tempo Homem de espírito e predicados extraordinários faleceu em 1970 mentalmente lúcido e atento a os noventa e oito anos de idade Nasceu em 1872 no auge do poderio econômico e político do Reino Unido e morreu em 1970 vítima de uma gripe quando o império se tinha desmoronado e o seu poder drenado em duas guerras vitoriosas mas debilitantes Até à sua morte a sua voz deteve sempre autoridade moral uma vez que ele foi um crítico influente das armas nucleares e da guerra americana no Vietnam 59 60 Fundamentos da Matemática 21 ARGUMENTO Intuitivamente um argumento é uma seqüência concatenada de proposições com o fim de estabelecer uma proposição definida chamada conclusão Nosso principal objetivo será a investigação da validade de argumentos Argumentar é apresentar uma proposição como sendo uma conseqüência de uma o mais proposições Definição 21 Argumento Chamamos de argumento a um conjunto de proposições operadas por conectivos lógicos as quais uma proposição é a conclusão e as demais são premissas1 Isto é um argumento é constituído pelas proposições p1 p2 pn chamadas premissas nas quais nos baseamos segundo os conectivos lógicos para garantir uma proposição q chamada conclusão Os argumentos estão tradicionalmente divididos em dedutivos e indutivos Nosso objetivo é o estudo dos chamados argumentos dedutivos esses são na matemática aceitos por ser os mais precisos e persuasivos provando categoricamente suas conclusões porém esses tipos de argumentos podem ser válidos ou nãoválidos Entenderemos como argumento válido quando da seqüencia concatenada de proposições temos a certeza da verdade v da conclusão caso contrario quando a conclusão seja falsa f entenderemos como argumento nãoválido 211 Argumento Dedutivo Indutivo Os argumentos estão tradicionalmente divididos em dedutivos e indutivos Definição 22 Argumento dedutivo Dizse que um argumento é dedutivo quando sendo suas premissas verdadeiras a conclusão é também verdadeira Premissa Premissa Conclusão Todo homem é mortal João é homem João é mortal Esses argumentos serão objeto de estudo para a compreensão de teorias matemáticas Definição 23 Argumento indutivo Dizse que um argumento é indutivo quando a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão Premissa Premissa Conclusão É comum após a chuva ficar nublado Está chovendo Ficará nublado 1Cada uma das proposições de um silogismo que serve de base à conclusão Christian José Quintana Pinedo 61 As premissas e a conclusão de um argumento formuladas em uma linguagem estruturada permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade Argumentos dedutivos possuem três estágios premissas inferência e conclusão Antes abor dar estes três estágios em detalhe precisamos examinar os alicerces2 de um argumento dedutivo lembrando a seguinte definição Definição 24 Proposição É uma afirmação que pode ser verdadeira v ou falsa f Ela é o significado da afirmação não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado Por exemplo quando dizemos Existe um número primo par e maior que dois estamos nos referindo a uma proposição falsa f Porém a mesma proposição pode ser expressa de modo diferente por exemplo Um número primo par e maior que dois existe ainda assim continua sendo uma proposição falsa f observe que infelizmente é muito fácil mu dar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizandoas A dicção da proposição deve ser considerada como algo significante É possível utilizar a lingüística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar seu significado 212 Premissas Os argumentos dedutivos sempre requerem um certo número de assunçõesbase São as chamadas premissas e é a partir destas premissas que os argumentos são construídos Isto é as premissas são as razões para aceitarse um argumento Entretanto algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro As premissas de todo argumento sempre devem ser explicitadas esse é o princípio do au diatur et altera pars3 A omissão das premissas comumente é encarado como algo suspeito e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras Suponha que É obvio que se e somente se e Demonstre que É imprescindível que o leitor concorde com suas premissas antes de proceder com a argumentação Utilizar em matemática a palavra obvio tem que gerar desconfiança o que é obvio para um leitor pode ser demasiado complicado para outro Não hesite em questionar afirmações supostamente óbvias 2Base fundamento sustentáculo 3expressão latina que significa a parte contrária deve ser ouvida 62 Fundamentos da Matemática 213 Inferência Toda vez que existir concordância sobre as premissas o argumento procede passo a passo através do processo chamado inferência Na inferência partese de uma ou mais proposições aceitas premissas para chegar a outras novas Se a inferência for válida no sentido de ser tautológica a nova proposição também deve ser aceita Posteriormente essa proposição poderá ser empregada em novas inferências Assim inicialmente apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento ao longo da argumentação entretanto o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta Há vários tipos de inferências válidas assim como também outras nãoválidas O processo de inferência é comumente identificado pelas frases conseqüentemente ou isto implica que 214 Conclusão Finalmente chegaremos a uma proposição que consiste na conclusão isto é chegaremos a uma proposição que estamos tentando demonstrar Esta conclusão é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular podendo ser a premissa de outro A conclusão tem respaldo nas premissas e é inferido a partir delas Definição 25 Argumento Um argumento é uma seqüência finita e ordenada de proposições simples ou compostas p1 p2 p3 pn chamadas premissas das quais deduzimos uma proposição q chamada conclusão Indicaremos um argumento de premissas p1 p2 p3 pn e conclusão q por p1 p2 p3 pn q e se lê de uma das seguintes maneiras q é conseqüência de p1 p2 p3 pn q deduzse de p1 p2 p3 pn q inferese de p1 p2 p3 pn p1 p2 p3 pn implicam q Da verdade ou falsidade de um argumento existem argumentos verdadeiros consistentes no sentido de manifestar um raciocínio lógico e argumentos verdadeiros inconsistentes no sentido de manifestar um raciocínio duvidoso Os argumentos falsos não manifestam nenhum raciocínio lógico são ilógicos Christian José Quintana Pinedo 63 215 A Implicação em detalhes Evidentemente podese construir um argumento verdadeiros a partir de premissas ver dadeiras v neste caso a conclusão q necessariamente é verdadeira v Também é possível construir argumentos verdadeiros a partir de premissas falsas f neste caso a conclusão q pode ser verdadeira v ou falsa f Exemplo 21 Argumento verdadeiro inconsistente Premissa p1 Peixes vivem no oceano v Premissa p2 Lontras são peixes f Conclusão q Logo lontras vivem no oceano f Lembre em todo argumento válido uma coisa que não pode ser feita partir de premissas verdadeiras inferir de modo correto e chegar a uma conclusão falsa Podemos resumir esses resultados em uma tabela de regras de implicação Regras de implicação Linha Premissa Conclusão Inferência Argumento p q p q 1a Falsa Falsa Verdadeira verdadeiro inconsistente 2a Falsa Verdadeira Verdadeira verdadeiro inconsistente 3a Verdadeira Falsa Falsa falso ilógico 4a Verdadeira Verdadeira Verdadeira verdadeiro consistente Desse modo o fato de um argumento ser verdadeiro não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira v pois pode ter partido de premissas falsas Argumentos consistentes obrigatoriamente chegam a conclusões verdadeiras Exemplo 22 A seguir está exemplificado um argumento verdadeiro v mas que pode ou não ser consis tente 1 Premissa p1 Todo evento tem uma causa 2 Premissa p2 O Universo teve um começo 3 Premissa p3 Começar envolve um evento 4 Inferência Isso implica que o começo do universo envolveu um evento 5 Inferência Logo o começo do universo teve uma causa 6 Conclusão q O universo teve uma causa A proposição da linha 4 foi inferido das linhas 2 e 3 A linha 1 então é usada em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição linha 5 O resultado dessa inferência é reafirmada numa forma levemente simplificada como a conclusão 6 64 Fundamentos da Matemática Definição 26 Silogismo É todo argumento com somente duas premissas e uma conclusão Os seguintes quatro exemplos são de silogismo porem o exemplo 23 é de argumento con sistente os exemplos 24 e 26 são argumentos inconsistentes e o exemplo 25 é argumento falso f Exemplo 23 Conclusão verdadeira Todo ser humano é mortal Pedro é humano Portanto Pedro é mortal Exemplo 24 Conclusão falsa Toda ave voa O avestruz é ave Portanto o avestruz voa Exemplo 25 Conclusão verdadeira Todo pingüim é um animal Meu cachorro não é pingüim Portanto meu cachorro não é um animal Exemplo 26 Conclusão falsa Toda peixe nada O golfinho não é peixe Portanto o golfinho não nada 216 Validade de um argumento Dizer que um argumento é bem fundamentado é equivalente a dizer que a conclusão q é conseqüência lógica das premissas Logo para cada interpretação da linguagem respeito à qual todas as premissas são verdadeiras a conclusão será necessariamente verdadeira Um argumento verdadeiro v é consistente ou inconsistente independente de sua interpre tação Isto é bastante importante em matemática já que as demonstrações em matemáticas são argumentos válidos consistentes Resulta pois obvia a importância de saber se um argumento válido é consistente ou inconsistente Definição 27 Um argumento p1 p2 p3 pn q válido é consistente se a conclusão q é verdadeira v sempre que as premissas p1 p2 p3 pn sejam verdadeiras v Os Exemplos 27 e 28 são de argumento consistente e os Exemplos 29 e 210 são de argumento inconsistente Exemplo 27 Conclusão verdadeira Todo múltiplo de 6 é múltiplo de 3 O número 12 é múltiplo de 6 Portanto 12 é múltiplo de 3 Christian José Quintana Pinedo 65 Exemplo 28 Conclusão verdadeira Todo número com exatamente dois divisores é primo O número 4 não tem exatamente dois divisores Portanto 4 não é primo Exemplo 29 Conclusão falsa Todo múltiplo de 4 é par O número 5 é múltiplo de 4 Portanto 5 é par Exemplo 210 Conclusão falsa Todo múltiplo de 4 é par O número 6 não é múltiplo de 4 Portanto 6 não é par Fica obvio que no Exemplo 29 o fato de ser argumento válido necessariamente alguma das premissas deve ser falsa f com a interpretação intencional o que caracteriza este exemplo como argumento válido nãocorreto Definição 28 Sofisma Dizemos sofisma a todo argumento válido inconsistente É um exemplo de sofisma o Exemplo 29 A seguinte conversa aconteceu em algum lugar de nosso planeta e se apresenta a modo de exemplo de argumento válido inconsistente Exemplo 211 Senhor Bertrand Mostre que se 3 2 então você é Deus Demonstração Se 3 2 então 2 1 logo 3 1 Pai filho espírito santo são três pessoas distintas porém somente um Deus verdadeiro Bertrand é filho Portanto Bertrand é Deus Embora temos que este argumento seja um sofisma4 observe que a premissa 3 2 é falsa logo o argumento é correto independente da conclusão ser verdadeira o falsa Observação 21 i Num argumento válido a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão ii A Lógica não se preocupa com a validade dos argumentos nem com a verdade o falsidade das premissas e conclusões iii Afirmar que um argumento é consistente significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas são verdadeiras 4Argumento aparentemente válido mas na realidade não conclusivo e que supõe máfé por parte de quem o apresenta falácia silogismo erístico 66 Fundamentos da Matemática Propriedade 21 Um argumento p1 p2 p3 pn q é consistente se a condicional p1 p2 p3 pn q 21 é tautologia Demonstração Se o argumento é consistente então as premissas p1 p2 p3 pn são verdadeiras logo a proposição p1 p2 p3 pn é verdadeira Sendo o argumento consistente temos que a conclusão q é verdadeira Portanto a condicional 21 é tautologia Observação 22 Se o argumento P1p q r P2p q r P3p q r Pnp q r Qp q r é válido então o argumento da mesma forma P1a b c P2a b c P3a b c Pna b c Qa b c é válido quaisquer que sejam as proposições a b c Exemplo 212 O argumento p q r r q é consistente pois a fórmula p q r r q é uma tautologia Como a premissa r tem que ser verdadeira v então r tem que ser f A premissa q r tem que ser verdadeira como r é f temos que q é falsa f logo a conclusão q é verdadeira v É obvio que p tem que ser verdadeira v O fato que todas as premissas sejam verdadeiras que a conclusão também é verdadeira veri ficamos na 4a linha de sua tabelaverdade 4a linha p q r p q r r q v f f v v v Exemplo 213 Do argumento p p q e da expressão 21 segue que os seguintes argumentos são consis tentes a p q p q s r b p r s p r s r s Observe em a que se a premissa p q é verdadeira a conclusão p q s r também é verdadeira independente ao valor lógico de s r Logo o argumento é válido e consistente Christian José Quintana Pinedo 67 Por um raciocínio análogo concluímos que o argumento em b é válido e consistente Portanto a verdade v de um argumento depende apenas de sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade das proposições que a integram 217 Condicional associada a um argumento Devido à Propriedade 21 dado um argumento qualquer p1 p2 p3 pn q a este argumento corresponde à condicional p1 p2 p3 pn q cujo antecedente é a conjunção das premissas e cujo conseqüente é a conclusão denominada condicional associada ao argumento dado Reciprocamente a toda condicional corresponde um argumento cujas premissas são as difer entes proposições cuja conjunção formam o antecedente e cuja conclusão é o conseqüente Exemplo 214 A condicional associada ao argumento p q p r q s r s é a proposição p q p r q s r s O argumento correspondente à condicional p q r s q r s s p q é a proposição p q r s q r s s p q 218 Reconhecendo Argumentos O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou conclusão Algumas vezes os argumentos não seguem os padrões descritos acima por exemplo alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificálas Isso é válido porém pode ser um pouco confuso Para piorar a situação algumas afirmações parecem argumentos porém na verdade não o são Por exemplo quando alguém diz Se a Bíblia é verdadeira Jesus ou foi um louco um mentiroso ou o Filho de Deus Isso não é um argumento é uma afirmação condicional Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões sem mencionar que possui outras falhas Um argumento não equivale a uma explicação Suponha que tentando provar que Albert Einstein acreditava em Deus disséssemos Einstein afirmou que Deus não joga dados porque creia em Deus 68 Fundamentos da Matemática Isso pode parecer um argumento relevante mas não é tratase de uma explicação da afir mação de Einstein Para perceber isso lembrese que uma afirmação da forma X pois Y pode ser reescrita na forma Y logo X O que resultaria em Einstein creia em Deus por isso afirmou que Deus não joga dados Agora fica claro que a afirmação que parecia um argumento está afirmando a conclusão que deveria estar provando Ademais Einstein não creia num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos 219 Argumentos consistentes fundamentais 1 Adição ap p q b p q p 2 Simplificação a p q p b p q q 3 Conjunção a p q p q b p q q p 4 Modus Ponens p q p q 5 Modus Tollens q p p q 6 Equivalência p q p q 7 Silogismo hipotético p q q r p r 8 Silogismo disjuntivo a p q p q b p q q p 9 Dilema construtivo p q r s p r q s 10 Dilema destrutivo p q r s q s p r 11 Absorção p q p p q Christian José Quintana Pinedo 69 A validade destes argumentos é conseqüência imediata das tautologias elementares do Capí tulo I página 29 A maneira direta de demonstrar que um argumento é válido e consistente consiste em su por verdadeiras todas as premissas com respeito a alguma interpretação sem considerar a interpretação intencional nem nenhuma interpretação em particular 22 INFERÊNCIA LÓGICA Os argumentos estudados na seção anterior servem para fazer inferências isto é para executar uma dedução ou demonstração Logo se de uma o mais proposições premissas deduzimos a afirmação de certa proposição conclusão então teremos construído uma inferência Uma inferência é válida se e somente se a conjunção das premissas implica a conclusão Logo as inferências lógicas obedecem a princípios tautológicos Os princípios lógicos tautológicos utilizados para a obtenção de inferências lógicas geral mente são implicativos e são denominados regras de inferência lógica Os argumentos fundamentais da Seção 21 deste capítulo são usados para fazer inferências isto é executar os passos de uma dedução ou demonstração 221 Regras de inferência Os argumentos baseados em tautologias representam métodos de raciocínio universal válido Sua validade depende somente do modo em que as proposições intervierem e não dos valores de verdade que elas acusam Estes argumentos são chamados de regras de inferência As regras de inferência permitem relacionar dois ou mais tautologias ou hipóteses em uma demonstração Determine se o argumento do exemplo a continuação é válido Exemplo 215 Se você investe no mercado de valores então você ficará rico Se você fica rico então você será feliz Portanto se você investe no mercado de valores então você será feliz Solução Seja p você investe no mercado de valores q você ficará rico r você será feliz p q q r p r De modo que este enunciado podemos representar com notação lógica do seguinte modo Aplicando silogismo hipotético concluímos que este argumento é válido 70 Fundamentos da Matemática 222 Principais regras de inferência lógica 2221 Principio da adição Dada uma proposição p dela podemos deduzir sua disjunção com qualquer outra proposição Seu es quema lógico é da forma p p q Exemplo 216 Premissa 1 Jorge é médico Portanto Jorge é médico ou Pedro é engenheiro Exemplo 217 a p p q b p p q c p q p q r d a 4 a 4 a 8 2222 Principio da simplificação Dada a conjunção p q de duas proposições p e q podemos deduzir cada uma das proposições p ou q O esquema lógico para é p q p Exemplo 218 Premissa 1 Jorge é médico e Pedro é engenheiro Portanto Jorge é médico Exemplo 219 a p q r p q b p q q q q c x 9 x 2 x 2 d a 4 a 8 a 4 2223 Principio do desligamento Modus Ponens Conhecida também como regra de separação per mite deduzir a conclusão q a partir das premissas p q e p Seu esquema é p q p q Exemplo 220 Premissa 1 Se faz calor então a água da piscina esta quente Premissa 2 Faz calor Portanto a água da piscina esta quente Christian José Quintana Pinedo 71 Esta inferência obedece à tautologia Modus Ponens p q p q Exemplo 221 a p q p q b p q r p q r c x2 0 x 0 x2 0 x 0 d a 4 a 8 a 3 a 4 a 8 a 3 2224 Principio da conjunção Seu esquema lógico é a p q p q b p q q p 2225 Principio da contraproposição Modus Tollens Seu esquema é p q q p Exemplo 222 Premissa 1 Se este volume é um caderno então é de papel Premissa 2 Este volume não é de papel Portanto este volume não é um caderno Esta inferência obedece à tautologia Modus Tollens p q q p 2226 Principio da inferência equivalente Seu esquema lógico é p q p q Exemplo 223 Premissa 1 4 4 0 se e somente se 4 4 Premissa 2 4 4 0 Portanto 4 4 2227 Princípio do silogismo hipotético Consiste em dada duas condicionais p q e q r tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda deduzir uma terceira condicional p r transitividade Seu esquema é Christian José Quintana Pinedo 73 Exemplo 226 a x2 0 x2 1 x2 1 x2 0 b p q r p q r 2229 Dilema construtivo Nesta regra são premissas duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes a conclusão é a disjunção dos conseqüentes destas condicionais Seu esquema é p q r s p r q s Exemplo 227 a p q r s t p q s r t b a b 5 a 3 a b 5 a 3 a b 5 a b 5 a 3 a 3 22210 Dilema destrutivo Nesta regra são premissas duas condicionais e a disjunção da negação dos seus conseqüentes a conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes destas condicionais Seu esquema é p q r s q s p r Exemplo 228 a q r p s r s q p b a b 5 a 3 b a 11 a 8 a 3 a 8 a b 5 b a 3 22211 Absorção Esta regra permite dada uma condicional p q como premissa dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo conseqüente é a proposição p q Seu esquema é p q p p p q Exemplo 229 74 Fundamentos da Matemática a p q p p p q b p q p p p q c x2 0 x 0 x2 0 x2 0 x2 0 x 0 d a 4 a 5 a 4 a 4 a 4 a 5 22212 Principio da substituição de variáveis Exemplo 230 Premissa 1 Premissa 2 Todos os humanos se alimentam Carlos é humano Carlos se alimenta A premissa 2 é o resultado de substituir um elemento do domínio da premissa 1 por um valor específico 223 Verificação com o uso de tabelaverdade Para verificar se uma regra de inferência P1 P2 P3 Pn Q é válida com o uso das tabelas verdade é suficiente verificar se a fórmula P1P2P3 Pn Q é tautologia Lembre que Pi e Q tem que ser verdadeiras Exemplo 231 Verificar se a seguinte regra de inferência é válida p q p q p q p q Solução Temse que p q é verdadeiro v sempre que simultaneamente p e q sejam falsas f Assim a proposição p q resulta ser verdadeira v conseqüentemente p q p q é verdadeira Mediante o uso da tabelaverdade temos que o fato que todas as premissas sejam verdadeiras que a conclusão também é verdadeira verificamos na 4a linha de sua tabelaverdade 4a linha p q p q p q p q p q f f v v v Christian José Quintana Pinedo 75 Observe que a regra de inferência é válida é tautologia Exemplo 232 Verificar se a seguinte regra de inferência é válida Solução Mediante o uso da tabelaverdade temos que o fato que todas as premissas sejam verdadeiras que p q r r q a conclusão também é verdadeira verificamos na 4a linha de sua tabelaverdade 4a linha p q r p q r r q v f f v v v é uma tautologia logo a regra de inferência é válida Exemplo 233 Determine a validade do seguinte argumento p q q r r p Solução Mostrase que p q q r r p é tautologia Portanto o argumento p q q r r p é válido 224 Verificação sem o uso de tabelaverdade Para a verificação de um argumento sem o uso da tabelaverdade um dos métodos é o ax iomático 2241 Método axiomático O método axiomático ou de fundamentação da ciência matemática consiste em fixar con ceitos primitivos ou não definidos e proposições sobre estes conceitos chamados axiomas ou postulados cuja verdade aceitasse convencionalmente sem demonstração para logo efetuar out ros conceitos matemáticos Aqueles outros conceitos matemáticos englobam a formulação de conceitos definidos e a in ferência ou dedução da proposições matemáticas chamadas de teoremas cuja verdade ou falsidade tem que ser demonstrada Tanto a dedução de teoremas quanto a demonstração dos mesmos devemse explicar uti lizando princípios lógicos isto permite o avanço seguro do moderno pensamento matemático 76 Fundamentos da Matemática Os princípios lógicos são extremadamente em abundância e adotam como estudamos as mas variadas formas Não obstante os mas importantes devido a seu sua maior utilização são os im plicativos isto porque facilitam as definições matemáticas e permitem conectar implicativamente os axiomas com os teoremas Quase a totalidade dos teoremas são da forma p q Logo para demonstrar que se cumpre tal implicação devemos utilizar os conceitos de tabela verdade para a mesma Existem duas maneiras fundamentais da teoria da demonstração 1o Demonstração direta 2o Demonstração indireta a Por contraposição bPor casos c Por redução ao absurdo d Por árvore de refutação Christian José Quintana Pinedo 77 Exercícios 21 1 Para cada um dos seguintes argumentos determine quais são Válidos e corretos consistentes Válidos e nãocorretos inconsistentes Não válidos não tem sentido 1 X é um número menor que todos os números menores que Y X não é menor que X Portanto X não é menor que Y 2 João é irmão de todos os irmãos de Roberto João não é irmão de si mesmo Portanto João não é irmão de Roberto 3 Se hoje é 3a então amanhã será 4a Amanhã será 4a Portanto hoje é 3a 4 Todos tem medo de Dracula Dracula somente tem medo de Richard Portanto Richard é Dracula 5 Romeo ama Julieta Julieta é uma palavra de sete letras Portanto Romeo ama uma palavra de sete letras 6 O número 2 divide o numerador de 6 8 6 8 3 4 Portanto 2 divide ao numerador de 3 2 7 Todos os borogroves são kismis se alguém tirila Nito tirila e Pac é um borogrove Portanto Pac é um kismi 8 Qualquer barbeiro de Itapejara faz a barba a todos os homens de Itapejara que não se fazem a barba e somente a eles Portanto não há barbeiros em Itapejara 9 João chegará se o dia esta bom Hoje o dia não esta bom Portanto João não chegará 2 Construir a condicional associada a cada um dos seguintes argumentos 1 p q p q 78 Fundamentos da Matemática 2 p q p q 3 p p q q r s r s 4 a b a 8 a 5 a c a b a c 3 Construir o argumento correspondente a cada uma das seguintes condicionais 1 p q p q 2 p q p q s 3 a 5 a b a 5 b a 4 Indicar a regra de inferência que justifique a validade dos seguintes argumentos 1 p q p q r 2 a 8 a 3 a 8 a 3 3 a b c b a c a b c b a c 4 p q p r p r p q 5 p q r s p q r s 6 p q r p 7 p q q r p r 8 p q r p p q r 9 p q r p q r 10 x y R x y R x y R x y R 11 q r p p q r 12 4 7 4 7 4 3 13 a 1 a 0 a 0 a 1 14 b 1 b 4 b 4 a b 6 b 1 a b 6 15 π 3 π 4 π 4 5 Verificar se são válidos os seguintes argumentos 1 p q p q 2 p q p 3 p q p r q r 4 p q p q 5 p q p q p q r p q r 6 Indicar quais dos seguintes esquemas lógicos são regras de inferência 1 p q p q 2 p q p q 3 p q p q p q 4 q p q q Christian José Quintana Pinedo 79 7 Utilizar Modus Ponens para deduzir a conclusão de cada uma dos seguintes pares de pre missas 1 a b b c a b b c a c 2 x y R xy R x y R 3 a b b c a c a b b c 4 4 2 5 2 4 2 5 a 1 2 a 1 2 b 1 2 6 a 4 b a b a 4 b 8 Demonstrar a validade das seguintes regras de inferência 1 p q q p 2 p q p q 3 p q q r r p 4 p q r p q 9 Utilizar Modus Tollens para deduzir a conclusão de cada uma dos seguintes pares de pre missas 1 a 6 a b b a b b 2 a c a 0 a 0 3 p q r s r s 4 4 2 4 1 4 1 10 Verificar se são válidos os seguintes argumentos 1 Se eu fosse matemático seria inteligente não sou matemático logo não sou inteligente 2 Não é verdade que eu gosto de churrasco e de batatas eu gosto de churrasco e batatas ou não estudo ou se gosto de churrasco não gosto de batata Seguese que eu estudo ou se gosto de churrasco então gosto de batata 3 Se eu gosto de açúcar então entendo matemática Eu gosto de açúcar ou vou a dançar Não entendo matemática Logo vou a dançar 4 Se estudo aprendo lógica Se não estudo divirtome Logo se não aprendo lógica divirtome 5 O aluno é aprovado se e somente se é estudioso Se o aluno tem tempo e não é estudioso então não é reprovado Se o aluno é estudioso e não tem tempo então ele é aprovado ou não Seguese que se o aluno tem tempo então ele é estudioso 6 Se Pedro é competente então se o serviço é bem feito ele será aceito O serviço não é aceito Seguese que se o serviço é bem feito então Pedro não é competente 11 Traduzir ao simbolismo lógico e verificar a validade do seguinte argumento Se o ingresso nacional é farto as arrecadações por imposto são fartas As arrecadações por imposto são baixas este ano Portanto o ingresso nacional deve ser baixo 80 Fundamentos da Matemática 12 Demonstrar se o seguinte argumento é ou não uma regra de inferência válida Se este é um bom livro vale a pena ler A matemática é fácil ou este livro não vale a pena ler Porém a matemática não é fácil Portanto este é um bom livro 13 Verificar a validade dos seguintes argumentos supondo as premissas verdadeiras 1 Quem é sensato estuda Lógica Nenhum insensato pode servir no júri Os seus filhos não estudam Lógica Seguese que seus filhos não podem servir no júri 2 Se Pedro é experiente não é incompetente Pedro erra sempre Pessoa competente não erra sempre Logo Pedro não é experiente 3 Ninguém lê o Diário do Povo se não é bem instruído Nenhum ouriço5 sabe ler Os que não sabem ler são bem instruídos Seguese que ouriço não lee o Diário do Povo 14 Escreva uma conclusão não trivial a partir das premissas verdadeiras a fim de obter um argumento válido 1 Burros são ilógicos Ninguém é desprezado se pode dirigir um jacaré Animais ilógicos são desprezados 2 Patos não dançam valsa Oficiais valsam As minhas aves são patos 3 Os nomes desta lista são convenientes para aprovar a exame Nomes começados com vocal são repetentes Se um nome começa com consoante não é conveniente para aprovar o exame 15 Verdade e falsidade são atributos das proposições não dos argumentos Enquanto proposições são verdadeiras ou falsas argumentos são válidos corretos ou não Exiba alguns exem plos de argumentos que sejam válidos mas que tenham conclusões falsas e de argumentos que não sejam válidos e que tenham conclusões verdadeiras 16 A lógica ocupase da correção dos argumentos e não com a verdade ou falsidade das premissas e da conclusão Aceitando uma tal definição explique o que ela significa 17 Explique talvez dando exemplos o motivo pelo qual qualquer uma das três combinações abaixo é possível em argumentos válidos 1 Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira 2 Algumas ou todas as premissas falsas e conclusão verdadeira 3 Algumas ou todas as premissas falsas e conclusão falsa 18 Os argumentos são válidos consistentes ou inconsistentes em função da sua forma e não de seu conteúdo Explique o que isto significa 5Animação intensa agitação agito excitação Christian José Quintana Pinedo 81 23 DEMONSTRAÇÃO Nesta etapa da teoria da demonstração é importante saber o que é necessário demonstrar em matemáticas Isto para estabelecer a diferença entre mostrar e demonstrar Existem provas de afirmações que realmente são mostras no sentido de somente mostrar para que se veja com o olhos que a afirmação é verdadeira Tal pode ser ocaso de mostrar visualmente o teorema de Pitágoras porém não existe razões que justifiquem a necessidade de demonstrar no sentido de afastarse da evidencia visual no caso que está não seja possível ou clara Deste modo devemos ter consciência de o que é e o que não é demonstrar assim como quando uma demonstração esta concluída também é bastante importante deixar claro a diferença entre o processo de descoberta de uma demonstração heurística e a formalização e organização lógica dedutiva de ela o qual constituem a demonstração propriamente dita Praticamente todos os teoremas matemáticos estão compostos por implicações do tipo p1 p2 pn q onde os pi são chamados de premissas ou hipóteses e q é chamada de conclusão Demonstrar o teorema é demonstrar que a implicação é uma tautologia Note que não estamos tratando de demonstrar que q a conclusão é verdadeira somente que q é verdadeira caso todas as pi sejam verdadeiras Em geral toda demonstração deve começar com as hipóteses seguidas das tautologias e regras de inferência necessárias até chegar à conclusão Exemplo 234 Temos a demonstrar o seguinte Dois ângulos estão em planos diferentes mas cada lado de um deles é paralelo ao lado correspondente do outro e está também na mesma direção Demon strar que os dois ângulos são iguais Isto é um teorema fundamental da geometria espacial a hipótese é Dois ângulos estão em planos diferentes Cada lado de um é paralelo ao lado correspondente do outro e tem também a mesma direção E sua conclusão é Os dois ângulos são iguais Os principais métodos da teoria da demonstração são Demonstrações diretas Demonstrações indiretas 82 Fundamentos da Matemática 231 Demonstrações diretas Toda demonstração direta deve começar com as premissas seguidas das tautologias e regras de inferência necessárias até chegar à conclusão cada