Estado Triplo de Tensão e Critérios de Resistência

Estado triplo de tensão Um ponto se encontra em estado triplo de tensão quando as tensões nele atuantes são como a figura 81 Figura 81 Estado triplo ou geral de tensão Observamos que o equilíbrio de forças é satisfeito automaticamente enquanto o de momentos depende de uma relação entre as tensões de cisalhamento Para verificar esta relação consideremos os três estados planos que formam este estado triplo Seja o plano XY figura 82 Figura 82 Estado plano de tensão Impondo o equilíbrio de momentos no ponto P temos τxy τyx Lei da reciprocidade das tensões de cisalhamento Da mesma forma podemos concluir τyz τzy e τzx τxz Assim para um ponto em estado triplo de tensão são seis as componentes da tensão σx σy σz τxy τxz τyz No estado plano xy são três σx σy τxy τyx τ No estado uniaxial x apenas uma σx Chamamos atenção para o fato de que para situações normais reais de solicitação um ponto de um elemento estrutural de barra estará sob um estado plano de tensão senão vejamos as ilustrações na Fig 83 Na figura 83a o estado de tensão é compatível com aquele atuando em um ponto genérico de uma barra sob flexão simples flexotorção na fig 83b ponto na LN de uma barra sob flexão ponto qualquer de uma barra sob torção pura na fig 83c ponto genérico de uma barra sob flexão pura compressão ou tração simples Existe ainda o caso de tensões biaxiais como o que acontece num ponto qualquer de um vaso de pressão de paredes finas item 35 Destem modo concentraremos nossa discussão no estado plano de tensão XY No estudo dos critérios de resistência é de fundamental importância à determinação das tensões principais com seus planos bem como as máximas tensões de cisalhamento e seus planos Do capítulo 3 temos CAPÍTULO VIII Critérios de Resistência para estado Plano de Tensão 81 INTRODUÇÃO Um elemento estrutural está invariavelmente submetido a um estado de tensão multiaxial para o qual é mais difícil prever que valor de tensão causa a falha do mesmo Um ensaio de tração é relativamente fácil de ser feito usando os procedimentos descritos nas normas de ensaios de materiais e os resultados estão disponíveis para diversos materiais Porém para se aplicar os resultados de um ensaio de tração ou de um ensaio de compressão ou de um ensaio de torção a um elemento que esteja submetido a um carregamento multiaxial é necessário se considerar o mecanismo real de falha Ou seja a falha foi causada por que a tensão normal máxima atingiu um valor crítico ou a tensão cisalhante máxima atingiu o seu valor crítico ou a energia de deformação ou alguma outra variável atingiu seu valor crítico Este papel cabe aos critérios de resistência Concluído o capítulo 7 encerramos a fase de determinação das tensões num elemento estrutural linear isostático sob carregamento qualquer Numa sequência natural tornase necessário responder a pergunta O que fazer com essas tensões Cuja resposta é Dimensionar uma estrutura para absorvêlas ou verificar a segurança da estrutura para esse nível de tensão Numa situação ou na outra estaremos diante de critérios de resistência cuja discussão é o objetivo desse capítulo Cinco teorias de falha serão consideradas Outras três se aplicam a materiais frágeis concreto ferro fundido vidro porcelana As outras três se aplicam a materiais que se comportam de modo dúctil ou seja a materiais que opinam o escorregamento antes de fraturar aco alumínio Para a tensão plana as teorias de falha estão expressas em termos das tensões principais Lembramos que os planos de cisalhamento máximo fazem 45 com os planos principais Figura 84 Tensões principais mesmo sinal Figura 85 Tensões principais sinal diferente Fica evidenciado que um estado de tensão onde as tensões principais têm sinais diferentes é mais perigoso que quando do