Campos Vetoriais: Conceitos e Exemplos

Campos Vetoriais Integrais de Linha Atividade Seminário Avaliativo AB2 Professor José Elyton Disciplina Cálculo 4 Thiago Rodrigues Bruna Gomes Jardel Equipe Agnaldo Júnior Isis Caroline Maria Lúcia Pedro Campos Vetoriais Definições e exemplos Campos vetoriais Campos vetoriais podem ser descritos de diversas maneiras ou até mesmo pelo fluxo de um fluído Pode também ser representado de uma maneira que se pode visualizar funções cujo espaçode entradae espaço de saída têm a mesma dimensão Um campo vetorial associa um vetor a cada ponto no espaço Você pode pensar em um campo vetorial como sendo uma representação de uma função multivariável cujos espaçosde entradae de saída têm a mesma dimensão Geralmente os comprimentos das setas desenhadas em um campo vetorial não estão em escala mas a razão entre o comprimento de um vetor e outro deve ser exata Às vezes o comprimento dovetor é informado por meio de cor Exemplo motivador fluxo de fluidos em duas dimensões Fluxo do fluido mostrando o movimento de somente algumas partículas de fluido desenhadas na forma de pontos azuis Para representar este tipo de movimento é preciso transmitir muito mais informações do que somente uma magnitude e um sentido Precisa expressar a velocidade de cada partícula individual no fluido se você desenhar um vetor velocidade em cada uma das partículas mostradas na animação e se adicionar alguns eixos de coordenadas para ter controle de onde tudo está você pode obter um diagrama parecido com este Definição Campo Vetorial Bidimensional A melhor maneira de enxergar um campo vetorial é desenhar a seta representando o vetor Fx y começando no ponto x y É claro que é impossível fazer isso para todos os pontos x y mas podemos visualizar F fazendo isso para alguns pontos representativos em D como na Figura 3 Uma vez que Fx y é um vetor bidimensional podemos escrevêlo em termos de suas funções componentes P e Q Exemplo Utilizando a função identidade Definição do campo vetorial tridimensional Da mesma forma que o campo vetorial bidimensional podemos representar nosso campo vetorial tridimensional desenhando as setas do vetor Fxyz em alguns pontos representativos um exemplo está na figura 4 Em geral a abordagem é a mesma se estendendo ao espaço tridimensional Podemos representar o campo vetorial F em termos das suas componentesP Q e R como Fxyz Pxyzi Qxyzj Rxyzk Exemplo Lei da gravitação de Newton Segundo a Lei da gravitação de newton o módulo da força gravitacional entre dois objetos de massas m e M é igual a Supondo o objeto com massa M esteja localizado na origem e que o vetor posição do objeto com massa m seja x xyz Logo a força gravitacional exercida no segundo objeto age em direção à origem e o vetor unitário na sua direção é xx Logo a lei da gravitação de Newton pode ser representada em termos de campo vetorial da seguinte forma Exemplo Lei da gravitação de Newton Podemos ainda escrever nossa lei em termos das funções componentes como demonstrado anteriormente Basta considerarmos Logo a Lei da gravitação de Newton é escrita como Exemplo Lei da gravitação de Newton Graficamente podemos representar o exemplo demonstrado Campos gradientes com exemplos Campos vetoriais O gradiente de uma função f denotado por f é a coleção de todas as suas derivadas parciais em um vetor Portanto o gradiente de uma função multivariável de valores escalares fxy denotado f contém todas as informações sobre suas derivadas parciais em um vetor Em particular isso significa que f é uma função vetorial Campos vetoriais Imagine você parado no ponto x0y0 no domínio de f o vetor fx0y0 Neste casos esses vetores fx0y0 Logo podemos dizer que o gradiente é basicamente funções multivariáveis com valor escalar 1 Diante disto temos o nosso primeiro exemplo sobre duas dimensões Se fx y x2 xy qual das opções a seguir representa f a b Campos gradientes com exemplos Perceba que f é uma função de valor vetorial especificamente uma com uma entrada bidimensional e um resultado bidimensional Portando pode ser visualizado com um campo vetorial Esse campo vetorial vive no domínio de f que é o plano xy Esse campo vetorial é frequentemente chamado de campo gradiente de f Exemplo 2 três dimensões Qual é o gradiente de fxyzxxyz2 a b Campos gradientes