Problemas sobre Campos Elétricos e Lei de Gauss

Campos Elétricos PROBLEMA 1 No experimento de Millikan uma gota de raio 1 64 mm e densidade 0 851 gcm3 fica equilibrada quando um campo elétrico de 192 105 NC é aplicado Determine a carga da gota em termos de e Fig 15 O aparelho da gota de óleo de Millikan para medir a carga eletr O movimento de uma gota de óleo é observado na câmara C onde atuam sobre a gota a gravidade o campo elétrico gerado pela bateria B se a gota estiver em movimento uma força de arraste viscosa Campos Elétricos PROBLEMA 1 No experimento de Millikan uma gota de raio 1 64 mm e densidade 0 851 gcm3 fica equilibrada quando um campo elétrico de 192 105 NC é aplicado Determine a carga da gota em termos de e F 0 1 Fy qE mg 0 qE ρVg 0 qE 43 πr3ρg 0 q 4πr3ρg 3E 80337 1019 C 5e 2 Campos Elétricos PROBLEMA 2 Um campo vertical uniforme E é estabelecido no espaço entre duas grandes placas paralelas Uma pequena esfera condutora de massa m é suspensa no campo pendendo da extremidade de um fio de comprimento L Determine o período deste pêndulo quando a esfera recebe uma carga q se a placa inferior a está positivamente carregada e b está negativamente carregada Vamos fazer o cálculo de T por meio da construção da equação do MHS τz Iα τP τF τT Iα Lmg sin θ LqE sin θ 0 mlL2 d2θ dt2 g qE m 1 L sin θ 0 Campos Elétricos PROBLEMA 2 Um campo vertical uniforme E é estabelecido no espaço entre duas grandes placas paralelas Uma pequena esfera condutora de massa m é suspensa no campo pendendo da extremidade de um fio de comprimento L Determine o período deste pêndulo quando a esfera recebe uma carga q se a placa inferior a está positivamente carregada e b está negativamente carregada Para pequenas oscilações teremos sin θ θ assim a EDO ficará d²θdt² g qEm1L sin θ 0 Eq do MHS ω² g qEm1L T 2πmLmg qE Lei de Gauss PROBLEMA 1 Na figura vemos o corte transversal de um longo tubo metálico de pequena espessura e com raio R cuja superfície possui uma carga de densidade λ por unidade de comprimento Deduza as expressões de E a diversas distâncias r a partir do eixo do tubo considerando as regiões a r R e b r R Trace um gráfico desses resultados entre r 0 e r 50 cm fazendo λ 20 10⁸ Cm e R 30 cm Sugestão Use superfícies gaussianas cilíndricas coaxiais com o tubo de metal A figura ao lado ilustra a superfície Gaussiana e as regiões de interesse para o cálculo do fluxo do campo Lembrando que o tubo possui duas extremidades aqui representadas pelas regiões 1 2 3 como as regiões da extremidade esquerda e 4 e 5 da extremidade da direita do tubo Agora podemos calcular a lei de Gauss a Para r R Lei de Gauss PROBLEMA 1 Na figura vemos o corte transversal de um longo tubo metálico de pequena espessura e com raio R cuja superfície possui uma carga de densidade λ por unidade de comprimento Deduza as expressões de E a diversas distâncias r a partir do eixo do tubo considerando as regiões a r R e b r R Trace um gráfico desses resultados entre r 0 e r 50 cm fazendo λ 20 10⁸ Cm e R 30 cm Sugestão Use superfícies gaussianas cilíndricas coaxiais com o tubo de metal a Para r R E dA Σqε₀ E dA E dA E dA Σqε₀ 0 0 E₃ dA₃ 0 0 Σqε₀ Lei de Gauss PROBLEMA 1 Na figura vemos o corte transversal de um longo tubo metálico de pequena espessura e com raio R cuja superfície possui uma carga de densidade λ por unidade de comprimento Deduz a expressões de E a diversas distâncias r a partir do eixo do tubo considerando as regiões a r R e b r R Trace um gráfico desses resultados entre r 0 e r 50 cm fazendo λ 20 10⁸ Cm e R 30 cm Sugestão Use superfícies gaussianas cilíndricas coaxiais com o tubo de metal a Para r R E₃A₃ λLε₀ E₃2πrL λLε₀ E₃ λ2πε₀r a Para r R Lei de Gauss PROBLEMA 