passo deve estar acompanhado de sua respectiva justificativa Devido à tabelaverdade da implicação se a proposição p é falsa f a proposição p q é verdadeira v logo não temos nada a demonstrar Nos estamos interessados no caso que o antecedente p seja verdadeiro v Nesta seção p e q representam proposições simples ou compostas A partir da verdade de p deduzir a verdade de q é fazer uma demonstração direta da condicional p q isto consiste em uma lista de proposições p1 p2 p3 pn tais que pn coincide com q e para cada i 1 2 3 4 n e pi é evidentemente verdadeira ou coincide com as premissas ou é conseqüência imediata de uma ou varias das proposições que lhe precedem na lista Exemplo 235 Se trabalhar ou poupar então comprarei uma casa Se comprar uma casa então meu carro guardarei em casa Por tanto se não posso guardar meu carro em casa então não poupo Demonstração Sejam p trabalho q poupo r comprarei uma casa s poderei guardar o carro em casa O enunciado anterior podemos escrever na forma p q r r s s q Aqui a conclusão é q s q 1 p q r premissa 2 r s premissa 3 q q p tautologia 4 q p q 3 comutatividade 5 q r 14 silogismo hipotético 6 q s 25 silogismo hipotético 7 s q 6 contrarecíproca Portanto o enunciado é válido mesmo que a conclusão seja verdadeira ou falsa Exemplo 236 Demonstrar que se x2 2x 3 e x 2a 1 então a2 1 Christian José Quintana Pinedo 83 Demonstração Considere p x2 2x 3 r x 2a 1 e q a2 1 O que temos a demonstrar é que p r q é proposição verdadeira v Com efeito 1 p x2 2x 3 premissa 2 r x 2a 1 premissa 3 p r 2a 12 22a 1 3 substituição 4 p r 4a2 4 tautologia 5 q a2 1 6 Portanto acabamos de mostrar que p r q Assim a demonstração direta consiste em demonstrar ou deduzir a conclusão q a partir das premissas p1 p2 p3 pn aplicando as equivalências tautológicas e as regras de inferência Exemplo 237 Demonstrar a validade do argumento p q r r q Demonstração 1 p premissa 2 q r premissa 3 r premissa 4 q 2 e 3 Modus Tollens Exemplo 238 Demonstrar a validade do argumento p q q r r s s p Demonstração Observe que a conclusão q é q s p 1 p q premissa 2 q r premissa 3 r s premissa 4 p r 1 2 silogismo hipotético 5 r s 3 def de implicação 84 Fundamentos da Matemática 6 p s 4 5 silogismo hipotético 7 s p 6 contrarecíproca 8 s p conclusão 7 negação Portanto o argumento é válido Exemplo 239 Demonstre que se a b R tais que ab 1 então a b 2 Demonstração 1 ab 1 hipótese 2 0 a 1 e 1 b hipótese auxiliar 3 0 1 a e 0 b 1 propriedade em R 4 0 1 ab 1 propriedade em R 5 0 b ab 1 a propriedade em R 6 0 b 1 1 a 1 substituição 7 2 a b propriedade em R Portanto a b 2 2311 Demonstração direta por contraexemplo As demonstrações deste tipo utilizam a equivalência lógica Não é verdade que para todo elemento x cumpra a propriedade px é logicamente equivalente a existe algum elemento x que não cumpre a propriedade px isto é para demonstrar que não é verdade que se cumpra px para todo x é necessário e suficiente mostrar que existe pelo menos um x tal que não se cumpra px Exemplo 240 Demonstrar que Para todo natural n temse n 1 5 Demonstração Intuímos que o argumento é falso Temos que achar um número natural n tal que não cumpra n 1 5 Por exemplo considerar n 6 N logo 6 1 5 Logo existe um número natural n tal que n 1 5 Portanto não é verdade que para todo natural n tenhamos n 1 5 Christian José Quintana Pinedo 85 232 Demonstrações indiretas A demonstração indireta estabelece a verdade de uma afirmativa por revelar a falsidade da suposição oposta Deste modo ela apresenta certa semelhança com a astúcia do político que procura firmar os méritos de um candidato pela demolição da reputação do seu oponente Entre os métodos de demonstrações indiretas estudaremos os seguintes Por contraposição Por casos Por redução ao absurdo Por árvore de refutação 2321 Demonstração indireta Por contraposição É uma afirmação da forma se p q e consiste em supor q para mostrar que se cumpre p isto é tratase de provar que q p que é logicamente equivalente à afirmação original Assim a proposição p q q p é verdadeiro Isto é um exemplo da utilidade das verdades lógicas Exemplo 241 Demonstre que se a b R tais que ab 1 então a b 2 Demonstração 1 Suponhamos a b 2 hipótese auxiliar 2 a b 2 def de 3 0 a b2 22 a b R 4 2ab a2 b2 4 propriedade em R 5 4ab 2ab a2 b2 4 prop em R 2ab a2 b2 6 4ab 4 4 5 tautologia 7 ab 1 propriedade em R 8 a b 2 ab 1 1 7 Portanto ab 1 a b 2 Observe que temos a tautologia p q q p onde p ab 1 e q a b 2 Exemplo 242 Demonstre que existem infinitos números primos 86 Fundamentos da Matemática Demonstração Por definição de número primo sabemos que são os números naturais maiores do que um 1 e que podemos decompor como o produto de dois fatores ele mesmo e a unidade Este são 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 Sabese que em geral todo número natural podemos escrever como o produto de fatores primos por exemplo 630 75322 Suponhamos não existam infinitos números primos isto é suponhamos exista um último número primo P Neste caso poderíamos escrever todo o conjunto de números primos na forma 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 P 22 Com o produto de todos esses números primos poderíamos escrever um número Q na forma Q 23571113171923293137 P 1 este Q é maior do que P Supostamente Q não pode ser primo caso contrario um dos qualquer números primos do conjunto 22 é um fator de Q o qual é impossível Portanto supor que existe um último número primo está errado 2322 Demonstração indireta Por casos Para mostrar que uma conclusão q é verdadeira quando temos uma série premissas os casos p1 p2 p3 pn n 2 tais que esgotam todas as possibilidades ou seja que necessariamente se cumpre uma de elas isto é o enunciado p1 p2 p3 pn é verdadeira e além disso provase que se p1 implica q se p2 implica q se pn implica q Pode então se concluir em forma correta que a proposição q é verdadeira já que provouse o enunciado p1 p2 p3 pn p1 q p2 q p3 q pn q e resulta o argumento p1 p2 p3 pn p1 q p2 q p3 q pn q q é válido Logo para demonstrar a validade de argumentos cuja conclusão é uma fórmula condicional do tipo p q considerase o antecedente p como uma premissa adicional e o conseqüente q será a conclusão a ser demonstrada De fato sendo válido o seguinte argumento 1 p1 p2 p3 pn p q Christian José Quintana Pinedo 87 2 p1 p2 p3 pn p q 1 3 p1 p2 p3 pn p q 2 tautologia 4 p1 p2 p3 pn p q 3 tautologia exportação 5 p1 p2 p3 pn p q é válido 4 Portanto a conclusão q é válida Exemplo 243 Demonstrar a validade do argumento p q q r r s s p Demonstração Observe que a conclusão q s p 1 p q premissa 2 q r premissa 3 p r 1 2 4 r s premissa 5 r s 4 tautologia 6 p s 3 5 silogismo hipotético 7 s p de 6 tautologia 8 r s s p 47 Portanto a conclusão q s p é válida 2323 Demonstração indireta Por redução ao absurdo A demonstração por absurdo mostra a falsidade de uma suposição derivando dela um absurdo flagrante É um procedimento matemático mas se assemelha à ironia que é o procedimento predileto do satirista A ironia adota com todas as aparências uma determinada opinião que é exagerada e repetida até conduzir a um manifesto absurdo Para provar uma conclusão q é verdadeira temos a supor q e procedemos de acordo com alguma dos seguintes três casos Caso i Com a suposição extra q mostrase uma afirmação p contraditória com outra afirmação p mostrada anteriormente Isto devese ao caso que a afirmação q p p q é tautologia Modus Tollens 88 Fundamentos da Matemática Caso ii Com a suposição extra q mostrase uma afirmação p logo se prova p Isto devese ao caso que a afirmação q p q p q o bem q p p q é tautologia Lei do absurdo Este modo a demonstrar também é chamado por contradição Caso iii Com a suposição extra q mostrase o valor verdade de q Isto devese ao fato que a afirmação q q q é tautologia Então em cada caso podemos concluir corretamente q Se bem a definição original de redução ao absurdo6 é prova da falsidade de um enunciado ao obter de ele uma conseqüência lógica absurda o que simbolizamos como q p p q o usamos em forma positiva para provar a verdade do enunciado q usando a verdade lógica conhecida como principio do terceiro excluído q q para inferir corretamente q a partir de q Exemplo 244 Caso i Demonstrar que 5 1 Demonstração Demonstrarei pelo absurdo Seja q 5 1 a verificar que q é verdadeira 1 Sabese que p 5 1 0 hipótese auxiliar 2 Suponhamos q 5 1 hipótese auxiliar 3 Logo p 5 1 0 2 4 q p 23 5 q p p 1 e 4 6 q Modus Tollens Portanto 5 1 é verdadeiro Exemplo 245 Caso ii Demonstrar que 5 1 Demonstração Demonstrarei pelo absurdo Seja q 5 1 a verificar que q é verdadeira 6Reductio ad absurdum Christian José Quintana Pinedo 89 1 Seja p 5 1 0 hipótese auxiliar 2 Suponhamos q 5 1 hipótese auxiliar 3 Logo p 5 1 0 2 4 p 5 1 0 2 5 p p 3 e 4 6 q lei do absurdo a q p p Portanto 5 1 Exemplo 246 Temos a mostrar pelo absurdo caso ii que o argumento p1 p2 p3 pn q é verdadeiro Para isto considerase a negação da conclusão q como premissa adicional e concluise uma fórmula F fórmula falsa do tipo r r De fato sendo q verdadeira temser o seguinte argumento 1 p1 p2 p3 pn q F 2 p1 p2 p3 pn q F 1 tautologia exportação 3 p1 p2 p3 pn q F 2 implicação material 4 p1 p2 p3 pn q F 3 tautologia dupla negação 5 p1 p2 p3 pn q propriedade de F Portanto p1 p2 p3 pn q é válido Exemplo 247 Caso ii Demonstrar por absurdo a validade do argumento p q q r r s s p Demonstração Neste exemplo podemos considerar q s p logo 1 p q premissa 2 q r premissa 3 r s premissa 4 s p premissa adicional 5 p r 1 2 silogismo hipotético 6 r s 3 def de implicação 7 p s 5 6 silogismo hipotético 90 Fundamentos da Matemática 8 s p 7 contraposição 9 s p s p de 4 8 conjunção 10 F isto de 9 Portanto a partir das premissas p q q r r s concluir q s p é válido A demonstração do seguinte teorema pelo método da contradição é como se indica Exemplo 248 Demonstrar que p p r t s q p s q Demonstração 1 p p r premissa 2 t s q premissa 3 p s premissa 4 q premissa auxiliar 5 t s 2 4 modus tollens 6 t s 5 lei de Morgan 7 t 6 simplificação 8 s t 6 lei comutativa 9 s 8 simplificação 10 s p 3 lei comutativa 11 p 9 10 silogismo disjuntivo 12 t r 1 11 modus ponens 13 t 12 simplificação 14 t t 7 13 conjunção 15 Contradição Portanto p p r t s q p s q Para a demonstração pelo absurdo do Caso iii apresentamos dois tipos aquele que esta belece que 1o Uma proposição cuja falsidade implica sua verdade é verdadeira isto é q q q Christian José Quintana Pinedo 91 2o Uma proposição verdadeira que implica sua própria falsidade é falsa isto é q q q Exemplo 249 Caso iii Demonstrar que todo número natural não é menor que si mesmo Demonstração Temos as proposições p a número natural e q a a A verificar que p q 1 Seja p a número natural hipótese premissa 2 a a propriedade reflexiva 3 q a a hipótese auxiliar 4 a a isto de 3 5 Contradição entre 2 e 4 logo a hipótese auxiliar q não é certa é falsa 6 Então q é verdadeira 7 Aplicando q q q a 3 e 6 temos q 8 Como q é verdadeira temos que p q é verdadeira Portanto todo número natural não é menor que si mesmo Exemplo 250 Escrever números inteiros usando cada um dos dez algarismos uma só vez de tal modo que a soma desses números seja exatamente 100 Demonstração Suponhamos por exemplo o conjunto de números 19 28 37 46 50 cada algarismo corresponde só uma vez sua soma é 180 e não 100 Poderíamos continuar tentando até obter 19 28 30 7 6 5 4 99 Naturalmente a primeira parte do problema é satisfeita porém não chegamos a obter 100 segunda parte porem se escrevemos 1928317654 100 Observe que a primeira parte do problema não é satisfeita o número 1 repetese duas vezes Observe que se somamos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 alguns desses algarismos denotam unidades e outros dezenas Suponhamos que o algarismo a seja o das dezenas então teríamos 10a 45 a 100 lembre que a é número natural Da ultima igualdade seguese que 9a 55 de onde é impossível a existência de a N Supor que as duas partes do problema são simultaneamente satisfeitas é um flagrante ab surdo assim é impossível satisfazer ao mesmo tempo as duas partes do problema Logo chegamos a demonstrar que as duas partes do problema são incompatíveis 92 Fundamentos da Matemática Nosso raciocínio neste último exemplo foi uma típica demonstração por absurdo 11 Na demonstração pelo absurdo podemos aplicar qualquer das formas da lei do absurdo 2324 Demonstração indireta Árvore de refutação Árvore de refutação é um método para verificar a validade de um argumento análogo à demonstração por absurdo Para testarmos a validade de um argumento construímos uma lista de fórmulas consistindo de suas premissas p1 p2 p3 pn e a negação de sua conclusão q que formam a raiz da árvore A árvore continua abaixo com a construção de seus ramos por aplicações de regras que serão especificadas abaixo e gerando novas linhas na árvore A árvore termina quando as fórmulas de seus ramos são variáveis proposicionais negações de variáveis proposicionais ou quando encontrarmos em todos os ramos uma fórmula f Se encontrarmos em todos os ramos da árvore uma fórmula f então a nossa tentativa de refutação falhou ou seja o argumento é válido Se em algum ramo da árvore não foi possível encontrar uma fórmula f então refutamos o argumento isto é o argumento não é válido Regras para a construção de uma árvore de refutação As regras para a construção de uma árvore de refutação estão relacionadas com as tabelas verdade já conhecidas Ao aplicar uma regra em uma fórmula da árvore temos a observar que A fórmula será marcada para evitar aplicações repetidas de uma regra em uma mesma fórmula A aplicação de uma regra deve gerar uma ou duas linhas um ramo ou dois ramos conforme a regra e será aplicada em todos os ramos abertos não fechados com X aos quais a fórmula pertence A aplicação de uma regra deve gerar uma ou duas linhas um ramo ou dois ramos conforme a regra e será aplicada em todos os ramos abertos não fechados com X aos quais a fórmula pertence Temos as seguintes regras 1a Regra da dupla negação Uma fórmula do tipo p gera uma linha e escrevemos na linha Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p pertence pois p é verdadeira se e somente se p é verdadeira 2a Regra da conjunção Uma fórmula do tipo p q gera duas linhas e escrevemos em cada linha as fórmulas p e q Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p q pertence pois p q assume valor v se e somente as fórmulas p e q são verdadeiras Christian José Quintana Pinedo 93 1 p q 2 p 3 q 3a Regra da disjunção Uma fórmula do tipo p q gera uma linha e dois ramos e escrevemos na linha e em cada ramo as fórmulas p e q respectivamente Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p q pertence pois p q assume valor v se e somente a fórmula p é verdadeira ou a fórmula q é verdadeira 1 p q 2 p q 4a Regra da implicação Uma fórmula do tipo p q gera uma linha e dois ramos e escrevemos na linha e em cada ramo as fórmulas p e q respectivamente Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p q pertence pois p q assume valor v se e somente a fórmula p é verdadeira ou a fórmula q é verdadeira 1 p q 2 p q 5a Regra da bicondicional Uma fórmula do tipo p q gera duas linhas e dois ramos e escrevemos nas linhas as fórmulas p e q em um ramo e as fórmulas p e q no outro ramo Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p q pertence pois p q assume valor v se e somente a fórmula p q é verdadeira ou a fórmula p q é verdadeira 1 p q 2 p p 3 q q 94 Fundamentos da Matemática 6a Regra da negação da conjunção Uma fórmula do tipo p q gera uma linha e dois ramos e escrevemos na linha e em cada ramo as fórmulas p e q respectivamente Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p q pertence pois p q assume valor v se e somente a fórmula p é verdadeira ou a fórmula q é verdadeira 1 p q 2 p q 7a Regra da negação da disjunção Uma fórmula do tipo p q gera duas linhas e escrevemos em cada linha as fórmulas p e q Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p q pertence pois p q assume valor v se e somente as fórmulas p e q são verdadeiras 1 p q 2 p 3 q 8a Regra da negação da implicação Uma fórmula do tipo p q gera duas linhas e escrevemos em cada linha as fórmulas p e q Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p q pertence pois p q assume valor v se e somente as fórmulas p e q são verdadeiras 1 p q 2 p 3 q 9a Regra da negação da bicondicional Uma fórmula do tipo p q gera duas linhas e dois ramos e escrevemos nas linhas as fórmulas p e q em um ramo e as fórmulas p e q no outro ramo Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula p q pertence pois p q assume valor v se e somente a fórmula p q é verdadeira ou a fórmula p q é verdadeira 1 p q 2 p p 3 q q Christian José Quintana Pinedo 95 10a Ramo fechado Um ramo será fechado se em ele existem uma fórmula p e sua negação p e escrevemos X no final do ramo 1 p 2 p 3 X Observação 23 1 As regras dadas para construir árvores de refutação se aplicam em cada linha ao conectivo principal da fórmula e não a subfórmulas Por exemplo 1 p q 2 p q incorreto 2 Não importa a ordem em que as regras são aplicadas no entanto é mais eficiente aplicar as regras primeiramente em fórmulas que não resultam em ramificações 3 Cada linha gerada deve ser justificada indicando a respectiva linha de origem na qual foi aplicada a regra e também a regra usada 4 Fórmula na qual foi aplicada alguma regra deve ser marcada para evitar aplicações repetidas da mesma Exemplo 251 Construir uma árvore de refutação para mostrar que p q p Solução Escrevemos a premissa seguidamente a negação da conclusão 1 p q 2 p Sabemos que pq é verdadeira se e somente se p e q são ambas verdadeiras daí podemos substituir p q por p e q gerando as linhas 3 e 4 respectivamente e marcando a fórmula pq Uma fórmula marcada não poderá mais ser utilizada na construção da árvore 1 p q 2 p 3 p 4 q 96 Fundamentos da Matemática Como p é verdadeira se e somente se p é verdadeira marcamos p e substituí mos por p gerando a linha 5 1 p q 2 p 3 p 4 q 5 p A árvore terminou pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos variáveis proposi cionais ou negações de variáveis proposicionais Por outro lado encontramos nas linhas 3 e 5 uma fórmula f ou seja nossa tentativa de refutação falhou e portanto o argumento é válido Isso será expresso escrevendo um X no final da lista gerando a linha 6 e fechando o único ramo da árvore 1 p q 2 p 3 p 4 q 5 p 6 X A árvore de refutação está completa A nossa busca para uma refutação do argumento dado falhou e portanto o argumento p q p é válido Exemplo 252 Construir uma árvore de refutação para mostrar que p q p q Solução Iniciamos a árvore escrevendo a lista de fórmulas as premissas e a negação da conclusão 1 p q 2 p 3 q Sabemos que p q é verdadeira se e somente se p é verdadeira ou q é verdadeira Para representar esse fato marcamos pq e ramificamos a árvore gerando a linha 4 com dois ramos 1 p q 2 p Christian José Quintana Pinedo 97 3 q 4 p q A árvore terminou pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos variáveis proposi cionais ou negações de variáveis proposicionais Por outro lado encontramos uma fórmula f em um ramo nas linhas 2 e 4 e no outro ramo nas linhas 3 e 4 ou seja nossa tentativa de refutação falhou e portanto o argumento é válido Isso será expresso escrevendo um X no final de cada ramo da lista gerando a linha 5 e fechando os dois ramos da árvore 1 p q 2 p 3 q 4 p q 5 X X A árvore de refutação está completa Como a tentativa de refutação falhou nos dois ramos o argumento dado é válido Exemplo 253 Construir uma árvore de refutação para verificar a validade do seguinte argumento p q p q 1 p q 2 p 3 q Temos que q é equivalente a q daí marcamos q e escrevemos q gerando a linha 4 1 p q 2 p 3 q 4 q Como no exemplo anterior marcamos p q e ramificamos a árvore gerando a linha 5 com dois ramos 1 p q 2 p 98 Fundamentos da Matemática 3 q 4 q 5 p q A árvore terminou e nos dois ramos não há contradições ou seja uma fórmula f Neste caso os ramos não serão fechados e o argumento não é válido Exemplo 254 Verificar a validade do argumento p r s r s q p q Solução 1 p r s hipótese 2 r s q hipótese 3 p q negação da tese 4 p 3 negação de 5 q 3 negação de 6 p r s de 4 6 e 1 7 X 8 r s 6 9 r s q r s q 2 10 r s X r s X 11 X 9 5 X 9 5 10 8 Temos neste caso dois ramos que não fecharam e portanto o argumento não é válido Exemplo 255 Construir uma árvore de refutação para verificar se a fórmula p q p q é uma tautologia Solução 1 p q p q negação da tese 2 p q 1 negação de 3 p q 1 negação de 4 p 2 negação de 5 q 2 negação de 6 p q 3 negação 7 X X 6 5 Todos os ramos estão fechados assim a fórmula é válida ou seja é uma tautologia Christian José Quintana Pinedo 99 24 FUNÇÕES PROPOSICIONAIS 241 Função proposicional Definição 29 Função proposicional Dizemos função proposicional a todo enunciado aberto e denotamos por px 2411 Campo da variável O conjunto de valores da variável está formado por todos os valores conveniados para a variável x O representaremos por D e dizemos que x pertence a D o qual denotamos x D Isto é pela definição de enunciado aberto função proposicional sobre D é toda expressão px tal que pa é verdadeira ou falsa para todo a D Exemplo 256 a px x 4 7 onde x N É uma função proposicional cujo domínio são os números naturais observe que p5 5 4 7 é verdadeiro v p2 2 4 7 é falso f b 2x 9 12 é uma função proposicional O domínio poderá ser os números naturais os inteiros ou os reais Porém o domínio não poderá ser seres humanos pois não terá sentido escrever qmulher 2mulher 9 12 não é verdadeiro v nem falso f p2 2 4 7 é falso f c rx x é humano É função proposicional e seu domínio pode ser todo ser animado7 ou inanimado8 e assim teríamos por exemplo as proposições rmulher Mulher é humano é verdadeiro v rgato O gato é humano é falso f rcaneta A caneta é humano é falso f 242 Raiz de uma função proposicional Quando ao substituir o valor da variável x por um valor específico a de seu domínio obte mos uma proposição verdadeira então o valor específico de a é uma solução ou raiz da função proposicional Exemplo 257 7A que se deu alma ou vida ou aparência de vida 8Sem ânimo morto 100 Fundamentos da Matemática Suponhamos px 7x 5 9 ao substituirmos x 2 obtemos p2 72 5 9 verdadeiro v Logo x 2 é raiz de px 7x 5 9 Ao substituirmos x 3 obtemos p3 73 5 9 falso f Logo x 3 não é raiz de px Definição 210 Conjunto verdade Chamase conjunto verdade de uma função proposicional px no domínio D ao conjunto de todos os elementos em a D tais que a proposição pa seja verdadeira Denotamos o conjunto verdade para a proposição p como Vp Exemplo 258 Seja o conjunto de números A 1 2 3 4 5 e px x 4 então Vp 1 2 3 25 QUANTIFICADORES Quando escrevemos x6 9 não podemos classificar tal enunciado aberto como proposição verdadeira v ou falsa f ao menos que sejam atribuídos valores à variável x Uma situação bem diferente acontece quando afirmamos que Para todo valor x temos x 6 9 Esta sentença é uma proposição evidentemente falsa porém tornou possível classificala como proposição falsa Por outro lado se afirmamos Existe um valor x tal que x 6 9 neste caso a sentença é verdadeira Seja px uma função proposicional definida num conjunto D e Vp seu conjunto verdade Quando Vp D todos os elementos de D satisfazem a sentença aberta px podemos afirmar a Para todo elemento x de D temos que px é verdadeira b Qualquer que seja o elemento x de D temos que px é verdadeira Um quantificador universal é uma proposição da forma Para todo x px onde px é uma função proposicional No simbolismo da lógica matemática indicase a palavra para todo com Exemplo 259 1 A proposição n N tal que pn n8 4 é verdadeira observe que Vp 1 2 3 2 A proposição n N tal que qn n 10 14 é falsa observe que Vq 1 2 3 4 e não cumpre para todo n N Somente existem alguns valores de n N Seja px uma função proposicional num conjunto D e Vp seu conjunto verdade Quando Vp D alguns os elementos de D satisfazem a sentença aberta px podemos afirmar Christian José Quintana Pinedo 101 a Existem elementos x de D tais que px é verdadeira b Para algum elemento x de D temos que px é verdadeira Um quantificador existencial é uma expressão da forma Existe x tal que px onde px é uma função proposicional No simbolismo da Lógica matemática indicase a palavra existe com A função proposicional que forma parte de uma quantificação recebe o nome de o quantificado e à frase que precede o nome de quantificador Exemplo 260 1 A proposição n N tal que pn n8 4 é falsa observe que Vp 1 2 3 N Isto é satisfaz para todos os valores de N 2 A proposição n N tal que qn n10 14 é verdadeira observe que Vq 1 2 3 e cumpre o fato de existir elementos n N Não satisfaz para todos os valores de n N Exemplo 261 1 x x2 2 4x se lê Para todo x temse que x2 2 4x 2 x x2 2 4x se lê Existe x tal que x2 2 4x 3 x x 10 se lê Para todo x temse que x 10 4 x x 2 se lê Existe x tal que x 2 Exemplo 262 Suponhamos temos números naturais a b c b N a b b exprime a condição acerca de a N como um número par a b a b b não diz nada respeito de a N Esta proposição definitivamente é falsa Observação 24 Observe que somente px não é uma proposição somente é uma função proposicional por conseguinte não tem valor de verdade Quando escrevemos px ou px são proposições portanto tem valor verdade v Algumas vezes o domínio da variável esta implícito quando não for assim devemos indicar o domínio no mesmo quantificador Na língua portuguesa se dizer Pedro ama alguém com quantificadores posso escrever b px b Toda pessoa ama alguém com quantificadores posso escrever x y px y As variáveis x y denotam pessoas arbitrarias a constante b denota o individuo Pedro e a proposição px y significa x ama y 102 Fundamentos da Matemática Exemplo 263 x N 1 x 0 sendo N os números naturais positivos Se o domínio de x for implícito escreveríamos x 1 x 0 Os quantificadores podem escreverse com funções proposicionais de mais de uma variável Exemplo 264 Quantificador Aqui diz 1 x y px y Para todo x existe y tal que px y 2 x y qx y Para todo x para todo y tal que qx y 3 a b pa b Existe a e existe b tal que pa b 4 a a ra b Existe a para todo b tal que ra b Exemplo 265 Interpretar em palavras o seguinte argumento ε 0 δ 0 x Df x a e a δ x a δ então L ε fx L ε Solução Para todo ε 0 existe δ 0 tal que para todo x Df sendo x a se a δ x a δ então L ε fx L ε Exemplo 266 Escrever com quantificadores o seguinte argumento Todo homem é mortal Sócrates é homem Sócrates é mortal Solução Consideremos as proposições px x é homem qy y é mortal e nossa variável a Sócrates Logo temos o seguinte diagrama x px qx pa qa 251 Negação de quantificadores A negação da proposição p Todo estudante se alimenta é a proposição p Não é verdade que todo estudante se alimenta Isto é p Existe ao menos um estudante que não se alimenta assim denotando com D a todos os estudantes e por px x se alimenta Então x D px x D px é verdadeira Na negação das proposições que contem quantificadores são verdadeiras as seguintes equiv alência de Morgan Christian José Quintana Pinedo 103 A1 x D px x D px A2 x D px x D px Exemplo 267 a x N x 1 10 x N x 1 10 Em palavras Não é verdade que para todo número natural x temos que x 1 10 isto é logicamente equivalente a Existe pelo menos um número natural x tal que x 1 10 b x R x2 0 x R x2 0 Em palavras Não é verdade que exista um número real x tal que x2 0 isto é logicamente equivalente a Para todo número real x temse que x2 0 As demonstrações deste tipo utilizam a equivalência lógica x D px x D px isto é para demonstrar que não é verdade que se cumpra px para todo x D é suficiente mostrar que existe pelo menos um x D tal que não se cumpra px Exemplo 268 Demonstrar que É falso que para todo natural n tenhamos n 1 5 Demonstração A demonstração será direta por contradição É suficiente achar um número natural n tal que não cumpra n 1 5 Por exemplo considerar n 6 N logo 6 1 5 absurdo Portanto é falso que para todo natural n tenhamos n 1 5 Observação 25 Observe que o problema de determinar o valor de verdade de uma quantificação podemse apresentar os seguintes casos 1 Demonstrar que x px é falsa isto é x px é o caso do Exemplo262 2 Demonstrar que x px é verdade Neste caso a demonstração deve compreender a verdade de px para todos os valores do domínio de x 3 Demonstrar que x px é verdade Nesta caso basta achar um exemplo 4 Demonstrar que x px é falsa isto é x px Aqui temos a mostrar que px não se compre para nenhum elemento do domínio de x Exemplo 269 Dado o domínio D 1 2 3 determine o valor verdade para os seguintes enunciados 104 Fundamentos da Matemática 1 a b a2 b2 12 2 a b c a2 b2 c2 Solução 1 O enunciado é verdadeiro observe que para todo a0 D temse existe b 1 de modo que a2 0 12 12 Solução 2 O enunciado é falso observe que se c0 1 então a2 b2 c2 0 não tem solução em D 252 Ambigüidades Existem casos em que dado uma proposição esta tenha uma interpretação ambígua cabendo primeiro a nos resolver as ambigüidades para logo passarmos a resolver sua formalização Observe o enunciado Todo motorista tem um santo padroeiro Podemos escrever na forma x px y qy x o também podemos escrever na forma y x px qy x Estas duas formalizações são equivalentes Note que o artigo indefinido um é utilizado como significando o mesmo que um qualquer isto é como se for um quantificador universal Exemplo 270 No enunciado Os diâmetros de uma circunferência cortamse num ponto Aqui estão implícitos três quantificadores temos a entender este enunciado na forma para toda circunferência existe um ponto no qual todos os diâmetros se cortam Pequeno dicionário de heurística Problema de determinação Tem como objetivo encontrar um certo objeto a incógnita do problema Problema de determinação Tem como objetivo mostrar conclusivamente que certa afirma tiva claramente enunciada é verdadeira ou então que é falsa Raciocínio heurístico é aquele que não se considera final e rigoroso mais apenas provisório e plaussível e que tem por objetivo descobrir a solução do problema que se apresenta Christian José Quintana Pinedo 105 Exercícios 22 1 Seja A 1 2 3 4 5 determine o valor lógico de cada uma das seguintes funções proposicionais 1 a A a a 2 a A a2 a 3 a A a 2 a 4 a A a a 5 a A a2 a 6 a A a 2 a 2 Determine a negação das proposições do exercício anterior 3 Seja R o conjunto dos números reais determine o valor lógico da cada uma das seguintes funções proposicionais 1 a R a a 2 a R a2 a 3 a R a 2 a 4 a R a a 5 a R a2 a 6 a R a 2 a 4 Determine a negação das proposições do exercício anterior 5 Sendo A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 determine um contraexemplo para cada uma das seguintes proposições 1 a A a 4 11 2 a A a é primo 3 a A a2 1 4 a A a é par 5 a A 1a 1 6 a A a32 6 Expressar em palavras a seguinte simbologia 1 x x 7 5 2 x y x y 9 3 a b a2 b2 c2 16 4 n N n 2 n 7 Escreva em símbolos usando quantificadores 1 Todo número inteiro é par ou ímpar 2 Existem números inteiros que são pares ou ímpares 3 Todo número inteiro elevado ao quadrado dá sempre um resultado não negativo 8 Escreva a negação de cada uma das proposições 1 Todo peruano é baixinho 2 Existem gatos que não têm rabo 3 Todos meus alunos são inteligentes 4 Todos os jornalistas são mentirosos 106 Fundamentos da Matemática 9 Analisar os seguintes enunciados logo a Determine quais são proposições b Quais são funções proposicionais c Determine o valor verdade das proposições 1 x 5 9 2 x N x 5 9 3 x N x 2 x 4 x N x 2 x 5 x N x 2 x 6 x y z 7 x N y N x y y 10 Negar as proposições do exercício anterior 