Tensões Compostas: Introdução e Flexão Composta

CAPÍTULO VII Tensões Compostas 71 INTRODUÇÃO Dentre os fatores que podem comprometer o bom funcionamento de um elemento estrutural aqueles relacionados com a sua resistência e que estão associados às tensões atuantes geralmente prevalecem Ao longo dos capítulos 2 4 e 6 o principal objetivo foi a determinação das tensões em elementos estruturais lineares isostáticos provocadas por solicitações simples como tração compressão flexão e torção No entanto muitas vezes nos deparamos com situações práticas onde combinações destes esforços estão presentes na mesma seção sendo indispensável o tratamento adequado para a obtenção da tensão total no ponto analisado Lembremos que só podemos somar tensões da mesma natureza Assim não podemos somar tensão normal com tensão de cisalhamento Estaremos portanto diante de um problema de tensões compostas toda vez que na mesma seção atuarem simultaneamente um esforço normal e um momento fletor tensão normal eou um esforço cortante e um momento torsor tensão de cisalhamento sendo sua determinação o objetivo 72 FLEXÃO COMPOSTA Esta situação ocorre quando numa seção atuarem um esforço normal N e um momento fletor M É portanto um problema de somar tensão normal a PÓRTICO PLANO podemos observar que numa seção qualquer dessa estrutura Fig 71 estão presentes N e M Figura 71 Pórtico plano Embora algumas seções possam representar exceção como S2 generalizamos dizendo que um pórtico plano trabalha à flexão composta b APOIO DO 2º OU DO 3º GÊNERO O apoio B da Fig 72a é do 2º gênero Na Fig 72b mostramos em detalhe o diagrama de corpo livre desse apoio onde podemos verificar a condição de flexão composta Numa seção qualquer como a S temos V HB N RB e M HB S caracterizando a flexão composta Caso o apoio B seja do 3º gênero apenas reforça a definição de flexão composta pois até mesmo a seção superior estará nesta situação c MURO DE ARRIMO Um muro de arrimo é uma estrutura que se destina a conter o deslizamento de algum tipo de material figura 73 Se o material contido é água especificamente chamamos de barragem Figura 73 Muro de arrimo Na Fig 73 mostramos a seção de um muro de arrimo sob a ação de seu peso próprio e do empuxo provocado pelo material contido Numa seção como a S observamos os seguintes esforços internos Cortante devido ao empuxo do material acima de S Normal devido ao peso do muro acima de S Fletor devido ao empuxo do material acima de S Concluímos que apenas a seção superior do muro não trabalha à flexão composta d PROTENÇÃO DE UMA VIGA figura 74 Figura 74 Viga protendida Na situação final a seção trabalha à flexão composta Podemos dizer que num ponto qualquer de uma seção sob flexão composta a tensão normal vale σ σN σM onde σN NA σM MYI Observadas as hipóteses utilizadas durante a dedução que são Material Homogêneo elástico linear seções planas ou Navier o eixo do momento fletor é um eixo principal centroidal N esforço normal à seção A área da seção M momento fletor na seção Y distância do ponto onde se calcula a tensão até o eixo do momento fletor I momento de inércia da seção em relação ao eixo do momento fletor Lembramos que na Flexão simples a LN Linha Neutra coincide com o eixo do momento fletor Podemos notar que a parcela σN tem o sinal de N e é constante para todos os pontos de uma mesma seção Assim se numa seção M 0 tração ou compressão simples dizemos que a linha neutra está no infinito Ao longo da altura de uma seção transversal a parcela σM varia linearmente sendo nula no eixo do momento fletor e máxima nas bordas mais afastadas do eixo desse momento Assim se N 0 flexão simples a LN coincide com o eixo do momento fletor Para definir o sinal da parcela σM façamos uma discussão