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Método dos Mínimos Quadrados Vimos que uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a INTERPOLAÇÃO Porém não é aconselhável quando precisamos de valores fora do intervalo tabelado ou valores são resultados de algum experimento ou de alguma pesquisa 1 Problema clássico da interpolação Fenômeno de Runge pontos de abscissa igualmente espaçados 2 2 1 1 25 f x x 1 1 x f x Polinômio de Lagrange grau 4 3 2 1 1 25 f x x 1 050051 4 2 4 3315653 4277193 1 P x x x f x 4 P x httpsesplanetcalccom8692 4 2 1 1 25 f x x 1 075 05 025 0025050751 8 6 4 2 8 3815013 8241981 5626837 1296023 1 P x x x x x Polinômio de Lagrange grau 8 4 P x f x 8 P x Polinômio de grau 20 5 f x 20 P x Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Queremos uma função que seja uma boa aproximação para valores tabelados e que nos permita extrapolar com certa margem de segurança 7 DE uma forma geral Experimentos geram uma gama de dados que devem ser analisados para a criação de um modelo Função Obter uma função matemática que represente ou que ajuste os dados permitindo fazer simulações do processo de forma confiável e reduzindo assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto 8 Método dos mínimos Quadrados É o mais utilizado por ter uma aboradagem simples ser preciso e seu resultado abrange várias funções principalmente polinômios 9 Observando o gráfico dos pontos tabelados Baseandose em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela ou Através de uma função já conhecida A escolha da função pode ser 10 Dados Temos uma tabela de pontos pertencentes a um intervalo O método consiste em escolhidas n funções g1 g2 gn contínuas em ab obter n constantes α1 α2 αn tais que a função se aproxime ao máximo de fx 11 Caso Discreto x x1 x2 x3 xn fx fx1 fx2 fx3 fxn 1 2 3 n x x x x a b 1 1 2 2 3 3 n n x g x g x g x g x Dados Este é um modelo matemático linear por que os coeficientes a determinar Aparecem linearmente embora as funções gnx possam ser funções não lineares de x 12 Caso Discreto x x1 x2 x3 xn fx fx1 fx2 fx3 fxn 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n x g x g x g x g x Dados Este é um modelo matemático linear por que os coeficientes a determinar Aparecem linearmente embora as funções gnx possam ser funções não lineares de x 13 Caso Discreto 1 2 3 n Observando o Diagrama de Dispersão dos pontos tabelados Basearse em fundamentos teóricos do experimento Excel EXEMPLO 14 Considere uma experiência onde foram medidos vários valores de corrente elétrica que passa por uma resistência submetida a várias tensões colocando os valores correspondentes da tensão e da corrente em um gráfico vêse que V i Neste caso existe uma fundamentação teórica relacionando a corrente e a tensão Vi ki Ou seja uma função linear de i Assim 1 1 1 e g i i i g i CUIDADO Qual parábola se ajusta melhor aos dados do exemplo 15 x fx 100 2050 075 1153 060 0450 050 0400 030 0500 000 0000 020 0200 040 0600 050 0512 070 1200 100 2050 0000 0500 1000 1500 2000 2500 150 100 050 000 050 100 150 A idéia é impor que os desvios seja mínimo para cada k 12m 16 Método dosMínimos Quadrados k k k d f x x x Ou seja nosso objetivo é encontrar os coeficientes α tais que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima 17 Método dosMínimos Quadrados 2 2 1 1 m m k k k k k d f x x x 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 m n k k k m k k k n n k k F f x x f x g x g x g x Portanto 18 Método dosMínimos Quadrados 1 2 1 1 1 0 12 0 n j m k k n n k j k k F j n f x g x g x g x 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 