Analise-Matricial-de-Trellicas-Definicoes-e-Aplicacoes

Universidade Federal da Paraíba Laboratório de Modelos Físicos Qualitativos e Computacionais Análise Estrutural II Angelo Vieira Mendonça Análise Matricial de Treliças 1Definições e Ocorrências Típicas 2Energia de Deformação e Trabalho das Cargas 3Matriz de Rigidez Local 4Transformação de Sistemas de Coordenadas 5Matriz de Rigidez Global 6 Vetores de Força 7Matriz de Rigidez e Vetores da Estrutura 8Aplicação de cargas e prescrições em nós da Estrutura 9Resolução do Sistema Algébrico 10Determinação das Reações de Apoio 11Determinação dos Esforços nas Barras 12Aplicações Adicionais 1 Definições 1 Definições Treliças fazem parte do conjunto de estruturas reticuladas que possuem características especiais onde as barras estão unidas entre si por articulações dispostas em triângulos no plano ou no espaço e sujeitas apenas a cargas aplicadas nas articulações nós conforme indicado na Fig1 Ocorrências Típicas As aplicações de treliças são amplas cobertas torres pontes etc como mostrado na Fig2 Figura 2 2Energia de Deformação e Trabalho das Cargas 2Energia de Deformação e Trabalho das Cargas Seja um corpo submetido a um estado axial de tensões fig3a mobilizando um estado de deformações correspondentes Na fig3b temse a relação constitutiva de um material elástico linear A densidade energia interna armazenada em um corpo deformável chamada de densidade de energia de deformação é dada por No caso de corpos elásticos submetidos a um estado triplo de tensões a densidade de energia de deformação fica Se o material do corpo for homogêneo elásticolinear e isótropo a densidade de energia pode ser reescrita como Onde E é o módulo de elasticidade longitudinal G o módulo de elasticidade transversal n o coeficiente de Poisson Já a energia de deformação elástica é dada por Energia de deformação em barras axialmente solicitadas Energia de deformação em barras axialmente solicitadas Se a barra for admitida a ser constituída de um material homogêneo isotrópico elastolinear b estar submetida a pequenos campos de deslocamentos e deformações c conservar a planicidade da seção transversal durante a deformação d desprezar o efeito de Poisson e desenvolver tensões axiais uniformes ao longo da seção transversal da barra então as tensões axiais e deformações axiais ficam onde N é a força normal A é a área da seção transversal Assim a energia de deformação da barra é dada por Princípio dos Trabalhos VirtuaisPTV Quando escrita apenas em termos de esforços o trabalho das forças internas fica escrita como Se o sistema A for a estrutura real N e o B for o virtual real o N A N B N trabalho das forças internas fica escrita como Se for a carga virtual aplicada em um determinado ponto da estrutura no P sistema B e for o deslocamento real neste mesmo ponto causado pela carga real no δ sistema A então o trabalho virtual externo fica Finalmente igualandose o trabalho das forças internas e externas tem se o deslocamento final Aplicações Aplicações Dados E 210 GPa A 6000 mm 2 α 12 106 γ 77 kN m3 Exemplo1 Treliças Planas coord2D 2 6 0 8 8 8 0 0 m inc2D 1 1 1 2 2 3 4 2 3 4 Exemplo 2 Treliça Espacial coord3D 0 0 0 3 0 16 0 0 12 0 2 0 m inc3D 1 2 3 4 4 4 3Matriz de Rigidez Local 3Matriz de Rigidez Local A matriz de rigidez da barra pode ser obtida diretamente pelo aplicação do método dos deslocamento ou indiretamente pela inversão da matriz de flexibilidade usando o método das forças O método dos deslocamentos tem como ideia básica determinar dentro do conjunto de soluções em deslocamentos que satisfazem as condições de compatibilidade qual solução faz com que as condições de equilíbrio também sejam satisfeitas Seja uma barra de treliça submetida a duas forças axiais f1f2 conforme indicado no sistema local de coordenadas st na Fig6 Utilizando o método dos deslocamentos onde deslocamento u1 é imposto no nó1 e reações em forças são computadas nos nós 1 e 2 conforme indicado na figura 7a Analogamente deslocamento u2 é imposto no nó2 com as respectivas reações mobilizadas nos nós 1 e 2 conforme mostrado na Figura 7bc Fazendo o equilíbrio das forças f1 f2 e das reações superpostas decorrentes dos deslocamentos u1 e u2 em cada um dos nós um sistema de equações fica E A L u1 E A L u2 f1 E A L u1 E A L u2 f2 Ou matricialmente k u f onde k é a matriz de rigidez local k E A L 1 1 1 1 f f1 f2 função de rigidez local kL E A L E A L 