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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA GERAL PARA ENGENHARIA CIVIL TEORIA E PRÁTICA PRIMO FERNANDES FILHO Professor de Engenharia Civil da Universidade Federal da Paraíba JOÃO PESSOAPB 2014 SUMÁRIO Introdução 07 Lista de Símbolos 10 CAPÍTULO 1 RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS 12 11 Introdução 12 12 Lei do Paralelogramo 12 13 Forças e componentes 13 14 Momento de uma força em relação a um ponto 14 15 Binário 15 16 Momento de uma força em relação a um eixo 15 17 Redução de um sistema de forças qualquer a outro equivalente constituído de uma única força resultante e um momento resultante num ponto dado 16 18 Exercícios resolvidos 17 19 Exercícios Propostos 22 CAPÍTULO 2 EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS 29 21 Introdução 29 22 Forças externas 29 23 Tipos de carregamento 29 24 Tipos de apoio 32 25 Equações de equilíbrio da Estática 34 26 Estaticidade externa de uma estrutura 34 27 Esforços simples ou internos 35 28 Exercícios resolvidos 37 29 Exercícios Propostos 54 DMF DEC DEN 81 Introdução INTRODUÇÃO A Mecânica pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob ação de forças É dividida em três partes Mecânica dos Corpos Rígidos Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluidos A Mecânica dos Corpos Rígidos por sua vez é subdividida em Estática Cinemática e Dinâmica A primeira referese aos corpos em repouso a segunda e a terceira a corpos em movimento Nesta parte do estudo da Mecânica os corpos são considerados perfeitamente rígidos Contudo as estruturas e as máquinas nunca são absolutamente rígidas deformandose sob ação das cargas a que estão submetidas Mas essas deformações são geralmente pequenas e não alteram de modo apreciável as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada No entanto estas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura do material sendo estudadas em Resistência dos Materiais que é a parte da Mecânica dos Corpos Deformáveis A terceira divisão da Mecânica a Mecânica dos Fluidos é subdividida no estudo dos fluidos incompressíveis e dos fluidos compressíveis A Hidráulica que cuida dos problemas que envolvem líquidos é uma importante subdivisão dos fluidos incompressíveis Mecânica é uma ciência física pois trata de fenômenos físicos Entretanto podemos associar a Mecânica com a Matemática enquanto muitos a consideram assunto de Engenharia Ambos os pontos de vista são justificados em parte Pelo rigor e ênfase colocados no raciocínio dedutivo aproximase da Matemática mas não é uma ciência abstrata ao mesmo puro é uma ciência aplicada por isto se aproxima da Engenharia sendo indispensável ao seu estudo O objetivo básico do estudo da mecânica geral é desenvolver no estudante a capacidade de prever os efeitos de forças e momentos durante a criação de um projeto de engenharia o que demanda um bom nível de capacidade analítica do problema À medida que experimentamos o estudo da mecânica estamos construindo uma base teórica para uma variedade de problemas de engenharia cujo resultado tanto mais se aproxima da realidade quanto melhor tenham sido incorporadas as aproximações matemáticas e as hipóteses físicas com destaque para a definição do diagrama de corpo livre Na formulação e solução de um problema de mecânica temos frequentemente oportunidade de utilizar conhecimentos de geometria plana e analítica álgebra vetorial e escalar trigonometria e cálculo descobrindo assim significado para estas ferramentas matemáticas esforços internos nas estruturas planas isostáticas correntes na Engenharia Civil como vigas pórticos grelhas e treliças Neste sentido chamamos atenção para o fato de que a solução analítica de um problema referente ao equilíbrio de um corpo rígido tanto mais se aproxima da realidade quanto melhor seja definido o seu diagrama de corpo livre nome dado ao desenho esquemático do corpo ou parte dele com todas as forças externas atuantes incluindo também as dimensões necessárias ao cálculo dos momentos É essencial considerar todas as forças que atuam sobre o corpo é igualmente importante excluir qualquer força que não esteja diretamente aplicada sobre ele Omitindo uma força ou adicionando uma força estranha estaremos criando ou impondo um falso equilíbrio ao corpo ou seja calculando corretamente um projeto mal concebido Quando o corpo é formado por várias partes as forças que as várias partes exercem umas sobre as outras não aparecem no Diagrama de Corpo Livre pois não são forças externas Estas forças no que se refere ao corpo livre são forças internas Durante o estudo de uma estrutura a determinação dos esforços internos é uma etapa inicial e das mais importantes no entanto tratamse de grandezas de significado relativo Perguntar por exemplo se uma força de 50 KN é grande ou pequena não faz sentido pois tornase necessário relacionála com as características da seção onde esta vai atuar surgindo os conceitos de tensão e deformação grandezas que vêm medir a intensidade dos esforços sobre a seção e que são o objeto principal do estudo da Resistência dos Materiais As principais características geométricas de uma seção transversal são a Área relacionada diretamente com a tensão normal provocada pelo esforço normal atuante na seção b Centróide ponto ao qual todos os esforços são referidos c Momento Estático de área usado no cálculo da tensão de cisalhamento proveniente de esforço cortante na seção d Momento Axial de Inércia importante no estudo das tensões e deformações que se processam durante a flexão de uma barra e Produto de Inércia interessa seu conhecimento para se determinarem os eixos e os momentos principais de inércia f Raio de Giração ganha importância durante o estudo da flambagem de colunas g Momento Polar de Inércia usado durante o estudo das tensões e deformações de uma barra cilíndrica sob torção Este trabalho nasce após experiência do autor como professor da disciplina Mecânica Geral oferecida aos estudantes de engenharia Civil quando podemos acompanhar e verificar as dificuldades com que o aluno se defronta quando se propõe a adquirir um livro com conteúdo e aplicações dirigidas para engenharia Civil Desta forma nos propomos a preencher esta lacuna selecionando a matéria em sua teoria elaborando e criando exercícios de modo que dispostos numa sequência lógica venham contemplar o conteúdo proposto servindo de suporte para o ensino da disciplina Mecânica Geral às turmas do curso de engenharia Civil São nove capítulos com teoria e aplicações referentes ao equilíbrio dos corpos rígidos esforços internos nas estruturas isostáticas e às características geométricas de uma seção transversal Em cada capítulo são apresentados exercícios resolvidos e propostos com e sem respostas Em anexo algumas tabelas de uso comum na engenharia e usadas durante a resolução dos exercícios a b c constante distância b base A B C seções apoios A área de seção transversal C centroide centro d distância D diâmetro F P força g aceleração da gravidade h altura I momento axial de inércia Ixy produto de inércia J momento polar de inércia k constante raio de giro L comprimento vão M momento momento fletor N esforço normal O origem de coordenadas P peso próprio q carga distribuída Q momento estático de área R força resultante raio ρ θ coordenadas polares t espessura T momento torsor U V rotação de eixos V esforço cortante volume x y z coordenadas retangulares X Y Z eixos coordenados X Y coordenadas do centróide γ peso específico CAPÍTULO 1 RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS 11 INTRODUÇÃO Neste capítulo é feita uma revisão nos conceitos de forças componentes força resultante momento de uma força em relação a um ponto e em relação a um eixo Veremos que todo e qualquer sistema poderá ser substituído pela ação de dois esforços que em relação a um ponto qualquer venham a produzir o mesmo efeito que o sistema inicial Estes esforços são uma força e um momento resultantes A força resultante é a soma vetorial das projeções das forças do sistema e capaz de produzir translação segundo sua direção O momento