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EDO Aula 11 Sequências e Séries Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás Prof Marcelo Lopes Ferro Sequências e Séries Definição Uma sequência de números reais é uma função a N R definida no conjunto N 1 2 3 dos números naturais e tomando valores no conjunto R dos números reais O valor an para todo n N será representado por an e chamado o termo de ordem n ou nésimo termo da sequência Notação Escrevemos a1 a2 a3 an ou annN ou simplesmente an para indicar uma sequência Sequências e Séries Exemplos 1 1 1 1 1 ou 1m1 2 1 frac12 frac13 ou frac1m 3 1 2 4 8 ou 2m1 Convergência e Divergência Um número a é limite de uma sequência an e escrevemos a lim n an ou simplesmente a lim an quando para cada número real ε 0 dado arbitrariamente for possível obter um número real n₀ ℕ tal que an a ε sempre que n n₀ Observação 1 Quando existir a tal que a lim an então dizemos que a sequência an é convergente 2 Quando não existir a tal que a lim an então dizemos que a sequência an é divergente Definição Seja an uma sequência Usando os termos dessa sequência definimos uma nova sequência sn cujos elementos são s₁ a₁ s₂ a₁ a₂ s₃ a₁ a₂ a₃ sₙ a₁ a₂ an que chamamos de somas parciais ou reduzidas Definimos a série de termo geral an como lim n sn Notação n1 an a₁ a₂ a₃ an ou simplesmente an a₁ a₂ a₃ an Sequenças e Séries Sm aj ay am Observação Quando existe s lim sn então dizemos que a série é convergente e escrevemos s n1 an a1 a2 a3 an ou simplimente s an a1 a2 a3 an Caso contrário dizemos que a série é divergente Sequenças e Séries L limn an1an Teste da Razão Dada uma série an Temos i Se limn an1an L 1 então a série an é absolutamente convergente e portanto convergente ii Se limn an1an L 1 ou limn an1an então a série an é divergente iii Se limn an1an 1 o Teste da Razão é inconclusivo ou seja nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência ou divergência de an Sequenças e Séries L limn sqrtnan Teste da Raiz Dada uma série an Temos i Se limn sqrtnan L 1 então a série an é absolutamente convergente e portanto convergente ii Se limn sqrtnan L 1 ou limn sqrtnan então a série an é divergente iii Se limn sqrtnan 1 o Teste da Raiz não é conclusivo Sequências e Séries Convergência Raio de Convergência Se summ0infty cm xam converge em xaR então uma série pode ou não convergir nas extremidades Isto pode ocorrer A convergência de uma série de potências pode frequentemente ser determinada pelo teste da razão Considera o summ0infty cm xam Seja L limm o infty fracam1am onde am Cm xam Exemplos Determino o raio de convergência e o intervalo de convergência da série summ1infty fracx3mm L limm o infty left fracx3m1m1 cdot fracmx3m right limm o infty x3 cdot fracmm1 Sequências e Sérias 1 x 1 Uma série de Potências Representa uma Função OBS m1 2 m cm xm1 2 JC x1 m0 6 cm xm1 Km1 2 c1 K1 2 k1 ck1 xk K1 6 ck1 xk Sequências e Séries Solução para uma EDO em Séries de Potências Sabemos que y ex2 é solução da EDO y 2xg 0 1 Como eμ m0 fracμmm Rightarrow y m0 fracx2mm em ℝ soluções de 1 como uma série de potências Observações que estamos entendo Determinamos a solução da EDO comparando com a EDO y 2y 0 fazemos uma reflexão gfx que é uma série de potências y m1 m cm xm1 2y 0 comparando com m1 m cm xm1 0 C1 K1 leftk1 Ck1 2 Ck1right xk 0 y Cm xm C0 C1 x C2 x2 C3 x3 C4 x4 C5 x5 C6 x6 y y 0 4y y 0 y Cm xm 2 4y y 0 4 kαk1Ck xk 0 y C0 ex2 Exercício 1 y 2xy 0 Exercício 2 x² 1y xy y 0 EDO
