Análise da Flambagem em Estruturas Metálicas

Visando melhorar o desempenho da coluna quanto à flambagem será colocada uma trava É racional colocar a trava em que plano Qual a posição ótima ao longo da altura para a trava Do ponto de vista da flambagem escolha um perfil de aço com seção I W com comprimento de flambagem 4 m para suportar uma carga compressiva centrada de 700 kN E 200 GPa Uma coluna tem comprimento de flambagem igual a 27 m e sua seção é formada por duas cantoneiras L reforçada por uma chapa do mesmo material E200 GPa como mostrado na figura Verifique a segurança desta coluna quanto à flambagem sabendo que uma carga centrada de compressão de 70 kN será aplicada 27 Uma barra de aço com seção 5 x 6 cm é engastada nas extremidades e recebe uma carga axial de compressão Sendo E 200 GPa e fp 200 MPa determine o comprimento mínimo da barra para aplicação da fórmula de Euler 29 Quanto à flambagem verifique a segurança da escora CD A seção está indicada Seção CD 2 C75x74 b Na ausência de dados sobre as características do material optouse por fazer um ensaio à tração simples do material Para tanto foi moldado um corpo de prova que testado forneceu os resultados mostrados no quadro Observouse que para P maior que 100 kN a relação P x Δl deixa de ser linear Perguntase a flambagem deve ser discutida no regime elástico ou plástico Responda com base no pilar mais propenso à flambagem Verificar a segurança da barra AB quanto à flambagem E 200 Gpa MR 240 CS 3 L203x152x127 Uma coluna de 7m de comprimento é biengastada nas extremidades e tem a seção indicada O material obedece à curva de flambagem mostrada Sendo E270GPa qual a máxima carga compressiva P que a coluna suporta do ponto de vista da flambagem As barras AB e BD são tais que impedem o movimento de B Determine o máximo valor de F do ponto de vista da flambagem da barra BC A barra BC tem as seguintes características W 150 x 18 E 200 GPa MR240 CS 35 42 Do ponto de vista da flambagem determine o máximo valor de P As barras da treliça são feitas de um material que tem a curva σł x λ indicada A seção das barras é 3 x 4 E 14 GPa 43 Verificar a segurança da barra AB de madeira quanto à flambagem A tensão admissível de compressão é de 8 MPa E 15 GPa e seção retangular 3x4 in² 44 A escora CD é feita de uma madeira que tem a curva σf x λ indicada na figura Verifique a segurança da escora quanto à flambagem E 15 GPa CAPÍTULO X DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 101 INTRODUÇÃO Neste capítulo desenvolveremos o cálculo dos deslocamentos em estruturas isostáticas utilizando métodos baseados no equilíbrio energético da estrutura São ferramentas de alcance abrangente podendo considerar não somente a influência do carregamento mas também de outros fatores causadores como variação de temperatura e recalque de apoios A discussão dos requisitos de segurança relacionados com a rigidez da estrutura vem ganhando importância em função do conhecimento cada vez maior da capacidade dos materiais do uso de materiais alternativos e do avanço nos métodos de cálculo que têm conduzido à obtenção de elementos estruturais mais leves esbeltos e das mais variadas formas Tornase oportuno neste espaço diferenciar os termos deslocamento e deformação que muitas vezes tecnicamente são confundidos Deslocamento é o vetor cuja origem é um ponto do corpo indeformado e o extremo é o mesmo ponto do corpo deformado deformação é a relação entre o deslocamento e uma referência inicial Para ilustrar consideremos a situação simples mostrada na fig101 Figura 101 Conceito de deformação Considerando a extremidade A Δl Deslocamento m cm etc grandeza de valor relativo ε L Deformação em relação à barra AB grandeza de valor absoluto Concluímos que a deformação é o efeito que deve ser considerado na segurança de uma estrutura e não o deslocamento simplesmente todavia o cálculo da deformação é trivial conhecido o deslocamento cujo cálculo será nosso objetivo Assim posto bem que o título do capítulo poderia ser