Resistência dos Materiais I - Material Didático

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DECA Resistência dos Materiais I Prof Primo Fernandes Filho 1ª Edição 2017 Primo Fernandes Filho Este material didático instrucional tem como objetivo a divulgação da produção didática do Departamento de Engenharia Civil e Ambiental DECA junto à comunidade acadêmica e demais profissionais da área Primo Fernandes Filho Primo Fernandes Filho Sumário Introdução 7 Considerações Iniciais 8 Revisão de Mecânica Geral e Isostática 8 Introdução à Resistência dos Materiais I 13 Capítulo 1 Tensões e Deformações 15 1 Tensão e Deformação 15 11 Tensão Normal 15 12 Deformação Longitudinal 16 13 Leis Constitutivas dos Materiais Estruturais 16 14 Elasticidade 17 15 Lei de Hooke para tensão normal σ e deformação axial ε 17 16 Coeficiente de Poisson ν 18 17 Energia de Deformação Esforço Normal 19 18 Alguns Conceitos 20 19 Tensões Térmicas 20 110 Tensão de Cisalhamento Direto τ 21 111 Deformação de Cisalhamento γ 22 112 Lei de Hooke para Tensão de Cisalhamento 23 113 Energia de Deformação no Cisalhamento por Unidade de Volume μ 23 114 Tensão Admissível 24 115 Exercícios Resolvidos 25 116 Exercícios Propostos 34 Capítulo 2 Análise de Tensões 39 21 Introdução 39 22 Tensões em um Plano Inclinado Qualquer 40 23 Tensões Principais e Planos Principais 42 24 Tensão de Cisalhamento Máximo Mínimo e Seus Planos 44 25 Casos Particulares do Estado Plano de Tensão 45 26 Círculo de Mohr para Tensões 46 27 Exercícios Resolvidos 49 28 Exercícios propostos 56 Capítulo 3 Tensões em Vigas 60 31 Introdução 60 32 Tensão Normal 62 Primo Fernandes Filho 33 Módulo de resistência da seção quanto a flexão W 64 34 Curvatura em vigas 65 35 Tensão de cisalhamento em vigas 66 36 Fluxo de cisalhamento 71 37 Vigas de Dois Materiais 72 38 Exercício Resolvidos Tensão Normal 75 39 Exercício Resolvidos Tensão de Cisalhamento 79 310 Exercício Resolvidos Viga de Dois Materiais 83 311 Exercício Propostos Tensões Normais 88 312 Exercício Propostos Tensão de Cisalhamento 92 312 Exercício Propostos Viga de Dois Materiais 96 Capítulo 4 Deformação em Vigas Isostáticas 98 41 Introdução 98 42 Método da Equação Diferencial da Linha Elástica LE 100 43 Método da Área do DMF 106 431 Primeiro Teorema de Mohr 107 432 Segundo Teorema de Mohr 109 44 Exercícios Resolvidos Método da Integração Direta 110 45 Exercícios Resolvidos Teoremas de Mohr 120 45 Exercícios Propostos 126 Capítulo 5 Torção 130 51 Introdução 130 52 Torção em Seções Circulares 131 53 Torção em Seções Fechadas de Paredes Finas Teoria Aproximada de Bredt 134 54 Exercícios Resolvidos Torção para Seção Circular 136 55 Exercícios Resolvidos Teoria de Bredt 140 56 Exercícios Propostos Seção Circular 143 57 Exercícios Propostos Teoria de Bredt 145 Tabela Propriedades Geométrica dos Perfis Laminados 146 Tabela Propriedades das Áreas Planas 150 Tabela Deflexões e Inclinações em Vigas 155 Primo Fernandes Filho Lista de Símbolos A Área de uma seção transversal b Largura da seção transversal C Centroide de uma seção transversal d Diâmetro dx dy dz Dimensões infinitesimais e Espaçamento Espessura E Módulo de elasticidade longitudinal F carga G Módulo de elasticidade transversal GH Grau de hiperestacidade h Altura de uma seção transversal H Reação horizontal I Momento axial de inércia J Momento polar de inércia L Comprimento LN Linha neutra M Momento fletor N Esforço normal Número de nós Número de pregos N Razão entre módulos de elasticidade de dois materiais Nb Número de barras Ne Número de equações de equilíbrio Nr Número de reações de apoios O Centro de curvatura P Força q carga uniformemente distribuída Q Momento estático de área Força r Raio R Reação Vertical S Seção transversal T Momento torsor Temperatura tBA Desvio tangencial de B com relação a A U Energia de deformação u Energia de deformação por unidade de volume V Esforço cortante V Volume Primo Fernandes Filho W Trabalho Peso próprio Módulo de resistência à flexão Wt Módulo de resistência à torção XYZ Eixos coordenados y Deflexão Flecha α Coeficiente de dilatação linear γ Deformação de cisalhamento Coeficiente de segurança Peso específico δ Deslocamento θ Ângulo unitário de torção θ β Ângulos ν Coeficiente de Poisson ρ Raio de curvatura σ Tensão normal ϕ Diâmetro Fluxo de cisalhamento Ângulo de torção 𝜀 Deformação longitudinal ou axial 𝜏 Tensão de cisalhamento 7 Primo Fernandes Filho Introdução A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo abrangendo também o cálculo das deformações do corpo e o estudo da sua estabilidade quando submetido a solicitações externas HIBBELER 2004 Em resumo é o capítulo da Mecânica dos Corpos Sólidos no qual se estuda o equilíbrio dos referidos corpos considerando os efeitos internos produzidos pela ação das forças externas A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII época em que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e vigas feitas de vários materiais No entanto para a compreensão adequada dos fenômenos envolvidos foi necessário estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades mecânicas de materiais Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no início do século XVIII Na época estudos foram realizados principalmente na França baseados em aplicações da mecânica a corpos materiais denominandose o estudo de resistência dos materiais Atualmente no entanto refere se a esses estudos como mecânica dos corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos materiais HIBBELER 2004 Entre os diversos estudiosos e pesquisadores que colaboraram com a formação da Resistência dos Materiais destacamse Galileo Saint Venant Bernouilli Navier Hooke Poisson Cauchy Euler Castigliano Tresca Von Mises Lamé entre outros A Resistência dos Materiais tem como objetivo principal o estudo das tensões e das deformações em elementos estruturais lineares isostáticos visando a verificação respectivamente da resistência e da rigidez da estrutura Hoje quando os progressos no conhecimento dos materiais e nos métodos de cálculo determinam uma tendência de tornar as estruturas mais leves esbeltas e com isto mais econômicas ganha importância também o estudo da estabilidade da estrutura Desta forma utilizando corretamente os conhecimentos da Resistência dos Materiais teremos condições de dimensionar uma estrutura resistente rígida e estável além de econômica Em Resistência dos Materiais I obedecendo a sua ementa procuramos contemplar todos estes aspectos com exceção à estabilidade da estrutura matéria disponível para a disciplina de Resistência dos Materiais II A questão da resistência é enfocada nos capítulo I II III e V onde a formulação teórica é apresentada e situações práticas são ilustradas No capítulo V nos preocupamos com a rigidez da estrutura quando a atenção estará voltada para o estudo das deformações em vigas isostáticas Para tanto faremos uso do método da equação diferencial da linha elástica e dos teoremas de Mohr como ferramentas destinadas ao cálculo dessas deformações No final de cada capítulo a matéria é ilustrada com a resolução de alguns exercícios bem como sugerimos uma lista de exercícios bastante abrangente grande parte com respostas e alguns sem respostas Em anexo incluímos algumas tabelas necessárias à solução dos exercícios Este material didático instrucional vem atender a uma demanda de alunos da disciplina Resistência dos Materiais I que historicamente reclamam por uma bibliografia adequada ao conteúdo proposto Sendo assim com base na experiência de professor da disciplina ousamos propor esta apostila para que colocando os assuntos de modo resumido e numa sequência lógica possamos satisfazer a essa reivindicação sem no entanto ter a pretensão de um livro texto mas servindo de suporte ao aprendizado da matéria 8 Primo Fernandes Filho Considerações Iniciais Revisão de Mecânica Geral e Isostática Elemento Estrutural Corpo que é projetado com a função de receber e transmitir cargas Assim numa edificação simples as lajes as vigas os pilares e as fundações são elementos estruturais Classificação Quanto às Dimensões Linear ou de Barra uma dimensão prevalece sobre as demais ex vigas colunas treliças pórticos e grelhas De Superfícies duas dimensões prevalecem sobre a terceira Quando a carga é perpendicular à superfície o elemento estrutural é chamado de laje e se a carga estiver no plano da superfície é chamada de chapa Quando a superfície é curva o elemento estrutural é chamado de casca c casca 9 Primo Fernandes Filho De Volume as três dimensões são da mesma ordem de grandeza a exemplo dos blocos de fundações Obs Em Resistência dos Materiais são estudados os elementos estruturais de barra Classificação dos Elementos Estruturais de Barra Coluna Pilar ou Escora Tirante Nestes casos o carregamento acontece na direção axial Viga Neste caso a carga é perpendicular ao eixo da barra 10 Primo Fernandes Filho Pórtico Plano elemento estrutural formado por barras situadas num mesmo plano e carregadas neste plano Assim colunas tirantes vigas e treliças planas são casos particulares de pórticos planos Grelha Elemento estrutural formado por barras situadas num mesmo plano e carregadas na direção perpendicular a este plano Treliça Plana Elemento estrutural formado por barras situadas num mesmo plano carregadas neste plano e articuladas nas extremidades a carga preferencialmente deve ser aplicada nos nós 11 Primo Fernandes Filho Esforços Internos Uma vez a barra em equilíbrio surgem em suas várias seções os esforços internos que recebem nome de acordo com a direção em que atuam ver figura abaixo Na ausência de equilíbrio a barra sofre movimento de corpo de corpo rígido e não se fala em esforços internos N Esforço normal age no sentido de tracionar ou comprimir a seção Está presente na coluna no tirante no pórtico treleça e em vigas inclinadas Vz e Vy esforços cortantes agem no sentido de separar ou cortar a seção Estão presente na viga no pórtico e na grelha Mz e My momentos fletores agem no sentido de flexionar envergar o eixo longitudinal da barra Estão presentes na viga no pórtico e na grelha T momento torçor age no sentido de torcer o eixo longitudinal da barra Presente na grelha e em demais elementos estruturais submetidos ao carregamento transversal excêntrico Classificação das Barras Quanto a sua Estaticidade Externa Havendo uma racional definição dos apoios vínculos externos as estruturas se classificam em Isostáticas estáveis quando Nr Ne Hiperestáticas estáveis quando Nr Ne Hipoestáticas instáveis quando Nr Ne Onde Nr número de reações de apoios Ne número de equações de equilíbrio da estática aplicáveis Classificação das Barras Quanto a sua Estaticidade Interna Levantada a questão da estaticidade externa ou seja determinadas as reações de apoios uma barra é isostática internamente se as equações de equilíbrio disponíveis são suficientes para determinar os esforços internos em todas as seções da barra Isto acontece toda vez que se utilizando de um único plano de corte dividese a barra em duas partes Assim toda estrutura aberta a exemplo das vigas são internamente isostáticas Caso contrário serão hipoestáticas ou hiperestática Veja nas figuras abaixo a classificação de alguns elementos estruturais de barra quanto a sua estaticidade global estaticidade externa estaticidade interna onde GH grau de hiperestaticidade 12 Primo Fernandes Filho No caso de treliças havendo racional disposição dos apoios e formação de painéis triangulares as treliças planas se classificam globalmente externa interna em Isostáticas quando Nr Nb 2N Hiperestáticas quando Nr Nb 2N Hipoestática quando Nr Nb 2N Ilustração abaixo com numeração da esquerda para a direita e de cima para baixo As treliças 1 3 6 são hipoestáticas por má definição dos painéis e as de números 2 e 5 por má definição dos apoios A treliça 4 é isostática e a de número 7 é hiperestática de grau 2 13 Primo Fernandes Filho Características Geométricas de uma Seção Transversal As principais características geométricas de uma seção transversal que são relevantes para o comportamento estrutural de uma barra são centróide área momento estático de área momento axial de inércia produto de inércia momento polar de inércia e raio de giração Centróide importante porque todas as fórmulas de tensão e deformação que vem repercutir a ação do esforço interno sobre a seção consideram que o esforço está aplicado no centróide da seção Também a resultante de qualquer carregamento distribuído numa barra está aplicada no centróide da figura formada por este carregamento Área importante diretamente no cálculo da tensão e da deformação vindas do esforço normal Também mede a resultante de um carregamento distribuído numa barra Momento estático de área utilizado no cálculo da tensão de cisalhamento provocada pelo esforço cortante Momento axial de inércia utilizado no cálculo da tensão e da deformação vindas do momento fletor Produto de inércia grandeza auxiliar incorporada durante a discursão dos eixos e momentos principais de inércia Momento polar de Inércia importante no cálculo da tenso e da deformação provocadas pelo momento torçor em seções circulares Raio de giração importante na discussão dos problemas relacionados com a flambagem de colunas Obs Durante o estudo das características geométricas da seção transversal ressaltese a importância do eixo de simetria dizendo principalmente que todo eixo de simetria passa pelo centróide e que todo eixo de simetria é principal Eixos Principais são para um determinado ponto o de maior e o de menor momento de inércia São sempre perpendiculares e em relação a eles o produto de inércia é nulo Em relação a eles os momentos de inércia são chamados momentos axiais principais de inércia Introdução à Resistência dos Materiais I Objetivos determinar as tensões e as deformações atuantes em elementos estruturais de barra isostáticos Programa Cap 1 Tensões e Deformações 11 Introdução 12 Tensão Normal 13 Deformação Longitudinal 14 Leis Constitutivas dos Materiais 15 Lei de Hooke 16 Energia de deformação 17 Tensões Térmicas 18 Tensão de Cisalhamento 14 Primo Fernandes Filho 19 Tensões Admissíveis Cap 2 Análise de Tensões 110 21 Introdução 111 22 Transformação de Tensões tensões