Física III - Atividades Avaliativas Resolvidas - Lista de Exercícios

Atividades Avaliativas Fısica III Avaliacao 1 1 Duas esferas idˆenticas de massa m estao carregadas com carga q e suspensas por fios isolantes de com primento l O ˆangulo de abertura resultante e 2θ a Mostre que q2 cos θ 16πε0l2mg sen3 θ b Se m 1 g l 20 cm e θ 30 qual e o valor de q 2 Cargas q 2q e 3q sao colocadas nos vertices de um triˆangulo equilatero de lado a Uma carga Q de mesmo sinal que as outras trˆes e colocada no centro do triˆangulo Obtenha a forca resultante sobre Q em modulo direcao e sentido 3 Uma carga Q e distribuıda uniformemente sobre um fio semicircular de raio a Calcule a forca com que atua sobre uma carga de sinal oposto q colocada no centro Avaliacao 2 1 Uma carga negativa fica em equilıbrio quando co locada no ponto medio do segmento de reta que une duas cargas positivas idˆenticas Mostre que essa posicao de equilıbrio e estavel para pequenos deslo camentos da carga negativa em direcoes perpendicu lares ao segmento mas que e instavel para pequenos deslocamentos ao longo dele 2 Um fio retilıneo muito longo trateo como infinito esta eletrizado com uma densidade linear de carga λ Calcule a forca com que atua sobre uma carga puntiforme q colocada a distˆancia ρ do fio 3 Uma partıcula de massa m e carga negativa q esta vinculada a moverse sobre a mediatriz do segmento que liga duas cargas positivas Q separadas por uma distˆancia d Inicialmente a partıcula esta a uma distˆancia y d do centro desse segmento Mostre que ela executa um movimento harmˆonico simples em torno do centro e calcule a frequˆencia angular ω de oscilacao Avaliacao 3 1 Seja E a magnitude do campo num ponto P situ ado a uma distˆancia D de um plano uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ A maior contribuicao para E provem dos pontos mais proximos de P sobre o plano Mostre que a regiao do plano situada a uma distˆancia 2D do ponto P e responsavel pela metade E2 do campo em P 2 Um fio retilıneo de comprimento l esta uniforme mente carregado com densidade linear de carga λ a Calcule o campo eletrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio a uma distˆancia d de sua extremidade b Calcule a magnitude do campo se l d 5 cm e a carga total do fio e de 3 µC 3 Dois fios retilıneos de mesmo comprimento a sepa rados por uma distˆancia b estao uniformemente car regados com densidades lineares de carga λ e λ Calcule o campo eletrico no centro P do retˆangulo de lados a e b Avaliacao 4 1 Um fio quadrado de lado 2l esta uniformemente car regado com densidade linear de carga λ Calcule o campo eletrico num ponto P situado sobre a perpen dicular ao centro do quadrado a distˆancia D do seu plano 2 Uma carga puntiforme q e colocada numa caixa cubica de aresta l Calcule o fluxo do campo eletrico sobre cada uma das faces a Se a carga ocupa o centro do cubo b Se a carga e colocada num dos vertices 3 Dois planos paralelos estao uniformemente carrega dos com densidades superficiais de carga σ e σ respectivamente Calcule o campo eletrico em pon tos acima de ambos abaixo de ambos e entre os dois Represente as linhas de forca nas trˆes regioes Avaliacao 5 1 No modelo classico de J J Thomson para o a atomo de hidrogˆenio a carga e do nucleo era imaginada como estando uniformemente distribuıda no interior de uma esfera de raio a da ordem de 108 cm raio atˆomico e o eletron era tratado como uma carga puntiforme e movendose no interior dessa distri buicao a Calcule o campo eletrico que atuaria sobre o eletron num ponto a distˆancia r a do centro da esfera b Mostre que o eletron poderia moverse radi almente com um movimento harmˆonico simples c Calcule a frequˆencia de oscilacao e compare a com uma frequˆencia tıpica da luz visıvel Essa compilacao de problemas e propriedade intelectual privada Esta proibida sua replicacao eou distribuicao por quaisquer meios Prof Dr Sebastiao Mendanha 2 Uma casca esferica de raio interno b e raio externo c uniformemente carregada com densidade de carga