Polinomial e Fórmula de Lagrange: Interpolação e Aplicações

Polinomial e Fórmula de Lagrange INTERPOLAÇÃO Quando aplicar Quando são somente conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor de um ponto não tabelado Quando a expressão da função é complicada demais para ser integrada ou diferenciada Interpolação Excelente método aplicado à dados experimentais ou de campo COM RESSALVAS Exemplo 02 Via polinômio interpolador calcule a raiz de ln 32 f x x x PASSO 3 O sistema para a solução será do tipo 2 0 1 0 2 0 0 2 0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 2 2 2 a a x a x f x a a x a x f x a a x a x f x Substituindo os valores tabelados 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 2 18137 3 3 00958 4 4 23452 a a a a a a a a a Resolvese o sistema x 2 3 4 fx 18137 00958 23452 2 0 1 2 f x p x a a x a x Exemplo 02 Via polinômio interpolador calcule a raiz de ln 32 f x x x PASSO 4 Método de GaussSeidel PASSO 5 2 0 1 2 f x p x a a x a x 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 4 18137 3 9 00958 4 16 23452 a a a a a a a a a 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 4 18137 1 3 00319 3 1 1 01466 16 4 a a a a a a a a a 2 46179 10637 01692 f x p x x x Exemplo 02 Via polinômio interpolador calcule a raiz de ln 32 f x x x PASSO 5 2 0 1 2 f x p x a a x a x 2 46179 10637 01692 f x p x x x Exemplo 02 Via polinômio interpolador calcule a raiz de ln 32 f x x x PASSO 6 Pode ser usado método numérico para a raiz 2 46179 10637 01692 f x p x x x xk pxk px xk1 pxk1 xk1xk 3 0096 20789 2953822 0000361 2953822 0000361 2063273 2953647 517E09 0000175 2953647 517E09 2063214 2953647 0 251E09 Método de Newton Valor exato 295365 Polinômio Interpolador de Lagrange 02 Polinômio Interpolador de Lagrange Iremos encontrar polinômios aproximadores que são determinados simplesmente especificandose certos pontos no plano pelos quais eles devem passar Os coeficientes a0 e a1 devem satisfazer Polinômio Interpolador de Lagrange Linear Definiremos então Polinômio Interpolador de Lagrange Generalização Polinômio Interpolador de Lagrange Generalização Seja f uma função tabelada em n1 pontos distintos e sejam os polinômios de grau n dados pela forma genérica Onde São denominados polinômios de Lagrange Note que não são inseridos os fatores x xi e xi xi o que resultaria num denominador nulo 0 n i i i p x L x f x 0 1 2 0 1 2 n i i i i i n x x x x x x x x L x x x x x x x x x Exemplo 02 Seja a seguinte tabela de valores da função fx ex a partir da qual se deseja obter uma aproximação para o ponto x 132 x 13 14 15 ex 3669 4055 4482 Exemplo 02 Seja a seguinte tabela de valores da função fx ex a partir da qual se deseja obter uma aproximação para o ponto x 132 x 13 14 15 ex 3669 4055 4482 0 n i i i p x L x f x 0 1 2 0 1 2 n i i i i i n x x x x x x x x L x x x x x x x x x Definição dos polinômios de Lagrange como temos 3 pontos usaremos um polinômio de grau 2 1 2 0 0 1 0 2 0 2 1 1 0 1 2 0 1 2 2 0 2 1 x x x x L x x x x x x x x x L x x x x x x x x x L x x x x x E o polinômio interpolador de Lagrange 0 0 1 1 2 2 0 n i i i p x L x f x L x f x L x f x L x f x Exemplo 02 Seja a seguinte tabela de valores da função fx ex a partir da qual se deseja obter uma aproximação para o ponto x 132 x 13 14 15 ex 3669 4055 4482 0 n i i i p x L x f x 0 1 2 0 1 2 n i i i i i n x x x x x x x x L x x x x x x x x x 1 0 1 2 14 15 14 15 13 1413 15 002 13 15 13 15 14 1314 15 001 13 14 13 14 15 1315 14 002 x x x x L x x x x x L x x x x x L x Para calcular x 132 0 0 1 1 2 2 132 132 132 132 p L f x L f x L f x 132 3743 p ERRO Exato Aproximação Erro x 37434 x 3743 3743 37434 37434 00107 x x x x ER x ER Método de Newton para Interpolação 03 Diferenças Divididas Como determinálo A forma de Newton para o polinômio pn x que interpola fx em x0 x1 xn n 1 pontos distintos é a seguinte para constantes adequadas a0 a1 an 0 1 0 2 0 1 0 1 1 n n n p x a a x x a x x x x a x x x x x x Como determinálo A forma de Newton é baseada no conceito de diferenças divididas de f em relação a x0 x1 xn Para determinar a primeira dessas constantes a0 temos que lembrar que queremos que pn xi f xi i 0 1 n Então 0 0 0 np x a f x 0 1 0 2 0 1 0 1 1 n n n p x a a x x a x x x x a x x x x x x Como determinálo Da mesma forma quando pnx é calculado em x1 os únicos termos diferentes de zero no cálculo de pn x1 são os termos constante e linear Então 0 1 0 2 0 1 0 1 1 n n n p x a a x x a x x x x a x x x x x x 0 1 0 1 1 n f x a x x p x f x 1 0 1 1 0 f x f x a x x Diferenças Divididas 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 3 0 1 2 0 1 1 0 1 0 n n n n n f x f x f x f x f x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x ou seja i i f x f x Polinômio Interpolador 0 1 0 2 0 1 0 1 1 n n n p x a a x x a x x x x a x x x x x x 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 n n n p x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x Polinômio Interpolador x f x Δf Δ2f Δnf x0 f x0 f x0x1 f x0x1x2 f x0x1x2xn x1 f x1 f x1x2 f x1x2x3 x2 f x2 f x2x3 f x2x3x4 x3 f x3 f x3x4 f x3x4x5 xn1 f xn1 f xn1xn xn f xn 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 n n n p x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 3 0 f x f x f x f x f x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x x f x x Exemplo 01 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 2 x 1 0 2 f x 4 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 n n n p x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x f x Δf Δ2f 1 4 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x