11 Determine o valor de verdade para cada uma das seguintes proposições se x Z 1 x x2 x 2 x x 7 x 3 x x 5 5 4 x x 8 x 5 x x2 x 6 x x 1 x 12 Aplicando leis de Morgan para negação de quantificadores determine proposições equiva lentes às seguintes 1 x x 5 9 2 x x 5 x 3 x x 5 x 4 x x 10 x 5 x x2 2x 1 0 6 x x 7 0 7 x x 7 x 3 8 x x 7 13 Se a coleção de números 1 2 3 4 5 é representada por D demonstrar mediante contra exemplos a falsidade das seguintes proposições 1 x D x 3 6 2 x D 2x 8 3 x D x2 20 4 x D x 10 x 14 Se px 5x 1 10 e temos x 2y obter uma função proposicional py equivalente a px 15 Determine premissas e a conclusão para cada um dos seguintes argumentos 1 a c b c se e somente se a b 2 Se ac bc e c 0 então a b 3 ab 0 se e somente se a 0 ou b 0 4 a2 b2 se e somente se a b ou a b 5 a2 b2 0 se e somente se a 0 e b 0 6 a 0 e b 0 a b se e somente se a2 b2 7 ab 0 se e somente se a 0 e b 0 ou a 0 e b 0 8 Se a² b então b a b 9 a² b então a b ou a b 10 a 0 e ax² bx c 0 x R se e somente se b² 4ac 11 Se b 0 e a b então a b ou a b 108 Fundamentos da Matemática 3 Se 2 é primo é então o menor primo Se 2 é o menor primo estão 1 não é primo O número 1 não é primo Portanto 2 é primo 17 Quais dos argumentos do exemplo anterior são verdadeiros e quais são falsos 18 Considerando a interpretação Domínio Conjunto de números naturais px x é par qx x é primo rx x é ímpar sx y y múltiplo de x traduzir as seguintes proposições determinando quais são verdadeiras e quais são falsas 1 x s2 x px 2 x px sx 3 3 x rx s0 x 4 x px s2 x 5 x px y sx y py 6 x qx y py sx y 7 x rx y qy sx y 1 Determine a negação para cada um dos seguintes enunciados 1 x x 7 5 2 x y x y 9 3 a b a² b² c² 16 4 n N n 2 n 5 x x 2 então 6 x 6 x y y x 3 110 Fundamentos da Matemática 11 Os dois segmentos retilíneos formados pela união de um par de vértices opostos de um paralelogramo aos pontos médios dos lados opostos são iguais em comprimento e paralelos 12 O segmento retilíneo determinado pelos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual á semisoma de seus comprimentos 13 O segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é de comprimento igual á semidiferença dos comprimentos dos lados paralelos 14 A soma dos quadrados dos comprimentos dos lados de qualquer paralelogramo é igual á soma dos quadrados dos cumprimentos de suas diagonais 15 Os segmentos retilíneos que unem os pontos médios de lados opostos de qualquer quadrilátero cortamse mutuamente ao meio 16 Os segmentos retilíneos que unem os pontos médios dos lados sucessivos de um retân gulo formam um losango 17 Os segmentos retilíneos que unem os pontos médios dos lados sucessivos de um losango formam um retângulo 18 Os ângulos das bases de um trapézio isósceles são iguais 19 Os pontos médios de dois lados opostos de qualquer quadrilátero e os pontos médios das diagonais são os vértices de um paralelogramo 20 Enunciar a recíproca do Teorema de Pitágoras 21 O segmento retilíneo que une os pontos médios de dois lados opostos de qualquer quadrilátero e o segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais do quadrilátero cortamse mutuamente ao meio 22 O segmento retilíneo que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio cortam ao meio cada uma de suas diagonais 23 A soma dos quadrados das distâncias de qualquer ponto do plano a dois vértices opostos de qualquer retângulo é igual á soma dos quadrados de suas distâncias aos outros dois vértices 24 Enunciar a recíproca do Exercício anterior 25 Sejam O A B e C os vértices sucessivos de um paralelogramo e sejam D e E os pontos médios dos lados AO e BC respectivamente Então os segmentos retilíneos DB e OB trissectam a diagonal AC Capítulo 3 CONJUNTOS G Cantor Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor nasceu na cidade de St Petersburgo o 03 de março de 1845 e faleceu no hospital de doenças mentais de Halle em 1918 Passou a maior parte de sua vida na Alemanha Seus pais eram cristãos de ascendência judia e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval Estudou em Zurich Göttingen e Berlim concentrandose em Filosofia Física e Matemática possuindo grande imagi nação em 1867 obteve o grau de doutor em Berlim com uma tese sobre Teoria dos Números Muito atraído pela Análise sua preocupação estava voltada para a idéia do infinito que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemática mas sem se chegar a uma conclusão precisa Em 1874 Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar Havia reconhecido a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos e ao contrário de Dedekind 1831 1916 percebeu que nem todos eram iguais passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a mesma potência que o dos inteiros positivos pois podem ser postos em correspondência biunívoca provou que o conjunto de todas as frações é contável enumerável e que a potência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o próprio Cantor certa vez escrevendo a Dedekind disse Eu vejo isso mas não acredito e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração Seus incríveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida de profundos efeitos no ensino Os matemáticos da época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor mas este juntando as provas construiu toda uma aritmética transfinita Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle de pouca importância nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspirações que era a de ser professor na Universidade de Berlim devido à perseguição de Kronecker 1823 1891 O reconhecimento de suas realizações mereceram a exclamação de Hilbert 1862 1943 Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós 111 112 Fundamentos da Matemática 31 ESTUDO AXIOMÁTICO DA TEORIA DE CONJUNTOS Uma definição matemática é uma convenção que consiste usar um nome ou uma sentença breve para designar um objeto ou uma propriedade cuja descrição normalmente exigiria o em prego de uma sentença mais longa os padrões atuais são de precisão e objetividade Axioma é um princípio básico que é assumido como regra de jogo no processo de inferência lógica sem demonstração previa Na antiga Grécia é onde começo o uso de axiomas enunciados ou afirmações sempre condi cionados pela sua aparência autoevidente Exemplo 31 Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente O todo é maior que qualquer de suas partes A base da construção de qualquer disciplina matemática é o método axiomático isto é o estabelecimento de um conjunto de regras de raciocínio de enunciados e axiomas ou postula dos a partir dos quais e por regras de inferência do sistema derivamse outros enunciados ou proposições chamados teoremas Assim em geral quando estudamos matemática freqüentemente encontramos a seguinte ter minologia método axiomático teorema corolário lema Método axiomático Consiste em uma lista de conceitos primitivos enunciados axiomas ou postulados de uma teoria matemática todas as demais noções devem ser definidas e as afirmações seguintes devem ser demonstradas Teoremas São proposições a serem demonstradas Corolários São conseqüências imediatas dos teoremas Lema É uma proposição auxiliar usada na demonstração de um teorema Um axioma é pois um princípio que permite iniciar um processo lógico de dedução considerando o como partida dos passos do raciocínio A coleção inicial de sinais definições enunciados axiomas ou postulados e regras de derivação1 desde tais axiomas é o sistema axiomático da disciplina que se construa Este grupo inicial de axiomas ou regras não pode ser qualquer dos enunciados toda vez que devem cumprir certos requisitos necessários para o desenvolvimento lógico Com efeito estas regras devem ter efeito indecidível consistente e não contraditório isto é a partir de elas podemse derivar qualquer enunciado da disciplina para o qual serve como fundamento Justificase Indecidível Nenhum axioma do sistema pode ser obtido como um teorema partindo dos outros axiomas 1Derivação no sentido de derivar Desviar do seu curso mudar a direção de dirigir para outro ponto Christian José Quintana Pinedo 113 Consistente internamente Não poderemos ter como teorema do sistema alguma con tradição de um axioma Não contraditório O afirmado por um axioma não contradiz o afirmado por qualquer dos restantes axiomas do sistema Assim podese observar que os teoremas desenvolvemse apoiados fundamentalmente nos axiomas e definições Logo no desenvolvimento de um sistema axiomático de uma teoria matemática temse 1 Termos não definidos 2 Relações não definidas 3 Axiomas que relacionam os termos não definidos e as relações não definidas Termos não definidos são princípios ou regras que disciplinem sua utilização e estabeleçam suas propriedades estes princípios são chamados axiomas ou postulados e são proposições que não se demonstram se aceitam Exemplo 32 No desenvolvimento axiomático da geometria plana Pontos e retas são termos não definidos Ponto em uma reta ou o que é equivalente reta que contem um ponto é uma relação não definida Dois dos axiomas são Axioma 1 Dois pontos distintos estão sobre uma mesma reta Axioma 2 Duas retas distintas não podem ter mais de um ponto em comum Exemplo 33 No desenvolvimento axiomático da teoria de conjuntos Elemento e conjunto são termos não definidos Pertinência de um elemento a um conjunto é uma relação não definida Dois dos axiomas são Axioma 1 Dois conjuntos A e B que tem os mesmos elementos representam o mesmo conjunto Axioma 2 Sejam px uma proposição para x e A um conjunto então existe um conjunto B a a A pa é verdadeira 114 Fundamentos da Matemática A teoria de conjuntos foi criada em uma situação semiintuitiva sua formalização como uma teoria axiomática resultou extremamente difícil não obstante o simples e pouco problemática que aparentava a noção de conjunto Seus primeiros desenvolvimentos fizeram aparecer os famosos paradoxos de BuraliForte de Cantor de Russell as discussões respeito do axioma de escolha e a hipótese do continuo Em toda axiomatização da teoria de conjuntos é necessário pelo menos um axioma ou regra que permita discernir sob que condições vários conjuntos representam o mesmo conjunto isto é algo que permita nos estender fazer uma extensão do conceito de conjunto Também precisamos de outro axioma que nos permita definir tipos de conjuntos isto é outro axioma que poderíamos chamar de axioma formador de conjuntos A primeira axiomatização apareceu em 1908 com os sete axiomas de Zermelo 1871 1953 1 Axioma de extensão 2 Axioma de especificação 3 Axioma do par não ordenado 4 Axioma das potências 5 Axioma das uniões 6 Axioma de escolha 7 Axioma de infinitude A existência de alguns conjuntos não ficava garantida com estes sete axiomas proposto por Zermelo isto acontecia quando apareceram conceitos de relações entre conjuntos devido a esta situação Fraenkel 1891 1965 em 1922 propus adicionar um oitavo axioma 8 Axioma de substituição Resultando conhecido como o sistema axiomático de Zermelo Fraenkel sistema ZF Ainda assim com estes 8 axiomas o sistema era incompleto pois isto acontecia quando comparavase conjuntos de infinitos elementos como mostra o seguinte exemplo Exemplo 34 Paradoxo de Galileu Esse paradoxo afirma que há tantos números quadrados perfeitos quanto há números naturais e viceversa Isso é mostrado com a correspondência Ao número 1 2 3 4 5 6 Corresponde o 1 4 9 16 25 36 No entanto como é possível que isso aconteça se nem todo número é um quadrado Este paradoxo é explicado pela observação de que o fenômeno descrito é uma característica que distingue os conjuntos infinitos Um conjunto infinito é simplesmente um conjunto que pode ser posto em correspondência um a um com um subconjunto próprio dele mesmo Christian José Quintana Pinedo 115 Von Neumann 1903 1957 em 1925 apresentou um sistema axiomático que representava um avanço sobre o sistema ZF pois admitia as classes universais de todos os conjuntos os ordinais os cardinais etc no estudados no sistema ZF O conceito primário utilizado por Von Neumann foi o de aplicação função e não o de conjunto ou classe A tradução do sistema formulado por Von Neumann de modo que o conceito primário seja o de classe e elemento de classe e não o de aplicação devese a Bernays 1898 1977 Os trabalhos de Bernays deram o rigor à axiomatização da teoria de conjuntos graças as contribuições de Gödel 1906 1978 e de Quine 1908 2000 A intenção destas notas é estudar o sistema axiomático NBGQ NeumannBernaysGödel Quine Expondo um sistema de 10 axiomas estudando propriedades das classes e conjuntos que evidenciem a necessidade de formulaos 9 Axioma de regularidade 10 Axioma do conjunto vazio 311 Conceitos primitivos Conceitos primitivos são ações in natura que permitem formular uma idéia por meio de palavras eou caracterização As seguintes noções são admitidas como conceitos primitivos e portanto não serão definidas Classe2 Elemento de uma classe A relação de pertinência A relação de igualdade Chamaremos conjunto as classes que são elementos de outras classes e chamaremos classes últimas conjunto universal as classes que não são elementos de outras classes Os conjuntos em geral são representados por letras maiúsculas do alfabeto A B C D E e seus elementos pelas letras minúsculas a b c d e Símbolos Variáveis a b c são letras minúsculas de nosso alfabeto Relações binárias é igual a é elemento de ou pertence a está contido a ou é igual a Conectivos negação e ou se então ou implica que se e somente se 2Classe no sentido de agrupamento de objetos que têm uma ou mais características em comum 116 Fundamentos da Matemática Quantificadores para todo existe ao menos um ou para algum existe um único Descritores o tal que Para indicar que um elemento a faz parte de um conjunto A usaremos a notação a A e dizemos a é um elemento do conjunto A ou a pertence a A Se a não é elemento do conjunto A denotamos a A Observe que a A e a A são proposições recíprocas Se dois símbolos a e b representam o mesmo elemento escreveremos a b e dizemos a é igual a b A negação da igualdade a b denotamos a b e dizemos que a é diferente de b isto é os símbolos a e b não representam o mesmo elemento Denotamos a classe de um objeto x por Cx logo dizer que y Cx significa que y tem todas as características comuns com x Admitiremos que a relação de igualdade entre elementos é de equivalência isto é satisfaz as propriedades reflexiva simétrica e transitiva Logo quaisquer que sejam os símbolos a b e c temos a a reflexiva a b então b a simétrica a b e b c então a c transitiva Equivalências São equivalentes as seguintes expressões de negação a b a b a b a b Variáveis dependentes e variáveis independentes Em uma sentença matemática as variáveis que seguem a os quantificadores e ao descritor são as chamadas variáveis dependentes e as outras variáveis são chamadas variáveis indepen dentes Fórmulas Uma fórmula px é geralmente uma proposição composta que depende da variável x Aqui x é a variável independente O conceito de conjunto é fundamental em todos os ramos da matemática nosso estudo axiomático será sob um ponto de vista intuitivo Temse que um conjunto é uma classe bem definido de elementos sendo que este podem ser números pessoas rios etc Exemplo 35 Christian José Quintana Pinedo 117 1 Os números 1 2 3 8 10 2 A solução da equação x2 6x 5 0 3 As vogais do alfabeto Português 4 As pessoas que habitam Pato Branco 5 Estudantes Pedro Maria e Fredy 6 Os rios de Pato Branco 7 Os números 3 6 9 12 15 8 Alunos de Cálculo I Note que os conjuntos 1 3 5 7 estão bem definidos entanto os conjuntos 2 4 6 8 estão definidos enunciando características do seus elementos Da mesma maneira a idéia de elemento corresponde à de membro componente etc O conceito conjunto está regido pelas seguintes regras 1 Um conjunto está bem definido se possuí um critério que permita afirmar se um objeto pertence ou não ao conjunto 2 Nenhum objeto poderá ser ao mesmo tempo conjunto e elemento de se mesmo isto é não deve darse o caso a a Exemplo 36 O conjunto dos alunos mais elegantes do Curso de Agronomia da UTFPR não é um conjunto no sentido matemático ser mais elegante não constitui um critério que permite afirmar se uma determinada pessoa é ou não elemento do conjunto a escolha estará sempre sujeita aos gostos e preferências Exemplo 37 O conjunto de todos os conjuntos não está bem definido em nossa teoria Se supormos que ele exista seria um elemento de se mesmo e assim estaria transgredindo a segunda regra Observação 31 Um símbolo pode estar representando um elemento determinado específico ou um elemento qualquer genérico de um conjunto A diferença entre um e outro poderá obterse do mesmo texto Assim por exemplo se A representa o conjunto das vogais a expressão Seja a um elemento do conjunto A não está afirmando que a letra a seja uma vogal somente o símbolo a está representando no enunciado a qualquer das vogais neste caso a é um elemento genérico chamase também variável do conjunto Por outro lado a expressão a A dá a entender que o símbolo a está representando um elemento específico do conjunto A em particular a letra a 118 Fundamentos da Matemática Observação 32 Podemos escrever os elementos de um conjunto de duas maneiras a Por extensão quando escrevemos cada um de seus elementos separados por vírgulas e colocandoos entre chaves assim se A é o conjunto de números naturais pares compreen didos entre 2 e 10 temos A 4 6 8 Esta escrita também é chamada de forma tabular ou enumeração b Por compreensão quando escrevemos as propriedades que devem ter todos seus elementos colocandoos entre chaves assim se B é o conjunto de números naturais pares Escrevemos B x N x é par Esta escrita também é chamada de forma construtiva ou caracterização O símbolo se lê tais que Outro modo de representar conjuntos é com letras maiúsculas e subíndice A1 A2 An sendo n N Exemplo 38 Os conjuntos do Exemplo35 podemos denotar como segue 1 A1 1 2 3 8 10 2 A2 x x2 6x 5 0 3 A3 x x é vogal do alfabeto Português 4 A4 x x pessoa que habita Pato Branco 5 A5 Estudantes Pedro Maria e Fredy 6 A6 x x é rio de Pato Branco 7 A7 3 6 9 12 15 8 A8 Alunos de Cálculo I Conjuntos numéricos No que segue indicaremos a notação a utilizar para a designação de alguns conjuntos numéri cos N 0 1 2 3 4 5 n naturais Z 3 2 1 0 1 2 3 4 inteiros Q a b a b Z b 0 racionais Q 2 3 2 1 0 1 5 2 3 11 4 racionais I 2 π e 3 7 5 irracionais O conjunto de números reais denotamos R é aquele que tem como elementos todos os números racionais Q assim como todos os números irracionais I Christian José Quintana Pinedo 119 C a bi a b R onde i 1 complexos C 1 2i 3 2i 5 4i 1 i i 2 8i 7 complexos Observação 33 É importante mencionar que o número zero é considerado número natural segundo as cir cunstâncias ou o tema em estudo a ser tratado 312 Axioma de extensão A idéia de igualdade de dois conjuntos traduz a idéia intuitiva que um conjunto é completa mente determinado pelos seus elementos O seguinte axioma estabelece uma simples condição para que duas classes sejam a mesma classe Axioma 31 De Extensão 1o axioma de Zermelo Dois conjuntos A B que têm os mesmos elementos representam o mesmo conjunto Em notação simbólica A B a a A a B A B Este axioma assegura que o símbolo lógico para a igualdade de objetos desta teoria coincide com a intuição de que dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos Isto é todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B e todo elemento de B pertence ao conjunto A Denotamos a igualdade entre os conjuntos A e B como A B Exemplo 39 Temos a seguinte igualdade entre conjuntos a Sejam A 1 3 5 7 e B 7 5 3 1 então A B isto é 1 3 5 7 7 5 3 1 b Sejam M 2 4 2 6 e N 4 2 2 6 então M N isto é 2 4 6 4 2 6 c E x R x2 3x2 0 F 2 1 e G 1 2 2 1 Aqui resulta E F G Exemplo 310 Seja A o conjunto de números naturais que são múltiplos de 10 e B o conjunto de números naturais que terminam em zero Logo A B Seja B o conjunto de todos os números reais que não são racionais nem irracionais e M o conjunto de todos os números que não são complexos Aqui B M Seja L o conjunto de todas as retas do plano que passam por um ponto β S o plano que contém L e β logo S L 120 Fundamentos da Matemática 313 Axioma de especificação Este axioma garante que para cada proposição px existe ao menos uma classe formada por todos os conjuntos que satisfazem esta propriedade px Axioma 32 De especificação 2o axioma de Zermelo Para todo conjunto A e toda proposição px corresponde um conjunto B cujos elementos são exatamente os elementos de A para os quais px é verdadeira Em símbolos podemos escrever A B B x x A px aqui B depende também de px Este axioma expressa que se px é uma proposição na linguagem da teoria de conjuntos sendo a variável x livre e A um conjunto então a classe coleção x x A px é um conjunto Este axioma obriga que os conjuntos estejam formados por elementos de conjuntos já constituídos Mostrase a seguir que existe exatamente um único conjunto que satisfaz o Axioma 32 Propriedade 31 O conjunto B do Axioma 32 é único Demonstração Isto é temos a mostrar que B B x x A px aqui B depende também de px Com efeito suponhamos que exista outro conjunto C com a mesma propriedade isto é suponha que C C x x A px aqui C depende também de px Pelo Axioma 32 sabese que B B x x A px aqui B depende também de px Aplicando o Axioma 31 segue que B C x x A px Como B e C dependem da mesma proposição px temse que A B Portanto A B 314 Definições de classes Lembre que quando falamos de classe seus elementos podem ser conjuntos ou elementos de um determinado conjunto Christian José Quintana Pinedo 121 Assim para cada fórmula px onde o conjunto A depende da proposição px existe somente um tipo de conjuntos que verificam px Esta classe podemos representar por Cx x px a classe dos elementos x tais que verificam a propriedade px E a podemos definir por x px A x x A Cx px O fato de que para cada fórmula px exista uma única classe que a verifica permite definir classes mediante fórmulas Mostremos uma lista das principais 1 A classe unitária a a a b b Cb 2 A classe vazia x x x 3 A classe universal U x x x 4 A inclusão de classes A B x x A x B 5 A classe união de classes A B x px x A x B 6 A classe interseção de classes A B x px x A x B 7 A classe diferença de classes A B x x A x B 8 A classe par ordenado a b a b 9 A classe da união generalizada i I Ai x i J x Ai 10 A classe da interseção generalizada i I Ai x i J x Ai De estas e outras definições obtêmse diversos resultados que determinam toda a Teoria de Conjuntos Estudemos alguns resultados imediatos da definição de conjunto finito infinito vazio universal potência Assim como união interseção e inclusão de classes 315 Conjunto Infinito Pelo número de elementos de um conjunto podemos classificar em Conjuntos infinitos Intuitivamente quando no processo da contagem do número de seus elementos este processo nunca termina Conjuntos finitos Quando no processo da contagem do número de elementos este processo termina Logo um conjunto é finito se consta de n elementos sendo n um número natural fixo Assim dizemos que um conjunto é finito se não for conjunto infinito Exemplo 311 São exemplos de conjuntos infinitos A o conjunto de números naturais maiores que 7 122 Fundamentos da Matemática B o conjunto de números reais maiores que 7 e menores que 7 0001 C o conjunto de pontos de uma reta L o conjunto de todas as retas do plano que passam por um ponto β Exemplo 312 São exemplos de conjuntos finitos Seja A o conjunto dos dias da semana Seja B o conjunto dos vértices de um polígono regular de n lados Seja L o conjunto de retas que passam por dois pontos fixos num plano Exemplo 313 a São conjuntos infinitos A4 x R x é par A5 As estrelas do Universo A6 x N x é ímpar b São conjuntos finitos A1 O conjunto de dias do mês A2 Os alunos de Matemática da UFT Araguaina B o conjunto de números naturais maiores que 7 e menores que 7 0001 A3 Os rios da Terra A4 a chamado conjunto unitário classe unitária 316 Classe Vazia Universal 3161 A Classe vazia O Axioma de especificação permite definir a classe vazia x x x que também pode ser denotada por Esta classe não possui nenhum elemento em conseqüência à proposição a sempre é falsa Exemplo 314 a A classe das pessoas vivas com mais de 300 anos b A x R x2 4 0 c O conjunto de números ímpares compreendidos entre 2 e 2 5 Christian José Quintana Pinedo 123 3162 A Classe universal Na teoria de conjuntos todos as classes que se consideram serão provavelmente subclasses de uma determinada classe esta última classe é chamada de classe universal e denotamos por U Pelo Axioma de especificação a classe universal é U x x x Exemplo 315 a A classe U x x é um número b A geometria plana é a classe universal de todos os pontos do plano 317 Axioma do par não ordenado Verificamse as seguintes propriedades para pares não ordenados Propriedade 32 i a b Ca a a b ii a b Cb Cc a b c a b a c iii a a a a iv a b a b b a A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor É imediato que se ao menos um dos elementos do par é uma classe última classe universal então o par também o é pela parte ii da Propriedade 32 isto é b U a b a U U O problema se apresenta quando os dois elementos do par são conjuntos Será que o conjunto também é um par Para dar resposta a esta questão precisamos do axioma do par não ordenado O par formado por dois conjuntos também é um conjunto Axioma 33 Do par não ordenado 3o axioma de Zermelo Para todo par de elementos a b temse que a classe Ca e a classe Cb determinam a classe C a b Isto é a b Ca Cb C a b Conseqüência imediata deste axioma é o caráter de conjunto para a classe unitária Propriedade 33 A classe unitária a é o conjunto Ca Demonstração Com efeito pela Propriedade 32 para todo a temse que a a a então C a a implica Ca 124 Fundamentos da Matemática Observação 34 Um conjunto não muda se reordenarmos seus elementos Um conjunto não muda se repetimos seus elementos Logo A B se e somente se as proposições a A e a B são equivalentes Estes enunciados mostram que um conjunto fica determinado pelos seus elementos e ao mesmo tempo nos dão uma regra sobre o uso do símbolo pertence É evidente que a relação de igualdade entre conjuntos é reflexiva simétrica e transitiva 318 Inclusão de conjuntos Observação 35 É importante diferenciar entre um objeto a qualquer e o conjunto que possui o objeto a como seu único elemento isto é entre a e a Pela definição de conjunto cumprese que a a e b a a b Definição 31 Subconjunto Sejam A e B dois conjuntos tais que todo elemento de A também é elemento de B logo dizemos que A é subconjunto de B e denotamos A B Quando todos os elementos de A também sejam todos os elementos de B temse a inclusão de classes A B x x A x B Para o caso do conjunto B ter além dos elementos de A outros elementos temse a inclusão de classes A B x x A x B Se um conjunto A é subconjunto de B também dizemos que A é uma parte de B ou que B contém A Se A B podemos escrever B A o conjunto B contém o conjunto A o símbolo é denominado símbolo de inclusão Exemplo 316 a O conjunto C 1 3 5 é subconjunto do conjunto D 1 3 5 7 9 b Sejam M x N x é par e N a N a é múltiplo de 10 Logo N é subconjunto de M c Da Definição 31 podemos afirmar que qualquer que seja o conjunto A cumprese A e A A Definição 32 Subconjunto próprio Se A B e o conjunto A é diferente do conjunto B dizemos que A é subconjunto próprio de B ou que A é uma parte própria de B ou ainda A está contido propriamente em B e denotamos A B ou A B Christian José Quintana Pinedo 125 Logo o conjunto A é uma parte própria de B se e somente se todo elemento de A é um elemento de B e existe pelo menos um elemento de B que não pertence ao conjunto A Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais e escrevemos A B se e somente se A B e B A Propriedade 34 Observe que a relação de inclusão é reflexiva e transitiva isto é se A B e C são conjuntos temse a A A reflexiva b A B e B C então A C transitiva Demonstração a A mostrar que se x A x A 1 Seja x A hipótese auxiliar 2 x A e x A então x A tautologia p p p 3 x A x A 1 2 4 A A def de inclusão Portanto A A Demonstração b 1 A B hipótese 2 Seja x A hipótese auxiliar 3 x A x B 1 def 4 B C hipótese 5 x B x C 3 def 6 x A x C 3 5 tautologia silog hipot 7 A C def de Portanto A C A negação de A B denotamos A B isto quer dizer que o conjunto A não está contido no conjunto B ou que existe um elemento a A tal que a B Quando dizemos que A B e B A estamos indicando que A é parte própria de B Se o conjunto A é parte própria do conjunto B denotamos A B 126 Fundamentos da Matemática Exemplo 317 Seja Z o conjunto de todos os inteiros e Q o conjunto de todos os números racionais então temos que Z Q e Z Q lembrar que cada elemento do conjunto de todos os números racionais podemos escrever na forma a b onde a e b são números inteiros com b 0 em particular quando b 1 temos que a Z assim Z é uma parte própria de Q Definição 33 Conjuntos comparáveis Dois conjuntos A e B são comparáveis se A B ou B A Definição 34 Conjuntos não comparáveis Dizse que dois conjuntos A e B são não comparáveis se A B e B A Logo se dois conjuntos são comparáveis então A B ou B A Exemplo 318 a Sejam A m n e B m n p Logo A é comparável com B pois A B b Sejam M m n o e N m n p Logo M é não comparável com N pois M N e N M Propriedade 35 Suponha A e B mostre que se A e B não tem elementos em comum então A e B são não comparáveis Isto é dados os conjuntos A e B se A B e B A então A e B são não comparáveis Demonstração Sendo A e B então existem elementos a A e b B Como A e B não tem elementos em comum então a B e b A Portanto A B e B A isto é A e B são não comparáveis 319 Axioma das potências Ocorre algumas vezes que os elementos de um conjunto estão determinados por outros con juntos por exemplo o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A Neste caso dizse que temos uma família de conjuntos ou classe de conjuntos Em tais casos para evitar confusão se indicam estes conjuntos com as letras inglesas A B etc Exemplo 319 a O conjunto 2 3 2 3 4 é uma família de conjuntos b O conjunto a b a b c c não é uma família de conjuntos alguns elementos são conjuntos e outros não Christian José Quintana Pinedo 127 3110 Conjunto Potência Disjunto 31101 Conjunto potência A família de todos os subconjuntos de um determinado conjunto dado A é chamado de conjunto potência de A e é denotado por PA ou 2A Definese a classe das partes de um conjunto A ou classe potência de um conjunto A como o conjunto PA que satisfaz PA X X A Axioma 34 Das potências 4o axioma de Zermelo Para cada conjunto existe uma coleção de conjuntos os quais cont em entre seus elementos todos os subconjuntos do dado conjunto Isto é para cada conjunto A a classe CA está contida na classe CPA Onde Cx indica todos os elementos que pertencem a uma mesma classe x Se um conjunto A tiver n elementos então o número de elementos do conjunto PA tem 2n elementos Exemplo 320 a Seja A 5 4 então PA a b a b b Seja B a b c então PB a b c a b a c b c B Exemplo 321 Seja A então A é um conjunto unitário PA A ou PA Seja B 0 0 então temos que PB 0 0 B Observação 36 Para o Exemplo 321 temos a e A são elementos de PA e não são subconjuntos de PA b Logo PA e A PA e não PA e A PA c 0 B e 0 PB Propriedade 36 Suponhamos A e B dois conjuntos A B se e somente se PA PB Demonstração 1 Suponhamos que A B hipótese 2 Seja X PA hipótese auxiliar 3 X é subconjunto de A def de PA 4 X B 1 def de 128 Fundamentos da Matemática 5 X PB def de PB 6 PA PB 2 5 Inversamente 