1 1 1 1 4Transformação de Sistemas de Coordenadas Treliça 2D 4Transformação de Sistemas de Coordenadas Treliça 2D A soma algébrica em problemas não colineares pode ser feita utilizando dois sistemas distintos um local para cada elemento e um único sistema global associado à estrutura conforme indicado na Figura 8 Os deslocamentos locais u1u2 podem ser escritos em função dos deslocamentos globais da barra como ou matricialmente ou matricialmente com sendo a matriz de incidência cinemática β onde Cx Cy definidos como cossenos diretores As coordenadas dos Nos 1 e 2 dadas respectivamente por x1y1 x2y2 Função de cálculo de geometria e Matriz de Incidência cinemática geometria noi noj coord Xi Xj Yi Yj coord 0 noi 1 coord 0 noj 1 coord 1 noi 1 coord 1 noj 1 Δx Δy Xj Xi Yj Yi L Δx2 Δy2 Cx Cy Δx L Δy L L Cx Cy β Cx Cy Cx Cy 0 0 0 0 Cx Cy 4Transformação de Sistemas de Coordenadas Treliça 3D 4Transformação de Sistemas de Coordenadas Treliça 3D Seja uma treliça espacial e seus graus de liberdade conforme mostrado na Figura 9 Os deslocamentos locais u1u2 podem ser escritos em função dos deslocamentos globais da barra como ou matricialmente ou matricialmente com sendo a matriz de incidência cinemática β onde Cx Cy Cz definidos como cossenos diretores As coordenadas dos Nos 1 e 2 dadas respectivamente por x1y1z1 x2y2z2 Função de cálculo de geometria e matriz de incidência β3d Cx Cy Cz Cx Cy Cz 0 0 0 0 0 0 Cx Cy Cz geometria3d noi noj coord Xi Xj Yi Yj Zi Zj coord 0 noi 1 coord 0 noj 1 coord 1 noi 1 coord 1 noj 1 coord 2 noi 1 coord 2 noj 1 Δx Δy Δz Xj Xi Yj Yi Zj Zi L Δx2 Δy2 Δz2 Cx Cy Cz Δx L Δy L Δz L L Cx Cy Cz 5Matriz de Rigidez Global obtenção direta 5Matriz de Rigidez Global obtenção direta Fazendose o equilíbrio global da barra fica E L A Cx2 Cx Cy Cx2 Cx Cy Cx Cy Cy2 Cx Cy Cy2 Cx2 Cx Cy Cx2 Cx Cy Cx Cy Cy2 Cx Cy Cy2 U1x U1y U2x U2y F1x F1y F2x F2y 5Matriz de Rigidez Global obtenção via energia Como a energia de deformação é escalar constitui um invariante de direção Isto implica que a energia calculada no sistema local é igual à energia computada no sistema global Assim a seguinte relação pode ser escrita πp uT ku UT kg U Vetores de deslocamento onde k u sistema local kg U sistema global Matrizes de rigidez Se u βU for substituído na energia de deformação fica πp UT βT kβ U UT kg U Assim a matriz de rigidez global da barra pode ser escrita como kg βT kβ Calcular as matriz de rigidez local incidência cinemática e matriz de rigidez global de todas as barras das treliças dos exemplos 1 e 2 5Matriz de Rigidez Global Exemplo1 barra 13 noi 1 noj 3 L13 Cx13 Cy13 geometria noi noj coord2D k13 kL E A L13 β13 β Cx13 Cy13 kg13 β13T k13 β13 k13 152797 152797 152797 152797 MN m β13 0243 097 0 0 0 0 0243 097 kg13 8988 35952 8988 35952 35952 143809 35952 143809 8988 35952 8988 35952 35952 143809 35952 143809 MN m barra 14 noi 1 noj 4 L14 Cx14 Cy14 geometria noi noj coord2D k14 kL E A L14 β14 β Cx14 Cy14 kg14 β14T k14 β14 k14 126 126 126 126 MN m β14 06 08 0 0 0 0 06 08 kg14 4536 6048 4536 6048 6048 8064 6048 8064 4536 6048 4536 6048 6048 8064 6048 8064 MN m barra 12 noi 1 noj 2 L12 Cx12 Cy12 geometria noi noj coord2D k12 kL E A L12 β12 β Cx12 Cy12 kg12 β12T k12 β12 k12 315 315 315 315 MN m β12 1 0 0 0 0 0 1 0 kg12 315 0 315 0 0 0 0 0 315 0 315 0 0 0 0 0 MN m 5Matriz de Rigidez Global Exemplo1 5Matriz de Rigidez Global Exemplo1 barra 23 noi 2 noj 3 L23 Cx23 Cy23 geometria noi noj coord2D k23 kL E A L23 β23 β Cx23 Cy23 kg23 β23T k23 β23 k23 126 126 126 126 MN m β23 06 08 0 0 0 0 06 08 kg23 4536 6048 4536 6048 6048 8064 6048 8064 4536 6048 4536 6048 6048 8064 6048 8064 MN m barra 24 noi 2 noj 4 L24 Cx24 Cy24 geometria noi noj coord2D k24 kL E A L24 β24 β Cx24 Cy24 kg24 β24T k24 β24 k24 152797 152797 152797 152797 MN m β24 0243 097 0 0 0 0 0243 097 kg24 8988 35952 8988 35952 35952 143809 35952 143809 8988 35952 8988 35952 35952 143809 35952 143809 MN m 5Matriz de Rigidez Global Exemplo2 5Matriz de Rigidez Global Exemplo2 barra 14 noi 1 noj 4 L14 Cx14 Cy14 Cz14 geometria3d noi noj coord3D k14 kL E A L14 β14 β3d Cx14 Cy14 Cz14 kg14 β14T k14 β14 k14 38996 38996 38996 38996 MN m β14 0928 0 0371 0 0 0 0 0 0 0928 0 0371 kg14 336173 0 134469 336173 0 134469 0 0 0 0 0 0 134469 0 53788 134469 0 53788 336173 0 134469 336173 0 134469 0 0 0 0 0 0 134469 0 53788 134469 0 53788 MN m barra 24 noi 2 noj 4 L24 Cx24 Cy24 Cz24 geometria3d noi noj coord3D k24 kL E A