resultante é a soma vetorial dos momentos das forças do sistema portanto capaz de produzir rotação O estudo da Estática compreende a ação de forças exteriores sobre um corpo rígido em posição de repouso Assim a determinação da resultante força e momento ganha importância pois dela depende diretamente as condições de equilíbrio de um corpo 12 LEI DO PARALELOGRAMO A resultante de duas forças concorrentes é igual à diagonal principal do paralelogramo que tem como lados iniciais os vetores destas forças Fig 11 A resultante R para duas forças F1 e F2 forma um ângulo θ com F1 Aplicando a Lei dos cossenos para Δ123 temse R2 F1 2 F2 2 2F1 F2cos180 θ R2 F1 2 F2 2 2F1 F2cosθ Para verificar sua veracidade tomemos um caso particular conhecido Seja θ 90 então R F1 2 F2 2 TEOREMA DE PITÁGORAS No caso de mais de duas forças concorrentes no mesmo ponto somamse inicialmente duas quaisquer que fornecem uma resultante parcial que será somada a uma terceira até que todas tenham sido envolvidas no processo 13 FORÇAS E COMPONENTES Aqui o objetivo é dada a resultante determinar suas componentes ao longo de direcções dadas Fig 12 Aplicando a lei dos senos para Δ123 temse R F1 F2 sen180θ1θ2 senθ2 senθ1 Um caso particular bastante usado é quando as direcções 1 e 2 são as perpendiculares x e y Neste caso a fórmula acima fornece Rx Rcosθ e Ry Rsenθ onde θ é o ângulo que R faz com x Assim temos uma nova maneira mais prática e universalmente usada para determinar a resultante de um sistema de forças F qualquer dada por R Rx²Ry² tgθ RyRx Rx ΣFicosθi Ry ΣFisenθi θ1 ângulo que a força Fi faz com x θ ângulo que a força R faz com x 14 MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO Seja uma força F e um ponto O Por definição MF Fd momento no ponto O provocado pela força F d braço do momento distância do ponto O à linha de acção de F O momento pode ser representado por uma seta curva no plano que contém F e O xy que é o plano do momento ou por uma seta dupla reta na direção do eixo em torno do qual se dá o momento eixo z TEOREMA DE VARIGNON OU PRINCÍPIO DOS MOMENTOS A soma dos momentos das componentes é igual ao momento da resultante Fig 14 MFo Fd ΣMo Fxh Fcosθ d Fd cosθ logo MF ΣMc 15 BINÁRIO Um binário é um par de forças de mesmo módulo mesma direção mas com sentido diferente Desta forma podemos mostrar que se um corpo se encontra sob acção exclusiva de um binário não sofrerá movimento de translação enquanto o movimento de rotação existe e é igual para todos os pontos do corpo Fig 15 R FF 0 Movimento de translação nulo ΣMa Fd horário ΣMb Fx1 Fx2 Fd horário ΣMc Fdx2 F2 Fd horário ou seja ΣMa ΣMb ΣMc o movimento de rotação existe e é igual para todos os pontos em torno de um eixo z que é perpendicular ao plano que contém o binário xy 17 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS QUALQUER A OUTRO EQUIVALENTE CONSTITUÍDO DE UMA ÚNICA FORÇA RESULTANTE E UM MOMENTO RESULTANTE NUM PONTO DADO Fig 17 F1 d1 F2 0 d2 FN Fig 17a F1 F1 F2 F2 0 FN Fig 17b F2 F1 M2 M1 Fig 17c F N 0 Fig 17d F F1 F2 FN independe do ponto O M M1 M2 MN F1d1 F2d2 FNdN depende do ponto O 18 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Determine a resultante do sistema de forças abaixo Solução R R² R² Rx 203 10cos205cos60651213 Rx 12 94 25 6 Rx 129 kN Ry 20 15 5sen60 65513 10sen20 Ry 16 433 25 342 Ry 1441 kN tgθ RyRx θ 48 Onde θ é o ângulo que R faz com x 2 Um carro avariado é puxado pelas cordas AB e AC sendo a tração na corda AB 400 N determina a tração em AC e a resultante de modo que o carro se mova paralelamente as margens da estrada Solução R ABcos30 ACcos20 R 40032 585094 R 905 N 3 Uma força F é tal que provoca Ma 60 KNm h Mb 80 KNm a e Mc 0 Determine F e a interseção da sua linha de ação com os eixos x e y Solução MA 60 2Fx Fx 30 kN MB 80 3Fy Fy 803 kN Logo F Fx² Fy² F 40 kN 20 803 x x 37 m p70 MB 80 Fx2y 80 2Fx Fxy 80 60 30y 20 30y y 23 m MC 104 104 201 60 kNm M 104 104 203 20 kNm 1 Determine a resultante do sistema de forças abaixo 4 Uma força F é tal que provoca MA 60 kNm h MB 80 kNm a e MC 0 Determine F e a interseção da sua linha de ação com os eixos x e y 7 Na barra abaixo atuam três forças duas das quais mostradas junto com a resultante Qual a terceira força e sua posição 11 Reduzir o sistema de forças a outro equivalente constituído de uma resultante em C e um binário através de A e B 12 Uma viga de 3 m de comprimento é carregada de várias maneiras diferentes Encontre dois carregamentos equivalentes Resposta d e 13 Diga quais dos carregamentos abaixo são equivalentes a 10 kN 30 m b 60 kN 60 kNm c 20 kN 30 m d 10 kN 14 Considerando o sentido horário como sendo positivo determine M4 e MB Resposta MA 0 MB 1495 kN 15 Determine a resultante das forças sabendo que o raio mede 20 cm e a intensidade das forças em kN são numericamente iguais aos comprimentos AB AC AD etc em cm 16 Determine a resultante das quatro forças tangentes ao círculo de raio igual a 6 cm Qual a interseção da linha de ação de R com a linha AB Resposta R 2563 kN 308 cm acima de A 17 Uma jangada é puxada por dois reboqueadores Se a resultante das forças exercidas pelos reboqueadores for uma força de 22 240N dirigida segundo o eixo da jangada determine a A força de tração instalada em cada uma das cordas sabendo que α 45 b O valor de α para que o valor de tração da corda 2 é mínima 18 Uma força F 700 Ni 1500 Nj é aplicada a um parafuso A Determine a intensidade da força e o ângulo θ que ela forma com a horizontal 19 Determine a resultante no sistema de forças a F1 30 N F2 150 N F3 100 N F4 110 N b 15 120 N 80 N 35 40 150 N CAPÍTULO 2 EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS 21 INTRODUÇÃO Para um corpo submetido a um sistema de forças estar em equilíbrio é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo Assim a força resultante deve ser nula e o momento resultante momento estático em todos os pontos também deve ser nulo Podemos mostrar que a força resultante sendo nula o momento estático nulo num ponto garante a nulidade do momento estático em todos os pontos o que viabiliza a verificação do equilíbrio de um corpo Fig 21 22 FORÇAS EXTERNAS Representam a ação de outros corpos sobre o corpo considerado seja o corpo uma viga de um edifício As forças externas atuando na viga são seu peso próprio peso de parede descarga da laje e reação dos pilares 23 TIPOS DE CARREGAMENTO a CARGA CONCENTRADA OU PONTUAL A carga é aplicada numa região pequena do corpo Exemplo descarga de uma viga num pilar ou a reação de um pilar a uma viga Fig 22 viga descarregando em outra viga dx 0 dA dF qxdx q qx qx qx F ₀¹ dF ₀¹ qx dx ql 12 área da figura formada pela carga dF1x dMB ₀¹ dF1x ₀¹ dMB MB ₀¹ q1xdx ql² ql 16 A Figura 212 mostra outras possibilidades de apoio vínculo Reação Número de freqüências Rolazes Balancim Superfície lisa Força com linha de ação coincidente 1 Cibo curto Haste curta Força com linha de ação coincidente 1 Chão sobre haste lisa Pleno liso deslizante Força com linha de ação coincidente 1 Pleno liso em articulação Superfície superior Força com direção descoincidente 0 Apóio fixo em resistimento Fig 212 Reações dos vínculos Ou seja para se calcular o momento estático no ponto B aplicase a resultante no centro da figura formada pelo carregamento Podemos generalizar a resultante de um carregamento distribuído qualquer é igual à área da figura formada por este carregamento e para se calcular o momento estático num ponto qualquer a resultante é aplicada no centróide desta figura 25 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA ESTÁTICA Numa situação geral de carregamento as equações de equilíbrio da estática são seis ΣFX 0 ΣFY 0 ΣFZ 0 ΣMX 0 ΣMY 0 ΣMZ 0 Um caso particular importante é o de uma estrutura plana com carga no seu próprio plano xy Neste caso as equações acima se reduzem a três ΣFX 0 ΣFY 0 ΣMZ 0 Este tipo de estrutura tem o nome de pórtico ou quadro plano Outro caso particular interessante é o de uma estrutura plana xy com carga perpendicular ao seu plano Neste caso as equações de equilíbrio passam a ser ΣFZ 0 ΣMX 0 ΣMY 0 Este tipo de estrutura dáse o nome de grelha 26 ESTATICIDADE EXTERNA DE UMA ESTRUTURA