7 Suponhamos que PA PB hipótese 8 Em particular A PA def de PA 9 A PB 7 def de 10 Logo A B def de PB Portanto de 6 e 10 temos que A B se e somente se PA PB 3192 Conjuntos disjuntos Se dois conjuntos por exemplo A e B não tem elementos em comum dizemos que os con juntos são disjuntos Exemplo 322 a Os conjuntos A 5 4 e B 3 2 são conjuntos disjuntos b Os conjuntos N a b c e M c m estes conjuntos não são disjuntos 3111 Diagramas De VennEuler Linear A B A B Figura 31 De modo simples e ilustrase as relações en tre conjuntos mediante os chamados diagramas de VennEuler ou simplesmente diagramas de Venn que representam um conjunto em uma região plana limitada geralmente por círculos quadrados retângulos losangos Exemplo 323 Suponha A B então cada um dos diagramas da Figura 31ilustra esses conjuntos C D Figura 32 Figura 33 Exemplo 324 Se os conjuntos C e D são não comparáveis podemos representalos mediante os seguintes diagramas das Figuras 32 e 33 Christian José Quintana Pinedo 129 Outro modo de representar as relações entre conjuntos é a utilização de diagramas lineares Se A B escrevese então B acima de A e assinalamos estes dois conjuntos mediante uma linha reta como mostra a Figura 34 Exemplo 325 a Sejam A a B b e C a b Determine seu diagrama linear b Sejam M 1 N 1 2 P 1 2 3 e Q 1 2 4 Determine seu diagrama linear Solução O diagrama do exemplo a mostrase na Figura 35 e o diagrama do exemplo b mostrase na Figura 36 Figura 35 3112 Complemento de um conjunto Seja A subconjunto de um conjunto universal U Definição 35 Complemento de um conjunto O subconjunto A de U formado por todos os elementos a tais que a A isto é A a U a A é denominado conjunto complemento de A com respeito a U ou complementar de A em U O conjunto A também é denotado por CU A Exemplo 326 Seja A o conjunto de todos os números naturais pares logo o complemento de A é dado por CU A a N a é ímpar Note que estamos considerando U N Exemplo 327 Considerando o conjunto U R temos que CU Q a R a Q I logo o complementar do conjunto dos números racionais em R é o conjunto de números irracionais 130 Fundamentos da Matemática Exemplo 328 Esquematizar o princípio lógico da propriedade Se A B temse que CUB CUA Solução Sejam p x A q x B Logo p x A isto é p x CUA q x B isto é q x CUB Logo o esquema lógico de A B CUB CUA é p q q p como podemos verificar representa um princípio lógico tautologia Propriedade 37 Sejam A e B dos subconjuntos de um conjunto U então 1o Se A B temse que CUB CUA 2o CU CUA A Demonstração 1o Demonstração por contradição 1 Seja a CUB hipótese auxiliar 2 a B e a U def de conjunto complementar 3 a A e a U da hipótese A B 4 a CUA def de conjunto complementar 5 a CUB a CUA 14 Portanto CUB CUA Demonstração 2o É suficiente mostrar que CU CUA A e A CU CUA Seja a um elemento quaisquer do conjunto U e suponhamos que a CU CUA então a CUA e a U como o conjunto CUA é o complementar de A então a A logo da definição de inclusão CU CUA A Por outro lado seja x um elemento quaisquer do conjunto A então x CUA e x U como CUA é subconjunto de U da definição de conjunto complementar segue que x CU CUA e x U portanto A CU CUA Christian José Quintana Pinedo 131 Exercícios 31 1 Quais dos seguintes conjuntos são bem determinados Justifique sua resposta 1 x x 2 x x y A 3 X a b x 4 1 5 Os alunos mais inteligentes do 1o ano 6 O conjunto A cujos elementos são a a b e B 7 O conjunto de todos os alunos da UFT 8 O conjunto de todos os números naturais menores que zero 9 O conjunto de alunos altos da Licenciatura em Matemática em Pato Branco 10 O conjunto das ruas limpas de Pato Branco 11 O conjunto de números naturais compreendidos entre a e u 2 Escrever em notação de conjunto o seguinte 1 A é superconjunto de B 2 x é elemento de A 3 M não é subconjunto de P 4 a não pertence a A 5 O conjunto potência de B 6 A classe vazia 7 A pertence a PA 8 M está incluído em N 9 A constituído pelos números 5 8 15 13 10 B tem como elementos os números naturais menores que 9 11 C formado pelos números naturais múltiplos de 7 12 D constituído pelos inteiros negativos maiores que 3 3 Traduzir à linguagem oral os seguintes conjuntos 1 A x x mora em Lima 2 B x x fala espanhol 3 C a a é maior de 18 anos 4 D b b é cidadão inglês 4 Escrever por extensão os seguintes conjuntos 1 A1 x x2 5x 6 0 2 A2 x x é uma vogal da palavra Fundamentos 3 A3 a a2 16 a 6 9 4 A4 b b é algarismo do número 2002 5 A5 a N a 3 5 x 7 6 A6 a2 1 a Z 1 a 3 7 A7 a3 N x 2 x 4 x 3 8 A8 a 1 a 1 a N a 10 a 1 5 9 132 Fundamentos da Matemática 9 A9 x Z x2 5x 6 0 10 A10 x x 1n x N 11 A11 1 2x x N 2 x 10 x ímpar 12 A12 3 5x x Z 2 x 5 3 x 8 5 Determine se os seguintes conjuntos são iguais 1 e 1 2 e 3 a e a 4 e 0 6 Poderá se cumprir para algum objeto A que A B e ao mesmo tempo A B Justificar sua resposta com um exemplo 7 Seja o conjunto A a a Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições 1 a A 2 a A 3 a A 4 A 5 A 6 a 7 8 A a 9 a 10 11 12 a 13 A 14 a A 15 A A 8 Considere os seguintes conjuntos A x Z x 1x 2x 3x 4 0 C x Z 3x 5 B x Z x positivo menor que 7 D x Z x2 3x 2 0 Verifique se as seguintes inclusões são verdadeiras 1 A B 2 D A 3 D C 4 B A 5 C A C B 9 Sejam A B e C três subconjuntos de um conjunto universal U e suponhamos que A B e B C Mostre que 1 Se x B então x A 2 Se x B e x A então x C 3 Se A é parte própria de B então A é parte própria de C 4 Se B é parte própria de C então A é parte própria de C 10 Seja A k Z k é múltiplo de 1 Mostre que Z A logo concluímos que Z e A são conjuntos iguais 11 Seja L uma reta no plano P e A um ponto em L Verificar quais das seguintes afirmações são verdadeiras 1 L P 2 A P 3 A P Christian José Quintana Pinedo 133 4 A L 5 A P 6 A P 7 A é subconjunto de P 8 A é subconjunto próprio de P 9 A não é subconjunto próprio de P 12 Dados os conjuntos A e B não comparáveis então A e B são disjuntos 13 Sejam os conjuntos A 5 e B 5 Justificar o seguinte 1 É verdade que A B 2 É verdade que B A 3 É verdade que A B 14 Seja A 3 4 5 e temos que 4 3 4 então 4 A Justificar sua resposta 15 Verificar quais das seguintes proposições são verdadeiras 1 Se PA PB e PB PA então PA PB 2 m n p P m n 3 Qualquer que seja o conjunto A nunca PA é a classe vazia 4 Se A é um conjunto com um número ímpar de elementos então PA também tem um número ímpar de elementos 16 Mostre que Pa b Pa se e somente se a b 17 Determine o erro se houver nas seguintes deduções 1 Seja A a b e U a c d logo CUA c d 2 CBA A onde B 3 a A e A B a B 4 a A e A B a B 5 A B e a B a A 18 Seja A 2n 1 n N Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas justifique sua resposta 1 Caso a 2n 12 para algum n N então a A 2 Se a A então a 2n 12 para algum n N 3 Se existem a b A tais que c a b então c A 4 Se a A então existem b c A tais que a b c 19 Mostre que a b c se e somente se a b c 20 Mostre que a a b c c d se e somente se a c e b d 134 Fundamentos da Matemática 21 Quais dos conjuntos A x R x2 1 B x R x4 1 C x C x2 1 D x C x4 1 são iguais e quais distintos Quais são subcon juntos um dos outros Justifique 22 Demonstrar as seguintes igualdades entre conjuntos 1 x R x3 x 0 x R 1 x 0 x 1 2 x y z R3 x y x y z 1 x y z R3 x t2 y t2 z 1 t para algum t R 23 É verdade que A B se e somente se PA PB Justifique 24 Seja A0 An PAn1 n N Descrever explicitamente A1 A2 A3 A4 1 Quantos elementos tem cada um destes conjuntos 2 Quantos elementos tem An sendo n arbitrário 25 Da turma do 1o ano da Licenciatura em Matemática sabese que Pelo menos o 70 estuda Geometria ao menos o 75 estuda Cálculo I ao menos o 80 estuda Tópicos da Matemática e pelo menos o 85 estuda Fundamentos da Matemática Qual a porcentagem pelo menos que estudam as quatro disciplinas Sugestão Para dois conjuntos quaisquer temos oA B oA oB oA B Christian José Quintana Pinedo 135 32 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 321 União de conjuntos Definição 36 União de conjuntos A união de dois conjuntos A e B pelo Axioma 32 é a classe indicada por AB e definida pelo conjunto x px x A x B Em alguns livros a união dos conjuntos A e B denotase por A B e é chamado a soma conjuntista de A e B O conectivo lógico ou é no sentido inclusivo de fato quando dizemos que x está em A ou x está em B queremos dizer que x está em pelo menos um dois conjuntos com a possibilidade de estar em ambos A B Figura 37 Graficamente podemos indicar a união de dois conjun tos A e B pela Figura 37 onde A é o paralelogramo da esquerda B o da direita e A B a parte sombreada Exemplo 329 Para qualquer conjunto A temos que A A A Se B é um subconjunto do conjunto A então AB A Se A x1 x2 e B y1 y2 y3 então A B x1 x2 y1 y2 y3 Propriedade 38 1 A B B A comutativa 2 A B C A B C associativa 3 A A A idempotente 4 A A identidade 5 A B A B B 6 A C B C A B C 7 A A B B A B Demonstração 1 Demonstração por pertinência de elementos 1 x A B hipótese 2 x A x B def de 136 Fundamentos da Matemática 3 x B x A tautologia 4 x B A def de 5 A B B A 1 4 def de 6 x B A hipótese 7 x B x A def de 8 x A x B tautologia 9 x A B def de 10 B A A B 5 9 def de Portanto de 5 e 10 seque que A B B A Demonstração Por tautologias Na verdade a demonstração é a mesma da anterior somente que utilizamos fortemente a aplicação da lógica ao usar simbologia das proposições Sejam p x A e q x B um esquema lógico representativo de A B B A é p q q p Se logramos mostrar que este esquema A B B A é tautologia então a igualdade será verdadeira No Capítulo I já mostramos que é tautologia lei comutativa para a disjunção Portanto a A B B A igualdade é válida Demonstração 5 1 x A B hipóteses 2 x A x B def de 3 A B hipóteses 4 x B 23 5 x A B x B 14 6 A B B def de Inversamente 7 Seja x B hipótese 8 x B x A tautologia p p q 9 x B A def de 10 x A B prop A B B A 11 B A B Portanto de 6 e 11 se A B A B B A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor Christian José Quintana Pinedo 137 322 Interseção de conjuntos Definição 37 Interseção de conjuntos A interseção de dois conjuntos A e B pelo Axioma 32 é a classe indicada por A B é definida pelo conjunto A B x px x A x B A interseção é portanto o conjunto de todos os elementos que estão tanto no conjunto A como em B A B Figura 38 Graficamente podemos indicar a interseção de dois conjuntos A e B pela Figura 38 observe que nela o conjunto A é o paralelogramo da esquerda B o da direita e A B a parte sombreada Exemplo 330 Para qualquer conjunto A temos que A A A Se B é um subconjunto do conjunto A então A B B Se A x1 x2 e B x1 y2 y3 então A B x1 Propriedade 39 1 A B B A comutativa 2 A B C A B C associativa 3 A A A idempotente 4 A identidade 5 A B A B A 6 A B A e A B B 7 A B C A B A C Demonstração 2 1 x A B C hipótese 2 x A B x C def de 3 x A x B x C def de 4 x A x B x C tautologia p q r p q r 5 x A B C def de 138 Fundamentos da Matemática 6 A B C A B C 15 def de Inversamente 7 x A B C hipótese 8 x A x B C def de 9 x A x B x C def de 10 x A x B x C tautologia p q r p q r 11 x A B x C def de 12 x A B C def de 13 A B C A B C 712 def de Portanto de 6 e 13 temos que A B C A B C Demonstração 4 1 x A hipótese 2 x A x def de 3 x tautologia p q q 4 A 13 5 A def de Portanto de 4 e 5 temse que A Demonstração 7 A demonstrar que i A B C A B A C ii A B A C A B C Com efeito para a parte i 1 Seja um elemento x A B C hipótese 2 x A e x B C def de 3 x A e x B ou x C def de 4 x A e x B ou x A e x C tautologia 5 x A B A C def de def 6 Portanto A B C A B A C def de Christian José Quintana Pinedo 139 Inversamente ii 7 Seja um elemento x A B A C hipótese 8 x A B ou x A C def 9 x A e x B ou x A e x C def 10 x A e x B ou x C tautologia 11 x A e x B C def 12 x A B C def 13 Portanto A B A C A B C def Logo A B C A B A C pelo mostrado em i e ii A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor Definição 38 Conjuntos disjuntos Dois conjuntos são ditos disjuntos se sua interseção é a classe vazia Isto é A e B são disjuntos se A B Exemplo 331 Se A é o conjunto de todos os números naturais pares e B o conjunto de todos os naturais ímpares então A B é a classe vazia Exemplo 332 Pedese informações sobre o número de professores que ensinam Cálculo III História e Ge ografia e se obtém o seguinte A quarta parte de professores que ensinam Cálculo III também ensinam História só dois dos professores ensinam nos três cursos só um dos professores ensina Cálculo III e Geografia dos quatorze professores de Geografia a metade também são dos outros cursos o triplo do número de professores que ensinam só Cálculo III ensina História Dar uma informação detalhada sabendose que são 72 professores Solução Considerando diagrama de Venn da Figura 39 temse 34x x 2 2 4 11x 4 Resolvendo esta igualdade temos 16x 8 72 16x 64 x 4 140 Fundamentos da Matemática 4 11x 4 7 2 x 2 4x Geografia Cálculo III História História 12x Somente cálculo 4x Somente cálculo e geografia 1 Somente geografia 7 Figura 39 Assim de acordo com o diagrama da Figura 39 temos que o número de Professores que ensinam Cálculo III e História são 4 Aqueles que ensinam somente História são 48 Os professores que ensinam somente Cálculo III são 16 323 Diferença de conjuntos Definição 39 Diferença de conjuntos O conjunto diferença de A e B nessa ordem pelo Axioma 32 é a classe indicada por A B é o conjunto x x A x B A B Figura 310 Graficamente representase pela Figura 310 Observe que para qualquer conjunto A temos a igualdade A ABAB ainda mais o conjunto B A B é a classe vazia Propriedade 310 Para todos os subconjuntos A e B de um conjunto universal U temse 1 A B B A 2 A A 3 A A 4 A U 5 A B A 6 Os conjuntos A B A B e B A são disjuntos dois a dois 7 Se A B A B A B A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor Christian José Quintana Pinedo 141 Exemplo 333 Dados os conjuntos A x x é número natural divisor de 12 B x x é número natural divisor de 18 C x x é número natural divisor de 16 Determine a A B B C b A B B C Solução Por extensão os conjuntos do problema podemos escrever A 1 2 3 4 6 12 B 1 2 3 6 9 18 e C 1 2 4 8 16 Por outro lado A B 4 12 e B C 3 6 9 18 Solução a A B B C Solução b A B B C 3 4 6 9 12 18 Propriedade 311 Para todos os subconjuntos A e B de um conjunto universal U temse 1 A A U 2 A A 3 A A 4 U U 5 A B A B 6 A B A B 7 A B A B 8 A B B A Demonstração 5 1 x A B hipótese 2 x A B def de complemento 3 x A x B tautologia 4 x A x B def de complemento 5 x A B def de 6 x A B x A B 1 5 7 A B A B def de 8 x A B hipótese 9 x A x B def de 10 x A x B def de complemento 142 Fundamentos da Matemática 11 x A B tautologia 12 x A B def de complemento 13 A B A B 812 complemento Portanto de 7 e 12 segue que A B A B Demonstração 8 1 x B hipótese 2 x B def de complemento 3 A B hipótese 4 x A 3 2 5 x A def de complemento 6 x B x A 1 5 7 B A def de Portanto A B B A A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor 324 Diferença simétrica de conjuntos A B Figura 311 A diferença simétrica ou soma booleana de conjuntos A e B nessa ordem é denotada por A B e definese como o conjunto A B A B A B A parte sombreada mostrada na Figura 311 repre senta a diferença simétrica entre os conjuntos A e B Exemplo 334 Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X Demonstre que i A B A B ii A CXB então A B X Demonstração i Suponhamos AB então ABAB isto implica que AB e AB logo A B A B De onde A B A assim A B Por outro lado se A B temse que A B A B A A A A Christian José Quintana Pinedo 143 Portanto A B A B Demonstração ii Pelo fato A CXB segue que A X B isto é A X B de onde A B X e A B Logo A B X X Portanto se A CXB então A B X 33 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS As operações de união interseção e de complemento entre conjuntos verificam varias identi dades 331 Leis da álgebra de conjuntos 3311 Lei de idempotência a A A A b A A A 3312 Leis associativas a A B C A B C b A B C A B C 3313 Leis distributivas a A B C A B A C b A B C A B A C 3314 Leis comutativas a A B B A b A B B A 3315 Lei de identidade a A A b A U U c A d A U A 3316 Lei de complemento a A A U b A A c A A d U U 3317 Leis de Morgan a A B A B b A B A B Observe que o conceito de elemento e de pertinência não aparecem em nenhuma destas pro priedades lembre que estes conceitos eram essenciais no desenvolvimento da teoria de conjuntos 144 Fundamentos da Matemática em seções anteriores A relação A é um subconjunto de B definese na álgebra de conjuntos por A B significa A B A Exemplo 335 Mostre que A B A B A Demonstração 1 A B A B hipótese 2 A B A B A B B lei distributiva 3 B B U lei de complemento 4 A B A B A U 3 em 2 substituição 5 A U A lei de identidade 6 A B A B A 5 em 4 substituição Exemplo 336 Mostre que A B e B C A C Demonstração 1 A B e B C hipótese 2 A B A e B C B definição de subconjuntos 3 A B C A substituição 4 A B C A lei associativa 5 A C A substituição 6 A C def de subconjunto 332 Princípio de dualidade Se intercaláramos por assim como U por em qualquer raciocínio sobre conjuntos o novo enunciado resultante é chamado dual do primeiro Exemplo 337 O dual do conjunto U B A é o conjunto B A U Observe que o dual de cada lei da álgebra de conjuntos encontrase na mesma lei fato de muita importância pela seguinte propriedade Propriedade 312 Princípio de dualidade Se alguns axiomas implicam seus próprios duais então o dual de qualquer teorema que seja conseqüência dos axiomas é também conseqüência dos axiomas Christian José Quintana Pinedo 145 Isto significa que dados qualquer teorema e sua demonstração o dual do teorema podemos demonstrar do mesmo modo aplicando o dual da cada passo da primeira demonstração Exemplo 338 Mostre que A B A B A Demonstração Observe que o dual de A B A B A é A B A B A mostrado que a igualdade é verdadeira no Exemplo 332 Portanto a igualdade é verdadeira pelo princípio de dualidade 333 Família de conjuntos Sejam os conjuntos A1 a b A2 a b c A3 a d e g A4 b c g f A5 c d g m n e o conjunto I 1 2 3 4 5 Observe que para cada elemento i I corresponde um conjunto Ai Dizemos então que I é o conjunto de índices e que os conjuntos A1 A2 A3 A4 A5 estão induzidos Uma família de conjuntos induzidos denotamos por F AiiI Em uma família induzida de conjuntos podemos observar que a cada elemento i I cor responde um único conjunto Ai assim podemos estabelecer uma relação de I para AiiI O conjunto I também pode ser um conjunto não finito Exemplo 339 Seja An 1 n 1 n onde n N Então temos que A1 1 1 A2 1 2 1 2 A3 1 3 1 3 Seja Bn x x é múltiplo de n onde n Z Então B1 2 1 0 1 2 3 B2 4 2 0 2 4 6 B3 6 3 0 3 6 9 B4 8 4 0 4 8 12 B10 20 10 0 10 20 30 334 Axioma das uniões Se A1 e A2 são conjuntos é natural querer às vezes unir seus elementos dentro de um con junto que os compreenda Uma maneira de descrever tal conjunto compreensivo é exigir que ele contenha todos os elementos que pertençam a pelo menos um dos membros do par A1 A2 A questão é saber se a união de uma família de conjuntos é ou não um conjunto esta formu lação sugere uma generalização abrangente de si mesma certamente uma construção semelhante poderia ter sido aplicada a coleções arbitrarias de conjuntos e não só a pares de conjuntos O que se deseja em outras palavras é um quinto axioma o das uniões Axioma 35 Das uniões 5o axioma de Zermelo Para toda família de conjuntos existe um conjunto que contém todos os elementos que per tencem a pelo menos um dos conjuntos da dada família Christian José Quintana Pinedo 146 Isto é suponha temos a família de conjuntos F Ai i I e denominamos i I Ai o conjunto que contém todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos da dada família O axioma diz i I Ai a a X para algum X F Este conjunto i I Ai é chamado de união da família F Propriedade 313 Temse as seguintes propriedades para a união i A1 Ai A1 Ai A1 i I Ai ii i I iii i I A A Demonstração i Seja A1 Ai então a A1 temse que a i I Ai Portanto A1 i I Ai Demonstração ii Pelo Axioma 35 temse que i I a a X para algum X F onde F Assim i I Inversamente Para todo conjunto X temse que X F então i I Portanto i I Demonstração iii Seja a i I A então pelo Axioma 35 a A para algum A G da família G A logo i I A A Inversamente Seja a A pela definição de G temse que x A para algum A G logo A i I A Portanto i I A A Consequência imediata do Axioma 35 é que a união de dois conjuntos também é um conjunto Assim a classe união de classes é bem definida como mostra a seguinte propriedade Propriedade 314 Para todo par de conjuntos A1 A2 temse que i I Ai A1 A2 onde I 1 2 Demonstração Com efeito seja a i I Ai então a X para algum X A1 A2 Assim a A1 ou a A2 isto é a A1 A2 Christian José Quintana Pinedo 147 335 Operações generalizadas A existência da operação geral da interseção depende do fato que para toda família não vazia de conjuntos existe um conjunto que contém exatamente aqueles elementos que pertencem a cada um dos conjuntos da dada família Isto é para toda coleção F existe outra não vazia A tal que a A se e somente se a X para todo X F Este conjunto A é chamado interseção da família F Então as operações de união e interseção definidas para conjuntos podem generalizar por indução a um número finito de conjuntos assim dados os conjuntos A1 A2 A3 A4 A5 An podemos escrever n i1 Ai A1 A2 A3 A4 A5 An n i1 Ai A1 A2 A3 A4 A5 An Pela lei associativa a interseção união de uma família de conjuntos podemos agrupar em qualquer modo por exemplo seja J I e a família de conjuntos AiiI Assim têmse as classes A classe da união generalizada iJ Ai x i J x Ai A classe da interseção generalizada iJ Ai x i J x Ai Propriedade 315 Leis de Morgan Dado um conjunto X seja C Ai i I uma família de subconjuntos de X como conjunto de índices I então i C iJ Ai iJ CAi ii C iJ Ai iJ CAi A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor Exemplo 340 Sejam A1 2 4 6 10 A2 1 10 A3 6 5 10 A4 3 9 6 A5 8 4 e J 1 3 4 Então iJ Ai 2 4 6 10 5 3 9 e iJ Ai 6 Christian José Quintana Pinedo 148 Seja Bn 1 n 1 n onde n N Então iN Bi 1 1 e iN Bi 0 Seja Cn x x é múltiplo de n N Então iN Ci N e iN Ci 0 Propriedade 316 Dada uma família induzida de conjuntos AiiI para qualquer conjunto B temos as seguintes igualdades a B iN Ai iN B Ai b B iN Ai iN B Ai Demonstração a 1 Seja x B iN Ai hipótese 2 x B x iN Ai def de 3 x B x Ai para algum i N def de iN Ai 4 x B Ai para algum i N def de 5 x iN B Ai def de 6 B iN Ai iN B Ai 7 Inversamente exercício para o leitor Portanto de 6 e 7 segue que B iN Ai iN B Ai A demonstração de b é exercício para o leitor Dado um conjunto T dizemos que T funciona como um conjunto de índices para a família F Aα de conjuntos se para todo α T existe um conjunto Aα na família F O conjunto T pode ser finito ou infinito Frequentemente usamos o conjunto dos números inteiros não negativos como conjunto de índices porém T pode ser qualquer conjunto não vazio Sejam α T e Aα indicamos a reunião dos conjuntos Aα como αT Aα e definimos a reunião dos conjuntos Aα como o conjunto x x Aα para pelo menos um α T a interseção dos conjuntos Aα indicamos como αT Aα e definimos como o conjunto x x Aα para todo α T Dois conjuntos Aα e Aβ são disjuntos se para α β temos que Aα Aβ e o conjunto vazio Christian José Quintana Pinedo 149 Exemplo 341 Seja S R o conjunto de números reais e T Q o conjunto de números racionais para cada α Q seja Aα x R x α Observe que αQ Aα R e αQ Aα os conjuntos Aα são mutuamente disjuntos Exemplo 342 Sejam A1 A2 A3 An conjuntos arbitrários Mostrar que n i1 PAi P n i1 Ai Demonstração 1 Seja X PAi para todo i 1 2 3 n hipótese conclusão 2 X PAi def n i1 3 X Ai def conj potência 4 X n i1 Ai propriedade da 5 X P n i1 Ai portanto n i1 PAi P n i1 Ai Observação 37 Em geral para a união cumprese que n i1 PAi P n i1 Ai 336 Axioma do conjunto vazio Suponha temos uma família F Ai i N onde os conjuntos Ai são todos o conjunto vazio Para família de conjuntos temos a seguinte propriedade Propriedade 317 A intersecção de uma família de conjuntos vazios é a classe universal Demonstração Pela classe da intersecção arbitraria sabese que iN Ai x i N x Ai Para todo x iN Ai temse que x Cx e para todo i N temse que x Ai onde Ai F assim somente acontece que x Cx Logo iN Ai x x Cx x x x Portanto iN Consequência deste axiom a é a seguinte propriedade Christian José Quintana Pinedo 151 Exercícios 32 1 Mostre que uma condição necessária e suficiente para que A B C A B C é que C A 2 Dados os conjuntos A 1 2 3 4 B 5 3 2 7 C 8 4 1 6 e U x N 1 x 8 calcular o seguinte 1 A B 2 A B A C 3 A B A C 4 A B 5 A B A C 6 A B A C 7 A B 8 A B A C 9 A B A C 10 A B C 11 A B C 12 A B A C 13 C A B 14 A B A C 15 A B A C 3 Sejam A B e C três conjuntos quaisquer demonstre as seguintes proposições 1 A A A 2 A B B A 3 A B C A B C 4 A B B A 5 A A B e A B A 6 A A A 7 A B C A B A C 8 A 9 A B A e A B B 10 A A 11 A B C A B C 12 A A 13 A B A B 14 A A A A 4 Dados A x R 3 x 5 B x R 0 x 9 e C x R 4 x 8 Determine o conjunto A B C 5 Sejam A a N a é múltiplo de 2 B b N b é múltiplo de 4 Demon stre que A B c N c 2k k é ímpar 6 Demonstrar as seguintes proposições 1 Se A B e C é um conjuntos quaisquer então A C B C 2 Se A B e C é um conjuntos quaisquer então A C B C 3 Se A B e B C então A C 4 A B se e somente se A B A 5 B A se e somente se A A B 6 Se B A então A B B A 7 Sejam os conjuntos A B C qualquer Demonstrar o seguinte 13 Sejam An An1 para n N Demonstre que n1 An A1 n2 An An1 154 Fundamentos da Matemática a Em um hospital existem 2 médicos pediatras paulistas recém formados b Há 12 médicos recém formados c Há 13 médicos pediatras d Há 11 médicos paulistas e Há 4 médicos pediatras que não são paulistas nem recém formados f Existem 5 médicos recém formados que não são paulistas nem pediatras g São 3 médicos paulistas que não são recém formados e nem pediatras h O total é de 23 pessoas Quantos são os médicos paulistas recém formados que não são pediatras 26 O resultado do levantamento de preferência de suco de frutas de maça morango e abacaxi é o seguinte 60 gostam de maça 50 gostam de morango 40 gostam de abacaxi 30 gostam de maça e abacaxi 20 gostam de morango e abacaxi 15 gostam de maça e abacaxi e 5 gostam os três sabores Qual é a porcentagem de pessoas da pesquisa que não gosta suco de frutas mencionadas 27 Na Licenciatura de Matemática do UFTPR foi realizada uma pesquisa com 100 estudantes que reprovaram matérias e o resultado foi o seguinte 28 reprovaram em Cálculo II 30 em Cálculo I 42 em Fundamentos 8 em Cálculo II e Cálculo I 10 em Cálculo II e Fundamentos 5 em Cálculo I e Fundamentos e 3 nas três matérias a Quantos alunos não reprovaram estas três matérias b Quantos alunos somente reprovaram em Fundamentos c Quantos estudantes foram reprovados em Cálculo II ou Cálculo I mas não em Funda mentos 28 Assistiram a um jogo de futebol 120 torcedores num gol mal cobrado pelo juiz todos brigaram e o resultado foi o seguinte 45 foram feridos na cabeça 42 no braço 40 na perna somente 7 foram feridos na cabeça e braço 12 na perna e braço 15 na perna e cabeça Se os 120 foram feridos averiguar quantos feridos houve nos três lugares do corpo 29 No ano de 2002 de um total de 41 alunos do 1o da Licenciatura em Matemática que participaram das provas das disciplinas Cálculo I C Fundamentos da Matemática F e Geometria G obtevese a seguinte informação Disciplinas C F G C F C G F G C F G Alunos reprovados 12 5 8 2 6 3 1 Perguntase Qual o número de estudantes que aprovaram as três disciplinas Capítulo 4 RELAÇÕES Zermelo Zermelo nasceu em Berlin em 27 de Julho de 1871 e faleceu em Freiburg im Breisgau Alemanha em 21 de maio de 1953 Estudou nas universidades de Berlin Halle e Freiburg recebeu aulas de Frobe nius Planck Schmidt y Schwarz Formouse doutor em 1894 na universidade de Berlim com um trabalho sobre as pesquisas de Weierstrass no cálculo de variações Zermelo permaneceu na universidade de Berlim seu trabalho girava mais para áreas de matemática aplicada e sob a orientação de Planck fez trabalhos sobre hidrodinâmica Em 1897 Zermelo foi a Göttingen onde naquela época era o maior centro de pesquisa matemática no mundo se interessou pela hipótese o contínuo que havia adiantado Cantor cada subconjunto infinito do contínuo é enumerável ou tem a cardinalidade do contínuo Zermelo começou a trabalhar nos problemas da teoria de conjuntos analisando a idéia de Hilbert e direcionando para uma definição do problema da hipótese do contínuo Em 1902 Zermelo publicou seu primeiro trabalho sobre teoria dos conjuntos Tratava se sobre a adição dos cardinais transfinitos Em 1904 Zermelo demonstro que todo conjunto pode estar bem ordenado A demonstração foi baseada no axioma de eleição Este resultado trouxe fama a Zermelo e proporcionandolhe também um promoção rápida á professor porém muitos matemáticos não aceitaram o tipo de provas que Zermelo utilizo Em 1908 Zermelo publicou seu sistema axioma que contem sete axiomas apesar de sua falha para provar a consistência Zermelo indicou geralmente seus axiomas e teoremas em palavras melhor que com símbolos Skolem e Fraenkel melhoraram independentemente este sistema O sistema resultante com 10 axiomas é agora geralmente o mais usado para a teoria de conjuntos Uma curiosidade de Zermelo é que não utilizava símbolos em seus desenvolvimentos Em 1910 Zermelo deixou Göttingen ao receber uma proposta de trabalho da Universidade de Zurich Em 1916 Zermelo renunciou a seu posto em Zurich e regressou a Alemanha onde viveu durante 10 anos 41 OUTRAS CLASSES DE CONJUNTOS Dizemos no capitulo anterior que Cx são todos os elementos que pertencem a uma mesma classe e px é a propriedade que satisfazem os elementos x de uma classe O axioma de especificação garante que para cada propriedade fórmula px existe ao menos uma classe formada por todos os conjuntos que satisfazem a fórmula px Lembre que quando 155 156 Fundamentos da Matemática falamos de classe seus elementos podem ser conjuntos ou elementos de um determinado conjunto Assim para cada proposição px existe somente uma classe dos conjuntos que verificam px Este fato permite definir classes adicionais mediante que satisfazem a proposição px entre elas temos 1 A classe par ordenado ou bem díada a b a a b 2 A classe relação RA x x A a b a b x 3 A classe domínio e contradomínio de uma relação R Domínio DR a b a b R Contradomínio ImR b a a b R 4 A classe relação inversa de outra relação R b a R a b R 5 A classe aplicação fA RA a b c a b R a c R b c 6 A classe aplicação Bijetiva BifA fA a b ca b f c b f a c 7 As classes coordenáveis ou eqüipolentes A B fA BifA Df A Imf B 8 A classe de menor ou igual potência que outra A B S S B A S 9 A classe estritamente de menor potência que outra oA oB S S B b B S A S 10 A classe infinita InfA X X A X A A X 11 A classe finita FinA InfA 12 A classe indutiva IndA A a A sa A 13 A classe inclusiva IncA X X A X A 14 A classe sucessor de outra classe sa a a 411 Propriedade definida sobre um conjunto Definição 41 Seja A um subconjunto do conjunto E dizemos propriedade característica dos elementos do conjunto A a todo critério que permite decidir se qualquer elemento x de E entre x A ou x A Christian José Quintana Pinedo 157 Se px é uma propriedade característica dos elementos de A então px será uma pro priedade característica dos elementos do CEA De px dizemos que é uma propriedade definida sobre o conjunto E Logo compre que px x A px x CEA Podemos escrever então A x E px ou CEA x E px Exemplo 41 1 A x Z x 0 aqui px x 0 x 0 é uma propriedade característica dos elementos de A x 0 é uma característica definida sobre Z 2 B x N x 10 aqui px x 10 x 10 é uma propriedade característica dos elementos de B x 10 é uma característica definida sobre N 3 Seja T o conjunto de todos os triângulos do plano C x T x é