L24 β24 β3d Cx24 Cy24 Cz24 kg24 β24T k24 β24 k24 370588 370588 370588 370588 MN m β24 0882 0471 0 0 0 0 0 0 0 0882 0471 0 kg24 28852 153877 0 28852 153877 0 153877 82068 0 153877 82068 0 0 0 0 0 0 0 28852 153877 0 28852 153877 0 153877 82068 0 153877 82068 0 0 0 0 0 0 0 MN m barra 34 noi 3 noj 4 L34 Cx34 Cy34 Cz34 geometria3d noi noj coord3D k34 kL E A L34 β34 β3d Cx34 Cy34 Cz34 kg34 β34T k34 β34 k34 349461 349461 349461 349461 MN m β34 0832 0 0555 0 0 0 0 0 0 0832 0 0555 kg34 241935 0 16129 241935 0 16129 0 0 0 0 0 0 16129 0 107526 16129 0 107526 241935 0 16129 241935 0 16129 0 0 0 0 0 0 16129 0 107526 16129 0 107526 MN m 6Vetor de Força Nodal Equivalente kg34 241935 0 16129 241935 0 16129 0 0 0 0 0 0 16129 0 107526 16129 0 107526 241935 0 16129 241935 0 16129 0 0 0 0 0 0 16129 0 107526 16129 0 107526 MN m 6Vetor de Força Nodal Equivalente Determinar os vetores nodais globais das barras 14 e 24 dos exemplos 1 e 2 sabendo que além das forças gravitacionais em toda estrutura a barra 14 também está submetida a uma variação de temperatura de 10 C Treliça Plana Δθ 10 γx 0 γy γ f E A α Δθ barra 24 noi 2 noj 4 L24 Cx24 Cy24 geometria noi noj coord2D barra 14 noi 1 noj 4 L14 Cx14 Cy14 geometria noi noj coord2D pG14 Cx14 0 Cy14 0 0 Cx14 0 Cy14 f 1 1 L14 2 A γx γy γx γy pG24 L24 2 A γx γy γx γy pG14 9072 9786 9072 9786 kN pG24 0 1905 0 1905 kN 6Vetor de Força Nodal Equivalente 6Vetor de Força Nodal Equivalente Treliça Espacial Δθ 10 γx 0 f E A α Δθ x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4 coord3D γy γ γz 0 barra 14 noi 1 noj 4 L14 Cx14 Cy14 Cz14 geometria3d noi noj coord3D pG14 Cx14 0 Cy14 0 Cz14 0 0 Cx14 0 Cy14 0 Cz14 f 1 1 L14 2 A γx γy γz γx γy γz pG14 14039 0746 5615 14039 0746 5615 kN barra 24 noi 2 noj 4 L24 Cx24 Cy24 Cz24 geometria3d noi noj coord3D pG24 L24 2 A γx γy γz γx γy γz pG24 0 0785 0 0 0785 0 kN 7Matriz de Rigidez da Estrutura 7Matriz de Rigidez da Estrutura O posicionamento dos elementos da matriz de rigidez global kg de uma barra de treliça plana orientada de i para j na matriz de rigidez da estrutura Kest segue uma transformação indicada na Figura 12 No caso de treliça espacial que possui três graus de liberdade por cada nó o posicionamento da matriz global da barra na estrutura está indicada na Figura 13 Quando cada nó da barra tiver um número genérico de graus de liberdade nvar o posicionamento da contribuição elemental na estrutura pode ser feita como a função indicada a seguir Montagem Kest I J kg nvar for i 0 nvar 1 for j 0 nvar 1 Kest I i I j Kest I i I j kg i j Kest I i J j Kest I i J j kg i j nvar Kest J i I j Kest J i I j kg i nvar j Kest J i J j Kest J i J j kg i nvar j nvar Kest onde Invar i1 e Jnvar j1 Kest é a matriz de rigidez da estrutura e kg é a matriz de rigidez global da barra ZerarMatrix coord for i 0 rows coord cols coord 1 for j 0 rows coord cols coord 1 valor i j 0 N m valor Montar a matriz de rigidez da estrutura do exemplo 1 treliça plana Kest ZerarMatrixcoord2D nvar rowscoord2D barra 13 noi 1 noj 3 L13 Cx13 Cy13 geometria noi noj coord2D β13 β Cx13 Cy13 k13 kL E A L13 Kest Montagem Kest nvar noi 1 nvar noj 1 β13T k13 β13 nvar barra 14 noi 1 noj 4 L14 Cx14 Cy14 geometria noi noj coord2D k14 kL E A L14 β14 β Cx14 Cy14 Kest Montagem Kest nvar noi 1 nvar noj 1 β14T k14 β14 nvar barra 12 noi 1 noj 2 L12 Cx12 Cy12 geometria noi noj coord2D k12 kL E A L12 β12 β Cx12 Cy12 Kest Montagem Kest nvar noi 1 nvar noj 1 β12T k12 β12 nvar barra 23 noi 2 noj 3 L23 Cx23 Cy23 geometria noi noj coord2D k23 kL E A L23 β23 β Cx23 Cy23 Kest Montagem Kest nvar noi 1 nvar noj 1 β23T k23 β23 nvar barra 24 noi 2 noj 4 L24 Cx24 Cy24 geometria noi noj coord2D k24 kL E A L24 β24 β Cx24 Cy24 Kest Montagem Kest nvar noi 1 nvar noj 1 β24T k24 β24 nvar Kest 369348 24528 315 0 8988 35952 4536 6048 24528 224449 0 0 35952 143809 6048 8064 315 0 369348 24528 4536 6048 8988 35952 0 0 24528 224449 6048 8064 35952 143809 8988 35952 4536 6048 54348 96432 0 0 35952 143809 6048 8064 96432 224449 0 0 4536 6048 8988 35952 0 0 54348 96432 6048 8064 35952 143809 0 0 96432 224449 MN m Montar a matriz de rigidez da estrutura do exemplo 2 treliça plana Kest3D ZerarMatrixcoord3D nvar rowscoord3D barra 14 noi 1 noj 4 L14 Cx14 Cy14 Cz14 geometria3d noi noj coord3D k14 kL E A L14 β14 β3d Cx14 Cy14 Cz14 Kest3D Montagem Kest3D nvar noi 1 nvar noj 1 β14T k14 β14 nvar barra 24 noi 2 noj 4 L24 Cx24 Cy24 Cz24 geometria3d noi noj coord3D