Deslocamentos em Estruturas Isostáticas Objetivo Determinar os deslocamentos linear e angular numa seção qualquer de uma estrutura isostática qualquer Fig102 y Deslocamento linear θ Deslocamento angular Importância a Obedecer ou verificar normas b Do conhecimento dos deslocamentos são deduzidas as equações de compatibilidade de deslocamento que somadas às de equilíbrio resolvem estruturas hiperestáticas Métodos a Equação diferencial da linha elástica b Viga conjugada c Teoremas de Mohr área do DMF d Princípio dos Trabalhos Virtuais e Teoremas de Castigliano Objetos deste estudo Figura 103 Estrutura isostática qualquer deformada A equação de equilíbrio energético da estrutura é W U onde W Trabalho real total das forças externas em equilíbrio U Trabalho real total dos esforços internos também denominado de energia real de deformação da estrutura No regime elástico o trabalho realizado por uma carga que cresce de zero a Pi é com auxílio da Fig104 dado por W Pi δi 2 Clayperon Para todas as cargas W Σ Pi δi 2 Da mesma forma que a carga cresce de zero até Pi os esforços internos também crescem de zero até seu valor final N M V T Assim e com o auxílio da Fig105 determinamos a energia U Figura 105 Energia de deformação em regime elástico Deformações deslocamentos relativas sofridas por duas seções distantes dS Para tanto fixamos uma extremidade do elemento dS e liberamos a outra Figs106 Tomando todos os esforços internos e considerando que cada um pode variar ao longo da estrutura ficamos com U 12 M dφ EI 12 N dS EA 12 γ V² dS GA 12 T² dS GJT Mas δi Pi k então U Pi W δi δi Σ 12 Pi δi ou U Pi δi Esta é a expressão do primeiro teorema de Castigliano com a seguinte leitura A derivada parcial da energia real de deformação em relação a uma das cargas aplicadas é igual à deformação deslocamento elástica segundo a direção desta carga U W U δi W δi 103 FATOR DE FORMA NO CISALHAMENTO A energia de deformação vinda do esforço cortante no caso de cisalhamento direto tal como ocorre em parafusos rebites e colas que unem diversas partes formando um todo onde a tensão de cisalhamento é constante na seção τ VA é de acordo com item 212 dada por U V τ² 2G dv V v² 2GA dv No entanto em problemas de flexão a tensão de cisalhamento do cortante não é mais constante na seção variando de forma parabólica do segundo grau de acordo com a expressão τ vQ bl Assim U V τ² 2G dv V 1 2G vQ bl ² dv Admitindose seção constante ao longo do comprimento da barra temse U V 1 2G vQ bl ² dAdx L v² 2G l² A Q² b² dA dxI Fazendo A I² A Q² b² dA γ temse A Q² b² dA γ I² A Substituindo este resultado em I temse U L γ v² 2GA dx II Este resultado indica que a energia de deformação do cortante associado à flexão é semelhante à energia de deformação do cortante no cisalhamento direto a menos da constante γ chamada de fator de forma porque depende da forma da seção Área da seção efetiva para cisalhamento é definida por A do seguinte modo A Aγ A A Levando este resultado em II temse U L v² 2GA dx Como ilustração passase a determinar o fator de forma da seção retangular bxh γ A I² A Q² b² dA 144 b²h³ 6 h 2 Q² bdy Para seção retangular Q bh² 8 by² 2 ver item 45 Levando este valor em e integrando temse γ 65 Procedendo do mesmo modo podemse encontrar os valores para fator de forma de outras seções a exemplo daquelas apresentadas na tabela a seguir Fator de forma γ Seção Valor de γ Retangular 65 circular 109 Anelar parede fina 2 Tubo retangular parede fina A total A alma Duplo T A total A alma 104 DESLOCAMENTOS PROVOCADOS PELO ESFORÇO CORTANTE Para situações práticas de elementos estruturais de barra em flexão a contribuição do esforço cortante no cálculo dos deslocamentos é desprezível na presença do momento fletor Como ilustração seja verificar esta relação quando se calcula a deflexão máxima numa viga monoengastada com rigidez constante e carga concentrada em sua extremidade livre Figura 10 O comprimento da viga é l e a seção é quadrada de lado a De acordo com figura 10 B V x P 0 x l