Calculo 4 - Lista de Exercícios Resolvidos sobre Área de Superfície e Volume

20212 CÁLCULO 4 VÁRIAS TURMAS Página inicial Meus cursos ECIV022F EPET027B EQUI021C MATL025A MATL025B 20212 3 Área de superfície Atividades Avaliativas 3 Questão 1 Iniciado em segunda 25 abr 2022 2141 Estado Finalizada Concluída em segunda 25 abr 2022 2155 Tempo empregado 13 minutos 15 segundos Avaliar 040 de um máximo de 040100 Questão 1 Correto Atingiu 040 de 040 Marcar questão Encontre a área da superfície da parte do cone x2 y2 z2 entre o cilindro y2 x e o plano x y 2 Escolha uma opção a 8π b 5π4 c 173 d 1101 e 92 Sua resposta está correta 20212 CÁLCULO 4 VÁRIAS TURMAS Página inicial Meus cursos ECIV022F EPET027B EQUI021C MATL025A MATL025B 20212 3 Área de superfície Atividades Avaliativas 3 Questão 2 Iniciado em segunda 25 abr 2022 2211 Estado Finalizada Concluída em segunda 25 abr 2022 2217 Tempo empregado 5 minutos 33 segundos Avaliar 040 de um máximo de 040100 Questão 1 Correto Atingiu 040 de 040 Marcar questão Encontre a área aproximada da parte do plano x z que está entre os planos y 0 e y 6 e dentro do hiperbolóide 9x2 4y2 16z2 144 Escolha uma opção a 4675 b 8189 c 1755 d 5432 e 11903 Sua resposta está correta Atividade Avaliativa 4 Questão 1 Iniciado em segunda 25 abr 2022 2217 Estado Finalizada Concluída em segunda 25 abr 2022 2226 Tempo empregado 8 minutos 36 segundos Avaliar 000 de um máximo de 0400 Questão 1 Incorreto Atingiu 000 de 040 Marcar questão Determine o volume do sólido compreendido entre o paraboloide z 1 x 12 4y2 e a região R xy0 x 31 0 y 2 Obs Dê uma resposta numérica com duas casas decimais de precisão Resposta 51685 A resposta correta é 4611 Estado Finalizada Concluída em segunda 25 abr 2022 2256 Tempo empregado 21 minutos 55 segundos Avaliar 000 de um máximo de 0400 Questão 1 Incorreto Atingiu 000 de 040 P Marcar questão O valor médio de uma função fx y z em uma região sólida E é definido como fmed 1VE E fx y z dV onde VE é o volume de E Determine o valor médio da função fx y z 1 x² y² na região delimitada pelo paraboloide z 19 x² y² e pelo plano z 0 Obs Dê uma resposta numérica com duas casas decimais de precisão Resposta 009 A resposta correta é 037 Parte do cone z² x² y² z x² y² entre o cilindro y² x e o plano x y 2 A área da superfície é dada por ds 1 zy² zx² dy dx Vamos determinar as derivadas parciais de z z x² y² zx 2x 2x² y² regra da cadeia zx x x² y² zy 2y 2x² y² regra da cadeia zy y x² y² Assim a integral ficará 1 xx² y²² yx² y²² dy dx 1 x²x² y² y²x² y² dy dx 1 x² y²x² y² dy dx 1 1 dy dx 2 dy dx 2 dy dx Agora vamos encontrar os intervalos de integração para isso vamos projetar o cilindro e o plano x y 2 no plano xy Cilindro y² x plano x y 2 y x 2 Interseção x 2² x x² 2x2 4 x x² 4x 4 x 0 x² 5x 4 0 S 5 x₁ 1 p 4 x₂ 4 p x 1 temos y 1 2 y 1 p x 4 temos y 4 2 y 2 Assim 1 1 e 4 2 são os pontos de interseção Observando o gráfico podemos integrar na ordem dx dy Assim temos que R y² x 2 y 1 y 2 Então As 2 from 1 to 2 from y² to 2y 1 dx dy As 2 from 1 to 2 2 y y² dy As 