Havendo uma racional disposição dos elementos de apoio as estruturas quanto à sua estaticidade externa classificamse em a hipoestática quando o número de reações de apoio NR é menor que o número de equações de equilíbrio aplicáveis NE Não tem estabilidade própria b isostática quando NR NE Tem estabilidade própria c hiperestática quando NR NE Tem estabilidade própria Dizse até de forma imprópria que o equilíbrio é mais que estável Definese GH NR NE como grau de hiperestaticidade externa de uma estrutura Estas estruturas são resolvidas com o auxílio das equações de compatibilidade de deformação pois as de equilíbrio são insuficientes A Figura 213 ilustra com exemplos as situações a b e c 27 ESFORÇOS SIMPLES OU INTERNOS Quando um sistema de forças não equilibrado atua sobre um corpo o mesmo se desloca segundo um movimento de corpo rígido isto é não se deforma e portanto internamente não é solicitado fig 214 Quando as forças que atuam sobre o corpo estão em equilíbrio o corpo se desloca porém suas várias seções vão se deformar o que nos induz que internamente estão sendo solicitadas por algum esforço Fig 215 Este esforço é chamado esforço interno ou simples e recebe nome de acordo com a direção em que atua Um sistema de forças atuando sobre um corpo encontra seu equilíbrio através das reações de apoio que provêm Vejamos agora quais os efeitos estáticos que estas cargas e reações provocam em cada uma das seções do corpo Para tal consideremos o corpo representado na Figura 216 que se encontra em equilíbrio Para identificar que esforço ocorre internamente na seção S seccionamos o corpo nesta seção dividindoo em duas partes Ficamos agora com dois novos corpos a parte à direita de S e a parte à esquerda de S que perderam o equilíbrio Lembremos porém que se um corpo está em equilíbrio é porque todos os pontos que o formam também estão Desse modo as partes à direita e à esquerda de S também devem estar em equilíbrio e quem leva estas partes ao equilíbrio são justamente os esforços internos atuantes na seção Desta forma podemos dizer que os esforços internos numa seção são determinados pela imposição do equilíbrio na direção correspondente ao esforço desejado de uma das partes separadas pela seção Considerando por exemplo a parte à esquerda de S Fig 217 temos atuando no seu centroide um momento e uma força que no caso geral atuam numa direção qualquer As componentes de R e M nos três eixos são N esforço normal ou axial age no sentido de tracionar ou comprimir a seção Vy Vz esforço cortante age no sentido de cortar separar o corpo nesta seção T momento torsor age no sentido de dar um giro na seção em torno do eixo longitudinal do corpo My Mz momento fletor age no sentido de flexionar ou envergar o eixo longitudinal provocando uma rotação da seção CONVENÇÃO DE SINAL N positivo quando de tração N N N N V positivo quando as forças externas que o provocam à direita estiver para baixo ou à esquerda apontar para cima Seção Seção V V V V M positivo quando comprime as fibras superiores tracionando as inferiores M M M T positivo quando usando a regra da mão direita o polegar apontar para fora da seção T T T T Na sequência veremos do Capítulo 3 ao Capítulo 7 como atuam e como determinar estes esforços nas diversas estruturas isostáticas formadas por barras quais sejam vigas Gerber pórticos grelhas e treliças 28 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Determine as reações de apoio das seguintes estruturas planas carregadas em seu próprio plano Solução a Fz 0 HB 0 O apoio B pode ser substituído por um apoio do primeiro gênero Fy 0 RA RB 40 20 60 kN MB 0 4RA 40 20 201 0 RA 25 kN Logo RB 35 kN RA como esperado b Fy 0 RA RB 60 kN MB 0 4RA 5015 101 0 4RA 65 RA 1625 kN RB 60 1625 4375 kN RA como esperado c Fx 0 HA 2015 0 HA 16 kN Fy 0 RA 2035 10 RA 22 kN MA 0 MA 121 10 103 0 MA 52 kNm d Fy 0 HA 30 kN Fy 0 RA RB 20 kN MB 0 4RA 202 3015 0 4RA 85 RA 2125 kN 1 Fy 0 temos que RB 125 kN Obs O valor negativo para RB indica que o sentido correto da força é contrário ao arbitrado e 10kNm 1m 1m 2m 1m 10kN 1m HA MA RA ΣFy 0 HA 10 kN ΣFy 0 RA 10 kN ΣMA 0 MA 101 1015 0 MA 15 kNm 29 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Determine a tração nos cabos AB e BC nos sistemas estruturais abaixo a 09m 15m 12m B 10kN C A B 40kN Resposta a AB 6 kN BC 78 kN b AB 434 kN BC 354 kN c AB 1725 kN BC 446 kN 2 Determine a tração no cabo AB do sistema estrutural abaixo 20kNm 10kNm 3143 kN 3 Determine as reações de apoio nas estruturas isostáticas planas abaixo a 10kN 20kN 20kNm 10kNm B 10kN 3m m 2m 10kNm A b 10kN 10kNm 20kNm A 3m c 10kN 10kNm 2m 10kN 15m A d 10kN 20kNm 10kN 2m B e 20kNm 3m 10kN A f 40kN 40kN C 2m 20kN 4m 15m g 15 kN 20 kN 20 kN h 20kNm 10kNm 10kN i 20kNm 10kN j 30 kNm 10kN k 20kNm 10kN l 10kN m 40kN 20kNm Resposta a RA 1125 kN RB 10875 kN b HA 6 kN RA 53 kN MA 173 kNm Antihorário c HB 10 kN RA 40 kN RB 0 d H 20 kN R 50 kN M 15 kNm Horário e H 0 R 70 kN Mx 120 kNm My 240 kNm Antihorário f RA 20 kN RB 80 kN RC 40 kN Resposta a RA 36875 kN b RA 30 kN MA 80 kNm Antihorário Resposta X 36 m Resposta 3 kN P 255 kN Resposta T 27 kN F 036 kN P 316 kN Uma barra de 36 m de peso desprezível repousa numa posição horizontal apoiada nos planos inclinados A e B Determine X para a barra ficar em equilíbrio na sua posição horizontal OBS planos lisos Resposta X 145 m 12 Determine X para que 3 kN na horizontal deixe a barra AB em equilíbrio na posição mostrada AB tem 3 m de comprimento e pesa 7 kN O piso e o declive são completamente lisos Resposta X 1 m 13 A escada uniforme mostrada na figura repousa apoiada na parede de um prédio em A e no telhado de uma casa em B se a escada tem um peso de 100N e as superfícies A e B são consideradas lisas determine o ângulo θ para a condição de equilíbrio 14 Para estrutura abaixo determinar os esforços internos solicitantes normal cortantes momentos fletores e momento torçor na seção junto ao engaste CAPÍTULO 3 VIGAS ISOSTÁTICAS 31 INTRODUÇÃO Uma viga é um elemento estrutural linear geralmente com eixo horizontal com a função principal de receber cargas verticais provenientes das lajes e transmitilas aos pilares As vigas isostáticas se classificam segundo o modo com o qual são vinculadas Os tipos de vigas isostáticas frequentemente usadas são mostradas na Fig 31 A distância l entre os apoios é denominada vão Observe que as reações serão determinadas se os vínculos externos envolverem apenas três incógnitas As reações serão estaticamente indeterminadas se mais incógnitas forem envolvidos neste caso os recursos da Estática não serão suficientes para determinar as reações e as condições de deformação da viga devem ser consideradas mas isto é objeto da Resistência dos Materiais Na seção S deve atuar uma força cortante V e um momento fletor M para que este novo corpo fique em equilíbrio Note que de acordo como a convenção dada no Capítulo 2 este cortante é positivo bem como é positivo este momento fletor Note também que o valor numérico de V é igual à soma algébrica das forças em sua direção que estão à esquerda da seção e o momento fletor é igual à soma algébrica dos momentos de todas as forças externas que estão à esquerda da seção isto porque consideramos a parte à esquerda da seção 32 LEI DE VARIAÇÃO PARA ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR AO LONGO DO COMPRIMENTO DE UMA BARRA RETA 1 Num trecho descarregado o esforço cortante é constante enquanto o momento fletor é uma reta 2 Num trecho com carga uniformemente distribuída o esforço cortante é uma reta inclinada e o momento fletor uma parábola do 2 grau 3 Num trecho com carga triangular o esforço cortante varia segundo uma parábola do 2 grau e o momento fletor segundo uma parábola do 3 grau 4 Nas seções de carga transversal concentrada o esforço cortante apresenta uma descontinuidade igual ao valor desta carga 5 Nas seções de carga momento aplicada o momento fletor apresenta uma descontinuidade de valor igual a essa carga momento Usaremos a viga da Fig 33 para verificar estas considerações 0 x 15m carga triangular Vx 30 1x20x parábola do 2 grau 2 15 Mx 30x 20x²1x parábola do 3 grau 3 