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EDO Aula 11 Sequências e Séries Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás Prof Marcelo Lopes Ferro Sequências e Séries Definição Uma sequência de números reais é uma função a N R definida no conjunto N 1 2 3 dos números naturais e tomando valores no conjunto R dos números reais O valor an para todo n N será representado por an e chamado o termo de ordem n ou nésimo termo da sequência Notação Escrevemos a1 a2 a3 an ou annN ou simplesmente an para indicar uma sequência Sequências e Séries Exemplos 1 1 1 1 1 ou 1m1 2 1 frac12 frac13 ou frac1m 3 1 2 4 8 ou 2m1 Convergência e Divergência Um número a é limite de uma sequência an e escrevemos a lim n an ou simplesmente a lim an quando para cada número real ε 0 dado arbitrariamente for possível obter um número real n₀ ℕ tal que an a ε sempre que n n₀ Observação 1 Quando existir a tal que a lim an então dizemos que a sequência an é convergente 2 Quando não existir a tal que a lim an então dizemos que a sequência an é divergente Definição Seja an uma sequência Usando os termos dessa sequência definimos uma nova sequência sn cujos elementos são s₁ a₁ s₂ a₁ a₂ s₃ a₁ a₂ a₃ sₙ a₁ a₂ an que chamamos de somas parciais ou reduzidas Definimos a série de termo geral an como lim n sn Notação n1 an a₁ a₂ a₃ an ou simplesmente an a₁ a₂ a₃ an Sequenças e Séries Sm aj ay am Observação Quando existe s lim sn então dizemos que a série é convergente e escrevemos s n1 an a1 a2 a3 an ou simplimente s an a1 a2 a3 an Caso contrário dizemos que a série é divergente Sequenças e Séries L limn an1an Teste da Razão Dada uma série an Temos i Se limn an1an L 1 então a série an é absolutamente convergente e portanto convergente ii Se limn an1an L 1 ou limn an1an então a série an é divergente iii Se limn an1an 1 o Teste da Razão é inconclusivo ou seja nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência ou divergência de an Sequenças e Séries L limn sqrtnan Teste da Raiz Dada uma série an Temos i Se limn sqrtnan L 1 então a série an é absolutamente convergente e portanto convergente ii Se limn sqrtnan L 1 ou limn sqrtnan então a série an é divergente iii Se limn sqrtnan 1 o Teste da Raiz não é conclusivo Sequências e Séries Convergência Raio de Convergência Se summ0infty cm xam converge em xaR então uma série pode ou não convergir nas extremidades Isto pode ocorrer A convergência de uma série de potências pode frequentemente ser determinada pelo teste da razão Considera o summ0infty cm xam Seja L limm o infty fracam1am onde am Cm xam Exemplos Determino o raio de convergência e o intervalo de convergência da série summ1infty fracx3mm L limm o infty left fracx3m1m1 cdot fracmx3m right limm o infty x3 cdot fracmm1 Sequências e Sérias 1 x 1 Uma série de Potências Representa uma Função OBS m1 2 m cm xm1 2 JC x1 m0 6 cm xm1 Km1 2 c1 K1 2 k1 ck1 xk K1 6 ck1 xk Sequências e Séries Solução para uma EDO em Séries de Potências Sabemos que y ex2 é solução da EDO y 2xg 0 1 Como eμ m0 fracμmm Rightarrow y m0 fracx2mm em ℝ soluções de 1 como uma série de potências Observações que estamos entendo Determinamos a solução da EDO comparando com a EDO y 2y 0 fazemos uma reflexão gfx que é uma série de potências y m1 m cm xm1 2y 0 comparando com m1 m cm xm1 0 C1 K1 leftk1 Ck1 2 Ck1right xk 0 y Cm xm C0 C1 x C2 x2 C3 x3 C4 x4 C5 x5 C6 x6 y y 0 4y y 0 y Cm xm 2 4y y 0 4 kαk1Ck xk 0 y C0 ex2 Exercício 1 y 2xy 0 Exercício 2 x² 1y xy y 0 EDO