Teoria Cinética dos Gases - Capítulo 19

FÍSICA 2 TEORIA CINÉTICA DOS GASES Cap 19 Halliday Resnick Prof Crisógono Rodrigues TEORIA CINÉTICA DOS GASES 1a Parte Prof Crisógono Rodrigues 3 Gases Quando lidamos com átomos ou moléculas é importante medir o tamanho das amostras em mols Um mol é o número de átomos contidos em uma amostra com 12 g de carbono 12 Um mol de uma substância contém o Número de Avogadro de átomos ou moléculas representado pelo símbolo NA que vale Se n é o número de mols contidos em uma amostra de uma substância N é o número de moléculas Ma é a massa da amostra e Mm é a massa molar temos 𝒏 𝑵 𝑵𝑨 𝒏 𝑴𝒂 𝑴𝒎 𝑴𝒂 𝒎𝑵𝑨 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑴𝒎 𝒎𝑵𝑨 𝑵𝑨 𝟔 𝟎𝟐 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟑𝒎𝒐𝒍𝟏 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝑨𝒗𝒐𝒈𝒂𝒅𝒓𝒐 TERMODINÂMICA 4 Um gás ideal é qualquer gás em baixas concentrações A equação de gás ideal foi obtida empiricamente e se observou que para um gás ideal mantido num mesmo volume e a mesma temperatura vale a equação TERMODINÂMICA p V e T são pressão volume e temperatura e R é a constante dos gases ideais N o número de moléculas do gás e kB a constante de Boltzmann 𝒑𝑽𝒏𝑹𝑻 𝒍𝒆𝒊 𝒅𝒐𝒔 𝒈𝒂𝒔𝒆𝒔 𝒊𝒅𝒆𝒂𝒊𝒔 𝒑𝑽𝑵𝒌𝑩𝑻 𝒍𝒆𝒊 𝒅𝒐𝒔 𝒈𝒂𝒔𝒆𝒔 𝒊𝒅𝒆𝒂𝒊𝒔 𝑹 𝟖𝟑𝟏 𝐉𝐦𝐨𝐥𝐊 𝒑𝑽T nR N𝒌𝑩 const 𝒑A𝑽ATA 𝒑B𝑽BTB 𝒑C𝑽CTC const Gases Ideais qual gás é ideal 𝒌𝑩 𝑹 𝑵𝑨 𝟏 𝟑𝟖 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟑𝐉𝐊 5 Trabalho Realizado por um Gás Ideal Três isotermas em um diagrama pV A trajetória mostrada na isoterma central representa uma expansão isotérmica de um gás de um estado inicial i para um estado final f A trajetória de f para i na mesma isoterma representa o processo inverso ou seja uma compressão isotérmica TERMODINÂMICA 𝑾 𝑽𝒊 𝑽𝒇 𝒑𝒅𝑽 𝒑𝑽 𝒏𝑹𝑻 𝑾 𝑽𝒊 𝑽𝒇 𝒏𝑹𝑻 𝑽 𝒅𝑽 𝒏𝑹𝑻 𝑽𝒊 𝑽𝒇 𝒅𝑽 𝑽 𝑾 𝒏𝑹𝑻𝒍𝒏𝑽𝑽𝒊 𝑽𝒇 A Temperatura Constante 𝑾 𝒏𝑹𝑻𝒍𝒏𝑽𝒇𝑽𝒊 6 Trabalho Realizado por um Gás Ideal TERMODINÂMICA 𝑾 𝑽𝒊 𝑽𝒇 𝒑𝒅𝑽 𝒑𝑽 A volume constante A pressão constante 𝑾 𝑽𝒊 𝑽𝒇 𝒑𝒅𝑽 𝟎 𝑾 𝒑𝑽𝒇 𝑽𝒊 𝑾 𝟎 7 Exemplo Variações de Temperatura Volume e Pressão em um Gás Ideal TERMODINÂMICA 𝒑i 𝑽i Ti 𝒑f 𝑽f Tf 8 Exemplo Trabalho Realizado por um Gás Ideal TERMODINÂMICA 9 Velocidade Média Quadrática Uma molécula de gás típica de massa m e velocidade v está prestes a colidir com a parede sombreada Se a colisão é elástica a única componente da velocidade que muda é a componente x Isso significa que a única componente do momento linear p p mv que muda é a componente px A figura mostra uma caixa cúbica de aresta L contendo n mols de um gás ideal