k24 kL E A L24 β24 β3d Cx24 Cy24 Cz24 Kest3D Montagem Kest3D nvar noi 1 nvar noj 1 β24T k24 β24 nvar barra 34 noi 3 noj 4 L34 Cx34 Cy34 Cz34 geometria3d noi noj coord3D k34 kL E A L34 β34 β3d Cx34 Cy34 Cz34 Kest3D Montagem Kest3D nvar noi 1 nvar noj 1 β34T k34 β34 nvar Kest3D 336173 0 134469 0 0 0 0 0 0 336173 0 134469 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 134469 0 53788 0 0 0 0 0 0 134469 0 53788 0 0 0 28852 153877 0 0 0 0 28852 153877 0 0 0 0 153877 82068 0 0 0 0 153877 82068 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 241935 0 16129 241935 0 16129 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16129 0 107526 16129 0 107526 336173 0 134469 28852 153877 0 241935 0 16129 866627 153877 26821 0 0 0 153877 82068 0 0 0 0 153877 82068 0 134469 0 53788 0 0 0 16129 0 107526 26821 0 161314 MN m 8Aplicação de Prescrições em nós da Estrutura Na figura 14a estão indicados várias natureza de prescrições de nós na da treliça plana e na Figura 14b está mostrada configuração deformada da estrutura O nó i está verticalmente restringido por um vínculo rígido enquanto na horizontal está elasticamente vinculado O nó j está submetido a prescrições em força associadas a cargas concentradas F1F2 nas direções vertical e horizontal O nó p está submetido a um recalque vertical de Δ Algumas matrizes auxiliares podem ser criadas para armazenar as informações dos nós A matriz presc guarda valores 1 ou 0 para casos de ativaçãodesativação dos graus de liberdade em deslocamento nos nós Já a matriz d armazena os valores dos deslocamentos impostos nos graus de liberdade e a matriz f guarda os valores das forças impostas As matrizes de informações dos nós são formadas de modo que a primeira linha está associada à direção global x e a segunda linha à direção y Já as colunas estão associadas à numeração dos nós na estrutura No caso específico da estrutura da Fig14 as matrizes ficam presc 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δ f 0 F2 0 0 0 0 F1 0 0 0 Convém notar que as matrizes presc d f devem ser transformadas respectivamente em vetores da estrutura cond Uest e Fest para possibilitar operações no sistema algébrico da estrutura cond T 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 Uest T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δ Fest T 0 0 F2 F1 0 0 0 0 0 0 A ideia de montagem de treliça que possui dois graus de liberdade por nó pode ser extendido para problema que tenham um número genérico de graus de liberdade nvar por nó que no caso de treliça espacial nvar3 Uma função para fazer esta montagem pode ser expressa por MontagemVetor Fest no f nvar I nvar no nvar for i 0 nvar 1 Fest I i Fest I i f i no 1 Fest Quando os vínculos elásticos são submetidos a deslocamentos eles trabalham Assim as rigidezes pontuais dos vínculos elásticos podem ser guardados em uma matriz kbase e superposta diretamente na diagonal principal da matriz de rigidez da estrutura na posição correspondente do nó i e direção j em que o vinculo elástico definido Kest I j I j Kest I j I j kbase j i onde i 1 nnos j 1 nvar I nvar i 1 ZerarVetor coord uni for i 0 rows coord cols coord 1 valor i 0 uni valor Montar os Vetores de Carga Prescrição Deslocamento da Estrutura do Exemplo 1 Além disso incorporar a rigidez dos apoios elásticos na estrutura Assumir que o apoio da direita nó 4 Fig5 possui vínculos elásticos com rigidez kEA10 kbase E A 10 m 0 0 0 1 0 0 0 1 presc 0 0 1 0 0 0 1 0 temp 0 10 0 0 u 0 0 0 0 0 0 0 0 cm f 180 0 0 0 360 360 0 0 kN nvar rowscoord2D cond ZerarVetor coord2D 1 Uest ZerarVetor coord2D 1 cm Fest ZerarVetor coord2D 1 kN cond MontagemVetor cond 3 presc nvar Uest MontagemVetor Uest 3 u nvar Fest MontagemVetor Fest 1 f nvar Fest MontagemVetor Fest 2 f nvar cond 0 0 0 0 1 1 0 0 Uest 0 0 0 0 0 0 0 0 m Fest 180 360 0 360 0 0 0 0 kN no 4 I nvar no 1 Kest I 0 I 0 Kest I 0 I 0 kbase 0 no 1 Kest I 1 I 1 Kest I 1 I 1 kbase 1 no 1 Kest 369348 24528 315 0 8988 35952 4536 6048 24528 224449 0 0 35952 143809 6048 8064 315 0 369348 24528 4536 6048 8988 35952 0 0 24528 224449 6048 8064 35952 143809 8988 35952 4536 6048 54348 96432 0 0 35952 143809 6048 8064 96432 224449 0 0 4536 6048 8988 35952 0 0 180348 96432 6048 8064 35952 143809 0 0 96432 350449 MN m 9Resolução do Sistema Algébrico e Reações de Apoio Desde que prescrições com vínculos rígidos ou elásticos ainda não tenham sido inseridos no sistema algébrico da estrutura