Flambagem em Colunas: Causas e Implicações na Estabilidade Estrutural

CAPÍTULO IX Flambagem em colunas 91 INTRODUÇÃO Qual a causa da falha de uma estrutura Como um engenheiro você deve considerar diversos modos de falha possíveis quando estiver projetando uma estrutura Tensões baixas visando evitar o escoamento materiais dúcteis ou a ruptura materiais frágeis Controle de deformações deflexões Ciclos de carregamentos repetidos falha por fadiga Para evitar os tipos de falha acima critérios de projeto baseados na resistência Tensão e rigidez deflexão devem ser levados em consideração Neste capítulo será considerado outro modo importante de falha a flambagem que é frequentemente súbita e catastrófica o que faz com que seja ainda mais importante prevenila O progresso no conhecimento dos materiais e nos métodos de cálculo determina uma tendência de tornar os elementos estruturais cada vez mais leves esbeltos e com isto mais econômicos A seleção de um elemento estrutural se baseia nas três características seguintes resistência rigidez e estabilidade Neste capítulo é considerada a questão da possível instabilidade dos sistemas estruturais cujo estudo ganha importância à medida que a segurança de uma peça leve comprimida depende de maneira pronunciada de sua estabilidade Como um exemplo intuitivo simples considere uma barra de diâmetro D submetida a uma carga axial de compressão Se esta barra atuando como coluna tivesse apenas o comprimento D nenhuma questão de instabilidade apareceria e uma carga considerável poderia ser suportada por esse membro curto cuja ruptura se daria quando se esgotasse sua capacidade à compressão Por outro lado se a mesma barra tivesse comprimento igual a várias vezes o diâmetro D quando submetida a uma carga axial compressiva ainda menor do que aquela que a barra curta suportaria a barra poderia tornarse lateralmente instável e eventualmente entrar em colapso Uma barra delgada comum uma régua por exemplo submetida a compressão axial falha dessa maneira Apenas a consideração da resistência do material não é suficiente para prever o comportamento de tal membro O mesmo fenômeno ocorre em inúmeras outras situações onde estão presentes tensão de compressão Chapas finas embora capazes de sustentarem carregamentos de tração são pobres transmissores de compressão Vigas estreitas sem reforços laterais podem adquirir instabilidade lateral entrar em colapso quando submetidas a cargas transversais Aqui apenas o problema da coluna será considerado Sob esta ótica dizse que a flambagem é o fenômeno através do qual uma barra comprimida adquire uma configuração fletida de equilíbrio De outra forma podemos dizer que a flambagem caracteriza a passagem de uma forma de equilíbrio estável para equilíbrio instável numa barra comprimida Para sua ilustração consideremos uma haste cilíndrica cujo diâmetro é muito pequeno em relação ao comprimento engastada numa extremidade com carga compressiva P na outra extremidade com carga compressiva P A experiência mostra que para pequenos valores de P se for atribuído à extremidade livre um deslocamento diminuído a haste reassume a posição inicial caracterizando o estado de equilíbrio estável A estabilidade do equilíbrio perde até um valor limite para a carga P quando devido ao deslocamento conferido ao extremo da haste esta não mais retorna à posição inicial permanecendo deformada caracterizando o estado de equilíbrio indiferente Neste caso P Pf passa a ser deformada caracterizando o estado de equilíbrio indiferente Neste caso dizse ter havido ruptura por flambagem da peça antes que a sua capacidade à compressão tenha sido alcançada Colunas que rompem por flambagem são ditas colunas esbeltas aquelas que rompem antes de flambar são ditas colunas curtas 92 FLAMBAGEM EM REGIME ELÁSTICO CARGA DE EULER O primeiro estudo sobre flambagem de colunas esbeltas foi publicado em 1757 pelo matemático suíço Leonard Euler 17071783 o qual encontrou através deste estudo a explicação para muitos colapsos estruturais O estudo objetiva a avaliação da carga crítica Pf ou seja a carga compressiva a partir da qual as colunas entraram em processo de flambagem Para tanto serão obedecidas algumas considerações 1Visto que se trata de carga centrada durante a flambagem a flexão se dará em torno do eixo centroidal de menor momento de inércia como mostra a figura 92 Figura 92 Flambagem em torno do eixo de inércia mínima 2A barra ou trecho dela deverá ter rigidez EI constante ou seja