com base ns figura 75 Neste fórmula Y distância da LN ao eixo do momento fletor Como ilustração seja uma seção retangular 12 x 30 cm Y 3cm é mostrado na Fig 76 Na Fig 77 mostramos a distribuição da tensão normal ao longo da altura de uma seção transversal sob flexão composta Notamos que na Flexão composta a LN não é biletríca Y NIMA podendo inclusive estar fora da seção Em situações correntes o máximo de σM é geralmente maior que σN de modo que a LN fica dentro da seção Numa seção qualquer da coluna a situação ilustrada é idêntica à combinação mostrada na Fig 79 Num ponto qualquer da seção atuam três parcelas da tensão normal que vale σ PA PezZIy PeyYIz desta forma pronta para levar o sinal de P ez Z Y e sair com o sinal correto da tensão Lembramos que nesta fórmula ez ey são fixas representam a excentricidade da carga enquanto ZY são variáveis dependem do ponto onde a tensão vai ser calculada Como consequência podemos usando a definição determinar a posição da LN Inicialmente procuremos esta região no 1º quadrante neste caso T é o ponto com maior tendência a tração se σT 0 nenhum ponto estará fracionado assim σT P bh Pzezb2 h³ Pezh2 bh³ 0 1 ez 6 ey 6 0 ez 6 ey 6 1 cujo contorno se tem quando ez b ey h 1 que no plano Z Y é a reta indicada na Fig 710a e a região é a parte hachurada Por analogia concluímos o núcleo central quando uma carga for aplicada nos outros quadrantes Na Fig 710b mostramos o núcleo central de uma seção retangular bh Devido às dimensões ali representadas tecnicamente se diz que o núcleo central de uma seção retangular é formado pelo seu terço central A representação analítica do núcleo central é dada por ez b6 ey h6 1 b Seção circular maciça de raio R figura 711 Com a carga no 1º quadrante o eixo do momento é indicado na Fig 711a que é principal e T é o ponto traçado mais afastado desse eixo Desta forma a condição para o núcleo é σT 0 P πR² PρR πR⁴ 4 0 ρ R4 onde concluímos que o núcleo central é como esperado um círculo com raio ρ R4 mostrado na Fig 711b Y sendo de simetria é eixo principal Z sendo eixo perpendicular a Y também ganha esta condição o momento fletor se dá em torno de Z de onde concluímos se tratar de flexão reta podendo ser aplicada a fórmula σ MYI para o cálculo da tensão normal Quando o momento fletor se dá em torno de um eixo que não é principal a flexão é dita oblíqua ou assimétrica Fig 713 Para facilidade da discussão consideremos como seção uma cantoneira de abas iguais o eixo Z sendo de simetria é também eixo principal maior inércia o outro eixo principal é Y menor inércia na condição de perpendicularidade dos eixos principais o eixo do momento é z que não é principal logo tratase de flexão oblíqua não podendo a fórmula σ MYI ser aplicada diretamente visto que é condição para seu uso que M aconteça em torno de um eixo principal da seção Para se contornar esta dificuldade projetamos M para as direções principais Z e Y obtendo uma flexão simultânea em relação a esses dois eixos podendo agora aplicar σ MYI para esses eixos Fig 714 A tensão normal num ponto qualquer da seção é dada por σ fracMZYIZ fracMYZIY parcela 1 parcela 2 O sinal das parcelas 1 e 2 é dado em função da ação de MZ e MY sobre o ponto considerado para tanto faremos uso da regra da mão direita dispensando a consideração de sinal MZ MY Z e Y Com base na seção da Fig 714 ilustramos na tabela abaixo o sinal das parcelas 1 e 2 para os pontos a b d e Ponto 1 2 a b d e Interessa particularmente os valores da tensão máxima de compressão e de tração que ocorrem nos pontos Zmax Ymax onde as parcelas 1 e 2 se somam Na Fig 714 estes pontos são T e C Na maioria das seções os pontos Zmax Ymax não são bem definidos veja por exemplo o caso da seção T A tem Zmax porém o Ymax