ele pode ser escrito por Kest Uest Fest Convém notar que apesar de se ter Kest e Fest já formados a determinação do Uest não pode ainda ser determinada devido a algumas propriedades da matriz de rigidez da estrutura Fisicamente esse efeito singular decorre do fato de que todos os movimentos de corpo rígido do problema ainda não foram eliminados caracterizando um problema estático Até o momento é uma realidade já que foi suposto que nem vínculos rígidos nem elásticos foram inseridos no problema Assim as prescrições em deslocamentos pode ser inseridas no sistema basicamente de três maneiras a depender da natureza dos vínculos e valores impostos aos deslocamentos recalques Método 1 diagonal unitária é apropriado para casos em que não há recalques impostos e requerendo também que parte dos vínculos sejam rígidos Na posição dos graus de liberdade da estrutura onde existem vínculos rígidos aplicados é necessário alterações prévias inserindo linhas e colunaszero na matriz de rigidez original Em seguida fazse da atribuição de um valor unitário na diagonal principal na posição do vinculo rígido estudado Seja uma matriz 3x3 onde o segundo grau de liberdade da estrutura está prescrito com um vínculo rígido k11 k12 k13 k12 k22 k23 k13 k23 k33 u1 u2 u3 f1 f2 f3 Aplicandose o procedimento do método 1 o sistema final fica k11 0 k13 0 1 0 k13 0 k33 u1 u2 u3 f1 0 f3 Aplicação do Método 1 diagonal unitária no Exemplo 1 DiagonalUnitaria n K F c p p2 for i 0 n 1 if c i 1 for j 0 n 1 K i j 0 p K j i 0 p K i i 1 p F i 0 p2 K F uni 1 kN m uni2 kN ntotal rowscoord2D colscoord2D Kest1 Fest1 DiagonalUnitaria ntotal Kest Fest cond uni uni2 Kest1 369348 24528 315 0 0 0 4536 6048 24528 224449 0 0 0 0 6048 8064 315 0 369348 24528 0 0 8988 35952 0 0 24528 224449 0 0 35952 143809 0 0 0 0 0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0001 0 0 4536 6048 8988 35952 0 0 180348 96432 6048 8064 35952 143809 0 0 96432 350449 MN m Fest1T 180 360 0 360 0 0 0 0 kN Uest1 Kest11 Fest1 Fest1 180 360 0 360 0 0 0 0 kN Uest1 0007 0003 0007 0005 0 0 0002 0004 m Método 2 Vínculo de Rigidez Finita é apropriado para casos em que não há recalques impostos A ideia do método é assumir todos os vínculos do problema como elástico rigidez finita Com isso todas as rigidezes de mola são superpostas na diagonal da matriz de rigidez da estrutura fazendo com ela deixe de ser singular Assim o sistema pode ser resolvido sem nenhuma alteração adicional Caso existam vínculos rígidos no problema basta assumir valores suficientemente elevados para as constantes de mola dos vínculos elásticos k11 k12 k13 k12 k22 k k23 k13 k23 k33 u1 u2 u3 f1 f2 f3 Se o vinculo 2 for rígido u20 então basta k valor elevado Aplicação do Método 2 apoios elásticos no Exemplo 1 O método requer que o apoio rígido do nó 3 seja transformado em vínculos elásticos o que desencadeia a necessidade de atualizar nos dados de entrada presc que o nó 3 está livre de prescrição valor 1010 kN m rigidez elevada atribuída para simular um vínculo rígido kbase 0 0 valor E A 10 m 0 0 valor E A 10 m presc 0 0 0 0 0 0 0 0 matriz atualizada no 3 Kest2 Kest I nvar no 1 Kest2 I 0 I 0 Kest2 I 0 I 0 kbase 0 no 1 Kest2 I 1 I 1 Kest2 I 1 I 1 kbase 1 no 1 Uest2 Kest21 Fest Uest2T 0007 0003 0007 0005 5544 109 18 108 0002 0004 m Método 3 Condensação Estática tem aplicabilidade geral inclusive quando há recalques impostos A ideia do método é incialmente fazer uma separação dos campos conhecidosR e dos que ainda são incógnitosF A partir daí fazse uma condensação estática resultando em um sistema de equação menor para se resolver Se u2 é um valor prescrito com valor nulo ou outro qualquer implica que ele é um campo conhecido Então é necessário que se faça um agrupamento de valores conhecidos e incógnitos de tal forma que o sistema deve ser alterado para k22 k12 k23 k12 k11 k13 k23 k13 k33 u2 u1 u3 f2 f1 f3 Uma função para fazer o agrupamento de valores conhecidos e incógnitos particao condcontorno A f u ntotal rows condcontorno npres 0 for i 0 ntotal 1 npres if condcontorno i 1 npres 1 npres j 1 k ntotal npres 1 for i 0 ntotal 1 if else condcontorno i 1 j j 1 col j i k k 1 col k i for i 0 ntotal 1 F i U i f col i u col i for j 0 ntotal 1 B i j A col i col j F B U npres col KRR k22 KRL k12 k23 KLL k11 k13 k13 k33 KLR k12 k23 UR u2 FR f2 UL u1 u3 FL f1 f3 Uma função para identificação das submatrizes e subvetores envolvidos Uma função para