em planos inclinados 112 23 Planos e Tensões Principais 113 24 Tensão de Cisalhamento Máxima e Mínima e seus Planos 114 25 Círculo de Mohr para Tensões Cap 3 Tensões em Vigas 115 31 Introdução 116 32 Tensão Normal 117 33 Curvatura 118 34 Tensão de Cisalhamento 119 35 Fluxo de Cisalhamento 120 36 Vigas de Dois Materiais Cap 4 Deformações em Vigas 121 41 Introdução 122 42 Método da Equação Diferencial da Linha Elástica 123 43 Método do Momento Estático de Área teoremas de Mohr Cap 5 Torção 124 51 Introdução 125 52 Torção de Seção Circular 126 53 Fórmula Aproximada de Bredt B3 Referências Bibliográficas 1 Mecânica dos Sólidos Vol1 TimoshenkoGere 2 Resistência dos Materiais I Apostila do prof Primo Fernandes Filho B4 Critérios de Avaliação 3 Exercícios Escolares Parciais 1 Exercício Capítulos I e II 2 Exercício Capítulo III 3 Exercício Capítulos IV e V 15 Primo Fernandes Filho Capítulo 1 Tensões e Deformações 1 Tensão e Deformação TENSÃO Grandeza física de valor absoluto que vem dar significado ao esforço interno atuante em determinada seção É referenciada a um ponto da seção A tensão atuante num ponto pode ser de natureza normal σ ou cisalhante τ A tensão normal é provocada pelo esforço normal N e pelo momento fletor M enquanto a tensão cisalhante é provocada pelo esforço cortante V e pelo momento torsor T Neste capítulo estaremos discutindo a tensão normal provocada pelo esforço normal N e a tensão de cisalhamento provocada pelo esforço cortante direto tal como aquele atuante em pregos parafusos rebites ou colas que unem diversas partes de um mesmo elemento estrutural No sistema internacional de unidades a tensão normalmente é expressa em MPa DEFORMAÇÃO Grandeza física de valor absoluto que vem dar significado ao deslocamento em determinada seção Por definição deformação é uma grandeza adimensional Pode ser de natureza longitudinal ε provocada pelo esforço normal e pelo momento fletor e cisalhante ou de distorção ᵞ provocada pelo esforço cortante e pelo momento torsor Neste capítulo estaremos discutindo a deformação longitudinal do esforço normal e a cisalhante do esforço cortante 11 Tensão Normal Por definição σ lim 𝛥𝐴0 𝛥𝑁 𝛥𝐴 σ 𝑑𝑁 𝑑𝐴 σdA dN Integrando 𝜎𝑑𝐴 𝑑𝑁 Admitindo que todo carregamento atua no centróide todos os pontos da seção estarão sob a mesma tensão fazendo com que não sofra variação ao longo da área temos σ constante Assim σ 𝐴 𝑑𝐴 𝐴 𝑑𝑁 σA N σ 𝑁 𝐴 Figura 1 Figura 2 16 Primo Fernandes Filho 12 Deformação Longitudinal Por definição Integrando 13 Leis Constitutivas dos Materiais Estruturais É a relação tensão deformação σ x ε O gráfico ao lado representa um diagrama de tração de um material dúctil com patamar de escoamento BC bem definido a exemplo do aço OA Região elástica σ kε σP Limite de proporcionalidade AB Região elastoplásticaσ kε σy Tensão de escoamento do material BC Região plástica ocorre um relaxamento do material que passa a se deformar sem acréscimo de carga εc 10 a 15 vezes εA CD O material volta a resistir Ocorre o encruamento do material σM Tensão máxima DE Estricção diminuição da seção σR tensão de ruptura CE A estricção provoca redução de área e como o ensaio não atualiza a área pode ocorrer que apesar de um nível elevado de tensão provocar uma desorganização atômica a tensão de ruptura real pode ser σE e não σR σE Portanto ao se adotar como tensão de ruptura da amostra o valor σR estará se posicionando a favor da segurança Diagrama de material dúctil sem patamar de escoamento ε lim 𝛥𝑋0 𝛥𝑢 𝛥𝑋 ε 𝑑𝑢 𝑑𝑥 du εdx x 𝑑𝑢 𝐿 𝜀𝑑𝑥 𝐿 𝑢 0 𝐿 𝜀𝑥 0 𝐿 𝑢𝐿 𝑢𝑜 𝜀𝐿 0 𝑢𝐿 𝜀𝐿 𝛥𝐿 𝜀𝐿 𝜀 𝛥𝐿 𝐿 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 Figura 3 17 Primo Fernandes Filho Ex alumínio Neste caso a tensão de escoamento σy é obtida tirandose uma paralela ao trecho inicial reto a partir da deformação 2 Diagrama de material frágil Ex concreto vidro Apresenta pequenas deformações rompendo bruscamente 14 Elasticidade Propriedade através da qual retirada à causa esforço uma barra tende a voltar a forma inicial Retirado o carregamento se o material voltar totalmente à forma inicial é dito perfeitamente elástico Retirado o carregamento se o material não voltar totalmente à forma inicial a deformação é dita residual ou permanente e o material é considerado parcialmente elástico Obs não confundir limite de proporcionalidade com limite de elasticidade 15 Lei de Hooke para tensão normal σ e deformação axial ε Relação linear entre a tensão e a deformação A partir do gráfico temos tgθ 𝜎 𝜀 𝜎 𝑡𝑔𝜃 𝜀 tgθ E por ser uma reta a tangente é constante Então 𝜎 𝐸𝜀 Lei de Hooke E módulo de elasticidade longitudinal do material módulo de Young Característica do material Então ΔL variação do comprimento entre duas seções distantes L no regime elástico σ 𝑁 𝐴 𝜀 𝛥𝐿 𝐿 𝜎 𝐸 𝜀 𝑁 𝐴 𝐸 𝛥𝐿 𝐿 𝛥𝐿 𝑁 𝐿 𝐸 𝐴 𝑜𝑢 𝛥𝐿 𝑁𝑥𝑑𝑥 𝐸𝑥 𝐴𝑥 𝐿 18 Primo Fernandes Filho EA Rigidez axial da seção característica da seção se a seção é de material homogêneo 16 Coeficiente de Poisson ν É uma característica do material obtida através da razão entre a deformação transversal εT e a deformação longitudinal axial ε 0 ν 1 Para metais025 ν 035 Para concreto ν 01 O sinal se justifica pois o coeficiente de Poisson é um número positivo e as deformações transversal e longitudinal tem sempre sinais diferentes Variação Volumétrica Para um cubo de dimensões unitárias tracionado ou comprimido temos Antes Depois 𝑉𝑖 1 1 1 1 𝑉𝐹 1 𝛥𝐿 1 𝛥𝑑2 Note que 𝜀 𝛥𝐿 𝐿 para L 1 teremos 𝜀 𝛥𝐿 𝜀𝑇 𝛥𝑑 𝑑 para d 1 teremos 𝜀𝑇 𝛥𝑑 𝜈 𝜀𝑇 𝜀 𝜀𝑇 𝜈 𝜀 Assim 1 𝛥𝐿 1 𝜀 1 𝛥𝑑 1 𝜀𝑇 1 𝜈 𝜀 Então 𝑉𝐹 1 𝛥𝐿 1 𝛥𝑑2 𝑉𝐹 1 𝜀 1 𝜈 𝜀2 1 𝜀 1 2 𝜈 𝜀 𝜈2𝜀2 𝑉𝐹 1 𝜀 1 2 𝜈 𝜀 1 2 𝜈 𝜀 𝜀 2 𝜈 𝜀2 𝑉𝐹 1 2 𝜈 𝜀 𝜀 Seja 𝛥𝑉 𝑉𝐹 𝑉𝑖 temos 𝜈 ε𝑇 ε 19 Primo Fernandes Filho 𝛥𝑉 1 2 𝜈 𝜀 𝜀 1 𝛥𝑉 2 𝜈 𝜀 𝜀 𝛥𝑉 1 2 𝜈 𝜀 𝜀 𝛥𝑉 𝑉𝑖 𝜀 1 2 𝜈 Para materiais com 0 ν 05 tração vai implicar em aumento de volume e compressão diminuição de volume 17 Energia de Deformação Esforço Normal Um sistema de forças atuando sobre um corpo provoca deslocamento de suas várias seções realizando trabalho o corpo transforma este trabalho em energia e usa esta energia para se deformar No domínio da lei de Hooke temos A partir do gráfico temos 𝑑𝐴 𝑃 𝑑𝛿 𝑑𝑤 Integrando 𝑑𝐴 𝑑𝑊 𝐴 𝑊 1 2 𝑃 𝛥𝐿 WU energia de deformação da barra 𝑈 1 2 𝑃 𝛥𝐿 1 2 𝑃 𝑃𝐿 𝐸𝐴 Energia de deformação por unidade de volume μ Seja 𝜇 𝑈 𝑉 𝑃2𝐿 2𝐸𝐴 𝐴𝐿 𝑃2𝐿 2𝐸𝐴 1 𝐴𝐿 𝑃2 2𝐸𝐴2 𝜇 1 2 𝑃 𝐴 𝑃 𝐴 1 𝐸 𝜇 1 2 𝜎 𝜎 𝐸 𝜇 1 2 𝜎 𝜀 𝛥𝑉 𝑉𝑖 𝜀 1 2𝜈 𝑈 1 2 𝑃2𝐿 𝐸𝐴 20 Primo Fernandes Filho 18 Alguns Conceitos Módulo de Resiliência μR Mede a capacidade de o material absorver energia até o limite de proporcionalidade Módulo de Tenacidade μT Mede a capacidade de o material absorver energia até a ruptura Corresponde a área total do gráfico σ x ε Plasticidade Propriedade que o material tem de absorver tensões após o limite de elasticidade Ficando portanto com deformação residual permanente Ductilidade Capacidade que o material apresenta de deformarse plasticamente até a ruptura O material dúctil resiste igualmente à tração e compressão Ex aço Fragilidade O material apresenta pequenas deformações até a ruptura Materiais frágeis resistem mais a compressão que a tração Ex concreto 19 Tensões Térmicas As variações de temperatura em barras estaticamente determinadas isostáticas não provocam tensão pois a barra é livre para se deformar ΔT 0 ΔLLαΔT μR 𝜎𝑃𝜀𝑃 2 21 Primo Fernandes Filho Em barras hiperestáticas a variação de temperatura provoca tensão pois a barra é impedida de se deformar ΔT 0 compressão ΔT 0 tração Este problema é resolvido do seguinte modo ΔLTÉRMICO LαΔT 𝛥𝐿𝐻𝐵 𝐻𝐵𝐿 𝐸𝐴 Para compatibilidade de deslocamentos devemos ter ΔLTÉRMICO 𝛥𝐿𝐻𝐵 𝐿 𝛼 𝛥𝑇 𝐻𝐵𝐿 𝐸𝐴 𝐻𝐵 𝛼 𝛥𝑇EA Note que 𝜎 𝐻𝐵 𝐴 110 Tensão de Cisalhamento Direto τ É dada pela força por unidade de área que age tangente a seção analisada Este tipo de tensão ocorre com frequência em parafusos rebites e colas que ligam diversas partes de uma estrutura Equilibrando a parte à direita de S temos V P Por definição 𝜏 𝑉 𝐴 Ilustração caso 1 σ αEΔT 𝜏 𝑃 𝐴 22 Primo Fernandes Filho Analisando a parte superior do plano 11 temos Ilustração caso 2 Analisando a parte abaixo do plano 11 temos 𝜏𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑃 2 𝐴 𝜏𝑀é𝑑𝑖𝑜 𝑃 2𝐴 111 Deformação de Cisalhamento γ δ deslocamento de cisalhamento relativo a duas seções distantes L γ deformação de cisalhamento ou distorção Do triângulo temos 𝑡𝑔 𝛾 𝛿 𝐿 Para pequenas deformações 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝑒 𝑡𝑔𝜃 𝜃 então 𝑡𝑔𝛾 𝛾 𝛾 𝛿 𝐿 𝜏𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑃 𝐴 23 Primo Fernandes Filho No regime elástico a relação V x 𝛿 é como na figura Assim a energia de deformação no cisalhamento é 𝐴 𝑊 𝑈 1 2 𝑉 𝛿 112 Lei de Hooke para Tensão de Cisalhamento Como sabemos a lei de Hooke exibe uma relação linear entre tensão a deformação assim para tensão normal 𝜎 𝐸 𝜀 para tensão cisalhante 𝜏 𝐺 𝛾 relação entre G E e 𝜈 𝐺 𝐸 21 𝜈 113 Energia de Deformação no Cisalhamento por Unidade de Volume μ Note que 𝜏 𝐺 𝛾 𝑉 𝐴 𝐺 𝛿 𝐿 𝛿 𝑉𝐿 𝐺𝐴 GA Rigidez transversal da seção μ 𝑈 1 2 𝑉𝛿 1 2 𝑉𝛿 𝐿𝐴 μ 1 2 𝑉 𝐿𝐴 𝑉𝐿 𝐺𝐴 μ 1 2 V2 GA2 μ 1 2 τ2 G 𝜇 1 2 𝜏𝛾 ε deformação longitudinal E módulo de elasticidade longitudinal 𝛾 deformação de cisalhamento G módulo de elasticidade transversal 24 Primo Fernandes Filho 114 Tensão Admissível É a tensão que pode ser atingida mantendose as condições de segurança quando da aplicação dos esforços internos Notação para tensão normal σadm 𝜎 para tensão de cisalhamento τadm 𝜏 𝜎 𝜎𝑚á𝑥 𝛾 Para materiais dúcteis σmáx σy tensão de escoamento Para materiais frágeis σmáx σR tensão de ruptura γ coeficiente de segurança dado por norma específica devendo cobrir falhas quanto às hipóteses de cálculo ou variações involuntárias dos materiais perda de resistência com o tempo Fórmulas para dimensionamento ou verificação de segurança Sendo 𝛾 1 𝑁 𝐴 𝜎 𝑉 𝐴 𝜏 25 Primo Fernandes Filho 115 Exercícios Resolvidos 1 Determine o alongamento da barra prismática abaixo provocado pelo seu próprio peso seção constante material homogêneo Solução 𝛥𝐿 𝑁𝑥𝑑𝑥 𝐿 𝐸𝑥𝐴𝑥 Note que NxPx γAx onde γ é o peso específico Sabendo que Área constante Ax A Barra homogênea Ex E Assim 𝛥𝐿 γAx 𝑑𝑥 𝐸𝐴 𝐿 0 γA 𝐸𝐴 𝑥 𝑑𝑥 𝐿 0 𝛾 𝐸 𝑥2 2 0 𝐿 2 Calcule as reações de apoio e esboce o DEN Considere a seção constante e o material homogêneo Solução I 𝐻𝐴 𝐻𝐶 12 equilíbrio II 𝐿𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 0 compatibilidade de deslocamentos 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐵𝐶 0 𝐻𝐴3 𝐸𝐴 𝐻𝐴 12 2 𝐸𝐴 0 𝐻𝐴 48 𝑘𝑁 Substituindo em I temos 𝐿 𝛾𝐿2 2𝐸 𝐻𝐶 72 𝑘𝑁 26 Primo Fernandes Filho 3 A coluna abaixo é feita de concreto armado Calcule a fração da carga absorvida pelo aço e pelo concreto Despreze o peso próprio EC 20GPa 20102 kNcm2 EA 200GPa 200102 kNcm2 Solução I PA PC 100equilíbrio II LALC compatibilidade de deslocamento A partir de II temos 𝑃𝐴𝐿 𝐸𝐴𝐴𝐴 𝑃𝐶𝐿 𝐸𝐶𝐴𝐶 𝑃𝐴 10𝐴𝐴 𝑃𝐶 𝐴𝐶 mas AA 4 πD2 4 AA 314cm2 Temos ainda queAC 400 AAAC 39686cm2 Retomando a Eq II 𝑃𝐴 10𝐴𝐴 𝑃𝐶 𝐴𝐶 𝑃𝐴 007847𝑃𝐶 Substituindo em I 007847PCPC 100 PC 927243 kN PA 72757 kN 4 Com base na estrutura ao lado e considerando material homogêneo E 20GPa 20102kNcm2 Calcular aO encurtamento da coluna desprezando o peso próprio 𝐿13 𝐿12 𝐿23 𝐿13 6050 102 20 752 13075 102 20 1252 𝐿13 0058𝑐𝑚 27 Primo Fernandes Filho b deslocamento vertical da seção S2 𝐿23 2 3 2 13075 102 20 1252 00312𝑐𝑚 5 Admitindo que a barra horizontal seja rígida não se deforma calcule a tensão normal nos cabos 1 e 2 Dados P 20kN e A 18cm2 Solução I 𝐿2 2𝑎 𝐿1 𝑎 𝐿2 2𝐿1 compatibilidade de deslocamentos Mas 𝑃2𝐿 𝐸𝐴 2𝑃1𝐿 𝐸𝐴 𝑃2 2𝑃1 I II Fx0 III Fy 0 P1P2 RA 20 IV MA 0 P1 a P2 2a 20 3a P1 P2 2 60 Substituindo a Eq I em IV temos P1 4 P1 60 P1 12kN P2 24kN Logo 𝜎1 𝑃1 𝐴 𝜎1 067𝑘𝑁𝑐𝑚2 67𝑀𝑃𝑎 𝜎2 𝑃2 𝐴 𝜎2 13𝑘𝑁𝑐𝑚2 13𝑀𝑃𝑎 6 Com base na estrutura ao lado determinar x de modo que a barra rígida AB permaneça horizontal após a aplicação da carga P Solução I 𝐿1 𝐿2 𝑃1𝐿 𝐸1𝐴 𝑃2𝐿 𝐸2𝐴 𝑃1 𝑃2𝐸1 𝐸2 II 𝐹𝑦 0 𝑃1 𝑃2 𝑃 𝑃2𝐸1 𝐸2 𝑃2 𝑃 𝑃 𝑃2 𝐸1 𝐸2 𝐸2 III 𝑀𝐴 0 𝑃2 𝐸1𝐸2 𝐸2 𝑥 𝑃2 𝐿 𝑥 𝐸2𝐿 𝐸1𝐸2 28 Primo Fernandes Filho 7 A figura abaixo representa um sólido cujo peso específico é γ 30 kNm3 Calcule a tensão no topo a meia altura e na base Solução No topo 𝜎 90 10 2 𝜎 45 𝑘𝑁𝑚2 A meia altura 𝑃𝑚 2010 2 30 2 30 𝑃 27000 𝑘𝑁 peso próprio 𝜎 90 27000 20 2 𝜎 67725 𝑘𝑁𝑚2 Na base 𝑃𝑏 3010 2 60 2 30 𝑃 72000 𝑘𝑁 peso próprio 𝜎 90 72000 30 2 𝜎 12015 𝑘𝑁𝑚2 8 Uma barra maciça de seção circular apresenta 55cm de diâmetro e 38 cm de comprimento e é comprimida por uma força P 20 kN Sendo E 20 GPa e ν 03 Calcular a o acréscimo de diâmetro Seja i 𝑑 𝑑 𝜀𝑡 𝑑 𝑑 𝜀𝑡 ii𝜈 𝜀𝑡 𝜀 𝜀𝑡 𝜈 𝜀 iii 𝜀 𝐿 𝐿 iv 𝐿 𝑃𝐿 𝐸𝐴 Temos que 𝑑 𝑑 𝜈 𝑃𝐿 𝐸𝐴𝐿 𝑑 𝑑𝜈𝑃 𝐸𝐴 Então 𝑑 550320 2010223746 𝑑 6948 104𝑐𝑚 b a variação de volume do material 𝛥𝑉 𝑉𝑖 𝜀 1 2𝜈 Mas 𝜀 𝐿 𝐿 𝑃𝐿 𝐸𝐴𝐿 20 2010223746 421 104 Então 𝛥𝑉 𝜋552 4 38 421 104 1 2 03 𝑉 0152𝑐𝑚3 29 Primo Fernandes Filho 9 O diagrama abaixo representa a relação tensão x deformação de determinado material até a ruptura Supondo que uma barra feita deste material tenha 80 cm de comprimento e 7cm2 de área seja submetida a uma carga de tração de 105kN a determine o alongamento da barra Sabendo que 𝜎 𝑃 𝐴 105 7 15𝑘𝑁𝑐𝑚2 15 𝑀𝑃𝑎 Substituindo na função temos 𝜎 70 𝜀13 𝜀 984 103 Como 𝜀 𝐿 𝐿 𝐿 𝜀 𝐿 𝐿 984 103 80 𝐿 0787𝑐𝑚 b Calcular o módulo de tenacidade se o material vai a ruptura com 25 MPa Sendo 𝜎𝑅 25 𝑀𝑃𝑎 temos 𝜎𝑅 70 𝜀𝑅13 25 70 𝜀𝑅13 𝜀𝑅 455 102 Sabendo que o módulo de tenacidade é dado pela área do gráfico 𝑑𝐴 𝜎 𝑑𝜀 𝑑𝐴 𝜎 𝑑𝜀 00455 0 𝐴 𝜇𝑡 70 𝜀 13 𝑑𝜀 00455 0 𝐴 𝜇𝑡 70 3 4 𝜀43 00455 0 𝜇𝑡 0853 𝑀𝑃𝑎 30 Primo Fernandes Filho 10 Determine a queda de temperatura necessária para anular a tensão normal no centro da barra 𝑆1 5𝑐𝑚2 𝑆2 75𝑐𝑚2 𝛼 1 1051 𝐸 200𝐺𝑃𝑎 200 102𝑘𝑁𝑐𝑚2 Solução I encontrar a tensão na seção central Devido ao carregamento 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝐻𝐴 𝐻𝐷 𝐶𝑜𝑚𝑝 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐿 0 𝐿 0 𝐻𝐴 14 𝐸 5 𝐻𝐴 25 42 𝐸 75 𝐻𝐴 14 𝐸 5 0 𝐻𝐴 125𝑘𝑁 𝜎𝑚𝑒𝑖𝑜 125 75 𝜎𝑚𝑒𝑖𝑜 167𝑘𝑛𝑐𝑚2 II encontrar T 0 para anular a tensão 𝐿𝐻𝐷 𝐿𝑇 𝐿𝐻𝐷 𝐻𝐷 14 𝐸 5 𝐻𝐷 42 𝐸 75 𝐻𝐷 14 𝐸 5 𝐿𝛼𝑇 𝐻𝐷 14 𝐸 5 𝐻𝐷 42 𝐸 75 𝐻𝐷 14 𝐸 5 Resolvendo em função de HD e substituindo os valores temos 𝐻𝐷 125 𝑇 Assim 𝜎𝑚𝑒𝑖𝑜𝜎𝑇 𝐻𝐷 𝐴2 167 125 𝑇 75 𝑇 10 31 Primo Fernandes Filho 11 A figura abaixo representa três peças de madeira de mesma seção transversal que estão coladas umas as outras Determinar a tensão nas juntas coladas Analisando a esquerda do plano 11 temos 𝜏𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑉 𝐴 5000 200 50 𝜏𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 05 𝑘𝑔𝑓𝑚𝑚2 12 Determine a carga máxima de compressão de modo que a seção abaixo trabalhe com segurança 40𝑚𝑚 𝜎 7𝑘𝑔𝑓𝑚𝑚2 Cálculo das áreas área do setor circular cos 𝜃 5 20 𝜃 755 𝜃 1318 𝑟𝑎𝑑 então 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝜃 𝑅2 5272 𝑚𝑚2 área do triângulo 𝐴 2 5 1936 2 968 𝑚𝑚2 área da figura 𝐴 2 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐴 𝐴 8608 𝑚𝑚2 Carga máxima com segurança 𝜎𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜎 𝑃𝑁 𝐴 7 𝑃𝑁 60256 𝑘𝑔𝑓 logo Pmáx 6025kgf 32 Primo Fernandes Filho 13 Dimensionar uma seção quadrada para a barra AB da treliça abaixo O material tem 𝜎𝑇 60𝑀𝑝𝑎 𝑒 𝜎𝐶 80𝑀𝑝𝑎 Solução 𝑀𝐶 0 𝐴𝐵 4 40 2 100 4 0 𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝜎 𝐹 𝐴 60 106 80103 𝐴 𝐴 133 𝑚2 𝑎 00365 𝑚 365 𝑐𝑚 14 Dimensione uma seção circular para a barra CD do pórtico ao lado O material tem σT 80Mpa e σC 100Mpa Solução 𝑀𝐴 20 4 2 50 5 𝑅𝐵 4 0 𝑅𝐵 225𝑘𝑁 𝐹𝑋 0 𝐻𝐴 50𝑘𝑁 𝐹𝑌 0 𝑅𝐴 20 4 225 0 𝑅𝐴 1025𝑘𝑁 ME 0 50 5 1025 2 20 2 1 𝑁 06 2 𝑁 08 4 0 𝑁 425 𝑘𝑁 escora 𝜎 𝐹 𝐴 100 106 425103 𝐴 𝐴 425 104𝑚2 Logo 𝜋 𝑟2 425 104 𝑟 00116𝑚 116𝑐𝑚 33 Primo Fernandes Filho 15 Sendo a barra AB rígida dimensione com segurança 3 o fio 1 com a condição 𝛿𝐴 5𝑐𝑚 Considere para o fio σY 600Mpa e E 8GPa Solução Primeiro calculemos R em função da resistência 𝐹𝑋 0 𝐻𝐵 0 𝑀𝐵 0 3 5 𝑁1 3 𝑁1 5 𝑘𝑁 𝜎 𝜎𝑌 𝛾 600 3 𝜎 200𝑀𝑃𝑎 20𝐾𝑁𝑐𝑚2 𝜎 𝐹 𝐴 mas FA é 𝜎𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 logo 20 5 𝜋𝑅2 𝑅 028𝑐𝑚2 Calculemos agora R em função da deformação 5𝑚 5𝑐𝑚 3𝑚 𝐿 𝐿 3𝑐𝑚 𝐿 3𝑐𝑚 Portanto 𝑁𝐿 𝐸𝐴 3 5 103 36 8 109 𝐴 003 𝐴 75 105𝑚2 𝐴 075 𝑐𝑚2 𝑅 049𝑐𝑚 Visando a segurança adotaremos a maior área consequentemente 𝑅 049𝑐𝑚 34 Primo Fernandes Filho 116 Exercícios Propostos 1 Duas barras prismáticas rigidamente ligadas entre si suportam uma carga axial de 45 kN como indica a figura A barra superior é de aço tem 10 m de comprimento e seção transversal com 65 cm2 de área a barra inferior é de latão tem 6 m de comprimento e seção transversal com 52 cm2 de área Pedemse as máximas tensões de cada material e o alongamento do sistema Gab 96x104 m Dados Aço 𝐸𝑎 21 104 𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝛾𝑎 78 𝑘𝑁𝑚3 Latão 𝐸𝐿 09 104 𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝛾𝐿 83 𝑘𝑁𝑚3 2 Determine as dimensões a b e c dos pilares abaixo com seção circular que recebem uma carga axial de 3000 kN Determine também a percentagem de material economizado quando se adota a segunda distribuição Gab 439 de economia Dados do material 𝛾 90 𝑘𝑁𝑚3 𝜎𝑐 05 𝑘𝑁𝑐𝑚2 3 O fio de aço CD de 2 mm de diâmetro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum carregamento exista uma distância média de 15 mm entre a extremidade B da viga ABC e o ponto de contato E Pedese determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de 02 KN sobre a viga de modo a causar contato entre B e E Gab x 984 cm Dados do aço 𝐸 2 104 𝑘𝑁𝑐𝑚2 35 Primo Fernandes Filho 4 A treliça da figura suporta uma força de 54 tf Determine a área das seções transversais das barras BD CE e DE sabendose que a tensão admissível de escoamento do material é de 1400 kgf cm2 Determine também o alongamento da barra DE sendo 𝐸 21 104 𝑘𝑁 𝑐𝑚2 Gab ABD1446 cm² ACE2893 cm² ADE3857 cm² ΔL013 cm 5 Calcule o alongamento de um tubo de comprimento 80 m quando sujeito a uma tensão de tração de 225 MpaO material desse tubo é visto no diagrama tensão versus deformação ao lado Calcule também os módulos de elasticidade resiliência e tenacidade desse material Gab δ0012 m E200 GPa uR01 Mpa uT2325 MPa 6 Um ensaio de tração foi executado em um corpo de prova com diâmetro nominal de 13 mm e comprimento de 50 mm Os resultados do ensaio até a ruptura estão listados na tabela ao lado Faça o gráfico do diagrama tensão deformação e determine aproximadamente o módulo de elasticidade a tensão de escoamento a tensão última a tensão de ruptura os módulos de resiliência e tenacidade 7 Determinar em relação à treliça ao lado a Tensão normal nas barras CE e DE que tem seção retangular 20x50 mm Gab σCE 15 Mpa σDE 50 Mpa b Sabendo que as barras tracionadas tem tensão admissível de 100 MPa Determine o diâmentro mínimo necessário para as barras cilindricas EG e FG 36 Primo Fernandes Filho Gab DEG 00239 m DFG 00309 m 8 As peças de madeira A e B são coladas a outras duas peças C e D conforme figura ao lado Existe uma folga de 8 mm entre as peças A e B Determine L para que a tensão de cisalhamento na junta colada seja de 800 KPa Gab L 0308 m 9 A barra rígida AB está apoiada em A e é também suportada pelos cabos flexíveis iguais CD e EF Sendo P 20 kN e área da seção dos dois cabos iguais a 4 cm2 Determine a tensão normal nos dois cabos Gab σCD 20 Mpa σEF 60 Mpa 10 A barra AB da treliça ao lado tem 5 cm2 de área de seção transversal Calcule a tensão normal nesta barra e diga se está sob tração ou compressão Gab σAB 2828 Mpa Tração 11 Para a treliça e o carregamento mostrados na figura determinar a tensão normal na barra DE indicando se sofre tração ou compressão Sabese que a área da seção transversal desta barra é igual a 1200 mm2 Gab σDE 833 Mpa Compressão 12 A barra AC é suportada pelos tirantes AB e CD os quais tem respectivamente áreas transversais iguais a 10 mm2 e 15 mm2 Determinar a posição d para a carga de modo que as tensões normais nos tirantes sejam iguais Gab 𝑑 1 5 𝐴𝐶 37 Primo Fernandes Filho 13 Uma placa rígida transmite ao bloco da figura uma força axial centrada de P385 kN Determinar as tensões normais a na placa interna de aço b nas placas externas de alumínio 14 A coluna de concreto ao lado é reforçada com quatro barras de aço cada uma com diâmetro de 18 mm Determine a tensão normal no concreto e no aço Eaço 200 GPa e Ec 25 GPa Obs Desprezar o peso próprio dos materiais 15 Um corpo de prova com seção circular de diâmetro 2 cm e comprimento 10 cm foi tracionado até a ruptura A relação carga deslocamento se comporta de acordo com a tabela abaixo Determine os módulos de elasticidade resiliência e tenacidade P kN 00 100 200 300 300 300 400 500 δ mm 00 010 020 025 030 035 050 06 16 Numa barra de 1m de comprimento com 10 cm2 de área de seção transversal sob tração axial o comportamento da relação carga x alongamento segue a tabela abaixo A ruptura se deu para P 200 kN Determine os módulos de elasticidade e tenacidade do material Obs Entre 0 e 50 kN a relação 𝜎 x 𝜀 é linear entre 50 e 200 kN a relação 𝜎 x 𝜀 é uma parábola do 2º grau P kN 00 250 500 1000 2000 ΔL mm 000 100 200 500 800 38 Primo Fernandes Filho 17 A curva 𝜎 x 𝜀 para um determinado material obedece ao gráfico mostrado ao lado Determine a módulo de elasticidade b módulo de tenacidade c módulo de resiliência d tensão normal para 𝜀 03 𝐵𝐶 𝜎 𝐾4 𝜀 𝐷𝐴 𝜎 𝐾1 𝜀 𝐴𝐵 𝜎 𝐾2 𝜀2 𝐾3 𝜀 18 Calcule a tensão normal nas barras AB das estruturas abaixo e diga se estão sob tração ou compressão As barras tem seção circular vazada com 𝑅𝐸 6 𝑐𝑚 e 𝑅𝑖 3 𝑐𝑚 39 Primo Fernandes Filho Capítulo 2 Análise de Tensões 21 Introdução Objetivo Dado o estado de tensão atuante num ponto de um elemento estrutural determinar a tensão normal e a tensão de cisalhamento num plano qualquer que passa pelo ponto com maior interesse nas tensões principais e seus planos e nas tensões de cisalhamento máxima e mínima e seus planos Estado de tensão num ponto representação das componentes da tensão atuantes num ponto elemento infinitesimal de dimensões dx dy e dz A figura abaixo mostra um ponto sob estado geral ou triplo de tensão Em resistência dos materiais trabalhamos com elementos estruturais de barra onde um ponto qualquer é solicitado por um estado plano de tensão conforme será observado no decorrer do curso Considerando o plano abaixo plano XY Notação Se σ 0 tração Se τ 0 giro horário no elemento 40 Primo Fernandes Filho Lei da reciprocidade da tensão de cisalhamento 𝑀𝑃 0 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑦 0 𝜏𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑥 𝜏 Então 22 Tensões em um Plano Inclinado Qualquer Tem como objetivo determinar a tensão normal e a de cisalhamento num plano que passa pelo ponto em análise e cuja normal faz um ângulo θ com o eixo X 𝜃 0 𝑎𝑛𝑡𝑖ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝜃 0 cos 𝜃 𝑑𝑦 ℎ ℎ 𝑑𝑦 cos 𝜃 sen 𝜃 𝑑𝑥 ℎ 𝑑𝑥 sen 𝜃 ℎ 𝑑𝑥 sen 𝜃 𝑑𝑦 cos 𝜃 41 Primo Fernandes Filho 𝐹𝑁 0 𝜎𝜃 𝑑𝑧 ℎ 𝜏 𝑑𝑦𝑑𝑧 sen 𝜃 𝜏 𝑑𝑥𝑑𝑧 cos 𝜃 𝜎𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 cos 𝜃 𝜎𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 sen 𝜃 0 Substituindo 𝑑𝑥 e dividindo a equação por 𝑑𝑧 𝜎𝜃 𝑑𝑦 cos 𝜃 𝜏 𝑑𝑦 sen 𝜃 𝜏 sen 𝜃 𝑑𝑦 cos 𝜃 cos𝜃 𝜎𝑥 𝑑𝑦 cos 𝜃 𝜎𝑦 sen 𝜃 𝑑𝑦 cos𝜃 sen 𝜃 0 Dividindo toda a expressão por 𝑑𝑦 temos 𝜎𝜃 cos 𝜃 𝜏 sen 𝜃 𝜏 sen 𝜃 𝜎𝑥 cos 𝜃 𝜎𝑦 sen 𝜃 cos 𝜃 sen 𝜃 0 𝜎𝜃 𝜏 sen 𝜃 cos 𝜃 𝜏 sen 𝜃 cos𝜃 𝜎𝑥 cos2 𝜃 𝜎𝑦 sen2 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜃 0 Se cos2 𝜃 1cos 2𝜃 2 sen2 𝜃 1cos 2𝜃 2 sen 2𝜃 2 sen 𝜃 cos 𝜃 sen 𝜃 cos 𝜃 sen2𝜃 2 Substituindo temos 𝜎𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝜎𝑥 1 cos 2𝜃 2 𝜎𝑦 1 cos 2𝜃 2 0 𝜎𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝜎𝑥 2 𝜎𝑥 cos2𝜃 2 𝜎𝑦 2 𝜎𝑦 cos 2𝜃 2 0 𝜎 𝜃 𝜋 2 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝐹𝑇 0 𝜏𝜃 ℎ 𝑑𝑧 𝜏 𝑑𝑥𝑑𝑧 sen 𝜃 𝜏 𝑑𝑦𝑑𝑧 cos 𝜃 𝜎𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 sen 𝜃 𝜎𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 cos𝜃 0 Substituindo ℎ e dividindo a equação por 𝑑𝑧 𝜏𝜃 𝑑𝑦 cos𝜃 𝜏 sen 𝜃 𝑑𝑦 cos 𝜃 sen 𝜃 𝜏 𝑑𝑦 cos 𝜃 𝜎𝑥 𝑑𝑦 sen 𝜃 𝜎𝑦 sen 𝜃 𝑑𝑦 cos 𝜃 cos 𝜃 Dividindo toda expressão por dy 𝜏𝜃 cos𝜃 𝜏 sen2 𝜃 cos 𝜃 𝜏 cos 𝜃 𝜎𝑥 sen 𝜃 𝜎𝑦 sen 𝜃 𝜏𝜃 𝜏 sen2 𝜃 𝜏 cos2 𝜃 𝜎𝑥 sen 𝜃 cos 𝜃 𝜎𝑦 sen 𝜃 cos 𝜃 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝐼 42 Primo Fernandes Filho 𝜏𝜃 𝜏 1 cos 2𝜃 2 𝜏 1 cos 2𝜃 2 𝜎𝑥 sen 2𝜃 2 𝜎𝑦 sen 2𝜃 2 𝜏𝜃 𝜏 2 𝜏 cos 2𝜃 2 𝜏 2 𝜏 cos 2𝜃 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 𝜏 𝜃 𝜋 2 𝜏 cos 2𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 𝜏𝜃 Resultados A soma das tensões normais entre dois planos perpendiculares qualquer é constante 𝜎𝜃 𝜎 𝜃 𝜋 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 A soma das tensões de cisalhamento entre dois planos perpendiculares qualquer é nula 𝜏𝜃 𝜏 𝜃 𝜋 2 0 Obs Nestas fórmulas e em todo o capítulo II o sinal de 𝜏 é o do plano vertical 23 Tensões Principais e Planos Principais Tensões principais são para um determinado ponto a máxima e a mínima tensão normal Os planos onde atuam são principais 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝐼 Derivando 𝑑 𝑑𝜃 𝜎𝜃 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 2 2 𝜏 cos 2𝜃 Fazendo 𝑑 𝑑𝜃 𝜎𝜃 0 Temos 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 2 2 𝜏 cos 2𝜃 0 𝜎𝑥 𝜎𝑦sen2𝜃 2 𝜏 cos 2𝜃 sen 2𝜃 cos 2𝜃 2𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝑡𝑔 2𝜃 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑖𝑠 𝐼𝐼𝐼 𝜏𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 𝜏 cos2𝜃 𝐼𝐼 43 Primo Fernandes Filho Há duas soluções 2θ1 e 2θ2 defasados de 180º então θ1 e θ2 estão defasados de 90º logo os planos principais são perpendiculares Substituindo 𝑐𝑜𝑠 2𝜃1 e 𝑠𝑒𝑛 2𝜃1 em I temos 𝜎1 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎1 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎1 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎1 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 Sabendo que 𝜎1 𝜎2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 temos 𝜎2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎1 Então 𝜎2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 Assim 𝜎12 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝑇𝑒𝑛𝑠õ𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑖𝑠 𝐼𝑉 Obs Nos planos principais a tensão de cisalhamento é nula vejamos substituindo o 𝑐𝑜𝑠 2𝜃1 e 𝑠𝑒𝑛 2𝜃1 em II temos 𝑐𝑜𝑠 2𝜃1 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃1 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 44 Primo Fernandes Filho 𝜏1 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏1 0 Se 𝜏1 𝜏2 0 𝜏1 𝜏2 𝜏2 0 24 Tensão de Cisalhamento Máximo Mínimo e Seus Planos 𝜏𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 𝜏 cos 2𝜃 Derivando e igualando a zero 𝑑 𝑑𝜃 𝜏𝜃 0 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 2 2 𝜏 sen 2𝜃 0 𝜎𝑥 𝜎𝑦 cos 2𝜃 2 𝜏 sen 2𝜃 2 𝜏 sen2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝑡𝑔 2𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜏 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑉 Há duas soluções 2θ3 e 2θ4 defasados em 180º então θ3 e θ4 são perpendiculares entre si Obs duas retas são perpendiculares se tg r x tg s 1 Fazendo 𝑡𝑔2𝜃𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑡𝑔2𝜃𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜏 1 θp e θc formam 45º entre si 𝑐𝑜𝑠 2𝜃3 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃3 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 Substituindo 𝑠𝑒𝑛 2𝜃3 e 𝑐𝑜𝑠 2𝜃3 em II temos 𝜏𝑚á𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏𝑚á𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏 𝜏2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 45 Primo Fernandes Filho 𝜏𝑚á𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏𝑚á𝑥 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 Sabendo que 𝜏𝑚á𝑥 𝜏𝑚í𝑛 0 𝜏𝑚í𝑛 𝜏𝑚á𝑥 𝜏𝑚í𝑛 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 2 𝜏2 Então 𝜏𝑚á𝑥𝑚í𝑛 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝑉𝐼 Tensão normal nos planos de cisalhamento máximo e mínimo Seja 𝜎𝜃 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 Substituindo 𝑐𝑜𝑠2𝜃3 𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃3 nesta expressão temos 𝜎𝜃3 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 Então 𝜎𝜃3 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 Sabendo que 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝜃3 𝜎𝜃4 temos 𝜎𝜃4 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝜃3 𝜎𝜃4 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝜃4 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 25 Casos Particulares do Estado Plano de Tensão a Ponto genérico de um tirante tração simples Obs No formulário geral fazer 𝜎𝑦 𝜏 0 b Ponto genérico de uma escora compressão simples 46 Primo Fernandes Filho c Ponto genérico de uma barra sob torção pura cisalhamento puro d Ponto genérico de uma viga e Ponto genérico de um vaso de