está em B Podemos contornar este problema dizendo que as tensões normais máximas ocorrem nos pontos mais afastados da LN Tornase necessário a determinação da LN que será feita a partir da sua definição σ 0 Rightarrow Y ZL fracIZIY agalpha neste momento tornase necessário definir uma convenção para alpha uma vez que a LN pode ter inclinação negativa ou positiva conforme cada caso Guardando coerência a LN caso não coincidida com o eixo de M deve pelo menos estar próxima neste sentido convencionamos positivo alpha antihorário medido de M para Z Na Fig 714 alpha é negativo levando na equação da LN esta terá inclinação positiva passando no 1º e no 3º quadrantes tal como M resultado esperado e coerente Fig 715 Figura 715 Linha Neutra na flexão oblíqua Desse resultado observamos que a se IZ IY Rightarrow heta alpha Fig 716a b se IZ IY Rightarrow heta alpha Fig 716b c se IZ IY Rightarrow heta alpha Fig 716c Figura 716a Figura 716b Figura 716c Concluímos pois que na flexão oblíqua a LN é uma reta inclinada em relação aos eixos principais Z e Y passa pelo centroide e se localiza entre o eixo do momento fletor e o eixo principal de inércia mínima Obs A discussão feita referese a flexão oblíqua pura ou simples caso composta acrescentar no σ a parcela NA e assim a LN não passa mais pelo centroide Durante o cálculo da tensão normal na flexão oblíqua geralmente estaremos diante de um problema de rotação de eixos para obter as coordenadas Z Y no ponto em análise Para tanto apresentamos a matriz K que faz esta rotação beginpmatrix Z Y endpmatrix K beginpmatrix z y endpmatrix onde K beginpmatrix cosgamma sengamma sengamma cosgamma endpmatrix beginpmatrix z y endpmatrix coordenadas do ponto no sistema vertical X horizontal beginpmatrix Z Y endpmatrix coordenadas do ponto no sistema que for rodado de gamma e em relação ao sistema vertical X horizontal 75 SUPERPOSIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO Até então ênfase foi dada à composição de tensões normais agora voltamos nossa atenção para a superposição da tensão de cisalhamento Estaremos diante desta situação toda vez que numa mesma seção atuarem um esforço cortante V e um momento torçar T independentemente de outros esforços Destacamos a seguir algumas situações práticas onde se faz necessária esta discussão a Carga Transversal Excêntrica figura 717 Figura 717 Barra sob carga transversal excêntrica A carga transversal excêntrica é transportada para o centro da seção resultando na situação mostrada na Fig 718 onde se observa claramente na seção S a presença de V e T Note que para se ter o sentido correto de T é necessário que seja indicado a posição do observador Uma viga de marquise Fig 719 se encontra nessa situação b Grelha Podemos observar na seção S da grelha mostrada na Fig 722 a existência de V e T Veja na Fig 724 o valor desses parâmetros quando se deseja τ no ponto a Notamos que ao longo de qualquer eixo diametral τT circular varia segundo uma reta Sendo nula no centroide e máxima no contorno da seção Fig 726 τMaxT TR πR4 T πR3 2 2 maciça τMaxT TRE πRE4 R14 2 vazada R Raio RE Raio externo R1 Raio interno τMaxT T WT onde WT módulo de resistência da seção à torção WT πR3 2 para maciças e WT π 2RERE4 R14 para vazadas Da discussão feita concluímos que numa seção circular a tensão de cisalhamento máxima ocorre num dos pontos de interseção do eixo do momento fletor com o contorno da seção Para a situação representada na Fig 727 este ponto é b Estudos mais avançados feitos com auxílio da analogia de membrana em teoria da elasticidade fornecem o seguinte resultado para a tensão máxima de cisalhamento provocado pelo momento torsor τMAXT T WT onde WT módulo de resistência da seção à torção se encontra dependendo da