volumetrica ρ envolve uma esfera concˆentrica de raio a tambem carregada uniformemente com a mesma densidade de carga Calcule o campo eletrico nas quatro regioes diferentes do espaco 0 r a a r b b r c c r 3 Uma distribuicao de carga esfericamente simetrica tem densidade volumetrica de carga dada por ρr ρ0 expra 0 r onde ρ0 e uma constante e r e a distˆancia a origem a Calcule a carga total da distribuicao b Calcule o campo eletrico num ponto qual quer do espaco Avaliacao 6 1 Uma camada carregada infinita compreendida entre os planos y a e y a tem densidade volumetrica de carga ρ constante Nao ha cargas fora dela a Calcule o campo eletrico E dentro acima e abaixo da camada b Verifique que E satisfaz a equacao de Pois son 2 Uma esfera uniformemente carregada com densidade volumetrica ρ contem em seu interior uma cavidade esferica Mostre que o campo no interior da cavi dade e uniforme e e dado por E ρd 3ε0 onde d e o vetor que liga os centros das duas esferas 3 Um cilindro circular muito longo de raio R esta uni formemente carregado com densidade volumetrica de carga δ a Por argumentos de simetria explicandoos obtenha a direcao e o sentido do campo E num ponto P a distˆancia ρ do eixo do cilindro e sua dependˆencia das coordenadas cilındricas ρ φ z b Calcule E num ponto P interno ao cilindro 0 ρ R c Esboce um grafico de E em funcao de ρ Avaliacao 7 1 Um par de cargas puntiformes 2q e q estao sepa radas por uma distˆancia l Mostre que a superfıcie equipotencial V 0 e uma esfera e determine o seu centro e raio 2 Uma esfera de raio R esta uniformemente carregada com carga total q a Determine o potencial V em pontos inter nos e externos a esfera e trace um grafico de V em funcao da distˆancia ao centro b Tomando q e com uma carga punti forme e no centro da esfera como modelo para o atomo de hidrogˆenio qual e a expressao do poten cial nesse caso 3 Uma carga puntiforme q encontrase no prolonga mento do eixo de um dipolo de momento p a uma distˆancia z do dipolo muito maior que as dimensoes do mesmo a Calcule a energia potencial da carga no campo eletrostatico do dipolo b Calcule a forca exercida pela carga sobre o dipolo c A molecula de HCl e polar com momento de dipolo permanente de 3481030 Cm Com que forca atua sobre um eletron alinhado com ela a uma distˆancia de 10 A A forca e atrativa ou repulsiva Avaliacao 8 1 Calcule a energia potencial de interacao entre dois dipolos p1 e p2 sendo r o vetor de posicao de p2 em relacao a p1 com r muito maior que as dimensoes dos dipolos a Obtenha o resultado geral b Particularize para dipolos alinhados com r paralelos ou antiparalelos c Particularize para dipolos perpendiculares a r paralelos ou antiparalelos Qual das quatro si tuacoes em b e c e energeticamente favorecida d Nesse caso mais favorecido calcule a ener gia de interacao dipolar entre duas moleculas de agua a distˆancia de 5 A uma da outra e comparea com a energia termica kT a temperatura ambiente O momento de dipolo eletrico permanente de uma molecula de agua e de 6 2 1030 C m 2 Uma casca hemisferica de raio R esta uniformemente carregada com carga positiva de densidade superfi cial σ a Encontre o potencial V 0 no ponto central O tomando V 0 b Uma partıcula de massa m e carga q positiva e colocada no ponto O e largada a partir do repouso A que velocidade a partıcula tendera quando se afas tar muito de O 3 Um balao de borracha de raio R esta carregado com carga Q distribuıda uniformemente sobre sua su perfıcie a Determine a energia eletrostatica total con tida no campo b Calculando a variacao dessa energia para uma variacao infinitesimal dR do raio demonstre que a forca eletrostatica radial por unidade de area na superfıcie do balao e igual a densidade de energia eletrostatica na superfıcie Avaliacao 9 1 Dois capacitores de capacitˆancias C e 2C estao car regados com a mesma carga Q e inicialmente isolados um do outro Se as placas negativas de ambos forem ligadas a terra e as positivas ligadas uma a outra a Qual sera o potencial final das placas