3 15 x 25m Vx 30 15 15 constante Mx 30x 15x 1 reta 35 x 55m trecho com carga uniformemente distribuída Vx 30 15 10 10x 35 10x 40 reta inclinada Mx 30x 15x 1 10 x 25 10x 35² 2 x 25m seção de carga concentrada Vcf 30 15 15KN cortante na vizinhança esquerda de C VCf 30 15 10 5KN cortante na vizinhança direita de C Logo descontinuo com descontinuidade igual a 10KN que é o valor da carga x 6m seção de carga momento aplicada Md 151 25 40 KNm momento fletor na vizinhança esquerda da seção D Mp 151 15 KNm momento fletor na vizinhança direita da seção D Logo descontinuo com descontinuidade igual a 25 KNm que é o valor da carga momento aplicada 33 RELAÇÃO ENTRE MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE Consideremos o equilíbrio de um elemento de viga de comprimento Δx retirado de uma viga em equilíbrio Fig 34 Fy 0 V qΔx V ΔV 0 q ΔV Δx lim q lim ΔVΔx qx Vx Δx0 A derivada do cortante em relação a sua posição é igual ao valor da carga com sinal trocado nesta posição Mp 0 M VΔx qΔx² M ΔM 0 V ΔM qΔx lim V lim ΔM qΔx 2 Δx0 Δx0 Vx Mx 34 DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR DMF E DE ESFORÇO CORTANTE DEC Um diagrama é a representação gráfica do esforço ao longo do comprimento da estrutura Seu traçado se faz a partir dos valores obtidos nas seções de transição de carga seção de carga concentrada carga momento aplicada início e fim de carga distribuída e do conhecimento da lei de variação do esforço em cada trecho da estrutura De posse de um diagrama a obtenção do esforço numa seção qualquer bem como do esforço máximo é imedita Numa viga de concreto o DMF também vem indicar a posição da armadura necessária para resistir os esforços de tração Convenção para o traçado O esforço cortante positivo é marcado acima de uma linha de referência que coincide com o eixo da viga O momento fletor positivo é marcado abaixo desta mesma linha e o negativo acima de modo que o DMF mostra sempre a posição das fibras tracionadas Isto tem importância no caso de vigas de concreto armado quando o DMF vem mostrar a posição da armadura Roteiro para o traçado da parábola do 2 grau que representa o momento fletor num trecho com carga uniformemente distribuída Fig 35 O extremo da flecha é unido por retas auxiliares a MA e MB Os dois segmentos de retas obtidos são subdivididos num número de partes iguais Os pontos que definem esta subdivisão são unidos de modo conveniente Fig 35 por retas auxiliares Por fim traçase a parábola à mão livre tangenciando as retas 1 2 3 etc e incluindo MA e MB OBS Quanto maior o número de subdivisões maior a precisão do traçado Justificativa deste traçado Para maior facilidade consideremos uma viga biapoiada com carga uniformemente distribuída tgθ ql²1 4 ql 2 tgθ inclinação da tangente ao momento fletor em A Sabemos que a derivada do momento é igual ao esforço cortante e com este traçado isto se confirma pois VA ql2 tgθ Da mesma forma a inclinação das tangentes 1 2 3 na Fig 35 à parábola do DMF serão o esforço cortante nas seções correspondentes justificando assim o roteiro estabelecido para este traçado DMF e DEC no caso de carga triangular Neste caso os diagramas podem ser traçados por pontos a partir da expressão geral de cada esforço No DEC é indispensável os valores máximos e o valor nulo no DMF os valores nulos o máximo e no mínimo mais o valor numa seção qualquer A Fig 36 mostra este traçado no caso de uma viga simplesmente apoiada 35 VIGAS INCLINADAS Seja a viga da Fig 37 submetida ao carregamento distribuído vertical indicado Sendo as reações de apoio as indicadas na figura passemos ao estudo de seus diagramas solicitantes O momento fletor atuante numa seção genérica S é dado por Mx qax qx²2 qa²2 x x²a² Comparando esta expressão com a expressão Mx ql²2 x x²l² que fornece o momento fletor numa seção qualquer de uma viga horizontal sob carga distribuída vertical vemos que para fins de momentos fletores a viga inclinada se comporta como se fosse uma viga horizontal perpendicular ao carregamento do vão a e o diagrama é o indicado na figura notar que as ordenadas do diagrama são sempre marcadas perpendicularmente ao eixo da barra Os demais esforços atuantes nesta seção são dados por Vx qa2 cosα e Nx qa2 senα Convencionaremos marcar o esforço normal positivo tração acima da linha de referência 36 MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE MÁXIMOS ANALITICAMENTE Depois de nossa experiência com o traçado do DMF e do DEC observando suas leis de variação e conhecendo a relação entre estes esforços podemos concluir a O esforço cortante máximo numa viga ocorre numa das seções de apoio b Nos balanços os momentos fletores são negativos e o máximo ocorre nos apoios destes balanços nos vãos há uma tendência a momento fletor positivo que se confirmada terá o máximo na seção de esforço cortante nulo ou numa seção de transição de carga c Pela natureza do esforço cortante seu valor máximo a considerar será o maior em módulo Para o momento fletor devemos destacar e considerar o máximo positivo e o máximo negativo principalmente quando trabalhamos com um material frágil baixa resistência à tração pois as fibras tracionadas mudam de posição ou seja o momento fletor positivo traciona as fibras inferiores enquanto o negativo traciona as fibras superiores 37 MOMENTO FLETOR CONHECIDO O DEC Vx dMx MX 0 x Vxdx k Onde 0 1 Vxdx área do DEC de 0 até a seção x onde se calcula o momento fletor Fig 38 0 4 Sem o calculo das reações de apoio trace o Diagrama do Momento Fletor Solução 2kN 40kN C Im A 3m D Im B 30kN M C 0 M A 20kNm P ab 30kNm Logo M D 30 5 25kNm 5 Traçar em escala o Diagrama do Momento Fletor e o Diagrama do Esforço Cortante Solução 20kNm A B C Im 425 375 20kN 3m 20kN 375 M D E 375 Valores nas seções de transição de carga foram determinadas no exercício 1 yAC q l² 4 20 3² 4 45kNm 6 Traçar o Diagrama do Momento Fletor e o Diagrama do Esforço Cortante Solução Valores de transição V A 0 V B 5kN V C e 5kN V d C V D e 10kN M A 0 M B 25kNm M D 525 5 5 1 M D 225 kNm 7 Determine analiticamente o momento fletor máximo e o esforço cortante máximo Solução M B 0 4 RA 20 160 20 10 0 RA 475 kN R B 625 kN V A 0 V A 475 kN V d 10 kN V e 525 kN V max 525 kN M A 20 kNm M B 10 kNm M max 20 kNm Vx 475 20x 0 x 2375m para 0 x 3m M2375 M max 20 4752375 20 2375² 2 M max 20 1128125 56406 3641 kNm 8 Determine a fl de modo que a viga fique submetida aos menores momentos fletores possíveis Solução P ab l P 3 l² 4 l l 4 M max Mmax 3P l 16 P a P a 2P a 3P l 16 a 3 l 32 9 O Diagrama do esforço cortante de uma viga simplesmente apoiada em A e B é o indicado Determine os máximos momentos fletores Obs Existe um momento anti horário aplicado em C de valor Igual a 20 kNm Solução 475 10 125 325 M A 20kNm M B 101 10kNm M Maxx 20kNm 475 125 3 2375m MMáx 20 12 2375 475 3641kNm Ou considerando a area a direita de x MMáx 12 3 2375 125 325 525 2 1 10 1 MMáx 3641kNm 10 Esboce de modo coerente DMF DEC e DEN Solução MB 0 4RA 160 20 0 RA 45kN RB 55kN cosθ 08 senθ 06 VA 45 08 36kN NA 45 06 27kN vC 36 60 08 12kN VC 12 20 08 28kN NC 27 60 06 9kN NC 9 20 06 21kN VB 28 20 08 44kN NB 21 20 06 33kN MA MB 0 MC 55 1 20 1 05 45kNm No trecho AB ql²4 20 3²4 45kNm No trecho BC ql²8 20 1²8 25kN 39 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Determine o valor e o sinal do momento fletor e do esforço cortante na seção indicada Resposta a VE 35kN Vd 15kN M 45kNm b V 20kN M 20kNm c V 333kN M 111kNm d V 0 M 0 Cargas aplicadas diretamente nos apoios não alteram os esforços na viga 2 Determine as expressões gerais de Mx e Vx ao longo do comprimento das vigas a b Vx q l 6 q x² 2l Mx q l 6 q x³ 6l c Vx q x Mx q x² 2 d 0 x a Vx P b l Mx P b l x 3 Trace em escala DMF e DEC das seguintes vigas isostáticas Resposta a VMAX 20 kN MMAX 50 kNm b VMAX 52 kN MMAX 676 kNm c VMAX 52 kN MMAX 526 kNm MMAX 15 kNm d VMAX 10 kN MMAX 18 kNm MMAX 22 kNm 6 Esboço coerente DMF DEC e DEN 4 Em relação ao exercício 3 determine Mmax e Vmax analiticamente 7 Determine o momento fletor máximo numa viga isostática simplesmente apoiada em A e B cujo DEC é o indicado Resposta MMAX 50 kNm 8 O DEC da viga simplesmente apoiada AB é o indicado Construa apenas um carregamento