Neste caso a deflexão máxima ocorre na extremidade livre e a contribuição do momento fletor δM já é conhecida do capítulo V δM P l³ 3EI No caso da determinação da contribuição do esforço cortante δv será usado o primeiro teorema de Castigliano como a seguir δv U P Onde U L γ v² 2GA dx então δv γ P 1 GA dx 6P 5G δv δM 6P l 3E 5P 3GA I a⁴ 12 λ a² G E 21ν No capítulo 2 vimos que v 12 tomando v 12 estamos superestimando o valor de E E 3G e portanto substituindo a contribuição de δM ainda assim temse δv δM 9 10 al² Este resultado significa que mesmo para barras muito curtas l3a a contribuição do cortante é de apenas 10 da contribuição do momento fletor aumentando à medida que a relação al aumenta barras curtas 105 PRINCÍPIO DE DALAMBERT Seja um ponto material m Fig107a sob a ação de um sistema de forças Pi em equilíbrio isto é R 0 O trabalho real WR deste sistema de forças sobre m é WR R d cosθ θ ângulo entre a força e o deslocamento Neste caso R 0 d 0 então WR 0 Imaginemos agora que seja dado a m um deslocamento δ mantendo o mesmo sistema de forças em equilíbrio R 0 Fig107b Tal deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa real sendo portanto uma entidade puramente matemática um artifício chamado deslocamento virtual Wv R δ cosθ 0 pois R 0 Assim enviamos o princípio de DAlembert Para um ponto material em equilíbrio R 0 o trabalho virtual realizado por um sistema de forças reais que atua sobre um ponto quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer é nulo Isto garante a introdução de um novo conceito qual seja o de trabalho virtual 106 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS PTV PARA CORPOS ELÁSTICOS Corpo elástico Corpo que sob ação de forças externas em equilíbrio se deforma Corpo rígido Corpo que sob ação de forças externas em equilíbrio não se deforma Quando um corpo elástico ou rígido se desloca sem se deformar dizemos que o mesmo sofreu um movimento de corpo rígido Isto ocorre quando as forças externas atuantes não estão em equilíbrio O trabalho virtual total das forças externas em equilíbrio que atuam sobre um corpo elástico é igual ao trabalho virtual total das forças internas N M V T nele atuantes para todos os deslocamentos virtuais a ele impostos compatíveis com os tipos de apoios Deslocamentos virtuais nas direções 3 e 4 podem ser dados pois são compatíveis com a realidade o mesmo não ocorre com as direções 1 e 2 Fig108 Seja determinar o deslocamento δ na direção Δ numa seção qualquer de uma estrutura isostática qualquer que se encontra sob ação de um sistema de cargas reais externas Pi Fig 109 Os esforços internos são N V M As deformações deslocamentos relativas correspondentes são d l d h d φ d r Na fig1010 a estrutura é a mesma da fig109 sendo que retirase uma carga real aplicase uma carga unitária na direção Δ e impõese deslocamento virtual a todas as seções de modo que a linha elástica da fig 109 e 1010 coincidam Note que esta linha elástica é devida à carga unitária e aos deslocamentos virtuais impostos Na figura 1010 os esforços internos são N M V T e os deslocamentos relativos são d l d φ d h etc Apliquemos agora o PTV para a Fig 1010 W internas Wv externas Wve RA 0 HA 0 RB 0 1 δ δ Wvi N d l V d h M d φ Wvi N d l V d h M d φ T d τ Neste instante podemos observar que os esforços são da Fig1010 N V etc por isto ela é chamada de situação fictícia ou estado de carregamento EC os deslocamentos são da Fig109 d l d h etc por isso ela é chamada de estado de deformação ED ou situação real Wvi N NdS EA V Y VdS GA M MdS EI T TdS GJT Fazendo agora Wve Wvi temos δ N NdS EA V Y VdS GA M MdS EI T TdS GJT Onde N M V T Esforços internos no estado de carregamento N M V T Esforços internos no estado de deformação EA Rigidez axial da barra GA Rigidez transversal da barra EI Rigidez flexional da barra GJT Rigidez da barra à torção E Módulo de elasticidade longitudinal do material G Módulo de elasticidade transversal do material A Área da seção transversal I Momento de inércia da seção em relação