Integração Numérica: Regra do Trapézio e Métodos Aproximados

unidade 4 Integração Numérica Regra do trapézio Integral definida Do Cálculo Diferencial e Integral sabemos que se fx for contínua em a b e com primitiva Fx conhecida então a integral definida de fx neste intervalo é 𝐼 න 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑏 𝐹𝑎 Onde 𝑑 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝐹 𝑥 𝑓𝑥 Integração numérica Regra do Trapézio 2 I representa a área entre o eixo x e o gráfico de fx Integral definida Por exemplo a primitiva da função 𝑓 𝑥 𝑥3 𝑒𝑥 𝐹 𝑥 න𝑓𝑥 𝑑𝑥 න 𝑥3 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥4 4 𝑒𝑥 𝑐 A integral de fx no intervalo 0 1 será න 0 1 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐹 1 𝐹 0 197 Integração numérica Regra do Trapézio 3 196828 Integral definida E se a função fx não tiver uma primitiva conhecida 𝑓 𝑥 𝑒𝑥2 𝑓 𝑥 𝑒𝑥2 𝑓 𝑥 cos 𝑥2 𝑓 𝑥 1 𝑥4 E se a fx for um função bem complicada 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 𝑒𝑥 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 E se a função fx nem for conhecida e o que você tem é apenas são 𝑛 pontos 𝑥𝑖 𝑦𝑖 dessa função Integração numérica Regra do Trapézio 4 Método de integração numérica Nesses casos a integral exata 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 será aproximada usando integração numérica onde a integral definida é aproximada por uma soma finita com os 𝑥𝑖 escolhidos adequadamente Integração numérica Regra do Trapézio 5 𝐸𝑛 Método de integração numérica a Regra de Quadratura de NewtonCotes Usam a função integrante fx em x0 x1xn igualmente espaçados Os mais comuns são regra do trapézio 1ª regra de Simpson e 2ª regra de Simpson b Método da Quadratura Gaussiana O método usa pontos 𝑥𝑖 não igualmente espaçados escolhidos adequadamente de uma tabela usando critérios bem definidos Integração numérica Regra do Trapézio 6 Regra de NewtonCôtes A Regra de Quadratura de NewtonCotes em homenagem à Isaac Newton e Roger Cotes usa um polinômio interpolador de grau 𝑛 para aproximar a função fx que deseja integrar Pode ser usado qualquer um dos polinômio interpoladores que vimos Lagrange Newton ou GregoryNewton Como os valores de 𝑥𝑖 são igualmente espaçados para demonstração do método é preferível usar o polinômio interpolador de GregoryNewton Integração numérica Regra do Trapézio 7 Regra de NewtonCôtes Polinômio interpolador de GregoryNewton 𝑃𝑛 𝑧 𝑦0 𝑦0 1 𝑧 2𝑦0 2 𝑧 𝑧 1 𝑛𝑦0 𝑛 𝑧 𝑧 1 𝑧 𝑛 1 𝑅𝑛 𝑧 𝑥 𝑥0ℎ é a variável auxiliar 𝑅𝑛 erro de truncamento do polinômio 𝑅𝑛 𝑧 𝑧 1 𝑧 2 𝑧 𝑛 ℎ𝑛1 𝑛 1 𝑓 𝑛1 𝜀 𝑥0 𝜀 𝑥𝑛 Integração numérica Regra do Trapézio 8 A regra dos trapézios usa dois pontos x0 y0 e x1 y1 para aproximar a função fx por um polinômio linear 𝑓 𝑥 𝑃1 𝑥 𝑦0 𝑦0𝑧 integrando esse polinômio Barroso pag 107 temos 𝐼 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑎 𝑏 𝑃1 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑎 𝑏 𝑦0 𝑦0𝑧 𝑑𝑥 ℎ 2 𝑦0 𝑦1 Regra do Trapézio Integração numérica Regra do Trapézio 9 Regra do Trapézio Simples DEFINIÇÃO Sejam dois pontos distintos x0 y0 e x1 y1 de uma função 𝑓𝑥 A integral de 𝑓 𝑥 no intervalo no intervalo a b é aproximada por 𝐼 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ℎ 2 𝑦0 𝑦1 Integração numérica Regra do Trapézio 10 Exemplo 1 Seja a função 𝑓 𝑥 1𝑥 dê o valor aproximado da integral de fx no intervalo de 3 36 usando a regra do trapézio simples Integração numérica Regra do