pressão tensões biaxiais Para vaso cilíndrico 𝜎𝑐 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑟 𝑒 𝜎𝐿 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟 2𝑒 Para vaso esférico Tensão circunferencial Tensão longitudinal 𝜎𝑐 𝜎𝐿 𝑝𝑟 2𝑒 26 Círculo de Mohr para Tensões 47 Primo Fernandes Filho Da equação I item 22 temos 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 Elevando ambos os lados ao quadrado 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 2 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 cos2 2𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 cos2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝜏2 sen2 2𝜃 𝐴 Da equação II temos 𝜏𝜃 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 𝜏 cos 2𝜃 Elevando ambos os lados ao quadrado 𝜏𝜃2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 sen2 2𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 sen 2𝜃 𝜏 cos 2𝜃 𝜏2 cos2 2𝜃 𝐵 Fazendo A B temos 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝜃2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 cos2 2𝜃 sen2 2𝜃 𝜏2cos2 2𝜃 sen2 2𝜃 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏𝜃2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝐶 A equação no plano xy de um círculo de centro C ab e raio R é dada por 𝑥 𝑎2 𝑦 𝑏2 𝑅2 Então a equação C no plano 𝜎𝜃x 𝜏𝜃 é um círculo cujo raio é 𝑅 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 2 𝜏2 e centro C 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 0 Círculo no plano 𝜎𝜃x 𝜏𝜃 Do círculo temos 48 Primo Fernandes Filho 𝜎𝑚á𝑥 0𝐶 𝐶1 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎1 𝜎𝑚í𝑛 02 0𝐶 𝐶2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜎2 𝜏𝑚á𝑥 𝐶3 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏3 e 𝜏𝑚í𝑛 𝐶4 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 2 𝜏2 𝜏4 As coordenadas de um ponto qualquer do círculo de Mohr são as tensões normais e de cisalhamento Assim cada ponto do círculo representa um plano que passa pelo ponto Então o ponto 𝑥 𝜎𝑥 𝜏 pertence ao círculo Da figura temos 𝑡𝑔 𝛽 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝑡𝑔2𝜃𝑃 Assim podemos elaborar o seguinte roteiro para traçado do círculo de Mohr e obtenção da solução gráfica 1º Passo Definese o sistema de eixos 𝜎𝜃 𝜏𝜃 e nele marcase o centro C 𝜎𝑥𝜎𝑦 2 0 2º Passo Marcase o ponto 𝑥 𝜎𝑥 𝜏 3º Passo Ligar C a 𝑥 por uma reta obtendo o raio 4º Passo Com o compasso centrado em C e com abertura C 𝑥 traçamos o círculo 5º Passo Obter 𝜎𝑚á𝑥 01 2𝜃𝑃1 𝑥𝐶1 𝜎𝑚í𝑛 02 2𝜃𝑃2 𝑥𝐶2 𝜏𝑚á𝑥 𝐶3 2𝜃3 𝑥𝐶3 𝜏𝑚í𝑛 𝐶4 2𝜃4 𝑥𝐶4 6º Passo Para se determinar as tensões normais e de cisalhamento em um plano cuja normal faz 𝜃 com 𝑥 figB marcase a partir da reta C 𝑥 o ângulo 2𝜃figA Fig A Fig B 49 Primo Fernandes Filho 27 Exercícios Resolvidos 1 O estado de tensão em determinado ponto é o indicado na figura a seguir Determine a as tensões principais com seus planos desenhar o elemento girado Resolução 𝜏 50 𝑀𝑃𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝜎𝑥 150 𝑀𝑃𝑎 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝜎𝑦 100 𝑀𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑡𝑔 2𝜃𝑝 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 50 150 100 2 𝑡𝑔 2𝜃𝑝 04 2𝜃1 218 𝜃1 109 𝜃2 𝜃1 90 𝜃2 109 90 𝜃2 791 Cálculo das tensões principais 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝜎109 150 100 2 150 100 2 cos218 50 sen218 𝜎109 25 125 cos218 50 sen218 𝜎109 15963 160𝑀𝑃𝑎 𝜎791 25 125 cos1582 50 sen1582 𝜎791 10963 110𝑀𝑃𝑎 Outra forma 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝜃1 𝜎𝜃2 150 100 𝜎109 𝜎791 50 160 𝜎791 𝜎791 110 𝑀𝑃𝑎 Representação do elemento girado 50 Primo Fernandes Filho b as tensões de cisalhamento máxima e mínima com seus planos desenhar o elemento girado Resolução Planos de cisalhamento 𝑡𝑔 2𝜃𝐶 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜏 150 100 2 50 250 100 25 2𝜃3 682 𝜃3 341 𝜃4 𝜃2 45 𝜃4 791 45 𝜃4 1241 Cálculo das tensões 𝜏𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 𝜏 cos2𝜃 𝜏341 150 100 2 sen 682 50 cos 682 𝜏341 13463 135𝑀𝑃𝑎 𝜏1241 125 sen 2482 50 cos 2482 𝜏1241 13463 135𝑀𝑃𝑎 Outra forma 𝜏𝑚á𝑥 𝜏𝑚í𝑛 0 𝜏𝑚í𝑛 𝜏𝑚á𝑥 135𝑀𝑃𝑎 Tensão normal nos plano de cisalhamento máximo e mínimo 𝜎𝜃3 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 150 100 2 25 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝜃4 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 150 100 2 25 𝑀𝑃𝑎 c tensão normal e de cisalhamento no plano indicado desenhar o elemento girado Resolução 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝜎60 25 125 cos120 50 sen 120 𝜎60 81𝑀𝑃𝑎 𝜎1 𝜎2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 81 𝜎2 50 𝜎2 131𝑀𝑃𝑎 𝜏60 125 sen 120 50 cos 120 𝜏60 8325 𝑀𝑃𝑎 51 Primo Fernandes Filho 2 Determine 𝜏 𝑒 𝜎 no plano indicado desenhe o elemento girado Dados E 200GPa A 5 cm2 Solução 𝐻𝐴 1 𝐸𝐴 𝐻𝐵 1 𝐸 2𝐴 0 𝐻𝐴 𝐻𝐵 2 𝐻𝐴 𝐻𝐵 60 𝐻𝐴 2𝐻𝐴 60 𝐻𝐴 20 𝑘𝑁 𝜎𝑥 20 5 4 𝑘𝑁𝑐𝑚2 40 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝜎40 235 𝑀𝑃𝑎 𝜏40 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 sen 2𝜃 𝜏 cos 2𝜃 𝜏40 197𝑀𝑃𝑎 3 Resolver o exercício 1 considerando o estado de tensão abaixo 𝜎𝑥 100 𝜎𝑦 200 𝜏 40 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 50 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 150 a Planos principais 52 Primo Fernandes Filho 𝑡𝑔 2𝜃𝑝 𝜏 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 40 150 2𝜃1 1493 𝜃1 747 𝜃2 𝜃1 90 𝜃2 8253 Cálculo das tensões principais 𝜎𝜃 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 cos 2𝜃 𝜏 sen 2𝜃 𝜎747 50 150 cos1493 40 sen1493 𝜎747 10524 𝑀𝑃𝑎 𝜎747 𝜎8253 𝜎𝑥 𝜎𝑦 10524 𝜎8253 100 200 𝜎8253 20524 𝑀𝑃𝑎 Elemento girado b Planos de cisalhamento 𝑡𝑔 2𝜃𝐶 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2𝜏 100 200 2 40 300 80 375 2𝜃3 7506 𝜃3 375 𝜃4 𝜃2 45 𝜃4 12753 Tensões de cisalhamento 𝜏375 150 sen 75 40 cos 75 𝜏375 15524𝑀𝑃𝑎 𝜏375 𝜏12753 0 𝜏12753 15524𝑀𝑃𝑎 Tensão normal ao plano de cisalhamento 𝜎𝜃3 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 50 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝜃4 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 50 𝑀𝑃𝑎 c Tensão normal 𝜎40 50 150 cos80 40 sen80 𝜎40 1544 𝑀𝑃𝑎 53 Primo Fernandes Filho 𝜎50 𝜎40 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎50 1544 100 𝜎50 11544𝑀𝑃𝑎 Tensão de cisalhamento 𝜏40 𝜎𝑥 𝜎𝑦 2 sen80 𝜏 cos80 𝜏40 14077𝑀𝑃𝑎 𝜏40 𝜏50 0 𝜏50 14077𝑀𝑃𝑎 Círculo de Mohr 1 O estado de tensão em determinado ponto é o indicado na figura ao lado a Trace o círculo de Mohr que represente este estado de tensão Solução centro 𝐶 150100 2 0 𝐶25 0 ponto 𝑥 𝜎𝑥𝜏 𝑥150 50 1 𝑐𝑚 25 𝑀𝑃𝑎 𝐶1 0 𝑒 𝑥6 2 b Determine graficamente 54 Primo Fernandes Filho b1 as tensões principais com seus planos desenhar o elemento girado Solução 𝜎𝑚á𝑥 01 64 𝑐𝑚 160 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚í𝑛 02 44 𝑐𝑚 110 𝑀𝑃𝑎 2𝜃1 𝑋𝐶1 218 𝜃1 108 2𝜃2 𝑋𝐶2 158 𝜃2 7925 b2 as tensões de cisalhamento máxima e mínima com seus planos desenhar o elemento girado Solução 𝜏𝑚á𝑥 𝐶3 54 𝑐𝑚 135 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑚í𝑥 𝐶4 54 𝑐𝑚 135 𝑀𝑃𝑎 2𝜃3 𝐶𝑋3 68 𝜃3 34 2𝜃4 𝐶𝑋4 112 𝜃4 56 b3 As tensões normais e de cisalhamento num plano cuja normal faz 30º com X Solução 𝜎30 176 𝑐𝑚 44 𝑀𝑃𝑎 𝜏30 532 𝑐𝑚 133 𝑀𝑃𝑎 2 Com base no estado de tensão abaixo a Trace o círculo de Mohr representativo deste estado de tensão Solução centro 𝐶 100200 2 0 𝐶50 0 ponto 𝑥 𝜎𝑥𝜏 𝑥10040 1 𝑐𝑚 40 𝑀𝑃𝑎 𝐶1250 𝑒 𝑥251 55 Primo Fernandes Filho b Determinar graficamente b1 as tensões principais com seus planos desenhar o elemento girado Solução 𝜎𝑚á𝑥 01 5125 𝑐𝑚 205 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚í𝑛 02 2625 𝑐𝑚 105 𝑀𝑃𝑎 2𝜃1 𝑋𝐶1 165 𝜃1 825 2𝜃2 𝑋𝐶2 145 𝜃2 725 b2 Tensões de cisalhamento máxima e mínima com seus planos desenhar o elemento girado Solução 𝜏𝑚á𝑥 𝐶3 3881 𝑐𝑚 15524 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑚í𝑛 𝐶4 3881 𝑐𝑚 15524 𝑀𝑃𝑎 𝜃3 𝑋𝐶3 105 𝜃3 525 𝜃4 375 56 Primo Fernandes Filho b3 As tensões normal e cisalhamento no plano de inclinação 40 Solução A normal ao plano faz 40 com X então 𝜃 40 𝜎40 0375 𝑐𝑚 15 𝑀𝑃𝑎 𝜏40 35 𝑐𝑚 140 𝑀𝑃𝑎 28 Exercícios propostos 1 Determinar para cada um dos estados de tensões representados a tensão normal e de cisalhamento que atuam em um plano paralelo à linha aa Resp a 117 e 3519 MPa b 645 e 74 MPa 2 Determinar para cada um dos estados de tensão abaixo representados a orientação dos planos principais as tensões principais a máxima tensão de cisalhamento a orientação dos planos das tensões máximas de cisalhamento a tensão normal associada a tensão de cisalhamento Resp a 1852º e 10852º 6610 MPa e 5310 MPa 5960 MPa 2642º e 6357º 25 MPa b 184º e 1084º 1517MPa e 138 MPa 69MPa 266º e 634º 8275 MPa 57 Primo Fernandes Filho 3 As fibras de uma barra de madeira formam um ângulo de 15º com a vertical Determinar para os estados de tensões indicados abaixo a tensão de cisalhamento paralela às fibras e a tensão normal às fibras Resp a 06 MPa e 384 MPa b 217 psi e 125 psi 4 A força centrada P está aplicada ao poste curto mostrado Sabendo que as tensões no plano aa valem 𝜎 10 𝐾𝑝𝑠𝑖 𝑒 𝜏 4 𝐾𝑝𝑠𝑖 determine a o ângulo β que o plano aa forma com a horizontal b a máxima tensão de compressão Resp a 218º b 116 Kpsi 5 São conhecidas as tensões atuantes no ponto K da viga esquematizada Utilizando o círculo de Mohr determine as tensões e as direções principais 6 A placa de aço de seção quadrada tem espessura de 10 mm e está sujeita à carga mostrada Determinar a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média desenvolvidas no aço Resp 𝜎𝑚𝑒𝑑 0 𝜏𝑚á𝑥 5 𝐾𝑝𝑎 7 Determinar as tensões principais e os planos principais para cada estado de tensões resultante da superposição indicada Resp a 3𝜏0 0 𝑏 𝜎1 100 𝑀𝑃𝑎 𝑒 0 184 a b 58 Primo Fernandes Filho 8 Um elemento em estado plano de tensão é girado de um ângulo de 𝜃 30 Neste plano as tensões normal e de cisalhamento valem 263 e 303 kgf mm2 Para 𝜃 120 estas tensões valem 263 e 303 kgfmm2 Achar 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝑒 𝜏 9 Um membro tracionado é composto de dois pedaços de material que são colados ao longo da linha ab A tensão de cisalhamento permissível na junta colada 𝜏 é 34 da tensão admissível de tração 𝜎 Qual deve ser o valor do ângulo θ a fim de que a barra suporte a máxima carga P admitir que a resistência da junta colada controla o projeto 10 Uma barra de 2m de comprimento é engastada numa extremidade e livre na outra e se encontra 2 mm afastada de uma parede rígida Determine as tensões normal e de cisalhamento no plano 11 quando a temperatura é aumentada de 150ºC Dados 𝛼 105𝐶1 𝐸 200𝐺𝑃𝑎 11 O estado de tensão em um ponto é tal que os planos principais com suas tensões é o indicado na figura ao lado Determine as tensões normal e de cisalhamento em um plano que faz 50º com x 12 A barra ABCD experimentou uma diminuição de 50ºC na temperatura Determine as tensões normal e de cisalhamento no plano mn 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝛼 105𝑐1 AB L2m A 10cm2 BC L1m A 5cm2 CD L2m A 8cm2 13 O estado de tensão é o indicado na figura Determine para este ponto a tensões principais e seus planos b 𝜏𝑚á𝑥 𝜏𝑚í𝑛 e seus planos c Tensões normal e de cisalhamento no plano indicado Obs Resolver pelo círculo de Mohr e desenhar o elemento girado mostrando as tensões nas letras a b e c 59 Primo Fernandes Filho 14 Determine as tensões normal e de cisalhamento no plano mn da figura ao lado 𝑃 20 𝑘𝑁 AB e CD E70 GPa A 8 cm2 BC E210 GPa A 5 cm2 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐵𝐶 𝐿𝐶𝐷 1𝑚 15 Para um determinado ponto os planos de cisalhamento máximos estão mostrados ao lado juntamente com as tensões neles atuantes Determine as tensões normal e de cisalhamento num plano que faz 40º com x 16 O estado de tensão em um ponto é tal que as tensões no elemento girado são mostradas na figura ao lado Determine as tensões principais com seus planos mostrando o elemento girado 17 Para um determinado ponto os planos principais com as respectivas tensões estão mostrados no elemento girado abaixo Determine 𝜎𝑥 𝜎𝑦𝜏 60 Primo Fernandes Filho Capítulo 3 Tensões em Vigas 31 Introdução Vigas são elementos estruturais de barra que trabalham à flexão Momento Fletor Esforço interno que atua em torno de um eixo transversal da seção provocando flexão ou envergamento do eixo longitudinal O momento é positivo quando comprime as fibras superiores O momento é negativo quando traciona as fibras superiores Esforço Cortante Esforço interno atuante na seção ao longo de um eixo transversal eixo no plano da seção O esforço cortante é positivo se provocar rotação horária no elemento de viga O esforço cortante é negativo se provocar rotação antihorária no elemento de viga Observações O momento fletor provoca tensão normal nos vários pontos da seção O esforço cortante provoca tensão de cisalhamento Quanto ao tipo de esforço a flexão classificase em a Flexão Pura quando na seção só atua momento fletor b Flexão Simples quando na seção atua momento fletor e esforço cortante c Flexão Composta quando na seção atua momento fletor e esforço normal d FlexoTorsor quando na seção atua momento fletor e momento torsor Quanto ao eixo do momento a flexão classificase em a Flexão Reta Normal ou Transversal quando o eixo do momento fletor é eixo principal b Flexão Oblíqua ou Assimétrica quando o eixo do momento fletor não é principal 61 Primo Fernandes Filho Ilustrando flexão reta Na seção S da viga temos Observação Todo eixo de simetria é principal eixo y e todo eixo perpendicular ao eixo de simetria é principal Ilustrando flexão oblíqua Flexão reta ou normal ou transversal porque o momento está no eixo z que é principal ver observação 62 Primo Fernandes Filho Na seção S da viga temos 32 Tensão Normal Hipótese de Navier ou das seções planas mesmo com a ação do momento o plano da seção é mantido ou seja o efeito resultante do momento fletor não altera a forma da seção que apenas gira Desta forma ao longo da altura da seção a variação dos deslocamentos Uy é linear Fig a Elemento de viga sob ação do momento fletor Fig b Distribuição do deslocamento Uy ao longo da altura da seção Fig c Seção transversal mostrando o eixo do momento fletor que coincide com a linha neutra lugar dos pontos de tensão normal nula 𝑈𝑦 𝑘1 𝑦 𝑘2 Deslocamento Ɛ𝑦 𝑘 𝑢𝑦 Deformação Ɛ𝑦 𝑘3 𝑦 𝑘4 Reta Lei de Hooke 𝜎 𝐸Ɛ 𝜎𝑦 𝐸 Ɛ𝑦 Logo a variação da tensão normal ao longo da altura de