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA GERAL PARA ENGENHARIA CIVIL TEORIA E PRÁTICA PRIMO FERNANDES FILHO Professor de Engenharia Civil da Universidade Federal da Paraíba JOÃO PESSOAPB 2014 SUMÁRIO Introdução 07 Lista de Símbolos 10 CAPÍTULO 1 RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS 12 11 Introdução 12 12 Lei do Paralelogramo 12 13 Forças e componentes 13 14 Momento de uma força em relação a um ponto 14 15 Binário 15 16 Momento de uma força em relação a um eixo 15 17 Redução de um sistema de forças qualquer a outro equivalente constituído de uma única força resultante e um momento resultante num ponto dado 16 18 Exercícios resolvidos 17 19 Exercícios Propostos 22 CAPÍTULO 2 EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS 29 21 Introdução 29 22 Forças externas 29 23 Tipos de carregamento 29 24 Tipos de apoio 32 25 Equações de equilíbrio da Estática 34 26 Estaticidade externa de uma estrutura 34 27 Esforços simples ou internos 35 28 Exercícios resolvidos 37 29 Exercícios Propostos 54 DMF DEC DEN 81 Introdução INTRODUÇÃO A Mecânica pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob ação de forças É dividida em três partes Mecânica dos Corpos Rígidos Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluidos A Mecânica dos Corpos Rígidos por sua vez é subdividida em Estática Cinemática e Dinâmica A primeira referese aos corpos em repouso a segunda e a terceira a corpos em movimento Nesta parte do estudo da Mecânica os corpos são considerados perfeitamente rígidos Contudo as estruturas e as máquinas nunca são absolutamente rígidas deformandose sob ação das cargas a que estão submetidas Mas essas deformações são geralmente pequenas e não alteram de modo apreciável as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada No entanto estas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura do material sendo estudadas em Resistência dos Materiais que é a parte da Mecânica dos Corpos Deformáveis A terceira divisão da Mecânica a Mecânica dos Fluidos é subdividida no estudo dos fluidos incompressíveis e dos fluidos compressíveis A Hidráulica que cuida dos problemas que envolvem líquidos é uma importante subdivisão dos fluidos incompressíveis Mecânica é uma ciência física pois trata de fenômenos físicos Entretanto podemos associar a Mecânica com a Matemática enquanto muitos a consideram assunto de Engenharia Ambos os pontos de vista são justificados em parte Pelo rigor e ênfase colocados no raciocínio dedutivo aproximase da Matemática mas não é uma ciência abstrata ao mesmo puro é uma ciência aplicada por isto se aproxima da Engenharia sendo indispensável ao seu estudo O objetivo básico do estudo da mecânica geral é desenvolver no estudante a capacidade de prever os efeitos de forças e momentos durante a criação de um projeto de engenharia o que demanda um bom nível de capacidade analítica do problema À medida que experimentamos o estudo da mecânica estamos construindo uma base teórica para uma variedade de problemas de engenharia cujo resultado tanto mais se aproxima da realidade quanto melhor tenham sido incorporadas as aproximações matemáticas e as hipóteses físicas com destaque para a definição do diagrama de corpo livre Na formulação e solução de um problema de mecânica temos frequentemente oportunidade de utilizar conhecimentos de geometria plana e analítica álgebra vetorial e escalar trigonometria e cálculo descobrindo assim significado para estas ferramentas matemáticas esforços internos nas estruturas planas isostáticas correntes na Engenharia Civil como vigas pórticos grelhas e treliças Neste sentido chamamos atenção para o fato de que a solução analítica de um problema referente ao equilíbrio de um corpo rígido tanto mais se aproxima da realidade quanto melhor seja definido o seu diagrama de corpo livre nome dado ao desenho esquemático do corpo ou parte dele com todas as forças externas atuantes incluindo também as dimensões necessárias ao cálculo dos momentos É essencial considerar todas as forças que atuam sobre o corpo é igualmente importante excluir qualquer força que não esteja diretamente aplicada sobre ele Omitindo uma força ou adicionando uma força estranha estaremos criando ou impondo um falso equilíbrio ao corpo ou seja calculando corretamente um projeto mal concebido Quando o corpo é formado por várias partes as forças que as várias partes exercem umas sobre as outras não aparecem no Diagrama de Corpo Livre pois não são forças externas Estas forças no que se refere ao corpo livre são forças internas Durante o estudo de uma estrutura a determinação dos esforços internos é uma etapa inicial e das mais importantes no entanto tratamse de grandezas de significado relativo Perguntar por exemplo se uma força de 50 KN é grande ou pequena não faz sentido pois tornase necessário relacionála com as características da seção onde esta vai atuar surgindo os conceitos de tensão e deformação grandezas que vêm medir a intensidade dos esforços sobre a seção e que são o objeto principal do estudo da Resistência dos Materiais As principais características geométricas de uma seção transversal são a Área relacionada diretamente com a tensão normal provocada pelo esforço normal atuante na seção b Centróide ponto ao qual todos os esforços são referidos c Momento Estático de área usado no cálculo da tensão de cisalhamento proveniente de esforço cortante na seção d Momento Axial de Inércia importante no estudo das tensões e deformações que se processam durante a flexão de uma barra e Produto de Inércia interessa seu conhecimento para se determinarem os eixos e os momentos principais de inércia f Raio de Giração ganha importância durante o estudo da flambagem de colunas g Momento Polar de Inércia usado durante o estudo das tensões e deformações de uma barra cilíndrica sob torção Este trabalho nasce após experiência do autor como professor da disciplina Mecânica Geral oferecida aos estudantes de engenharia Civil quando podemos acompanhar e verificar as dificuldades com que o aluno se defronta quando se propõe a adquirir um livro com conteúdo e aplicações dirigidas para engenharia Civil Desta forma nos propomos a preencher esta lacuna selecionando a matéria em sua teoria elaborando e criando exercícios de modo que dispostos numa sequência lógica venham contemplar o conteúdo proposto servindo de suporte para o ensino da disciplina Mecânica Geral às turmas do curso de engenharia Civil São nove capítulos com teoria e aplicações referentes ao equilíbrio dos corpos rígidos esforços internos nas estruturas isostáticas e às características geométricas de uma seção transversal Em cada capítulo são apresentados exercícios resolvidos e propostos com e sem respostas Em anexo algumas tabelas de uso comum na engenharia e usadas durante a resolução dos exercícios a b c constante distância b base A B C seções apoios A área de seção transversal C centroide centro d distância D diâmetro F P força g aceleração da gravidade h altura I momento axial de inércia Ixy produto de inércia J momento polar de inércia k constante raio de giro L comprimento vão M momento momento fletor N esforço normal O origem de coordenadas P peso próprio q carga distribuída Q momento estático de área R força resultante raio ρ θ coordenadas polares t espessura T momento torsor U V rotação de eixos V esforço cortante volume x y z coordenadas retangulares X Y Z eixos coordenados X Y coordenadas do centróide γ peso específico CAPÍTULO 1 RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS 11 INTRODUÇÃO Neste capítulo é feita uma revisão nos conceitos de forças componentes força resultante momento de uma força em relação a um ponto e em relação a um eixo Veremos que todo e qualquer sistema poderá ser substituído pela ação de dois esforços que em relação a um ponto qualquer venham a produzir o mesmo efeito que o sistema inicial Estes esforços são uma força e um momento resultantes A força resultante é a soma vetorial das projeções das forças do sistema e capaz de produzir translação segundo sua direção O momento resultante é a soma