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Engenharia de Alimentos ·
Geometria Analítica
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Geometria Analıtica 20232 Aula 5 11102023 Pauta Produto escalar propriedades adicionais desigualdade de Schwarz projecao de vetores equacoes de retas Produto escalar propriedades Dados u v w e k R valem as seguintes propriedades a il ai b vVVu cuVwuVuwW d u kV kit VkuV e a aV com a igualdade se e s6 se a e v forem paralelos f YV a v com igualdade se e s6 se u e v forem paralelos Produto escalar propriedades Dados u v w e k R valem as seguintes propriedades a lull a ui i uju2 i uyur w1u2 u 03 lal b vVVu cuVwuVuwW d u kV kit VkuV e a aV com a igualdade se e s6 se u e v forem paralelos f YV a v com igualdade se e s6 se u e v forem paralelos Produto escalar propriedades Dados u v w e k R valem as seguintes propriedades a lull a ui i uju2 i uyur w1u2 u 03 lal b vVVu i uj u2 v1 v2 B wyu2 V1 v2 wv Fu2V2 Vimy V2U2 V1 V2 u1u2 F td cuVwuVuwW d u kV kit VkuV e a aV com a igualdade se e s6 se a e v forem paralelos f YV a v com igualdade se e s6 se u e v forem paralelos Verificacao propriedade d Esta é a chamada desigualdade de Schwarz Claro é que se u ou for nulo 7 0 e também zv 0 nada havendo a se verificar Supondo u v nao nulos sabemos que uV lulv cos 4 em que 6 é o angulo entre ue v Logo v laII cos A la IVI pois 1 cosé 1 V e 02 Verificacao propriedade d Esta é a chamada desigualdade de Schwarz Claro é que se u ou for nulo 7 0 e também zv 0 nada havendo a se verificar Supondo u v nao nulos sabemos que uV x cos 4 em que 6 é o angulo entre ue v Logo la cos A x pois 1 cos 1 V 0z Ficando provado o teorema Verificacao da propriedade e Esta é a chamada desigualdade triangular Vamos utilizar a desigualdade de Schwarz Primeiramente 0 G G49 HH U4 V 4049 UuuVVuV F P pela propr a la I pela propr b la 2 PII Ja 2aF P pela desigualdade de Schwarz a PII 2 a 9I all PI w FI S laa VI Projecao de vetores Dados i v nao nulos determinar a projecado ortogonal de u sobre V U a Uv a 0 a Angulo agudo b angulo obtuso Projecao de vetores Dados i v nao nulos determinar a projecado ortogonal de V sobre i Distinguir o vetor projecao Pt do escalar P comprimento da sombra Sabemos que Pt w oe a angulo agudo b Angulo obtuso Projecao de vetores v au a Vv au a U U Qu au a V au e u nao ortogonais b au e u ortogonais Esperase para um unico a que Vv au Lu v u v u Vau u0Vuauu0eSa535 uu lull Portanto vei vu lvul lv a Pia e pill a lal z2 Equacoes de retas Questao dados o ponto A1 2 e o vetor u 1 1 encontrar a equacdo de uma reta que contenha o ponto A e seja paralela ao vetor i Por inspegao vése que os pontos B03 e B03 A2 1 C30 pertencem a reta procurada Px y Com efeito C3 0 AB 11a AC 22 24 Afirmamos todo ponto Px y desta reta é tal u que AP a Existe t R tal que s x1r1 x1t APtus S y2t1l y2tteER Equacoes de retas Em xl1t y2ttER t é chamado o parametro Estas sao as equacoes paramétricas da reta Eliminando o parametro obtemse uma equacaéo cartesiana da reta xl1t xy3 y2t Equacoes de retas As equacdes x xoat yyotbttER t SAO as equacOes paramétricas da reta contendo o ponto AXxo yo e com direcao do vetor v ab Eliminando o parametro v ab xXxotat xb 25 w b a yyotbt xXa Ly bxaybxjayo Ax yo eT bx x0 ay yo 0 b a x x0 y yo 0 Conclusao a reta de equacao bx ay c 0 é perpendicular ao vetor b a