uma seção será linear 𝜎𝑦 𝑎 𝑦 𝑏 Fig d Flexão Oblíqua Z e Y eixos principais Fig a Fig b Fig c Fig d 63 Primo Fernandes Filho Equilíbrio de forças na seção na direção x 𝜎 𝑑𝐴 𝑁 0 𝐴 𝜎𝑦𝑑𝐴 0 𝐴 𝑎𝑦 𝑏𝑑𝐴 0 𝐴 𝑎𝑦 𝑑𝐴 𝑏 𝑑𝐴 𝐴 0 𝐴 𝑎 𝑦 𝑑𝐴 𝑏 𝑑𝐴 𝐴 0 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 Momento estático da área A em relação ao eixo zM que passa pelo centróide então 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 0 𝑏 𝑑𝐴 𝐴 0 𝑏 𝐴 0 𝑏 0 Logo 𝜎𝑦 𝑎 𝑦 𝑏 𝑎 𝑦 0 𝜎𝑦 𝑎 𝑦 Equilíbrio de momento na seção em torno de Z 𝜎 𝑑𝐴 𝑦 𝑀𝑧 𝐴 𝜎𝑦 𝑑𝐴 𝑦 𝑀𝑧 𝐴 𝑎𝑦 𝑑𝐴 𝑦 𝑀𝑧 𝐴 𝑀𝑧 𝑎𝑦2 𝑑𝐴 𝐴 𝑀𝑧 𝑎 𝑦2 𝑑𝐴 𝐴 𝑀𝑧 𝑎 𝐼𝑧 𝑎 𝑀𝑧 𝐼𝑧 Então 𝜎𝑦 𝑎 𝑦 𝜎𝑦 𝑀𝑧 𝐼𝑧 𝑦 𝜎 𝑀𝑦 𝐼 Onde 𝜎 Tensão normal em um determinado ponto numa seção em que atua um momento fletor M 𝑀 Momento fletor na seção 𝑦 Distância de um ponto onde é calculada a tensão ao eixo do momento 𝐼 Momento de inércia da seção em relação ao eixo do momento Equilíbrio de momento na seção em torno de Y 𝜎 𝑑𝐴 𝑧 𝑀𝑦 𝐴 𝑎𝑦 𝑧 𝑑𝐴 0 𝐴 𝑎 𝑦𝑧 𝑑𝐴 0 𝐴 significa que os eixos Y e Z eixo do momento fletor são eixos principais Tensão normal do momento fletor a Variação linear ao longo da altura de determinada seção b Nula no eixo do momento e máxima nas bordas inferior e superior c Todos os pontos situados numa linha paralela ao eixo do M tem a mesma tensão normal d 𝜎 𝑀𝑌 𝐼 só pode ser utilizado quando o eixo do M for principal 64 Primo Fernandes Filho 33 Módulo de resistência da seção quanto a flexão W 𝜎 𝑀 𝑌 𝐼 I 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑌𝑚𝑎𝑥 𝐼 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑀 𝐼 𝑌𝑚𝑎𝑥 II 𝐼 Ymax 𝑊 substituindo II em I temos 𝝈𝒎𝒂𝒙 𝑴 𝑾 Ilustração Para uma seção retangular 𝑊𝑠 𝐼 𝑌max 𝑠 Superior 𝑊𝑖 𝐼 𝑌max 𝑖 Inferior Então𝑊 𝑏ℎ3 12 ℎ 2 𝑊 𝑏ℎ2 6 momento de inercia do retângulo em relação ao eixo z vale 𝑏ℎ3 12 Para uma seção circular 𝑊 𝐼 𝑌𝑚𝑎𝑥 𝑊 𝜋𝑅4 4 𝑅 𝑊 𝜋 𝑅3 4 momento de inercia do círculo em relação ao eixo z vale 𝜋𝑅4 4 65 Primo Fernandes Filho 34 Curvatura em vigas 𝜌 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 I 𝑑𝑥 𝜌 𝑑𝜃 II 𝑑𝑥 𝜌 𝑦 𝑑𝜃 III 𝜀𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 Obs 𝑑𝜃 é o ângulo de rotação relativo a 2 seções separadas dx Substituindo I II em III temos 𝜀𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜀𝑦 𝜌𝑦𝑑𝜃𝜌𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 𝜀𝑦 𝜌𝑑𝜃𝑦𝑑𝜃𝜌𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 𝜀𝑦 𝑦 𝑑𝜃 𝜌 𝑑𝜃 𝜺𝒚 𝒚 𝝆 Sabemos que 𝝈 𝜺 𝑬 𝜎𝑦 𝜀𝑦 𝐸 I 𝝈𝒚 𝒚 𝝆 𝑬 𝜎𝑦 sendo também II 𝝈𝒚 𝑴𝒀 𝑰 Substituindo II em I temos 𝑀𝑌 𝐼 𝑌 𝜌 𝐸 𝑀 𝐼 𝐸 𝜌 𝟏 𝝆 𝑴 𝑬𝑰 Curvatura do elemento de viga de comprimento dx 66 Primo Fernandes Filho 35 Tensão de cisalhamento em vigas Para um elemento de viga de comprimento dx temos Aplicando o equilíbrio de forças no elemento acima do plano PP temos 𝐹𝑥 0 Como 𝜎 𝐹 𝐴 𝐹 𝜎 𝐴 então 𝜎𝑑𝐴 𝑦𝑀𝑎𝑥 𝑦1 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑏𝑦1 𝜎 𝑑𝜎𝑑𝐴 𝑦𝑀𝑎𝑥 𝑦1 Obs 𝜏𝑦𝑥 𝑥 Eixo de ação e 𝑦 Eixo perpendicular ao eixo de ação 𝜎𝑑𝐴 𝑦𝑀𝑎𝑥 𝑦1 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑏𝑦1 𝜎𝑑𝐴 𝑑𝜎𝑑𝐴 𝑦𝑀𝑎𝑥 𝑦1 𝑦𝑀𝑎𝑥 𝑦1 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑏𝑦1 𝑑𝜎𝑑𝐴 𝑦𝑀𝑎𝑥 𝑦1 I Sabendo que 𝜎 𝑀𝑦 𝐼 𝑑𝜎 𝑑𝑀 𝑦 𝐼 II 67 Primo Fernandes Filho Substituindo II em I temos 𝜏𝑦𝑥𝑏𝑦1𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝑦 𝐼 𝑦𝑀𝑎𝑥 𝑦1 𝑑𝐴 𝜏𝑦𝑥𝑏𝑦1𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝐼 𝑦𝑑𝐴 𝑦𝑀𝑎𝑥 𝑦1 III Sabendo que 𝑄 𝐴 𝑦𝑑𝐴 IV Substituindo IV em III temos 𝜏𝑦𝑥𝑏𝑦1𝑑𝑥 𝑑𝑀 𝐼 𝑄 𝜏𝑦𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄 𝑏𝑦1 V Sabendo que 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑉 VI Substituindo VI em V temos 𝜏𝑦𝑥 𝑉𝑄 𝐼𝑏 Onde 𝑉 Esforço cortante na seção que contém o ponto 𝐼 Momento de inércia da seção com relação ao eixo do momento Linha Neutra 𝑏 Largura da seção no ponto onde se calcula 𝜏 𝑄 Momento estático da área acima do ponto onde se calcula 𝜏 em relação ao eixo do momento Observações 1 Reciprocidade da tensão de cisalhamento 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏 2 Em relação a qualquer eixo que passe pelo centroide o momento estático da área total é nulo Assim 𝑄 𝐴 𝑦𝑑𝐴 A pode ser área acima ou abaixo do ponto Demonstração Seja z centroidal então 𝑦 0 𝑄𝑧 𝐴𝑦 0 𝐴𝑠𝑦𝑠 𝐴𝑖𝑦𝑖 𝐴𝑠𝑦𝑠 𝐴𝑖𝑦𝑖 cuja leitura é O momento estático da área acima de P em relação ao eixo z é igual ao momento da área abaixo de P em relação ao eixo z 3 Como o esforço cortante pertence a seção ele não muda de um ponto para outro quem muda é o 𝑏 e o Q 4 Como na dedução usouse a fórmula 𝜎 MYI então 𝜏 VQbI só pode ser usada na flexão reta 68 Primo Fernandes Filho Variação da tensão de cisalhamento ao longo da altura da viga Seção retangular 𝜏 𝑉𝑄 𝑏𝐼 I Para a área superior 𝑄 𝑦𝐴 𝑄 1 2 ℎ 2 𝑦1 ℎ 2 𝑦1 𝑏 𝑄 𝑏 2 ℎ2 4 𝑦1 2 II Substituindo II em I temos 𝜏 𝑉𝑄 𝑏𝐼 𝑏 2 ℎ2 4 𝑦1 2 𝜏 𝑉 2𝐼 ℎ2 4 𝑦1 2 III Para o retângulo 𝐼 𝑏ℎ3 12 IV Substituindo IV em III temos 𝜏 𝑉 2 𝑏ℎ3 12 ℎ2 4 𝑦1 2 6𝑉 𝑏ℎ3 ℎ2 4 𝑦1 2 Na seção transversal retangular A distribuição é parabólica ao longo da altura É nula nas bordas superior e inferior É máxima no eixo do momento Todos os pontos localizados numa linha paralela ao eixo do momento M tem a mesma tensão de cisalhamento 69 Primo Fernandes Filho Seção circular 𝜏 𝑉𝑄 𝑏𝐼 I 𝑄 𝑦A 𝑄 𝑄𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑄𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 Para o setor circular 𝐴 𝜃𝑟2 𝑦 2 3 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑏𝑦1 2𝑟 𝑄𝑆𝐶 𝑦𝐴 2 3 𝑟 𝜃 𝑏𝑦1 2𝑟 𝜃𝑟2 𝑄𝑆𝐶 𝑏𝑦1 3 𝑟2 Para o triângulo 𝐴 𝑏𝑦1 2 𝑦1 𝑦 2 3 𝑦1 𝑄𝑇 𝑦𝐴 2 3 𝑦1 𝑏𝑦1 2 𝑦1 𝑏𝑦1 3 𝑦1 2 Então 𝑄 𝑄𝑆𝐶 𝑄𝑇 𝑏𝑦1 3 𝑟2 𝑏𝑦1 3 𝑦1 2 𝑏𝑦1 3 𝑟2 𝑦1 2 II Substituindo II em I temos 𝜏 𝑉 𝐼𝑏𝑦1 𝑏𝑦1 3 𝑟2 𝑦1 2 𝜏 𝑉 3𝐼 𝑟2 𝑦1 2 III Para o círculo 𝐼 𝜋𝑟4 4 IV Substituindo IV em III temos 𝜏 𝑉 3 𝜋𝑟4 4 𝑟2 𝑦1 2 𝜏 4𝑉 3𝜋𝑟4 𝑟2 𝑦1 2 70 Primo Fernandes Filho Representação gráfica da tensão de cisalhamento ao longo da altura de algumas seções 71 Primo Fernandes Filho 36 Fluxo de cisalhamento É a força cisalhante medida por unidade de comprimento Como τ VQ Iby1 τ by1 VQ Iby1 by1 Esta é a expressão do fluxo de cisalhamento na posição Y1 VQ I 72 Primo Fernandes Filho 37 Vigas de Dois Materiais São vigas cuja seção transversal é formada por dois materiais diferentes FigA Seção transversal de uma viga com dois materiais FigB Admitindo a hipótese das seções planas A variação da deformação ao longo da altura é linear FigC Distribuição da tensão normal ao longo da altura neste caso 𝐸1 𝐸2 Neste caso o centroide está na linha neutra LN mas não é conhecido então 𝜎𝑑𝐴 𝑁 0 Como são dois materiais 𝜎𝑑𝐴 𝐴1 𝜎𝑑𝐴 0 𝐴2 𝐼 Como 𝜎 𝑀𝑦 𝐼 e 1 𝜌 𝑀 𝐸𝐼 temos 𝜎 𝐸𝑦 𝜌 II Substituindo II em I temos 𝐸1𝑦 𝜌 𝑑𝐴 𝐴1 𝐸2𝑦 𝜌 𝑑𝐴 𝐴2 0 𝐼𝐼𝐼 Sendo 𝐸1 𝐸2 𝑒 𝜌 constante 𝐸1 𝜌 𝑦1𝑑𝐴 𝐴1 𝐸2 𝜌 𝑦2𝑑𝐴 𝐴2 0 1 𝜌 𝐸1 𝑦𝑑𝐴 𝐴1 𝐸2 𝑦𝑑𝐴 𝐴2 0 Então 𝐸1 𝑦𝑑𝐴 𝐴1 𝐸2 𝑦𝑑𝐴 𝐴2 0 Como 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝐴 y momento estático temos que 𝐸1𝐴1 y 1 𝐸2𝐴2 y 2 0 Fórmula para determinar o centroide 73 Primo Fernandes Filho Onde y i é a distância do centroide de Ai até a LN FÓRMULA PARA CÁLCULO DA TENSÃO NORMAL Seja 𝜎𝑑𝐴 𝐴 𝑦 𝑀 Então a partir da equação III temos 𝐸1𝑦 𝜌 𝑑𝐴 𝑦 𝐴1 𝐸2𝑦 𝜌 𝑑𝐴 𝑦 𝐴2 𝑀 𝐸1𝑦2 𝜌 𝑑𝐴 𝐴1 𝐸2𝑦2 𝜌 𝑑𝐴 𝐴2 𝑀 𝐸1 𝜌 𝑦2𝑑𝐴 𝐴1 𝐸2 𝜌 𝑦2𝑑𝐴 𝐴2 𝑀 Como 𝐴 𝑦2𝑑𝐴 𝐼 momento de inércia temos 𝐸1 𝜌 𝐼1 𝐸2 𝜌 𝐼2 𝑀 1 𝜌 𝑀 𝐸1𝐼1 𝐸2𝐼2 Sendo 𝜎 𝐸𝑦 𝜌 temos 𝜎1 𝐸1𝑦 𝜌 𝐸1𝑦 1 𝑀 𝐸1𝐼1 𝐸2𝐼2 𝜎1 𝐸1𝑀𝑦 𝐸1𝐼1 𝐸2𝐼2 𝜎2 𝐸2𝑦 𝜌 𝐸2𝑦 1 𝑀 𝐸1𝐼1 𝐸2𝐼2 𝜎2 𝐸2𝑀𝑦 𝐸1𝐼1 𝐸2𝐼2 Onde Ii é o momento de inercia do material i em relação ao eixo do momento fletor ou a LN MÉTODO DAS SEÇÕES EQUIVALENTES OU SEÇÕES TRANSFORMADAS Dada uma viga cuja seção é constituída pelos materiais 1 e 2 admitindo que 𝐸1 𝐸2 74 Primo Fernandes Filho 1 Transformando tudo em material 1 a seção equivalente é mostrada na figura abaixo Onde n E2E1 σ1 MYI σ2 nMYI 2 Transformando tudo em material 2 a seção equivalente é mostrada na figura abaixo Onde n E1E2 σ1 nMYI σ2 MYI 75 Primo Fernandes Filho 38 Exercício Resolvidos Tensão Normal 01 Calcule as tensões normais máximas na viga abaixo Seção transversal em centímetros Para tensão máxima o momento deve ser máximo e será máximo onde o esforço cortante é nulo 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑥 0 Fazendo Vx 0 obtemos 𝑥 1875 𝑚 𝑴𝟏 𝟖𝟕𝟓 𝟑𝟓 𝟏𝟓𝟔 𝑲𝑵𝒎 Características da seção da viga 𝐴1 15 5 75𝑐𝑚2 𝑌 𝐴1 𝑦1𝐴2 𝑦2 𝐴1𝐴2 𝐴2 20 5 100𝑐𝑚2 𝑌 75 225100 10 75100 𝑌 15 357 𝑐𝑚 𝐼𝑚 15 53 12 𝐴1 71432 5 203 12 𝐴2 53572 𝐼𝑚 10186011𝑐𝑚4 225 KN 375 KN 20 KNm X A B S vx Mx 3 m 1 m 1 m R B R A A B y x 20 KNm 76 Primo Fernandes Filho Tensões na viga 𝑀 35156𝐾𝑁𝑚 35156 102 𝐾𝑁𝑐𝑚 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝜎𝑡 35156 102 15357 10186011 53 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 53𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝜎𝑐 35156 102 25 15357 10186011 333 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 333𝑀𝑃𝑎 02 Com base na viga abaixo determinar o máximo valor de P Cotas em m Dados 𝐴 1500 𝑐𝑚2 𝐼𝑧 600000 𝑐𝑚4 𝐼𝑦 350000 𝑐𝑚4 𝜎𝑇 40 𝑘𝑔𝑓𝑐𝑚2 𝜎𝐶 80 𝑘𝑔𝑓𝑐𝑚2 77 Primo Fernandes Filho O DMF da viga está representado na figura abaixo com Mmax 6P e Mmax 4P Para M 6P σmaxt 6P10220600000 002P σmaxc 6P10240600000 004P Para M 4P σmaxt 4P10240600000 00267P 40 P 1500 Kgf σmaxc 4P10220600000 00133P Então σmaxt 00267P 40 P 1500 Kgf e σmaxc 004P 80 P 2000 Kgf Logo Pmax 1500 Kgf 03 Com base na viga abaixo calcular a Tensões normais máximas na viga b Deslocamento deflexão da seção central Dados 𝑎 35𝑐𝑚 𝐿 150𝑐𝑚 𝑃 1200𝑘𝑔𝑓 𝐸 21𝑥105 𝑘𝑔𝑓 𝑐𝑚2 Seção circular d25cm a O DMF da viga está representado na figura abaixo z eixo do momento é o eixo principal 𝜎 𝑀𝑌 𝐼 𝐼 𝜋𝑅4 4 𝜋1254 4 1916504𝑐𝑚4 𝑦 𝑅 125𝑐𝑚 Por causa da simetria em z 𝜎𝑚á𝑥𝑇 𝜎𝑚á𝑥𝐶 𝜎𝑚á𝑥𝑇 𝜎𝑚á𝑥𝐶 𝑀𝑌 𝐼 42000125 1916504 274𝑘𝑔𝑓𝑐𝑚2 78 Primo Fernandes Filho b Deflexão 𝛿 𝜌 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 𝛿 𝜌1 𝑐𝑜𝑠𝜃 Para ângulos pequenos 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝐿 2𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝜃2 2 Portanto 𝛿 𝜌 1 1 𝜃2 2 𝛿 𝜌 𝜃2 2 𝛿 𝜌 2 𝐿2 4𝜌2 𝛿 𝐿2 8𝜌 1 𝜌 𝑀 𝐸𝐼 1200350 21103𝜋 1254 4 𝛿 15002 8 1200350 21103𝜋 1254 4 𝛿 0029𝑚𝑚 04 Dimensionar a viga abaixo 𝜎𝑇 125𝑀𝑃 𝜎𝐶 200𝑀𝑃𝑎 O diagrama de corpo livre da viga e seu DMF estão na figura abaixo Área 𝐴 143𝑎 42 𝑎 84𝑎 Centroide 𝑦 𝐴1𝑦1𝐴2𝑦2 𝐴1𝐴2 𝑦 42𝑎 49 42𝑎 21 84𝑎 𝑦 35 Momento de Inércia 𝐼 𝐼1 𝐼2 𝐼1 3𝑎 143 12 42𝑎35 492 8918𝑎 𝐼2 𝑎 423 12 42𝑎35 212 14406𝑎 Assim 𝐼z 𝐼1 𝐼2 𝐼 23324𝑎 79 Primo Fernandes Filho Sendo z principal flexão reta ou normal 𝜎 𝑀𝑌 𝐼 A tensão normal máxima atuante é de tração e sendo o material mais vulnerável a tração do que a compressão a condição de segurança será 𝜎𝑀Á𝑋𝑇 125 𝑀𝑃𝑎 Para Mmáx 𝜎𝑀Á𝑋𝑇 3010221 23324𝑎 27 𝑎 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 𝜎𝑀Á𝑋𝐶 3010235 23324𝑎 45 𝑎 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 Para Mmáx 𝜎𝑀Á𝑋𝑇 2510235 23324𝑎 375 𝑎 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 𝜎𝑀Á𝑋𝐶 2510214 23324𝑎 225 𝑎 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 𝜎𝑀Á𝑋𝑇 375 𝑎 125 𝑎 3 𝑐𝑚 39 Exercício Resolvidos Tensão de Cisalhamento 1 Para a viga abaixo faça a distribuição de tensão de cisalhamento ao longo da altura da seção onde o esforço cortante é máximo Diagra ma do Esforç o Cortant e Cortante Máximo 𝑉𝑀Á𝑋 325 𝐾𝑁 Cálculo do Centróide 𝑦 𝑦1 𝐴1 𝑦2 𝐴2 𝐴1 𝐴2 225 100 10 100 100 100 𝑦 1625 𝑐𝑚 80 Primo Fernandes Filho Área da figura acima ou abaixo do ponto analisado Distância do centroide da figura acima ou abaixo do ponto analisado ao eixo do momento fletor Cálculo do Momento de Inércia 𝐼 𝑏1 ℎ1 3 12 𝐴1 𝑦1 𝑦2 𝑏2 ℎ2 3 12 𝐴2 𝑦2 𝑦2 𝐼 20 53 12 100 225 16252 5 203 12 100 10 16252 𝐼 11354167 𝑐𝑚4 Cálculo da Tensão de Cisalhamento 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑏 𝑄 𝑦 𝐴 Ponto 1 𝜏1 𝑉𝑄1 𝐼𝑏1 3250 1135416720 𝜏1 0 Ponto 2 𝑄2 𝑦2 𝐴2 225 162520 5 𝑄2 625 𝑐𝑚³ 𝜏2 𝑉 𝑄2 𝐼 𝑏2 325 625 11354167 20 𝜏2 0089 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 Ponto 3 𝑄3 𝑦3 𝐴3 225 162520 5 𝑄3 625 𝑐𝑚³ 𝜏3 𝑉 𝑄3 𝐼 𝑏3 325 625 11354167 5 𝜏3 0358 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 Ponto 4 𝑄4 𝑦4 𝐴4 5 1625 1625 2 66025𝑐𝑚3 𝜏4 𝑉 𝑄4 𝐼 𝑏4 325 66025 11354167 5 𝜏4 0378 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 Ponto 5 𝜏5 𝑉𝑄5 𝐼𝑏5 3250 113541675 𝜏5 0 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 Distribuição ao longo da seção onde o esforço cortante é máximo 81 Primo Fernandes Filho 2 Determine a quantidade de pregos necessários para manter unidas as 3 pranchas da viga abaixo Sabese que V 2 KN L 3 m A tensão admissível dos pregos ao cisalhamento é 225 MPa O diâmetro de cada prego é 2 mm Determine também o espaçamento entre os pregos Seção cm Resolução VQ I 2 15 2 85 15 193 12 13 153 12 01037 KNcm Para 3m F 01037 300 F 3111 KN Fprego τ π012 225 π012 071 KN N 3111 071 44 pregos Ntotal 2 44 88 pregos Determinar o espaçamento entre os pregos e L N 300 44 681 cm e L N1 começa e termina com prego 3 Determine o número de pregos necessários para manter unidas as duas peças que formam a seção da viga abaixo Cada prego resiste 5 KN em cisalhamento Seção cm VQ I I 53125 cm4 No trecho AC AC 2 15 55 53125 0141 KNcm Em 3m F 0141 300 423 KN NAC 423 5 85 9 pregos No trecho BC AC 3 AC 0421 KNcm FBC 0423 100 423 KN NBC 423 5 85 9 pregos 82 Primo Fernandes Filho 4 A seção ao lado é formada unindose 3 pranchas por pregos como na figura O cortante vale 5 KN e cada prego resiste 1 KN ao cisalhamento Determine o espaçamento necessário para os pregos Resolução VQ I 5 25 15 875 15 203 12 10 153 12 0228 KNcm Em 1m F 0228 100 228 KN N 228 1 228 23 24 pregos e L N 100 12 83 cm 83 Primo Fernandes Filho 310 Exercício Resolvidos Viga de Dois Materiais 01 Dada a seção da viga abaixo calcule as tensões normais máximas na madeira e no aço 1 Madeira 𝐸1 10 𝐺𝑃𝑎 2 Aço 𝐸2 200 𝐺𝑃𝑎 Adotar 𝑀 20 𝐾𝑁𝑚 Seção em cm Usando a seção real Seja 𝐴1 12 20 240 𝑐𝑚2 𝐴2 6 2 12 𝑐𝑚2 Cálculo do Centroide 𝐸1𝐴1 y 1 𝐸2𝐴2 y 2 0 10 109 240 104𝑦1 10 200 109 12 1041 𝑦2 0 𝑦1 𝑦2 9 𝐼 Como 𝑦1 𝑦2 22 𝐼𝐼 temos 𝑦1 155 𝑐𝑚 e 𝑦2 65 𝑐𝑚 Assim y1 y2 22 155 y2 22 y2 65 cm Na madeira σmáxc E1My1 E1I1E2I2 Onde I1 b1h1 3 12 A1yc1 𝑦2 12203 12 24012652 15260 cm4 I2 b2h2 3 12 A2yc2 𝑦 2 623 12 121652 367 cm4 Então σmáxc 10109 20103 155102 10109 15260108 200109 367108 σmáxc 1372 107 N m2 1372 MPa Porção tracionada σmáxt E1My1 E1I1E2I2 σmáxt 10109 20103 45102 10109 15260108 200109 367108 398 MPa 84 Primo Fernandes Filho No aço Como a seção de aço está na região onde a viga é tracionada no aço não há compressão σmáxt E2My2 E1I1E2I2 σmáxt 200109 20103 65102 10109 15260108 200109 367108 115 Mpa Usando