o material deve ser homogêneo e a seção constante 3As tensões induzidas na barra deverão estar abaixo do seu limite de proporcionalidade fp Nestas condições seja a barra simplesmente apoiada mostrada na figura 93 Notar que na dedução desta fórmula usamos a Lei de Hooke portanto as tensões deverão estar abaixo do limite de proporcionalidade fp Como resultado temse y M EI Discussão de sinal O sinal é dado em função do sinal da curvatura Para a situação mostrada na figura 93a a curvatura é negativa Para que isto se verifique é necessário que y M EI y Py EI Como na figura 93a as ordenadas y são positivas temse portanto curvatura negativa como esperado Para a situação mostrada na figura 93b a curvatura é positiva Para que isto se verifique é necessário que y M EI y Py EI Como na figura 93b as ordenadas y são negativas temse portanto curvatura positiva como esperado Assim nas duas situações A equação a ser resolvida é y Py EI y Py EI 0 Fazendo P EI k² admitindo EI constante y k²y 0 cuja solução é y C1senkx C2coskx As constantes C1 e C2 são determinadas pela imposição das condições iniciais Para a barra da Figura 93 estas condições são a x 0 y 0 C2 0 b x l 0 C1senk l 0 C1 0 y 0 não há flambagem logo esta solução não serve Senk l 0 k l nπ com n Z n 0 k 0 P 0 solução que também não serve n 1 k π l P EI k² P π² EI l² Para n 2 ou n 2 Obtémse P maior que portanto soluções que também não servem Concluímos que a carga que leva à configuração da Fig 93 é Pj π² EI min l² Tratase de uma capacidade da barra que atendendo às expectativas é diretamente proporcional à qualidade do material E à seção transversal lmin e inversamente proporcional ao comprimento da barra l Assim quanto mais fraco for o material menor a seção e maior o comprimento mais cedo a barra flambará Notemos que Pj depende também de como a barra está apoiada isto fica evidente durante a imposição das condições iniciais do problema 93 DEPENDÊNCIA DA CARGA DE EULER COM OS TIPOS DE APOIOS Seja agora uma coluna fixa numa extremidade e livre na outra figura 94 y M EI Mx Py M Py Pymax y Py EI Pymáx EI fazendo P EI k² temos y k²y k²ymax cuja solução é igual à solução homogênea y k²y 0 mais uma solução particular assim y C1senkx C2coskx ymax Condições iniciais a x 0 y 0 C2 ymax b x 0 dy dx 0 kC1 0 C1 0 c x l y ymax ymaxcoskl ymax ymaxcoskl 0 coskl 0 kl nπ 2 com n Z Para n 1 kl π 2 k² π² 41² P EI k² Pj π² EI min 2l² Consideremos agora uma coluna fixa numa extremidade e simplesmente apoiada na outra figura 95 Condições iniciais a x 0 y 0 C2 0 I b x 1 y 0 senklC1 V1 k2EI 0 II c x 1 dy dx 0 0 k C1 coskl V k2EI III De III temse V k3 C1 EI coskl Levando III em II temse C1 senkl k3 C1 EI coskl 1 k2EI 0 kl coskl senkl kl kl coskl senkl tankl kl kl 4454 k2 1984 12 P EI Pr 1984 EI l2min 2π2EImin l2 π2EImin 0707 12 Por fim considerese uma coluna fixa engastada nas duas extremidades Fig 96 Figura 96 Flambagem de coluna bi engastada Para anular as rotações em A e B M tem o sentido indicado na Fig 96 Mx Py M y Py EI M EI k2 P EI temse y k2y M EI com solução y homogênea particular y C1 senkl C2 coskl M k2EI Condições iniciais a x 0 y 0 C2 M k2EI I b x 0 dy dx 0 0 k C1 C1 0 II c x 1 y 0 cosklC2 M k2EI 0 III Levando I em III temse M EI k2 coskl M EI k2 1 coskl 1 kl 2nπ n Z n 1 kl 2n k2 4π2 l2 1² k2 P EI Pr 4π2Eimin l2 Pr π2Eimin 22 O resultado dos quatro casos é mostrado na figura 97 onde μ é um fator que depende dos tipos de apoiarpode ser compactado do seguinte modo Figura 97 Dependência da carga de flambagem com tipos de apoios σf P A π2Eimin Aμl2 tensão de flambagem ou fórmula de Euler em termos de tensão Sendo kmin Imin A raio de gir ação mínimo da seção em relação ao seu centróide vem σf π2Ek2min μl2 π2E μlkmin2 Assim σf π2E k2 λ2 onde λ μl kmin índice de esbeltez da barra 95 FLAMBA GEM EM REGIME PLÁSTICO A Fórmula de Euler em termos de carga Pf π2Eimin μl2 ou em termos de tensão σf π2E λ2 pode ser aplicada sempre que as tensões estiverem abaixo do limite de proporcionalidade fp além de observar outras hipóteses como material homogêneo e isótrópico seção constante Desta forma a seguinte condição é necessária σf fp π2E λ2 fp λ π λ π E fp Fazendo λ0 E fp π temse λ λ0 condição necessária para o uso da Fórmula de Euler ou seja Flambagem em Regime Elástico Quando λ λ0 σf fp temse a flambagem em regime plástico Neste caso com base em resultados experimentais códigos e normas específicas recomendam o uso de algumas fórmulas empíricas Colunas de aço Neste caso