contrário Fig86 Figura 86a Sinal diferente Figura 86b Mesmo sinal De fato podemos assimilar que o ponto cujo estado de tensão é o da fig 86a irá se deformar mais portanto maiores tensões que o ponto cujo estado de tensão é o da fig 86b Lei de Hooke generalizada Aqui é importante observar a existência do efeito Poisson que quantifica a deformação numa direção quando a barra é solicitada numa outra direção para tanto consideremos a situação simples ilustrada na figura 87 Notemos que l l a a b b assim εx l l l εy b b b εz a a a A solicitação na direção X provocando deformação em todas as três direções sendo assim e a partir da relação ε σ E Podemos expressar a Lei de Hooke generalizada da seguinte forma εx 1 E σx ν σy σz εy 1 E σy ν σx σz εz 1 E σz ν σx σy São as deformações axiais onde E Módulo de Elasticidade longitudinal do material ν Coeficiente de Poisson do material γxy γxy τxyG γyx γyx τyxG γyz γyz τzyG são as distorções ou deformações de cisalhamento nos três planos onde G Módulo de elasticidade transversal do material G E 21 ν Em termos das tensões principais temos ε1 1 E σ1 νσ2 σ3 ε2 1 E σ2 νσ1 σ3 ε3 1 E σ3 νσ1 σ2 γ 0 pois nos planos principais τ 0 Dizemos então que a um estado triplo de tensão corresponde um estado triplo de deformação No estado plano de tensão xy temos εx 1 E σx νσy εy 1 E σy νσx εz ν E σx σy γ γxy γyx τ G nos planos principais ε1 1 E σ1 νσ2 ε2 1 E σ2 νσ1 ε3 ν E σ1 σ2 γ 0 a um estado plano de tensão corresponde um estado triplo de deformação No estado uniaxial de tensão x temos εx σx E εy εz νσx E γ 0 Estas também são as deformações principais A um estado uniaxial de tensão corresponde um estado triplo de deformação Após estas preliminares voltamos ao objetivo principal do nosso estudo dizendo que um critério de resistência surge da necessidade de se relacionar as condições de resistência de uma situação real um estado qualquer de tensão com a capacidade de um corpo de prova do mesmo material obtida em laboratórios através de ensaios padronizados de tração simples compressão simples etc Seria irracional termos para cada situação prática o ensaio correlato Para materiais dúcteis grandes deformações antes da ruptura como o aço e o alumínio temos os critérios de escoamento e os principais são Critério da máxima tensão de cisalhamento ou de Tresca 18141885 Critério da máxima energia de distorção ou de Von Mises 18831953 Critério da máxima deformação específica ou de Saint Venant Para materiais frágeis pequenas deformações antes da ruptura como ferro fundido concreto etc temos os critérios de ruptura ou de fratura e os principais são Critério da máxima tensão normal ou de Coulomb 1736 1806 Critério de Mohr Nos materiais dúcteis fig 88a bons em tração e compressão partese do suposto que a falha se dará por cisalhamento nos materiais frágeis fig 88b baixa resistência à tração geralmente a ruptura será por tração Na Fig 88 ilustramos a relação σ x ε típica durante o ensaio de tração simples para material dúctil Fig 88a e para material frágil Fig 88b 82 CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO TRESCA Por este critério um ponto em estado plano de tensão é seguro enquanto a tensão de cisalhamento máxima nele atuante τmáx não ultrapassar a tensão máxima de cisalhamento de um corpo de prova do mesmo material escoando em tração simples τy Figura 89 83 CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO VON MISES O trabalho realizado pelas forças externas em equilíbrio é armazenado pelo corpo na forma de energia de deformação Parte desta energia é responsável pela mudança de volume do corpo altera as dimensões linhas está portanto associada à tensão normal e é chamada de energia de deformação linear Energia de distorção Considera o elemento infinitesimal na Fig 813 sob ação de cisalhamento puro A forma