isósceles x é isósceles é uma propriedade característica dos elementos de C x é isósceles é uma característica definida sobre T 412 Quantificadores Seja E um subconjunto de um conjunto universal U a proposição Para todo x de E cumprese a propriedade px escrevese x E px se esta proposição for verdadeira descreverá todo o conjunto E aqui px é uma propriedade definida sobre E e a característica dos elementos de E Conseqüentemente px é uma pro priedade característica dos elementos de CUE isto significa que não existem elementos x E que cumpram a propriedade px A proposição Existe algum elemento x de E que cumpra px escrevese x E px e descreve o conjunto CUE 158 Fundamentos da Matemática Estabelecemos então as seguintes equivalências x E px x E px ou o que é o mesmo x E px x E px se na primeira equivalência trocamos px por qx resulta x E qx x E qx Em resumo x E px x E px x E px x E px Observação 41 Se px é uma propriedade definida sobre E e é a característica dos elementos de A E então as proposições x E px x E px e x E px são equivalentes a A E A e A 42 CONJUNTO PRODUTO 421 Par ordenado Intuitivamente um par ordenado é um objeto matemático que consta de dois elementos por exemplo a e b de modo que no par designase com o primeiro e segundo elemento respectiva mente Logo o conjunto a b com a propriedade que a é o primeiro e b o segundo elemento constitui um par ordenado Para não confundir par ordenado com conjunto de dois elementos um par ordenado denotase por a b e é definido como u a b Como conjuntos a b b a entanto como pares ordenados em geral a b b a A operação de pares está sujeita á seguinte regra Para que se cumpra que a b c d tem que acontecer que a c e b d Em particular a b b a se e somente se a b A igualdade entre pares verifica o axioma de extensão e portanto são objetos matemáticos que podem ser elementos de um conjunto Christian José Quintana Pinedo 159 O conceito de par podemos ampliar da seguinte maneira Dados três objetos matemáticos a b e c definimos a b c a b c e dizemos que a b c é uma terna ordenada Para que duas ternas ordenadas a b c e m n p sejam iguais é necessário que a m b n e c p 422 Produto cartesiano Definição 42 Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B o produto cartesiano A B nessa ordem é o conjunto con stituído pelos pares ordenados x y A B x A y B Dois elementos a1 b1 e a2 b2 do produto cartesiano A B dizemos que são iguais se e somente se a1 a2 e b1 b2 Dados os conjuntos A e B podemos construir os conjuntos A B e B A que em geral são distintos Para o caso de A B o produto A B cartesiano simbolizamos A2 Suponhamos temos o conjunto A e consideremos o produto cartesiano A A mostrase que se A é um conjunto finito com n elementos então o conjunto A A tem n2 elementos Exemplo 42 a Considere os conjuntos A 2 3 4 e B 3 5 o produto cartesiano A B 2 3 2 5 3 3 3 5 4 3 4 5 b Seja A 1 2 3 e B a b então B A a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c Suponhamos os conjuntos A 2 B 3 5 e C a b então A B C 2 3 a 2 3 b 2 5 a 2 5 b Propriedade 41 Para qualquer conjunto A B e C temse 1 A B B A não é comutativa 2 A B C A B C não é associativa 3 A 4 A B C A B A C 5 A B C A B A C 6 A B C A B A C 7 A B A B 160 Fundamentos da Matemática 8 A B A C B C 9 A C B C C A B Demonstração 4 1 x y A B C hipótese 2 x A y B C def de 3 x A y B y C def de 4 x A y B x A y C tautologia 5 x y A B x y A C def de 6 x y A B A C def de 7 A B C A B A C de 16 8 x y A B A C hipótese 9 x y A B x y A C def de 10 x A y B x A y C def de 11 x A y B y C tautologia 12 x A y B C def de 13 x y A B C def de 14 A B A C A B C de 813 Portanto de 7 e 14 segue que A B C A B A C Demonstração7 Suponhamos que não seja verdade A B isto é 1 A B hipótese auxiliar 2 A B lei de Morgan 3 a A b B def de 4 a b A B def de 5 A B def de def de 6 A B A B 16 7 A B A B tautologia Portanto de 7 A B A B A demonstração das demais propriedades é exercício para o leitor Christian José Quintana Pinedo 161 423 Diagonal de um produto cartesiano Definição 43 Diagonal do produto Dado o conjunto A a diagonal do produto cartesiano A A é o conjunto A definido por A x y x y Logo se A ai i 1 2 3 então o conjunto A ai ai A A i 1 2 3 n é a diagonal de A A Exemplo 43 Se A 3 5 9 então A 3 3 5 5 9 9 424 Relações Definição 44 Relações Dados os conjuntos A e B dizemos relação de A em B a todo subconjunto de A B Isto é R é relação de A em B se e somente se R A B Exemplo 44 Sejam os conjuntos A alunos do 1o ano de Fundamentos da Matemática e B N então entre A e B podemos formar algumas relações como S1 x y A B x tem y anos S2 x y A B x tem y reais S3 x y A B x tem y de nota na primeira prova Observação 42 Se o conjunto A tiver n elementos o conjunto B tiver m elementos então A B têm nm elementos e assim podemos obter 2nm subconjuntos diferentes relações binárias Sendo a relação um conjunto ela é determinada por extensão nomeando todos seus el ementos ou por compreensão expressando um enunciado aberto pa b tal que para todo a b A B a sentença pa b seja uma proposição Exemplo 45 Sejam A a b e B 2 5 sabese que A B a 2 a 5 b 2 b 5 e aqui podemos obter 24 16 relações diferentes a saber R1 R2 a 2 R3 a 2 a 5 R4 b 2 b 5 R5 a 5 b 2 b 5 162 Fundamentos da Matemática R15 a 2 a 5 b 5 R16 a 2 a 5 b 2 b 5 A B Exemplo 46 Seja S 7 4 9 6 2 e T 5 1 4 3 2 e considere a relação R que diz é dobro de então podemos escrever R x y S T x é dobro de y por compreensão R 4 2 6 3 2 1 por extensão Observação 43 1 Se x A e y B e satisfaz que x y R então dizse que x está em relação com y mediante R e denotamos com o símbolo x R y 2 Se R é uma relação de A em B o conjunto A é chamado de conjunto de partida e o conjunto B é chamado de conjunto de chegada 3 Dado que o conjunto vazio A B então é uma relação de A em B e é chamada de relação nula ou vazia 4 Temos que R é uma relação de A em B se e somente se R A B Propriedade 42 Quaisquer que seja uma relação R temse que R U U Demonstração Para todo x R temse que a b U tal que a b x Assim x R implica que Cx Ca b então Ca Cb a b U U Portanto R U U 425 Domínio e Imagem de uma relação Seja R uma relação não vazia de A em B isto é R x y A B x R y Definição 45 Domínio de uma relação O domínio da relação R é o conjunto dos elementos x A para os quais existe um elemento y B tal que x y R e denotamos DR x A y B x y R Isto é o domínio de R é o subconjunto de elementos de A formado pelas primeiras compo nentes dos pares ordenados que pertencem à relação Christian José Quintana Pinedo 163 Definição 46 Imagem de uma relação A imagem ou contradomínio de uma relação R é o conjunto dos elementos y B para os quais existe um elemento x A tal que x y A B e denotamos ImR y B x A x y R Isto é a imagem de R é o subconjunto de B formado pelas segundas componentes dos pares ordenados que pertencem à relação Exemplo 47 No Exemplo 45 temos que DR1 ImR1 DR2 a ImR2 2 DR3 a ImR3 2 5 DR4 b ImR4 2 5 e DR5 a b ImR5 2 5 Exemplo 48 No Exemplo 46 temos que DR 4 6 2 e ImR 2 3 1 426 Diagramas de coordenadas 6 a Pa b b R R Figura 41 A B 2 1 A B b a c Figura 42 Estamos familiarizados com o plano cartesiano RR como mostra a Figura 41 cada ponto P R2 representa um par ordenado a b de números reais Uma reta imaginária vertical que passa por P corta o eixo horizontal em a e outra reta horizontal corta o eixo vertical em b x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 B A R Figura 43 Quando o produto cartesiano de dois conjuntos não tiver muitos elementos podemos representar em um di agrama de coordenadas diferente Por exemplo se A 1 2 e B a b c o produto cartesiano AB pode mos representar mediante o diagrama da Figura 42 o ponto Q é o par 2 c Exemplo 49 Sejam os conjuntos A x1 x2 x3 x4 e B y1 y2 y3 y4 e a relação R x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 164 Fundamentos da Matemática O diagrama da relação R mostrase na Figura 43 427 Gráfico de uma relação Definição 47 Gráfico de uma relação Dados os conjuntos A B seu produto cartesiano AB e uma relação R AB Chamamos de gráfico GR de R ao conjunto GR a b A B a b R Se um par ordenado a b GR dizemos que b corresponde a segundo R Exemplo 410 Seja B 1 2 3 4 e a relação T B R definida por T x x 3 então T tem por gráfico o conjunto GT 1 4 2 5 3 6 4 7 Exemplo 411 Se A 1 2 3 e B a b então GR 1 a 2 a 3 a 3 b é um gráfico observe que GR A B Exemplo 412 Seja N e a relação S N N definida por S x x3 Então o gráfico GS de S é o conjunto GS 1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 n n3 Exemplo 413 Sejam os conjuntos A 3 4 5 6 B 1 2 3 4 e a relação S x y A B x y 2 Podemos escrever S 3 1 4 2 5 3 6 4 3 4 5 6 1 2 3 4 B A S Figura 44 A Figura 44 representa o diagrama da relação de S O domínio e imagem da relação S é DS 3 4 5 6 e ImS 1 2 3 4 respectivamente Exemplo 414 Para os conjuntos do Exemplo 413 seja T x y A B x y logo T 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2 4 2 5 2 6 2 4 3 5 3 6 3 5 4 6 4 O domínio da relação T é DT 3 4 5 6 é a imagem da relação T é ImT 1 2 3 4 43 TIPOS DE RELAÇÕES 431 Relação binária Definição 48 Relação binária Seja A B dizemos relação binária a toda relação entre elementos de A Christian José Quintana Pinedo 165 Segundo nossa definição R é uma relação binária sobre A se R A A 432 Relação reflexiva Definição 49 Relação reflexiva Seja R uma relação binária definida do conjunto A dizemos que R é reflexiva se qualquer que seja o elemento x A o par x y verifica a relação x y Isto é R é reflexiva se e somente se x A x x R Exemplo 415 Seja A N e R a relação tem como quadrado a Esta relação não é reflexiva observe que os únicos pares ordenados que satisfazem a relação são 0 0 e 1 1 Exemplo 416 Seja A N e R a relação x y x y N Os pares ordenados 0 0 1 1 e 2 2 pertencem ao gráfico da relação R então para todo x N x y R isto é R é reflexiva O gráfico de R contém os pares x x que é a diagonal do conjunto A2 Então R é reflexiva se e somente se A2 GR Exemplo 417 Seja A um conjunto consideramos o conjunto de partes PA então a inclusão e a igualdade em PA são reflexivas Exemplo 418 1 Suponha o conjunto B x x é uma reta do plano e a relação definida por R1 x y B B x é paralela a y ela é reflexiva em B pois toda reta é paralela consigo mesma cumpre que x x R1 x B 2 Suponha o conjunto B x x é uma reta do plano e a relação definida por R2 x y B B x é perpendicular a y ela não é reflexiva em B pois toda reta não é perpendicular consigo mesma não cumpre que x x R2 x B 433 Relação simétrica Definição 410 Relação simétrica Uma relação binária R definida de um conjunto A é simétrica se qualquer que seja o par x y R que verifica a relação então o par y x também verifica a relação De outro modo uma relação R A A é simétrica se e somente se x y R y x R x y R 166 Fundamentos da Matemática Exemplo 419 Sejam A x x é uma reta do plano e a relação R x y A2 x é perpendicular a y é simétrica em A pois toda reta x que seja perpendicular a y cumpre que y é perpendicular a x isto é cumpre que y x R x y R Exemplo 420 Em N a relação x y é simétrica isto do fato y x Exemplo 421 Em N a relação têm por quadrado a não é simétrica é suficiente observar que o par 3 9 verifica porém o par 9 3 não satisfaz a relação 434 Relação antisimétrica Definição 411 Relação antisimétrica Dizemos que uma relação binária R sobre A é antisimétrica se para todo x y R e y x R verifica a relação x y Isto é R A A é antisimétrica se e somente se x y R y x R x y Exemplo 422 Seja PA o conjunto potência de A a relação R A B PA2 A B é antisimétrica Com efeito 1 A B e B A A B def de 2 Logo A B R B A R A B 1 def de Portanto de 2 R é antisimétrica Exemplo 423 A relação R a b R2 a b é antisimétrica Com efeito 1 a b e b a a b def de 2 Logo a b R b a R a b 1 def de Portanto de 2 R é antisimétrica Exemplo 424 Seja A N e R a relação divide a Esta relação é antisimétrica observe que se x divide y e y divide x então x y Christian José Quintana Pinedo 167 435 Relação transitiva Definição 412 Relação transitiva Dizemos que uma relação binária R sobre A é transitiva se para todo x y R e y z R verificase que x z R Isto é R A A é transitiva se e somente se x y R y z R x z R Exemplo 425 A relação R a b R2 a b é transitiva Com efeito 1 a b e b c a c def de 2 Logo a b R b c R a c R 1 def de R Portanto de 2 R é transitiva Exemplo 426 1 A relação de inclusão é transitiva isto do fato que se A B B C A C 2 A relação de igualdade em PA é transitiva 3 Se R 2 1 1 2 1 1 1 3 4 4 então R não é transitiva Isto pelo fato 2 1 R 1 3 R não implica que 2 3 R 436 Relação de equivalência Definição 413 Relação de equivalência Uma relação binária definida em um conjunto A é relação de equivalência se e somente se ela é reflexiva simétrica e transitiva Isto é dizse que um subconjunto R de A A define uma relação de equivalência sobre A se satisfaz as seguintes condições 1 a a R para todo a A 2 a b R implica que b a R 3 a b R e b c R então a c R Ao invés de falar de subconjuntos de A A podemos falar de uma relação binária relação entre dois elementos de A sobre o próprio A definindo que b esta relacionado com a se a b R Exemplo 427 Seja Z o conjunto de números inteiros Dados a b A definamos a b se a b for um número inteiro par Verifiquemos que define uma relação de equivalência em Z Z Solução 1 Do fato 0 a a é par segue que a a 2 Para a b temse que a b é par do fato b a a b temse que a b também é par portanto cumpre que b a é bem definido 3 Se a b e b c então tanto a b e b c são pares logo a c a b b c é par assim a c é bem definido Portanto define uma relação de equivalência em Z Z Nossa definição de relação de equivalência podemos escrever na forma 168 Fundamentos da Matemática Definição 414 A relação binária sobre A é dita uma relação de equivalência sobre A se para qualquer elemento a b c A temse que 1 a a 2 a b implica que b a 3 a b e b c implica a c A primeira destas relações é a reflexibilidade a segunda simetria e a terceira transitividade O conceito de relação de equivalência é bastante importante e desempenha um papel central em toda a matemática Exemplo 428 A semelhança de triângulos é um exemplo de relação de equivalência Isto significa que se a b e c são três triângulos semelhantes quaisquer então verificam as três seguintes condições 1 a é semelhante com a 2 Se a é semelhante com b então b é semelhante com a 3 Se a é semelhante com b e se b é semelhante com c então a é semelhante com c Exemplo 429 Outro exemplo de relação de equivalência é a congruência de triângulos as condições do 1 2 e 3 do Exemplo 428 também verificamse se substituímos a palavra semelhante por congruente Observação 44 Se R é uma relação de equivalência para traduzir que o par a b verifica a relação R podemos substituir a notação a b R por a b mod R e se lê a é equivalente a b módulo R Logo se a b c são elementos quaisquer de um conjunto A e se R é relação de equivalência em A temse a A a a mod R a b mod R b a mod R a b mod R b c mod R a c mod R Exemplo 430 Seja A Z Considere em A Z a relação binária R a diferença de dois inteiros é um múltiplo de 3 Esta relação é de equivalência pelo seguinte a A a a mod 3 isto é a a 0 3k para algum k N logo é múltiplo de 3 reflexiva a b mod 3 isto é a b 3r o que podemos escrever b a 3r para algum r N logo b a é múltiplo de 3 assim b a mod 3 simétrica Christian José Quintana Pinedo 169 a b mod 3 isto é a b 3t para algum t N e de b c mod 3 segue que b c 3s para algum s N logo a c a b b c 3t s a c 3t s para algum t s N logo a c é múltiplo de 3 e a c mod 3 transitiva Exemplo 431 Seja P o conjunto de proposições A relação R p q P P p q não é de equivalência Com efeito A relação é reflexiva temos que p p é verdadeira tautologia p P A relação é transitiva lembre que p q q r p r é verdadeira tautologia A relação R não é simétrica p q q p não é tautologia Portanto R não é de equivalência Exemplo 432 Se A π Ψ a Defina em A uma relação que seja simétrica e não reflexiva b Defina em A uma relação que seja transitiva e não simétrica c Defina em A uma relação que seja reflexiva e não seja simétrica nem transitiva Solução a R1 π π π Ψ Ψ π Ψ Ψ Solução b R2 π Ψ π Ψ Solução c R3 π π Ψ Ψ π Ψ 437 Relação inversa Definição 415 Seja R A B a relação inversa de R denotada por R é definida por R b a B A a b A B Exemplo 433 Sejam A 1 2 3 e B a b e consideremos a relação R 1 a 1 b 3 a de A em B logo a relação inversa de R é o conjunto R a 3 b 1 a 1 Exemplo 434 Se uma relação R é transitiva então sua relação inversa R também é transitiva Solução Sejam a b e b c elementos de R então b a R e c b R como R é transitiva então c a R logo a c R Portanto mostramos que se a b R e b c R então a c R a relação R é transitiva 170 Fundamentos da Matemática Exemplo 435 Que relação existe entre o domínio e imagem de uma relação R e o domínio e imagem de sua relação inversa R Solução 6 y 2 2 x 3 3 Figura 45 Como R tem os mesmos pares que R na ordem in versa de escrita cada primeiro elemento de um par em R é o segundo elemento de um par em R e cada segundo elemento em R é o primeiro elemento em R Conseqüen temente o domínio de R é a imagem de R e a imagem de R é o domínio de R Exemplo 436 Seja a relação R x y R2 4x2 9y2 36 Determine a O domínio de definição de R b a imagem de definição de R c a relação R Solução a O domínio de definição de R é o intervalo 3 3 uma vertical por cada um destes números contém ao menos um ponto de R Solução b A imagem é o conjunto 2 2 uma horizontal por cada um destes elementos contém ao menos um ponto de R Solução c A relação R encontrase se intercambiamos x e y no enunciado formal que define R logo R x y x R y R 9x2 4y2 36 Exemplo 437 Seja R a relação nos números naturais N definida pelo enunciado formal 2x y 10 Determine a O domínio e imagem de R b A relação R Solução a O domínio DR 0 1 2 3 4 e a imagem ImR 0 8 6 4 2 Solução b R x y x N y N x 2y 10 isto é R 8 1 6 2 4 3 2 4 Christian José Quintana Pinedo 171 Exercícios 41 1 Determine os valores de x y z da seguinte igualdade entre os pares ordenados 1 x 1 2 3 y 3 2 2x 3y x 2y 1 2 3 x y 3 5 y x 4 2x 2y 3z x y z x y z 14 5 9 5 x 5 3 y 7 2 6 x y 2 y z 3 x z 4 1 2 3 2 Suponhamos os conjuntos A 1 2 3 e B 1 5 Verifique as seguintes proposições 1 A B B A 2 A B B A B A 3 A B 1 1 1 5 2 1 2 5 3 1 3 5 4 B A 1 1 5 1 1 2 5 2 1 3 5 3 5 A2 B2 A2 A A e B2 B B 3 Sejam A B C e D conjuntos quaisquer Demonstrar 1 A B C A C B C 3 A B C A C B C 2 A B C D A C B D 4 Mostre que A X e B Y se e somente se A B X Y desde que A B 5 Sejam A B e C três conjuntos quaisquer Demonstrar as seguintes proposições 1 A B B A se e somente se A B ou ao menos um deles é o conjunto vazio 2 Se x y A2 então y x A2 3 A B A C se e somente se B C ou A 4 A B C A B C se e somente se ao menos um dos conjuntos A B ou C é vazio 6 Sejam os conjuntos A 1 2 3 e B 2 4 5 analisar quais dos conjuntos Ri são relações de A em B 1 R1 1 4 1 5 2 R2 1 4 1 7 3 R3 1 4 1 5 3 5 4 R4 5 R5 1 1 2 2 2 4 6 R6 A B 7 Sejam os conjuntos A 2 3 5 e B 3 6 7 10 analisar quais dos conjuntos Ri são relações de A em B 1 R1 x y A B x y 2 R2 x y N N x 2y 3 R3 x y A B x 5 172 Fundamentos da Matemática 8 Sejam os conjuntos A 0 1 2 e B 3 2 1 escrever em forma de conjuntos a relação de A em B definida por x y para x A e y B 9 Suponha os conjuntos A 3 5 8 9 e B 1 3 5 7 escrever em forma de conjuntos a relação de A em B definida por 1 x y x A e y B 2 x y x A e y B 3 x y x A e y B 4 y x 4 x A e y B 5 x é divisível por y x A e y B 10 Seja A N e a relação a b cujo gráfico é GAA a b NN a b construir uma relação binária definida sobre N 11 Seja A 1 2 3 O os conjuntos A 1 1 2 2 3 3 e K 1 2 2 3 constituem gráficos de relações binárias sobre A em tanto que o conjunto L 1 5 2 3 não Por quê 12 Dados os conjuntos A a b c e B a b d Quais dos seguintes conjuntos são gráficos de relação entre elementos x A e y B Em cada caso dar o domínio e imagem 1 R1 a a b b c c 2 R2 b c 3 R3 a d b d d a 4 R4 b a a b c c 5 R5 d a d d b d 13 Quais dos conjuntos do exercício anterior são gráficos de relação entre elementos x B e y A 14 Se A 3a 1 a N a 3 a Z 0 a 5 Calcule a diagonal de A A Construir o gráfico 15 Se A x R 2 x 5 e B x R 1 x 4 Construir o gráfico A B logo B A 16 Se M x R 2 x 5 e N x R 1 x 4 Construir o gráfico de M N logo N M 17 Seja R uma relação em A 2 3 4 5 definida pelo enunciado formal x e y são primos relativos 1 Escrever R como conjunto de pares ordenados 2 Representar R num diagrama de coordenadas A A 18 Seja A um conjunto qualquer e seja A a diagonal de A A Que relação existe entre todas as relações reflexivas de A A e A Christian José Quintana Pinedo 173 19 Os enunciados formais que seguem definem relações no conjunto R Representar cada relação em um diagrama de coordenadas de R R 1 y x2 4x 2 2 x y2 3 y x 2 2 4 x senx 20 Seja A 1 2 3 4 e a relação Ri sobre A para i 1 2 3 4 Determine se a relação 1 R 1 1 1 3 2 2 3 1 4 4 é reflexiva 2 R 1 2 3 4 2 1 3 3 é simétrica 3 R 1 2 3 4 2 2 3 3 2 1 é antisimétrica 4 R 1 2 4 3 2 2 2 1 3 3 é transitiva 21 Dado A 1 2 3 4 5 considere as seguintes relações em A 1 R1 1 1 1 2 2 R2 1 1 2 2 3 3 3 R3 1 1 2 3 4 1 4 R4 1 3 2 4 Determine quais dessas relações é Reflexiva simétrica antisimétrica ou transitiva 22 Existe algum conjunto A no qual toda relação seja simétrica 23 Mostre que se R e S são relações simétricas em um conjunto A então RS é uma relação simétrica em A 24 Pode uma relação em um conjunto A ser simétrica e antisimétrica 25 Seja A 1 2 3 Determine se cada uma das seguintes relações em A é antisimétrica 1 R1 1 1 2 R2 1 2 3 R3 A A 4 R4 1 2 2 1 2 2 3 2 2 3 5 R5 1 1 2 3 3 2 26 Os seguintes enunciados formais definem cada um uma relação R no conjunto de números naturais N Determine para cada caso se a relação é a Reflexiva b Simétrica c Transitiva d Antisimétrica 1 x é menor que y 2 x y 12 3 x e y são primos relativos 4 x divide y 5 x 4y 12 6 x é menor ou igual que y 7 x é múltiplo de y 8 x vezes y é o quadrado de um número 27 Para cada umas das relações R do exercício anterior determine um enunciado formal que defina a relação R 28 Seja R a b R2 b a mostre que R é antisimétrica 29 Prove que em N a relação x divide a y é uma relação antisimétrica 30 Seja A 1 2 3 Dar um exemplo de uma relação em A que não seja simétrica nem antisimétrica 174 Fundamentos da Matemática 31 Quando uma relação R sobre um conjunto A é 1 Não reflexiva 2 Não simétrica 3 Não antisimétrica 4 Não transitiva 32 Estabelecer a verdade ou falsidade das seguintes proposições supondo R e R relações em um mesmo conjunto A 1 Se R é simétrica então R é simétrica 2 Se R é antisimétrica então R é antisimétrica 3 Se R é reflexiva então R R 4 Se R é simétrica então R R 5 Se R é transitiva e R é transitiva então R R é reflexiva 6 Se R é transitiva e R é transitiva então R R é reflexiva 7 Se R é reflexiva e R é reflexiva então R R é reflexiva 8 Se R é antisimétrica e R é antisimétrica então R R é antisimétrica 9 Se R é reflexiva e R é reflexiva então R R é reflexiva 10 Se R é antisimétrica e R é antisimétrica então R R é antisimétrica Christian José Quintana Pinedo 175 44 CLASSES DE EQUIVALÊNCIA Se R é uma relação de equivalência em A e a A chamamos classe de equivalência de a por intermédio de R ao conjunto de todos os elementos de A que estão relacionados com a A classe de a denotamos por cla e se lê classe de equivalência de a Em forma simbólica cla x A x a mod R Exemplo 438 Seja A 1 2 3 e R uma relação de equivalência em A definida por R 1 1 1 2 2 2 2 1 3 3 temos que as classes de equivalência de 1 e 3 são respectivamente cl1 1 2 e cl3 3 Note que a classe de equivalência do 2 é cl2 1 2 isto é cl2 cl1 Exemplo 439 Seja R a relação definida pelos inteiros x b mod 5 isto é x é congruente com y módulo 5 Determine todas as classes de equivalência Solução Temos que R é uma relação de equivalência e como todo inteiro podemos expressar na forma x 5q r onde 0 r 5 existem cinco classes cl0 cl1 cl2 cl3 e cl4 estas classes são cl0 10 5 0 5 10 cl1 9 4 1 6 11 cl2 8 3 2 7 12 cl3 7 2 3 8 13 cl4 6 1 4 9 14 441 Conjunto quociente É uma família de elementos formada por todas as classes distintas de uma relação de equiv alência Se a relação de equivalência é R está definida no conjunto A denotamos AR e se lê conjunto quociente de A pela relação R Exemplo 440 Para o Exemplo 438 temos que AR cl1 cl3 Exemplo 441 Determine o conjunto quociente para as classes do Exemplo 439 Solução O conjunto quociente é ZR cl0 cl1 cl2 cl3 cl4 442 Partição de um conjunto Consideremos o conjunto A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e os subconjuntos B1 7 8 10 B2 2 5 6 B3 4 9 B4 3 1 observe que a família de conjuntos B B1 B2 B3 B4 tem as seguintes propriedades 1 O conjunto A é a união de todos os elementos de B isto é A B1 B2 B3 B4 2 Para qualquer dos conjuntos Bi e Bj temse que Bi Bj Bi ou Bi Bj Definição 416 Partição de um conjunto Dada uma família não vazia BiiI de subconjuntos de A dizemos que BiiI é uma partição de A se satisfaz 1 iI Bi A 2 Bi Bj Bi ou Bi Bj para todo i j I Cada um dos Bi é chamado de uma partição de A Exemplo 442 Sejam A números naturais pares e B números naturais ímpares Então A B é uma partição para N Sejam P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 2 6 10 B 3 5 6 8 C 1 3 5 7 9 Observe que A B C não é uma partição de P aqui A B e A B Sejam A a b c d e e uma partição de A o conjunto a b c e d e seu diagrama mostrase na Figura 46 A relação de equivalência em A determinado por R é a a a b b a b b c c c e e c e e d d que obtens relacionando os elementos em sua respectiva parte naturalmente AR a b c e d 45 APLICAÇÃO O conceito básico de aplicação é o seguinte Figura 46 Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo ocorre uma aplicação De outro modo dados os conjuntos A e B existem diversas relações de A em B entre estas tem particular importância aquelas que satisfazem a seguinte definição Definição 417 Aplicação Uma relação f de A em B denotado f A B é uma aplicação se e somente se a todo elemento a A corresponde um único elemento b B logo dizemos que a imagem de a mediante 178 Fundamentos da Matemática a aplicação f é o elemento b este elemento a é denominado préimagem do elemento b pela aplicação f e denotamos b fa Logo as duas condições que deve cumprir toda relação f de A em B para que seja aplicação são Existência a A existe um elemento b B tal que a b f Unicidade a A existe um único elemento b B tal que a b f Isto é se a b1 f a b2 f b1 b2 Observe os diagramas das relações das Figuras 47 e 48 A B Figura 47 A B Figura 48 A relação da Figura 47 acima não é uma aplicação pois existe o elemento 1 no conjunto A que não está associado a nenhum elemento do conjunto B A relação da Figura 48 também não é uma aplicação pois existe o elemento 4 no conjunto A que está associado a mais de um elemento do conjunto B Preste muita atenção no diagrama da Figura 49 A B Figura 49 A relação da Figura 49 é uma aplicação pois todo el emento do conjunto A está associado a somente um único elemento do conjunto B De um modo geral dados dois conjuntos A B e uma relação entre eles dizemos que essa relação é uma aplicação de A em B se e somente se para todo a A existe um único b B de modo que a se relacione com b Com base nos diagramas da Figura 47 e 49 acima concluímos que existem duas condições para que uma relação f seja uma aplicação 1o O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida ou seja todo elemento de A é ponto de partida de uma flecha Se tivermos um elemento de A do qual não parta uma flecha a relação não é aplicação 2o De cada elemento de A deve partir uma única flecha Se de um elemento de A partir mais de uma flecha a relação não é aplicação Christian José Quintana Pinedo 179 Logo dados dois conjuntos não vazios A e B dizemos aplicação f de A em B a qualquer relação binária que vincula a cada elemento a A um único elemento b B e denotamos f A B e se lê a aplicação f de A em B Quando o domínio e imagem de uma aplicação são o mesmo conjunto isto é f A A é freqüente chamar f de operador ou transformação sobre A Os operadores são casos especiais importantes de aplicações 451 Domínio e Imagem de uma aplicação Da definição de aplicação temos que toda aplicação é uma relação porém nem toda relação é uma aplicação o domínio e imagem de uma aplicação são respectivamente o domínio e imagem da relação que ela representa Seja f A B definimos o domínio de f como o conjunto A e denotamos Df e a imagem de f como sendo o conjunto Imf b B a A b fa Observação 45 1 Alguns autores definem aplicação com a possibilidade do domínio Df ser um subconjunto próprio de A isto é Df A e quando cumpre que Df A eles chamam aplicação totalmente definida 2 Segundo nossa definição de aplicação temse que o domínio de uma aplicação f A B é o conjunto Df A 452 Axioma de substituição O que interessa saber é se uma subclasse de conjunto também é um conjunto e se uma aplicação realmente é um conjunto Para saber isto é necessário o axioma de substituição Axioma 41 De substituição 8o axioma de Fraenkel Dado um conjunto A e pa b uma proposição de modo que para cada a A o conjunto b pa b pode ser formado então existe uma aplicação f com domínio Df A tal que fa b pa b para cada a A Dizer que b pa b pode ser formado significa naturalmente que um conjunto fa tal que b fa se e somente se pa b é verdade A razão para o nome deste axioma é que ele capacitanos a construir um novo conjunto a partir de um velho pela substituição de cada elemento do velho por uma coisa nova A mais importante aplicação deste axioma está em estender o processo de contagem para além dois números naturais Propriedade 45 A B CB A B CA Demonstração a Suponhamos os conjuntos X Y 180 Fundamentos da Matemática Se X temse que CY X Y implicam de imediato a CX C Suponhamos que X então existe a X Definimos g m n m X m n m Y X n a então para aplicação gY temse que D1g X Y X Y D2g X a X isto implica que D1g Y D2g X então D1g Y D2g X CY isto é CD1g Y CD2g X Assim CD2g Y implica CX Definição 418 Aplicações iguais Se f e g são aplicações definidas num mesmo domínio A e se fa ga a Df então as aplicações são iguais e escrevemos f g Exemplo 445 Sejam os conjuntos A 2 3 5 e B a b c A relação f1 2 a 3 b não é aplicação de A em B isto pelo fato de 5 não ser preimagem de elemento algum A relação f2 2 a 2 b 3 b 5 c não é aplicação isto pelo fato de existirem dois pares diferentes com a mesma primeira componente A relação f3 2 a 3 a 5 a é aplicação isto pelo fato Df3 A e não existem pares diferentes com a mesma primeira componente observe que Imf a A relação f4 2 a 3 b 5 c é aplicação isto pelo fato Df4 A e não existem pares diferentes com a mesma primeira componente observe que Imf a b c Exemplo 446 Sejam os conjuntos C 5 2 3 e D 4 2 A relação g1 5 4 2 4 3 2 é aplicação de C em D isto pelo fato Dg1 C e não existem em g1 pares diferentes com a mesma primeira componente A relação g2 5 4 2 4 5 4 não é aplicação isto pelo fato Dg2 C A relação g3 5 4 2 4 5 4 3 2 é aplicação de C em D isto pelo fato Dg3 C e não existem pares diferentes com a mesma primeira componente Observação 46 Seja a aplicação f A B e a b f como a e b tem seus valores variando nos conjuntos A e B respectivamente a e b recebem o nome de variáveis A variável x é chamada variável independente e a variável b variável dependente é costume escrever a b f como b fa e para obter o valor de b dependemos de um valor de a Uma aplicação f fica definida quando são dados seu domínio conjunto A seu contradomínio conjunto B e a lei de associação b fa Christian José Quintana Pinedo 181 453 Gráfico de uma aplicação O gráfico de uma aplicação é o mesmo gráfico