Derivadas das Funções Trigonométricas

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS\n\n1) f(x) = Sen x\nRESULTADOS IMPORTANTES\n\nf(x) = Sen x\n\n-1 ≤ Sen x ≤ 1\n\n2) f(x) = Sen x é uma função ímpar\nf(-x) = -f(x)\n\n3) (cos t)² + (Sen t)² = 1\ncos² t + Sen² t = 1\n\nSen → Ímpar\nCos → Par\n\n4) Sen (a + b) = Sen a • Cos b + Sen b • Cos a\nCos (a + b) = Cos a • Cos b - Sen a • Sen b\n\n5) LEMAS FUNDAMENTAIS\nA) lim h→0 [Sen h] = 1/h\nB) lim h→0 [1 - cos h]/h = 0 t ∈ [0, π/2],\nx = cos t ≥ 0, y = Sen t ≥ 0\nA1 < A2 + A3\n1/2 cos(t) • Sen(t) < 1/2 Sen(t) < 1/2 cos(t)\n\ncos(t) • Sen(t) < t, t, cos t > 0\n\nSen(t)/t < 1/cos(t)\n\nA2 = t\nA0 = 2π\n2πA1 = πA2²\n= 1/2 t²\n\nA0 = π\n\ntg t - Sen t/cos t\n\nt cos(t) > 0\n\nPara a letra b)\n\nlim h→0 [1 - cos 2h] = lim h→0 [1 - cos h] = Sen² h + cos² h = 1 tabela das DERIVADAS\n\n(√x)' = 1/(2√x)\n(Sen x)' = Cos x\n(Cos x)' = -Sen x\n(x)' = 1\n(x³)' = 3x²\n(e^x)' = e^x\n(ln x)' = 1/x\n(ln a^x)' = (1/x)\n(arc Sen x)' = 1/√(1-x²)\n(arc Cos x)' = -1/√(1-x²)\n(arc tg x)' = 1/(1+x²) Calculando a derivada de x^4.\n\npela regra\n(f·g)' = f'·g + g'·f\n[x^4]' = [x^3] + x[x^3]\n= [x^3] + x[x^3]\n= 1·x^3 + x[x^3]\n= x^3 + 3x^2\n= 4x^3\n\nAnalogamente, [x^5] = 5x^4.\n\n[x^m]' = mx^{m-1}, m ∈ ℝ\n\nComo também vale para os naturais:\n\n[x] = [x^{1}] = 1/2 x^{1/2 - 1}\n= 1/2 = 1/2x^{1/2}\n= 1/2√x\n\n[1/x] = [x^{-1}] = (-1)x^{-1-1}\n= -x^{-2} = -1/x^2\n\n[f(x)]^k = k[f(x)]^{k-1}·f'(x).\n\nProvando:\nf'(x) = k [x^{k-1}] = 0 \ncos(π/2 - x) = cos(π/2 - x)\n= cos(π/2 - x) = 0·cos(-)·cos(π/2 - x). Derivando a funções\nf(π/2 - x) = sen(π/2 - x)\n\nREGRA DA CADEIA\n(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)\nonde:\n\nf'(x) = cos(x).\n\nf'(g(x)) = cos(g(x)) = cos(π/2 - x)\n\nf(g(x)) = sen(π/2 - x) = -1·sen(x)\n=\n\n[cos(x)]' = [sen(π/2 - x)]^2\n= -sen^2(x)\n\nDerivada da Cotangente de x.\n[ctg(x)]' = [cos(x)/sen(x)]'\n= (-cos(x))/(sen(x))^2\n= - (cos(x))/sen^2(x)\n= - (sen^2(x) - cos^2(x)(sen^2(x))\n= - (csc^2(x)).\n\nDerivada da Tangente\nRegra do coeficiente,\n[f/g]' = f'·g - f·g' / g^2\n[tg(x)]' = [sen(x)]' = [cos(x)]\n= - (sen(x) cos(x)·sen^(-1)(cos(x)))\n= [sec^2(x)] Derivada da Cosecante\n\n[csc(x)]' = [1/sen(x)]'\n= (-1) sen(x)^{-2} (sen(x))'\n= -cos(x) = -cos(x)/ (sen(x))^{2}\n= -ctg(x) csc(x)\n\nRESUMINDO:\n[tg(x)]' = sec^2(x)\n[ctg(x)]' = -cosec^2(x)\n[sec(x)]' = tg(x) sec(x)\n[csc(x)]' = -ctg(x) csc(x)\n\nREGRAS USADAS:\n- regra do produto\n- regra da cadeia\n- regra do coeficiente\n\nExemplos\n1) [(x+2+1)^2] = [x^4 + 2x^2 + 1]\n= [-x^4] + [2x^2 + 4]\n= 4x^3 + 4x + 0\n= [4x^3 + 4x]\n\n- Derivando a mesma função do volume 2:\n[[x^2 + 1]^2]' = [4x^2 + 4]\n= 12x^2 + 4\n\n- Derivando a mesma função do volume 7:\n[x^2 + 1]^2 = [2x^1] = 2x\n\n- Derivando a mesma função do volume 5:\n[(x+2+1)^2]' = 0\n\nA partir daí, as próximas derivadas serão zero! [ (x^2 + 1)^{2019} ]\n\nCuestión de prueba\n= [f(g(x))]\n\ng(x) = x^2 + 1\nf(x) = x^{2019}\nf(g(x)) = f(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^{2019}\n\nf'(x) = 2019 x^{2018}\ng'(x) = 2x\nf'(g(x)) = f'(g(x)) . g'(x)\n= 2019 (x^2 + 1)^{2018} . (2x)\n= 4038x(x^2 + 1)^{2018}