Uma molécula de massa m e velocidade v movese aleatoriamente em todas as direções da caixa de volume V L3 Assim o momento transferido para a parede durante a colisão é p 2mvx O intervalo de tempo t entre colisões é o tempo que a molécula leva para ir até a parede oposta e voltar à parede sombreada ou seja percorrer uma distância horizontal 2L com velocidade vx t 2Lvx TERMODINÂMICA 𝒑𝒙 𝒑𝒙𝒇 𝒑𝒙𝒊 𝒎𝒗𝒙 𝒎𝒗𝒙 𝟐𝒎𝒗𝒙 p V e T v 10 Assim A pressão das N moléculas do gás é Considerando que todas as moléculas se movem aleatoriamente em todas as direções ou seja em média 𝑭𝒙 𝒑𝒙 𝒕 𝟐𝒎𝒗𝒙 𝟐𝑳𝒗𝒙 𝒎𝒗𝒙𝟐 𝑳 𝒗𝒙𝟐𝒎𝒆𝒅 𝒗𝒚𝟐𝒎𝒆𝒅 𝒗𝒛𝟐𝒎𝒆𝒅 𝟏 𝟑 𝒗𝟐med 𝒑 𝒏𝑴𝒎𝒗𝟐𝒎𝒆𝒅 𝟑𝑽 𝒏𝑴𝒎𝒗𝒓𝒎𝒔 𝟐 𝟑𝑽 𝒗𝒓𝒎𝒔 𝟑𝒑𝑽 𝒏𝑴𝒎 𝟑𝒏𝑹𝑻 𝒏𝑴𝒎 𝟑𝑵𝑨𝒌𝑩𝑻 𝒎𝑵𝑨 𝒗𝒓𝒎𝒔 𝒗𝟐𝒎𝒆𝒅 TERMODINÂMICA 𝒑 𝒊𝟏 𝑵 𝑭𝒙𝒊 𝑳𝟐 𝒎𝒗𝒙𝟏 𝟐 𝑳 𝒎𝒗𝒙𝟐 𝟐 𝑳 𝒎𝒗𝒙𝑵 𝟐 𝑳 𝑳𝟐 𝒑 𝒎 𝑳𝟑 𝒗𝒙𝟏 𝟐 𝒗𝒙𝟐 𝟐 𝒗𝒙𝑵 𝟐 𝒎𝑵𝒗𝒙𝟐𝒎𝒆𝒅 𝑽 𝒑 𝒎𝒏𝑵𝑨𝒗𝒙𝟐𝒎𝒆𝒅 𝑽 𝒏𝑴𝒎𝒗𝒙𝟐𝒎𝒆𝒅 𝑽 𝒗𝟐 𝒗𝒙𝟐 𝒗𝒚𝟐 𝒗𝒛𝟐 Velocidade Média Quadrática 𝒑𝑽 𝒏𝑹𝑻 𝑹𝑵𝑨 𝒌𝑩 𝑴𝒎 𝒎𝑵𝑨 𝒗𝒓𝒎𝒔 𝟑𝑹𝑻 𝑴𝒎 𝟑𝒌𝑩𝑻 𝒎 11 Energia Cinética de Translação Energia Cinética Média por Moléculas 𝑲𝒎𝒆𝒅 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝟐𝒎𝒆𝒅 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝟐𝒎𝒆𝒅 𝟏 𝟐 𝒎𝒗𝒓𝒎𝒔 𝟐 𝑲𝒎𝒆𝒅 𝟏 𝟐 𝒎 𝟑𝑹𝑻 𝑴𝒎 𝑲𝒎𝒆𝒅 𝟑𝑹𝑻 𝟐𝑵𝑨 𝑲𝒎𝒆𝒅 𝟑 𝟐 𝒌𝑩𝑻 A energia cinética média por moléculas depende apenas da temperatura TERMODINÂMICA 𝑴𝒎 𝒎𝑵𝑨 𝑹 𝑵𝑨𝒌𝑩 m v 12 Energia Interna de um Gás Ideal N moléculas 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝑵𝑲𝒎𝒆𝒅 𝟑 𝟐 𝑵𝒌𝑩𝑻 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝟑 𝟐 𝒏𝑹𝑻 A energia interna Eint de um gás ideal é função apenas da temperatura do gás 𝑵 𝒏𝑵𝑨 R 𝑵𝑨𝒌𝑩 TERMODINÂMICA N d𝑬𝒊𝒏𝒕 𝒅𝑸 𝒅𝑾 𝟑 𝟐 𝒏𝑹𝒅𝑻 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝟑 𝟐 𝑵𝒌𝑩𝑻 𝟑 𝟐 𝒏𝑹𝑻 𝑬𝒊𝒏𝒕 Q W 13 Calor Específico Molar Como o volume é constante o gás não realiza trabalho W 0 Assim 𝒄𝑽 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝒏𝑻 𝟑 𝟐 𝒏𝑹𝑻 𝒏𝑻 𝒄𝑽 𝟑 𝟐 𝑹 𝟏𝟐 𝟓 𝑱𝒎𝒐𝒍 𝑲 gás monoatômico TERMODINÂMICA Da primeira lei temos que 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝑸 𝑾 𝒏𝒄𝑽𝑻 𝑾 𝑸 𝒏𝒄𝑽𝑻 Calor Específico Molar a Volume Constante 𝒄𝑽 14 Energia Interna de um Gás Ideal Para um gás ideal confinado a variação da energia interna é definida pela equação 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝟑 𝟐 𝒏𝑹𝑻 Como a variação da energia interna Eint depende apenas da variação de temperatura 𝑻 e não depende do processo função de estado temos que TERMODINÂMICA 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝒏𝒄𝑽𝑻 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒄𝑽 𝟑 𝟐 𝑹 15 Calor Específico Molar TERMODINÂMICA 𝑸 𝒏𝒄𝒑𝑻 O trabalho