Equação de Bernoulli e Aplicações em Mecânica dos Fluidos

Mecânica dos fluidos Equação de Bernoulli Universidade Federal da Paraíba Centro de Tecnologia OBJETIVOS Aplicar a equacao de conservacao de massa para balancear as vazoes de entrada e saída de um sistema fluido Entender o uso e as limitações da equacao de Bernoulli e aplicala na solucao de uma variedade de problemas de escoamento de fluidos Trabalhar com a equação de energia expressa em termos de cargas e utilizála para determinação da potencia resultante de turbinas e os requisitos de potencia para bombeamento Equação da energia para o regime permanente Equação da continuidade hipótese do regime permanente massa do fluido que flui por uma seção é idêntica a que abandona o fluido Energia não pode ser criada nem destruída só transformada Construção de uma equação para o balanço das energia Equação da energia Equação da energia e da continuidade na resolução de várias problemas práticos na engenharia Tipos de Energias mecânicas associada a um fluido Energia potencial Ep Estado de energia do sistema devido à sai posição no campo de gravidade em relação a um plano horizontal de referência PHR Ep medida pelo potencial de realização de um trabalho no sistema Exemplo EpW Trabalho W Força Deslocamento W Gz mgz W Ep mgz PRH adotado arbitrariamente interessa a diferença das energias pontuais de um ponto a outro Sistema de peso Gmg Tipos de Energias mecânicas associada a um fluido Energia cinética Ec Estado de energia determinado pelo movimento do fluido Exemplo Ecmv22 Sistema de massa m e velocidade v Tipos de Energias mecânicas associada a um fluido Energia de pressão Ep Energia que corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do sistema dWFds dWpAds dWpdV Por definição dWdEpr dEpr pdV Energia mecânica total do fluido E Desconsiderando energias térmicas e considerando apenas efeitos mecânicos A energia total do sistema é E EpEcEpr Ou E mgz mv22 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 Equação de Bernoulli A equação geral de energia construção aos poucos considerando uma equação mais simples considerando hipóteses simplificadoras Regime permanente Sem máquinas no trecho do escoamento de estudo bombas ou turbinas fornecem ou retiram energia do sistema Sem perdas por atrito no escoamento do fluido fluido ideal Propriedades uniformes nas seções Fluido incompressível Sem trocas de calor Equação de Bernoulli Depois de um intervalor de tempo dt uma massa infinitesimal dm1 de fluido a montante da seção 1 entra no trecho acrescentando energia ao sistema dE1 dm1gz1 dm1v1 22 p1dV1 Na seção 2 uma massa dm2 do fluido que pertencia ao trecho 12 escoa para fora indo para energia dE2 dm2gz2 dm2v2 22 p2dV2 Equação de Bernoulli Lembrando hipóteses não existe máquinas fluido ideal sem trocas de calor Não há variação de energia dE1 dE2 dm1gz1 dm1v1 22 p1dV1 dm2gz2 dm2v2 22 p2dV2 Como ρdmdV portanto dVdmρ logo dm1gz1 dm1v1 22 p1ρ1dm1 dm2gz2 dm2v2 22 p2ρ2dm2 Fluido incompressível ρ1ρ2 regime permanente dm1 dm2 logo gz1 v1 22 p1ρ gz2 v2 22 p2ρ dividindo por g z1 v1 22g p1ρg z2 v2 22g p2ρg Equação de Bernoulli Equação de Bernoulli significado z1 v1 22g p1ρg z2 v2 22g p2ρg Zmgzmg EpG Energia potencial por unidade de peso ou energia potencial de uma partícula por peso unitário v22g mv22mg mv22G EcG Energia cinética por unidade de peso ou energia cinética de uma partícula de peso unitário pℽ pVℽV Energia de pressão por unidade de peso ou energia pressão de uma partícula de peso unitário Equação de Bernoulli Equação de Bernoulli significado Uma partícula de peso unitário ao entrar em 1 estão associadas energias z1 v1 22g p1ℽ Deverá sair por 2 uma partícula de peso unitário onde estão associadas as energias z2 v2 22g p2 ℽ A soma de ambas energias são idênticas para manter a energia constante no volume entre 1 e 2 O que é carga de pressão P ℽh e hp ℽ por analogia Zcarga potencial v22g carga cinética pℽ carga de pressão H z v22g p ℽ H carga total numa seção H1H2 Exercício Água escoa em regime