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Cálculo Numérico Prof Aparecido J de Souza aparecidosouzaciufpbbr Erros Absoluto Relativo e Percentual Raízes de Equações ou Zeros de Funções Erro Absoluto Se x é o valor exato e x é uma aproximação de x então o Erro Absoluto da aproximação é EAx x x O erro absoluto pode ser positivo por falta ou negativo por excesso Exemplo 1 As raízes da equação x2 2118x 10565 0 são x1 2113 e x2 5 Digamos que foram obtidas as aproximações x1 211295 e x2 505 Então temos os Erros Absolutos EAx1 2113211295 005 e EAx2 5505 005 Relativamente qual das duas aproximações foi melhor Erro Relativo Seja x o valor exato e x uma aproximação de x então o Erro Relativo da aproximação obtida é definido como ERx EAx x xx x Exemplo 2 No Exemplo 1 tínhamos x1 2113 x1 211295 EAx1 005 e x2 5 x2 505 EAx2 005 Logo ERx1 005 2113 02366105 ERx2 005 5 001 Logo relativamente o erro na aproximação x1 foi melhor O Erro Relativo Percentual da aproximação obtida é definido como ERPx ERx 100 Erro Relativo Percentual Exemplo 3 Dados F10433 x 02345103 e y 07000101 represente a aproximação da soma s x y por arredondamento e determine os erros Solução s 02345103 000007103 023457103 Aproximação por arredondamento s 023457000005103 023462103 Logo s 02346103 2346 Erro Absoluto EAs s s 234572346 003 sobra Erro Relativo ERs 003 23457 01279103 Erro Relativo Percentual ERPs ERs 100 001279 Estimativa de Erro Na maioria das vezes o valor exato de x não é conhecido e por isto não é possível calcular o erro da aproximação Daí tomase uma estimativa do maior valor absoluto módulo que o mesmo possa atingir Em outras palavras determinase um constante C não negativa tal que EAx x x C Exemplo 4 Fazer uma estimativa do erro de linearização ao aproximar o valor de sen001 por 001 Solução sen0001 sen0cos0001Erro com Erro 1 2senξ0012 em que ξ é um número entre 0 e 001 porém ξ não é conhecido Estimativa do Erro Como senξ 1 temse que Erro 1 2 0012 000005 Obs 3 sen001 000999983333 Erro 000999983333001 0000000166665833 000005 Mudando de Assunto Raízes de Equações Zeros de Funções Raízes de Equações Zeros de funções Equação em uma variável fx 0 em que fx é uma expressão dada Exemplo 4 Algumas Equações a x 1 0 b x2 1 0 c x2 1 0 d x3 9x 3 0 e x12 5ex 0 f cosxlogxx 2 0 Definição Um número real r é uma raiz da equação fx 0 ou um zero da função f se fr 0 Obs 4 Uma raiz r da equação fx 0 corresponde ao ponto onde o gráfico da função f corta o eixo y 0 Raízes de Equações Zeros de funções Se a função f possuir todas as derivadas até ordem p sendo funções contínuas se fr f r f p1r 0 e se f pr 0 então r é dita uma raiz ou zero de ordem p da função f Pesquisa de raízes Teorema do Valor Intermediário TVI Seja f uma função contínua em ab Se fafb 0 isto é se fa e fb tiverem sinais contrários então há pelo menos uma raíz da equação fx 0 no intervalo ab Obs 5 Se fafb 0 e se a função derivada f não mudar de sinal em ab então a raíz é única em ab Se f x 0 a função f é crescente e se f x 0 a função f é decrescente em ab Pesquisa de raízes Obs 6 Se fafb 0 não quer dizer que a equação não tenha raiz no intervalo ab Por exemplo se fx expx2 1 2 então f1 01321 e f1 01321 e f1f1 0 mas fx possui duas raízes no intervalo 11 pois f0 05 0 Feito com o Graphmatica httpwwwgraphmaticacom Pesquisa de raízes Tabela de Valores Exemplo 5 Seja fx x3 9x 3 Como fx é um polinômio de grau três há no máximo três raízes reais Tabela de Valores x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 fx 77 25 3 13 11 3 5 7 3 Como há alternância de sinais nos valores de fx quando x muda de x 4 para x 3 de x 0 para x 1 e de x 2 para x 3 as três raízes localizamse nos intervalos 4 3 0 1 e 2 3 Obs 7 Como já sabemos que são três raízes polinômio d egrau 3 não é preciso verificar o crescimento ou o decrescimento de fx nos intervalos onde as raízes foram localizadas Pesquisa de raízes Método Gráfico Ainda no Exemplo 5 com fx x3 9x 3 basta verificar o gráfico de fx por exemplo para 5 x 5 que chegase a mesma conclusão da tabela de que as raízes estão nos intervalos 4 3 0 1 e 2 3 Feito com o MatLab httpswwwmathworkscom Pesquisa de raízes Exemplo 6 Seja fx cosxlogxx 2 com x 0 f001 00099 f1 1 f2 01253 Foram detectadas duas raízes da equação cosxlogxx 2 0 Uma delas no intervalo 001 1 e outra no intervalo 12 Feito com o WolframAlpha httpswwwwolframalphacom