com exemplos Exemplo 3 como os máximos locais se parecem Considere a função fx y x4 4x2 y23 Qual é o gradiente dessa função a b Pergunta para reflexão como deverá ser o campo gradiente de uma função perto do mínimo local dessa função Campos gradientes com exemplos O operador Del Em cálculo de múltiplas variáveis e além a palavra operador aparece bastante Pode soar um pouco extravagante mas na maioria das vezes você pode pensar em operadorcomo uma coisa que transforma uma função em outra A derivada é um exemplo de operador já que transforma a função f em uma nova função fOperadores diferenciais são operadores que estendem a ideia de uma derivada para um contexto totalmente diferente Integrais de Linha Definições com exemplos As integrais de linha são também chamadas integrais curvilíneas A integral de linha constitui uma generalização da integral definida de uma função sobre um intervalo fechado A integral definida de uma função sobre uma curva qualquer ou uma linha qualquer pode ser plana ou espacial por isso é chamada de integral de linha Definição 51 Seja C uma curva suave orientada com ponto inicial A e ponto terminal B Seja f x y um campo escalar definido em cada ponto de C A integral de linha de f ao longo de C de A até B denotada por c fxyds é definida por 1 O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva desde que cada ponto da curva seja atingido uma única vez quando t cresce da a para b 2 Como para as integrais de funções de uma variável real podemos interpretar a integral de linha de uma função positiva como uma área De fato se f x y 0 c fxyds representa a área de um lado da cerca ou cortina cuja base é C e cuja altura acima do ponto x y é f x y Integrais de Linha no Espaço As integrais de linha tem papel importante tanto do ponto de vista teórico como prático Suas aplicações incluem trabalho energia potencial fluxo de calor mudança de entropia e muitas outras situações em que o comportamento de um campo vetorial ou campo escalar é estudado ao longo de uma curva OBJETIVO GERAL As integrais de linha são semelhantes à integral unidimensional mas em vez de integrar sobre um intervalo a b integramos sobre uma curva C Integrais de Linha no Espaço Suponhamos agora que C seja uma curva espacial suave dada pelas equações paramétricas x xt ou por uma equação vetorial rt xti ytj ztk Se f é uma função de três variáveis que é contínua em alguma região contendo C então definimos a integral de linha de f ao longo de C com relação ao comprimento de arco de modo semelhante ao feito nas curvas planas C fx y z ds lim n Σi1n fxᶦ yᶦ zᶦ Δsᵢ Calculamos essa integral utilizando uma fórmula análoga à Equação 3 C fx y z ds ab fxt yt zt dxdt² dydt² dzdt² dt Observe que as integrais das Equações 3 e 9 podem ser escritas de modo mais compacto pela notação vetorial ab frt rt dt Exemplos EXEMPLO 5 Calcule C y sen z ds onde C é a hélice circular dada pelas equações x cos t y sen t z t 0 t 2π Veja a Figura 9 SOLUÇÃO A Fórmula 9 nos dá C y sen z ds 02pi sen t sen t dxdt² dydt² dzdt² dt 2 02pi 121 cos 2t dt 22 t 12sen 2t 02pi 2π EXEMPLO 4 Encontre o trabalho realizado pelo campo de força F y x²i z y²j x z²k ao longo da curva rt ti t²j t³k 0 t 1 de 0 0 0 a 1 1 1 Figura 1618 Solução Primeiro calculamos F na curva rt F y x²i z y²j x z²k t² t²i t³ t⁴j t t³k Então encontramos drdt drdt ddt ti t²j t³k i 2tj 3t²k Por fim encontramos F drdt e integramos de t 0 a t 1 F drdt t³ t⁴j t t³i 2tj 3t²k t³ t⁴2 t t³3t² 2t⁴ 2t⁵ 3t³ 3t⁴ portanto Trabalho ₀¹ 2t⁴ 2t⁵ 3t³ 3t⁸ dt 25 t⁵ 26 t⁶ 34 t⁴ 39 t⁹₀¹ 2960 Integrais de Linha com Campos Vetoriais Integrais de Linha com Campos Vetoriais Integrais de Linha com Campos Vetoriais Integrais de Linha com Campos Vetoriais Integrais de Linha com Campos Vetoriais Integrais de Linha com Campos Vetoriais Integrais de Linha com Campos Vetoriais Integrais de Linha com Campos Vetoriais Referências GUIDORIZZI H Um curso de cálculo 3 ed Rio de Janeiro LTC 1997 v 2 STEWART J Cálculo 5 ed São Paulo Pioneira Thomson Learning 2006 v 2 httpwwwimeunicampbrvalleTeachingMA211CursaoAula12pdf httpseadictunespbrpluginfilephp26291modresourcecontent3Calculo20 20James20Stewart2020720EdiC3A7C3A3o2020Volume202pdf httpsaedmoodleufpabrpluginfilephp324409modresourcecontent1Thomas20 20CaCC81lculo20II202812Ed29pdf OBRIGADO