a seção transformada equivalente a madeira Como n 𝐸2 𝐸1 200 10 n 20 𝑦 A1 y1 A2 y2 A1 A2 12201212021 12201202 65 cm Momento de inércia I I1 I2 I1 b1h1 3 12 A1y1 𝑦2 12 203 12 240 12 652 15260 cm4 I2 b2h2 3 12 A2y2 𝑦2 120 23 12 240 1 652 7340 cm4 Madeira σmáxc My I 20103 2265102 22600108 137 MPa σmáxt My I 20103 652102 22600108 398 MPa Aço O aço está na zona de tração então σmáxt n My I 20 20103 65102 22600108 115 MPa Usando a seção transformada equivalente em aço 85 Primo Fernandes Filho Transformação 𝑛 𝐸1 𝐸2 10 200 005 Centróide 𝑌 𝐴1 𝑦1 𝐴2 𝑦2 𝐴1 𝐴2 20 06 12 6 2 1 20 06 6 2 65 𝑐𝑚 Momento de Inércia 𝐼1 𝑏 ℎ3 12 𝐴1𝑦1 𝑌² 06 203 12 12 12 65² 763 𝑐𝑚4 𝐼2 𝑏 ℎ3 12 𝐴2𝑦2 𝑌² 6 23 12 12 1 65² 367 𝑐𝑚4 Assim 𝐼 𝐼1 𝐼2 763 367 𝐼 1130 𝑐𝑚4 Madeira Compressão 𝜎𝑚á𝑥𝐶 𝑛 𝑀 𝑦 𝐼 005 20 103𝑁𝑚 22 65 102 𝑚 1130 108 𝑚4 1371 𝑀𝑃𝑎 Tração 𝜎𝑚á𝑥𝑇 𝑛 𝑀 𝑦 𝐼 005 20 103𝑁𝑚 65 2 102 𝑚 1130 108 𝑚4 398 𝑀𝑃𝑎 Aço Como a seção de aço está na zona de tração não há compressão Tração 𝜎𝑚á𝑥𝑇 𝑀 𝑦 𝐼 20 103𝑁𝑚 65 102 𝑚 1130 108 𝑚4 115 𝑀𝑃𝑎 86 Primo Fernandes Filho 25 cm 50 cm 6 cm 2 x 7 cm² 02 A figura abaixo representa a seção transversal de uma viga de concreto armado Sendo M 70 KNm e usando seção equivalente em concreto determinar as tensões normais máximas no concreto e no aço Desprezar o concreto tracionado Dado 𝐸𝑎 𝐸𝑐 15 Transformando a seção de aço em seção de concreto temos 𝐴 𝑛 𝐴𝑎ç𝑜 15 2 7 210 𝑐𝑚2 Para uma barra de aço temos 𝐴 𝜋 𝐷² 4 7 𝜋 𝐷² 4 𝐷 4 7 𝜋 298 3 𝑐𝑚 Sendo 𝐴 𝐷 𝑏 temos 210 3 𝑏 𝑏 210 3 70 𝑐𝑚 Considerando que o momento estático da seção de concreto acima da LN é igual ao momento estático da seção de aço transformada temos 𝑄1 𝑄2 𝐴1 𝑦1 𝐴2 𝑦2 25 𝑦 𝑦 2 70 3 50 𝑦 25 𝑦2 420 50 𝑦 25 𝑦² 21000 420 𝑦 25 𝑦² 420 𝑦 21000 0 𝑦 2178 𝑐𝑚 87 Primo Fernandes Filho Momento de Inércia 𝐼 𝐼1 𝐼2 𝐼1 𝑏1ℎ1³ 12 𝐴1 ℎ1 2 ² 25 2178³ 12 25 2178 2178 2 ² 𝐼1 86097864 𝑐𝑚4 𝐼2 𝑏2ℎ2³ 12 𝐴2 50 𝑦² 70 3³ 12 210 50 2178² 𝐼2 167394864 𝑐𝑚4 Assim 𝐼 𝐼1 𝐼2 253492728 𝑐𝑚4 Cálculo das tensões Concreto Compressão 𝜎𝑚á𝑥𝐶 𝑀 𝑦 𝐼 70 103𝑁𝑚 2178 102 𝑚 253492728 108 𝑚4 𝜎𝑚á𝑥𝐶 601 𝑀𝑃𝑎 Tração Foi desprezada Aço Como está na região tracionada não há compressão no aço Tração 𝜎𝑚á𝑥𝑇 𝑛 𝑀 𝑦 𝐼 1570 103𝑁𝑚 50 2178 102𝑚 253492728 108 𝑚4 𝜎𝑚á𝑥𝑇 115 𝑀𝑃𝑎 88 Primo Fernandes Filho 311 Exercício Propostos Tensões Normais 01 Dada uma tora de madeira de diâmetro D achar as dimensões B e H da viga de seção retangular que tenha a maior resistência possível ao momento fletor M 02 Achar a dimensão a 03 Na viga da figura definir a seção transversal nos 5 casos indicados Em seguida fazer uma comparação do consumo de material para os 5 casos É dada σ 80 kgfcm² 89 Primo Fernandes Filho 04 Achar a resultante das tensões de tração na área hachurada equipe de PEF125 05 Achar a altura racional da seção Miroliubov 06 Achar o valor mínimo que deve ser atribuído com segurança à dimensão a São dadas as tensões normais admissíveis do material σT 40 kgfcm² e σc 400kgfcm² 90 Primo Fernandes Filho 07 Ache o valor da dimensão a Resp a 14 cm 08 Achar Pmáx Dados σT 40kgfcm² e σc 80 kgfcm² Prof Boanerges 09 Achar o valor de F que permite aplicar o maior valor de P Em seguida achar o maior valor de P Prof Boanerges 91 Primo Fernandes Filho 10 Exemplo Usando a seção na posição mais racional a ou b calcule as tensões normais máximas na viga a b Resp 𝜎𝑚á𝑥𝑇 𝜎𝑚á𝑥𝐶 282 Mpa 92 Primo Fernandes Filho 312 Exercício Propostos Tensão de Cisalhamento 01 Deduza a expressão geral para a distribuição da tensão de cisalhamento do cortante ao longo da altura de uma seção retangular e depois circular 02 Calcule a tensão de cisalhamento máxima na viga abaixo 03 Fazer o gráfico que representa a variação da tensão de cisalhamento na seção abaixo onde atua um cortante de 80KN 04 A seção da viga abaixo é formada por 3 pranchas coladas como mostrado na figura abaixo Determine o máximo valor de P sabendo que a resistência da cola ao cisalhamento é 35 𝑘𝑔𝑓𝑐𝑚2 93 Primo Fernandes Filho 05 A seção abaixo foi formada unindose tábuas com auxílio de parafusos O cortante atuando na seção é 872 N e cada parafuso pode suportar 400 N em cisalhamento Qual o máximo espaçamento permitido para os parafusos Resp 526 cm 06 Dar a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da altura da seção de maior cortante 07 Cinco barras prismáticas de madeira com seção 12x8 cm são coladas umas às outras formando a seção da viga abaixo Qual deve ser a resistência da cola ao cisalhamento Adote um coeficiente de segurança igual a 15 94 Primo Fernandes Filho 08 Determine a quantidade de pregos necessários para manter unidas as 3 pranchas da viga abaixo Sabese que V2kN L3m A tensão admissível dos pregos ao cisalhamento é 225 MPa O diâmetro de cada prego é 2mm 09 Uma viga de plástico é formada colandose 3 tiras cada uma com 10x30 mm de seção A viga tem peso de 32N e 320mm de comprimento Calcule a máxima carga P que pode ser colocada na seção central Sabese que a tensão de cisalhamento permitida nas juntas coladas é de 03 MPa 10 A seção da viga abaixo pode ser formada por 2 ou 3 pranchas se utilizarmos parafusos como mostrado na figura Determine o número de parafusos necessários para cada situação Sabese que a resistência do parafuso ao cisalhamento é 700 𝑘𝑔𝑓𝑐𝑚2e que cada parafuso tem 03 𝑐𝑚2de área de seção 95 Primo Fernandes Filho 11 A seção da figura é formada unindose 3 pranchas por pregos O cortante vale 5kN e cada prego resiste 1kN ao cisalhamento Determine o espaçamento necessário para os pregos 12 Na seção de esforço cortante máximo calcule a tensão de cisalhamento num ponto a meia altura da seção 96 Primo Fernandes Filho 312 Exercício Propostos Viga de Dois Materiais 01 A figura abaixo representa a seção transversal dimensões em mm de uma viga de madeira reforçada com uma lâmina de aço Os módulos de elasticidade são Emadeira 10 GPa e Eaço 200 GPa Se esta viga for submetida a um momento fletor de 30 kNm em relação ao eixo horizontal quais as tensões máximas no aço e na madeira Resposta 9709 MPa e 115 MPa 02 Uma viga de madeira de 100 mm de largura por 200 mm de altura tem uma placa de liga de alumínio de 90 mm por 15 mm de altura presa a sua face inferior Determine o momento resistente máximo admissível para a viga sendo as tensões admissíveis 8 MPa e 100 MPa e os módulos de elasticidade 875 GPa e 70 GPa respectivamente da madeira e do alumínio Resposta 859 kNm 03 Calcular as tensões máximas na madeira núcleo e no alumínio chapas laterais da viga abaixo dados P 10 kN dimensões da seção em mm e módulos de elasticidade Emadeira 7 GPa e Eaço 70 GPa Resposta 882 MPa e 882 MPa 04 Uma viga de madeira de 100 mm de largura por 300 mm de altura e 5 m de comprimento é armada com placas de aço de 75 mm de largura por 15 mm de altura nas faces superior e inferior A viga é simplesmente apoiada biapoiada e suporta uma carga uniformemente distribuída de 20 kNm em todo o seu comprimento Determinar a tensão longitudinal máxima na madeira e no aço sendo seus módulos de elasticidade iguais a 10 GPa e 210 GPa respectivamente Resposta 671 MPa e 1549 MPa 97 Primo Fernandes Filho 05 Duas chapas de latão são firmemente coladas a uma barra de alumínio como indica a figura ao lado dimensões em mm Dados El 70 GPa e Eal 105 GPa σl 100 MPa e σal 150 MPa calcular o momento máximo quando a peça composta é flexionada em torno e um eixo a horizontal b vertical Resposta 1152 kNm e 720 Nm 06 Calcular o momento fletor admissível em relação ao eixo neutro horizontal para uma viga composta de madeira e aço com seção transversal c de madeira 200 mm de largura por 300 mm de altura reforçada por uma chapa de aço superior de 50 mm de largura por 10 mm de altura e outra inferior de 150 mm de largura por 10 mm de altura d de madeira 200 mm de largura por 300 mm de altura reforçada por chapas de aço laterais de 10 mm de largura por 300 mm de altura Dados Emadeira 83 GPa Eaço 200 GPa 𝜎𝑀𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 83 𝑀𝑃𝑎 e 𝜎𝐴ç𝑜 140 𝑀𝑃𝑎 Resposta a M 4418 kNm b 5943 kNm 07 Determinar as tensões máximas no aço e no concreto em uma viga de concreto armado sujeita a um momento fletor positivo de 70 KNm A figura ao lado representa a seção transversal e as dimensões estão indicadas em mm Cada uma das barras de aço tem 700 mm² de área Admitir EaçoEconcreto n 15 Resposta σaço 117 MPa e σconcreto 602 MPa 08 Uma viga biapoiada de concreto armado suporta uma carga uniformemente distribuída de 25 kNm em um vão de 5 m A viga tem seção retangular de 300 mm de largura por 550 mm de altura e a armadura de aço tem área total de 1250 mm² com os centros das barras colocados a 70 mm da face inferior da viga Calcular as tensões máximas no concreto e média no aço dados Econcreto 20 GPa e Eaço 210 GPa Admitir que o concreto não resiste à tração Resposta 74 MPa e 1472 MPa 98 Primo Fernandes Filho Capítulo 4 Deformação em Vigas Isostáticas 41 Introdução Conceito Todo corpo elástico sob ação de cargas externas em equilíbrio sofre deformação No equilíbrio Há deformação Sem equilíbrio Não há deformação ocorre movimento do corpo rígido Diferença entre deslocamento e deformação Deslocamento Vetor onde os extremos são um ponto do corpo na configuração inicial A e o mesmo ponto na configuração deformada A 𝛥𝐿 é o deslocamento do ponto A Deslocamento é uma grandeza de significado relativo Deformação Relação entre o deslocamento e uma referência inicial comprimento da barra Deformação é uma grandeza de significado absoluto 𝜀 𝛥𝐿 𝐿 Unidades porcentagem por mil 99 Primo Fernandes Filho Objetivos Determinar os deslocamentos angular e linear de uma seção qualquer de uma viga isostática qualquer Onde Linha elástica é o eixo da viga na configuração deformada y deslocamento linear deflexão ou flecha 𝜃 deslocamento angular declividade ou rotação A rotação é a derivada da flecha 𝜃 𝑦 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝜃 Importância Verificar se a deformação atende aos parâmetros estabelecidos nas normas Auxiliar na resolução de problemas hiperestáticos Tal feito se faz possível através do uso combinado das equações de equilíbrio e das equações de compatibilidade de deslocamento Métodos Equação diferencial da Linha Elástica Teorema de Mohr Método da Área do DMF Teorema de Castigliano Princípio dos Trabalhos Virtuais 100 Primo Fernandes Filho 42 Método da Equação Diferencial da Linha Elástica LE No capítulo III encontramos que 1 𝜌 𝑀 𝐸𝐼 I Do cálculo diferencial 1 𝜌 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² 1 𝜌 𝑦 II Igualando I e II temos 𝑦 𝑀 𝐸𝐼 Equação Diferencial da Linha Elástica EI Rigidez flexional 101 Primo Fernandes Filho Estudo de casos para EI constante Caso A Para 0 𝑥 𝐿 temos 𝑀𝑥 𝑃 𝑥 𝑃 𝐿 I Como 𝑦 𝑀 𝐸𝐼 𝑦 𝐸𝐼 𝑀 II Igualando I e II temos 𝑦 𝐸𝐼 𝑃 𝑥 𝑃 𝐿 III Integrando a equação III obtemos a rotação 𝑦 𝐸𝐼 𝑃 𝐿 𝑥 𝑃𝑥² 2 𝑐1 IV Rotação Integrando a equação IV temos a flexão 𝐸𝐼 𝑦 𝑃𝐿𝑥² 2 𝑃𝑥³ 6 𝑐1 𝑥 𝑐2 V Deflexão Aplicando as condições de contorno para obter 𝑐1e 𝑐2 Para 𝑥 0 𝑦 0 De V temos que 𝑐2 0 Para 𝑥 0 𝑦 𝜃 0 De IV temos que 𝑐1 0 Então temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑃 𝐿 𝑥 𝑃𝑥² 2 Rotação 𝐸𝐼 𝑦 𝑃𝐿𝑥² 2 𝑃𝑥³ 6 Flecha Onde o Flecha máxima 𝑦𝑚á𝑥𝐸𝐼 𝑦𝐿 𝑃𝐿𝐿2 2 𝑃𝐿3 6 3𝑃𝐿3 𝑃𝐿3 6 𝑦𝑚á𝑥 𝑃𝐿³ 3𝐸𝐼 o Rotação máxima 𝜃𝑚á𝑥 𝜃𝐿 𝜃𝑥 𝐿 𝜃𝑚á𝑥 𝐸𝐼 𝑃 𝐿 𝐿 𝑃𝐿² 2 𝜃𝑚á𝑥 𝑃𝐿² 2𝐸𝐼 102 Primo Fernandes Filho Caso B Para 0 x L temos 𝑀𝑥 𝑞 𝐿 𝑥 𝑞𝐿2 2 𝑞𝑥2 2 𝐼 Como 𝑦 𝑀 𝐸𝐼 temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑀 𝐼𝐼 Igualando I e II temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑞 𝐿 𝑥 𝑞𝐿2 2 𝑞𝑥2 2 𝐸𝐼 𝑦 𝑞 𝐿 𝑥 𝑞𝐿2 2 𝑞𝑥2 2 𝐼𝐼𝐼 Integrando a equação III temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝐿𝑥2 2 𝑞𝐿2𝑥 2 𝑞𝑥3 6 𝐶1 𝐼𝑉 Rotação Integrando a equação IV temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝐿𝑥3 6 𝑞𝐿2𝑥2 4 𝑞𝑥4 24 𝐶1𝑥 𝐶2 𝑉 Flecha Aplicando as condições de contorno nas equações IV e V temos 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑦 0 𝐷𝑒 𝐼𝑉 𝐶1 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑦 0 𝐷𝑒 𝑉 𝐶2 0 Então 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝑥3 6 𝑞𝐿𝑥2 2 𝑞𝐿²𝑥 2 Rotação 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝑥4 24 𝑞𝐿𝑥3 6 𝑞𝐿2𝑥2 4 Flecha 103 Primo Fernandes Filho Rotação máxima 𝜃𝑚á𝑥 𝑥 𝐿 𝐸𝐼 𝜃𝑚á𝑥 𝑞𝐿3 6 𝑞𝐿𝐿² 2 𝑞𝐿²𝐿 2 Rotação 𝜃𝑚á𝑥 𝑞𝐿³ 6𝐸𝐼 h Flecha Máxima 𝑦𝑚á𝑥 𝑥 𝐿 𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 𝑞𝐿4 24 𝑞𝐿4 6 𝑞𝐿4 4 𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 𝑞𝐿4 4𝑞𝐿4 6𝑞𝐿4 24 𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 3𝑞𝐿4 24 𝑦𝑚á𝑥 𝑞𝐿4 8𝐸𝐼 Caso C Seja 0 x L temos 𝑀𝑥 𝑞𝐿𝑥 2 𝑞𝑥2 2 𝐼 Como 𝑦 𝑀 𝐸𝐼 temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑀 𝐼𝐼 Igualando I e II temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝐿𝑥 2 𝑞𝑥2 2 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝑥2 2 𝑞𝐿𝑥 2 𝐼𝐼𝐼 Integrando a equação III temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝑥3 6 𝑞𝐿𝑥2 4 𝐶1 𝐼𝑉 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 104 Primo Fernandes Filho Integrando a equação IV temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝑥4 24 𝑞𝐿𝑥3 12 𝐶1𝑥 𝐶2 𝑉 𝐹𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 Aplicando as condições de contorno nas equações IV e V temos 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑦 0 𝐷𝑒 𝑉 𝐶2 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝐿 𝑦 0 𝐷𝑒 𝑉 𝐸𝐼 0 𝑞𝐿4 24 𝑞𝐿4 12 𝐶1𝐿 0 0 𝑞𝐿4 2𝑞𝐿4 24 𝐶1𝐿 0 𝑞𝐿4 24 𝐶1𝐿 𝐶1𝐿 𝑞𝐿4 24 𝐶1 𝑞𝐿3 24 Então 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝑥3 6 𝑞𝐿𝑥2 4 𝑞𝐿³ 24 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝐸𝐼 𝑦 𝑞𝑥4 24 𝑞𝐿𝑥3 12 𝑞𝐿3𝑥 24 𝐹𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 Rotação máxima 𝜃𝑚á𝑥 𝑥 0 𝑥 𝐿 𝑆𝑒 𝑥 0 𝐸𝐼 𝜃𝑚á𝑥 𝑞 03 6 𝑞𝐿 02 4 𝑞𝐿3 24 𝜃𝑚á𝑥 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 ℎ 𝑆𝑒 𝑥 𝐿 𝐸𝐼 𝜃𝑚á𝑥 𝑞 𝐿3 6 𝑞𝐿 𝐿2 4 𝑞𝐿3 24 𝜃𝑚á𝑥 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 𝑎ℎ Flecha Máxima 𝑦𝑚á𝑥 𝑥 𝐿2 𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 𝑞𝐿 24 24 𝑞𝐿𝐿 23 12 𝑞𝐿3𝐿 2 24 𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 𝑞𝐿4 4𝑞𝐿4 8𝑞𝐿4 384 𝐸𝐼 𝑦𝑚á𝑥 5𝑞𝐿4 384 𝑦𝑚á𝑥 5𝑞𝐿4 384 𝐸𝐼 Caso D Se 0 x L temos 𝑀𝑥 𝑀 𝑀𝑥 𝐿 I 105 Primo Fernandes Filho Como y 𝑀 𝐸 𝐼 temos 𝐸𝐼 𝑦 𝑀 II Igualando a equação I a II temos 𝐸𝐼 𝑦 M Mx L EI y 𝑀𝑥 𝐿 𝑀 III Integrando a equação III EI y 𝑀𝑥2 2𝐿 𝑀𝑥 𝐶1 IV Rotação Integrando a equação IV teremos EI y 𝑀𝑥3 6𝐿 𝑀𝑥2 2 𝐶1𝑥 𝐶2 V Flecha Aplicando as condições de contorno