desse elemento deforma De modo que Ud UTotal UL Mudando os planos a energia não se altera nos planos principais Fig 815 temos UTotal Colocando I em termos de tensões principais e fazendo σ1 σ2 σ3 σ U L 1 2E σ2 σ2 σ2 2νσ2 σ2 σ2 d Interseção com a bissetriz σ1 σ2 σ1 σ2 058fy Resultando a região de segurança mostrada na Fig 816 Figura 816 Elipse de Von Mises 84 CRITÉRIO DE SAINTVENANT OU DA MÁX DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA Por este critério um ponto em estado plano de tensão é seguro enquanto a sua máxima deformação específica não ultrapassar a deformação específica de um corpo de prova do mesmo material escando em tração simples εy εy fyE A máx def específica é a maior entre as deformações principais ε1 e ε2 Assim ε1 εy e ε2 εy onde ε1 σ1E vσ2E e ε2 σ2E vσ1E v Coef de Poisson é uma característica do material σ1E vσ2E fyE σ1 vσ2 fy Esta região é limitada por duas retas no plano σ1 x σ2 RETA 1 σ1 vσ2 fy σ1 0 σ2 fy σ1 0 σ2 fyv RETA 2 σ2 vσ1 fy σ1 0 σ2 fy σ2 0 σ1 fyv Interseção da RETA 1 com a RETA 3 σ1 vσ2 fy σ1 fy1ν σ2 vσ1 fy σ2 fy1ν Interseção da RETA 1 com a RETA 4 σ1 vσ2 fy σ1 fy1ν σ2 vσ1 fy σ2 fy1ν Interseção da RETA 2 com a RETA 3 σ1 vσ2 fy σ1 fy1ν σ2 vσ1 fy σ2 fy1ν Interseção da RETA 2 com a RETA 4 σ1 vσ2 fy σ1 fy1ν σ2 vσ1 fy σ2 fy1ν Estas condições colocadas num gráfico σ1 x σ2 resultam na região de segurança mostrada na figura 817 Figura 817 Critério de Saint Venant Após discussão desses três critérios de resistência escoamento para materiais dúcteis e de posse da fig 818 podemos fazer os seguintes comentários Figura 818 Comparação de critérios para materiais dúcteis 1 Os três critérios são coerentes quando definem no segundo e no quarto quadrantes uma região de segurança menor que no primeiro e no terceiro quadrantes Sabemos que quando as tensões principais têm sinais diferentes o estado de tensão tornase mais perigoso 2 O critério de SaintVenant se mostra mais avançado economia enquanto o de Tresca é o mais conservador segurança 3 Como os valores de ν giram em torno de 03 observamos que tensões principais da ordem de 142 fy são aceitas pelo critério de Saint Venant o que é uma ameaça à segurança do ponto 4 Partindo do princípio que em materiais dúcteis a falha se dará por cisalhamento vemos mais consistência nos critérios de Von Mises e Tresca que trabalham melhor esta condição 85 CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL OU DE COULOMB Para este critério um ponto em estado plano de tensão é seguro enquanto a tensão normal máxima nele atuante não ultrapassar a capacidade de um corpo de prova do mesmo material em tração simples Fig819 Desenvolvimento da condição de segurança A tensão normal máxima atuando num ponto em estado plano de tensão é a maior entre as tensões principais σ1 e σ2 assim σ1 fUT σ2 fUT conduzem à região de segurança mostrada na Fig 820 86 CRITÉRIO DE MOHR Este critério é melhor elaborado que o de Coulomb pois se baseia na real capacidade do material quer à tração quer à compressão obtidas durante ensaios de corpo de prova do mesmo material Fig 821 a Frágil em tração Fig 821 b Frágil em compressão É evidente que os estados de tensão cujos círculos de Mohr representativos são os hachurados pertencem a pontos seguros 87 ESCOLHA DO PRONTO CRÍTICO DE UM ELEMENTO ESTRUTURAL DE BARRA Um critério de resistência vem responder sobre a segurança de um ponto da estrutura todavia o interesse recai na segurança não apenas de um ponto e sim da estrutura em sua integralidade Para viabilizar a discussão da segurança de uma estrutura é necessário que escolhamos o ponto crítico mais perigoso da mesma e uma vez comprovada a segurança deste ponto atestamos a segurança da estrutura b Na seção de esforço cortante máximo pontos situados no eixo do momento fletor Pode prevalecer quando se tratar