posi tivas b Qual e a variacao de energia neste processo c O que acontece com essa energia Essa compilacao de problemas e propriedade intelectual privada Esta proibida sua replicacao eou distribuicao por quaisquer meios Prof Dr Sebastiao Mendanha 2 Um capacitor de placas paralelas de área A e espaçamento D tem inserida entre elas uma lâmina de dielétrico de mesma área A de constante dielétrica κ e espessura d D Demonstre que a capacitância do sistema é a mesma que a de um capacitor de espaçamento D d com ar entre as placas em série com um capacitor de espaçamento d todo preenchido com o dielétrico de constante dielétrica κ 3 O espaço entre as placas de área A de um capacitor plano está preenchido por duas camadas dielétricas adjacentes de espessuras d₁ e d₂ e constantes dielétricas κ₁ e κ₂ respectivamente A diferença de potencial entre as placas é V e o campo aponta de 1 para 2 Encontre a A capacitância C do capacitor b A densidade superficial de carga livre σ nas placas 4 Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica κ de raio a está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga ρ a Calcule o vetor campo elétrico E dentro e fora da esfera b Encontre a diferença de potencial V entre o centro e a superfície da esfera Avaliação 10 1 Um cilindro metálico carregado de 5 cm de raio deslocase ao longo do seu eixo com uma velocidade constante de 10 cms O campo elétrico radial produzido pelas cargas na superfície lateral do cilindro é de 500 Vcm Qual é a intensidade da corrente devida ao movimento do cilindro 2 A condutividade de um cilindro de comprimento l e área de secção transversal S cresce linearmente com a distância assumindo o valor σ₀ numa extremidade e σ₁ na outra Calcule a resistência total do cilindro 3 O campo elétrico médio na atmosfera perto da superfície terrestre é de 100 Vm dirigido para a Terra A corrente média de íons que atinge a totalidade da superfície da Terra é de 1800 A Supondo que a distribuição da corrente é isotrópica calcule a condutividade do ar na vizinhança da superfície da Terra Avaliação 11 1 Uma bússola tende a oscilar antes de alinharse com o campo magnético da Terra Considere uma agulha imantada de momento de dipolo magnético m e momento de inércia I suspensa de forma a poder oscilar livremente em torno de um eixo vertical situada num campo magnético horizontal uniforme B₀ As direções de m e B₀ formam inicialmente um pequeno ângulo θ₀ Calcule a frequência angular de oscilação desprezando o amortecimento e mostre que sua determinação permite medir m B₀ 2 A agulha imantada do problema anterior também produz um campo magnético que só difere do campo de um dipolo elétrico p pelas substituições p m ε₀ 1μ₀ onde μ₀ é uma constante permeabilidade magnética do vácuo a Usando esse resultado determine o campo magnético B em módulo direção e sentido produzido pela agulha num ponto P situado em seu prolongamento a uma distância d da agulha b Suponha que com a agulha imobilizada numa direção horizontal perpendicular ao campo magnético B₀ da Terra outra agulha imantada seja trazida para o ponto P definido na parte a ficando sujeita aos campos B e B₀ Determine o ângulo α entre a orientação de equilíbrio da segunda agulha e B₀ Mostre que medindoo podese determinar a razão mB₀ Combinando esse resultado com o do problema anterior obtémse os valores de m e de B₀ Esse método é devido a Gauss 3 Considere uma espira circular de raio a suspensa por um fio vertical V V de constante de torção k situada num campo magnético B uniforme com a orientação inicial paralela ao plano da espira e perpendicular ao fio V V O momento de inércia da espira em relação ao eixo V V é I Fazse passar através da espira um pulso rápido de corrente de duração t e intensidade máxima i tão curto que a espira não tem tempo de se mover durante o tempo t Mostre que o ângulo de deflexão máximo do plano da espira θ₀ é proporcional à carga total q it contida no pulso Este é o princípio do galvanômetro balístico Avaliação 12 1 Dois fios retilíneos