vetorial dos momentos das forças do sistema portanto capaz de produzir rotação O estudo da Estática compreende a ação de forças exteriores sobre um corpo rígido em posição de repouso Assim a determinação da resultante força e momento ganha importância pois dela depende diretamente as condições de equilíbrio de um corpo 12 LEI DO PARALELOGRAMO A resultante de duas forças concorrentes é igual à diagonal principal do paralelogramo que tem como lados iniciais os vetores destas forças Fig 11 A resultante R para duas forças F1 e F2 forma um ângulo θ com F1 Aplicando a Lei dos cossenos para Δ123 temse R2 F1 2 F2 2 2F1 F2cos180 θ R2 F1 2 F2 2 2F1 F2cosθ Para verificar sua veracidade tomemos um caso particular conhecido Seja θ 90 então R F1 2 F2 2 TEOREMA DE PITÁGORAS No caso de mais de duas forças concorrentes no mesmo ponto somamse inicialmente duas quaisquer que fornecem uma resultante parcial que será somada a uma terceira até que todas tenham sido envolvidas no processo 13 FORÇAS E COMPONENTES Aqui o objetivo é dada a resultante determinar suas componentes ao longo de direcções dadas Fig 12 Aplicando a lei dos senos para Δ123 temse R F1 F2 sen180θ1θ2 senθ2 senθ1 Um caso particular bastante usado é quando as direcções 1 e 2 são as perpendiculares x e y Neste caso a fórmula acima fornece Rx Rcosθ e Ry Rsenθ onde θ é o ângulo que R faz com x Assim temos uma nova maneira mais prática e universalmente usada para determinar a resultante de um sistema de forças F qualquer dada por R Rx²Ry² tgθ RyRx Rx ΣFicosθi Ry ΣFisenθi θ1 ângulo que a força Fi faz com x θ ângulo que a força R faz com x 14 MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO Seja uma força F e um ponto O Por definição MF Fd momento no ponto O provocado pela força F d braço do momento distância do ponto O à linha de acção de F O momento pode ser representado por uma seta curva no plano que contém F e O xy que é o plano do momento ou por uma seta dupla reta na direção do eixo em torno do qual se dá o momento eixo z TEOREMA DE VARIGNON OU PRINCÍPIO DOS MOMENTOS A soma dos momentos das componentes é igual ao momento da resultante Fig 14 MFo Fd ΣMo Fxh Fcosθ d Fd cosθ logo MF ΣMc 15 BINÁRIO Um binário é um par de forças de mesmo módulo mesma direção mas com sentido diferente Desta forma podemos mostrar que se um corpo se encontra sob acção exclusiva de um binário não sofrerá movimento de translação enquanto o movimento de rotação existe e é igual para todos os pontos do corpo Fig 15 R FF 0 Movimento de translação nulo ΣMa Fd horário ΣMb Fx1 Fx2 Fd horário ΣMc Fdx2 F2 Fd horário ou seja ΣMa ΣMb ΣMc o movimento de rotação existe e é igual para todos os pontos em torno de um eixo z que é perpendicular ao plano que contém o binário xy 17 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS QUALQUER A OUTRO EQUIVALENTE CONSTITUÍDO DE UMA ÚNICA FORÇA RESULTANTE E UM MOMENTO RESULTANTE NUM PONTO DADO Fig 17 F1 d1 F2 0 d2 FN Fig 17a F1 F1 F2 F2 0 FN Fig 17b F2 F1 M2 M1 Fig 17c F N 0 Fig 17d F F1 F2 FN independe do ponto O M M1 M2 MN F1d1 F2d2 FNdN depende do ponto O 18 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Determine a resultante do sistema de forças abaixo Solução R R² R² Rx 203 10cos205cos60651213 Rx 12 94 25 6 Rx 129 kN Ry 20 15 5sen60 65513 10sen20 Ry 16 433 25 342 Ry 1441 kN tgθ RyRx θ 48 Onde θ é o ângulo que R faz com x 2 Um carro avariado é puxado pelas cordas AB e AC sendo a tração na corda AB 400 N determina a tração em AC e a resultante de modo que o carro se mova paralelamente as margens da estrada Solução R ABcos30 ACcos20 R 40032 585094 R 905 N 3 Uma força F é tal que provoca Ma 60 KNm h Mb 80 KNm a e Mc 0 Determine F e a interseção da sua linha de ação com os eixos x e y Solução MA 60 2Fx Fx 30 kN MB 80 3Fy Fy 803 kN Logo F Fx² Fy² F 40 kN 20 803 x x 37 m p70 MB 80 Fx2y 80 2Fx Fxy 80 60 30y 20 30y y 23 m MC 104 104 201 60 kNm M 104 104 203 20 kNm 1 Determine a resultante do sistema de forças abaixo 4 Uma força F é tal que provoca MA 60 kNm h MB 80 kNm a e MC 0 Determine F e a interseção da sua linha de ação com os eixos x e y 7 Na barra abaixo atuam três forças duas das quais mostradas junto com a resultante Qual a terceira força e sua posição 11 Reduzir o sistema de forças a outro equivalente constituído de uma resultante em C e um binário através de A e B 12 Uma viga de 3 m de comprimento é carregada de várias maneiras diferentes Encontre dois carregamentos equivalentes Resposta d e 13 Diga quais dos carregamentos abaixo são equivalentes a 10 kN 30 m b 60 kN 60 kNm c 20 kN 30 m d 10 kN 14 Considerando o sentido horário como sendo positivo determine M4 e MB Resposta MA 0 MB 1495 kN 15 Determine a resultante das forças sabendo que o raio mede 20 cm e a intensidade das forças em kN são numericamente iguais aos comprimentos AB AC AD etc em cm 16 Determine a resultante das quatro forças tangentes ao círculo de raio igual a 6 cm Qual a interseção da linha de ação de R com a linha AB Resposta R 2563 kN 308 cm acima de A 17 Uma jangada é puxada por dois reboqueadores Se a resultante das forças exercidas pelos reboqueadores for uma força de 22 240N dirigida segundo o eixo da jangada determine a A força de tração instalada em cada uma das cordas sabendo que α 45 b O valor de α para que o valor de tração da corda 2 é mínima 18 Uma força F 700 Ni 1500 Nj é aplicada a um parafuso A Determine a intensidade da força e o ângulo θ que ela forma com a horizontal 19 Determine a resultante no sistema de forças a F1 30 N F2 150 N F3 100 N F4 110 N b 15 120 N 80 N 35 40 150 N CAPÍTULO 2 EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS 21 INTRODUÇÃO Para um corpo submetido a um sistema de forças estar em equilíbrio é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo Assim a força resultante deve ser nula e o momento resultante momento estático em todos os pontos também deve ser nulo Podemos mostrar que a força resultante sendo nula o momento estático nulo num ponto garante a nulidade do momento estático em todos os pontos o que viabiliza a verificação do equilíbrio de um corpo Fig 21 22 FORÇAS EXTERNAS Representam a ação de outros corpos sobre o corpo considerado seja o corpo uma viga de um edifício As forças externas atuando na viga são seu peso próprio peso de parede descarga da laje e reação dos pilares 23 TIPOS DE CARREGAMENTO a CARGA CONCENTRADA OU PONTUAL A carga é aplicada numa região pequena do corpo Exemplo descarga de uma viga num pilar ou a reação de um pilar a uma viga Fig 22 viga descarregando em outra viga dx 0 dA dF qxdx q qx qx qx F ₀¹ dF ₀¹ qx dx ql 12 área da figura formada pela carga dF1x dMB ₀¹ dF1x ₀¹ dMB MB ₀¹ q1xdx ql² ql 16 A Figura 212 mostra outras possibilidades de apoio vínculo Reação Número de freqüências Rolazes Balancim Superfície lisa Força com linha de ação coincidente 1 Cibo curto Haste curta Força com linha de ação coincidente 1 Chão sobre haste lisa Pleno liso deslizante Força com linha de ação coincidente 1 Pleno liso em articulação Superfície superior Força com direção descoincidente 0 Apóio fixo em resistimento Fig 212 Reações dos vínculos Ou seja para se calcular o momento estático no ponto B aplicase a resultante no centro da figura formada pelo carregamento Podemos generalizar a resultante de um carregamento distribuído qualquer é igual à área da figura formada por este carregamento e para se calcular o momento estático num ponto qualquer a resultante é aplicada no centróide desta figura 25 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA ESTÁTICA Numa situação geral de carregamento as equações de equilíbrio da estática são seis ΣFX 0 ΣFY 0 ΣFZ 0 ΣMX 0 ΣMY 0 ΣMZ 0 Um caso particular importante é o de uma estrutura plana com carga no seu próprio plano xy Neste caso as equações acima se reduzem a três ΣFX 0 ΣFY 0 ΣMZ 0 Este tipo de estrutura tem o nome de pórtico ou quadro plano Outro caso particular interessante é o de uma estrutura plana xy com carga perpendicular ao seu plano Neste caso as equações de equilíbrio passam a ser ΣFZ 0 ΣMX 0 ΣMY 0 Este tipo de estrutura dáse o nome de grelha 26 ESTATICIDADE EXTERNA DE UMA ESTRUTURA Havendo uma