2 0 0 m k k n n k k k m k k n n k k k m k k n n k n k k j f x g x g x g x j f x g x g x g x j n f x g x g x g x Temse o sistema linear cujas equações são ditas Equações Normais 19 Método dosMínimos Quadrados 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 m m m m k k k k n k k n k k k k k k m m m m k k k k n k k n k k k k k k g x g x g x g x g x g x f x g x g x g x g x g x g x g x f x g x 1 3 1 2 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 m m m m k k k k n k k n k k k k k k m m m m k n k k n k n k n k n k n k k k k k g x g x g x g x g x g x f x g x g x g x g x g x g x g x f x g x Obs m número de pontos tabelados n número de funções escolhidas ou número de coeficientes a determinar EXEMPLO 20 Diagrama de Dispersão x fx 100 2050 075 1153 060 0450 050 0400 030 0500 000 0000 020 0200 040 0600 050 0512 070 1200 100 2050 200 100 000 100 200 Ajustar os dados por uma parábola passando na origem 2 1 f x x x 11 11 1 1 1 1 1 1 k k k k k k g x g x f x g x 2 1 g x x Dados 11 11 2 2 2 1 1 1 k k k k k k x x f x x EXEMPLO 21 Diagrama de Dispersão x fx 100 2050 075 1153 060 0450 050 0400 030 0500 000 0000 020 0200 040 0600 050 0512 070 1200 100 2050 200 100 000 100 200 Ajustar os dados por uma parábola passando na origem 2 1 f x x x 2 1 g x x Dados 11 11 2 2 2 1 1 1 k k k k k k x x f x x 1 1 28464 58756 20642 Portanto a parábola que melhor se aproxima pelo MNQ 2 20642 f x x x EXEMPLO 22 Tabela auxiliar no Excel Ajustar os dados por uma parábola passando na origem 2 1 f x x x 2 1 g x x 11 11 2 2 2 1 1 1 k k k k k k x x f x x 1 1 28464 58756 20642 Portanto a parábola que melhor se aproxima pelo MNQ 2 20642 f x x x Gráfico comparando a função aproximada e os dados tabelados 23 00 05 10 15 20 25 15 10 05 00 05 10 15 Dados tabelados Função Phi aproximação
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Método dos Mínimos Quadrados Vimos que uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a INTERPOLAÇÃO Porém não é aconselhável quando precisamos de valores fora do intervalo tabelado ou valores são resultados de algum experimento ou de alguma pesquisa 1 Problema clássico da interpolação Fenômeno de Runge pontos de abscissa igualmente espaçados 2 2 1 1 25 f x x 1 1 x f x Polinômio de Lagrange grau 4 3 2 1 1 25 f x x 1 050051 4 2 4 3315653 4277193 1 P x x x f x 4 P x httpsesplanetcalccom8692 4 2 1 1 25 f x x 1 075 05 025 0025050751 8 6 4 2 8 3815013 8241981 5626837 1296023 1 P x x x x x Polinômio de Lagrange grau 8 4 P x f x 8 P x Polinômio de grau 20 5 f x 20 P x Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Queremos uma função que seja uma boa aproximação para valores tabelados e que nos permita extrapolar com certa margem de segurança 7 DE uma forma geral Experimentos geram uma gama de dados que devem ser analisados para a criação de um modelo Função Obter uma função matemática que represente ou que ajuste os dados permitindo fazer simulações do processo de forma confiável e reduzindo assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto 8 Método dos mínimos Quadrados É o mais utilizado por ter uma aboradagem simples ser preciso e seu resultado abrange várias funções principalmente polinômios 9 Observando o gráfico dos pontos tabelados Baseandose em fundamentos teóricos do experimento que forneceu a tabela ou Através de uma função já conhecida A escolha da função pode ser 10 Dados Temos uma tabela de pontos pertencentes a um intervalo O método consiste em escolhidas n funções g1 g2 gn contínuas em ab obter n constantes α1 α2 αn tais que a função se aproxime ao máximo de fx 11 Caso Discreto x x1 