permanente no Venturi da figura No trecho considerado supõemse as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções A área 1 é 40 cm2 enquanto a garganta 2 é 20 cm2 Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio ℽhg 136000Nm3 é ligado entre as seções 1 e 2 e indica o desnível mostrado na figura Pedese a vazão da água que escoa pelo Venturi 10000Nm3 z1 v1 22g p1ρg z2 v2 22g p2ρg Equação da Bernoulli Equação da continuidade Q1Q2 v1A1 v2 A2 Equação da Manometria Equação da energia e presença de uma máquina Equação de Bernoulli será complementada gradualmente z1 v1 22g p1ρg gz2 v2 22g p2ρg ou H1H2 Máquina dispositivo introduzido no escoamento que forneça ou retire energia Bomba fornece energia ao fluido Turbina retira energia do fluido Equação da energia e presença de uma máquina Se a máquina for uma bomba Ela adiciona ou retira energia de um sistema H1HBH2 Hb carga ou altura manométrica da bomba energia recebia à unidade de peso do fluido qu passa pela bomba Se a máquina for uma turbina Ela adiciona ou retira energia de um sistema H1HTH2 Hb carga ou altura manométrica da turbina energia retirada por unidade de peso do fluido que passa pela turbina Bomba adiciona ou retira energia ao sistema H2H1 Turbina adiciona ou retira energia do sistema H2H1 Equação da energia e presença de uma máquina H1 HMH2 HM HB se a máquina for bomba HM HT se a máquina for turbina Com a presença de uma máquina z1 v1 22g p1ρg HM z2 v2 22g p2ρg Máquina Bomba z1 v1 22g p1ρg Hbomba z2 v2 22g p2ρg Máquina Turbina z1 v1 22g p1ρg Hturbina z2 v2 22g p2ρg ou z1 v1 22g p1ρg gz2 v2 22g p2ρg Hturbina Potência de uma máquina e noção de rendimento Potência do fluido Potência Trabalho por unidade de tempo Trabalho Energia mecânica Potência N Energia mecânica por unidade de tempo N Energia mecânicatempo equivalente a N Energia mecânicatempo PesoPeso N Energia mecânicaPeso Pesotempo N H Qpeso Potência de uma máquina e noção de rendimento N H Qpeso Revisando QpesoPesotempo ℽVtempo substituindo em N N H ℽVtempo N H ℽ Q Js ou Watt SI Exercício Calcular a potência de jato de um fluido descarregado ao ambiente por um bocal Dados vj velocidade do jato Aj Área do jato ℽ peso específico do fluido Potência no caso de uma máquina Na presença de uma máquina a energia fornecida ou retirado do sistema por unidade de peso é Hm carga manométrica A potência referente ao fluido será N ℽQHm No caso de uma bomba N ℽQHB No caso de uma turbina N ℽQHt Rendimento de uma bomba Importante Definição de rendimento Rendimento b NNB N Potência recebida pelo fluido NB Potência fornecida ao eixo da bomba NB N b ℽQHB b NNbomba Rendimento de uma turbina Importante Definição de rendimento Rendimento t NTN N Potência cedida pelo fluido Nt Potência da turbina ou disponível no eixo da turbina Nt N t ℽQHt t NNturbina Exercício equação da energia com máquina O reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para o tanque indicado com uma vazão de 10 Ls Verificar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento 75 Supor fluido ideal Tubo de Pitot Vídeo Pitot 2 Vídeo Pitot 1 Fonte httpsyoutubewBXqF2Z3L7g WORKING OF A PITOT TUBE ENGINEERING STREAMLINED httpswwwyoutubecomwatchvD6sbzkYq3c Tubo de Pitot Pressão seção 1 pressão do escoamento em 1 p1ℽ ou H carga de pressão seção 1 numa seção próxima mais fora do tubo de Pitot Z1Z2 Velocidade seção 1 Velocidade do escoamento Pressão seção 2 quando o fluido entra em Pitot a velocidade em Pitot é zero Z1Z2 a pressão aumenta pressão de estagnação pressão dinâmica pressão estática Pressão em 2 Hh Quanto é p2p1ℽ na figura HhH Aplicando a equação de energia z1 v1 22g p1ρg gz2 v2 22g p2ρg v1 22g 𝑝𝑝2𝑝𝑝1 𝛾𝛾 logo v1 2 𝑝𝑝2𝑝𝑝1 𝛾𝛾 Diferença entre P1 e P2 é a pressão dinâmica ela representa o aumento de pressão quando o fluido em movimento é parado no Pitot 𝑑𝑑𝑉 2𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 ρ Seção 1 e Seção 2 Equação da energia para fluido real Fluido real hipótese ideal retirada considerando atrito interno no escoamento Mantidas