racional disposição dos elementos de apoio as estruturas quanto à sua estaticidade externa classificamse em a hipoestática quando o número de reações de apoio NR é menor que o número de equações de equilíbrio aplicáveis NE Não tem estabilidade própria b isostática quando NR NE Tem estabilidade própria c hiperestática quando NR NE Tem estabilidade própria Dizse até de forma imprópria que o equilíbrio é mais que estável Definese GH NR NE como grau de hiperestaticidade externa de uma estrutura Estas estruturas são resolvidas com o auxílio das equações de compatibilidade de deformação pois as de equilíbrio são insuficientes A Figura 213 ilustra com exemplos as situações a b e c 27 ESFORÇOS SIMPLES OU INTERNOS Quando um sistema de forças não equilibrado atua sobre um corpo o mesmo se desloca segundo um movimento de corpo rígido isto é não se deforma e portanto internamente não é solicitado fig 214 Quando as forças que atuam sobre o corpo estão em equilíbrio o corpo se desloca porém suas várias seções vão se deformar o que nos induz que internamente estão sendo solicitadas por algum esforço Fig 215 Este esforço é chamado esforço interno ou simples e recebe nome de acordo com a direção em que atua Um sistema de forças atuando sobre um corpo encontra seu equilíbrio através das reações de apoio que provêm Vejamos agora quais os efeitos estáticos que estas cargas e reações provocam em cada uma das seções do corpo Para tal consideremos o corpo representado na Figura 216 que se encontra em equilíbrio Para identificar que esforço ocorre internamente na seção S seccionamos o corpo nesta seção dividindoo em duas partes Ficamos agora com dois novos corpos a parte à direita de S e a parte à esquerda de S que perderam o equilíbrio Lembremos porém que se um corpo está em equilíbrio é porque todos os pontos que o formam também estão Desse modo as partes à direita e à esquerda de S também devem estar em equilíbrio e quem leva estas partes ao equilíbrio são justamente os esforços internos atuantes na seção Desta forma podemos dizer que os esforços internos numa seção são determinados pela imposição do equilíbrio na direção correspondente ao esforço desejado de uma das partes separadas pela seção Considerando por exemplo a parte à esquerda de S Fig 217 temos atuando no seu centroide um momento e uma força que no caso geral atuam numa direção qualquer As componentes de R e M nos três eixos são N esforço normal ou axial age no sentido de tracionar ou comprimir a seção Vy Vz esforço cortante age no sentido de cortar separar o corpo nesta seção T momento torsor age no sentido de dar um giro na seção em torno do eixo longitudinal do corpo My Mz momento fletor age no sentido de flexionar ou envergar o eixo longitudinal provocando uma rotação da seção CONVENÇÃO DE SINAL N positivo quando de tração N N N N V positivo quando as forças externas que o provocam à direita estiver para baixo ou à esquerda apontar para cima Seção Seção V V V V M positivo quando comprime as fibras superiores tracionando as inferiores M M M T positivo quando usando a regra da mão direita o polegar apontar para fora da seção T T T T Na sequência veremos do Capítulo 3 ao Capítulo 7 como atuam e como determinar estes esforços nas diversas estruturas isostáticas formadas por barras quais sejam vigas Gerber pórticos grelhas e treliças 28 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Determine as reações de apoio das seguintes estruturas planas carregadas em seu próprio plano Solução a Fz 0 HB 0 O apoio B pode ser substituído por um apoio do primeiro gênero Fy 0 RA RB 40 20 60 kN MB 0 4RA 40 20 201 0 RA 25 kN Logo RB 35 kN RA como esperado b Fy 0 RA RB 60 kN MB 0 4RA 5015 101 0 4RA 65 RA 1625 kN RB 60 1625 4375 kN RA como esperado c Fx 0 HA 2015 0 HA 16 kN Fy 0 RA 2035 10 RA 22 kN MA 0 MA 121 10 103 0 MA 52 kNm d Fy 0 HA 30 kN Fy 0 RA RB 20 kN MB 0 4RA 202 3015 0 4RA 85 RA 2125 kN 1 Fy 0 temos que RB 125 kN Obs O valor negativo para RB indica que o sentido correto da força é contrário ao arbitrado e 10kNm 1m 1m 2m 1m 10kN 1m HA MA RA ΣFy 0 HA 10 kN ΣFy 0 RA 10 kN ΣMA 0 MA 101 1015 0 MA 15 kNm 29 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Determine a tração nos cabos AB e BC nos sistemas estruturais abaixo a 09m 15m 12m B 10kN C A B 40kN Resposta a AB 6 kN BC 78 kN b AB 434 kN BC 354 kN c AB 1725 kN BC 446 kN 2 Determine a tração no cabo AB do sistema estrutural abaixo 20kNm 10kNm 3143 kN 3 Determine as reações de apoio nas estruturas isostáticas planas abaixo a 10kN 20kN 20kNm 10kNm B 10kN 3m m 2m 10kNm A b 10kN 10kNm 20kNm A 3m c 10kN 10kNm 2m 10kN 15m A d 10kN 20kNm 10kN 2m B e 20kNm 3m 10kN A f 40kN 40kN C 2m 20kN 4m 15m g 15 kN 20 kN 20 kN h 20kNm 10kNm 10kN i 20kNm 10kN j 30 kNm 10kN k 20kNm 10kN l 10kN m 40kN 20kNm Resposta a RA 1125 kN RB 10875 kN b HA 6 kN RA 53 kN MA 173 kNm Antihorário c HB 10 kN RA 40 kN RB 0 d H 20 kN R 50 kN M 15 kNm Horário e H 0 R 70 kN Mx 120 kNm My 240 kNm Antihorário f RA 20 kN RB 80 kN RC 40 kN Resposta a RA 36875 kN b RA 30 kN MA 80 kNm Antihorário Resposta X 36 m Resposta 3 kN P 255 kN Resposta T 27 kN F 036 kN P 316 kN Uma barra de 36 m de peso desprezível repousa numa posição horizontal apoiada nos planos inclinados A e B Determine X para a barra ficar em equilíbrio na sua posição horizontal OBS planos lisos Resposta X 145 m 12 Determine X para que 3 kN na horizontal deixe a barra AB em equilíbrio na posição mostrada AB tem 3 m de comprimento e pesa 7 kN O piso e o declive são completamente lisos Resposta X 1 m 13 A escada uniforme mostrada na figura repousa apoiada na parede de um prédio em A e no telhado de uma casa em B se a escada tem um peso de 100N e as superfícies A e B são consideradas lisas determine o ângulo θ para a condição de equilíbrio 14 Para estrutura abaixo determinar os esforços internos solicitantes normal cortantes momentos fletores e momento torçor na seção junto ao engaste CAPÍTULO 3 VIGAS ISOSTÁTICAS 31 INTRODUÇÃO Uma viga é um elemento estrutural linear geralmente com eixo horizontal com a função principal de receber cargas verticais provenientes das lajes e transmitilas aos pilares As vigas isostáticas se classificam segundo o modo com o qual são vinculadas Os tipos de vigas isostáticas frequentemente usadas são mostradas na Fig 31 A distância l entre os apoios é denominada vão Observe que as reações serão determinadas se os vínculos externos envolverem apenas três incógnitas As reações serão estaticamente indeterminadas se mais incógnitas forem envolvidos neste caso os recursos da Estática não serão suficientes para determinar as reações e as condições de deformação da viga devem ser consideradas mas isto é objeto da Resistência dos Materiais Na seção S deve atuar uma força cortante V e um momento fletor M para que este novo corpo fique em equilíbrio Note que de acordo como a convenção dada no Capítulo 2 este cortante é positivo bem como é positivo este momento fletor Note também que o valor numérico de V é igual à soma algébrica das forças em sua direção que estão à esquerda da seção e o momento fletor é igual à soma algébrica dos momentos de todas as forças externas que estão à esquerda da seção isto porque consideramos a parte à esquerda da seção 32 LEI DE VARIAÇÃO PARA ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR AO LONGO DO COMPRIMENTO DE UMA BARRA RETA 1 Num trecho descarregado o esforço cortante é constante enquanto o momento fletor é uma reta 2 Num trecho com carga uniformemente distribuída o esforço cortante é uma reta inclinada e o momento fletor uma parábola do 2 grau 3 Num trecho com carga triangular o esforço cortante varia segundo uma parábola do 2 grau e o momento fletor segundo uma parábola do 3 grau 4 Nas seções de carga transversal concentrada o esforço cortante apresenta uma descontinuidade igual ao valor desta carga 5 Nas seções de carga momento aplicada o momento fletor apresenta uma descontinuidade de valor igual a essa carga momento Usaremos a viga da Fig 33 para verificar estas considerações 0 x 15m carga triangular Vx 30 1x20x parábola do 2 grau 2 15 Mx 30x 20x²1x parábola do 3 grau 3 3 15 x 25m Vx 30 