Análise Dimensional e Semelhança na Mecânica dos Fluidos

Mecânica dos fluidos Análise dimensional e semelhança UFPB CT DECA PROF ANA CRISTINA S DA SILVA Objetivos 1 Compreender dimensões unidades e homogeneidade dimensional 2 Compreender os benefícios da análise dimensional 3 Compreender o teorema de Pi 4Compreender o conceito de similaridade e como aplicálo à modelagem experimental Dimensões e Unidades Dimensão Unidade O que é dimensão e o que é unidade no exemplo Dimensões e Unidades As dimensões primárias da mecânica são força massa comprimento e tempo relacionadas pela 2 lei de Newton Unidade de força em Newton N kgms2 Dimensões das grandezas físicas usadas na Mecânica dos Fluidos base mLt Dimensões Primárias Unidade SI 1 Massa m kg 2 Comprimento L m 3 Tempo t sec 4 Temperatura T K 5 Corrente elétrica I A 6 Quantidade de luz C cd 7 Quantidade de matéria N mol Dimensões e Unidades Dimensões das grandezas físicas usadas na Mecânica dos Fluidos base FLt Dimensões Primárias Unidade SI 1 Força F kgf 2 Comprimento L m 3 Tempo t sec Dimensões não primárias Todas as dimensões não primárias podem ser formadas por uma combinação das 7 dimensões primárias Exemplos BASE MLT Velocidade Comprimento Tempo L t Força Massaaceleração Força ComprimentoMassa Tempo mL t2 Números adimensionais Exemplo escrever a equação dimensional de viscosidade cinemática na base FLT 𝑣 𝜇 𝜌 𝑜𝑛𝑑𝑒𝜌 mV Base FLT Equação dimensional 𝑣 𝜇 𝜌 𝑜𝑛𝑑𝑒𝜌 mV Exemplo viscosidade cinemática na base FLT Números adimensionais Número adimensional independe de todas as grandezas fundamentais dimensões primárias Número adimensional o número de Reynolds 𝑅𝑒 𝑉 𝐷ν ou Exemplo Reynolds Base FLT Os números adimensionais podem ser representados pela letra π F0L0T0 Alguns possuem nomes especiais como Número de Reynolds Re V D Vantagem da análise dimensional Exemplo Força de arrasto depende Diâmetro D velocidade v massa específica do fluido ρ viscosidade dinâmica µ FfDvρµ Vantagem da análise dimensional Supor números adimensionais Π1 𝐹 ρ𝑉2𝐷2 e Π2 ρ𝑉𝐷 µ que adimensional é Π2 Ainda não foi demonstrado como Π1 e Π2 foi obtido Eles possuem todas as variáveis da função em estudo FfDvρµ Variase v e medese F Podese tabelar Π1 e Π2 Π1 e Π2 estão interligados pela presença da velocidade em ambas expressões Π1Π2 Determinar a força de arrasto numa esfera de diâmetro de 1cm que se desloca em água ρ 1000kgm3 e µ 103 Nsm2 com velocidade de 1cms 1 Determine Π2ρ𝑉𝐷 µ 2 No gráfico é possível encontrar Π1 Com Π1 é possível encontrar a força F Teorema de Pi ou de Buckingham Como determinar parâmetros adimensionais Pis Π1 Π2 Π3 e Πn Seja um fenômeno físico em que intervêm n variáveis x1x2x3xn interligadas por uma função fx1x2x3xn 0 Demonstrase que existe outra função Π1 Π2 Πm 0 rigorosamente equivalente à anterior para o estudo do fenômeno indicado onde a Πi são números adimensionais independentes b a quantidade de números adimensionais mnr onde n número de grandezas envolvidas r número de grandezas fundamentais r3 por quê Os adimensionais são obtidos por Teorema de Pi Todos os primeiros r fatores são os mesmos muda o expoente O conjunto r é denominado o conjunto base das grandezas envolvidas grandezas independentes O último fator de cada adimensional será constituído de cada uma das grandezas não incluídas na base Exercício Vamos entender com exemplo Verificouse em laboratório que a força de arrasto que age numa esfera que se movimenta num fluido é dada por uma função do tipo F VD ρ µ Brunetti pg148 Exercício extra sala A velocidade de um corpo em queda livre é função somente da aceleração da gravidade g e da altura da queda livre h Determine a função de números adimensionais referente ao fenômeno Brunetti pg149 Alguns números adimensionais Número de