ao eixo do momento fletor Onde Ic Valor arbitrário qualquer chamado de momento de inércia de comparação Com o objetivo apenas de unificar seu valor consideraremos o mesmo igual ao menor entre os I i Agora fazendo K Ic I i M M dS Temos então δ K E I c Valor tabelado para cada barra conforme o desenvolvimento a seguir Em barras retas o diagrama de M será sempre linear enquanto o de M será qualquer um conforme o carregamento real Na fig 1012 mostramos DMF e DMF possíveis para uma barra genérica Figura 1012 Diagramas de momentos fletores EC e ED K Ic I i M M dS Mx x tgα Assim K Ic I i a ahi M x tgα dx Ic I i tgα a ahi M x dx K Ic I i tgα A M x Ic I i A M y onde Ic Momento axial de inércia de comparação I i Momento de inércia da barra i em relação ao eixo do momento fletor A M Área do DMF real ED ȳ Momento fletor no EC na seção correspondente ao centróide de A M O valor para K é tabelado da seguinte forma Seja o caso particular cuja a situação ilustrada na fig1013 Figura 1013 Caso particular K Ic I c A M y Ic I 2 I 3 M max M A M B 2 K 1 I c Ic I M max M A M B K 1 I 3 M max M A M B onde l l I Comprimente elástico da barra i O valor de K para esta e outras combinações de diagramas de momento fletor encontramse disponíveis na tabela III Discussão sobre a unidade de K Admitindo que o carregamento que unitário está em kN ou kNm temos K Ic I i A M y 1kNm2kNm kN2m3 δ K E I c kN2m3 kNm2 kNm Notemos que δ é o trabalho de uma carga momento unitária Assim se calcularmos o deslocamento linear temos 1 kN δ kNm δ m ok se calcularmos rotação temos 1 kNm δ kNm então δ rad ok 108 INFLUÊNCIA DA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA Seja determinar o deslocamento δ na direção Δ numa seção qualquer de uma estrutura isostática qualquer cujas fibras externas sofreram variação de temperatura t e as internas t i em relação ao dia da execução figura 1014 Figura 1014 Situação real ED Figura 1015 Situação virtual EC Por hipótese a variação de temperatura ao longo da altura da seção obedece a uma lei linear fig1016 Admitindo t e e t i aumentos de temperatura e que t i é maior que t e os deslocamentos relativos do elemento de comprimento estão mostrados na figura 1017 Figura 1016 Variação de temperatura Figura 1017 Elemento deforma Para efeito de cálculos considerase para dl o valor médio no nível do centróide Assim dl α T c dS t e Variação de temperatura no centróide a outra deformação relativa vista é a rotação dφ tg dφ dφ α t i α t e ds h α h ds h Na Fig 1015 mostramos o EC para o ED da Fig 1014 Mantémse a estrutura retirase a causa real variação de temperatura aplicase uma carga unitária na direção Δ e impõese deslocamento virtual a todas as seções de modo que a LE do EC coincida com a do ED PTV para este EC W e W i W e 1 δ H A 0 R A 0 R B 0 δ W φ i N d l M d φ M d φ W φ i N c t d S M α Δ V h d S logo δ N c t d S M α h d S Se o material é homogêneo mesmo α e seção constante Mesmo t c e mesmo h temos δ α t c N d S α Δ V h M d S Na Fig 1018 damos uma interpretação para N d S e M d S Onde A N Área do diagrama de esforço normal no EC e da mesma forma A M Área do diagrama de momento fletor no EC Então δ α t c A N α Δ V h A M se t c t l Δ V t l t c 0 teremos δ α t c A N 109 INFLUÊNCIA DO RECALQUE DE APOIOS Um recalque é um movimento sofrido pelo apoio numa direção impedida devido a uma acomodação do solo de fundação Os fatores que influenciam e sua avaliação são discutidos na disciplina mecânica dos solos Neste capítulo será determinada a repercussão em termos de deslocamentos sofridos pela estrutura isostática a partir de recalques de apoios dados Se um vínculo externo apoio de uma estrutura isostática sofrer um pequeno deslocamento um recalque de apoio a estrutura não oferece resistência a esse deslocamento imposto pois quando o apoio se move a estrutura se transforma em um mecanismo hipoestático portanto recalque de apoio só introduz movimentos de corpo rígido nas barras da estrutura isostática não causando deformações internas nas barras