paralelos muito longos tratados como infinitos separados por uma distância 2b transportam correntes de mesma intensidade i em sentidos opostos um é o retorno do outro Considere um ponto P qualquer do plano dos fios Sobre a perpendicular aos fios que passa por P tome a origem O a meio caminho entre os fios e seja x a abcissa de P em relação a O a Calcule a magnitude Bx do campo magnético em P para x b supõese que a distância de P a cada fio é muito maior que o diâmetro do mesmo b Idem para x b c Trace um gráfico qualitativo de Bx 2 Uma espira em forma de retângulo de lados 2a e 2b transporta uma corrente de intensidade i a Calcule a magnitude do campo magnético no centro do retângulo b Tome o limite do resultado para a b e discuta a relação com o resultado encontrado no problema anterior 3 Uma espira retangular de lados a e b é percorrida por uma corrente i Calcule a força F exercida sobre ela por um fio retilíneo muito longo que transporta uma corrente i situado à distância d da espira dê módulo direção e sentido de F Avaliacao 13 1 Duas bobinas circulares coaxiais idˆenticas de es pessura desprezıvel com N espiras de raio a em cada bobina transportam correntes de mesma in tensidade i e mesmo sentido e estao colocadas uma acima da outra com seus centros C e C separados por uma distˆancia a Considere o campo Bz ao longo do eixo na vizinhanca do ponto medio O do segmento C C tomado como origem a Calcule BO b Mostre que d BO dz d2 BO dz2 0 Daı resulta que esse dispositivo bobinas de Helmholtz produz um campo muito proximo de um campo uniforme na vizinhanca da regiao central 2 Considere um solenoide finito de raio a e compri mento L com n espiras por unidade de compri mento percorrido por uma corrente i Tome a ori gem O no centro do solenoide com eixo x ao longo do eixo de simetria do cilindro a Calcule a magnitude Bx do campo magnetico num ponto do eixo a distˆancia x do cen tro tanto dentro como fora do solenoide Quais os valores no centro e nas extremidades b Obtenha e interprete o comportamento de Bx para x a e x L 3 Um disco circular de material isolante com raio R e espessura desprezıvel esta uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ e gira em tomo do seu eixo com velocidade angular ω a Calcule o campo B no centro do disco b Calcule o momento de dipolo magnetico m associado a rotacao do disco Avaliacao 14 1 Uma barra metalica horizontal P Q de compri mento l e massa m escorrega com atrito desprezıvel sobre dois trilhos verticais unidos por uma haste ho rizontal fixa de resistˆencia R A resistˆencia da barra e dos trilhos pode ser desprezada em confronto com R O conjunto esta situado num campo magnetico B horizontal uniforme orientado para dentro do plano a Qual e o sentido da corrente induzida b Qual e a aceleracao da barra c Com que velocidade terminal v0 ela cai d Qual e o valor correspondente da corrente 2 Uma espira retangular de lados 2a e 2b esta no mesmo plano que um par de fios paralelos muito longos que transportam uma corrente I em senti dos opostos um e o retorno do outro O centro da espira esta equidistante dos fios cuja separacao e 2d Calcule a indutˆancia mutua entre a espira e o par de fios 3 Uma espira circular de raio a tem no seu centro uma outra espira circular de raio b a Os planos das duas espiras formam entre si um ˆangulo θ Calcule a indutˆancia mutua entre elas Avaliacao 15 1 Calcule a indutˆancia mutua entre uma espira circu lar de raio a e um fio retilıneo coplanar muito longo que transporta corrente i e esta a distˆancia b do cen tro da espira 2 Calcule a autoindutˆancia de uma bobina toroidal de seccao quadrada com lado L e de raio medio R 3 Uma pequena espira circular de raio a percorrida por uma corrente i desliza com velocidade v constante ao longo do eixo de outra espira circular de raio b a e resistˆencia R aproximandose dela com os planos das duas espiras paralelos Calcule a corrente indu zida na espira de raio b para uma distˆancia z a entre os centros das duas espiras Qual e o sentido