seção na tabela IV O valor de WT possibilita a determinação da tensão de cisalhamento máxima sem indicar em que ponto ocorre De acordo com Schiel 1984 para seção retangular este valor ocorre na metade do lado maior pontos a e b ilustrados através da figura728 Na elipse pontos localizados no extremo do semieixo menor e no hexágono regular na metade do lado Na Fig 729a a carga é aplicada num plano de simetria Não há torção e τ VQ bI Na Fig 729b a carga é aplicada num plano que não é de simetria Há torção e flexão e τ VQ bI τT onde τT é como no item 75 Em ambos os casos a tensão normal é dada por σ MY I pois numa ou noutra situação o eixo do momento fletor é principal Existe na posição mostrada na Fig 729b um ponto onde a carga deve ser aplicada de modo que a seção fique livre de torção Este ponto é chamado centro de torção ou de cisalhamento Muitas vezes como veremos na ilustração a seguir o centro de torção se situa fora da seção dificultando a aplicação da carga neste ponto ficando a seção submetida à torção e flexão Ainda assim pode ser conveniente o uso da seção nesta posição Fig 729b pois apesar da dificuldade de cálculo temos um ganho no valor final das tensões pois o momento de inércia da seção na posição b é bem maior que na posição a Como ilustração consideremos uma viga canal Fig 730 As paredes deste perfil são admitidas tão finas que todos os cálculos podem ser baseados nas dimensões em relação à linha de centro das paredes Em função das forças externas P que atuam numa seção são desenvolvidas na seção os esforços cortantes V e F1 Para evitar a torção as forças externas P devem ser aplicadas de maneira a compensarem o conjugado interno F1h Assim devemos ter a Equilíbrio vertical P V b Equilíbrio de momentos Pe F1h onde e distância do centro de torção ao centro da alma F1 é determinado como a seguir F1 h 0 xdA h 0 xtdS F1 b 0 V I h 2 StdS F1 Vhtb2 2I Vhtb2 4I F1h Pe P V Vhtb2 4I h Ve e th2b2 4I I th3 12 2 bt3 12 bth h 2 2 Desprezando t3 temos I th3 12 bth2 2 th2 12 h 6b e th2b2 36b h 3b2 6b h e b 2 h 3b Notamos que a 0 e b2 b se b h e b2 c se b h e 0 d o centro de cisalhamento é uma característica da seção independe da magnitude da força externa bem como de sua aplicação e quando a seção tem um eixo de simetria o centro de cisalhamento está neste eixo Se dois eixos de simetria o centro de cisalhamento coincide com o centóide Para enriquecer esta ilustração consideremos um canal com seção b 100mm t 3mm h 150mm Fig 731 Figura 731a Figura 731b Respondamos as seguintes perguntas a Determine o centro de cisalhamento Solução e b 2 h 3b 100 2 150 300 40mm b Determine a distribuição da tensão de cisalhamento quando uma carga de 800 N está aplicada no centro de cisalhamento Solução Neste caso não há torção além de τ VQ bI ao longo da alma variando segundo uma parábola do 2º grau Capítulo 4 e ao longo das mesas linearmente como podemos mostrar com o auxílio da Fig 731b τS VSt tI h 2 ao longo de S é uma reta com τO 0 e τtb Vbh 2I Desta forma temos I 31502 12 150 6100 4218750mm4 τA τC 800100375 34218750 142 Nmm2 142 Mpa τB 80075 75 2 3 310075 34218750 196 Nmm2 196 Mpa τD τE 0 Valores representados graficamente na Fig 731c c Determine a tensão máxima de cisalhamento na seção quando 800 N for aplicada no centróide Solução Neste caso a carga está fora do centro de cisalhamento então haverá torção e também flexão sendo τ τV τT τVmax τB 196 Mpa τTmax A carga no centróide através de um artifício pode ser transportada para o centro de cisalhamento Fig 732 Onde T 800N40mm 29mm 552 Nm Para usar a Tab I destinada aos problemas de torção de seções não circulares podemos transformar a seção canal numa retangular da forma mostrada na Fig 733 τmáxT fracTWl onde W fbh f00086 rightarrow