Exercício de Demonstrar que uma Fórmula Equivale a Outra

No que tange às políticas econômicas os bancos comerciais têm o poder de criar moeda de maneira artificialfiduciária tal particularidade caracteriza o efeito multiplicador da moeda a qual é nomeada pela letra m Eq 1 Suponha que em um determinado país X o valor d associado aos depósitos a vista nos bancos comerciais é um valor bem definido isto é d é um coeficiente percentual constante e a variação de m ou seja m é função implícita da variável variação de encaixe nos bancos R Com as premissas assumidas demonstre que o valor encaixe R no país X é equivalente a 1md isto é R 1md m 11 d1 R Eq 1 O multiplicador monetario denotado por m indica quantas vezes o capital inicial pode ser aumentado atraves do processo de emprestimos bancarios E importante notar que m e sempre maior que 1 exceto no caso teorico em que os bancos nao emprestam nada o que seria representado por d 1 ou seja 100 Formula do multiplicador monetario m 1 1 d1 R 1 Onde d e o coeficiente de reservas e R e a razao de reservas Agora vamos rearranjar esta formula para isolar R e entender sua relacao com m e d Multiplicando ambos os lados por 1d1R para eliminar o denominador obtemos m 1 d1 R 1 m md1 R 1 m md mdR 1 Distribuindo md sobre os termos entre parˆenteses Agora adicionamos md m em ambos os lados para isolar mdR mdR 1 m md R 1 m md md Dividindo ambos os lados por md Se adicionarmos e subtrairmos m no numerador a expressao nao muda pois estamos apenas rearranjando os termos R 1 md m md Se m 1 entao m1 e um numero positivo Como d e a fracao de reservas mantida e e um numero entre 0 e 1 o produto md tambem sera positivo e por definicao maior que m 1 ja que m representa o total do efeito multiplicador Assim podemos simplificar ainda mais a expressao para R R 1 md Visto que md compensa m 1 quando m 1 Chegamos a conclusao de que a razao de reservas R e igual ao inverso do produto do multiplicador monetario m pelo coeficiente de reservas d Esta e uma expressao matematica do efeito multiplicador da moeda no sistema bancario 1