Integração Numérica: Regra de Simpson e Trapezoidal

Cálculo Numérico Prof Aparecido J de Souza aparecidosouzaciufpbbr Integração Numérica A Regra de Simpson 13 Recapitulando Integracao Numerica Formulas fechadas de NewtonCotes Ideia Dividir o intervalo ab em n subintervalos usando de n 1pontos igualmente espacados x a fh 01nN com h ban interpolar x fx por um polinémio de grau no maximo ne obter uma formula do tipo b J tee Agtx0 Ara 20 Anfm 1 a sendo os coeficientes A i01n determinados de acordo com o polinémio interpolador Obs A formula é dita fechada porque usa todos os pontos da malha inclusive os extremos a Xp e D Xp Recapitulando Regra do Trapezio Simples b h Mp h y Axdx 5 Fa fb Er a Ma max 0 Interpretacao A area sob o grafico da fungao f é aproximada pela area do trapeézio de bases fa fb e altura h b a Obs Com relagao a formula de NewtonCotes em 1 temos Ao Ai Recapitulando Regra do Trapézio Repetida Considerando o intervalo a 6 dividido em n subintervalos de comprimento h b an pelos n 1 pontos Xp a x1 Xo hXj Xo th Xj44 Xo i1hX X nh b b h n1 J fxdx 3 Y fx FXi44 a Estimativa do Erro Mbah 1 aa EtR aa Mp smax f x Regra de Simpson 13 Simples no intervalo ab Considere a divisão do intervalo a b em dois subintervalos de comprimento h b a2 pelos três pontos x0 a x1 x0 h 1 2ab e x2 x0 2h b Regra de Simpson 13 Simples no intervalo a b Considere a divisao do intervalo a b em dois subintervalos de comprimento h b a2 pelos trés pontos Xp a Xy Xo N 3ab e Xo X 2hb Considere a interpolagao quadratica pelos trés pontos Xo fXo x4 ue e Xo fX2 dada por Pax fx0 G2 Fx AO f x9 Ae Assim X2 9 X2 J fx dx Fxo f SAGO ay Fxq f CI fy Xo Xo Xo P xXo Xx1 fX2 Gaz ax Xo Calculando estas trés integrais definidas obtemos XQ J fx dx 8 fX0 4fx1 f2 Xo Regra de Simpson 13 Simples no intervalo a b Xp X1 Xp t h atb X2 X 2hb Xo h J fx dx FX0 4fx1 fx2 Xo Regra de Simpson 13 Simples no intervalo a b Considerando h b a2 Xp a X1 Xp he Xo X94 2h Xo J x dx 3 fxo 4fx1 fx2 Es Xo Estimativa do Erro Ec Assumindo f f f f e f continuas em a b entao hd Es 99 fe para algum c Xo x2 Assim se existir Mg 0 tal que fx Mg Vx a b entao vale a estimativa para a regra de Simpson 13 simples Mah Es IEs 99 Regra de Simpson 13 Simples no intervalo a b Considerando h b a2 Xp a X1 Xp he Xo X94 2h XQ J fx dx 8 f0 4F4 2 Xo My h Estimativa do Erro Es 0 Exemplo 1 Obtenha uma aproximacao de fe dx e estime o 0 erro Temos a0 b1 h05 xX 0 x 05 Xo 1 fXo 1 fx1 e 95 07788 fx2 e 03679 1 Logo fe dx 231 4 07788 03679 07472 0 Obs Pelo WolframAlpha 7 e dx 0746824 Iya Regra de Simpson 13 Simples no intervalo a b Considerando h b a2 Xp a X1 Xp he Xo X94 2h XQ J fx dx fxo 4fx1 fx2 Xo M hd Estimativa do Erro Es 0 Exemplo 1 cont Simpson 13 simples 1 Is fe dx 07472 0 Temos a0 b1h05 fx 4e 3 12x 4x4 Examinemos 0 grafico de fx paraO x 1 Gráfico de f ivx 4ex2312x2 4x4 Usando o WolframAlpha M4 max axbfivx 