nas equações IV e V temos Para 𝑥 0 y 0 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑉 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐶2 0 Para 𝑥 𝐿 y 0 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑉 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐸𝐼 0 𝑀𝐿3 6𝐿 𝑀𝐿2 2 𝐶1𝑥 0 0 𝑀𝐿2 6 𝑀𝐿2 2 𝐶1𝐿 0 𝑀𝐿2 3𝑀𝐿2 6 𝐶1𝐿 𝐶1 𝑀𝐿 3 Então EI θ 𝑀𝑥2 2𝐿 𝑀𝑥 𝑀𝐿 3 Rotação EI y 𝑀𝑥3 6𝐿 𝑀𝑥2 2 𝑀𝐿𝑥 3 Flecha Rotação Máxima θMáx θ x0 xL Se 𝑥 0 𝜃𝑀á𝑥 𝑀𝐿 3 𝐸𝐼 Se 𝑥 𝐿 EI 𝜃𝑀á𝑥 𝑀𝐿2 2𝐿 𝑀𝐿 𝑀𝐿 3 𝜃𝑀á𝑥 𝑀𝐿 6 𝐸𝐼 Logo 𝜃𝑀á𝑥 𝜃𝐴 𝑀𝐿 3 𝐸𝐼 Flecha máxima Neste caso a flecha é máxima onde a rotação é nula θ 0 EI θ 𝑀𝑥2 2𝐿 𝑀𝑥 𝑀𝐿 3 EI 0 𝑀𝑥2 2𝐿 𝑀𝑥 𝑀𝐿 3 𝑀𝑥2 2𝐿 𝑀𝑥 𝑀𝐿 3 0 Multiplicando por 2𝐿 𝑀 temos 𝑥2 2𝐿𝑥 2 3 𝐿2 0 𝑥 2𝐿 2𝐿 3 2 Assim 𝑥1 𝐿 𝐿 3 não serve pois x1 L 𝑥1 𝐿 𝐿 3 𝑥 0422 𝐿 106 Primo Fernandes Filho Então EI 𝑦𝑀á𝑥 𝑀𝑥3 6𝐿 𝑀𝑥2 2 𝑀𝐿𝑥 3 EI 𝑦𝑀á𝑥 𝑀0422 𝐿3 6𝐿 𝑀0422 𝐿2 2 𝑀𝐿0422 𝐿 3 𝑦𝑀á𝑥 0075𝑀𝐿20534𝑀𝐿20844 𝑀𝐿2 6 𝐸𝐼 𝑦𝑀á𝑥 00644 𝑀𝐿2 𝐸𝐼 𝑀𝐿2 93𝐸𝐼 Estes e outros casos particulares de carregamento e apoios se encontram na forma de tabela ao final da apostila 43 Método da Área do DMF É outro método da determinação da deflexão flecha deslocamento linear e declividade rotação deslocamento angular de vigas isostáticas É útil quando na ausência das tabelas se deseja calcular o deslocamento em determinada seção Desvio tangencial de B em relação a A 107 Primo Fernandes Filho 431 Primeiro Teorema de Mohr A rotação relativa entre duas seções A e B 𝜃𝐴 𝜃𝐵 é igual a área do DMF entre A e B dividida pela rigidez flexionalEI 𝜃𝐴 𝜃𝐵 𝐴𝑑𝑚𝑓 𝐸𝐼 𝜃𝐴 Rotação na seção á esquerda 𝜃𝐵 Rotação na seção á direita Se 𝑀 0 𝐴𝑑𝑚𝑓 0 Se 𝑀 0 𝐴𝑑𝑚𝑓 0 Se 𝜃 0 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑎 Se 𝜃 0 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑎 Exemplo 01 Usando o método da área do DMF achar a rotação na extremidade livre da estrutura abaixo EI constante Área do DMF 𝐴𝑑𝑚𝑓 1 2 𝐿 𝑃𝐿 𝑃𝐿² 2 Do 1º teorema de Mohr 𝜃𝐴 𝜃𝐵 𝐴𝑑𝑚𝑓 𝐸𝐼 0 𝜃𝐵 𝑃𝐿2 2 𝐸𝐼 𝜃𝐵 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 h 108 Primo Fernandes Filho Exemplo 02 Achar 𝜃𝐵 na estrutura abaixo usando o método da área do DMF A simetria do carregamento permite duas possibilidades de resolução 1ª forma do meio do vão ao apoio B 𝐴𝑑𝑚𝑓 2𝑎ℎ 3 𝐴𝑑𝑚𝑓 2 𝐿 2 𝑞𝐿² 8 3 𝐴𝑑𝑚𝑓 𝑞𝐿³ 24 𝐼 Aplicando o 1º teorema de Mohr temos 𝜃𝑀 𝜃𝐵 𝐴𝑑𝑚𝑓 𝐸𝐼 𝐼𝐼 Substituindo 𝐼 em 𝐼𝐼 e que𝜃𝑀 0 temos 𝜃𝑀 𝜃𝐵 𝑞𝐿3 24 𝐸𝐼 𝜃𝐵 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 𝑎ℎ 2ª forma usar a viga inteira A e B 𝐴𝑑𝑚𝑓 4𝑎ℎ 3 4 𝐿 2 𝑞𝐿² 8 3 𝑞𝐿³ 12 𝐼 Da simetria 𝜃𝐴 𝜃𝐵 𝐼𝐼 aplicando o 1º teorema de Mohr temos 𝜃𝐴 𝜃𝐵 𝐴𝑑𝑚𝑓 𝐸𝐼 𝐼𝐼𝐼 Substituindo 𝐼e 𝐼𝐼 em 𝐼𝐼𝐼 temos 𝜃𝐵 𝜃𝐵 𝑞𝐿³ 12 𝐸𝐼 2𝜃𝐵 𝑞𝐿³ 12𝐸𝐼 𝜃𝐵 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 𝑎𝑛𝑡𝑖 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 109 Primo Fernandes Filho 432 Segundo Teorema de Mohr O desvio tangencial de B em relação a 𝑡𝐵𝐴 é a distância ente B e a projeção da tangente de A 𝑡𝐵𝐴 é igual ao momento estático da área do DMF ente A e B em relação a vertical que passa por B dividida pela rigidez flexional EI 𝑡𝐵𝐴 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝑥 𝐸𝐼 Se 𝑡𝐵𝐴 0 B acima da tangente em A Se 𝑡𝐵𝐴 0 B abaixo da tangente em A Exemplo 1 Achar a flecha máxima no carregamento ao lado EIconstante Área do DMF 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝑃𝐿𝐿 2 𝑃𝐿2 2 I Abscissa do centroide do DMF 𝑥 2 3 𝐿 II Aplicando o teorema de Mohr 𝑡𝐵𝐴 𝐴𝐷𝑀𝐹𝑋 𝐸𝐼 III Subst I e II em III temos 𝑡𝐵𝐴 𝑃𝐿2 2 2𝐿 3 𝐸𝐼 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 Neste caso 𝑌𝑚𝑎𝑥𝑡𝐵𝐴 então 𝑌𝑚𝑎𝑥 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 Exemplo 2 Achar a flecha máxima no carregamento abaixo 110 Primo Fernandes Filho Como a flecha máxima situase no meio do vão temos Área do DMF 𝐴𝐷𝑀𝐹 2 3 𝑏ℎ 2 3 𝐿 2 𝑞𝐿2 8 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝑞𝐿³ 24 I Abssissa do centróide do DMF 𝑥 5 8 𝑏 5 8 𝐿 2 5𝐿 16 II Neste caso 𝑦𝑀á𝑥 𝑡𝐵𝑀 III No 2º teorema de Mohr temos 𝑡𝐵𝑀 𝐴𝐷𝑀𝐹𝑥 𝐸𝐼 IV Substituindo I II e III em IV temos 𝑦𝑀á𝑥 𝑞𝐿³ 24 5𝐿 16 𝐸𝐼 𝑦𝑀á𝑥 5𝑞𝐿4 384𝐸𝐼 44 Exercícios Resolvidos Método da Integração Direta 01 Uma viga em balanço com carga uniformemente distribuída tem uma deflexão na extremidade livre igual a βL sendo β um número pequeno e L o comprimento da viga Qual a rotação da linha elástica na extremidade livre Solução Como o carregamento acima representa o caso 1 da tabela D1 temos YL qL4 8EI e θL qL3 6EI YL qL4 8EI βL qL4 8EI β qL3 8EI 8β qL3 EI I Como θL qL3 6EI II Substituindo I em II temos θL 8β 6 θL 4β 3 111 Primo Fernandes Filho 02 Calcule a flecha máxima na viga abaixo Linha Elástica Com base nas tabelas do Apêndice D Livro Mecânica dos Sólidos 1 Timoshenko vamos usar o método da superposição Superposição Fazer o caso 1 2 ou seja 𝐴 1 2 Na Tabela adotar o caso 2 duas vezes Assim 𝑦𝑚𝑎𝑥 𝑦1 𝑦2 De acordo com a tabela 2 Se 𝑎 𝑥 𝐿 𝑦 𝑞𝑎3 24𝐸𝐼 4𝑥 𝑎 𝑦1 𝑎 2 3 𝐿 𝑦2 𝑎 𝐿 3 Assim 𝑦1 𝑞 2𝐿 3 3 24𝐸𝐼 4𝐿 2𝐿 3 𝑦1 80𝑞𝐿4 1944𝐸𝐼 𝑦2 𝑞 𝐿 3 3 24𝐸𝐼 4𝐿 𝐿 3 𝑦2 11𝑞𝐿4 1944𝐸𝐼 Então 𝑦𝑚𝑎𝑥 80𝑞𝐿4 1944𝐸𝐼 11𝑞𝐿4 1944𝐸𝐼 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝟔𝟗𝒒𝑳𝟒 𝟏𝟗𝟒𝟒𝑬𝑰 112 Primo Fernandes Filho 3 Para a viga representada abaixo calcular a relação PQ tal que a deflexão sob a carga P seja nula Aplicando o método da superposição temos Da figura 1 caso 4 da tabela D2 temos θL PL2 16EI θL1 QL2 16EI anti horário Como tgθL1 θL1 YL a temos QL2 16EI YL a YL1 QL2𝑎 16EI I 113 Primo Fernandes Filho Da figura 2 caso 7 da tabela D2 temos θL 𝑀0𝐿 3EI θL2 PaL 3EI horário Como tgθL2 θL2 𝑌𝐿2 a temos PaL 3EI YL2 a YL2 Pa2L 3EI II Da figura 3 caso 4 da tabela D1 temos YL PL3 3EI YL4 Pa3 3EI IV Como YL em P é nulo temos YLT 0 YLT YL1 YL2 YL3 YL4 0 QL2a 16EI Pa2L 3EI 0 Pa3 3EI QL2a 16EI Pa2L 3EI Pa³ 3EI QL2a 16EI Pa2L Pa3 3EI QL2a 16 Pa2L a 3 QL2 16 PaL a 3 P Q 3L2 16aL a 04 Calcule a flecha e a rotação na extremidade livre EI constante Pelo método da superposição o carregamento deve ser dividido em condições de carregamento parciais então 114 Primo Fernandes Filho Da fig 1 temos a y tg 1 1 I Para 1 pequeno 1 1 tg Como a fig 1 cai no caso 1 de vigas simplesmente apoiadas EI qL 24 3 Então 𝜃1 𝑦1 𝑎 𝑦1 𝜃1 𝑎 𝑦1 𝑞𝐿3 24𝐸𝐼 𝑎 Da fig 2 temos a y tg 2 2 Para 2 pequeno 2 2 tg Como a fig 2 cai no caso 7 de vigas simplesmente apoiadas EI ML 3 Então 𝜃2 𝑦2 𝑎 𝑦2 𝜃2 𝑎 𝑦2 𝑀𝐿 3𝐸𝐼 𝑎 𝑦2 𝑞𝑎2𝐿𝑎 6𝐸𝐼 𝑞𝑎3𝐿 6𝐸𝐼 Da fig 3 temos 3 0 e y3 0 A fig 4 cai no caso 1 de vigas engastadas EI qa y 8 4 4 e EI qL 6 3 4 𝑦4 𝑞𝑎4 8𝐸𝐼 Então 3 4 24 8 6 0 24 3 2 3 4 3 3 a a L L EI qa y EI qa EI qa EI qL a y L L EI a a L L q EI qa EI L qa EI qL L L 24 4 4 6 0 6 24 3 2 3 3 2 3 05 A viga representada abaixo é engastada nas extremidades A e D e é composta por três elementos rotulados em B e C Achar a deflexão sob a carga P 115 Primo Fernandes Filho Desmembrando a estrutura temos Para cada estrutura temos Para a estrutura completa temos Da estrutura 1 caso 4 da tabela D1 YL PL3 3EI YL1 PL3 3EI P 2 3L3 3EI YL1 27PL3 6EI I Da estrutura 3 caso 4 da tabela D1 YL PL3 3EI YL3 PL3 3EI P 2 L3 3EI YL3 PL3 6EI II Das figuras temos YM Y1 Y2 III Y1 YL1 YL2 2 IV 116 Primo Fernandes Filho Substituindo I e II em IV temos Y1 27PL3 6EI PL3 6EI 2 Y1 28PL3 12EI V Da estrutura 2 caso 4 da tabela D2 YL PL3 48EI Y2 PL3 48EI P2L3 48EI Y2 8PL3 48EI Y2 PL3 6EI VI Substituindo V e VI em III temos YM 28PL3 12EI PL3 6EI 28PL3 2PL3 12EI 30PL3 12EI YM 5PL3 2EI 06 Na viga abaixo as cotas são dadas em metros e as cotas da seção estão em centímetros Determinar a Flecha na extremidade livre b Rotação na extremidade livre c Flecha no meio do vão E200GPa Resolução 117 Primo Fernandes Filho Como no método da superposição o carregamento pode ser divido em condições de carregamentos parciais temos Da seção da viga temos Centroide cm y y A A y A y A y 25 10 60 60 6 60 5 60 14 2 1 2 2 1 1 Momento de Inércia 4 1 2 3 1 120875 1025 14 5 60 12 12 5 cm I I 4 2 2 3 2 180375 6 1025 60 12 5 12 cm I I assim 𝐼 𝐼1 𝐼2 120875 180375 𝐼 30125 𝑐𝑚4 então 𝐸𝐼 200 106 𝐾𝑁 𝑚2 30125 108 𝑚4 𝐸𝐼 6025 𝐾𝑁 𝑚2 118 Primo Fernandes Filho com base nas tabelas fig1 caso 3 vigas simplesmente apoiadas a rotação na extremidade 𝜃1 𝑞 𝑎2 24 𝐿 𝐸 𝐼 2 𝐿2 𝑎2 𝜃1 20 32 24 46025 2 42 32 𝜃1 000716 𝑟𝑎𝑑 antihorário b fecha na extremidade livre como na tabela não tem este caso 𝑡𝑔 Ɵ1 Ɵ1 𝑦𝐿1 1 𝜃1 𝑦𝐿1 1 𝑦𝐿1 Ɵ1 1 𝑦𝐿1 000716 1 𝑦𝐿1 000716 𝑚 c flecha no meio do vão 𝑥 2 𝑚 𝑦𝑀1 𝑞 𝑥 24 𝐿 𝐸 𝐼 𝑎4 4 𝑎3 𝐿 4 𝑎2 𝐿2 2 𝑎2 𝑥2 4 𝑎 𝐿 𝑥2 𝐿 𝑥3 𝑦𝑀1 20 2 24 4 6025 34 4 33 4 4 32 42 2 32 22 4 3 4 22 4 23 𝑦𝑀1 40 578400 81 432 576 72 192 32 𝑌𝑀1 40 137 578400 𝑦𝑀1 000947 𝑚 fig 2 caso 7 vigas simplesmente apoiadas obs o apoio onde está o movimento produz maior rotação a rotação na extremidade 𝜃2 𝑀 𝐿 3 𝐸 𝐼 𝜃2 10 4 3 6025 𝜃2 00011 𝑟𝑎𝑑 horário b fecha na extremidade não consta na tabela 𝑡𝑔 ɵ2 ɵ2 𝑦𝐿2 𝑥 𝑦𝐿2 ɵ2 𝑥 𝑦𝐿2 00011 1 𝑦𝐿2 00011 𝑚 c flecha no meio do vão 𝑦𝑀 𝑀 𝐿2 16 𝐸 𝐼 𝑦𝑀2 1042 16 6025 𝑦𝑀2 000166 𝑚 fig 3 carga no apoio 𝜃𝐿3 0 𝑟𝑎𝑑 𝑦𝐿3 0 𝑚 𝑦𝑀3 0 𝑚 fig 4 caso 4 vigas engastadas em balanço 119 Primo Fernandes Filho a rotação na extremidade 𝜃𝐿 𝑃𝐿2 2 𝐸 𝐼 𝜃4 10 12 2 6025 𝜃4 000083 rad horário b fecha na extremidade 𝑦𝐿 𝑃𝐿3 3 𝐸 𝐼 𝑦𝐿4 10 13 3 6025 𝑦𝐿4 000055 𝑚 c flecha no meio do vão o vão está fora então temos rotação na extremidade 𝜃𝐿 ɵ1 ɵ2 ɵ3 ɵ4 𝜃𝐿 000716 00021 0 000083 𝜃𝐿 000523 𝑟𝑎𝑑 flecha na extremidade 𝑦𝐿 𝑦𝐿1 𝑦𝐿2 𝑦𝐿3 𝑦𝐿4 𝑦𝐿 000716 00011 0 000055 𝑦𝐿 000551 𝑚 fecha no meio do vão 𝑦𝑀 𝑦𝑀1 𝑦𝑀2 𝑦𝑀3 𝑦𝑀4 𝑦𝑀 000947 000166 0 0 𝑦𝑀 000781 𝑚 120 Primo Fernandes Filho 45 Exercícios Resolvidos Teoremas de Mohr 01 Determinar a rotação máxima a flecha máxima e a flecha no meio do vão na viga abaixo EI104KNm2 Rotação máxima Geralmente ocorre nos apoios neste caso no apoio A 𝑡𝑔𝜃𝐴 𝜃𝐴 𝑡𝐵𝐴 𝐿 𝑒 𝑡𝐵𝐴 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑡𝐵𝐴 1 2 1 30 1 3 1 3 1 2 3 30 2 3 3 𝑡𝐵𝐴 140 𝐸𝐼 𝜃𝐴 140 𝐸𝐼 4 35 𝐸𝐼 00035 ℎ A rotação no apoio B será 𝜃𝐴 𝜃𝐵 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝐸𝐼 35 𝐸𝐼 𝜃𝐵 4 30 2 𝐸𝐼 𝜃𝐵 25 𝐸𝐼 𝜃𝐵 00025𝑎ℎ Flecha máxima 1º Teorema de Mohr 𝜃𝑥 𝜃𝐵 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝐸𝐼 0 25 𝐸𝐼 𝑥 10𝑥 2 𝐸𝐼 0 25 𝐸𝐼 5𝑥² 𝐸𝐼 𝑥 5 𝑚 𝑡𝐵𝑥 𝑦𝑚á𝑥 5 105 2 2 3 5 𝐸𝐼 3727 𝐸𝐼 0003727𝑚 Flecha no meio do vão sabendo que 𝜃𝐵 25 𝐸𝐼 𝑒 𝑡𝑔𝜃𝐵 𝜃𝐵 𝑡𝐴𝐵 𝐿 então 25 𝐸𝐼 𝑡𝐴𝐵 4 𝑡𝐴𝐵 100 𝐸𝐼 conhecendo 121 Primo Fernandes Filho 𝑡𝑀𝐵 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑡𝑀𝐵 1 2 2 20 1 3 2 𝑡𝑀𝐵 40 3𝐸𝐼 por equivalência de triângulos 𝑡𝐴𝐵 4 𝑦𝑀 𝑡𝑀𝐵 2 100 𝐸𝐼 4 𝑦𝑀 40 3𝐸𝐼 2 𝑦𝑀 110 3𝐸𝐼 000367𝑚 02 Com base no carregamento da estrutura abaixo achar 𝜃𝐵 𝜃𝐸 YM meio do vão e YD extremidade Desmembrando o carregamento temos Caso 1 Para o carregamento 1 temos 122 Primo Fernandes Filho Aplicando o 2 teorema de Mohr temos 𝑡𝐴 𝐵 𝐴𝐷𝑀𝐹𝐴𝐵 𝑋𝐴𝐵 𝐸𝐼 𝐴𝐷𝑀𝐹1 𝑋1 𝐸𝐼 𝐴𝐷𝑀𝐹2 𝑋2 𝐸𝐼 𝐴𝐷𝑀𝐹1 5 5 25 𝑋1 5 2 25 𝐴𝐷𝑀𝐹2 5 5 2 125 𝑋2 1 3 5 5 3 Assim 𝑡𝐴𝐵 25 25 𝐸𝐼 125 5 3 𝐸𝐼 𝑡𝐴𝐵 250 3𝐸𝐼 𝐼𝐼 Obs O sinal negativo representa que A está abaixo da tangente em B Do triângulo ABF temos 𝑡𝑔𝜃𝐵 𝑡𝐴𝐵 5 𝜃𝐵 𝑡𝐴𝐵 5 𝐼𝐼𝐼 Substituindo II em III temos 𝜃𝐵 2503𝐸𝐼 5 𝜃𝐵 250 15𝐸𝐼 𝜃𝐵1 250 15𝐸𝐼 Cálculo de 𝜃𝐸1 Do 1 teorema de Mohr temos 𝜃𝐸 𝜃𝐵 𝐴𝐷𝑀𝐹𝐸𝐵 𝐸𝐼 𝐴𝐷𝑀𝐹𝐸𝐵 𝐴3 𝐴2 𝐴1 1 10 2 5 5 2 5 5 425 Assim 𝜃𝐸 250 15𝐸𝐼 425 𝐸𝐼 𝜃𝐸 425 𝐸𝐼 250 15𝐸𝐼 𝜃𝐸1 3875 15𝐸𝐼 Cálculo de YM1 Do 2 teorema de Mohr temos 𝑡𝑀𝐵 𝐴𝐷𝑀𝐹𝐵𝑀 𝑋𝐵𝑀 𝐸𝐼 𝐴𝐷𝑀𝐹𝑇 𝑋𝑇 𝐸𝐼 𝐴𝐷𝑀𝐹𝑅 𝑋𝑅 𝐸𝐼 Do gráfico do DMF temos 5 ℎ 5 25 ℎ 25 𝐴𝐷𝑀𝐹𝑇 ℎ 25 2 25 25 2 3125 𝑋𝑇 1 3 25 25 3 𝐴𝐷𝑀𝐹𝑅 5 25 125 𝑋𝑅 25 2 123 Primo Fernandes Filho Assim 𝑡𝑀𝐵 3125 253 𝐸𝐼 125 25 2 𝐸𝐼 𝑡𝑀𝐵 18229 𝐸𝐼 Obs O sinal negativo representa que M está abaixo da tangente em B Fazendo BEF BMG temos 𝑡𝐴𝐵 5 𝑌𝑀 𝑡𝑀𝐵 25 2503𝐸𝐼 5 𝑌𝑀 18229𝐸𝐼 25 250 6𝐸𝐼 𝑌𝑀 18229 𝐸𝐼 𝑌𝑀 250 6𝐸𝐼 18229 𝐸𝐼 𝑌𝑀1 23437 𝐸𝐼 Cálculo YD1 Da figura da LE temos 𝑌𝐷 𝑡𝐷𝐵 ℎ 𝐼𝑉 Onde 𝑡𝑔𝜃𝐵1 ℎ 1 ℎ 𝑡𝑔𝜃𝐵1 ℎ 𝜃𝐵1 250 15𝐸𝐼 Do 2 teorema de Mohr temos 𝑡𝐷𝐵 𝐴𝐷𝑀𝐹𝐵𝐷 𝑋𝐵𝐷 𝐸𝐼 𝐴𝐷𝑀𝐹𝐵𝐷 𝑎 ℎ 3 1 5 3 5 3 𝑋𝐵𝐷 3𝑎 4 3 1 4 3 4 Assim 𝑡𝐷𝐵 5 3 3 4 𝐸𝐼 𝑡𝐷𝐵 15 12𝐸𝐼 𝑡𝐷𝐵 125𝐸𝐼 De IV temos 𝑌𝐷 125 𝐸𝐼 250 15𝐸𝐼 𝑌𝐷1 17917 𝐸𝐼 Caso 2 Rotação 𝜃𝑀 𝜃𝐵 𝐴𝐷𝑀𝐹𝐸𝐵 𝐸𝐼 0 𝜃𝐵 15 30 1 30 2 2 3 15 225 𝐸𝐼 124 Primo Fernandes Filho 𝜃𝐵 825 𝐸𝐼 𝜃𝐵 825 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 𝑎ℎ Flecha 𝑌𝐷2 𝑡𝑔𝜃𝐵 𝜃𝐵 𝑦𝐷 1 825 𝐸𝐼 𝑌𝑀 𝑡𝐵𝑀 15 30 175 1 30 2 2 3 1 2 3 15 225 5 8 15 1 𝐸𝐼 13234 𝐸𝐼 Conclusão 𝜃𝐵 825 𝐸𝐼 250 15𝐸𝐼 6583 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 𝑎ℎ 𝜃𝐸 825 𝐸𝐼 387 15𝐸𝐼 5669 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 ℎ 𝑦𝑀 1324 𝐸𝐼 2344 15𝐸𝐼 1089 𝐸𝐼 𝑚 𝑦𝐷 825 𝐸𝐼 1792 15𝐸𝐼 6458 𝐸𝐼 𝑚 03 Calcular a rotação em A e a flecha no meio do vão Rotação em A Do 2 teorema de Mohr temos 𝑡𝐵𝐴 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑡𝐵𝐴 3 225 2 1 3 3 1 1 225 2 2 3 1 2 3 3 225 15 1 𝑡𝐵𝐴 19125 𝐸𝐼 𝑚 𝑡𝑔𝜃𝐴 𝜃𝐴 𝑡𝐵𝐴 𝐿 𝜃𝐴 19125 𝐸𝐼 4 4781 𝐸𝐼 𝑟𝑎𝑑 Flecha no meio do vão 125 Primo Fernandes Filho 𝑡𝐵𝐴 𝐴𝐷𝑀𝐹 𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑡𝑀𝐴 2 35 2 1 3 2 2 3 2 10 1 𝑡𝑀 𝐴 3667 𝐸𝐼 𝑚 Por semelhança de triângulos 𝑡𝐵 𝐴 4 𝑦𝑀 𝑡𝑀 𝐴 2 19125 4𝐸𝐼 𝑦𝑀 3667 2𝐸𝐼 𝑦𝑀 5896 𝐸𝐼 𝑚 126 Primo Fernandes Filho 45 Exercícios Propostos 01 Determine o deslocamento vertical na extremidade livre da viga abaixo Resp Yc Pa³3EI 02 Calcule a deflexão máxima Resp Ymax WoL4120EI 03 Calcular a flecha máxima e a inclinação máxima na viga abaixo Resp θmax Moa2EI Ymax 5 Moa²8EI 04 Calcular a flecha no meio do vão e a rotação nos apoios Resp Ym 5MoL216EI 127 Primo Fernandes Filho 05 Calcular a deflexão em C e D e a inclinação em A B e E Resp YC Yd Pa36EI e θA θB θE Pa24EI 06 Calcular a flecha máxima e a rotação máxima Resp Ymax 11Pa36EI e θmax θA θB 3Pa22EI 07 Calcular a rotação nos apoios e a deflexão na extremidade livre e no meio do vão Dados P 25KN e EI 11200KNm2 Resp θA 00015625 rad θB 0003125 rad YE 1758 mm e YC 6417 mm 08 calcular rotação nos apoios e flecha no meio do vão e na extremidade livre Dados EI 105 KNm2 Resp YC 373 mm e YD 16 mm 128 Primo Fernandes Filho 09 calcular a deflexão na seção central da viga abaixo Resp YM qa2b216EI 10 Calcular declividade nos apoios e deflexão na seção central e nas extremidades livres Dados EI 7200 KNm2 Resp θA θB 0003407 rad e YC YD 337 mm YE 526 mm 11 Dimensionar uma viga em balanço com 4m de comprimento e carga uniformemente distribuída q 10KNm a seção é retangular bx2b Dados E 2x105 MPa σadm 120 Mpa e Yadm 12cm Resp b 10cm 12 Para uma viga em balanço de comprimento 25 m e carga uniforme q em todo comprimento calcular a qadm se a viga é o perfil W200x52 b Escolher o perfil W mais econômico se q 28KNm Dados E 210 GPa σadm 140 Mpa e Yadm 8 mm Resp q 182 KNm e W410x388 13 A seção da viga abaixo é W310x387 com E 210 GPa L 32 m Mo 28 KNm σadm 