Trapézio 11 Solução h 36 3 06 𝐼 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ℎ 2 𝑦0 𝑦1 න 3 36 1 𝑥 𝑑𝑥 06 2 13 136 018333 Note que o resultado acima está bem próximo da integral exata O erro de aproximação E VE VA 0182322 018333 0001008 න 3 36 1 𝑥 𝑑𝑥 ln 3 ln36 0182322 Integração numérica Regra do Trapézio 12 x 3 36 y 1x 13 136 Regra do Trapézio Composta Vamos dividir o intervalo a b em M 4 subintervalos iguais de forma que a x0 x1 x2 x3 x4 b e aplicar a regra do trapézio simples em cada subintervalo Integração numérica Regra do Trapézio 13 𝐼1 ℎ 2 𝑦0 𝑦1 𝐼2 ℎ 2 𝑦1 𝑦2 𝐼2 ℎ 2 𝑦2 𝑦3 𝐼4 ℎ 2 𝑦3 𝑦4 𝐼 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 I ℎ 2 𝑦0 2𝑦1 2𝑦2 2𝑦3 𝑦4 x0 x1 x2 x3 x4 y0 y1 y4 y3 y2 Regra do Trapézio Composta Dividindo o intervalo a b em M subintervalos iguais a ℎ 𝑏 𝑎𝑀 e aplicando a regra do trapézio simples em cada subintervalo temos a regra do trapézio composta 𝐼 ℎ 2 𝑦0 2𝑦1 2𝑦2 2𝑦𝑀1 𝑦𝑀 𝐼 ℎ 2 𝑖1 𝑀 𝑐𝑖𝑦𝑖 Integração numérica Regra do Trapézio 14 𝑐𝑖 coeficientes de NewtonCotes da Regra do Trapézio 1222 21 Exemplo 2 Dê o valor aproximado da integral de fx 1x no intervalo de 3 36 usando o método de trapézio com a quatro subintervalos iguais b seis subintervalos iguais use o Excel Integração numérica Regra do Trapézio 15 Solução a M 4 h b aM 36 34 015 𝐼 ℎ 2 𝑦0 2𝑦1 2𝑦2 2𝑦3 𝑦4 015 2 1 3 2 315 2 33 2 345 1 36 0182385 O erro de aproximação foi E VE VA 0182322 0182385 63 x 105 Integração numérica Regra do Trapézio 16 x 3 315 33 345 36 y 1x 13 1315 133 1345 136 Solução b M 6 h b aM 36 36 01 𝐼 ℎ 2 𝑦0 2𝑦1 2𝑦2 2𝑦3 2𝑦4 2𝑦5 𝑦6 0182350 Integração numérica Regra do Trapézio 17 Erro de Aproximação Podese demonstrar Barroso pag 210 213 que o erro de aproximação E VE VA da regra de trapézio é dado por 𝐸 𝑏 𝑎 3 12𝑀2 𝑓 𝜀 𝑎 𝜀 𝑏 onde M quantidade de subintervalos onde M 1 para regra do trapézio simples 𝜀 valor em a b onde a segunda derivada f apresenta o seu maior valor absoluto Integração numérica Regra do Trapézio 18 Erro de Aproximação 𝐸 𝑏 𝑎 3 12𝑀2 𝑓 𝜀 Se a função fx for um polinômio de grau 1 a regra do trapézio dará o valor exato da integral f 0 Se a função tiver concavidade para cima f 0 a regra dará uma integral aproximada maior e com concavidade para baixo f 0 dará uma integral menor Integração numérica Regra do Trapézio 19 f 0 f 0 Exemplo 3 Volte ao exemplo 2 com fx 1x calcule a o erro na aproximação usando a fórmula do E com M 4 b a quantidade de subintervalos necessário para garantir um erro de no máximo 106 Integração numérica Regra do Trapézio 20 Solução a Erro na aproximação 𝐸 𝑏 𝑎 3 12𝑀2 𝑓 𝜀 𝜀 𝑎 𝑏 Segunda derivada de f fx f 1x2 f 2x3 A segunda derivada f 2x3 tem valor máximo em módulo em x 3 faça o esboço do gráfico de f para você ver isso Então o erro máximo de E em módulo será 𝐸 𝑏 𝑎 3 12𝑀2 𝑓 𝜀 36 3 3 12 42 2 33 00000833 833 105 Integração numérica Regra do Trapézio 21 Solução b Ainda continuando que f tem valor máximo em módulo em x 3 vamos determinar a quantidade M de subintervalos de forma que o erro de aproximação seja de no máximo 106 𝐸 36 3 3 12𝑀2 2 33 106 𝑀2 36 3 3 12 106 2 33 133333 𝑀 365 37 Será necessário dividir o intervalo 3 36 em 37 subintervalos iguais no mínimo Integração numérica Regra do Trapézio 22 Exemplo 4 O trabalho W realizado por uma força variável fx para mover um objeto de um ponto 𝑥 𝑎 até 𝑥 𝑏 é dado pela integral 𝑊 න 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 Supondo que pontos 1 21 