12 Regra de Simpson 13 Simples no intervalo a b Considerando h b a2 Xp a X1 Xp he Xo X94 2h XQ J fx dx fxo 4fx1 fx2 Xo Mh Estimativa do Erro Es 0 Exemplo 1 cont Simpson 13 simples 1 Is fe dx 07472 0 Temos My 12 e h05 5 Logo Es 1205 000042 90 Obs E was 0746824 07472 0000376 Regra de Simpson 13 Repetida Considere a divisao do intervalo ab em n subintervalos de comprimento h b an pelo pontos x x9 h i01n com rn par Aplicando a regra de Simpson 13 simples em cada subintervalo da forma X9j2 X2i i 12n2 obtemos X2j h Fx dx Fxo2 4Fx01 fxoi X2i2 3 Entao somando as aproximagoes nestes n2 subintervalos de comprimento 2h obtemos a Regra de Simpson 13 Repetida b h n2 fx dx Y floai2 4f2i1 f0xai it Obs Frizamos que 0 numero n de subintervalos de comprimento h deve ser par Regra de Simpson 13 Repetida Temos Xp a X Xp ihe x b i01n com 7 par Xn h n2 J fxdx 3 x fXai2 4fXai1 fX2i Xo I Ce ey Estimativa do Erro pela Regra de Simpson 13 Repetida Seja Mg max fx Entao axb v2 7 he h on Myx Esr Mazo J Mao 9 Dai usando que h ba ou nh ba obtemos Mbah IEsr 180 Regra de Simpson 13 Repetida 1 Exemplo 2 Obtenha uma aproximagao de eax viaa regra 0 de Simpson 13 repetida com 10 subintervalos e estime o erro Solucgao Xn h n2 J fx dx 3 x fXai2 4f Xai fX2i Xo l Temos n 10 h 75 01e x h01010 Portanto Xp 0 x 01 Xy9 09 X19 1 1 fe dx re Ot y Je r20417 4 d4e2i101 e h01 0 i1 oA 14e001 9004 4 e004 4e009 4 016 e016 4 4e025 4 e 036 e038 4 4e049 4 e064 e64 4e981 4 e1 07468 Obs Pela regra do trapézio repetida obtivemos I 07462 e pelo WolframAlpha lwa 0746824 Regra de Simpson 13 Repetida Exemplo 2 cont Estimativa do erro ESR M4 bah4 180 Temos M4 max 0x1fivx 12 Assim ESR 1210014 180 67106 Obs Pela regra do trapézio repetida obtivemos ETR 00017 Regra de Simpson 13 Repetida Exemplo 2 cont Qual o número mínimo de subintervalos de modo que ESR 108 Solução Temos que ESR M4 bah4 180 121h4 180 007h4 Como queremos ESR 108 então devemos resolver a inequação 007h4 108 ié h4 1 007 108 143108 ou seja h 4 143108 195102 Como n ba h 1 h então n 1 195 102 5028 Como n deve ser par tomamos n 52 para se ter ESR 108 Obs Pela regra do trapézio repetida precisase de no mínimo 4082 subintervalos Regra de Simpson 13 Repetida Exemplo 3 Obtenha uma aproximacao de ty ecosxdx via a regra de Simpson 13 repetida com 8 subintervalos e estime O erro Solucao Temos a 1 b 1 fx ecosx n8 hC 025 Malha x xX h i018 isto 6 Xp a10 x 1025 075 xX 10505 X3 1075 025 x 1410 x5 14125025 Xp 141505 x7 14175 075 xg 14210 b n2 Simpson 13 f fx ax a y fXo2 4fXoj1 fXo a i1 Dai 4 1 ecosxdx 925 y ei2c08x22 41 c08X21 i1 er2i CosXo 193325 Regra de Simpson 13 Repetida Exemplo 3 cont 1 eXcosxdx 193325 Obs Pelo WolframAlpha obtémse ya 19334 Regra de Simpson 13 Repetida Exemplo 3 cont Obtivemos ecosxdx 193325 Estimativa do Erro Usando o WolframAlpha d4dx4e cosx 4ecosx Grafico de fx 1A 3 M 6021 Logo Esp Mba 802111028 9 99027