hipóteses regime permanente fluido incompressível propriedades uniformes na seção sem trocas de calor induzidas inexiste troca de calor provocada propositalmente existe uma perda de calor do fluido para o ambiente causada pelos atritos Equação da energia para fluido real Equação de Bernoulli Presença de atrito entre as seções 1 e 2 Dissipação de energia então H1H2 Reestabelecendo a igualdade H1HP12 H2 ou H12 H2 HP12 Equação de energia complementada com perda de carga sem máquinas z1 v1 22g p1ρg z2 v2 22g p2ρg HP12 Equação da energia para fluido real Se não existir máquina a energia é sempre decrescente no sentido do escoamento Carga total a montante é sempre maior que a total a jusante Potência dissipada pelos atritos Lembrando da equação da potencia N ℽQ HP12 Equação da energia com máquinas e perda de carga H1 HbH2HTHP12 z1 v1 22g p1ρg Hb z2 v2 22g p2ρg HT HP12 Exercício Na instalação da figura verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência sabendo que seu rendimento é 75 Sabese que a pressão indicada no manômetro instalado na seção 2 é 016MPa a vazão é 10 Ls a área da seção dos tubos é 10cm2e a perda e carga entre seções 1 e 4 é 2 m Não é dado o sentido do escoamento Hipótese escoamento uniforme retirada aderência diagrama de velocidade não é uniforme Alteração na Equação de Energia no termo v22g Retirada da hipótese escoamento uniforme Equação da energia Diagrama de velocidades nãouniformes Equação de Bernoulli e Equação geral da Energia 33 Energia cinética escrito com velocidade média precisa de coeficiente de correção Fluxo de energia cinética C Energia Cinética que atravessa uma seção do escoamento por unidade de tempo dEcdm2V Energia Cinética que no intervalo de tempo dt atravessa um dA na área A Equação de Bernoulli e Equação geral da Energia 34 Equação da energia Diagrama de velocidades nãouniformes Equação da energia Diagrama de velocidades nãouniformes CEnergia cinéticatempo Energia cinéticapeso Energia cinéticapeso tempotempo Energia cinéticapesoEnergia cinéticatempo pesotempo Energia cinéticapeso CQpeso substituindo 𝐶𝐶 α ρ𝑚𝑚3 2 𝐴𝐴 e Qp ρg vmA Energia cinéticapeso α ρ𝑚𝑚3 2 𝐴𝐴 ρg vmA Energia cinéticapeso α𝑚𝑚 2 2g corrigido para não uniforme na seção Equação de Bernoulli e Equação geral da Energia 37 Equação geral da energia Equação geral da energia z1 α1𝑚𝑚 2 2g p1ρg Hb z2 α2𝑚𝑚 2 2g p2ρg HT HP12 Válida sem restrição regime permanente incompressível sem trocas de calor fenômenos térmicos α função do diagrama de velocidades quanto menos uniforme maior será o α α 𝑉 para escoamento turbulentos Equação de Bernoulli e Equação geral da Energia 38 Equação geral da energia para várias entradas e saídas Mantendo as hipóteses de Bernoulli Dividindo a equação pelo intervalo de tempo 𝛴𝛴𝑒𝑒𝐸𝐸 𝑡𝑡 𝛴𝛴s𝐸𝐸 𝑡𝑡 Potência do fluido Energia do fluido por unidade de tempo 𝛴𝛴𝑒𝑒𝑁𝑁 𝛴𝛴𝑠𝑠𝑁𝑁 𝛴𝛴𝑒𝑒ℽ 𝑄𝑄 𝐻𝐻 𝛴𝛴𝑠𝑠𝑁𝑁 ℽ 𝑄𝑄 𝐻𝐻 sendo H z v22g pρg Equação de Bernoulli e Equação geral da Energia 39 Equação geral da energia várias entradas e saídas com máquinas e perdas por atrito sendo N ℽQH para máquina N ℽQHM se for bomba se for turbina Ndiss ℽQHp Q e Hp para cada trecho do escoamento Equação de Bernoulli e Equação geral da Energia 40 Exercício No sistema da figura os reservatórios são de grandes dimensões O reservatório X alimenta o sistema com 20Ls e o reservatório y é alimentado pelo sistema com 75Ls A potência da bomba é 2kW e seu rendimento é 80 Todas as tubulações têm 62mm de diâmetro e as perdas de carga são Hp012m Hp12 1m e Hp13 4m O fluido é água ℽ 10000Nm3 Pedese z01 A potência dissipada na instalação b a cota da seção 3 em relação ao centro da bomba Equação de Bernoulli e Equação geral da Energia 41 Referências Biblioteca virtual SIGAA BRUNETTI Franco Mecânica dos Fluidos São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 2006 410p ISBN 8587918990 httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao432pdf0 CIMBALA John M et al Mecânica dos Fluidos fundamentos e aplicações São Paulo McGrawHill 2007 2011 816p ISBN 9788586804588