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Cálculo Numérico Prof Aparecido J de Souza aparecidosouzaciufpbbr Erros Absoluto Relativo e Percentual Raízes de Equações ou Zeros de Funções Erro Absoluto Se x é o valor exato e x é uma aproximação de x então o Erro Absoluto da aproximação é EAx x x O erro absoluto pode ser positivo por falta ou negativo por excesso Exemplo 1 As raízes da equação x2 2118x 10565 0 são x1 2113 e x2 5 Digamos que foram obtidas as aproximações x1 211295 e x2 505 Então temos os Erros Absolutos EAx1 2113211295 005 e EAx2 5505 005 Relativamente qual das duas aproximações foi melhor Erro Relativo Seja x o valor exato e x uma aproximação de x então o Erro Relativo da aproximação obtida é definido como ERx EAx x xx x Exemplo 2 No Exemplo 1 tínhamos x1 2113 x1 211295 EAx1 005 e x2 5 x2 505 EAx2 005 Logo ERx1 005 2113 02366105 ERx2 005 5 001 Logo relativamente o erro na aproximação x1 foi melhor O Erro Relativo Percentual da aproximação obtida é definido como ERPx ERx 100 Erro Relativo Percentual Exemplo 3 Dados F10433 x 02345103 e y 07000101 represente a aproximação da soma s x y por arredondamento e determine os erros Solução s 02345103 000007103 023457103 Aproximação por arredondamento s 023457000005103 023462103 Logo s 02346103 2346 Erro Absoluto EAs s s 234572346 003 sobra Erro Relativo ERs 003 23457 01279103 Erro Relativo Percentual ERPs ERs 100 001279 Estimativa de Erro Na maioria das vezes o valor exato de x não é conhecido e por isto não é possível calcular o erro da aproximação Daí tomase uma estimativa do maior valor absoluto módulo que o mesmo possa atingir Em outras palavras determinase um constante C não negativa tal que EAx x x C Exemplo 4 Fazer uma estimativa do erro de linearização ao aproximar o valor de sen001 por 001 Solução sen0001 sen0cos0001Erro com Erro 1 2senξ0012 em que ξ é um número entre 0 e 001 porém ξ não é conhecido Estimativa do Erro Como senξ 1 temse que Erro 1 2 0012 000005 Obs 3 sen001 000999983333 Erro 000999983333001 0000000166665833 000005 Mudando de Assunto Raízes de Equações Zeros de Funções Raízes de Equações Zeros de funções Equação em uma variável fx 0 em que fx é uma expressão dada Exemplo 4 Algumas Equações a x 1 0 b x2 1 0 c x2 1 0 d x3 9x 3 0 e x12 5ex 0 f cosxlogxx 2 0 Definição Um número real r é uma raiz da equação fx 0 ou um zero da função f se fr 0 Obs 4 Uma raiz r da equação fx 0 corresponde ao ponto onde o gráfico da função f corta o eixo y 0 Raízes de Equações Zeros de funções Se a função f possuir todas as derivadas até ordem p sendo funções contínuas se fr f r f p1r 0 e se f pr 0 então r é dita uma raiz ou zero de ordem p da função f Pesquisa de raízes Teorema do Valor Intermediário TVI Seja f uma função contínua em ab Se fafb 0 isto é se fa e fb tiverem sinais contrários então há pelo menos uma raíz da equação fx 0 no intervalo ab Obs 5 Se fafb 0 e se a função derivada f não mudar de sinal em ab então a raíz é única em ab Se f x 0 a função f é crescente e se f x 0 a função f é decrescente em ab Pesquisa de raízes Obs 6 Se fafb 0 não quer dizer que a equação não tenha raiz no intervalo ab Por exemplo se fx expx2 1 2 então f1 01321 e f1 01321 e f1f1 0 mas fx possui duas raízes no intervalo 11 pois f0 05 0 Feito com o Graphmatica httpwwwgraphmaticacom Pesquisa de raízes Tabela de Valores Exemplo 5 Seja fx x3 9x 3 Como fx é um polinômio de grau três há no máximo três raízes reais Tabela de Valores x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 fx 77 25 3 13 11 3 5 7 3 Como há alternância de sinais nos valores de fx quando x muda de x 4 para x 3 de x 0 para x 1 e de x 2 para x 3 as três raízes localizamse nos intervalos 4 3 0 1 e 2 3 Obs 7 Como já sabemos que são três raízes polinômio d egrau 3 não é preciso verificar o crescimento ou o decrescimento de fx nos intervalos onde as raízes foram localizadas Pesquisa de raízes Método Gráfico Ainda no Exemplo 5 com fx x3 9x 3 basta verificar o gráfico de fx por exemplo para 5 x 5 que chegase a mesma conclusão da tabela de que as raízes estão nos intervalos 4 3 0 1 e 2 3 Feito com o MatLab httpswwwmathworkscom Pesquisa de raízes Exemplo 6 Seja fx cosxlogxx 2 com x 0 f001 00099 f1 1 f2 01253 Foram detectadas duas raízes da equação cosxlogxx 2 0 Uma delas no intervalo 001 1 e outra no intervalo 12 Feito com o WolframAlpha httpswwwwolframalphacom