W a pressão constante é 𝑾 𝒑𝑽 𝒏𝑹𝑻 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝒏𝒄𝒑𝑻 𝒏𝑹𝑻 𝒏𝒄𝑽𝑻 𝒏𝒄𝒑𝑻 𝒏𝑹𝑻 𝒄𝒑 𝒄𝑽 𝑹 gás monoatômico 𝒄𝒑 𝟓 𝟐 𝑹 𝟐𝟎 𝟖 𝑱𝒎𝒐𝒍 𝑲 𝒄𝒑 𝟑 𝟐 𝑹 𝑹 𝟓 𝟐 𝑹 Da primeira lei temos que 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝑸 𝑾 𝒏𝒄𝒑𝑻 𝑾 Calor Específico Molar a pressão Constante 𝒄𝒑 16 Exemplo Gás Monoatômico TERMODINÂMICA TEORIA CINÉTICA DOS GASES 2a Parte Prof Crisógono Rodrigues 18 TERMODINÂMICA 𝒄𝑽 𝟑 𝟐 𝑹 𝒄𝒑 𝒄𝑽 𝑹 𝟓 𝟐 𝑹 gás monoatômico Como se pode ver na Tabela ao lado a previsão da teoria cinética para gases ideais concorda muito bem com os dados experimentais para gases monoatômicos reais o caso que estamos considerando Porém os valores de CV teórico e experimental para gases diatômicos moléculas de dois átomos e gases poliatômicos moléculas de mais de dois átomos são diferentes Essa discrepância vem do fato que ao contrário dos átomos isolados que só transladam moléculas com dois ou mais átomos podem transladar e também girar Portanto além da energia cinética de translação também possuem energia cinética de rotação Calores Específicos Molares Molécula Gases cv JmolK Monoatômica Gás Ideal 3 2 R 125 Gás Real He 125 Ar 125 Diatômica Gás Ideal 3 2 R 125 Gás Real N2 207 O2 208 Poliatômica Gás Ideal 3 2 R 125 Gás Real NH4 290 CO2 297 19 Graus de Liberdade f Esse problema foi resolvido por Maxwell levando em conta que toda molécula tem um certo número f de graus de liberdade que são formas independentes pelas quais a molécula pode armazenar energia As figuras abaixo mostram modelos de moléculas usados na teoria cinética dos gases a Hélio monatômico b Oxigênio diatômico c Metano poliatômico TERMODINÂMICA gás monoatômico f 3 3 translação gás diatômico f 5 3 translação 2 rotação gás poliatômico f 6 3 translação 3 rotação 20 Teorema da Equipartição da Energia Maxwell Considerando que toda molécula tem um certo número f de graus de liberdade e que cada grau de liberdade está associada em média a uma energia da ordem de ½ kBT por molécula temos TERMODINÂMICA 𝒄𝑽 𝒇 𝟐 𝑹 𝟒 𝟏𝟔 𝒇 𝑱𝒎𝒐𝒍 𝑲 𝒄𝒑 𝒄𝑽 𝑹 𝒇 𝟐 𝟏 𝑹 𝑲𝒎𝒆𝒅 𝒇 𝟐 𝒌𝑩𝑻 21 Graus de Liberdade e Calores Específicos Molares TERMODINÂMICA Molécula Gases cv JmolK Monoatômica Gás Ideal 3 2 R 125 Gás Real He 125 Ar 125 Diatômica Gás Ideal 5 2 R 208 Gás Real N2 207 O2 208 Poliatômica Gás Ideal 3R 249 Gás Real NH4 290 CO2 297 22 Exemplo Gás Diatômico TERMODINÂMICA 𝑲𝒕𝒓𝒂𝒏 𝟑 𝟓 𝑬𝒊𝒏𝒕 4286 J 𝑲𝒓𝒐𝒕 𝟐 𝟓 𝑬𝒊𝒏𝒕 2857 J 𝑬𝒊𝒏𝒕 𝑲𝒕𝒓𝒂𝒏 𝑲𝒓𝒐𝒕 7143 J Como temos 5 graus de liberdade 3 translação 2 rotação então 35 da energia interna