têm sido usadas fórmulas propostas pelo Conselho de Pesquisa sobre Estabilidade Estrutural SSRC Tais fórmulas foram adotadas como especificação para a construção de edifícios pelo Instituto Americano de Construção de Aço AISC e se apresentam da seguinte forma σg B Cλ2 P f σf A com as seguintes condições a λ 0 σf fy e b λ0 σf fp Adotar fp fy2 A relação σf λ é chamada de curva ou diagrama de flambagem Para uma coluna de aço esta relação é como na Fig 98 No regime elástico adotar um coeficiente de segurança CS 2312 e no regime plástico o coeficiente de segurança será calculado com a fórmula CS 53 38 λλ0 18 λ2λ03 Desta fórmula vêse que 167 CS 2312 Observase a compatibilidade da flambagem em RE com a flambagem em RP De fato no RE quando λ λ0 temse σf π2 E π2 E fp notase também que σf fy o que é razoável pois se σf fy a barra deixa de ser esbelta e não flambarão falhando devido a tensão de compressão PA OBS durante a solução dos exercícios didáticos de colunas de aço respeitar o CS do enunciado se não for dado o CS adotar a recomendação do AISC Estas fórmulas dão origem ao diagrama de flambagem mostrado na figura 99 A NB11 para o cálculo de estruturas de madeira fixa por uma fórmula o valor da esbeltez λ0 a partir do qual começa a valer a hipérbole de Euler λ0 π E 8σc 1924 E 8σc onde σc é a tensão admissível à compressão simples São então determinadas três zonas nas quais valem as seguintes fórmulas λ 40 σf σc constante 40 λ λ0 σf σc 1 13 λ 40 λ0 40 reta λ λ0 σf 23σc λ0 λ2 hipérbole conduzindo à curva de flambagem mostrada na figura 910 Notar que os valores da tensão são valores admissíveis ou seja já está incluído o coeficiente de segurança Também é importante notar que durante o estudo da flambagem de um modo geral determinouse uma carga que conduz à configuração de flambagem mas esta configuração não restou determinada isto confere ao processo um caráter aleatório Outro fator negativo é a dificuldade de se obter na prática um engastamento perfeito ou uma articulação sem atrito Somese a isto o fato que se trata de um processo que pode levar a coluna a uma falha brusca e catastrófica Desta forma as normas têm estabelecido coeficientes de segurança elevados quando se trata de flambagem Comparando por exemplo a fórmula de Euler para madeira com a equivalente para estruturas metálicas podemos estimar o valor do coeficiente de segurança adotado σf 23 σc λ0 λ2 λ0 π E 8σc λ02 π2 E 8 3 σc λ02 σc 38 π2 E σf 23 σc 12 23 σf Tensão de flambagem admissível na madeira σf Tensão de flambagem em estruturas de aço Aplicando agora o coeficiente de segurança para colunas de aço em regime elástico temse σfaço σf 12 23 Comparando as fórmulas em regime elástico para tensão admissível de flambagem para a madeira e para o aço observase que a de madeira é praticamente metade da correspondente para aço Concluise pois que o coeficiente de segurança aplicado para madeira é aproximadamente o dobro do adotado para o aço Este resultado certamente está relacionado com o caráter anisotrópico da madeira 96 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Duas colunas são diferentes apenas quanto a forma da seção Uma é quadrada e a outra circular maciça Do ponto de vista da flambagem qual é a melhor 2 Dispomos de dois perfis C150x122 que são unidos formando a seção mostrada Do ponto de vista da flambagem qual das duas situações é a melhor 3 Determinar uma seção circular para a coluna sendo E 125 GPa σ c 12 MPa e adotar CS 25 para Flambagem 4 Do ponto de vista da flambagem determine o máximo valor de P 5 Uma barra é rotulada nas extremidades a duas paredes rígidas e achase submetida a um acréscimo de temperatura Δ T Determine Δ T capaz de levar a barra a flambar 6 Determinar e capaz de levar a coluna a flambar 7 Do ponto de vista da flambagem dimensione uma seção quadrada para a escora CD E 200 GPa CS 25 8 Do ponto de vista da flambagem determine Pmax atuando no sistema estrutural Seção de AB e BC D10 cm e08 cm E70 GPa CS4 9 Do ponto de vista da flambagem determine o máximo valor de P 10 Do ponto de vista da flambagem a Determinar Pmax b A retirada das barras BC e CD altera esse valor 11 Verificar a segurança da treliça Seção todas C380x504 E200 GPa MR240 CS25 PFlambagem e σ r σ c 120MPa Tensões admissíveis A barra ABC tem seção retangular uniforme e é travada no plano XZ em C Determine a relação bd para que os coeficientes de segurança em relação a flambagem RE sejam os mesmos em relação aos planos XZ e YZ Do ponto de vista