160 Mpa e Yadm 46 mm Calcule o valor máximo para q Resp qmax 338 KNm 129 Primo Fernandes Filho 14 Calcular a deflexão nas seções B e C Dados Mo 4KNm P 16KN L24 m EI 6 MNm2 Resp YB 1085 mm e YC 335 mm 130 Primo Fernandes Filho Capítulo 5 Torção 51 Introdução MOMENTO TORÇOR Esforço que atua no plano da seção transversal ou em torno do eixo longitudinal da barra provocando tensão de cisalhamento nos vários pontos da seção SITUAÇÕES PRÁTICAS ONDE OCORRE Geralmente ocorre quando se tem carga transversal perpendicular ao eixo e excêntrica fora do eixo tal como acontece em grelhas e vigas de marquise 131 Primo Fernandes Filho 52 Torção em Seções Circulares Neste caso os pontos apenas giram ao redor da seção por isso na dedução da fórmula usaremos a hipótese das seções planas ou de Navier a seção permanece circular depois da aplicação do esforço Obs Em seções nãocirculares esta hipótese não se aplica devido ao empenamento da seção Consideremos um elemento de comprimento dx e 0ρR solicitado por um momento torçor T Onde 𝛾 distorção ou deformação de cisalhamento da torção do elemento dx 𝑑𝜙 ângulo de torção relativo a duas seções distantes dx Então 𝛾𝑑𝑥 𝑑𝑠 𝜌𝑑𝜙 𝛾 𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑥 fazendo 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝜃 ângulo unitário temos 𝛾 𝜌 𝜃 I 132 Primo Fernandes Filho Sabendo que a Lei de Hooke relaciona a tensão com a deformação onde para a tensão de cisalhamento 𝜏 𝐺𝛾 II para a tensão de normal 𝜎 𝐸𝜀 III Fazendo o equilíbrio da seção temos 𝑇 𝐴 𝜏𝜌𝑑𝐴 IV Substituindo I e II em IV temos 𝑇 𝐴 𝐺𝜌𝜃𝜌𝑑𝐴 𝑇 𝐴 𝐺𝜃𝜌²𝑑𝐴 𝑇 𝐺𝜃 𝐴 𝜌²𝑑𝐴 V Sabendo que 𝐴 𝜌²𝑑𝐴 é o momento polar de inércia J temos 𝑇 𝐺𝜃𝐽 VI De II temos 𝑇 𝐺𝛾 𝐺𝜌𝜃 𝐺𝜃 𝜏 𝜌 VII Substituindo VII em VI temos 𝑇 𝜏 𝜌 𝐽 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 VIII Onde T momento torçor na seção que contém o ponto onde calcula 𝜏 ρ distância do ponto ao centro da seção J característica da seção em relação ao seu centro momento polar de inércia 133 Primo Fernandes Filho CARACTERÍSTICAS DA TENSÃO DE CISALHAMENTO TORCIONAL A distribuição é linear ao longo de qualquer eixo diametral No centro é nula Nas bordas é máxima 𝜏 𝑇 𝜌 𝐽 𝜏 𝑇 𝜌 𝐽 CÁLCULO DO MOMENTO POLAR DE INÉRCIA Para seções circulares 𝐽 𝜌2 𝑑𝐴 𝐽 𝑥2 𝑦2 𝑑𝐴 𝑥2 𝑑𝐴 𝑦² 𝑑𝐴 𝐼𝑥 𝐼𝑦 𝐼𝑥 𝐼𝑦 𝐼 Assim 𝐽 𝐼 𝐼 2𝐼 2 𝜋𝑅4 4 𝐽 𝜋𝑅4 2 Para seções vazadas 𝐽 𝜋 2 𝑅𝐸 4 𝑅𝐼 4 MÓDULO DE RESISTÊNCIA DA SEÇÃO À TORÇÃO O cisalhamento é máximo nas bordas 𝜏𝑀Á𝑋 𝑇 𝜌𝑀Á𝑋 𝐽 𝑇 𝐽 𝜌𝑀Á𝑋 𝜏𝑀Á𝑋 𝑇 𝑊𝑇 WT Módulo de resistência da seção à torção Onde 1 Para seção maciça 𝑊𝑇 𝜋𝑅3 2 2 Para seção vazada 𝑊𝑇 𝜋 2 𝑅𝐸 4𝑅𝐼 4 𝑅𝐸 134 Primo Fernandes Filho ÂNGULO DE TORÇÃO 𝑑𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝜃 𝜏 𝜌 𝐺 𝜃 𝜏 𝑇 𝜌 𝐽 𝜌 𝐺 𝜃 𝑇 𝜌 𝐽 𝜃 𝑇 𝐺 𝐽 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝑇 𝐺 𝐽 Integrando temos 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝜙 𝑇𝑑𝑥 𝐺𝐽 𝜙 𝑇𝑑𝑥 𝐺𝐽 𝐿 𝜙 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟çã𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐿 Para T G e J constantes ao longo do comprimento L temos 𝜙 𝑇 𝐿 𝐺 𝐽 53 Torção em Seções Fechadas de Paredes Finas Teoria Aproximada de Bredt São fórmulas aproximadas suficientemente precisas para todas as formas de seção que sejam fechadas e com paredes finas Hipóteses Material da barra é homogêneo A espessura e pode variar ao longo da seção A tensão de cisalhamento é constante ao longo da espessura pequenas espessuras Nessas condições temos τ T 2eAm 𝜃 𝑇 4𝐺𝐴𝑚2 𝑑𝑠 𝑒 𝐿𝑚 Calcula a tensão de cisalhamento num ponto onde a espessura é e de uma seção onde o momento torçor é T Am Área limitada pela linha média da espessura Calcula o ângulo unitário de torção G Módulo de elasticidade transversal do material Lm Comprimento da linha média da espessura Seção fechada de parede fina e forma qualquer sob torção 135 Primo Fernandes Filho Se a espessura e é constante ao longo da seção temos 𝜃 𝑇𝐿𝑚 4𝐺𝐴𝑚2𝑒 Se o objetivo é calcular o ângulo de torção relativo a duas seções A e B distantes L temos 𝜙A 𝜙B θ L Neste caso e 2cm Lm 2π5cm Am π52cm2 Ilustração Seja a seção ao lado com Re 6cm Ri 4cm 136 Primo Fernandes Filho 54 Exercícios Resolvidos Torção para Seção Circular 01 Calcule a tensão de cisalhamento máximo na barra abaixo e o ângulo de torção na extremidade livre Dados G80GPa Re5cm Ri3cm Cisalhamento máximo 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 5𝑘𝑁𝑚 005𝑚 𝜋 2 0054 0034 025𝑘𝑁𝑚² 85 106𝑚4 292564 𝑘𝑁 𝑚² 293𝑀𝑃𝑎 Ângulo de torção 𝜙𝐵 𝜙𝐴 𝑇𝐿 𝐺𝐽 𝜙𝐵 5 102 200 80 10² 8510² 00146 𝑟𝑎𝑑 02 Com base no carregamento ao lado traçar o DMT GJ Constante Rigidez Torcional Reações Deslocamento 𝜙𝐵 𝜙𝐴 0 Equilíbrio 𝑇𝐵 𝑇𝐴 4 𝑇𝐴 2 𝐺𝐽 𝑇𝐴 4 3 𝐺𝐽 0 2𝑇𝐴 3𝑇𝐴 12 𝑇𝐴 24 𝐾𝑁𝑚 𝑇𝐵 16 𝐾𝑁𝑚 DMT 137 Primo Fernandes Filho 03 O eixo vazado tronco cônico da figura está submetido a um momento torçor T Determine o ângulo de torção em função de T L G e r G Constante Aplicando semelhança de triângulos na seção s temos 2L 2r x Rex Rex rx L 2L r x Rix Rix rx 2L Como o ângulo de torção é dado por 𝜙𝐵 𝜙𝐴 Tx dx Gx Jx 𝜙𝐵 𝜙𝐴 T dx G Jx 2L L 𝜙𝐵 𝜙𝐴 T G dx Jx 2L L Para uma seção circular vazada temos Jx π 2 Rex4 Rix4 Então 𝜙𝐵 𝜙𝐴 T G dx π 2 Rex4 Rix4 2L L 𝜙𝐵 𝜙𝐴 2T πG dx Rex4 Rix4 2L L 𝜙𝐵 𝜙𝐴 2T πG dx rx L 4 rx 2L 4 2L L 𝜙𝐵 𝜙𝐴 2T πG dx r4x4 L4 r4x4 16L4 2L L 2T πG dx 16r4x4 r4x4 16L4 2L L 𝜙𝐵 𝜙𝐴 2𝑇 𝜋𝐺 16𝐿4𝑑𝑥 15𝑟4𝑥4 2𝐿 𝐿 2𝑇 16𝐿4 15𝑟4𝑥4 𝜋𝐺 𝑑𝑥 𝑥4 2𝐿 𝐿 𝜙𝐵 𝜙𝐴 32𝑇𝐿4 15𝑟4𝜋𝐺 𝑥4𝑑𝑥 2𝐿 𝐿 32𝑇𝐿4 15𝑟4𝜋𝐺 𝑥41 4 1 𝐿 2𝐿 𝜙𝐵 𝜙𝐴 32𝑇𝐿4 15𝑟4𝜋𝐺 𝑥3 3 𝐿 2𝐿 32𝑇𝐿4 15𝑟4𝜋𝐺 1 3𝑥3 𝐿 2𝐿 𝜙𝐵 𝜙𝐴 32𝑇𝐿4 15𝑟4𝜋𝐺 1 32𝐿3 1 3𝐿3 𝜙𝐵 𝜙𝐴 32𝑇𝐿4 15𝑟4𝜋𝐺 1 24𝐿3 1 3𝐿3 32𝑇𝐿4 15𝑟4𝜋𝐺 1 8 24𝐿3 𝜙𝐵 𝜙𝐴 32𝑇𝐿4 15𝑟4𝜋𝐺 7 24𝐿3 224𝑇𝐿 360𝑟4𝜋𝐺 𝜙𝐵 𝜙𝐴 28𝑇𝐿 45𝑟4𝜋𝐺 𝑟𝑎𝑑 138 Primo Fernandes Filho 04 Com base no carregamento abaixo calcular o ângulo de torção na extremidade Dados L G e J Na seção S olhando para B temos 𝑇𝑥 𝑡𝑥 O ângulo de torção relativo a duas seções distantes L é dado por 𝜙𝐴 𝑒 𝐵 𝑇𝑥 𝐺 𝐽 𝑑𝑥 𝐿 𝜙𝐵 𝜙𝐴 𝑡𝑥 𝐺 𝐽 𝐿 0 𝑑𝑥 𝜙𝐵 𝑡 𝐺𝐽 𝑥 𝐿 0 𝑑𝑥 𝜙𝐵 𝑡 𝐺𝐽 𝑥2 2 𝐿 0 𝜙𝐵 𝑡𝐿2 2𝐺𝐽 𝑟𝑎𝑑 O ângulo unitário de torção θ é dado por 𝜃 𝜙 𝐿 𝜃 𝑡𝐿2 2𝐺𝐽 𝐿 𝜃 𝑡𝐿 2𝐺𝐽 𝑟𝑎𝑑 𝑚 05 Com base no carregamento abaixo traçar o DMT Dados G J constantes Aplicando a equação de equilíbrio temos 𝑇𝐴 2 3 𝑇𝐵 0 𝑇𝐴 𝑇𝐵 6 𝐾𝑁𝑚 𝐼 Na seção S1 trecho AC temos 𝑇𝑥 𝑇𝐴 2𝑥 𝐼𝐼 Na seção S2 trecho CB temos 𝑇𝑥 𝑇𝐴 6 𝐼𝐼𝐼 Aplicandose a equação do ângulo de torção 𝜙𝐵 𝜙𝐴 𝑡𝑥 𝐺 𝐽 𝐿 𝑑𝑥 0 0 𝐺𝐽 𝑇𝑥 𝐿 𝑑𝑥 0 𝑇𝐴 2𝑥 3 0 𝑑𝑥 𝑇𝐴 6 4 0 𝑑𝑥 𝑇𝐴𝑥 2 𝑥2 2 3 0 𝑇𝐴𝑥 6𝑥 4 0 0 𝑇𝐴 3 2 32 2 𝑇𝐴 4 6 4 0 𝑇𝐴 33 7 4714 𝐾𝑁𝑚 139 Primo Fernandes Filho Portanto de I temos 𝑇𝐵 9 7 1286 𝐾𝑁𝑚 Assim 06 Qual deve ser a razão comprimentodiâmetro Ld para um arame de aço G8410³ mm² se a tensão de cisalhamento máxima for 945 kgfmm² quando o ângulo de torção tiver 90 A torção máxima ocorre na borda 𝜌 𝑑2 𝐼 A tensão de cisalhamento é dada por 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 𝐼𝐼 𝜏𝑀á𝑥 𝑇 𝑑 2 𝐽 𝑇𝑑 2𝐽 945 𝑘𝑔𝑓𝑚𝑚² O ângulo de torção é dado por 𝜙𝐵 𝜙𝐴 𝑇𝐿 𝐺𝐽 𝐼𝐼𝐼 𝜋 2 𝑇𝐿 𝐺𝐽 𝑇 𝐽 𝜋𝐺 2𝐿 Substituindo III em II temos 𝑇 𝐽 𝑑 2 945 𝜋𝐺 2𝐿 𝑑 2 945 𝜋84 103 𝑑 4𝐿 945 𝐿 𝑑 8400𝜋 378 𝐿 𝑑 698132 140 Primo Fernandes Filho 55 Exercícios Resolvidos Teoria de Bredt 01 Compare a tensão de cisalhamento e o ângulo unitário de torção de duas barras submetidas ao mesmo momento torçor e que diferem apenas quanto a forma da seção Como a diferença é apenas quanto à forma podemos considerar que o consumo de material é igual em cada seção A1 A2 2πr e 4a e r 2a π 𝐼 Da figura 1 temos τ1 T 2πer2 II Da figura 2 temos τ2 T 2ea2 III Substituindo I em II temos τ1 T 2πe2a π 2 τ1 Tπ 8ea2 IV Dividindo IV por III temos τ1 τ2 Tπ 8ea2 T 2ea2 τ1 τ2 Tπ 8ea2 2ea2 T τ1 τ2 2π 8 τ1 π 4 τ2 0785τ2 Isto é a seção circular é mais eficiente que a quadrada Ângulo unitário Da figura 1 temos θ1 TL𝑀 4GAm2e T2πr 4Gπr22e T2πr 4Gπ2r4e θ1 T 2Gπr3e 𝐼 Da figura 2 temos θ2 TL𝑀 4GAm2e T4a 4Ga22e T4a 4Ga4e θ2 T Ga3e 𝐼𝐼 Dividindo I por II temos θ1 θ2 T 2Gπr3e T Ga3e T 2Gπr3e Ga3e T θ1 θ2 a3 2πr3 𝐼𝐼𝐼 Como 𝑟 2𝑎 𝜋 de III temos θ1 θ2 a3 2π2a π 3 a3 2π8a3 π3 a3 1 π3 16πa3 π2 16 θ1 π2 16 θ2 0617θ2 Isto é a seção circular é mais eficiente que a quadrada 141 Primo Fernandes Filho 02 Compare a tensão de cisalhamento máxima usando a aproximação de Bredt e a fórmula para seção de torção circular 𝑇 17025 𝑡𝑓 𝑚 𝑒 25 𝑐𝑚 𝑟𝑖 1125 𝑐𝑚 Pela fórmula de Bredt temos 𝜏 𝑇 2𝑒𝐴𝑚 17025 102 2 25 𝜋 12502 𝜏 69366 𝑡𝑓𝑐𝑚2 Pela fórmula da seção circular temos 𝜏 𝑇𝜌 𝐽 17025 102 1375 𝜋 2 13754 11254 𝜏 75547 𝑡𝑓𝑐𝑚2 Cálculo do Erro 𝐸 75547 69366 75547 𝐸 00818 818 03 Um momento torçor de 90 Nm atua na seção abaixo calcule a tensão de cisalhamento nos pontos A e B Pela formula de Bredt 𝜏 𝑇 2𝑒𝐴𝑚 Como 𝐴𝑚 𝐴1 1 2 𝐴𝐻𝐴𝐶𝐻 𝐴𝐻𝐴𝐶𝐻 𝐴2 𝐴1 Então 𝐴𝐻𝐴𝐶𝐻 𝐴2 𝐴1 𝜋𝑟22 𝜋𝑟12 𝜋𝑟22 𝑟12 𝐴𝐻𝐴𝐶𝐻 𝜋 32 272 𝐴𝐻𝐴𝐶𝐻 5372 𝑐𝑚2 Assim 𝐴𝑚 𝐴1 1 2 𝐴𝐻𝐴𝐶𝐻 𝜋 272 1 2 5372 𝐴𝑚 25588 𝑐𝑚2 Então 𝜏𝐴 90 102 2 25588 025 𝜏𝐴 703455 𝑁 𝑐𝑚 703 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝐵 90 102 2 25588 035 𝜏𝐴 502467 𝑁 𝑐𝑚 502 𝑀𝑃𝑎 142 Primo Fernandes Filho 1528 kNm 1528 kNm 2472 kNm 2472 kNm A B D C 40 kNm 03 Calcule a tensão de cisalhamento máxima na estrutura abaixo G Constante Seção Transversal dos trechos AB e BD em centímetros Reações Da equação de equilíbrio temos 𝑇 0 𝑇𝐴 40 𝑇𝐷 0 𝑇𝐴 𝑇𝐷 40 𝐼 Da equação de compatibilidade de deslocamento 𝜙𝐴 𝜙𝐷 𝑇𝐿 4𝐴𝑚 2𝐺𝑒 𝑑𝑠 𝐿𝑀 0 𝜃𝐿 𝜃 𝑇𝐿𝑀 4𝐺𝐴𝑚²𝑒 Para o trecho AB temos 𝐴𝑚 31 22 332 1089 𝑐𝑚2 𝐿𝑀 31 2 4 132 𝑐𝑚 Para o trecho BC temos 𝐴𝑚 5 9 22 5 112 605 𝑐𝑚2 𝐿𝑀 12 9 2 12 11 132 𝑐𝑚 Para a seção CD temos 𝐴𝑚 5 9 22 5 112 605 𝑐𝑚2 𝐿𝑀 12 9 2 12 11 132 𝑐𝑚 Então 𝑇𝐴 132 400 4𝐺1089² 2 𝑇𝐴 132 200 4𝐺605² 2 𝑇𝐴 40 102 132 200 4𝐺605² 2 0 𝑇𝐴 1528 𝐾𝑁𝑐𝑚 𝑜𝑢 1528 𝐾𝑁𝑚 𝑇𝐷 2472 𝐾𝑁𝑐𝑚 𝑜𝑢 2472 𝐾𝑁𝑚 DMT Então da Equação de Bredt temos 𝜏𝑀á𝑥 𝜏𝐶𝐷 2475 10² 2 605 2 102 𝐾𝑁 𝑐𝑚2 𝑜𝑢 102𝑀𝑃𝑎 T A B D C 40 kNm A B T 4m 2m 2m 143 Primo Fernandes Filho 56 Exercícios Propostos Seção Circular 01 Calcular os diâmetros externo e interno de um eixo de aço sujeito a um torque de 25 KNm de modo que a tensão máxima de cisalhamento seja 84 MPa e o ângulo de torção seja de 25 graus para um comprimento de 3 m Dado G 84 GPa Resp D 1375 mm e d 1105 mm 02 A barra circular maciça BC de aço é presa à haste rígida AB e engastada ao suporte rígido C como mostrado na figura Sabendose que G75 GPa determinar o diâmetro da barra de modo que para P450 N a deflexão do ponto A não ultrapasse 2 mm e que a máxima tensão de cisalhamento não exceda o valor de 100 MPa Resp d405 mm 03 Calcular o momento torçor máximo admissível e o correspondente ângulo de torção em um eixo de comprimento de 2 m dados G85 GPa 𝜏𝐴𝑑𝑚80 MPa e seção a Circular D250 mm Resp T2454 KNm e 001506 rad b Anelar com d150 mm e D250 mm Resp T2134 KNm e θ001504 rad 04 No eixo representado na figura calcular a tensão máxima em cada trecho e o ângulo de torção CA T16 KNm T2 9 KNm G 84 GPa D100 mm em AB e D 76 mm em BC Resp 𝜏𝐴𝐵 153 MPa 𝜏𝐵𝐶 696 MPa 001163 rad 05 Um eixo de aço veja figura diâmetros D1 80 mm em AB e D2 60 mm em BC está sujeito a dois torques iguais a T nas seções B e C Dado o módulo de elasticidade transversal de 82 GPa a tensão tangencial admissível de 102 MPa e o ângulo de torção CA admissível 008 rad calcular o valor máximo admissível de T Resp T 3913 KNm 06 Calcular o valor máximo admissível do torque T e os valores correspondentes das tensões máximas e do ângulo de torção CA dados d 50 mm em AB e D 50 mm e d 30 mm em BC a tensão admissível 𝜏 80 MPa e o valor de G 80 GPa Resp T 1709 KNm 𝜏𝐴𝐵 557 MPa 𝜏𝐵𝐶 80 MPa 0001065 rad 144 Primo Fernandes Filho 07 No eixo representado na figura abaixo calcular a tensão máxima em cada trecho e o ângulo de torção CA dados T1 6 KNm T2 8 KNm a AB alumínio D1100 mm G128 GPa b BC latão D260 mm G235 GPa 08 O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e um diâmetro externo de 100 mm Se uma de suas extremidades é torcida contra o suporte em A através de uma chave em B determine a tensão cisalhante desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da região central do tubo quando as forças de 80 N forem aplicadas à chave Resp 𝜏𝑒 0345 MPa 𝜏𝑖 0276 MPa 09 A viga em balanço da figura abaixo está sujeita ao carregamento indicado Dados 𝜏 981 Mpa G7845 GPa Calcular a O valor admissível de P Resp P 308 KNm b Para a carga P do item anterior qual o giro da seção externa Resp 028 rad 10 No eixo representado na figura abaixo está sujeita ao carregamento indicado Dados G7845 GPa p 490 KN D 10 cm d 8 cm Calcular a A tensão de cisalhamento máxima 𝜏 devido ao momento torçor b O deslocamento angular ou ângulo de torção devido ao momento torçor 145 Primo Fernandes Filho 57 Exercícios Propostos Teoria de Bredt 01 e 02 Aplicase um momento de torção T 90 Nm aos eixos da seção vazada das figuras Desprezando o efeito de concentrações de tensões determinar a tensão de cisalhamento nos pontos a e b Resp 1 τa 705 MPa e τb 504 MPa 2 τa 473 MPa e τb 946 MPa 03 Uma barra de seção vazada com a seção transversal indicada na figura é formada por uma lâmina metálica de 15 mm de espessura Determinar o maior momento torçor que pode ser aplicado à barra se a tensão não pode exceder a 25 MPa Resp 1089 Nm 04 Uma barra vazada tendo seção transversal indicada é feita por uma lâmina metálica de 32 mm de espessura Sabese que um torque de 339 Nm será aplicado à barra Determinar a menor dimensão d que pode ser usada de modo que a tensão de cisalhamento não exceda a 345 MPa Resp 854 mm 146 Primo Fernandes Filho Tabela Propriedades Geométrica dos Perfis Laminados 147 Primo Fernandes Filho 148 Primo Fernandes Filho 149 Primo Fernandes Filho 150 Primo Fernandes Filho Tabela Propriedades das Áreas Planas Triângulo isósceles Origem dos eixos no centróide A bh 2 x b 3 y h 3 Ix bh3 36 Iy bh3 48 Ixy 0 Ip bh 144 4h2 3b2 IBB bh3 12 Nota Para um triângulo equilátero h 3 b2 Triângulo reto Origem dos eixos no centróide A bh 2 x b 3 y h 3 Ix bh3 36 Iy bh3 36 Ixy b2h2 72 Ip bh 36 h2 b2 IBB bh 12 Triângulo reto Origem dos eixos no vértice Ix bh3 12 Iy bh3 12 Ixy b2h2 24 Ip bh h2 b2 IBB bh3 4 Trapezoide Origem dos eixos no centróide A ha b 2 y h2a b 3a b Ix h3a2 4ab b2 36a b IBB h33a b 12 Círculo Origem dos eixos no centro A πr2 Ix Iy πr4 4 Ip 0 IBB 5πr4 4 64 Semicirculo Origem dos eixos no centróide A πr2 2 y 4r 3π IBB πr4 8 Ix 9 π7 264r4 72π 01098r4 Iy πr4 8 0 152 Primo Fernandes Filho 153 Primo Fernandes Filho 154 Primo Fernandes Filho 155 Primo Fernandes Filho Tabela Deflexões e Inclinações em Vigas 156 Primo Fernandes Filho 157 Primo Fernandes Filho 158 Primo Fernandes Filho 159 Primo Fernandes Filho