total está relacionado a energia cinética de translação e 25 da energia interna total a energia cinética de rotação Assim teremos 23 Expansão Adiabática de um Gás Ideal Numa expansão adiabática não há troca de calor Q 0 Da Primeira Lei da temos 𝒏𝒄𝒗𝒅𝑻 𝒑𝒅𝑽 𝒏𝒅𝑻 𝒑 𝒄𝒗 𝒅𝑽 Da equação cp cV R temos R cp cV Fazendo dQ 0 na equação acima obtemos 𝒑𝒅𝑽 𝑽𝒅𝒑 𝒏𝑹𝒅𝑻 𝒏𝒅𝑻 𝒑𝒅𝑽 𝑽𝒅𝒑 𝑹 𝒅𝒑 𝒑 𝒄𝒑 𝒄𝑽 𝒅𝑽 𝑽 𝟎 Igualando as duas equações acima para ndT chegamos a expressão Usando a relação 𝜸 𝒄𝒑 𝒄𝑽 e integrando os dois lados da equação acima obtemos TERMODINÂMICA Da Lei dos Gases Ideais 𝒑𝑽 𝒏𝑹𝑻 𝐥𝐧𝒑 𝜸𝐥𝐧𝑽 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒏𝒑𝑽𝜸 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒑𝑽𝜸 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝑬𝒊𝒏𝒕 𝒅𝑸 𝒑𝒅𝑽 𝒏𝒄𝒗𝒅𝑻 𝒏𝒅𝑻 𝒑𝒅𝑽 𝑽𝒅𝒑 𝒄𝒑 𝒄𝑽 24 O processo é adiabático Q 0 a O volume de um gás ideal é aumentado reduzindo o peso aplicado ao êmbolo b O processo ocorre do estado inicial i para o estado final f ao longo de uma adiabática no diagrama pV 𝒑𝑽𝜸 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Da Lei dos Gases Ideais pV nRT 𝒏𝑹𝑻 𝑽 𝑽𝜸 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑻𝑽𝜸𝟏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑻𝒊𝑽𝒊 𝜸𝟏 𝑻𝒇𝑽𝒇 𝜸𝟏 TERMODINÂMICA A Expansão Adiabática de um Gás Ideal 𝒑𝒊𝑽𝒊 𝜸 𝒑𝒇𝑽𝒇 𝜸 25 Expansão Livre Uma expansão livre de um gás ideal temos que Q 0 o trabalho também é nulo W 0 e da primeira lei a variação da energia interna do gás também é nula Eint Q W 0 Em uma expansão livre o gás está em equilíbrio apenas nos estados inicial e final Assim podemos plotar esses pontos mas não a expansão propriamente dita em um diagrama pV Como Eint 0 a temperatura do estado final é a mesma do estado inicial Isso significa que os pontos inicial e final em um diagrama pV estão na mesma isoterma ou seja TERMODINÂMICA Além disso se o gás for ideal 𝒑𝒊𝑽𝒊 𝒑𝒇𝑽𝒇 𝒑𝒊𝑽𝒊𝑻𝒊 𝒑𝒇𝑽𝒇𝑻𝒇 𝑻𝒊 𝑻𝒇 26 Exemplo ExpansãoLivre TERMODINÂMICA 27 Processos em Gases Ideais Neste capítulo discutimos quatro processos especiais aos quais um gás ideal pode ser submetido Um exemplo de cada um desses processos é mostrado na Figura ao lado e algumas características associadas aparecem na Tabela abaixo TERMODINÂMICA 28 BIBLIOGRAFIA Fundamentos de Física 1 Halliday Resnick Editora Livros Técnicos e Científicos Física para Cientistas e Engenheiros Vol I Paul A Tipler Editora Guanabara Koogan SA Física na Universidade Pierre Lucie Editora Campus Princípios de Física Vol 2 Raymond A Serway John W Jewett Jr Editora CENGAGE TERMODINÂMICA