da relação que ela representa Dada uma aplicação podemos desenhar seu gráfico em um sistema de coordenadas cartesianas seguindo o mesmo processo para diagrama de relações 4421 Construção do diagrama de uma aplicação Um sistema de coordenadas cartesianas consiste em um par de retas de números reais as quais se interceptam formando ângulo reto como mostra a Figura 410 a reta horizontal é chamado eixox ou eixo das abscissas e a reta vertical é chamada de eixoy ou eixo das ordenadas 6 0 1 2 3 1 2 3 x x 1 2 3 y y 1 2 Figura 410 6 4 5 1 2 3 4 5 5 3 6 1 2 5 1 2 3 4 5 6 x y Figura 411 Para desenhar o gráfico de uma aplicação y fx é suficiente atribuir valores do domínio Df à variável x e usando a relação matemática que define a aplicação calcular os correspon dentes valores para y fx Exemplo 447 Sejam os conjuntos A 4 6 2 5 e B 3 0 5 1 9 Para o diagrama do gráfico da aplicação f 4 5 6 1 2 5 5 3 é suficiente considerar um sistema de coordenadas cartesianas com os respectivos elementos de f como mostra a Figura 411 Exemplo 448 Desejamos construir o diagrama da aplicação f R R definia por y fx 2x 1 Primeiro observe que o domínio são todos os números reais logo podemos considerar x 2 x 4 x 6 x 8 e assim calculamos os respectivos valores para y como indica a Tabela 41 Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano como mostra a Figura 412 O diagrama da aplicação é uma reta que passa pelos seis pontos encontrados Basta traçar a reta pelo fato f R R e o diagrama estará construído Do fato da unicidade deduzse que se uma aplicação tem seu diagrama num sistema de coordenadas retangulares toda reta paralela ao eixo vertical intercepta este diagrama somente num ponto 454 Definição formal de aplicação Definição 419 Uma aplicação f definida em A com valores em B e domínio Df A a um subconjunto Gf A B que satisfaz as seguintes condições i x Df y B tal que x y Gf ii Se x y Gf e x z Gf então y z Da parte i podemos afirmar que a todo elemento x Df corresponde pelo menos um elemento y B tal que x y Gf e de ii o elemento y associado ao elemento x é único 455 Aplicação biunívoca sobrejetiva e bijetiva Definição 420 Aplicação biunívoca Dizemos que uma aplicação f A B com domínio Df A é biunívoca se elementos distintos do domínio tiveram imagens distintas isto é para qualquer x1 x2 Df com x1 x2 temse que fx1 fx2 Esta definição é equivalente a Dizemos que uma aplicação f A B com domínio Df é biunívoca se para qualquer x1 x2 Df com fx1 fx2 temse que x1 x2 Definição 421 Aplicação sobrejetiva Dizemos que uma aplicação f A B com domínio Df A é sobrejetiva se e somente se o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio isto é para todo y B existe x Df tal que fx y logo a aplicação f A B é sobrejetiva se Imf B Definição 422 Aplicação bijetiva Uma aplicação é bijetiva quando ela é sobrejetiva e biunívoca Exemplo 449 a A aplicação f R R definida por fx 3x é biunívoca pois se x1 x2 então 3x1 3x2 portanto fx1 fx2 Christian José Quintana Pinedo 183 b A aplicação f R R definida por y 3x é biunívoca como vimos na parte a deste exemplo Ela também é sobrejetiva pois Imf B R Logo esta aplicação é bijetiva c A aplicação g N N definida por y x5 não é sobrejetiva Pois Img 5 6 7 8 e o contradomínio é N mas é biunívoca pois valores diferentes de x têm imagens distintas Então essa aplicação não é bijetiva Exemplo 450 Considere os conjuntos A 5 6 7 8 e B 1 2 3 4 9 definida pela equação y x4 Para cada a A fica associado um único y B Considerando y fx x 4 temse f5 1 f6 2 f3 7 e f8 4 Esta aplicação é biunívoca não é sobrejetiva para o elemento 9 B não existe um elemento em A logo não é bijetiva São sinônimos de aplicação biunívoca aplicação injetiva ou aplicação umaum Exemplo 451 a Sejam A 1 3 9 10 e B 2 3 4 5 e f A B a aplicação definida por f1 2 f9 3 f3 4 e f11 5 é aplicação bijetiva b A aplicação h x y R2 y x2 1 3 x 3 não é biunívoca Definição 423 Aplicação identidade Seja f A A uma aplicação definida por fx x isto é a aplicação que faz corresponder a cada elemento de A o mesmo elemento é chamada de aplicação identidade Denotamos a aplicação identidade em A com o 1A Definição 424 Uma aplicação f A B é chamada aplicação constante se a todo elemento a A corresponde somente o elemento b B Logo Df A e Imf b 456 Composição de aplicações Definição 425 Composição de aplicações Sejam f A B e g B C duas aplicações tais que Imf B a aplicação gof definida por gofx gfx denominase aplicação composta de g e f nessa ordem O domínio da aplicação gof é Dgof x Df fx Dg O esquema da Figura 413 mostra como está definida a composição de aplicações Exemplo 452 Seja A 1 2 3 4 5 e sejam f g A A definidas por f1 3 f2 5 f3 3 f4 1 f5 2 g1 4 g2 1 g3 1 g4 2 g5 3 Determine gof e fog Solução 184 Fundamentos da Matemática A x fx gfx C B gof f g gofx Im f Figura 413 gof1 gf1 g3 1 fog1 fg1 f4 1 gof2 gf2 g5 3 fog2 fg2 f1 3 gof3 gf3 g3 1 fog3 fg3 f1 3 gof4 gf4 g1 4 fog4 fg4 f2 5 gof5 gf5 g2 1 fog5 fg5 f3 3 Observe que as aplicações gof e fog não tem a mesma definição Exemplo 453 a Dadas as aplicações fx x2 1 e gx 2x determine fogx e gofx b Dadas as aplicações fx 5x e fogx 3x 2 determine gx c Dadas as aplicações fx x2 1 e gx 3x 4 determine fog3 Solução a fogx fgx f2x 2x2 1 4x2 1 gofx gfx gx2 1 2x2 1 2x2 2 Solução b Como fx 5x então fogx fgx 5 gx Porém fogx fgx 3x 2 logo 5 gx 3x 2 e daí gx 3x 2 5 Solução c g3 33 4 5 então fog3 fg3 f5 52 1 25 1 26 Exemplo 454 Sejam f e g duas aplicações definidas por fx 3x 2 e gx x2 4x Determine as aplicações gofx e fogx Solução Temos os seguintes domínios e imagens para cada uma das aplicações Df R Imf R Dg R e Img 4 Christian José Quintana Pinedo 185 i Do fato Imf Dg então gofx gfx fx2 4fx gfx 3x 22 43x 2 9x2 4 Portanto gofx 9x2 4 e Dgof R ii Do fato Img Df então fogx fgx 3gx2 fgx 3x24x2 3x2 12x 2 Portanto fogx 3x2 12x 2 e Dfog R Muitas vezes são dadas aplicações fx e gx sem especificar quais são seus domínios para obter gofx o domínio de f deve ser escolhido de modo que Imf Dg Exemplo 455 Sejam as aplicações hx 10 definida em 3 4 e sx x2 8 definida em 0 7 Determine hosx e sohx Solução i Solução de hosx Temos que Dh 3 4 e Ds 0 7 Por outro lado hosx hsx 10 x 0 7 e sx 3 4 isto é x 0 7 e 3 x2 8 4 então x 0 7 e 5 x2 12 Portanto hosx 10 x 5 12 Solução ii Solução de sohx Observe que sohx shx hx2 8 102 8 92 para todo x 3 4 e hx 0 7 isto é x 3 4 e 0 10 7 isto último é absurdo Portanto não existe sohx 457 Imagem inversa de uma aplicação Suponhamos que f A B seja uma aplicação bijetiva e b B A imagem inversa da aplicação f denotamos por f e é o conjunto a A fa b 458 Aplicação inversa Seja f A B uma aplicação Em geral fB pode ter mais de um elemento ou ainda ser o conjunto vazio Definição 426 Aplicação inversa Se f A B é uma aplicação bijetiva então para cada b B a imagem inversa fb consta somente de um elemento em A Logo f B A é uma aplicação e f é chamado aplicação inversa de f Sejam a aplicação f C D A C e B D tais fA fa B a A e fB a A fa B Propriedade 46 Se f A B e se Ai i I é uma coleção de conjuntos em PA então Christian José Quintana Pinedo 46 CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO Christian José Quintana Pinedo 189 Sejam m n N Se existe uma bijeção f Nm Nn então m n Demonstração Suponhamos que n 1 então temos a aplicação f Nm N1 1 definida por fx 1 para todo x Nm Pelo fato ser f uma bijeção seguese que existe um único x Nm Se m 1 existe y x para o qual fy 1 Isto contradiz o fato ser f biunívoca Portanto m 1 Suponhamos a propriedade seja verdadeira para n N Se para n N a aplicação f Nm Nn 1 é uma bijeção então m 1 caso contrário fNm fN1 f1 e em Nn 1 teríamos somente elementos distintos de f1 que não estão na imagem de f além disso fx n 1 para um único x Nm A aplicação g Nm x Nn definida por gk fk se k Nm está bem definida e é bijetiva Definimos hk k se k n e hk k 1 se x k m 1 também está bem definida e é bijetiva De modo que pela hipótese de supor que a propriedade é verdadeira para n N e sabendo que a composições de aplicações bijetivas é bijetiva então goh Nm 1 Nn é uma bijeção Isto obriga que m n 1 Definição 429 Conjunto enumerável Um conjunto A dizse enumerável quando é finito ou quando podemos estabelecer uma apli cação bijetiva f N A Caso exista a aplicação f dizemos que o conjunto A é infinito enumerável e seus elementos podemos relacionar como segue f1 a1 f2 a2 f3 a3 f5 a5 fn an onde n N e A a1 a2 a3 a4 an Exemplo 459 O conjunto dos números naturais pares é infinito enumerável é suficiente definir f N N como sendo fn 2n O conjunto dos números naturais ímpares é infinito enumerável é suficiente definir g N N como sendo gn 2n 1 O conjunto dos números inteiros é infinito enumerável é suficiente definir a aplicação h N Z pela lei hn n 2 se n par 1 n 2 se n ímpar Um bom exemplo de conjunto não enumerável é o conjunto dos números reais R isto mostraremos posteriormente Intuitivamente definimos no Capítulo 31 a cardinalidade de um conjunto lembre que dois conjuntos A e B tem o mesmo cardinal e escrevemos cardA cardB para significar que existe uma bijeção f A B Logo se A for infinito enumerável temse que cardA cardB se e somente se B for infinito enumerável 190 Fundamentos da Matemática Dados os conjuntos A e B diremos que cardA cardB quando existir uma aplicação f A B somente biunívoca mas não sobrejetiva Definição 430 Conjuntos equipotêntes Dizemos que dos conjuntos A e B são equipotêntes se eles têm o mesmo cardinal e denotamos A B Por exemplo todos os conjuntos infinitos enumeráveis são equipotêntes com N Dizemos que um conjunto A tem cardinal do contínuo se A é equipotêntes com R Exemplo 460 Os seguintes conjuntos tem o cardinal do continuo i Qualquer subintervalo de R ii O conjunto dos números complexos C iii Qualquer espaço vetorial de dimensão finita sobre R O Axioma 34 é necessário para demonstrar alguns resultados básicos da teoria de conjuntos como são por exemplo os teoremas sem demonstração Propriedade 410 Teorema de Bernstein A B CA oA oB oB oA A B Propriedade 411 Teorema de Cantor A CA 0A oPA É importante mencionar o seguinte paradoxo da teoria de conjuntos 462 Paradoxo de Cantor Seja C o conjunto de todos os conjuntos Então todo subconjunto de C é um elemento de C logo o conjunto potência denotado PC é um subconjunto de C porém isto implica que a cardinalidade do conjunto potência seja menor ou igual a cardinalidade de C Segundo a propriedade Teorema de Cantor a cardinalidade de C deve ser menor que a cardinalidade do conjunto potência PC Assim o conceito de conjunto de todos os conjuntos leva a uma contradição Em geral para todo conjunto finito A temse que cardA cardN cardR A hipótese do contínuo diz Não existe conjunto A tal que cardinalidade do enumerável cardA cardinalidade do contínuo Christian José Quintana Pinedo 191 Exercícios 42 1 Dada uma família A de conjuntos seja R a relação definida em A por x é disjunto de y Dizer se R é a reflexiva bsimétrica c antisimétrica d transitiva 2 Mostre que A A é uma relação de equivalência em A 3 Determine as quinze partições diferentes do conjunto A 1 2 3 4 4 No conjunto Z considere a relação a R b definida por a R b ab 0 Determine se R define uma relação de equivalência sobre Z 5 Seja A a b c d e f e R a a a d b b b c b f c b c c c f d a d d e e f b f c f f e uma relação de equivalência Determine as classes de equivalência e verifique que formam uma partição de A 6 Suponha que A1 1 2 4 é uma classe de equivalência com respeito a uma relação de equivalência em um conjunto A Determine os elementos que pertencem à relação de equivalência para que A1 seja subconjunto de A 7 Se A a b c d e particionamos da seguinte maneira A1 a A2 b d A3 c e A4 e Determine a relação de equivalência que induzem estes quatro subconjuntos 8 Dado B 1 2 3 4 5 6 determine se as seguintes famílias determinam uma partição de B 1 1 3 5 2 4 3 6 2 1 5 2 4 1 5 3 6 3 1 5 2 3 6 4 1 2 3 4 5 9 Dado o conjunto N N e R a b c d N N2 ad bc Mostre que R é uma relação de equivalência e portanto induz uma partição de N N 10 Dado o conjunto N N e R a b c d N N2 a d b c Mostre que R é uma relação de equivalência e portanto induz uma partição de N N 11 Seja A 1 2 3 4 5 6 7 determine se as seguintes famílias de conjuntos são ou não partições 1 B B1 1 3 5 B2 2 B3 7 4 2 C C1 1 5 7 C2 3 4 C3 2 5 6 3 D D1 1 2 5 7 D2 3 D3 4 6 4 E E1 1 2 3 4 5 6 7 12 Determine se as seguintes relações são de equivalência 1 A a a x y Z2 x y 192 Fundamentos da Matemática 2 B a a x y Z2 x y 3 C a a x y Z2 x ymod 3 13 Demonstrar que E 0 0 1 1 2 2 3 3 0 2 1 3 2 0 3 1 é uma relação de equivalência em A 0 1 2 3 Achar as classes de equivalência cl0 cl1 cl2 cl3 14 Seja A a a x y Z2 onde x y é divisível por 3 Mostre que A é uma relação de equivalência em Z e achar as distintas classes de equivalência 15 Sejam f A B g B C e h C D Demonstre que hogof hogof 16 Sejam os conjuntos A 1 2 3 e B a b Quantas aplicações diferentes de A em B existem e quais são 17 Dadas as aplicações f1 f2 f3 e f4 determine quais são biunívocas em R 1 f1x x2 2 f2t t 2 3 f3s s2 4 f4 correspondendo a cada número seu quadrado 18 Dadas as seguintes aplicações determine quais são biunívocas Justifique sua resposta 1 A cada pessoa que habita Pato Branco corresponde o número de seus anos 2 A cada cidade de Brasil corresponde o número de seus habitantes 3 A todo livro escrito somente por um autor assinálê o autor 19 Pode uma aplicação biunívoca ser constante Justifique sua resposta 20 Pode uma aplicação sobrejetiva ser constante Justifique sua resposta 21 Dar um exemplo de 1 Uma aplicação de N a um subconjunto próprio de N que não seja uma bijeção 2 Uma injeção de N a um subconjunto próprio de N 3 De Z a um subconjunto próprio de Z que não seja injeção 4 Uma injeção de Z a um subconjunto próprio de Z 5 Uma aplicação de R a N 6 Uma aplicação de R a N tal que para todo x R fx x 22 Seja R uma relação de equivalência em um conjunto A Mostre que o conjunto quociente AR é uma partição de A Isto é mostre que a a a a A b a b a b R c Se a b a e b são disjuntos 23 Dar um exemplo de uma aplicação para cada item Christian José Quintana Pinedo 193 1 De um subconjunto próprio de N para N que não seja bijeção 2 De uma injeção de um subconjunto próprio de N para N 3 De um subconjunto próprio de Z a Z que não seja injeção 4 De uma injeção de um subconjunto próprio de Z para Z 5 De uma aplicação de N a R 6 De uma aplicação de N a R tal que para todo fx x 24 Resolva cada um dos seguintes exercícios 1 Dadas as aplicações fx x2 1 e gx 2x calcule fgx e gfx 2 Dadas as aplicações fx 5x e fgx 3x 2 calcule gx 3 Dadas as aplicações fx x2 1 e gx 3x 4 determine fg3 25 Se f é uma bijeção de A sobre B Existe uma aplicação inversa de f escrita f que é uma bijeção de B sobre A 26 Seja f A B uma aplicação bijetiva demonstre que as seguintes proposições são verdadeiras 1 C ffC para todo subconjunto C de A 2 ffD D para todo subconjunto D de B 27 Sejam f A B uma aplicação e A1 e A2 subconjuntos de A demonstre as seguintes relações 1 A1 A2 fA1 fA2 2 fA1 A2 fA1 fA2 3 fA1 A2 fA1 fA2 4 fA1 fA2 fA1 A2 28 Sejam f A B uma aplicação e B1 e B2 subconjuntos de B demonstre as seguintes relações 1 B1 B2 fB1 fB2 2 fB1 B2 fB1 fB2 3 fB1 B2 fB1 fB2 4 fB1 fB2 fB1 B2 29 Seja f A B uma aplicação a igualdade das imagens por f no conjunto de chegada B implica a equivalência dos elementos do conjunto de partida em A Isto é x1 x2 fx1 fx2 equivalência em A igualdade em B 30 Seja f A N onde A 3 2 1 0 1 2 3 e fx x x 2 Determine uma partição para A 31 Mostre que a aplicação composta gof das aplicações biunívocas f A B e g B C é uma injeção de A C 32 Mostre que a aplicação composta gof das aplicações sobrejetivas f A B e g B C é sobrejetiva de A C 194 Fundamentos da Matemática 33 Mostre que a aplicação composta gof das aplicações bijetivas f A B e g B C é uma bijeção de A C 34 Para todo subconjunto B de um conjunto A definimos a aplicação característica ϕB de B como a aplicação do conjunto B ao conjunto 0 1 definida por ϕBx 0 se x B e ϕBx 1 se x B Para A a b c e B b d construir o gráfico de ϕBx Calcule 1 ϕBx para todo x A Qual é o subconjunto de A que admite por aplicação característica a aplicação ψ definida por ψx 1 ϕBx 35 Sejam A a b c d e B a b c C b c e e ϕBx a aplicação característica de B Para todo x A calcule 1 ϕBx ϕCx 2 ϕBx ϕCx ϕBx ϕCx 36 Mostre que a relação Rx1 y1 x2 y2 x1y1x2 2 y2 2 x2y2x2 1 y2 1 Definida sobre S x y R R x 0 y 0 é uma relação de equivalência 37 Para a relação R da pergunta anterior Seja a b um elemento fixo de S mostre que Rx y a b y x b a ou y x a b Christian José Quintana Pinedo Miscelânea 41 1 Seja A Será o gráfico de uma relação binária sobre A Se sua resposta for afirmativa será esta relação reflexiva Transitiva De equivalência 2 Idem ao exercício anterior para o conjunto A 3 Sejam A a b e B a a b Determinar o gráfico R entre os elementos x A e y B onde Rx y x é elemento de y 4 Sejam E a b c e F E Determinar o gráfico G E F da relação R onde Rx y x não é elemento de y 5 Seja E a b Determinar o gráfico da relação binária R definida sobre PE onde Rx y x está contido em y 6 Seja R a relação x y 0 e R está definida sobre E 1 12 3 0 3 13 Determinar o gráfico de R 7 Seja R uma relação em N definida por aRb a² b² 7k k Z Mostre que R é uma relação reflexiva e simétrica 8 Mostre que a relação R definida sobre R x y R x² y² 2x y é uma relação simétrica e transitiva 9 Mostre que se f é uma bijeção de A em B então f f¹ 1B e f¹ f 1A 10 Seja F f A B f é aplicação e seja G g B A g é aplicação Mostre que se existe uma aplicação h G tal que f h 1B então a aplicação f F é sobrejetiva 11 Mostre que se existe uma aplicação g G tal que g f 1A então a aplicação f F é biunívoca 12 Mostre que se f A B e g B C são aplicações bijetivas então g f f g 13 Mostre que S3 o conjunto de todas as aplicações bijetivas de x1 x2 x3 em si mesmo tem seis elementos 14 Sejam X Y Xλ subconjuntos de A suponhamos aplicação f PA PA tal que X Y fX fY e ffX X Mostre que fλXλ λL fXλ e fλL Xλ λL fXλ 15 Dadas as famílias AλλL e BμμM forme duas famílias com índices em L M considerando os conjuntos Aλ BμλμLM e Aλ BμλμLM Prove que se tem λL Aλ μM Bμ λμLM Aλ Bμ λL Aλ μM Bμ λμLM Aλ Bμ 16 Seja AijijNN uma família de conjuntos com índices em N N prove ou desprove por contraexemplo a igualdade i1 i1 Aij i1 i1 Aij 17 Mostre que todo subconjunto A N finito é limitado 18 Mostre que todo subconjunto A N é enumerável 19 Mostre que se ϕ A B é biunívoca e B é enumerável então A é enumerável 20 Mostre que toda sequência infinita a1 a2 a3 an de elementos distintos é enumerável 21 Mostre que o conjunto N N é enumerável 22 Mostre que o conjunto N N é enumerável 23 Mostre que se ϕ A B é sobrejetiva e se A é enumerável então B também é enumerável 24 Sejam A e B conjuntos enumeráveis Mostre que o produto cartesiano A B é enumerável Capítulo 5 NÚMEROS NATURAIS Giuseppe Peano nasceu em 27 agosto de 1858 em Cuneo Piemonte Itália Em 1876 ingressou à universidade de Turim para estudar a engenharia porém decidiu estudar matemática pura formandose como doutor em 29 de setembro de 1880 Após graduarse trabalhou como professor assistente na universidade de Turim em 1880 professor extraordinário em 1890 e professor ordinário em 1895 Em 1886 provou que se o y fx y fosse contínuo então a equação diferencial dydx fx y tem uma solução A existência das soluções com hipóteses mais fortes para y fx y tinha sido dada resolvida por Cauchy e Lipschitz Quatro anos mais tarde Peano mostrou que as soluções não eram únicas dando como exemplo a equação diferencial dydx 3y3 com a condição inicial y0 0 Em 1888 Peano publicou Cálculo Geométrico que começa com um capítulo de lógica matemática e deu definições novas para o comprimento de um arco e para a área de uma superfície curvada Em 1889 publicou seus famosos axiomas chamados axiomas de Peano que definiram os números naturais nos termos de conjuntos As maiores contribuições de Peano entretanto estavam nos estudos da axiomatização da matemática e da lógica matemática Produziu uma definição axiomática do sistema de número natural e mostrou como o sistema de número real pode ser derivado destes postulados A lógica matemática é o uso dos símbolos em vez das palavras para expressar indicações matemáticas Peano introduziu os símbolos para representar pertence ao conjunto e é de A lógica matemática transformouse rapidamente o foco de seu trabalho Em 1889 Peano publicou a primeira versão de um sistema da lógicamatemática em seu Princípio de Aritmética que incluiu seus famosos axiomas de números naturais Dois anos mais tarde estabeleceu um jornal Rivista di matematica orientada principalmente à lógica e aos fundamentos da matemática O projeto transformouse seu centro por seus quinze anos seguintes Quando foi terminado em 1908 o livro contém 4200 fórmulas e teoremas simbolizados com provas em total 516 páginas Foi eleito membro da academia das ciências em Turin em 1891 Além foi honrado pelo governo italiano com diversos distintos Embora Peano seja um fundador da lógica matemática o filósofo matemático alemão Gottlob Frege 1848 1925 é considerado o pai da lógica matemática Peano também foi interessado no universal ou internacional nas línguas e criou o entendimento artificial da língua em 1903 Compilou o vocabulário fazendo exame de palavras de inglês de francês do alemão e do latim Morreu de um ataque de coração em Turin em 20 de abril de 1932 198 Fundamentos da Matemática Neste capítulo propomonos a desenvolver o estudo do conjunto dos números naturais N A idéia de número natural está ligado ao problema de contar ou enumerar objetos de um conjunto dado Nosso objetivo será então o de caracterizar os números naturais Uma das maneiras de fazêlo é elaborar um conjunto de axiomas e definições 51 CONJUNTO INDUTIVO Em quanto os conjuntos constituem um meio auxiliar os números são um dos dois objetos principais de que se ocupa a matemática Números são entes abstratos desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e medir portanto avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza Definição 51 Sucessor Para todo conjunto A definimos o sucessor A de A pelo acréscimo A a os elementos de A em outras palavras A A A O sucessor de A geralmente é denotado por A Estamos em condições para definir números naturais definimos 0 número zero como o conjunto que não tem elementos isto é 0 Se todo número natural deve ser igual ao conjunto de seus predecessores podemos definir os números 1 2 3 1 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 1 0 1 3 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 e assim sucessivamente pode ser levada a frente com o mesmo e único conjunto Definição 52 Conjunto indutivo Um conjunto de números M dizse que é indutivo se satisfaz as seguintes propriedades i 0 M ii n M então n M Exemplo 51 Os seguintes conjuntos não são indutivos 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 Observe que um conjunto indutivo é tal que contém ao conjunto vazio e para todo conjunto A que pertença a ele também pertence o seguinte conjunto A A classe de todos os conjuntos indutivos será a x indux 51 Axioma de Infinidade A questão é saber se realmente existe algum outro conjunto com estas características ou inversamente saber se a classe dos conjuntos com estas características é vazia Para resolvernos este problema na teoria de conjuntos foi formulado mais um axioma chamado Axioma de infinitude que garante a existência desse tipo de conjuntos Axioma 51 Axioma de infinitude 7º axioma de Zermelo Existe um conjunto que contém 0 e o sucessor de cada um de seus elementos Em nossa teoria matemática um bom exemplo é o conjunto N seus elementos 0 1 2 3 constituirão a nossa espécie fundamental de números e são chamados números naturais Infelizmente a expressão é um pouco ambígua pois alguns autores incluem o zero entre os naturais enquanto outros não o fazem mas não nos preocupe com isso A ideia intuitiva que temos dos números naturais é que são todos os números cada um dos quais pode ser obtido principiando com o zero e somando um tantas vezes quantas forem necessárias O Axioma 51 indica que existe pelo menos um conjunto da classe a de 51 pelo que poderíamos formar a interseção de seus elementos Propriedade 51 A classe a existe é um conjunto e é a classe indutiva mínima Demonstração Com efeito a existe pelo Axioma 51 toda vez que não é vazia Por outro lado para todo x a temse que a x logo pela Propriedade 45 segue que existe a classe C a Mostremos que a é indutivo Para todo y a temse que y então a Seja x a então para todo y a sx y segue que sx a Por último a é o mínimo entre os conjuntos indutivos por ser sua intersecção 200 Fundamentos da Matemática 5 Se algo vale para zero e valendo para um dado número também vale para o seu sucessor imediato valerá ainda para todos os números naturais Esses axiomas contém três termos nãodefinidos zero sucessor imediato e número nat ural Os axiomas por si mesmos não nos revelam o que tais termos devam significar embora entrelacem quaisquer significados que os termos possam ter e não nos dão qualquer evidência a favor do fato de os termos poderem referirse a qualquer coisa real Do ponto de vista do ensino a nível do Ensino Médio não tem cabimento expor a matemática sob forma axiomática Mas é necessário que o professor saiba que ela pode ser organizada sob a forma acima delineada Uma linha de equilíbrio a ser seguida na sala de aula deve basearse nos seguintes preceitos 1 Nunca dar explicação falsa sob o pretexto de que os alunos ainda não têm maturidade para entender a verdade 2 Não insistir em detalhes formais para justificar afirmações que além de verdadeiras são intuitivamente óbvias e aceitas por todos sem discussão nem duvidas As demonstrações quando objetivas e bem apresentadas contribuem para desenvolver o raciocínio o espírito crítico a maturidade e ajudam a entender o encadeamento lógico das proposições matemáticas 3 Ter sempre em mente que a importância social da matemática provém de que ela fornece modelos para analisar situações da vida real Assim por exemplo conjuntos são o modelo para disciplinar o raciocínio lógico números naturais são o modelo para contagem e números reais são o modelo para medida etc 4 A matemática fornece modelos abstratos para serem utilizados em situações concretas do diaadia e das ciências 52 NÚMEROS NATURAIS Existe um conjunto N chamado de conjunto dos números naturais para o qual os seguintes axiomas chamados axiomas de Peano são verificados Axioma 52 Ao conjunto N dos números naturais pertence o zero 0 Axioma 53 A todo número natural n corresponde outro número natural único chamado o sucessor de n o qual representamos por n n 1 Axioma 54 Dois números naturais distintos tem sucessores distintos Axioma 55 O zero não é sucessor de nenhum número natural Christian José Quintana Pinedo 201 Axioma 56 Axioma de indução ou recorrência Se A é uma parte de N que tem por elementos o zero e o sucessor de todo número natural n então A N Assim pelo Axioma 52 o conjunto de números naturais N é não vazio e fica determinado pela seguinte coleção N 0 1 2 3 4 5 n Denotamos o conjunto dos números naturais positivos por N 1 2 3 4 5 n Exemplo 52 O conjunto N de números naturais é indutivo pois 0 é um número natural e n 1 também é natural para todo n natural O conjunto de todos os números inteiros é indutivo O conjunto 0 1 2 1 3 2 2 5 2 é indutivo Observação 51 1 Denotamos o antecessor de qualquer número natural n N como n e este número satisfaz a igualdade n 1 n 2 Denotamos o consecutivo de qualquer número natural n N como n e este número satisfaz a igualdade n n 1 Propriedade 52 Para qualquer números naturais m e n temse i m n m n ii n n iii n 1 p N tal que p n Demonstração i Suponhamos que m n e m n então pelo Axioma 54 teremos m n contrariando a hipótese Demonstração ii Seja A m N m m pelo Axioma 52 temos que 0 N logo 0 A e se m A pela definição de A temos que m m e conseqüentemente pela parte i segue que m m logo m A e pelo Axioma 56 vamos ter que A N Portanto para todo n N temse que n n Demonstração iii Seja A 0 n N m n N tal que n m 202 Fundamentos da Matemática Por definição de M temos que 0 A Por outro lado se n M com n 0 temse que n m para algum m N De onde n m e n é o sucessor de m logo n A e pelo Axioma 56 segue que A N 521 Indução matemática Em matemática muitas definições e proposições se realizam utilizando o princípio de indução matemática A generalização de uma propriedade após verificação de que a propriedade é válida em alguns casos particulares pode conduzir a sérios enganos como mostra o seguinte exemplo Exemplo 53 Considere a relação fn 22n 1 definida para todo n N Temos que quando n 0 então f0 220 1 3 n 1 então f1 221 1 5 n 2 então f2 222 1 17 n 3 então f3 223 1 257 n 4 então f4 224 1 65537 Observe que todos aqueles números encontrados são números primos P Fermat 16011665 acreditou que a fórmula fn representaria números primos qualquer que fosse o valor positivo para n N pois esta indução era falsa Euler 1707 1783 mostrou que para n 5 resulta f5 4294967297 641 6700417 logo a afirmação de P Fermat foi precipitada Exemplo 54 Consideremos a relação fn n2 n 41 definida para todo n N observe que para valores menores que 40 fn é um número primo Com efeito se n 1 f1 43 se n 2 f2 47 se n 3 f3 53 se n 39 f39 1601 Porém se n 40 temos f40 402 40 41 4141 não é primo mostrando que a sentença é falsa Em 1772 Euler mostrou que fn n2 n 41 assume valores primos para n 0 1 2 3 39 Euler observando que fn1 fn mostrou que n2 n41 assume valores primos para 80 números inteiros consecutivos sendo estes inteiros n 40 39 38 0 1 2 3 38 39 substituindo a variável n por n 40 temos fn 40 gn n2 79n 1601 logo gn n2 79n 1601 assume valores primos para todos os números naturais de 0 até 79 Exemplo 55 A sentença 2n 2 é a soma de dois números primos é uma sentença verdadeira para n 1 n 2 n 3 n 4 e como nos exemplos anteriores após muitas tentativas não achamos algum número natural que a torne falsa Ninguém até hoje achou um número natural que tornasse a sentença falsa e ninguém até hoje sabe demonstrar que a sentença é sempre verdadeira Esta famosa sentença conhecida como conjectura de Goldbach feita em 1742 em uma carta dirigida a Euler diz Todo inteiro par maior do que 2 é a soma de dois números primos Não sabemos até hoje se esta sentença é verdadeira ou falsa Em resumo dada uma afirmação sobre números naturais se encontramos um contraexemplo sabemos que a afirmação não é sempre verdadeira E se não achamos um contraexemplo Nesta caso suspeitando que a afirmação seja verdadeira sempre uma possibilidade é tentar demonstrála recorrendo ao princípio de indução é necessário portanto dispor de um método com base lógica que permita decidir sobre a validade ou não de uma determinada indução isto está garantido com a seguinte proposição Propriedade 53 1º princípio de indução matemática Se Pn é uma proposição enunciada em termos de n para n N tal que 1º P0 é verdadeiro 2º Para todo h N Ph é verdadeiro implica Ph 1 é verdadeiro Então Pn é verdadeiro n N Demonstração Com efeito seja A n N pn é verdadeira Conforme as hipóteses 1º e 2º acima temos que 0 A e se k A então k 1 A ou seja as condições do Axioma 56 estão satisfeitas Portanto A coincide com o conjunto de todos os números naturais isto é pn é verdadeira para todo número natural n Os números naturais são fechados respeito às operações de adição e multiplicação As operações de subtração e divisão para números naturais não se aplica caso contrário teríamos