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Capítulo 4 - Produto misto Ex 1 pág 98 Dados os vetores \vec{u} = (3, -4, 1), \vec{v} = (1, 2, 2) \vec{w} = (1, 0, -3) calcule: [a] (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) |-3 2 2| |0 1 0| = -29 |3 -4 0| [b] (\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}) |1 1 0| |-3 3 2| = -49 |2 2 -4| Ex 2 pág 98 Sabendo que (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = -5, calcule: a) (\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}) = 5 b) (\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}) = -5 c) (\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}) = 5 d) (\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}) = -5 Ex 5 pág 99 Verifique se são coplanares os vetores (a) \vec{u} = (1, -1, 2) \vec{v} = (2, 0, 1) \vec{w} = (-2, 0, -4) (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) |1 0 0| |-1 2 2| = -6 -> Não é coplanar pois produto misto |2 1 -4| não é nulo (b) \vec{u} = (2, 1, -3) \vec{v} = (3, 1, -2) \vec{w} = (7, -1, 4) (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) |2 3 7| |1 1 -1| = 0 -> É coplanar |-3 -2 4| Ex 7 pág 100 Verificar se são coplanares os pontos: (a) A(1, 1, 0) B(-2, 1, 1/6) C(-1, 2, -1) D(2, 1, -4) \vec{AB} = B-A \vec{AC} = C-A \vec{AD} = D-A \vec{AD} = (-3, 0, -4) |1 1 0| |-1 2 -4| = 0 -> É coplanar |0 2 0| (b) A(1, 1, 0) B(1, 1, 2) C(1, 0, -3) D(3, 1, -2) \vec{AB} = B-A \vec{AC} = C-A \vec{AD} = D-A \vec{AD} = (1, 0, -4) |1 0 -1| |1 0 -2| = -3 -> Não é coplanar |-4 -1 0| Ex 8 pág 100 Para que valor de m os pontos A(1, m, 1) B(1, 2, -2) C(-5, 7, 1) D(3, 2, -4) \vec{AB} = B-A \vec{AC} = C-A \vec{AD} = D-A |5 -m -3| |1 m 2| = 8 + (-3)- 4m = 0, m = 4/3 Ex. 10 pág 100 Um paralelepípedo é determinado pelos vetores \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \vec{i} = (3,-1,4) \vec{j} = (0,1,0) \vec{k} = (1,2,5) Calcule o volume e determine a base dele pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} Volume: |3 1 0| |-1 0 2| = 7 |4 5 2| Área: |\vec{u} \vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}.\vec{v})^2} Exercício 11 pág 100 Calcule o vector de um paralelepípedo determinado pelo vetores \vec{u} = (1, 0, 0) \vec{v} = (0, 1, 0) \vec{w} = (0, 0, 1) Conclusão: Volume: V = 33 Base: A OK Exerc. 10: O ponto A(1,-2,3) é um dos vértices de um paralelepípedo e pag 100 Os três vértices adjacentes são B(-1,4,-9) e C(0,1,0) e D(1,0,m) Determinemos o valor de m, para que o volume deste paralelepípedo seja igual a 20 u³. (AB,AC,AD) = volume | b c b | a a, A ( AB = B-A AB = (-1,4,-9)-(1,-2,3) AB = (-2,6,-7) (AB,AC,AD) = | hc hc b b | ac ac A a ( AC = C-A AC = (0,1,0)-(1,-2,3) AC = (-1,3,-3) AB - C AD = D-A AD = (1,0,m)-(1,-2,3) AD = (0,2,m-3) -60 = 3m + 6 2 m=11 = -1 50 = - (3m + 4) = 0 -40 = 120/3 = 40 Volume do paralelepípedo V = |AB,AC,AD| V = |b13,36,7[| 10=| Exec. 15 Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P. Dado A (2,0,0) pag 100 B(2,4,0) C(0,3,0), e P(1,2,7). Calcular a altura do triângulo relativa aos vértices P. | x y z | i j | 2 | 2 | 0 | 0 | 4 | 0 | 3 | 2 P-P (0,4,0)-(1,20) ( AB = (J) = A -0 V = (0)[ ,R,PP[ 6 Resultado ...)976 ( AB x AC 0+0+0 = 72, Dopal volume (P-ACAB, PP) V = | , AB, R, 0 + 72-0 = 4 = +0+ + -PK -0 +0 = volume= (h - AB x AC 0 Al-win menom!) VA ipaxLCh 7cd 2d (01D 72/12 6 1)=0++(1)8(7 ( ) 72 V(A)CCC2F altura da base, os tings da (0,0 0E dx Desn: fóla puldos Volume (abc) di Le]