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Geometria Analıtica 20232 Aula 5 11102023 Pauta Produto escalar propriedades adicionais desigualdade de Schwarz projecao de vetores equacoes de retas Produto escalar propriedades Dados u v w e k R valem as seguintes propriedades a il ai b vVVu cuVwuVuwW d u kV kit VkuV e a aV com a igualdade se e s6 se a e v forem paralelos f YV a v com igualdade se e s6 se u e v forem paralelos Produto escalar propriedades Dados u v w e k R valem as seguintes propriedades a lull a ui i uju2 i uyur w1u2 u 03 lal b vVVu cuVwuVuwW d u kV kit VkuV e a aV com a igualdade se e s6 se u e v forem paralelos f YV a v com igualdade se e s6 se u e v forem paralelos Produto escalar propriedades Dados u v w e k R valem as seguintes propriedades a lull a ui i uju2 i uyur w1u2 u 03 lal b vVVu i uj u2 v1 v2 B wyu2 V1 v2 wv Fu2V2 Vimy V2U2 V1 V2 u1u2 F td cuVwuVuwW d u kV kit VkuV e a aV com a igualdade se e s6 se a e v forem paralelos f YV a v com igualdade se e s6 se u e v forem paralelos Verificacao propriedade d Esta é a chamada desigualdade de Schwarz Claro é que se u ou for nulo 7 0 e também zv 0 nada havendo a se verificar Supondo u v nao nulos sabemos que uV lulv cos 4 em que 6 é o angulo entre ue v Logo v laII cos A la IVI pois 1 cosé 1 V e 02 Verificacao propriedade d Esta é a chamada desigualdade de Schwarz Claro é que se u ou for nulo 7 0 e também zv 0 nada havendo a se verificar Supondo u v nao nulos sabemos que uV x cos 4 em que 6 é o angulo entre ue v Logo la cos A x pois 1 cos 1 V 0z Ficando provado o teorema Verificacao da propriedade e Esta é a chamada desigualdade triangular Vamos utilizar a desigualdade de Schwarz Primeiramente 0 G G49 HH U4 V 4049 UuuVVuV F P pela propr a la I pela propr b la 2 PII Ja 2aF P pela desigualdade de Schwarz a PII 2 a 9I all PI w FI S laa VI Projecao de vetores Dados i v nao nulos determinar a projecado ortogonal de u sobre V U a Uv a 0 a Angulo agudo b angulo obtuso Projecao de vetores Dados i v nao nulos determinar a projecado ortogonal de V sobre i Distinguir o vetor projecao Pt do escalar P comprimento da sombra Sabemos que Pt w oe a angulo agudo b Angulo obtuso Projecao de vetores v au a Vv au a U U Qu au a V au e u nao ortogonais b au e u ortogonais Esperase para um unico a que Vv au Lu v u v u Vau u0Vuauu0eSa535 uu lull Portanto vei vu lvul lv a Pia e pill a lal z2 Equacoes de retas Questao dados o ponto A1 2 e o vetor u 1 1 encontrar a equacdo de uma reta que contenha o ponto A e seja paralela ao vetor i Por inspegao vése que os pontos B03 e B03 A2 1 C30 pertencem a reta procurada Px y Com efeito C3 0 AB 11a AC 22 24 Afirmamos todo ponto Px y desta reta é tal u que AP a Existe t R tal que s x1r1 x1t APtus S y2t1l y2tteER Equacoes de retas Em xl1t y2ttER t é chamado o parametro Estas sao as equacoes paramétricas da reta Eliminando o parametro obtemse uma equacaéo cartesiana da reta xl1t xy3 y2t Equacoes de retas As equacdes x xoat yyotbttER t SAO as equacOes paramétricas da reta contendo o ponto AXxo yo e com direcao do vetor v ab Eliminando o parametro v ab xXxotat xb 25 w b a yyotbt xXa Ly bxaybxjayo Ax yo eT bx x0 ay yo 0 b a x x0 y yo 0 Conclusao a reta de equacao bx ay c 0 é perpendicular ao vetor b a