W 0333 de modo que τTmáx τT1 τT2 frac552102033303235 5262 102 Ncm2 τTmáx 5262 Mpa Devido ao cortante mostramos τTmáx na Fig 734 Logo de posse das Figuras 733 e 734 concluímos que a tensão máxima de cisalhamento ocorre no ponto 2 face interna e vale τmáx 5262 196 approx 5458 Mpa Uma outra seção de uso bastante comum onde a determinação do centro de cisalhamento é interessante é a cantoneira Seja uma força externa P perpendicular ao eixo principal Z Assim Mfletor se dá em torno de Z temos então flexão reta com σ fracMyI sendo LN Z Fig 735 Queremos encontrar o ponto onde aplicar P de modo que a seção possa fletem sem torção Admitindo P dirigida para cima as forças cortantes associadas F1 e F2 são como na Fig 736a e o cortante resultante V como na Fig 736b Concluise que para equilíbrio vertical e de momentos da seção P deve ser aplicado no ponto O sendo este o centro de cisalhamento da referida seção Um caso particular importante se dá quando as abas são verticais e horizontais Fig 737 Neste caso devido à pequena espessura apenas a aba vertical responde à força externa P Concluímos que para equilíbrio da seção P deve ser aplicada em O equilíbrio vertical e de momento Observemos que para equilíbrio horizontal não há forças na aba horizontal apesar de existir tensões de cisalhamento com sentidos contrários Fig 737a Numa seção como esta a distribuição de tensão de cisalhamento é mostrada na Figura 738 τA 0 pois a área à direita de A tem centróide coincidindo com a LN da seção de modo que τA fracVQbI 0 devido a Q 0 77 TENSÃO DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO OBLÍQUA Para que a fórmula τ fracVQbI possa ser usada é necessário que o eixo do momento fletor seja um eixo principal centroidal da seção o que não acontece na flexão oblíqua Desta forma tornase necessário decompor o esforço cortante para as direções principais Z e Y e a tensão de cisalhamento num ponto qualquer da seção será calculada pela soma das contribuições de Vz e Vy Para ilustrar este assunto seja expressar o comportamento da tensão de cisalhamento ao longo das abas da cantoneira de abas iguais Lbxbh mostrada na figura 739 Observase que 1 O esforço cortante está aplicado no centro de torção então a seção se encontra livre de torção e as tensões de cisalhamento são exclusivamente provocadas pelo esforço cortante 2 Tratase de flexão oblíqua então para uso da fórmula τ fracVQbI devese decompor o esforço cortante para as direções principais Z e Y figura 740 Após determinação do centróide a posição dos eixos principais Z e Y é mostrada na figura 741 Notar que o eixo Y 45 com as abas é de simetria Determinação da tensão de cisalhamento provocada pelo cortante VY figura 743 Este esforço cortante provoca momento fletor em torno do eixo Y que é principal então a tensão de cisalhamento pode ser calculada com a fórmula τ VQ bI 78 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Em relação à viga traçar LN em S1 e S2 e determinar as tensões normais máximas na viga Seção T com mesa 15 cm x 5 cm e alma 5 cm x 15 cm 2 O empuxo que atua no muro varia linearmente ao longo da altura tendo resultante 50 kNm Peso específico do material do muro é 20 kNm³ Determine a Tensões normais máximas no muro b Espessura do muro para não ocorrer tração 3 Considerando a coluna mostrada na figura a Verificar se ocorre tração b Determinar as tensões normais máximas c Sabendo que o material é frágil baixa resistência à tração trace LN na seção mais perigosa adotar σt 10 MPa e σc 50 MPa d Traçar LN na seção mais comprimida 4 Numa coluna com seção retangular 12x30 cm uma carga excêntrica provoca a LN indicada na figura Qual a posição da carga 5 Calcule as tensões normais máximas na viga Em relação ao eixo centroidal de