Como para um recalque de apoio as barras da estrutura isostática só sofrem movimentos de corpo rígido sem deformações barras permanecem retas não aparecerão esforços internos nas barras Explicação Considerando que o recalque é pequeno comparado com o comprimento da barra podemos estabelecer o equilíbrio da barra nos referindo à sua situação inicial fig1019 assim Pelo equilíbrio da estrutura têmse as seguintes equações F X 0 H B 0 M A 0 R B 0 F Y 0 R A 0 Desta forma todos os esforços internos são nulos não havendo deslocamentos relativos figura 1020 Com a barra em equilíbrio surgem os deslocamentos relativos que podem ser observados na linha elástica mostrada na figura 1022 Os diagramas de esforços internos proveniente do recalque de apoio são mostrados na figura 1023 Aplicando PTV para este EC temos Wₑ Wᵢ Wₑ Rₐ ρVₐ Hₐ ρHₐ Rᵇ ρVᵇ 1 δ Wₑ δ Σ Rρ Wᵢ Ndiₗ Mдφᵢ Vᵢдhᵢ etc Mas dₗ dl 0 δ φᵢ dφᵢ 0 Então Wᵢ 0 e δ Σ Rρ 0 δ Σ Rρ Estado de carregamento Retirase o carregamento Pi aplicase um carregamento Pk em equilíbrio e impõese deslocamento virtual a todas as seções de modo que a LE do EC coincida com a do ED Fig 1027 De I e II concluímos que Pk δki Pi δik que é a expressão do teorema de Betti 1012 ESPECIFICAÇÕES A norma NBR 6118 para concreto armado limita a flecha máxima em vigas e lajes aos seguintes valores onde l vão eixo a eixo a Cargas totais Vão ymax 1300 Balanço ymax 1150 b Cargas acidentais Vão ymax 1500 Balanço ymax 1250 1013 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolver os exercícios de números um até cinco utilizando o primeiro Teorema de Castigliano e depois utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais 1 Determinar a deflexão e a declividade máximas Rigidez flexional constante 4 Determinar o deslocamento horizontal em E E 200 GPa seção C 150x193 todas 5 Determinar o deslocamento vertical em C r 2 m EI 10⁴ kNm² 10 Determinar o esforço normal em cada uma das barras do sistema estrutural E210 GPa Área BD8 cm² Área AD e CD 5 cm² 14 Calcular o deslocamento horizontal relativo das extremidades A e B do anel circular aberto da estrutura Desprezar efeitos da força normal Dados P R E I constantes 18 O projeto estrutural limitou o afundamento da seção D da grelha a 2cm 1 Verifique se esta condição é satisfeita para o carregamento dado Para todas as barras Rigidez Torcional 9x10⁴ kNm² Rigidez Flexional 10⁷ Nm² 22 Inicialmente a borda inferior da viga DE está 2mm acima da borda superior da viga AB Determine as reações verticais em D E A B e o deslocamento vertical na seção central da viga AB quando a carga de 9 kN é aplicada em C Adotar EI 10³ kNm² para as duas barras 33 Calcular a rotação relativa das tangentes à linha elástica em C E 200 GPa Barras verticais I 1440 cm⁴ 31 O projeto da viga isostática especifica que o deslocamento vertical na seção central do vão AB não deve ultrapassar 3 mm para baixo Visando atender a esta recomendação o construtor optou por impor nesta seção uma contraflecha Qual o valor da contraflecha necessária Sobre a viga além do seu próprio peso atua uma sobrecarga de 20 kNm Dados E20 GPa e γ30 kNm³ 32 Determinar o deslocamento horizontal de F EA 10⁴ kN Barra CD EI 10⁵ kNm² Demais Calcular o deslocamento horizontal em C IACIBD0004 m⁴ ICD0006 m⁴ E2110⁷ kNm² Calcular o deslocamento horizontal em D EI410⁵ kNm²Pórtico EA610⁵ kN Tirante Dada a estrutura calcular a rotação em B e a variação de comprimento da corda EF EI210⁴ kNm²todas e cotas em metro Calcular o deslocamento horizontal em B provocado por um aumento de temperatura nas fibras internas de 30ºC R 2m Determinar a rotação da tangente à elástica em D provocada por a Diminuíção uniforme de 30ºC b Recalque vertical em A de 1 cm Calcular a rotação em A devido a um recalque vertical em F de 1 cm para baixo Resolver os exercícios de números cinquenta e oito até sessenta e dois utilizando o Teorema de Maxwell Uma matriz A quadrada de ordem três é formada pelos elementos δik A partir dos dados mostrados na figura Determine a matriz A