identificação das submatrizes e subvetores envolvidos Subestrut Kest Fest desl cc F K Desl n col particao cc Kest Fest desl ntotal rows Kest n1 n2 n3 ntotal n 1 ntotal n ntotal 1 KLL KLR submatrix K 0 n1 0 n1 submatrix K 0 n1 n2 n3 KRL KRR submatrix K n2 n3 0 n1 submatrix K n2 n3 n2 n3 FL UR submatrix F 0 n1 0 0 submatrix Desl n2 n3 0 0 KLL KLR FL col KRL KRR UR n Agora é fazer a condensação estática KLL UL FL KLR UR Finalmente as incógnitas são determinadas UL KLL1 FL KLR UR Além disso também pode ser determinada por FR FR KRR UR KRL UL Aplicação o Método da Condensação Estática no Exemplo 1 Fase 1 Reorientação da matriz e vetores para separar os valores conhecidos R dos incógnitosL Fase 2 Extração das submatrizes KLL KLR FL col KRL KRR UR n Subestrut Kest Fest Uest cond KLL 369348 24528 315 0 4536 6048 24528 224449 0 0 6048 8064 315 0 369348 24528 8988 35952 0 0 24528 224449 35952 143809 4536 6048 8988 35952 180348 96432 6048 8064 35952 143809 96432 350449 MN m KLR 8988 35952 35952 143809 4536 6048 6048 8064 0 0 0 0 MN m KRR 54348 96432 96432 224449 MN m KRL 8988 35952 4536 6048 0 0 35952 143809 6048 8064 0 0 MN m FLT 180 360 0 360 0 0 kN UR 0 0 m Determinação dos deslocamentos incógnitos UL KLL1 FL KLR UR ULT 0007 0003 0007 0005 0002 0004 m Determinação das reações de apoio FR FR KRR UR KRL UL FR 55437 180 kN kbase 0 0 1 107 126 0 0 1 107 126 MN m Empilhando os vetores de deslocamento e forca da estrutura Up stack UL UR Fp stack FL FR Retornando os vetores de deslocamento e forca da estrutura à ordenação original do problema Reordena x col ntotal rows col for k 0 ntotal 1 valor col k x k valor Fbase u kb nvar for i 1 cols kb I nvar i 1 for j 0 nvar 1 v I j kb j i 1 u I j v Uest3 Reordena Up col Fest3 Reordena Fp col Fmola Fbase Uest3 kbase 2 Uest3T 0007 0003 0007 0005 0 0 0002 0004 m Fest3T 180 360 0 360 55437 180 0 0 kN FmolaT 0 0 0 0 0 0 235437 540 kN Cálculo das Reações de Apoio As reações podem ser determinadas pelo produto da matriz de rigidez original Kest sem a inserção das condições de contorno pelo vetor de deslocamento calculado Uest menos o vetor de carga original da estrutura Fest Reacao Kest Uest Fest Fmola ou Reacao Festr Fest Fmola Reacao1 Kest Uest1 Fest Fmola Reacao2 Kest Uest2 Fest Fmola Reacao3 Kest Uest3 Fest Fmola Reacao1T 7276 1013 1164 1013 6112 1013 2328 1013 55437 180 235437 540 kN Reacao2T 8731 1014 5821 1014 4366 1013 0 55437 180 235437 540 kN Reacao3T 7276 1013 1164 1013 6112 1013 2328 1013 55437 180 235437 540 kN 11Determinação dos Esforços nas Barras 11Determinação dos Esforços nas Barras A determinação dos esforços em cada barra é feita pelo produto da matriz de rigidez local pelo deslocamento local subtraído do vetor nodal equivalente local fL kL uL pL onde kL E A L 1 1 1 1 pL E A α Δθ 1 1 O deslocamento local uL é obtido a partir da transformação do deslocamento global uG da barra uL β uG onde β Cx Cy 0 0 0 0 Cx Cy β Cx Cy Cz 0 0 0 0 0 0 Cx Cy Cz treliça plana treliça espacial Se ij forem os nós inicial e final da barra o deslocamento global da barra de treliça plana pode ser obtido do vetor de deslocamentos da estrutura Uest como mostrado I 2 i 2 uG Uest I 1 Uest I Uest J 1 Uest J com J 2 j 2 No caso de treliça espacial os deslocamentos global da barra pode ser obtido como I 3 i 3 uG Uest I 2 Uest I 1 Uest I Uest J 2 Uest J 1 Uest J com J 3 j 3 Calculas os esforços nas barras da treliça plana Fig5 Calculas os esforços nas barras da treliça plana Fig5 Uest Uest1 barra 13 noi 1 noj 3 Δθ13 0 barra 14 noii 1 nojj 4 Δθ14 0 L13 Cx13 Cy13 geometria noi noj coord2D L14 Cx14 Cy14 geometria noii nojj coord2D β13 β Cx13 Cy13 k13 kL E A L13 β14 β Cx14 Cy14 k14 kL E A L14 pL13 E A α Δθ13 1 1 pL14 E A α Δθ14 1 1 uG13 Uest 2 noi 1 Uest 2 noi 1 1 Uest 2 noj 1 Uest 2 noj 1 1 uG14 Uest 2 noii 1 Uest 2 noii 1 1 Uest 2 nojj 1 Uest 2 nojj 1 1 fL13 k13 β13 uG13 pL13 fL14 k14 β14 uG14 pL14 fL13 164023 164023 kN fL14 251092 251092 kN barra 12 noi 1 noj 2 Δθ12 0 barra 23 noii 2 nojj 3 Δθ23 0 L12 Cx12 Cy12 geometria noi noj coord2D L23 Cx23 Cy23 geometria noii nojj coord2D k12 kL E A L12 β12 β Cx12 Cy12 k23 kL E A L23 β23 β Cx23 Cy23 pL12 E A α Δθ12 1 1 pL23 E A α Δθ23 1 1 uG12 Uest 2 noi 1 Uest 2 noi 1 1 Uest 2 noj 1 Uest 2 noj 1 1 uG23 Uest 2 noii 1 Uest 2 noii 1 1 Uest 2 nojj 1 Uest 2 nojj 1 1 fL12 k12 β12 uG12 pL12 fL23 k23 β23 uG23 pL23 fL12 69126 69126 kN fL23 26092 26092 kN noi 2 noj 4 Δθ24 0 barra 24 barra 