inércia máxima o momento de inercia é 2109 cm⁴ 6 Determinar as tensões normais máximas na viga que tem seção L152x102x127 7 Sendo t 3 kNm determine a tensão de cisalhamento máxima e localize o ponto onde ocorre 8 Determinar a tensão de cisalhamento máxima e localizar o ponto onde ocorre 9 Determinar a tensão de cisalhamento máxima e localizar o ponto onde ocorre 10 Calcular as tensões normais máximas na base inferior da barragem considerando a barragem vazia e depois a barragem cheia 11 Para a barragem de gravidade determine o menor valor de a para que não haja tensão de tração na base quando a água atingir a altura máxima Neste caso determine a tensão máxima de compressão em MPa 12 Calcular as tensões normais na viga Seção em cm e P 55 kN Espessura 5cm Viga Seção da viga 13 Numa viga em balanço monoengastada de comprimento 3m atua uma carga uniformemente distribuída de 10 kNm ao longo de toda a viga e uma carga de compressão na extremidade livre na posição mostrada na figura Sabendo que a capacidade do material quanto à tração é de 90 MPa perguntase sobre a segurança da viga à tração Seção W 250x223 14 Uma chaminé com seção quadrada vazada é feita de um material que tem peso específico 20 kNm³ Essa chaminé se projeta 30 m acima do chão como mostra a figura e é presa engastada a um bloco de fundação feito do mesmo material da chaminé Considerando um vento de 2 kNm² com direção paralela a um dos lados da fundação e da chaminé determine as tensões normais máximas nas duas estruturas 15 Determinar a carga de proteção mínima P centrada que deve ser aplicada na viga para que a mesma fique livre de tração Seção 2 C130x10 16 Numa viga simplesmente apoiada nas extremidades além de seu próprio peso γ30 kNm³ atuam uma carga transversal de 10 kN no 1º terço do vão e uma carga axial de compressão de 50 kN na posição mostrada Sabendo que o material à tração é de 10 MPa comente sobre a segurança da viga quanto à tração 17 Um painel de propaganda de largura igual a 3 m e altura igual a 2 m encontrase fixado em um pilar de aço engastado na base ver figura Sabendose que o vento incidindo perpendicularmente ao painel causa sobre o mesmo uma pressão final de 080 kNm² pedese o cálculo da máxima tensão normal de compressão do pilar Deve ser considerado o peso próprio do painel e a pressão do vento sobre o pilar de aço Peso específico do aço γa 77 kNm³ 18 Foilhe solicitado examinar uma viga de concreto simplesmente apoiada de 20 m de vão Inspecionando o memorial justificativo você identificou que O concreto tem resistência à compressão fck 30 MPa O sistema construtivo introduziu esforço na viga o qual para efeito de análise da seção do meio do vão pode ser considerado como um esforço de compressão de 1750 kN aplicado no ponto A da seção mostrada na Figura abaixo A viga suporta a carga acidental de 20 kNm além da carga permanente de 12 kNm já com o peso próprio A seção transversal da viga tem A 0401 m² módulo de resistência em relação à borda superior Ws 01325 m³ e módulo de resistência em relação à borda inferior Wi 00993 m³ Responda utilizando a seção do meio do vão O limite 07 fck foi ultrapassado Sim ou não Justifique sua resposta 19 Determinar o núcleo central das seguintes seções Espessuraa4 20 Uma carga axial de compressão provoca na seção a LN indicada Determine a posição da carga 21 Traçar a linha neutra e determinar as tensões normais máximas nas seguintes seções 22 Em relação à coluna determine a linha neutra na seção inferior e a tensão normal nos pontos A B C D 23 Determinar o valor de a sabendo que σadmT 125 Kgf cm² e σadmC 250 Kgf cm² Determinar o centro de torção das seguintes seções Na primeira seção a espessura é 1cm na segunda é 06cm e na quarta é 04cm No text to extract