2 2y y²2 y³3 from 1 to 2 As 2 22 2²2 2³3 21 1²2 1³3 As 2 4 2 83 2 12 13 As 2 8 93 12 As 2 8 3 12 As 2 5 12 As 2 92 Como o cone quadrático possui duas regiões simétricas logo As 2 2 92 As 92 2 Plano x z y 0 e y 6 hiperboloide 9x² 4y² 16z² 144 Fazendo a intersecção do plano com o hiperbolóide temos 9x² 4y² 16z² 144 9x² 4y² 16x² 144 25x² 4y² 144 hipérbole 144 25x²144 4y²144 1 x²14425 y²1444 1 a² 14425 b² 1444 a 14425 b 1444 a 125 b 122 a 24 b 6 No plano xy temos y 6 25x² 4y² 144 y 6 y 0 34 34 24 0 24 x Para y 6 temos 25x² 46² 144 25x² 436 144 25x² 144 144 25x² 144 144 25x² 288 x² 28825 x 28825 x 1225 x 339 x 34 Isolando x da hipérbole temos 25x² 144 4y² x² 144 4y²25 x 144 4y²25 x 436 y²25 x 25 36 y² Como as regiões são simétricas vamos considerar apenas a região positiva e depois multiplicaremos a integral por 2 Assim os intervalos de integração serão dados por R 0 y 6 0 x 25 36 y² Isolando z da equação do parabolóide temos 9x² 4y² 16z² 144 16z² 144 9x² 4y² z² 144 9x² 4y²16 z 14 144 9x² 4y² A área de superfície é dada por As R 1 zx² zy² Derivando parcialmente z em relação a x e a y temos zx 18x 42144 9x² 4y² zx 9x 4144 9x² 4y² zy 8y 42144 9x² 4y² zy y 144 9x² 4y² Assim As R 1 9x 4144 9x² 4y²² y 144 9x² 4y²² As R 1 81x² 16144 9x² 4y² y² 144 9x² 4y² As R 1 81x² 16y² 16144 9x² 4y² As R 81n² cos²θ 16n² sin²θ 161144 9n² cos²θ 4n² sin²θ 2304 144 n² cos²θ ③ z 1 x 1² 4y² R x y0 x 31 0 y 2 O volume do sólido pode ser representado por uma integral dupla V R fxy dxdy onde fxy z Assim V₀² ₀31 1 x 1² 4y² dx dy V ₀² ₀31 1 x² 2x 1 4y² dx dy V ₀² x x³3 x²2 x 4y² x₀31 dy V ₀² 31 31³3 31² 31 4 y² 31 dy V ₀² 62 297913 961 124 y² dy V ₀² 297913 341 124 y² dy V 297913 y 341 y 124 y³3₀² V 297913 2 341 2 1243 2³ V 595823 682 9923 V 1587823 682 V 5293 682 V 4611 ④ O parabolóide está voltado para baixo e seu vértice encontrase no ponto 0019 Assim temos z 19 x² y² Projeção xy quando z 0 será a circunferência de raio 19 Assim temos x² y² 19 Em coordenadas polares temos x r cosθ y r senθ x² y² r² Assim x² y² 19 r² 19 r 19 Outra parâmetro a ser analisado é o ângulo θ que pelo gráfico notamos que este percorre uma volta completa Dessa forma a região de integração ficará R 0 r 19 0 θ 2π Em coordenadas cilíndricas vamos mudar as equações em z Assim temos z 19 x² y² z 19 x² y² z 19 r² Assim a integral ficará com os seguintes intervalos R 0 r 19 0 θ 2π 0 z 19 r² Fazendo a mudança em fxyz temos fxyz 1 x² y² fxyz 1 x² y² fxyz 1 r² Dessa forma teremos ₀²π ₀19 ₀¹⁹ʳ² 1r² dz dr dθ ₀²π ₀19 19r² 1r² dz dr dθ ₀²π ₀19 nr³z ₀¹⁹ʳ² dz dr dθ ₀²π ₀19 nr³19r² dr dθ ₀²π ₀19 19r r³ 19r³ r⁵ dr dθ ₀²π ₀19 19r 29r³ r⁵ dr dθ ₀²π 19 r²2 29 r⁴4 r⁶6₀19 dθ ₀²π 19 19²2 29 19⁴4 19⁶6 dθ 1805 261725 11432 ₀²π dθ 033095 θ ₀²π 033095 2π 208 Para o volume E temos VE ₀²π ₀19 ₀¹⁹ʳ² dz r dr dθ VE ₀²π ₀19 z ₀¹⁹ʳ² r dr dθ VE ₀²π ₀19 19 r² r dr dθ VE ₀²π ₀19 19r r³ dr dθ VE ₀²π 19 r²2 r⁴4₀19 dθ VE ₀²π 19 19²2 19⁴4 dθ VE 1805 09025 ₀²π dθ VE 09025 θ ₀²π VE 09025 2π VE 56677 567 Portanto fmed 1VE E fxyzdV fmed 1567 208 fmed 018208 fmed 03744 fmed 037