15 15 constante Mx 30x 15x 1 reta 35 x 55m trecho com carga uniformemente distribuída Vx 30 15 10 10x 35 10x 40 reta inclinada Mx 30x 15x 1 10 x 25 10x 35² 2 x 25m seção de carga concentrada Vcf 30 15 15KN cortante na vizinhança esquerda de C VCf 30 15 10 5KN cortante na vizinhança direita de C Logo descontinuo com descontinuidade igual a 10KN que é o valor da carga x 6m seção de carga momento aplicada Md 151 25 40 KNm momento fletor na vizinhança esquerda da seção D Mp 151 15 KNm momento fletor na vizinhança direita da seção D Logo descontinuo com descontinuidade igual a 25 KNm que é o valor da carga momento aplicada 33 RELAÇÃO ENTRE MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE Consideremos o equilíbrio de um elemento de viga de comprimento Δx retirado de uma viga em equilíbrio Fig 34 Fy 0 V qΔx V ΔV 0 q ΔV Δx lim q lim ΔVΔx qx Vx Δx0 A derivada do cortante em relação a sua posição é igual ao valor da carga com sinal trocado nesta posição Mp 0 M VΔx qΔx² M ΔM 0 V ΔM qΔx lim V lim ΔM qΔx 2 Δx0 Δx0 Vx Mx 34 DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR DMF E DE ESFORÇO CORTANTE DEC Um diagrama é a representação gráfica do esforço ao longo do comprimento da estrutura Seu traçado se faz a partir dos valores obtidos nas seções de transição de carga seção de carga concentrada carga momento aplicada início e fim de carga distribuída e do conhecimento da lei de variação do esforço em cada trecho da estrutura De posse de um diagrama a obtenção do esforço numa seção qualquer bem como do esforço máximo é imedita Numa viga de concreto o DMF também vem indicar a posição da armadura necessária para resistir os esforços de tração Convenção para o traçado O esforço cortante positivo é marcado acima de uma linha de referência que coincide com o eixo da viga O momento fletor positivo é marcado abaixo desta mesma linha e o negativo acima de modo que o DMF mostra sempre a posição das fibras tracionadas Isto tem importância no caso de vigas de concreto armado quando o DMF vem mostrar a posição da armadura Roteiro para o traçado da parábola do 2 grau que representa o momento fletor num trecho com carga uniformemente distribuída Fig 35 O extremo da flecha é unido por retas auxiliares a MA e MB Os dois segmentos de retas obtidos são subdivididos num número de partes iguais Os pontos que definem esta subdivisão são unidos de modo conveniente Fig 35 por retas auxiliares Por fim traçase a parábola à mão livre tangenciando as retas 1 2 3 etc e incluindo MA e MB OBS Quanto maior o número de subdivisões maior a precisão do traçado Justificativa deste traçado Para maior facilidade consideremos uma viga biapoiada com carga uniformemente distribuída tgθ ql²1 4 ql 2 tgθ inclinação da tangente ao momento fletor em A Sabemos que a derivada do momento é igual ao esforço cortante e com este traçado isto se confirma pois VA ql2 tgθ Da mesma forma a inclinação das tangentes 1 2 3 na Fig 35 à parábola do DMF serão o esforço cortante nas seções correspondentes justificando assim o roteiro estabelecido para este traçado DMF e DEC no caso de carga triangular Neste caso os diagramas podem ser traçados por pontos a partir da expressão geral de cada esforço No DEC é indispensável os valores máximos e o valor nulo no DMF os valores nulos o máximo e no mínimo mais o valor numa seção qualquer A Fig 36 mostra este traçado no caso de uma viga simplesmente apoiada 35 VIGAS INCLINADAS Seja a viga da Fig 37 submetida ao carregamento distribuído vertical indicado Sendo as reações de apoio as indicadas na figura passemos ao estudo de seus diagramas solicitantes O momento fletor atuante numa seção genérica S é dado por Mx qax qx²2 qa²2 x x²a² Comparando esta expressão com a expressão Mx ql²2 x x²l² que fornece o momento fletor numa seção qualquer de uma viga horizontal sob carga distribuída vertical vemos que para fins de momentos fletores a viga inclinada se comporta como se fosse uma viga horizontal perpendicular ao carregamento do vão a e o diagrama é o indicado na figura notar que as ordenadas do diagrama são sempre marcadas perpendicularmente ao eixo da barra Os demais esforços atuantes nesta seção são dados por Vx qa2 cosα e Nx qa2 senα Convencionaremos marcar o esforço normal positivo tração acima da linha de referência 36 MOMENTO FLETOR E ESFORÇO CORTANTE MÁXIMOS ANALITICAMENTE Depois de nossa experiência com o traçado do DMF e do DEC observando suas leis de variação e conhecendo a relação entre estes esforços podemos concluir a O esforço cortante máximo numa viga ocorre numa das seções de apoio b Nos balanços os momentos fletores são negativos e o máximo ocorre nos apoios destes balanços nos vãos há uma tendência a momento fletor positivo que se confirmada terá o máximo na seção de esforço cortante nulo ou numa seção de transição de carga c Pela natureza do esforço cortante seu valor máximo a considerar será o maior em módulo Para o momento fletor devemos destacar e considerar o máximo positivo e o máximo negativo principalmente quando trabalhamos com um material frágil baixa resistência à tração pois as fibras tracionadas mudam de posição ou seja o momento fletor positivo traciona as fibras inferiores enquanto o negativo traciona as fibras superiores 37 MOMENTO FLETOR CONHECIDO O DEC Vx dMx MX 0 x Vxdx k Onde 0 1 Vxdx área do DEC de 0 até a seção x onde se calcula o momento fletor Fig 38 0 4 Sem o calculo das reações de apoio trace o Diagrama do Momento Fletor Solução 2kN 40kN C Im A 3m D Im B 30kN M C 0 M A 20kNm P ab 30kNm Logo M D 30 5 25kNm 5 Traçar em escala o Diagrama do Momento Fletor e o Diagrama do Esforço Cortante Solução 20kNm A B C Im 425 375 20kN 3m 20kN 375 M D E 375 Valores nas seções de transição de carga foram determinadas no exercício 1 yAC q l² 4 20 3² 4 45kNm 6 Traçar o Diagrama do Momento Fletor e o Diagrama do Esforço Cortante Solução Valores de transição V A 0 V B 5kN V C e 5kN V d C V D e 10kN M A 0 M B 25kNm M D 525 5 5 1 M D 225 kNm 7 Determine analiticamente o momento fletor máximo e o esforço cortante máximo Solução M B 0 4 RA 20 160 20 10 0 RA 475 kN R B 625 kN V A 0 V A 475 kN V d 10 kN V e 525 kN V max 525 kN M A 20 kNm M B 10 kNm M max 20 kNm Vx 475 20x 0 x 2375m para 0 x 3m M2375 M max 20 4752375 20 2375² 2 M max 20 1128125 56406 3641 kNm 8 Determine a fl de modo que a viga fique submetida aos menores momentos fletores possíveis Solução P ab l P 3 l² 4 l l 4 M max Mmax 3P l 16 P a P a 2P a 3P l 16 a 3 l 32 9 O Diagrama do esforço cortante de uma viga simplesmente apoiada em A e B é o indicado Determine os máximos momentos fletores Obs Existe um momento anti horário aplicado em C de valor Igual a 20 kNm Solução 475 10 125 325 M A 20kNm M B 101 10kNm M Maxx 20kNm 475 125 3 2375m MMáx 20 12 2375 475 3641kNm Ou considerando a area a direita de x MMáx 12 3 2375 125 325 525 2 1 10 1 MMáx 3641kNm 10 Esboce de modo coerente DMF DEC e DEN Solução MB 0 4RA 160 20 0 RA 45kN RB 55kN cosθ 08 senθ 06 VA 45 08 36kN NA 45 06 27kN vC 36 60 08 12kN VC 12 20 08 28kN NC 27 60 06 9kN NC 9 20 06 21kN VB 28 20 08 44kN NB 21 20 06 33kN MA MB 0 MC 55 1 20 1 05 45kNm No trecho AB ql²4 20 3²4 45kNm No trecho BC ql²8 20 1²8 25kN 39 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Determine o valor e o sinal do momento fletor e do esforço cortante na seção indicada Resposta a VE 35kN Vd 15kN M 45kNm b V 20kN M 20kNm c V 333kN M 111kNm d V 0 M 0 Cargas aplicadas diretamente nos apoios não alteram os esforços na viga 2 Determine as expressões gerais de Mx e Vx ao longo do comprimento das vigas a b Vx q l 6 q x² 2l Mx q l 6 q x³ 6l c Vx q x Mx q x² 2 d 0 x a Vx P b l Mx P b l x 3 Trace em escala DMF e DEC das seguintes vigas isostáticas Resposta a VMAX 20 kN MMAX 50 kNm b VMAX 52 kN MMAX 676 kNm c VMAX 52 kN MMAX 526 kNm MMAX 15 kNm d VMAX 10 kN MMAX 18 kNm MMAX 22 kNm 6 Esboço coerente DMF DEC e DEN 4 Em relação ao exercício 3 determine Mmax e Vmax analiticamente 7 Determine o momento fletor máximo numa viga isostática simplesmente apoiada em A e B cujo DEC é o indicado Resposta MMAX 50 kNm 8 O DEC da viga simplesmente apoiada AB é o indicado Construa apenas um carregamento