24 noi 2 noj 4 Δθ24 0 L24 Cx24 Cy24 geometria noi noj coord2D k24 kL E A L24 pL24 E A α Δθ24 1 1 β24 β Cx24 Cy24 uG24 Uest 2 noi 1 Uest 2 noi 1 1 Uest 2 noj 1 Uest 2 noj 1 1 fL24 k24 β24 uG24 pL24 fL24 349563 349563 kN PropBarra dados coord inc prop k nvar dirgrav dados α Δθ γ prop 2 k 1 prop 3 k 1 prop 4 k 1 E A prop 0 k 1 prop 1 k 1 γγ T 0 0 0 γγ dirgrav 1 1 γx γy γz γγ 0 γγ 1 γγ 2 γ f E A α Δθ noi noj inc 0 k 1 inc 1 k 1 if nvar 2 L Cx Cy geometria noi noj coord β Cx Cy 0 0 0 0 Cx Cy pG f T Cx Cy Cx Cy pG pG L 2 A T γx γy γx γy if nvar 3 L Cx Cy Cz geometria3d noi noj coord β Cx Cy Cz 0 0 0 0 0 0 Cx Cy Cz pG f T Cx Cy Cz Cx Cy Cz pG pG L 2 A T γx γy γz γx γy γz kL E A L 1 1 1 1 I J nvar noi 1 noj 1 β pG kL I J solucao dados K F desl Cond kb nvar dados KLL KLR FL col KRL KRR UR n Subestrut K F desl Cond UL lsolve KLL FL KLR UR FR KRL UL KRR UR Up Fp stack UL UR stack FL FR for k 0 rows Up 1 Uest col k Fest col k Up k Fp k Fmola Fbase Uest kb nvar Uest Fest Fmola Trelica dados tipoEstrutura coord dirgrav prop u inc ForcaNo Prescricao kbase dados nnos nbarras cols coord cols inc nvar 2 if tipoEstrutura Trelica3D nvar 3 ntotal nvar nnos for i 0 ntotal 1 Fest i desl i Contorno i 0 N 0 m 0 for j 0 ntotal 1 Kest i j 0 N m for k 1 nbarras dados2 coord inc prop k nvar dirgrav β pG kL I J PropBarra dados2 kg βT kL β Kest Montagem Kest I J kg nvar for k 1 nnos Fest MontagemVetor Fest k ForcaNo nvar Contorno MontagemVetor Contorno k Prescricao nvar desl MontagemVetor desl k u nvar I nvar k 1 for j 0 nvar 1 Kest I j I j Kest I j I j kbase j k 1 dados1 Kest Fest desl Contorno kbase nvar Uest Festr Fmola solucao dados1 Reacoes Kest Uest Fest Fmola for k 1 nnos for j 0 nvar 1 VetorDesl j k 1 Uest nvar k nvar j VetorReac j k 1 Reacoes nvar k nvar j for k 1 nbarras dados2 coord inc prop k nvar dirgrav β pG kL I J PropBarra dados2 if nvar 2 Ug T Uest I Uest I 1 Uest J Uest J 1 if nvar 3 Ug T Uest I Uest I 1 Uest I 2 Uest J Uest J 1 Uest J 2 Ul β Ug nc rows Ul Fl nc kL Ul rows Ul for j 0 nc 1 Esforco j k 1 Fl j Esforco Reacoes Uest VetorDesl VetorReac EstrPlana inc coord for i 0 cols inc 1 k1 inc 0 i k2 inc 1 i Cx 0 i coord 0 k1 1 Cx 1 i coord 0 k2 1 Cy 0 i coord 1 k1 1 Cy 1 i coord 1 k2 1 Cx Cy deformada u inc for i 0 cols inc 1 k1 inc 0 i k2 inc 1 i dx 0 i u 0 k1 1 dx 1 i u 0 k2 1 dy 0 i u 1 k1 1 dy 1 i u 1 k2 1 dx dy Recalcular a treliça plana da Fig5 dentro do conjunto de funções reunidas Dados E 210 106 kPa A 6000 106 m2 α 12 106 C coord 2 6 0 8 8 8 0 0 m Δθ 10 C inc 1 1 1 2 2 3 4 2 3 4 γ 77 kN m3 tipoEstrutura Trelica2D kbase E A 10 m 0 0 0 1 0 0 0 1 presc 0 0 1 0 0 0 1 0 u 0 0 0 0 0 0 0 0 m Forca 180 0 0 0 360 360 0 0 kN prop E E E E E A A A A A α α α α α Δθ 0 C 0 C 0 C 0 C γ γ γ γ γ fator 102 dirgrav 2 Gravidade em Y dados coord dirgrav prop u inc Forca presc kbase dados coord dirgrav prop u inc Forca presc kbase Esforco Reacoes Uest VetorDesl VetorReac Trelica dados tipoEstrutura UestT 7072 103 2874 103 6852 103 5398 103 0 0 1869 103 4286 103 m ReacoesT 2328 1013 0 7858 1013 2328 1013 55437 180 235437 540 kN Esforco 164023 251092 69126 26092 349563 164023 251092 69126 26092 349563 kN dx dy deformada fator VetorDesl coord inc Cx Cy EstrPlana inc coord Inputs Y 1 Cy X 2 dx Y 2 dy X 1 Cx 12Aplicações Adicionais Seja a treliça submetida a recalques horizontal e vertical no apoio esquerdo conforme mostrado na figura Determinar a os deslocamentos b reações de apoio e c esforços nas barras da treliça E 210 106 kPa A 25 104 m 2 γ 0 kN m 3 α 0 1 C Δθ 0 C PrescricaoNo 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 coord 0 3 6 3 6 0 0 0 4 4 m u 2 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 cm inc 1 2 2 3 1 2 4 4 4 5 5 2 3 5 prop E E E E E E E A A A A A A A α α α α α α α Δθ 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C γ γ γ γ γ γ γ kbase 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN m Forca 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN fator 5 nvar 2 dirgrav 2 Gravidade em Y tipoEstrutura Trelica2D dados coord nvar prop u inc Forca PrescricaoNo kbase Esforco Reacoes Uest VetorDesl VetorReac Trelica dados tipoEstrutura Esforco 9313 1010 0 0 2328 1010 0 0 9313 1010 9313 1010 0 0 2328 1010 0 0 9313 1010 N Reacoes 4657 1013 4657 1013 1434 1013 3465 1013 0 2328 1013 9313 1013 1863 1012 1952 1012 352 1013 kN Uest 20 103 90 103 20 103 45 103 20 103 0 40 103 45 103 40 103 1774 1018 m VetorDesl 002 002 002 004 