relativo das correntes nas duas espiras Avaliacao 16 1 Duas bobinas de autoindutˆancias L1 e L2 respecti vamente e indutˆancia mutua L12 estao ligadas em serie Mostre que a indutˆancia do sistema e dada por L L1 L2 2L12 e discuta a origem do duplo sinal no ultimo termo 2 Uma espira retangular de lados a e b de resistˆencia R cai num plano vertical e atravessa uma camada onde existe um campo magnetico B uniforme e ho rizontal a Obtenha a forca magnetica F modulo direcao sentido que atua sobre a espira enquanto ela ainda esta penetrando no campo num instante em que sua velocidade de queda e v b Repita o calculo num instante posterior em que a espira ainda esta saindo do campo e sua velo cidade e v 3 Uma espira retangular de lados a e b afastase com velocidade v vˆx de um fio retilıneo muito longo que transporta corrente contınua de intensidade i A espira tem resistˆencia R e autoindutˆancia des prezıvel No instante considerado sua distˆancia ao outro fio e x a Calcule o fluxo φ de B atraves da espira nesse instante b Calcule a magnitude i e o sentido do per curso da corrente induzida na espira nesse instante xxxxx Essa compilacao de problemas e propriedade intelectual privada Esta proibida sua replicacao eou distribuicao por quaisquer meios Prof Dr Sebastiao Mendanha 1111 Usando 2ª leip votação Bo A mixBo A a pj NÃ mBosengê qe Ê Iam B sono p pequenas oscilações afIIT SMP 00 W 2ND IXIMBA O v 177 equação Firação 12 70 0 1102 Como M IA P 3 AT i Fae y E pft dê a d pdoô difEiff EMffdoaxl pitdilf ffffdooxitpdodoxie dB MEio oi dfl B Miitpdoitfadá C a foi afdoi PAR Naodivãos campo Nulo 5 MEEifi IH Como é MÁFFE LIFAJÉ iriei b B NBot Às o condição de equilíbrio EI E MIXÃO ME B O MaBa ma Ma B sem 90 2 o los α está no sentido contraio a ê Me Bosina MB los a BB0 snd wod tgd tgd μ0m 2πd³ B0 α arc tg μ0m 2π d³ B0 Temos HEE iii mixB meia iria Nimbsmo IntimTArterque devido ao campo Avariação do momento angulal na espires é Ada espiragina AL NAT surgeon torque LeitãBt restaurador tâB f Ko Lanálogo a Força JEF restaurador domola Esse momento angular O trabalho desse leva a espira a girar torque é dado V Saido V Já dá Usando teorema trabalho energia KGdo WAT NIETO v1 nã N To If Mas wwwI IW DWIL To IeE jf eE a 1 EFE 12 01 ep 08 Pela Lei de Ampère c B de μ0 i B₁ 2πs₁ μ0 i B₁ μ0 i2πbx B de μ0 i B₂ 2πs₂ μ0 i B₂ μ0 i2πbx B₀ μ0 i2π 1bx 1bx μ0 i2π bx bxb²x² Bᵣ μ0 i bπb²x² BR B₁ B₂ Bᵣ B₁ B₂ Pela Lei de Ampère C Bdℓ μ₀ i B₁2πbx μ₀ i B₁ μ₀ i 2π bx B₂2πxb μ₀ i B₂ μ₀ i 2π xb BR μ₀ i 2π 1bx 1xb μ₀ i 2π xbbxx² b² μ₀ i b π x² b² BR B₁ B₂ BR B₁ B₂ BR μ₀ i b π b² x² 1202 2b A Babi atfit no 2ª e i a 15 1 145 7 dB fi difI iii AP EHHEir ei Ter MIMIMI i dj xiiilla F Fazendo tgo Biffattín dx dseciodo iiliEE tão a efffarado sofá BME EIi FEatiet oJi a h B METÍA Assim BI 4 BatBI AFFENHEITEI fi rt Hi FFyiHIBr poiIf v12 a Para ah B R foi E Nji Que é o mesmo resultado obtido p o campo na posição média entre dois fios infinitos 12 03 a it 4 3 Ii i 71 a Ocamponofioidadopelaleidempafbde pai Já a força Bfal foi exercida por esse fio mim LarBipoi segmento da espiã B Não diidexB Com isso temos F ipodéxB it deixB faixB falixB falixB Pela simetria as integrais em des e des se cancelam Portanto temos F if dialxi IdintxB Bconstantet saída bj integral bj F ifbjiz bjxBJ ibjxtbby Mas B III e Biçãi Assim F projfátitá ta Ereis b 1 R a Pela lei de Lenz Who i ado a barra desce a Pisássemosat área aumenta conseg v0 o fluxo Para se opor a esse aumento de furto VÊ a corrente deve ser no sentido anti horário b PÉ Ii F LixB FR P F P ing ma myLIB a g 11 Como 8 11 01T B A Bldf BLE RISIBE Assim a g B LE Ela c P velocidade terminal a o Portando mg ILB mg BLI MEIA d i RE i BEI O Ocam na região ç D da espiramenaé µ é dado por Biff 1 logo fooé B Aliso ftprbloo Assim FElra 151 Â i b Ão da Pela lei deAmpere na região do espira BM EE Já o fluxo fica do Bex da losco Afrodr Mas barlow do ME Fita F fritem o Fazendo b treno bf er senta rter sim Copa btn seiE b r bar 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