que subtração e divisão de números naturais é um natural isto último é um absurdo 204 Fundamentos da Matemática Propriedade 54 O número zero é o elemento neutro para adição em N Demonstração A propriedade é verdadeira para n 0 isto é 0 0 0 o zero é neutro à direita Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para todo n N isto é 0 n n Mostrarei que a propriedade é válida para o sucessor de n isto é para n Por definição de adição 0 n 0 n e pela hipótese de indução 0 n n logo 0 n 0 n n e esta propriedade é verdadeira para n Portanto pelo axioma de indução Axioma 56 a propriedade é verdadeira para todo n N Propriedade 55 Se o sucessor de zero é 1 então para todo n N n n 1 Demonstração Com efeito pela hipótese temos que 0 1 Como n 1 n 0 n 0 isto implica pela Propriedade 54 que n 1 n Propriedade 56 Associativa A operação de adição em N é associativa isto é Para todo m n p N m n p m n p Demonstração Por indução sobre p Esta propriedade é verdadeira para p 0 m n 0 m n 0 def de adição Suponhamos para todo p seja verdadeira hipótese de indução Mostrarei que a propriedade é válida para p m n p m n p def de adição m n p hipóteses de indução m n p definição de adição m n p definição de adição Pelo axioma de indução concluímos que esta propriedade é válida para todo número n N Propriedade 57 Comutativa A lei é comutativa isto é para todo m n N temos que m n n m Demonstração Exercício para o leitor Propriedade 58 Em N nenhum elemento distinto de zero tem simétrico para a adição isto é mn 0 então m 0 e n 0 Christian José Quintana Pinedo 205 Demonstração Seja m n 0 hipótese Suponhamos que n 0 hipótese auxiliar Logo n tem um antecessor n def de antecessor Assim n n 1 Por conseguinte m n m n 1 substituição m n m n 1 associatividade m n m n def de sucessor Então m n 0 m n isto implica que zero é o sucessor de algum número Isto é absurdo ao Axioma 55 Portanto supor n 0 é errado n tem que ser zero e pelo Axioma 56 resulta m 0 Propriedade 59 Cancelamento Todo número natural é regular para a adição isto é n N se a n b n então a b Demonstração A demonstração é por indução sobre n e utilizamos o fato da aplicação f de N em N definida por fn n 1 ser injetiva A propriedade é verdadeira para n 0 a 0 b 0 então a b Suponhamos que seja verdadeira para n N a n b n então a b Mostrarei que a propriedade é válida para n Seja a n b n ou a n b n def de adição Como f é injetiva segue de fa n fb n então a n b n implica a b segundo a hipótese de indução 523 Relação de ordem em N Definição 55 1 Sejam os números m n N dizemos que m é maior que n e escrevemos m n se existe x N tal que m n x 2 Sejam os números a b N dizemos que a é menor que b e escrevemos a b se existe y N tal que a y b Propriedade 510 Sejam m n N então i m n e n p então m p transitividade ii m n se e somente se m p n p monotonicidade Demonstração i Por hipótese m n e n p logo existem números naturais r e t tais que n m r e p n t 206 Fundamentos da Matemática Assim p n t m r t m r t de onde p m Portanto m p Demonstração ii Se m n então existe r N tal que n m r logo n p m r p m r p m p r m p r e portanto m p n p Inversamente Se m p n p então existe t N tal que n p m p t m t p m t p assim n m t de onde m n Observação 52 A relação é transitiva porém não é reflexiva e nem simétrica Propriedade 511 Lei de tricotomia Se m n N uma e somente uma das seguintes alternativas é verdadeira i m n ii m n iii m n A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor Definição 56 Dados m n N dizse que m é menor ou igual que n e escrevemos m n se m n ou m n Analogamente definese a relação m n maior ou igual Definição 57 Seja A um subconjunto de N Dizemos que m N é o menor elemento de A se i m A ii m n para todo n A Propriedade 512 Princípio da boa ordem Se A é um subconjunto não vazio de números naturais então A possui um menor elemento Demonstração Seja A N A Se 0 A então 0 é o menor elemento de A Suponhamos então que 0 A e que A não tenha menor elemento m N Isto vai levar a uma contradição Como m não é o menor elemento de A seguese que m A ou existe n A tal que n m Seja B n N m n onde m A é imediato que A B caso contrario se existe p A B então p A e p B implica p p onde p A Isto é contradição logo A B Por outro lado 0 B pois por hipótese 0 A Suponhamos então que n B como m A se m n então n A caso contrario n seria um menor elemento para A Assim se m n temse que m A e n B Christian José Quintana Pinedo 207 Mostramos que 0 B e que n B implica n B podemos concluir pelo princípio de indução generalizada para segue que B N mas A B e como B N segue que A Por redução ao absurdo segue que todo subconjunto não vazio A N possui um menor elemento Propriedade 513 Seja A subconjunto de números naturais tais que k A e m A para todo m k em A Então A contém todos os números naturais n k Demonstração Seja B 0 1 2 s A onde s é tal que s k Temse que 0 B suponhamos que n B então n B logo pelo princípio de indução Propriedade 53 segue que B N Portanto A contêm todos os números naturais n k Assumindo o princípio da boa ordem como axioma podemos enunciar o princípio de indução generalizada Propriedade 514 2o princípio de indução matemática Seja Pn é uma proposição enunciada para n N tal que 1o Para n0 0 temse que Pn0 é verdadeira 2o Se Ph é verdadeiro para h n0 implica Ph 1 é verdadeiro Então Pn é verdadeiro n N tal que n n0 Demonstração Consideremos A n N Pn é proposição falsa então A N e CNA N onde CNA n N Pn é proposição verdadeira Pelo princípio da boa ordem Propriedade 512 o conjunto CNA possui um menor elemento n0 como n0 A então a proposição Pn0 é verdadeira logo em virtude da 1o hipótese n0 0 Para h n0 se Ph é verdadeira implica que também Ph é verdadeira logo h CNA de onde h n0 em CNA Em virtude da Propriedade 513 segue que CNA contém todos os naturais n n0 Portanto Pn é verdadeiro n N tal que n n0 Exemplo 56 Utilizando o princípio de indução matemática mostre que 312 32 52 2n 12 n4n2 1 n N n 0 Solução Seja S o conjunto dos números naturais que satisfazem 312 32 52 2n 12 n4n2 1 52 Se n 2 temse de 52 que 312 32 235 30 logo a proposição é verdadeira Suponhamos para h S em 52 a seguinte igualdade seja verdadeira 312 32 52 2h 12 h4h2 1 53 Para h 1 S temse pela hipótese auxiliar 53 que 312 32 52 2h 12 2h 12 h4h2 1 3 2h 12 h 12h 12h 3 Portanto S N e a fórmula 52 é válida n N n 0 Exemplo 57 Mostre que para todo número real 1 xn 1 e para qualquer natural n N então temse a desigualdade 1 xn 1 nx Demonstração Seja S o conjunto de números naturais para os quais 1 xn 1 nx 1º 1 S pois 1 x1 1 1x 2º Se h S temos que 1 xh 1 hx então 1 xh1 1 xh1 x 1 x hx2 1 h 1x Logo se h S então h 1 S Aplicando o princípio de indução matemática temos que S N 524 Multiplicação de números naturais Definição 58 Multiplicação em N Para todo m n N a multiplicação em N é uma aplicação N N N m n 7 m n simplesmente denotamos m n como m n e satisfaz o seguinte axioma Axioma 58 1 Para todo n N n 1 n 2 Para todo m n N N m n m n m Propriedade 515 O número zero satisfaz 0 n n 0 0 Demonstração Por indução sobre n Esta propriedade é verdadeira para n 0 portanto 0 0 0 por definição de multiplicação Suponhamos seja verdadeira para n logo 0 n 0 hipótese auxiliar Christian José Quintana Pinedo 209 Mostrarei que é válida para n 0 n 0 n 0 def de multiplicação 0 0 hipótese de indução Segundo o axioma de indução a propriedade é verdadeira para todo n N Propriedade 516 Elemento neutro multiplicativo O número 1 é o elemento neutro para a multiplicação isto é n N 1 n n 1 n Demonstração É suficiente mostrar que 1 é elemento neutro à direita Com efeito se n 1 temse que 1 1 1 o qual é verdadeiro Suponhamos para h 1 que 1 h h Mostrarei que 1 h h Aplicando a hipótese indutiva observe que 1 h 1 h 1 h 1 h Portanto o número 1 é o elemento neutro para a multiplicação Propriedade 517 O conjunto dos números naturais é fechado respeito da multiplicação isto é para todo m n N temse m n N Demonstração Suponhamos n seja número natural arbitrário fixo e consideremos a proposição Pm n m N para todo m N Assim P1 n 1 n N é verdadeira pois n 1 n Suponhamos que para algum h N a proposição Ph n h N seja verdadeira Logo pelo Axioma 58 e hipótese indutiva segue que n h n h n é verdadeira Isto é n h N Portanto o conjunto dos números naturais é fechado respeito da multiplicação Propriedade 518 Quaisquer que sejam os números naturais m e n temse que m n mn n Demonstração Exercício para o leitor Propriedade 519 Comutativa A multiplicação é comutativa isto é para todo m n N N temos m n n m Demonstração Esta propriedade é verdadeira para n 0 m0 0m Propriedade 515 Suponhamos verdadeira para n então m n n m hipótese auxiliar Mostrarei que é válida para n m n m n m def de multiplicação n m m hipótese de indução n m Propriedade 518 Pelo axioma de indução segue que a propriedade é válida n N 210 Fundamentos da Matemática Existe uma propriedade em N que relaciona ambas as operações de adição e multiplicação chamada propriedade distributiva Propriedade 520 Distributiva A multiplicação é distributiva respeito à adição isto é para todo m n p NNN temse que m n p m p n p Demonstração É suficiente mostrar a distributividade pela direita por indução sobre p A propriedade é verdadeira para p 0 então m n 0 m 0 n 0 Suponhamos seja verdade para p m np m p n p Mostrarei para p m np m np m n def de multiplicação m p n p m n hipótese de indução m p m n p n comutativa da adição m p n p def de multiplicação Pelo axioma de indução a propriedade é verdadeira n N Propriedade 521 Associativa A multiplicação é associativa isto é para todo m n p N m n p m n p Demonstração Mostrase por indução sobre p usando a Propriedade 520 Propriedade 522 Em N se um produto é nulo então ao menos um dos elementos é nulo isto é se mn 0 então m 0 ou n 0 Demonstração 1 Suponhamos m n 0 e m 0 hipótese 2 m n m n m Axioma da multiplicação 3 m n 0 m 2 e 1 4 m n m 1 3 e Axioma da multiplicação 5 n 1 4 e Propriedade 6 n 0 0 1 Portanto m n 0 implica m 0 ou n 0 Propriedade 523 Em N nenhum elemento distinto de 1 tem simétrico para a multiplicação isto é m n 1 então m 1 e n 1 Christian José Quintana Pinedo 211 Demonstração Suponhamos que m n 1 se n 0 pela Propriedade 520 existe n N tal que m n m n m Do mesmo modo se m 0 existe m tal que m m 1 logo m n m n n 1 então m n n 0 logo n 0 e n 1 De onde pela hipóteses temos que 1 m 1 implica que m 1 Propriedade 524 Em N N 0 todo elemento é regular isto é a b N a n b n e n 0 então a b Demonstração Demonstrase por indução sobre n considerando como primeiro elemento n 1 Conseqüência desta propriedade é que a N definimos a aplicação ga N N por gan an Observe que esta aplicação é injetiva e que a b implica ga gb 525 Potência inteira de um número natural Para todo a n N temse que a nésima potência do número a é outro natural denotado por an e se lê a elevado à n Definição 59 Seja a N a 0 para todo n N definimos a0 1 e an1 an a Desta definição resulta que para o caso a 0 a expressão 00 não está definida Propriedade 525 As propriedades das potências inteiras resultam da definição em particular a m n N am an amn se a 0 a n p N anp anp se a 0 A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor Exemplo 58 Considere h N N N definida como segue ha b a b a Determine se h é comutativa associativa Determine o elemento neutro de h caso exista Que elementos em N tem simétrico Solução Como ab a e ba b logo h não é comutativa abc ab a e abc ac a logo é associativa Se h tem elemento neutro e então e a a para todo a N porém a e a assim não existe elemento neutro No tem sentido calcular o elemento simétrico se não tem elemento neutro 212 Fundamentos da Matemática Exemplo 59 Seja uma operação em R2 definida por x yx y xx yy yx xy Demonstre que é comutativa e associativa Demonstração a Comutativa x yx y xxyy yxxy xxyy yxxy x yx y b Associativa x y x y c d xx yy yx xy c d cxx yy dyx xy cyx xy dxx yy cxx cyy dyx dxy cyx cxy dxx dyy 54 Por outro lado x y x y c d x y xc yd yc xd cxx cyy dyx dxy cyx cxy dxx dyy 55 Observando 54 e 55 temse que x y x y c d x y x y c d Portanto é associativa Christian José Quintana Pinedo 213 Exercícios 51 1 Mostre que para todo n N temse n 1 1 n 2 Mostre que a relação N N N é comutativa isto é para todo m n N temos que m n n m 3 Mostre que m n m para todo m n N 4 Mostre que dados m n N tais que m n então m r n r para todo r N 5 Mostre que em N é uma relação transitiva mas não é reflexiva nem simétrica 6 Mostre que n 0 para todo n N 7 Demonstre que para qualquer m n N uma e somente uma das proposições a m n b n m c m n é verdadeira Lei de tricotomia 8 Demonstre que se m n N e n m então para cada p N n p m p e reciprocamente 9 Mostre que a m n p q m p m q n p n q b m n p q m n q m p q c m n m n 1 d m n m n m n 10 Sejam m n p q N e defina m n p q m n p q a Mostre que nesta igualdade podemos inserir parênteses à vontade b Prove que m npq m n m p m q 11 Identifique S x x N n x n para todo n N 12 Se m n p q N e se n m e q p mostre a n q m p b q n m p 13 Sejam m n N Mostre que a Se m n então n h m para todo h N b Se h m n para algum h N então n m 14 Para m n N mostre que a n2 m n m2 b m2 n2 2m n 15 Mostre que se o produto de n números positivos é igual a 1 um a soma dos mesmos não é menor que n 16 Para todo m N defina m1 m e mp1 mp m desde que mp esteja definido Se m n p q N prove que a mp mq mpq b mpq mpq c m np mp np 214 Fundamentos da Matemática 17 Utilizando o princípio de indução matemática mostre cada um dos seguintes enunciados 1 6 12 22 32 n2 nn 12n 1 n N n 0 2 4 13 23 33 n3 n2n 12 n N n 0 3 2 1 4 7 3n 2 n3n 1 n N n 0 4 3 12 32 52 2n 12 n4n2 1 n N n 0 5 2 2 5 8 3n 1 n1 3n n N n 1 6 20 21 22 2n1 2n 1 n N n 1 7 3 1 2 2 3 3 4 nn 1 nn 1n 2 n N n 0 18 Mostre que se a b N tais que b a e a 0 então uma das seguintes igualdades cumpre 1 a qb 2 a qb r r b onde q r N 19 Se n N o fatorial do número n é denotado n e definido do modo seguinte 0 1 1 1 e quando n 1 definese n 1 2 3 4 5 n 1 n ou n nn 1n 2n 3 4 3 2 1 Mostre que 1 2n1 n n N 2 2n n nn para n N n 4 20 Mostre a desigualdade n 12 22 n para n N sendo n 2 21 Mostre que todo subconjunto não vazio A N possui um primeiro elemento isto é um elemento n0 A tal que n0 n para todo n A Christian José Quintana Pinedo 215 53 PROPRIEDADES ADICIONAIS EM N 531 Multiplicidade Definição 510 Múltiplo de um número Dizse que um número natural a é múltiplo de outro natural b se existe k N tal que a b k Exemplo 510 O número 15 é múltiplo de 5 pois existe 3 N tal que 15 5 3 O número 24 é múltiplo de 4 pois 24 6 4 Quando a k b segue que a é múltiplo de b mas também a é múltiplo de k como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7 pois 35 7 5 Observação 53 1 Quando a k b então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis 2 Como estamos considerando 0 como um número natural então o número 0 zero será múlti plo de todo número natural Considerando k 0 em a k b obtemos a 0 para todo b N 3 Um número b é sempre múltiplo dele mesmo a 1 b a b A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo 532 Divisibilidade Definição 511 Divisibilidade Sejam os números d n N dizse que d divide n e escrevemos d n quando existe c N tal que n c d A divisibilidade estabelece uma relação binária entre números naturais com as seguintes propriedades Propriedade 526 Sejam a b d n m N 1 n n reflexiva 2 d n e n m d m transitiva 3 d a e d b d a b e d ab 4 d n e d m d an bm para algum a b N linear 5 d n ad an multiplicação 216 Fundamentos da Matemática 6 ad an e a 0 d n simplificação 7 1 n 1 é divisor de todo natural 8 n 0 todo natural é divisor do zero 9 0 n n 0 zero é divisor somente do zero Exemplo 511 Mostre que 2 1 2 3 4 n nn 1 Solução Neste exemplo observe que Pn 2 1 2 3 4 n nn 1 Para n 1 P1 2 1 11 1 é verdadeira Suponhamos que Ph 2 1 2 3 4 h hh 1 seja verdadeira Mostrarei que Ph 1 2 1 2 3 4 h h 1 h 1h 1 1 é verdadeiro Com efeito temos que 2 1 2 3 4 h h 1 2 1 2 3 4 h 2 h 1 hh 1 2 h 1 h 1h 2 h 1h 1 1 Logo pelo princípio de indução matemática cumpre 2 1 2 3 4 n nn 1 n N Exemplo 512 Desejase construir uma parede decorativa com tijolos de vidro da seguinte forma a primeira fileira base deverá ter 100 tijolos a segunda fileira 99 tijolos a terceira 98 tijolos e assim por diante até a última fileira que deverá ter apenas 1 tijolo Determine o número total de tijolos necessários para construir desta parede será igual a Solução Observe que a quantidade de número de tijolos necessários para cada fileira é um número natural decrescente a partir de 100 logo temos aplicando a fórmula do Exemplo 511 que o total de tijolos é 2 100 99 3 2 1 100100 1 5050 Portanto são necessários 5050 tijolos Definição 512 Sejam os números naturais m e n dizemos que m é maior ou igual que n e escrevemos m n se e somente se m n ou m n Sejam os números naturais a e b dizemos que a é menor ou igual que n e escrevemos m n se e somente se n m ou m n Christian José Quintana Pinedo 217 Definição 513 Número primo Dizse que um número natural n é um número primo se n 1 e os únicos divisores positivos de n são 1 e o próprio n Se n não é número primo então é chamado de número composto Exemplo 513 São números primos 2 3 7 11 13 17 19 São números compostos 4 6 8 10 16 24 O número 1 não é primo observe que não satisfaz a definição Propriedade 527 Todo número inteiro n 1 é número primo ou produto de números primos Demonstração Mostremos por indução sobre n A propriedade é obvia para n 2 Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para cada inteiro menor que n Se n não é primo então n é divisível por um inteiro d 1 e d n Portanto n cd de onde c n como c e d são menores que n e maiores que 1 pelo que cada um deles é o produto de números primos logo n é produto de números primos Propriedade 528 Euclides Existe uma infinidade de números primos Demonstração Suponhamos exista uma quantidade finita de números primos por exemplo p1 p2 p3 pn1 pn n N n fixo Consideremos o número N 1 p1 p2 p3 pn1 pn Observe que N 1 ou N é primo ou N é produto de primos Porém N não é produto de primos pois é maior que cada um dos pi e nenhum dos pi é divisor de N caso contrário se p1 N então pi também é divisor de 1 o que contradiz a propriedade Portanto N é número primo Propriedade 529 Teorema fundamental da aritmética Todo inteiro n 1 podemos expressar como produto de fatores primos de modo único Demonstração Mostraremos por indução para o caso n 2 a propriedade é evidente Suponhamos a propriedade verdadeira para todo inteiro maior que 1 e menor do que n A mostrar que é verdadeira para n Se n é primo nada a mostrar Suponhamos que o número n seja composto e admite decomposição da forma n p1p2p3 ps ou n q1q2q3 qt p1p2p3 ps q1q2q3 qt 56 A mostrar que s t e que cada p é igual a q 218 Fundamentos da Matemática Dado que p1 divide n q1q2q3 qt então deve dividir pelo menos um de eles suponhamos que depois de ordenados p1 q1 então p1 q1 já que p1 e q1 são primos Assim em 56 podemos obter m p2p3 ps ou m q2q3 qt p1p2p3 ps q1q2q3 qt Se s 1 ou t 1 então 1 m n A hipótese de indução diz que as duas decomposições são idênticas se prescindimos da ordem dos fatores Conseqüentemente s t e as decomposições em também são idênticas se prescindimos a ordem dos fatores Portanto a propriedade é válida Uma conseqüência imediata do Exercício 5 116 é a a propriedade seguinte Propriedade 530 Para a b N sendo a b 0 temse que existem os números q r N tais que b q e a bq r r b A demonstração é exercício para o leitor Na igualdade a bqr o número a é chamado de dividendo b é o divisor q o quociente e r é chamado de resto Definição 514 Divisor Comum Sejam os números a b d N se o número d divide simultaneamente a os números a e b o número d é chamado divisor comum de a e b Exemplo 514 A divisão de um certo número inteiro N por 1994 deixa resto 148 Calcule o resto da divisão de N 2000 pelo mesmo número 1994 Solução Temos pelo enunciado N 1994 q 148 Adicionando 2000 a ambos os membros vem N 2000 1994 q 2000 148 N 2000 1994 q 2000 148 Decompondo 2000 na soma equivalente 1994 6 fica N 2000 1994 q 1994 6 148 N 2000 1994 q 1 154 Logo o novo quociente é q 1 e o novo resto é igual a 154 Propriedade 531 Algoritmo da Euclides Dados os números naturais a e b podemos repetir o processo da Propriedade 530 como segue a bq r1 0 r1 b b r1q1 r2 0 r2 r1 r1 r2q2 r3 0 r3 r2 rk3 rk2qk2 rk1 0 rk1 rk2 rk2 rk1qk1 rk 0 rk rk1 Christian José Quintana Pinedo 219 Por último um dos r será zero suponhamos o primeiro deles rk 0 logo rk1 0 Então rk1 será o máximo divisor comum de a e b Demonstração Existe um instante em que rk 0 pois os rj são números naturais na ordem decrescente Sendo rk 0 então temse que rk2 rk1qk1 0 logo rk1 rk2 Por outro lado aplicando a Propriedade 525 e de rk3 rk2qk2 rk1 rk1 rk3 Podemos continuar este processo até que na primeira igualdade temse que rk1 divide a r1 e b conseqüentemente divide a a Definição 515 Máximo divisor comum O número natural rk1 da Propriedade 530 é chamado máximo divisor comum de a e b Observação 54 O máximo divisor comum de a e b denotase d mdc a b Também é costume denotar o mdca b de dois números como o par não ordenbado a b Para o caso do máximo divisor comum de três números a b c N denotamos d mdc a b c ou a b c a b c a b c Isto é o máximo divisor comum de pende somente dos números e não da ordem em que eles estão escritos Exemplo 515 Dado os números 726 e 275 determine seu mdc Solução 726 275 2 176 275 176 1 99 176 99 1 77 99 77 1 22 77 22 3 11 22 11 2 0 Portanto 11 mdc726 275 Propriedade 532 Dados a b c N existe um e somente um mdca b d que satisfaz i d a e d b d é um divisor comum de a e b ii Se c a e c b c d cada divisor comum divide d Demonstração Pela Propriedade 530 existe pelo menos um d que satisfaz as condições i e ii Pela Propriedade 526 temse que d a b d γa b para algum γ N como c a e c b então a α c e b β c para α β N Logo d γa b γα c β c cγ α γ β c d 220 Fundamentos da Matemática Propriedade 533 Lema de Euclides Se a bc e mdc a b 1 então a c Demonstração Desde que mdc a b 1 então a b Do fato a bc bc αa para algum α N e como a b a c Dados dos números naturais a e b quando mdc a b 1 dizemos que os números a e b são primos relativos Também é costume dizer que os números a e b são coprimos Exemplo 516 i Os números 2 e 9 são primos relativos ii Os números 3 e 15 não são primos relativos iii Os números 3 e 11 são primos relativos Propriedade 534 Sejam a b N tais que a pα1 1 pα2 2 pα3 3 pαs s e b pβ1 1 pβ2 2 pβ3 3 pβt t Então d mdca b admite a decomposição d pc1 1 pc2 2 pc3 3 pck k onde ci minαi βi Demonstração Seja d pc1 1 pc2 2 pc3 3 pck k dado que ci minαi βi então ci αi e ci βi de onde d a e d b logo d é um divisor comum de a e b Suponhamos que d seja outro divisor de a e b e consideremos a decomposição d pe1 1 pe2 2 pe3 3 pem m Então ei αi e ei βi logo pela Propriedade 533 segue que ei ci Portanto d d logo d mmca b Observação 55 Os múltiplos de 2 são denominados números pares Os demais números naturais são denominados números ímpares Assim denotando por P o conjunto dos números pares e por I o conjunto dos números ímpares poderemos escrever P 0 2 4 6 8 10 12 I 1 3 5 7 9 11 13 Observase que ambos os conjuntos são infinitos Exemplo 517 Seja a N tal que a seja número par se e somente se a2 também é número par Solução Como a N é par então podemos escrever na forma a 2k para algum k Z logo a2 a a 2k 2k 4k k 22k2 2 t onde t 2k2 Z assim a2 é par Reciprocamente A mostrar que se existe a2 como número par então a também é par Christian José Quintana Pinedo 221 Por contradição Suponhamos que a é ímpar então a 2r1 para algum r N isto implica que a2 2r 1 2r 1 4r2 4r 1 22r2 2r 1 2s 1 onde 2r2 2r s N Assim a ímpar implica a2 ímpar se e somente se a2 par implica a par Portanto a N é número par se e somente se a2 é par Definição 516 Mínimo Múltiplo Comum Dizse que um número m é múltiplo comum dos número ae b e denotamos m mmca b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b isto é m k a e m r b onde k e r números naturais 533 Relação entre o mmc e mdc Uma relação importante e bastante útil entre o mmc e o mdc é o fato que o mdca b multiplicado pelo mmca b é igual ao produto de a e b isto é mdca b mmca b a b Exemplo 518 Determinar o mmc e o mdc dos números 15 e 20 Demonstração O primeiro passo é determinar o mdc ou o mmc dos números 15 e 20 obtido o mdc15 20 5 e sabendo que 15 20 300 basta lembrar que mdc15 20 mmc15 20 15 20 e fazer o cálculo Donde obtémse que o mmc15 20 é igual a 300 dividido por 5 ou seja mdc15 20 60 Exemplo 519 Seja f N N N a operação mínimo múltiplo comum isto é fa b mmca b Esta aplicação f é comutativa É associativa Determine o elemento neutro de f Quantos elementos em N se existem tem simétrico e quais são Demonstração Como o mmca b mmcb a então f é comutativa A demonstração da associativi dade é óbvia O número 1 é o elemento neutro para f observe que mmca 1 a Como o mmca b 1 se e somente se a 1 e b 1 o único número que tem simétrico multiplicativo é o 1 ademais é seu próprio simétrico 534 Propriedades adicionais de divisibilidade Propriedade 535 Representação decimal de números naturais Para cada n ℕ n 1 existem algarismos a0 a1 a2 as onde as 0 no conjunto 0 1 2 8 9 tais que n i0s ai 10i as 10s as1 10s1 a1 10 a0 100 Christian José Quintana Pinedo 223 11 se e somente se n m x z u for divisível por 11 25 se e somente se o número nu for múltiplo de 25 ou nu 00 Exemplo 520 Seja a 75341250 este número é divisível por 2 5 e 125 observe que o número formado pelos três últimos dígitos de a é 250 e 125 250 Também o número a é divisível por 3 e 9 pois 3 7 5 3 4 1 2 5 0 análogo para 9 Exemplo 521 Mostre que n N a expressão n3 n é divisível por 6 seis Demonstração Temos que Pn n3 n P1 13 1 0 é divisível por 6 Suponha que Ph h3 h seja divisível por 6 sendo h N Para n h 1 temos Ph 1 h 13 h 1 h 1h 12 1 h3 h 3hh 1 57 Observe que 3hh 1 é divisível por 6 Com efeito se h 1 temos que 312 é divisível por 6 Suponha 3hh 1 é divisível por 6 h N Logo para h 1 segue que 3h 1h 2 3hh 1 6 sendo divisível por 6 Então em 57 da hipótese auxiliar para Pn concluímos que n N a expressão n3 n é divisível por 6 seis Exemplo 522 Determine a validade da seguinte proposição 10n1 10n 1 é divisível por 3 para todo n N Solução Seja S o conjunto dos números naturais que satisfazem 10n1 10n 1 é divisível por 3 n N 58 Se n 1 temse na 58 que 102 101 1 111 é divisível por 3 logo a proposição é verdadeira Suponhamos para h S em 58 a seguinte proposição seja verdadeira 10h1 10h 1 é divisível por 3 h N 59 Para h 1 S temse pela hipótese auxiliar 59 que 10h2 10h1 1 1010h1 10 1 9 224 Fundamentos da Matemática é divisível por 3 Portanto S N e a fórmula 58 é válida Exemplo 523 Mostre que se n N então 1 3n3 2n é um número natural Demonstração Seja S o conjunto de números naturais tais que 1 3n3 2n é um número natural O número 1 S pois 1 313 21 1 Suponha que h S isto é 1 3h3 2h é um número natural Então 1 3h 13 2h 1 1 3h3 3h2 3h 1 2h 2 1 3h3 2h h2 h 1 é um número natural Assim h S implica h 1 S Logo S N pelo princípio de indução Exemplo 524 Mostre que 2n1an bn a bn com a b 0 a b e n 1 n N é verdadeira Demonstração Para n 2 a desigualdade é da forma 2a2 b2 a b2 510 Como a b temos a desigualdade ab2 0 que somando ab2 obtemos ab2 a b2 a b2 isto implica a desigualdade 510 portanto a desigualdade é válida para n 2 Suponhamos que a desigualdade seja válida para n h isto é 2h1ah bh a bh 511 Mostraremos a desigualdade para n h 1 isto é 2hah1 bh1 a bh1 512 Multiplicando em 511 por ab temse 2h1ah bhab abhab abh1 Resta mostrar que 2hah1 bh1 2h1ah bha b Com efeito 2hah1 bh1 2h1ah bhab ah1 bh1 ah bhab ah bha b ah1 bh1 ah bha b Esta última desigualdade podemos escrever sob a forma ah bha b 0 513 Suponha a b da hipótese a 0 segue que a b portanto ah bh logo 513 sempre é verdadeira Para o caso a b então ah bh e a desigualdade é o produto de números negativos logo 513 sempre é verdadeira Assim se a desigualdade 512 vale para n h também vale para n h 1 Christian José Quintana Pinedo 225 Exemplo 525 Para que valores de n N verifica a desigualdade 2n n2 Solução Quando n 1 a desigualdade é verdadeira temse 21 12 Para n 2 temse que 22 22 a desigualdade é falsa Para n 3 a desigualdade 23 32 a desigualdade é falsa Para n 4 temse que 24 42 a desigualdade é falsa Para n 5 temse que 25 52 a desigualdade é verdadeira Suponhamos em geral que n 4 logo se n 5 a desigualdade é verdadeira Suponhamos que para todo k 5 número natural temos 2k k2 Sabese em geral que para todo k N é válida a desigualdade 2k 2k 1 então adicionando o resultado da hipótese auxiliar segue que 2k 2k 2k 1 2k 2k1 k 12 Portanto 2n n2 para n 1 e n 4 Exemplo 526 Descubra o erro no seguinte raciocínio por indução Seja Pn Se a e b são inteiros não negativos tais que a b n a b Observe que P0 é verdadeira Sejam a e b inteiros tais que a b h 1 defina c a 1 e d b 1 então c d a b 2 h 1 2 h A verdade de Ph implica que a b isto é Ph 1 é verdadeira Portanto Pn é verdadeira para todo n 0 n N Exemplo 527 Supondo que o número k abc seja divisível por 21 mostre que o número h a 2b 4c também é divisível por 21 Demonstração Como k abc k 100a 10b c k 5h 215a c por hipótese k 21 5h 21 Sendo mdc 5 21 1 21 h Portanto h é divisível por 21 Fundamentos da Matemática Christian José Quintana Pinedo 227 Exercícios 52 1 Sejam a b c n N mostre cada uma das seguintes proposições são verdadeiras 1 Se mdca b 1 e c a d b então mdcc d 1 2 Se mdca b mdca c 1 então mdca bc 1 3 Se mdca b 1 então mdcan bk 1 n k N 4 Se mdca b 1 então mdca b a b 1 ou 2 5 Se mdca b 1 então mdca b a2 ab b2 1 ou 3 6 Se mdca b 1 e se d a b então mdca d mdcb d 1 2 Para cada uma das seguintes proposições em N demonstre ou considere um contraexemplo 1 Se b2 n a2 n e a2 b2 então a b 2 Se b2 é o maior quadrado que divide n então a2 n implica a b 3 Se an bn então a b 4 Se nn mm então n m 5 Se an 2bn e n 1 então a b 3 Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600 quais são esses números Qual é o máximo divisor comum entre eles 4 Provar que se n 1 então n4 4 é número composto 5 Mostre que se a e b são números tais que não sejam divisíveis por 3 então a6 b6 é divisível por 9 6 Quais os dígitos que temos a substituir nas letras a e b do número 1a8b2 para que seja divisível por 4 e por 9 7 Quais são as condições a satisfazer a e b para que a2 b2 seja múltiplo de 7 8 Mostre que 32n3 40n 37 é divisível por 64 para todo n N 9 Determine o menor número de modo que ao multiplicar por 4662 o produto resulte ser divisível por 3234 10 Mostre que a soma dos 2n 1 números naturais consecutivos é divisível por 2n 1 11 Mostre que se k napb é divisível por np então o produto h abnp também é divisível por n p 12 Mostre que o número 32n 7 é um múltiplo de 8 para todo n N 13 O resto da divisão de um número k por 4 é 3 e o resto da divisão do número k por 9 é 5 Determine o resto de k por 36 228 Fundamentos da Matemática 14 Mostre que se um número primo p não divide a a então p a 1 15 Consideremos os números naturais ímpares tomados em ordem crescente 1 3 5 7 Indiquemos o primeiro com a1 o segundo com a2 o terceiro com a3 e assim sucessivamente Determine uma fórmula que relacione o número ímpar an e seu índice n 16 Demonstre que o dobro da soma dos n primeiros números naturais é nn 1 17 Determine uma fórmula para calcular a soma dos n primeiros números naturais ímpares 18 Mostre que seis vezes a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é nn 12n 1 19 Sejam a b N com b 0 e seja r o resto da divisão Euclidiana de a por b Então mdc a b mdc r b 20 Determine r s Z tais que 5480r 1780s mdc 5480 1780 20 21 Ao