de barras bem curtas Projetando 1234 borda superior no plano e usando a regra da mão direita para momento torsor temos o estado de tensão dado na Fig 827 Para evidenciar a importância desta questão vamos ilustrála com uma situação prática respondendo qual a causa das fissuras vistas na viga de concreto da fig 829 89 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Os pontos críticos de uma estrutura têm o estado de tensão indicado Escolha um material adequado para a estrutura Usar os critérios de Tresca e Von Mises 2 O estado de tensão num ponto é o indicado usando Tresca e Von Mises verificar a segurança desse ponto e determinar o CS AR 295 3 No ponto crítico de uma estrutura o estado de tensão é o indicado Determine τ no instante do escoamento da estrutura Usar o critério de Tresca 4 Determine τ no instante da ruptura de uma estrutura cujo ponto crítico tem o estado de tensão indicado Usar o critério de Mohr FUt3MPa e FUC30MPa 182 Primo Fernandes Filho 5 Usando o critério da máxima energia de distorção Von Mises Verifique a segurança e determine CS para a estrutura indicada Sabese que a seção é circular vazada com Re6 cm Ri4 cm MR 240 6 Você é responsável pela execução da estrutura de um edifício em concreto armado e se prepara para montar as armaduras das vigas de um determinado teto Ao consultar o cálculo de uma certa viga suposta de seção retangular daquele teto você verifica que para a armadura de cisalhamento o projetista optou por usar estribos com inclinação α em relação ao eixo da viga onde α representa o menor ângulo entre o eixo do estribo e o eixo da viga Na Figura 3 está representado o esquema estático da viga a A disposição correta dos estribos está representada na Figura 1 ou na Figura 2 Justifique b O projeto considera estribo com inclinação α 45 e área Asw 30 cm²m Para facilitar a montagem da armadura você decidiu usar estribo vertical perpendicular ao eixo da viga Nesta condição qual a armadura em cm²m que você terá que usar Tópicos de Resistência dos Materiais 183 Dados Aswα bw S td fyd senαcosα Onde Aswα área da armadura com inclinação α fyd tensão de cálculo do aço da armadura α ângulo de inclinação da armadura com o eixo da viga S espacamento da armadura td tensão tangencial de cálculo bw largura da seção 7 A viga mostrada é feita de um material frágil a Qual a provável causa das fissuras em a b e c b Desenhe o estado de tensão no ponto a de modo a justificar a orientação da fissura 8 A construtora em que você trabalha entregou recentemente aos proprietários um edifício residencial com estrutura em concreto armado Os moradores preocupados com recentes acontecimentos envolvendo ruína de prédios residenciais enviaram correspondência relatando o aparecimento de fissuras em vigas de teto de garagem Chegando ao local você identificou nítidas fissuras em algumas vigas do tipo representadas na figura onde os apoios foram idealizados como pontuais para facilidade de modelação e representação 184 Primo Fernandes Filho Tópicos de Resistência dos Materiais 185 Tópicos de Resistência dos Materiais 186 Tópicos de Resistência dos Materiais 187 Usando a seção na posição mais racional verifique a segurança critério de Mohr da barra especificada nas figuras ilustradas e determine o CS O estado de tensão no ponto crítico de uma estrutura é o indicado na figura Usando o critério de Saint Venant escolha um material adequado seguro e econômico para a estrutura Sabese que a economia e inversamente proporcional ao fy Verificar a segurança da grelha Caso seja segura determine o CS critério de Tresca Na ausência de dados sobre o material um teste foi improvisado nas condições da figura a seguir O referido teste mostrou que o escoamento do material iniciouse no ponto médio da borda superior na seção central da amostra quando P 20kN