da flambagem verifique a segurança da escora CD Seção de CD Ø 6cm MR 240 E 200 GPa Os cabos esticados BC e BD evitam o deslocamento de B no plano XZ Determine a carga centrada P admissível Usar a fórmula de Euler com CS 25 e E 200 GPa Visando melhorar o desempenho da coluna quanto à flambagem será colocada uma trava É racional colocar a trava em que plano Qual a posição ótica ao longo da altura para a trava Do ponto de vista da flambagem escolha um perfil de aço com seção I W com comprimento de flambagem 4 m para suportar uma carga compressiva centrada de 700 kN E 200 GPa Uma coluna tem comprimento de flambagem igual a 27 m e sua seção é formada por duas cantoneiras L reforçada por uma chapa do mesmo material E200 GPa como mostrado na figura Verifique a segurança desta coluna quanto à flambagem sabendo que uma carga centrada de compressão de 70 kN será aplicada A figura representa uma caixa dágua sustentada por 4 pilares 20x20 cm de 16 m com E 20 GPa Para obter o valor da carga sobre os pilares considere que o peso próprio da caixa equivale a 38 do peso do líquido γliq 10 kNm³ Despreze o peso próprio dos pilares que têm seção quadrada a Considerando os pilares engastados na fundação e rotulados nas vigas de fundo da caixa verifique a segurança dos pilares quanto à flambagem em RE b Visando melhorar o desempenho dos pilares quanto à flambagem RE optouse por introduzir barras horizontais de modo a travar nesta seção os movimentos dos pilares nos planos ZY e ZX Determine a que altura z do solo a trava deve ser introduzida para dificultar ao máximo a flambagem dos referidos pilares Para essa situação determine CS 26 Do ponto de vista da flambagem determine o máximo valor de P que pode ser suportado pelo sistema estrutural com segurança E 200 GPa CS 3 Uma barra com seção S 200 x 34 de 5m de comprimento é rotulada em A e simplesmente apoiada em B distante 05cm de um batente indeforável C Determine ΔT capaz de levar a barra a flambar α 10⁵ ºC 29 Quanto à flambagem verifique a segurança da escora CD A seção está indicada Sobre o material observouse a relação σ x ε do quadro e que para σ 200 MPa a relação σ x ε deixa de ser linear As barras AB e BC do sistema estrutural são tubos de alumínio com e 10 mm De 100 mm E 70 GPa Determine h para que o CS com relação à flambagem seja máximo 31 Três cilindros de 8 cm de diâmetro cada são colocados equidistantes sobre uma placa rígida Sobre eles é apoiada outra placa rígida que recebe o carregamento mostrado na figura Os cilindros laterais têm módulo de Young E1 e o cilindro central E2 Sabese que E2 10 E1 Sabese também que o comprimento de flambagem dos cilindros é de 4 m A curva σ x ε durante a carga e descarga do material do cilindro central também está mostrada Perguntase sobre a segurança do cilindro central quanto à flambagem Caso seguro determine CS Na estrutura quatro pilares iguais se encontram rotulados em suas extremidades Cada pilar é composto de 4 perfis cantoneiras L 76x51x95 na forma mostrada As vigas estão simplesmente apoiadas nos pilares Considerando flambagem no RE Fórmula de Euler e adotando E210 GPa responda a Verifique a segurança dos pilares quanto à flambagem b Visando melhorar as condições de segurança dos pilares foram introduzidas barras de contraventamento travas do seguinte modo na direção y uma barra na metade da altura dos pilares na direção z uma barra a cada 5m Nestas condições verifique a segurança dos pilares e determine o CS Do ponto de vista da flambagem determine o máximo valor de P E 125 GPa Seção das barras 8x 6 cm Desejase construir uma coluna de comprimento de flambagem 38m pregandose tábuas de seção 254 x 152 mm Determine o número mínimo de tábuas necessárias para suportar uma carga axial de compressão centrada de 50 kN O material tem a curva de flambagem mostrada E 125 GPa As barras da treliça têm seção circular com D 3 cm e são feitas do aço MR240 E 200 GPa Determine o máximo valor de P Adotar CS 3 para flambagem σc σt 100MPa 42 Do ponto de vista da flambagem determine o máximo valor de P As barras da treliça são feitas de um material que tem a curva σr x λ indicada A seção das barras é 3 x 4 E 14 GPa 43 Verificar a segurança da barra AB de madeira quanto à flambagem A tensão admissível de compressão é de 8 MPa E 15 GPa e seção retangular 3x4 in² 44 A escora CD é feita de uma madeira que tem a curva σf x λ indicada na figura Verifique a segurança da escora quanto à flambagem E 15 GPa 218 Primo Fernandes Filho