004 009 0045 0 0045 1774 10 18 m VetorReac 4657 10 13 1434 10 13 0 9313 10 13 1952 10 12 4657 10 13 3465 10 13 2328 10 13 1863 10 12 352 10 13 kN Cx Cy EstrPlana inc coord dx dy deformada fator VetorDesl coord inc Inputs Y 1 Cy X 2 dx Y 2 dy X 1 Cx Recalcular a treliça espacial da Fig6 dentro do conjunto de funções reunidas tipoEstrutura Trelica3D E 210 GPa A 6000 106 m 2 α 12 106 1 C γ 0 N m 3 Δθ 0 C coord3d 0 0 0 3 0 16 0 0 12 0 2 0 m inc3D 1 2 3 4 4 4 kbase3D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN m presc3D 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m Forca3D 0 0 0 0 0 0 0 450 0 0 0 300 kN prop3D E E E A A A α α α Δθ 0 C 0 C γ γ γ fator 5 dirgrav 2 Gravidade em Y dados coord3d dirgrav prop3D u inc3D Forca3D presc3D kbase3D Esforco Reacoes Uest VetorDesl VetorReac Trelica dados tipoEstrutura Uest 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1558 103 8404 103 2119 103 m Reacoes 808594 0 323438 84375 450 0 35156 0 23438 8731 1014 0 0 kN VetorDesl 0 0 0 0002 0 0 0 0008 0 0 0 0002 m Esforco 870882 95625 42253 870882 95625 42253 kN VetorReac 808594 84375 35156 8731 10 14 0 450 0 0 323438 0 23438 0 kN Cálculo de Torre Treliçada Plana VetorReac 808594 84375 35156 8731 10 14 0 450 0 0 323438 0 23438 0 kN Esforco 870882 95625 42253 870882 95625 42253 kN Cálculo de Torre Treliçada Plana E 200 GPa A 4000 mm 2 γ 0 kN m3 α 0 1 C Δθ 0 C nvar 2 dirgrav 2 Gravidade em Y Forca 0 0 60 0 60 0 30 0 0 0 0 0 105 60 kN Prescricao 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 coord 0 5 0 5 0 5 0 0 0 5 5 10 10 15 m inc 1 2 3 4 5 3 5 2 1 4 3 6 3 4 5 6 7 4 6 3 4 5 6 7 u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cm fator 102 kbase 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN m prop E E E E E E E E E E E E A A A A A A A A A A A A α α α α α α α α α α α α Δθ 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ tipoEstrutura Trelica2D dados coord nvar prop u inc Forca Prescricao kbase Esforco Reacoes Uest VetorDesl VetorReac Trelica dados tipoEstrutura VetorDesl 0 0 4534 10 4 0 0003 0003 0006 0 0 3955 10 4 0001 6716 10 4 0002 4841 10 4 m VetorReac 58771 3278 0 205493 5821 10 14 6912 10 14 6912 10 14 4507 169507 1455 10 14 5821 10 14 1455 10 14 7276 10 14 291 10 14 kN Esforco 63278 166229 44173 150827 30 72549 14173 4636 83115 104897 22382 42426 63278 166229 44173 150827 30 72549 14173 4636 83115 104897 22382 42426 kN Cx Cy EstrPlana inc coord dx dy deformada fator VetorDesl coord inc Cx Cy EstrPlana inc coord dx dy deformada fator VetorDesl coord inc Inputs Y 1 Cy X 1 Cx X 2 dx Y 2 dy Cálculo de Torre Treliçada Espacial E 200 GPa A 4000 mm 2 α 0 1 C Δθ 0 C γ 0 kN m3 Forca 0 0 0 0 45 0 0 45 0 0 0 0 90 90 90 90 0 0 0 0 0 0 0 0 kN Prescricao 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 inc 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 6 7 8 5 6 7 8 5 coord 4 4 4 4 2 2 2 2 0 0 0 0 10 10 10 10 4 4 4 4 2 2 2 2 m u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cm kbase 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN m fator 102 nvar 3 dirgrav 2 Gravidade em Y kbase 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN m nvar 3 fator 102 dirgrav 2 Gravidade em Y prop E E E E E E E E E E E E A A A A A A A A A A A A α α α α α α α α α α α α Δθ 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 C γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ tipoEstrutura Trelica3D dados coord nvar prop u inc Forca Prescricao kbase Esforco Reacoes Uest VetorDesl VetorReac Trelica dados tipoEstrutura VetorDesl 0 0 0 0 4336 10 3 4021 10 3 774036 10 6 864036 10 6 0 0 0 0 1814 10 3 1581 10 3 792192 10 6 979973 10 6 0 0 0 0 1578 10 3 1668 10 3 1578 10 3 1668 10 3 m VetorReac 1575 2925 5175 675 0 4638 10 14 0 1455 10 14 3375 14625 14625 3375 4366 10 14 291 10 14 1455 10 14 0 675 2925 2925 675 0 0 5821 10 14 5821 10 14 kN Esforco 93531 151987 93531 35074 66556 1466 10 14 66556 4398 10 14 63 18 18 18 93531 151987 93531 35074 66556 1466 10 14 66556 4398 10 14 63 18 18 18 kN Fazer a análise estrutural da Coberta Treliçada com Lanternim Fazer a análise estrutural da Coberta Treliçada com Lanternim Fazer a análise estrutural da Ponte Lenticular Fazer a análise estrutural da treliça considerando um recalque vertical para baixo no apoio B de 2mm e variação de temperatura de no 10 C banzo inferior Fazer a análise estrutural do Domo Treliçado Espacial submetido a uma carga vertical em seu cume