15 27 2 32 25 26 e 3 46 representam a distância x em metros e a força y em Newton medidos ao mover o objeto determine o valor aproximado do trabalho necessário para levar o objeto de x 1 a x 3 metros usando a regra do trapézio RESPOSTA 592 Nm 592 Joule Integração numérica Regra do Trapézio 23 Exemplo 5 Se os pontos 07 118 08 112 09 103 1 091 11 077 14 028 17 019 e 2 054 são da função fx determine o valor aproximado da integral da função 𝑓 𝑥 no intervalo 07 2 usando a regra do trapézio RESPOSTA 0464275 Integração numérica Regra do Trapézio 24 Solução Vamos colocar os valores em uma tabela Repare que a tabela tem intervalo com espaçamento diferentes entre os valores de x h 01 de 07 a 11 e h 03 de 11 a 2 Uma solução é particionar a integral já que o método trabalha apenas com espaçamento iguais 𝐼 න 07 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 න 07 11 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 න 11 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0402775 00615 0464275 Integração numérica Regra do Trapézio 25 x 07 08 09 10 11 14 17 2 y 118 112 103 091 077 028 019 054 Exemplo 6 Calcule a integral usando seis intervalos iguais න 1 4 sen2 𝑥 cos 𝑥2 𝑒𝑥 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 RESPOSTA 198493 Integração numérica Regra do Trapézio 26 Solução Integração numérica Regra do Trapézio 27 Exemplo 7 Dê o comprimento do arco da curva 𝑦 𝑥32 no intervalo no intervalo 1 2 como mostrado na figura abaixo usando a regra do trapézio com 5 subintervalos iguais Integração numérica Regra do Trapézio 28 Comprimento de arco Se g é contínua em a b então o comprimento de arco da curva gt a t b é dado pela integral 𝐿 𝑎 𝑏 1 𝑔𝑡 2 𝑑𝑡 DICA y 32x12 RESPOSTA I 208533 Solução Integração numérica Regra do Trapézio 29 Soma de Riemann Revisão Integração numérica Regra do Trapézio 30 Soma de Riemann Do cálculo temos 𝐼 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 lim 𝑛 𝑖1 𝑛 𝑓 𝑥𝑖 𝑥 onde 𝑥 𝑏 𝑎 𝑛 Integração numérica Regra do Trapézio 31 Soma de Riemann revisão Por exemplo suponha que a função fx x3 no intervalo 0 2 será dividida em n 4 intervalos iguais a ℎ 𝑥 2 0 4 05 Integração numérica Regra do Trapézio 32 Soma de Riemann revisão Vamos a Soma de Riemann usando o ponto direito de cada intervalo Integração numérica Regra do Trapézio 33 𝐼 න 0 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑖1 4 ℎ𝑓 𝑥𝑖 05 053 13 153 23 625 Soma de Riemann revisão Vamos a Soma de Riemann usando o ponto esquerdo de cada intervalo Integração numérica Regra do Trapézio 34 𝐼 න 0 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑖1 4 ℎ𝑓 𝑥𝑖1 05 03 053 13 153 225 Soma de Riemann revisão Vamos a Soma de Riemann usando o ponto médio de cada intervalo Integração numérica Regra do Trapézio 35 𝐼 න 0 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑖1 4 ℎ 𝑓 𝑥𝑖1 𝑓 𝑥𝑖 2 05 0253 0753 1253 1753 3875 Soma de Riemann revisão Aumentando a quantidade de subintervalos n a Soma de Riemann converge para o valor exata da integral I න 0 2 𝑥3𝑑𝑥 อ 𝑥4 4 0 2 24 4 04 4 4 Integração numérica Regra do Trapézio 36 Bibliografia Integração numérica Regra do Trapézio 37 BARROSO Leônidas Conceição et al Cálculo Numérico 1987 3ª ed Editora Harbra Ruggiero M A Lopes V L R 2000 Cálculo numérico aspectos teóricos e computacionais Pearson Prentice Hall Cálculo Numérico Um Livro Colaborativo versão octave obtido em wwwufrgsbrreamatCalculoNumericolivrooctmainhtml