dividir 4373 e 826 por um número k obtemos 8 e 7 como resto respectivamente Determine o número k 22 Suponhamos que mmc a b 297 e a2 b2 1013534 Determine os números a e b 23 Mostre que o quadrado de todo número ímpar é múltiplo de 8 mais uma unidade 24 Determine todos os números inteiros positivos k de três dígitos tais que sejam divisíveis por 9 e 11 25 Determine os dígitos a e b para que o número 1234ab seja divisível por 8 e 9 26 Sejam a 5 e n N Mostre que o número h a8n 3a4 4 é divisível por 5 27 Dado qualquer número n N da forma n as 10s as1 10s1 a1 101 a0 mostre que 1 n é divisível por 3 se e somente se as as1 a1 a0 é divisível por 3 2 n é divisível por 4 se e somente se 2a1 a0 é divisível por 4 3 n é divisível por 8 se e somente se 4a2 2a1 a0 é divisível por 8 4 n é divisível por 9 se e somente se as as1 a1 a0 é divisível por 9 28 Utilizando o princípio de indução matemática verifique a validade de cada um dos seguintes enunciados 1 n2 n é divisível por 2 n N 2 n3 2n é divisível por 3 n N 3 nn 1n 2 é divisível por 6 n N n 0 Christian José Quintana Pinedo Mostre que 2 e 3 são as únicas raízes da equação x² 5x 6 0 Mostre por indução que para qualquer inteiro k 1 e n N 0 n²k1 k 1 1 2k 3k n 2k n 1k Mostre que para números naturais x e y e n N com n 2 são válidas as seguintes igualdades xⁿ yⁿ x yxⁿ²y xⁿ³y² x²yⁿ² xyⁿ¹ Capítulo 6 OPERAÇÕES BINÁRIAS Kurt Gödel Kurt Gödel nasceu em 28 de abril de 1906 em Brünn Áustria Hungria hoje Brno na República Tcheca e faleceu em Princeton EUA 14 de Janeiro de 1978 Foi filho de um gerente de fábrica têxtil Em família Kurt era conhecido por Der Herr Warum Sr Por quê Em 1923 concluiu com louvor o curso fundamental na escola alemã de Brünn e embora tivesse excelente talento para linguagens ele se aprofundou em História e Matemática Seu interesse pela Matemática aumentou em 1920 quando acompanhou Rudolf seu ir mão mais velho que fora para Viena cursar a Escola de Medicina da Universidade de Viena Durante a adolescência estudou Goethe o Manual de Gabelsberger a teoria das cores de Isaac Newton e as Críticas de Kant Em lógica matemática os Teoremas da incompletude de Gödel são resultados provados em 1930 O primeiro teorema afirma de forma simplificada Em qualquer formalismo matemático consistente suficientemente e robusto para definir os conceitos de números naturais da aritmética existirá a possibilidade de formar uma afirmação indecidível ou seja não pode ser provada verdadeira nem falsa O segundo teorema da incompletude de Gödel provado por formalização do próprio primeiro teorema em si enunciase Nenhum sistema consistente pode ser utilizado para provar a sua própria con sistência O resultado foi devastador para uma abordagem filosófica à matemática conhecida como Programa de Hilbert David Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complexos como análise real poderiam ser provados em termos de sistemas mais simples Assim a consistência de toda a matemática seria reduzida à aritmética básica O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica não pode ser usada para provar sua própria consistência portanto não pode ser usada para provar a consistência de nada mais forte 233 61 RELAÇÃO DE ORDEM 611 Relação de ordem parcial Definição 61 Relação de ordem parcial Dada uma relação R A A dizemos que R é de ordem parcial se e somente se R é reflexiva antisimétrica e transitiva Isto é 1 a a R a A 2 a b R b a R a b 3 a b R b c R a c R Se R é de ordem parcial em A dizemos que A é um conjunto parcialmente ordenado Definição 62 Conjunto parcialmente ordenado Um conjunto A e uma relação R de ordem parcial em A constituem um conjunto parcialmente ordenado Se uma relação R em A define um ordem parcial em A então a b R denotamos por a b que se lê a anterior ao elemento b Exemplo 61 Seja A uma família de conjuntos a relação definida em A por x é subconjunto de y é de ordem parcial Seja A um subconjunto de números reais a relação em A definida por x y é de ordem parcial em A é chamado de ordem natural em A Exemplo 62 Seja R a relação definida em os números naturais ℕ por x é múltiplo de y então R é um ordem parcial em ℕ e temos 6 2 15 3 e 17 17 Exemplo 63 Seja A 1 2 3 4 5 O diagrama da Figura 61 define um ordem parcial em A do seguinte modo x y se y x y ou se podemos ir de x até y no diagrama na direção ascendente indicada Observe que 2 1 4 1 e 5 3 Figura 61 Christian José Quintana Pinedo 235 Observação 61 Para os conceitos de parcialmente ordenado se utilizam as seguintes notações a b significa a b e a b se lê a estritamente anterior a b b a significa a b se lê b supera a a b a significa a b se lê b estritamente superior a a Definição 63 Elementos não comparáveis Dois elementos a e b de um conjunto parcialmente ordenado se dizem não comparáveis se a b e b a Isto é se nenhum de eles precede ao outro No Exemplo 62 os números 4 e 5 não são comparáveis Observação 62 Se uma relação R em um conjunto A é reflexiva antisimétrica e transitiva então a relação recíproca R é também reflexiva antisimétrica e transitiva Isto é se R define um ordem parcial em A então R também define um ordem parcial em A e se chama a ordem inversa Para resultados mais profundos a respeito de conjuntos parcialmente ordenados precisamos de uma nova ferramenta da teoria de conjuntos Observe que se Ai é uma família finita de conjuntos para i N digamos então que uma condição necessária e suficiente para que seu produto cartesiano seja nulo é que pelo menos um dos Ai Φ Isto mostrase por indução sobre N A generalização para família infinitas da afirmação do parágrafo precedente é o seguinte axioma da teoria de conjuntos Axioma 61 Axioma de escolha 6o axioma de Zermelo O produto cartesiano de uma família não vazia de conjuntos não vazios é nãovazio Em outras palavras se BiiΛ é uma família finita de conjuntos nãovazios indexado por um conjunto Λ nãovazio então existe uma família biiΛ tal que bi Bi para cada I Λ 612 Relação de ordem total Definição 64 Dada uma relação R A A dizemos que R é de ordem total se e somente se 1 R é de ordem parcial 2 x y R y x R x y A A Se R é uma relação de ordem total em A dizemos que A é um conjunto totalmente ordenado por R A palavra parcial utilizamos para definir ordem parcial em um conjunto A isto pelo fato de alguns dos elementos de A não serem comparáveis Por outro lado se cada par de elementos de um conjunto parcialmente ordenado A são comparáveis então dizemos que A é de ordem total 236 Fundamentos da Matemática Definição 65 Conjunto totalmente ordenado Um conjunto A parcialmente ordenado com a propriedade adicional de a b a b ou a b para quaisquer dos elementos a b A constituem um conjunto totalmente orde nado Exemplo 64 A ordem parcial em qualquer conjunto A de números reais com a ordem natural é uma ordem total isto do fato de dois números quaisquer serem comparáveis Seja R a ordem parcial em A 1 2 3 4 5 6 definido por x divide a y Então R não é uma ordem total em A isto do fato 3 e 5 não serem comparáveis Exemplo 65 Consideremos o conjunto PS e a relação R A B PS PS A B não é de ordem total isto pelo fato que não satisfaz a propriedade simétrica dado o par A B PS PS pode acontecer A B B A Exemplo 66 Mostre que o conjunto T a b R2 a b é uma relação de ordem total no conjunto de números reais R Demonstração Com efeito a a a R logo a a T a R Se a b b a a b logo a b T b a T a b Se a b b c a c logo a b T b c T a c T É verdade que a b b a a b R2 isto é a b T b c T a b R2 Portanto T é uma relação de ordem total 62 LIMITES Superior Inferior Definição 66 Limite inferior Seja A um conjunto ordenado dizemos que a A é limite inferior de A se para todo x A temos que a x isto é o elemento a é anterior a todos os elementos de A Definição 67 Limite Superior Dizemos que b A é limite superior de A se para todo x A temos que x b isto é b é posterior a todos os elementos de A 621 Supremo Ínfimo Seja B um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado A Definição 68 Minorante Um elemento m de A é chamado de minorante de B se para todo x B temse que m x isto é m é anterior ou inferior a todo elemento de B Christian José Quintana Pinedo 237 Exemplo 67 Seja A R o conjunto intervalo A 4 6 tem como limite inferior qualquer número x R sempre que x 4 e como limite superior qualquer número y R sempre que 6 y Definição 69 Ínfimo de um conjunto Se um minorante de B é posterior ou superior a todos os minorantes de B dizemos que é o ínfimo de B e denotamos por inf B Em geral B pode não ter minorantes ou ter muitos porém caso exista somente pode ter um inf B Analogamente um elemento M de A é chamado de maiorante de B se para todo x B temse que x M isto é M é superior ou posterior a todos os elementos de B Definição 610 Supremo de um conjunto Se um maiorante de B é anterior ou inferior a todos os maiorantes de B dizemos que M é o supremo de B e denotamos por sup B Em geral B pode não ter maiorantes ou ter muitos porém caso exista somente pode ter um sup B Exemplo 68 No Exemplo 67 temos que inf B 4 e sup B 6 622 Elementos Maximal Minimal Definição 611 Elemento maximal Seja A um conjunto ordenado dizemos que a A é maximal se a x implica a x isto é a A é elemento maximal se em A não existe nenhum elemento posterior a a no sentido estrito Definição 612 Elemento minimal De modo análogo dizemos que b é elemento minimal se x b implica b x isto é b A é elemento minimal se em A não existe nenhum elemento anterior ao elemento b no sentido estrito Exemplo 69 O conjunto do Exemplo 68 não tem elemento maximal nem elemento minimal O conjunto A 4 6 R tem como elemento minimal o 4 não tem elemento maximal O conjunto A 4 6 R tem como elemento maximal o 6 não tem elemento minimal Exemplo 610 Seja A 1 2 3 4 5 um conjunto ordenado pelo diagrama da Figura 62 Observe que 2 1 4 1 5 3 4 3 5 1 Aqui 4 e 5 são elementos minimais o elemento maximal é o 1 63 LEIS DE COMPOSIÇÃO 631 Lei de composição interna Definição 613 Dizemos lei de composição interna sobre um conjunto A à relação que a cada par ordenado a b A A associa outro elemento c A O elemento c A dizse composto de a e b Para indicar uma lei de composição interna podemos utilizar por exemplo o sinal e escrevese a b c Uma lei de composição interna é pois uma aplicação f A A A de modo que fa b c Exemplo 611 No conjunto ℕ a lei de composição interna chamada multiplicação associa ao par 2 5 o número 10 e escrevese 2 5 10 ou 2 5 10 6311 Propriedades da lei de composição interna Propriedade 61 Comutativa Uma lei de composição interna sobre um conjunto A dizse comutativa quando temos a b b a para todo a b A Exemplo 612 No conjunto ℕ a adição é comutativa a b b a para todo a b ℕ Propriedade 62 Associativa Uma lei de composição interna sobre um conjunto A dizse associativa quando temos a b c a b c a b c A Exemplo 613 No conjunto ℕ a multiplicação é associativa a b c a b c a b c ℕ Christian José Quintana Pinedo 239 Definição 614 Regularidade Uma elemento a A dizse regular para a lei de composição interna quando para todo x y A temos a x a y e x a y a x y Isto significa que na igualdade a x a b por exemplo podemos simplificar o elemento a Exemplo 614 Todo número natural é regular em relação à adição a x a y x y Definição 615 Elemento neutro Um elemento e A dizse elemento neutro para a lei de composição interna quando para todo x A temos a e e a a Exemplo 615 No conjunto dos números naturais N o número 1 é o elemento neutro para a multiplicação n 1 1 n n n N Definição 616 Elemento simétrico Seja uma lei de composição interna sobre um conjunto A possuindo um elemento neutro e Dizse que o elemento x A é simétrico de outro elemento x A quando temos xx xx e Exemplo 616 No conjunto dos números inteiros Z os números 3 e 3 são simétricos em relação à adição isto pelo fato de 5 5 5 5 0 Definição 617 Distributividade Sejam e duas leis de composição interna definidas sobre um conjunto A Dizse que a lei é distributiva em relação à lei quando temos a b c a b a c a b c N Exemplo 617 No conjunto dos números naturais N a lei de multiplicação é distributiva em relação à lei de adição a b c a b a c a b N 632 Isomorfismo Sejam dois conjuntos A e B sendo A munido de uma lei de composição interna e B de outra lei interna denotamos A e B Definição 618 Isomorfismo Chamase isomorfismo de A sobre B a uma aplicação biunívoca f de A em B tal que para a b A temos fa b fafb 633 Lei de composição externa Definição 619 Lei de composição externa Dados dois conjuntos A e B dizse que existe sobre A uma lei de composição externa quando a cada elemento m A e a cada elemento α B se associa ao elemento α m A Os elementos do conjunto A dizemse operadores assim o elemento m A opera sobre o elemento α B transformandoo no elemento α m A Uma tal lei de composição externa é uma aplicação do conjunto A B no conjunto A Exemplo 620 Christian José Quintana Pinedo 241 64 OPERAÇÕES BINÁRIAS Definição 620 Operação binária Dado um conjunto não vazio A dizemos operação binária em A a toda relação de A A em A Denotando a operação binária com temos que A A A a b 7 a b indicase que a cada par ordenado a b A A corresponde o elemento a b A Exemplo 621 A adição é uma operação binária no conjunto de números reais R A subtração é uma operação binária no conjunto de números inteiros Z porém não no conjunto de números naturais N Exemplo 622 Considere o conjunto A 1 2 3 4 e a operação definida como se indica na Tabela 61 Observe que para cada par a b o resultado da operação encontrase no cruz de fila que começa com a e a coluna que começa com b 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 2 3 3 4 1 2 4 4 2 2 3 Tabela 61 O resultado da operação 4 3 é o elemento 2 que encontrase assinalado Observação 63 1ª A operação binária também é conhecida como lei de composição interna 2ª Quando seja uma operação binária sobre um conjunto A dizemos que tem a propriedade da clausura 242 Fundamentos da Matemática 3a Se é uma operação binária sobre um conjunto A e existe B A com a propriedade que se a b B a b B dizemos que B é fechado sob a operação Em geral como A A então A é fechado sob qualquer operação binária definida em A 641 Operação binária univocamente definida Se é uma operação binária num conjunto A e R uma relação de equivalência em A operação em A está univocamente definida respeito da relação R se e somente se a R b c R d a c Rb d isto é a b R c d R a c b d R Exemplo 623 Sejam a operação de adição em N e a relação de equivalência em N definida por R x y N2 x y Então a operação de adição está univocamente definida em N com respeito a R Observe que a b N temse que a b N por outro lado se a b c d a c b d a b c d N 642 Sistema matemático Definição 621 Sistema matemático Chamase sistema matemático a um conjunto não vazio A no qual uma o mais operações estão univocamente definidas com respeito a uma relação de equivalência Um sistema matemático composto de um conjunto A e uma operação é denotado por A quando o sistema estiver composto por A e as operações e o denotamos por A Exemplo 624 Sejam A 1 2 3 4 e R 1 1 2 2 3 3 4 4 uma relação de equivalência sobre A e uma operação definida pela Tabela 62 Mostre que A é um sistema matemático 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 2 3 3 4 1 2 4 4 2 2 3 Tabela 62 Solução O conjunto A Φ por outro lado é uma lei de composição interna e se a b Rc d R a c b d R Christian José Quintana Pinedo 243 Exemplo 625 N onde é a operação de adição em N é um sistema matemático Observe que N Φ e a adição em N está univocamente definida com respeito à identidade Exemplo 626 R onde é a operação de adição e a operação de multiplicação em R é um sistema matemático Observe que R Φ e em R as operações de e estão univocamente definidas pela relação de igualdade Exemplo 627 Os grupos anéis corpos e espaços vetoriais são quatro exemplos de sistemas matemáticos 643 Classificação dos sistemas matemáticos Os sistemas matemáticos classificamse em a Sistema numérico b Grupos c Anéis d Corpos Definição 622 Sistemas numéricos Um sistema matemático da forma A chamase sistema numérico quando a O operador é comutativo e associativo b O operador é comutativo e associativo c Uma das operações seja distributiva respeito da outra Exemplo 628 São sistema numéricos N Z Q R onde e são as operações usuais de adição e multiplicação Exemplo 629 Sejam A a b e as operações definidas pela Tabela 63 a b a a b b b a a b a a a b b b Tabela 63 Logo A é um sistema numérico Definição 623 Número São chamados de número cada elemento do conjunto A de um sistema numérico Logo de acordo com esta definição os elementos do conjunto A do Exemplo 628 cada um de eles é um número A relação de equivalência de um sistema numérico não necessariamente é a identidade porém freqüentemente o é 244 Fundamentos da Matemática Definição 624 Grupo Um sistema matemático da forma G dizse que é um grupo com a operação se e somente se satisfaz as seguintes propriedades 1 Associatividade a b c a b c a b c G 2 Existência de um elemento neutro e G tal que e a a e a a G 3 Existência de um elemento simétrico a G para todo a G de modo que a a a a e Quando a b b a para todo a b G o grupo é denominado grupo abeliano ou grupo comutativo Se o conjunto G é finito o número de seus elementos é chamado de ordem do grupo Exemplo 630 O conjunto dos números inteiros Z em relação à adição As rotações de um polígono regular em torno de um de seus vértices em geometria plana constituem um grupo comutativo Exemplo 631 O conjunto A 2 1 0 1 2 com a operação usual de adição não é um grupo Observe neste exemplo que a adição é associativa em A o elemento neutro é o zero e cada elemento de A tem inverso em A O fato não ser grupo é que A não é um sistema matemático não é operação binária em A isto é A não é fechado respeito adição Temos que 2 A1 A porém 2 1 A Definição 625 Subgrupo Dado um grupo G chamase subgrupo de G à parte H de G que constitua um grupo munido da mesma operação Exemplo 632 O conjunto dos números inteiros 2Z é um subgrupo comutativo de Z em relação à adição Definição 626 Anel Um sistema matemático da forma A dizse que é um anel se e somente se satisfaz as seguintes propriedades 1o A é um grupo abeliano 2o A operação em A é associativa 3o A operação é distributiva respeito à operação A 2 1 0 1 2 Exemplo 633 O conjunto A α β com as operações e definidas na Tabela 64 é um anel Christian José Quintana Pinedo 245 α β α β β α α α β β β α α β α α α β β β Tabela 64 Exemplo 634 Os seguintes sistemas matemáticos são exemplos de anéis Z Q R onde e são as operações usuais de adição e multiplicação Definição 627 Anel comutativo Dizse que o anel A é comutativo quando a operação binária for comutativa Definição 628 Anel com unidade Dizse que o anel A tem unidade quando a operação binária possui elemento neutro Este elemento neutro é chamado de unidade do anel Exemplo 635 O conjunto dos números inteiros assim como o conjunto dos números irracionais propor cionam exemplos de anel comutativo com unidade Os racionais tem a propriedade adicional que os inteiros não oa têm cada elemento distinto de zero possui inverso multiplicativo Exemplo 636 Seja A a b e e as operações definidas na Tabela 65 a b a a b b b a a b a a a b a b Tabela 65 Temse que A é um anel com unidade o elemento neutro b é a unidade para a operação Definição 629 Corpo Um corpo A é um anel comutativo com elemento unidade que cumpre a seguinte condição Para cada a A onde a 0 existe um elemento a A tal que a a 1 Isto é A é um corpo se 1 A é um anel comutativo 2 A é um anel com unidade 3 Cada elemento a A não zero tem um simétrico respeito da operação Exemplo 637 O conjunto dos números reais R proporciona exemplo de corpo Exemplo 638 O sistema matemático A dado no Exemplo 636 é um corpo 246 Fundamentos da Matemática Exercícios 61 1 Mostre que o conjunto N é bem ordenado 2 Mostre que 1 é o supremo do conjunto E x x 2n 1 2n n N 3 Seja R a relação em A 1 2 3 4 5 6 definida por a divide b Determine se R é de ordem parcial ilustrar mediante diagrama 4 Mostre que a relação R definida por A é equipotênte a um subconjunto de B é de ordem parcial na família de conjuntos 5 Sejam os conjuntos A e B totalmente ordenados Seu produto cartesiano A B podese ordenar totalmente Justificar sua resposta 6 A relação x divide a y no conjunto de números naturais define uma ordem parcial Quais dos seguintes subconjuntos de N são totalmente ordenados 1 A 4 3 15 2 B 2 4 8 16 3 C 1 2 3 4 D 5 7 Caso existam determine o supremo o ínfimo o máximo e o mínimo para cada um dos seguintes conjuntos 1 B x N x2 4 16 2 A x Z x2 9 3 x 4 16 3 C x N x2 x 1 3 8 Se F 0 1 e E um conjunto qualquer A subconjunto de E a aplicação ϕA de E em F tal que ϕAx 0 se x A ϕAx 1 se x A 1 Se E a b c d e A a b d represente o gráfico de ϕAx 2 Se A e B são dois conjuntos quaisquer de E A o complemento de A com respeito a E Mostre que qualquer que seja x E a ϕABx ϕAxϕBx b 1 ϕAx ϕ Ax c ϕABx ϕAx ϕBx ϕAxϕBx 3 No conjunto das aplicações de E em F definemse as operações e por ϕA ϕB ϕAB e ϕA ϕB ϕAB Demonstre que ϕA ϕA ϕA e ϕA ϕA ϕA 9 Determine se o conjunto A para o qual está definida a lei de composição interna é um grupo 1 A Z e é a multiplicação usual de inteiros 2 A Q e é a multiplicação usual em Q 3 A q Q q 0 e é a multiplicação usual em números racionais Christian José Quintana Pinedo 247 4 A z Z z 2 e é a multiplicação usual em Z 5 A R e é a adição usual em números reais 6 A Z e definese por a b a b Z 10 Mostre que a operação definida por a b a 2b 3ab é uma lei de composição interna sobre o conjunto dos números naturais N Calcular 1 2 5 3 7 15 11 Mostre que a multiplicação de números reais não é uma operação fechada no conjunto A 1 5 12 Determine se a subtração de números inteiros é uma operação fechada no conjunto de números inteiros positivos Idem para o conjunto dos números inteiros múltiplos de três 13 Determine todas as soluções das seguintes equações 1 4x 3mod 7 2 8x 6mod 14 3 2x 3mod 5 4 5x 3mod 4 14 Demonstre que o conjunto Z4 das classes residuais módulo 4 é fechado respeito da operação da adição das classes residuais 15 Sejam A 1 2 3 4 e uma operação binária definida pela Tabela 65 Mostre que a operação está univocamente definida em A respeito da relação de identidade R 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 2 3 3 4 1 2 4 4 2 2 3 Tabela 65 16 Temos em cada exercício um conjunto e uma operação binária Determine se cumpre as propriedades de clausura associatividade comutatividade 1 O conjunto dos números inteiros Z com a operação definida por a b a b 2 O conjunto Q com a operação definida por ab a b 3 O conjunto PA potência de A com a operação união de conjuntos 4 O conjunto PA potência de A com a operação intersecção de conjuntos 5 O conjunto A 0 1 2 3 com a operação de multiplicação módulo 4 17 Para o exercício anterior caso exista assinale o elemento neutro 18 Demonstrar que a operação m máximo divisor comum de dois números não é distributiva pela esquerda respeito da adição de números inteiros positivos 19 Demonstrar que o conjunto de números reais R1 ab 2 a b Z forma um grupo com a operação de adição 248 Fundamentos da Matemática 20 Seja G 5a a Z Mostre que G é um grupo 21 Determine se o conjunto G 2 1 0 1 2 junto com a operação usual de multiplicação constitui um grupo 22 Demonstre que caso exista o elemento neutro respeito de uma operação binária sobre um conjunto A é único 23 Mostre que se G é um grupo e para a G então o elemento a inverso de a é único 24 Sejam G1 G2 grupos abelianos e G3 um grupo não abeliano Determine em G1 G2 G3 uma estrutura de grupo Este grupo será abeliano 25 Mostre que o conjunto A aa 2x1 x Z com a adição e multiplicação definida para números inteiros não é um anel 26 Demonstre que o conjunto dos números reais R junto as operações usuais de adição e multiplicação constitui um corpo 27 No conjunto dos números reais definimos as operações e como segue a b 2a 3b 5 a b a2 3ab Segundo estas definições resolver as seguintes equações 1 x 4 8 2 3 x 1 3 4x 1 5 2 4 5 2x 1 3 x 28 Consideremos M o conjunto dos movimentos aplicados a um quadrado ABCD que con servam sua posição no plano E Movimento idêntico identidade S1 Simetria axil de eixo a mediatriz dos lados AB e CD S2 Simetria axil de eixo a mediatriz aos lados AD e BC S3 Simetria axil de eixo a diagonal BD S4 Simetria axil de eixo a diagonal AC S5 Simetria central de centro o centro do quadrado S6 Giro de 90o dextrógiro com centro no centro do quadrado S7 Giro de 90o evógiro com centro no centro do quadrado Definamos em M a operação considerando como resultado de efetuar entre dois ele mentos de M o movimento que se obtém aplicando sucessivamente o primeiro movimento e o segundo S2 S1 logo 1 Obter S1 S2 S3 G1 G1 G2 G1 S3 2 Formar uma tabela da operação 3 M tem estrutura de grupo É abeliano 4 Provar que S3 S2 S1 S3 Podemos deduzir que S2 S1 Bibliografia 1 Apostol T M Introduccion a la Teoria Analítica de los Números Editora Reverte SA 1980 2 Burton W Jones Teoría de los Números Biblioteca de Matemática Superior Editorial F Trillas S A México 1969 3 Cortez M Walter Iniciacion a las Matemáticas Superiores Notas de Aula UNMSM Editora San Marcos 1970 4 Eves Howard Introdução à História da Matemática 2a Edição Editora da UNICAMP 5 Halmos R Paul Teoria ingênua dos conjuntos Coleção Clássicos da Matemática Editora Ciência Moderna 2002 6 Irving M Copi Introduccion a la Lógica Manuales EUDEBA 1973 7 Oliveira Augusto J F Lógica e Aritmética Brasilia Editora da UNB 2004 8 Pinedo Christian Q Estruturação para o Ensino da Matemática Próciênias UTF PR Pato Branco Vol 2 1999 9 História da Matemática I Notas de Aula N o5 UTFPR Pato Branco 2005 10 Introdução as Estruturas Algébricas UFT Campus de Araguaína 2007 pp 230 11 Polya G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Interciencia 1995 12 Russell Bertrand Introdução à Filosofia Matemática ZAHAR Editores 1981 13 Seymour Lipschutz Teoria de Conjuntos Libros McGraw Hill 1969 14 Spivak Michel Calculus Editora Reverte SA Vol II 1983 15 Sominski I S Método de Indução Matemática Atual Editora Traduzido por Gelson Iezzi 1996 16 Ulloa A Haro Luis Matemática Básica Editora San Marcos 1970 249 Índice Ínfimo de um conjunto 237 Aristóteles de Estagira 384 322 aC 3 Absorção 43 68 Ackerman 4 Adição 68 203 Albert Einstein 67 Alfred N Whitehead 4 Alfred Tarski 4 Anel 244 Aplicação 177 bijetiva 182 biunívoca 182 composta 183 constante 183 idêntidade 183 injetiva 183 inversa 185 sobrejetiva 182 Aplicação isomorfa 240 Aplicações iguais 180 Argumento 16 60 consistente 63 65 Aristóteles 2 Augustus de Morgam 1806 1871 4 Axioma 113 da adição 203 da não contradição 10 das potências 127 das uniões 145 de escolha 235 de especificação 120 de extensão 113 119 de indução 201 de infinitude 199 de Peano 200 de substituição 179 do conjunto vazio 149 do par não ordenado 123 do produto 208 do terceiro excluído 10 Bacon 2 Bernays 4 Bertrand Russell 4 35 Burali Forti 4 35 Céticos 3 Cantor 35 Cardinalidade 187 189 Cauchy 231 Composição de aplicações 183 Conjunto classe de 126 de chegada 162 de partida 162 enumerável 188 189 equipotente 190 finito 121 indutivo 198 infinito 121 parcialmente ordenado 234 totalmente ordenado 236 verdade 100 Conjuntos disjuntos 139 família de 126 não comparáveis 126 Contingência 28 Contrarecíproca 15 33 Contradição 28 250 Christian José Quintana Pinedo 251 Contradomínio 163 Corolários 112 Corpo 245 Crisipo 280 250 aC 4 David Hilbert 4 Diagnóstico 50 Diagrama de uma aplicação 181 Dicionário de heurística 34 50 104 Dilema construtivo 31 68 destrutivo 31 68 Disjunção exclusiva 14 inclusiva 13 Divisibilidade 215 Divisor comum 218 Domínio de uma relação 162 Dualidade 49 Elemento de uma classe 115 neutro 239 simétrico 239 Elementos não comparáveis 235 Equacionamento 50 Esquemas lógicos 27 Estóica 4 Euclides 4 Euler 202 Fermat 202 Forma construtiva 118 normal 46 normal conjuntiva 46 normal disjuntiva 48 tabular 118 Frege 2 Frege G 1848 1925 4 George Boole 1815 1864 4 Giuseppe Peano 1858 1932 4 Grupo 244 Heurística 50 Imagem de uma relação 163 Implicação material 30 Indução matemática 203 Inteligência artificial 4 Inversa 15 Kant 2 Kneale 4 Kurt Gôdo 4 Lógica clássica 5 complementares da clássica 5 deôntica 5 dedutiva 2 epistêmica 5 formal 2 fuzzy 4 indutiva 2 intuicionista 5 matemática 2 material 3 modal 5 não clássica 5 nãoalética 5 nãoreflexiva 5 paracompleta 5 paraconsistente 4 polivalente 5 probabilística 5 transcendental 2 Lei associativa 30 143 comutativa 29 143 de complemento 143 de equivalência 29 de idempotência 143 de identidade 143 252 Fundamentos da Matemática de Morgan 30 de não contradição 29 distributiva 30 143 do absurdo 29 do terceiro excluído 29 Leibniz G 1646 1716 4 Leis de Morgan 43 143 Lema 112 de Euclides 220 Máximo divisor comum 219 Método axiomático 75 112 dedutivo 44 Maiorante 237 Malba Than 22 Minorante 236 Modus Ponens 30 68 Tollens 30 68 Multiplicação 208 Multiplicidade 215 Número composto 217 primo 217 Números primos 202 Neuman 4 Ordem natural 234 parcial 234 total 236 Organon 4 Pádoa 4 Parênteses 27 Paradoxo da existência de Deus 13 da frase 11 de Cantor 190 Peano 2 199 Peripatética 4 Pieri 4 Postulados 113 Princípio da boa ordem 206 Princípio de dualidade 144 Proposição atômica 10 molecular 10 Recíproca 15 Relação 162 de ordem parcial 234 nula 162 Relações 161 Russell 2 Sócrates 4 Sheffer 52 Silogismo 2 64 disjuntivo 29 68 hipotético 29 68 Simetria axil 248 Simplificação 68 Sofisma 3 65 Soma booleana 142 conjuntista 135 Stuart Mill 2 Subconjunto 124 Subgrupo 244 Supremo de um conjunto 237 Tabelaverdade 17 Teorema 112 fundamental da aritmética 217 Vacca 4 Vailati 4 Variável dependente 180 independente 180 Zadeh 4 Zenão 326 264 aC 4 Christian José Quintana Pinedo 253 CHRISTIAN JOSÉ QUINTANA PINEDO Decada do 80 Christian é de nacionalidade brasileira nasceu em Lima Perú onde graduouse como Bacharel em Matemática Pura na Universidade Nacional Mayor de San Marcos realizou estudos de Mestrado e Doutorado em Ciências Matemáticas na Universidade Federal do Rio de Janeiro Atualmente é professor Adjunto IV da Universidade Federal do Tocantins no Curso Engenharia de Alimen tos Christian tem trabalhos publicados na área de equações diferenciais em derivadas parciais história da matemática e outros suas linhas de pesquisa são História da Matemática Filosofia da Matemática Epistemologia da Matemática e Equações Diferenciais em Derivadas Parciais 254 Fundamentos da Matemática DO MESMO AUTOR Livros Páginas Cálculo Diferencial em R 322 Introdução à Epistemologia da Ciência Primrira Parte 172 Fundamentos da Matemática 266 Introdução as Estruturas Algébricas 230 Notas de Aula No 01 Estruturação para o ensino da Matemática PróCiências Vol 1 1999 140 No 02 Estruturação para o ensino da Matemática PróCiências Vol 2 1999 236 No 03 Estruturação para o ensino da Matemática 180 No 04 Matemática Aplicada à economia 198 No 05 História da Matemática I 224 No 06 Epistemologia da Matemática II 184 No 07 Tópicos de Cálculo I 142 No 08 Elementos de Cálculo II 237 No 09 Introdução as Equações Diferenciais Ordinárias em edição 120 No 15 Complemento da Matemática I 194 No 16 Suplemento de Cálculo I Vol 1 202 No 17 Suplemento de Cálculo I Vol 2 50 No 18 Suplemento de Cálculo II 34 No 19 Elementos de Cálculo III 106 No 20 Manual do Estudante 50 No 21 Introdução à Análise Real 155 No 22 Suplemento de Análise Real 160 No 23 Cálculo em Várias Variáveis 160 No 25 Matemática II 100 No 26 Transformada de Fourier Laplace e de Z 200 No 27 Cálculo III para Engenharia 222