2 Uma esfera sólida não condutora de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme a densidade de cargas sendo dada por ρ ρₑrR onde ρₑ é constante e r é a distância ao centro da esfera Mostre que a a carga total na esfera é Q πρₑR³ e b o campo elétrico dentro da esfera é determinado por E 14πε₀ QR² a A carga total na esfera ρ dqdV ρ₀ rR Q dq 4πρ₀R₀R r³dr Assim de fato Q πρₑR³ Lei de Gauss PROBLEMA 2 Uma esfera sólida não condutora de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme a densidade de cargas sendo dada por ρ ρₑrR onde ρₑ é constante e r é a distância ao centro da esfera Mostre que b No interior da esfera r R há uma quantidade q menor de cargas q 4πρₑR₀r r³dr πρₑr⁴R Multiplicando a equação por R³R q πρₑe r⁴R R³R³ q Qr⁴R⁴ Agora podemos aplicar a lei de Gauss para o cálculo do fluxo na superfície de raio r EdA qε₀ E4πr² Qr⁴ε₀R⁴ E 14πε₀ Qr²R⁴ CQD Potencial Elétrico PROBLEMA 1 O campo elétrico dentro de uma esfera nãocondutora de raio R cuja densidade de carga é uniforme tem direção radial e seu módulo é Er Er q 4πε₀ r R³ sendo q a carga total na esfera e r a distância ao centro desta a Determine o potencial Vr dentro da esfera considerando V 0 em r 0 b Qual a diferença de potencial elétrico entre um ponto da superfície e outro centro da esfera Se q for positiva que ponto possui maior potencial c Mostre que o potencial à distância r do centro sendo r R é dado por Vr q 8πε₀ 3R² r² R³ onde o zero do potencial foi arbitrado em r Por que este resultado difere do que foi apresentado no item a Potencial Elétrico PROBLEMA 1 a Considere o esquema abaixo em que os pontos C S e P estão localizados no interior da esfera a uma distância r do centro respectivamente A diferença de potencial entre os pontos P e C vale ΔVcp Vp Vc ₀ᵣ Eds Neste caso como o valor de referência do potencial é no centro da esfera e não no infinito os vetores ds deslocamento a partir do ponto de referência do potencial e dr deslocamento radial a partir de r 0 são idênticos ds dr Potencial Elétrico PROBLEMA 1 Vr ₀ᵣ q 4πε₀R³ dr q 4πε₀R³ ₀ᵣ r dr Como ΔVcs é negativo isto significa que indo do centro para a superfície da esfera o potencial elétrico diminui se a carga da esfera for positiva Logo o centro da esfera apresenta maior potencial c Com V 0 no infinito o cálculo de Vr é feito da seguinte forma ΔVcs Vs Vc VR 0 q 8πε₀R³ R² q 8πε₀R Potencial Elétrico Potencial Elétrico Potencial Elétrico Potencial Elétrico PROBLEMA 2 Para a configuração de cargas da figura abaixo mostre que Vr para pontos no eixo vertical considerando r d é dado por Para obtemos a expressão do potencial para pontos onde r d é preciso fazer as seguintes aproximações lim r d lim r 1 dr r logo rr dr d r³ e lim r d r² 2dr d² lim r² 1 2dr d²r² r² Assim reescrevemos o potencial V q 4πε₀ r² 2rd d² rr dr d q 4πε₀ r² r³ q 4πε₀ 1r Potencial Elétrico PROBLEMA 2 Para a configuração de cargas da figura abaixo mostre que Vr para pontos no eixo vertical considerando r d é dado por lim r d r² 1 2dr d²r² r² 1 2dr r² 2rd Assim novamente reescrevemos o potencial V q 4πε₀ r² 2rd d² rr dr d q 4πε₀ r² 2rd r³ q 4πε₀ 1r 1 2dr Dessa forma temos o potencial do dipolo um potencial proporcional a distância de separação entre as cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância Potencial Elétrico PROBLEMA 3 Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio interno a e raio externo b A carga é distribuída de modo que a densidade de carga carga por unidade de área é dada por σ kr³ onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste Mostre que o potencial no centro do anel é dado por V Q 8πε₀ a b ab O potencial será dado por dV 1 4πε₀ dq r V dV 1 4πε₀ dq r e dq Potencial Elétrico