x2 x3 xn fx fx1 fx2 fx3 fxn 1 2 3 n x x x x a b 1 1 2 2 3 3 n n x g x g x g x g x Dados Este é um modelo matemático linear por que os coeficientes a determinar Aparecem linearmente embora as funções gnx possam ser funções não lineares de x 12 Caso Discreto x x1 x2 x3 xn fx fx1 fx2 fx3 fxn 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n x g x g x g x g x Dados Este é um modelo matemático linear por que os coeficientes a determinar Aparecem linearmente embora as funções gnx possam ser funções não lineares de x 13 Caso Discreto 1 2 3 n Observando o Diagrama de Dispersão dos pontos tabelados Basearse em fundamentos teóricos do experimento Excel EXEMPLO 14 Considere uma experiência onde foram medidos vários valores de corrente elétrica que passa por uma resistência submetida a várias tensões colocando os valores correspondentes da tensão e da corrente em um gráfico vêse que V i Neste caso existe uma fundamentação teórica relacionando a corrente e a tensão Vi ki Ou seja uma função linear de i Assim 1 1 1 e g i i i g i CUIDADO Qual parábola se ajusta melhor aos dados do exemplo 15 x fx 100 2050 075 1153 060 0450 050 0400 030 0500 000 0000 020 0200 040 0600 050 0512 070 1200 100 2050 0000 0500 1000 1500 2000 2500 150 100 050 000 050 100 150 A idéia é impor que os desvios seja mínimo para cada k 12m 16 Método dosMínimos Quadrados k k k d f x x x Ou seja nosso objetivo é encontrar os coeficientes α tais que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima 17 Método dosMínimos Quadrados 2 2 1 1 m m k k k k k d f x x x 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 m n k k k m k k k n n k k F f x x f x g x g x g x Portanto 18 Método dosMínimos Quadrados 1 2 1 1 1 0 12 0 n j m k k n n k j k k F j n f x g x g x g x 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 2 0 0 m k k n n k k k m k k n n k k k m k k n n k n k k j f x g x g x g x j f x g x g x g x j n f x g x g x g x Temse o sistema linear cujas equações são ditas Equações Normais 19 Método dosMínimos Quadrados 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 m m m m k k k k n k k n k k k k k k m m m m k k k k n k k n k k k k k k g x g x g x g x g x g x f x g x g x g x g x g x g x g x f x g x 1 3 1 2 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 m m m m k k k k n k k n k k k k k k m m m m k n k k n k n k n k n k n k k k k k g x g x g x g x g x g x f x g x g x g x g x g x g x g x f x g x Obs m número de pontos tabelados n número de funções escolhidas ou número de coeficientes a determinar EXEMPLO 20 Diagrama de Dispersão x fx 100 2050 075 1153 060 0450 050 0400 030 0500 000 0000 020 0200 040 0600 050 0512 070 1200 100 2050 200 100 000 100 200 Ajustar os dados por uma parábola passando na origem 2 1 f x x x 11 11 1 1 1 1 1 1 k k k k k k g x g x f x g x 2 1 g x x Dados 11 11 2 2 2 1 1 1 k k k k k k x x f x x EXEMPLO 21 Diagrama de Dispersão x fx 100 2050 075 1153 060 0450 050 0400 030 0500 000 0000 020 0200 040 0600 050 0512 070 1200 100 2050 200 100 000 100 200 Ajustar os dados por uma parábola passando na origem 2 1 f x x x 2 1 g x x Dados 11 11 2 2 2 1 1 1 k k k k k k x x f x x 1 1 28464 58756 20642 Portanto a parábola que melhor se aproxima pelo MNQ 2 20642 f x x x EXEMPLO 22 Tabela auxiliar no Excel Ajustar os dados por uma parábola passando na origem 2 1 f x x x 2 1 g x x 11 11 2 2 2 1 1 1 k k k k k k x x f x x 1 1 28464 58756 20642 Portanto a parábola que melhor se aproxima pelo MNQ 2 20642 f x x x Gráfico comparando a função aproximada e os dados tabelados 23 00 05 10 15 20 25 15 10 05 00 05 10 15 Dados tabelados Função Phi aproximação