Reynolds Forças de InérciaForças Viscosas Re FiFµ Quanto maior o número de Reynolds maior ou menor será a força viscosa Valores muito elevados de Reynolds representam efeitos desprezíveis da viscosidade no Fenômeno Re V D Alguns números adimensionais Número de Euler Eu indica relação entre forças de pressão e forças de inércia no escoamento de um fluido Escoamento em tubos máquinas hidráulicas em torno de perfis Eu pρv2 Número de Froude Fr relação entre forças de inércia e forças devidas à aceleração de gravidade Escoamento em canais vertedouros Frv2Lg Semelhança e teoria do modelo Na realidade muitas equações são desconhecidas e de difícil solução Experimentação para economia de tempo e dinheiro Testes em modelos em escalas geométricas em vez de um protótipo em escala natural Exemplo modelo navio Çengel e Cimbala 2015 Semelhança e teoria do modelo Necessidade de atendimento de três condições para a similaridade completa entre modelo e protótipo Similaridade Geométrica Similaridade Cinemática Similaridade Dinâmica Semelhança e teoria do modelo Similaridade Geométrica O modelo deve ter a mesma forma do protótipo pode ser escalonado com algum fator de escala constante Semelhança e teoria do modelo Similaridade Cinemática As velocidades das partículas de fluidos homologas deverão manter uma relação constante Semelhança e teoria do modelo Similaridade Dinâmica Forças que agem em pontos homólogos deverão manter relações constantes Semelhança e teoria do modelo Para que todas essas condições sejam obtidas verificase que os adimensionais referentes ao protótipo devem ser iguais aos respectivos adimensionais referentes ao modelo Se por construção essa igualdade é conseguida dizse que o fenômeno referente ao protótipo e o referente ao modelo mantêm uma semelhança completa Notese que nem sempre isso é possível e depende da experiência do pesquisador de associar ao protótipo os resultados obtidos no modelo Escalas de semelhança Chamase escala de semelhança a relação entre uma grandeza referente ao modelo e a mesma grandeza referente ao protótipo As escalas de semelhança serão indicadas pelo símbolo K Por exemplo 𝐾𝐿 𝐿𝑚 𝐿𝑝 escala geométrica 𝐾𝑣 𝑣𝑚 𝑣𝑝 escala das velocidades 𝐾μ μ𝑚 μ𝑝 escala das viscosidades Ou genericamente 𝐾𝑥 𝑋𝑚 𝑋𝑝 x representa uma grandeza física qualquer referente ao fenômeno Semelhança e teoria do modelo Para que modelo e protótipo mantenham semelhança completa é necessária a igualdade dos respectivos números adimensionais Tal igualdade conduz a relações entre escalas que deverão ser observadas para que os resultados referentes ao modelo tenham significado para o protótipo A seguir serão determinadas essas relações quando Re Eu e Fr forem adimensionais característicos do fenômeno Semelhança e teoria do modelo a Rem Rep 𝜌𝑚𝑣𝑚𝐿𝑚 𝜇𝑚 𝜌𝑝𝑣𝑝𝐿𝑝 𝜇𝑝 ou 𝜇𝑚 𝜇𝑝 𝜌𝑚𝑣𝑚𝐿𝑚 𝜌𝑝𝑣𝑝𝐿𝑝 Logo Kμ KpKvKL bEum Eup 𝐹𝑚 𝜌𝑚𝑣𝑚²𝐿𝑚² 𝐹𝑝 𝜌𝑝𝑣𝑝²𝐿𝑝² ou 𝐹𝑚 𝐹𝑝 𝜌𝑚𝑣𝑚²𝐿𝑚² 𝜌𝑝𝑣𝑝²𝐿𝑝² Logo KF KpKv² KL ² c Frm Frp 𝑣𝑚² 𝑔𝑚𝐿𝑚 𝑣𝑝² 𝑔𝑝𝐿𝑝ou 𝑣𝑚² 𝑣𝑝² 𝑔𝑚𝐿𝑚 𝑔𝑝𝐿𝑝 Logo Kv² KgKL Exemplo Querse determinar a força de arrasto que age no sonar de submarino por meio de testes efetuados com um modelo na escala 15 Os testes são realizados em água a 20ºC a uma velocidade de 60 km h e a força de arrasto medida é 30 N Sabendo que o protótipo será utilizado em água a 40ºC calcular a velocidade do submarino em condições de semelhança completa e nessas condições determinar a força de arrasto correspondente Referências biblioteca virtual SIGAA BRUNETTI Franco Mecânica dos Fluidos São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 2006 410p ISBN 8587918990 httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao432pdf0 CIMBALA John M et al Mecânica dos Fluidos fundamentos e aplicações São Paulo McGrawHill 2007 2011 816p ISBN 9788586804588