Exemplo 01 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 2 x 1 0 2 f x 4 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x x f x f x Δf Δ2f 1 4 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x 1 0 0 1 1 0 f x f x f x x f x x 2 1 1 2 2 1 f x f x f x x f x x Exemplo 01 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 2 x 1 0 2 f x 4 1 1 x f x f x Δf Δ2f 1 4 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x 1 0 0 1 1 0 1 4 3 0 1 f x f x f x x f x x 2 1 1 2 2 1 1 1 0 2 0 f x f x f x x f x x 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x Exemplo 01 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 2 x 1 0 2 f x 4 1 1 x f x f x Δf Δ2f 1 4 3 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x 1 0 0 1 1 0 1 4 3 0 1 f x f x f x x f x x 2 1 1 2 2 1 1 1 0 2 0 f x f x f x x f x x 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x Exemplo 01 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 2 x 1 0 2 f x 4 1 1 x f x f x Δf Δ2f 1 4 3 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 f x x f x x f x x x f x x 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x Exemplo 01 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 2 x 1 0 2 f x 4 1 1 x f x f x Δf Δ2f 1 4 3 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 0 3 1 2 1 f x x f x x f x x x f x x 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x Exemplo 01 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 2 x 1 0 2 f x 4 1 1 x f x f x Δf Δ2f 1 4 3 1 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 0 3 1 2 1 f x x f x x f x x x f x x 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x Exemplo 01 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 2 x 1 0 2 f x 4 1 1 x f x f x Δf Δ2f 1 4 3 1 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 0 3 1 2 1 f x x f x x f x x x f x x 0 0 1 0 0 1 2 0 1 np x f x f x x x x f x x x x x x x 0 0 1 4 3 np x x x x x x x 2 2 1 np x x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 1 1 0 2 1 3 2 Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 1 1 0 2 1 3 2 1 0 0 1 1 0 f x f x f x x f x x 2 1 1 2 2 1 f x f x f x x f x x 3 2 2 3 3 2 f x f x f x x f x x 4 3 3 4 4 3 f x f x f x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 1 1 0 2 1 3 2 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 f x f x f x x f x x 2 1 1 2 2 1 0 1 1 1 0 f x f x f x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 0 1 1 1 0 1 2 1 1 3 2 3 2 2 3 3 2 f x f x f x x f x x 4 3 3 4 4 3 f x f x f x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 0 1 1 1 0 1 2 1 1 3 2 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 2 3 1 2 2 1 2 3 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 4 2 f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 0 1 1 1 0 1 2 1 1 3 2 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 2 3 1 2 2 1 2 3 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 4 2 1 0 1 1 1 2 1 1 0 2 0 1 1 0 3 1 f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 12 0 1 1 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 2 3 1 2 2 1 2 3 3 1 3 4 2 3 2 2 3 4 4 2 1 0 1 1 1 2 1 1 0 2 0 1 1 0 3 1 f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f x x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 12 0 1 1 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 3 0 2 3 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 1 f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x x x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 12 16 0 1 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 3 0 2 3 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 1 0 1 2 1 2 1 6 0 0 0 3 0 f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x x x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 12 16 0 1 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 4 0 f x x x x f x x x x f x x x x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 12 16 0 1 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 4 0 0 1 6 1 3 1 24 f x x x x f x x x x f x x x x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 12 16 124 0 1 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 4 0 0 1 6 1 3 1 24 f x x x x f x x x x f x x x x x f x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 12 16 124 0 1 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 0 1 0 1 2 0 1 2 3 1 1 1 2 6 1 24 np x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Exemplo 02 Determine o polinômio interpolador para os dados abaixo pelo método de Newton Para três pares de dados teremos um poliômio interpolador de grau 4 x 1 0 1 2 3 f x 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 np x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 1 1 0 12 16 124 0 1 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 6 24 np x x x x x x x x x x Considere o sistema linear na forma matricial Verifique usando eliminação de Gauss se este sistema tem solução Aplique os método iterativos Aplique critério de linhas Qual o comportamento dos método iterativos 51 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 5 3 5 2 1 x x x Considere o sistema linear Verifique usando eliminação de Gauss se este sistema tem solução Aplique critério de linhas Aplique os método iterativos e considere uma precisão de 104 Coloque os maiores valores absolutos na diagonal principal trocando linhas E aplique o método de GaussSeidel novamente O que ocorreu com o número de iterações 52 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 15 67 9 2 3 59 2 4 1 x x x x x x x x x