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Capítulo 4 - Produto misto Ex 1 pág 98 Dados os vetores \vec{u} = (3, -4, 1), \vec{v} = (1, 2, 2) \vec{w} = (1, 0, -3) calcule: [a] (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) |-3 2 2| |0 1 0| = -29 |3 -4 0| [b] (\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}) |1 1 0| |-3 3 2| = -49 |2 2 -4| Ex 2 pág 98 Sabendo que (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = -5, calcule: a) (\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}) = 5 b) (\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}) = -5 c) (\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}) = 5 d) (\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}) = -5 Ex 5 pág 99 Verifique se são coplanares os vetores (a) \vec{u} = (1, -1, 2) \vec{v} = (2, 0, 1) \vec{w} = (-2, 0, -4) (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) |1 0 0| |-1 2 2| = -6 -> Não é coplanar pois produto misto |2 1 -4| não é nulo (b) \vec{u} = (2, 1, -3) \vec{v} = (3, 1, -2) \vec{w} = (7, -1, 4) (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) |2 3 7| |1 1 -1| = 0 -> É coplanar |-3 -2 4| Ex 7 pág 100 Verificar se são coplanares os pontos: (a) A(1, 1, 0) B(-2, 1, 1/6) C(-1, 2, -1) D(2, 1, -4) \vec{AB} = B-A \vec{AC} = C-A \vec{AD} = D-A \vec{AD} = (-3, 0, -4) |1 1 0| |-1 2 -4| = 0 -> É coplanar |0 2 0| (b) A(1, 1, 0) B(1, 1, 2) C(1, 0, -3) D(3, 1, -2) \vec{AB} = B-A \vec{AC} = C-A \vec{AD} = D-A \vec{AD} = (1, 0, -4) |1 0 -1| |1 0 -2| = -3 -> Não é coplanar |-4 -1 0| Ex 8 pág 100 Para que valor de m os pontos A(1, m, 1) B(1, 2, -2) C(-5, 7, 1) D(3, 2, -4) \vec{AB} = B-A \vec{AC} = C-A \vec{AD} = D-A |5 -m -3| |1 m 2| = 8 + (-3)- 4m = 0, m = 4/3 Ex. 10 pág 100 Um paralelepípedo é determinado pelos vetores \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \vec{i} = (3,-1,4) \vec{j} = (0,1,0) \vec{k} = (1,2,5) Calcule o volume e determine a base dele pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} Volume: |3 1 0| |-1 0 2| = 7 |4 5 2| Área: |\vec{u} \vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}.\vec{v})^2} Exercício 11 pág 100 Calcule o vector de um paralelepípedo determinado pelo vetores \vec{u} = (1, 0, 0) \vec{v} = (0, 1, 0) \vec{w} = (0, 0, 1) Conclusão: Volume: V = 33 Base: A OK Exerc. 10: O ponto A(1,-2,3) é um dos vértices de um paralelepípedo e pag 100 Os três vértices adjacentes são B(-1,4,-9) e C(0,1,0) e D(1,0,m) Determinemos o valor de m, para que o volume deste paralelepípedo seja igual a 20 u³. (AB,AC,AD) = volume | b c b | a a, A ( AB = B-A AB = (-1,4,-9)-(1,-2,3) AB = (-2,6,-7) (AB,AC,AD) = | hc hc b b | ac ac A a ( AC = C-A AC = (0,1,0)-(1,-2,3) AC = (-1,3,-3) AB - C AD = D-A AD = (1,0,m)-(1,-2,3) AD = (0,2,m-3) -60 = 3m + 6 2 m=11 = -1 50 = - (3m + 4) = 0 -40 = 120/3 = 40 Volume do paralelepípedo V = |AB,AC,AD| V = |b13,36,7[| 10=| Exec. 15 Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P. Dado A (2,0,0) pag 100 B(2,4,0) C(0,3,0), e P(1,2,7). Calcular a altura do triângulo relativa aos vértices P. | x y z | i j | 2 | 2 | 0 | 0 | 4 | 0 | 3 | 2 P-P (0,4,0)-(1,20) ( AB = (J) = A -0 V = (0)[ ,R,PP[ 6 Resultado ...)976 ( AB x AC 0+0+0 = 72, Dopal volume (P-ACAB, PP) V = | , AB, R, 0 + 72-0 = 4 = +0+ + -PK -0 +0 = volume= (h - AB x AC 0 Al-win menom!) VA ipaxLCh 7cd 2d (01D 72/12 6 1)=0++(1)8(7 ( ) 72 V(A)CCC2F altura da base, os tings da (0,0 0E dx Desn: fóla puldos Volume (abc) di Le]