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Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prof Levi R Adriano Disciplina Cálculo 3A Turma Engenharia Elétrica 20221 Lista De Recuperação da PROVA 1 Questão 1 Considere o campo vetorial gxyz frr onde f R R é uma função derivável e r xi yj zk Calcule rot g Questão 2 Seja φxy fxy onde fu é uma função real de uma variável real e derivável até a segunda ordem a Se Δφ 0 encontre uma equação diferencial que f deve satisfazer b Utilizando a determine f nãoconstante para que se tenha Δφ 0 Questão 3 Calcule γ dx ydy dz onde γ é a interseção do plano y x com a superfície z x² y² z 2 sendo o sentido do percurso do ponto 112 para o ponto 112 Esboçar a figura Questão 4 Calcule o centro de massa do fio γ t t 2t 3t 0 t 1 com densidade linear δxyz xyz Questão 5 Calcule a integral de linha γ xe²ˣ dx x⁴ 2x² y² dy onde γ é a fronteira da região limitada pelos círculos x² y² 1 e x² y² 4 positivamente orientada Questão 1 Considere o campo vetorial gxyz frr onde f R R é uma função derivável e r xi yj zk Calcule rot g gxyz fx² y² z² x i y j z k gxyz fx² y² z² x i fx² y² z² y j fx² y² z² 3 k x fx² y² z² y fx² y² z² y 2x2x² y² z² fx² y² z² y x x² y² z² z fx² y² z² y f x² y² z² 3y x² y² z² y fx² y² z² x f x² y² z² x y x² y² z² z fx² y² z² x f x² y² z² x 3 x² y² z² x fx² y² z² z f x² y² z² x z x² y² z² y fx² y² z² z f x² y² z² y z x² y² z² rot gxyz y fx² y² z² z z fx² y² z² y i z fx² y² z² x x fx² y² z² z j x fx² y² z² y y fx² y² z² x k rot gxyz 0 Questão 2 Seja φxy fxy onde fu é uma função real de uma variável real e derivável até a segunda ordem a Se Δφ 0 encontre uma equação diferencial que f deve satisfazer b Utilizando a determine f nãoconstante para que se tenha Δφ 0 a φxy fxy Δφ 0 ²φx² ²φy² 0 φx y fxy ²φx² y² fxy φy x fxy ²φy² x² fxy Logo ²φx² ²φy² 0 y² fxy x² fxy 0 x² y² fxy 0 x y 0 ou fxy 0 x y R f satisfaz a equação diferencial y 0 b Se d²fdu² 0 então dfdu a a R Portanto fu au b com a b R tomemos a1 e b0 fuu φxyfxyxy Δφ ²φx² ²φy² 000 Questão 3 Calcule γ dx ydy dz onde γ é a interseção do plano yx com a superfície zx² y² z2 sendo o sentido do percurso do ponto 112 para o ponto 112 Esboçar a figura γ é a interseção de yx e zx² y² yx zx² y² zx² x² 2x² Como 0 z 2 0 2x² 2 0 x² 1 Portanto 1 x 1 Assim γt tt 2t² com 1 t 1 γ1 112 e γ1 112 γ dx ydy dz 1¹ dt t dt 4t dt 1¹ 5 t 1 dt 5 t²2 t 1 ¹ 52 1 52 1 2 Questão 4 Calcule o centro de massa do fio γt t 2t3t 0 t 1 com densidade linear δxyz xyz Seja M a massa deste fio segue que M ₀¹ δγt γt dt ₀¹ 6 t³ 1 2 3 dt 6 ₀¹ t³ 149 dt 6 14 ₀¹ t³ dt 614 t⁴4 ₀¹ 614 14 0 3142 C x y z o centro de massa com x 1M ₀¹ t δγt γt dt x 2314 ₀¹ t6 t³ 1 2 3 dt 2314 ₀¹ 614 t⁴ dt 4 ₀¹ t⁴ dt 4 t⁵5 ₀¹ 45 y 1M ₀¹ 2 t δγt γt dt 2314 ₀¹ 2 t6 t³ 1 2 3 dt 2314 ₀¹ 1214 t⁴ dt 8 ₀¹ t⁴ dt 8 t⁵5 ₀¹ 85 z 1M 01 3t δγt γt dt 2314 01 3t 6t3 123 dt 2314 01 1814 t4 dt 12 01 t4 dt 12 t55 01 125 C 45 85 125 é o centro de massa Questão 5 Calcule a integral de linha γ x e2x dx x4 2x2 y2 dy onde γ é a fronteira da região limitada pelos círculos x2 y2 1 e x2 y2 4 positivamente orientada Pelo Teorema de Green γ x e2x dx x4 2x2 y2 dy R x x4 2x2 y2 y x e2x dA R 4x3 4xy2 dA 4 R x x2 y2 dA Tomemos x r cosθ com 0 θ 2π y r senθ 1 r 2 Portanto γ x e2x dx x4 2x2 y2 dy 02π 12 r cosθ r2 cos2 θ r2 sen2 θ r dr dθ 02π12 r3cosθ dr dθ 02π r4cosθ4 21 dθ 02π 16cosθ4 cosθ4 dθ 02π 15cosθ4 dθ 154 02π cosθ dθ 154 senθ 02π 154 0 0 0
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Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Prof Levi R Adriano Disciplina Cálculo 3A Turma Engenharia Elétrica 20221 Lista De Recuperação da PROVA 1 Questão 1 Considere o campo vetorial gxyz frr onde f R R é uma função derivável e r xi yj zk Calcule rot g Questão 2 Seja φxy fxy onde fu é uma função real de uma variável real e derivável até a segunda ordem a Se Δφ 0 encontre uma equação diferencial que f deve satisfazer b Utilizando a determine f nãoconstante para que se tenha Δφ 0 Questão 3 Calcule γ dx ydy dz onde γ é a interseção do plano y x com a superfície z x² y² z 2 sendo o sentido do percurso do ponto 112 para o ponto 112 Esboçar a figura Questão 4 Calcule o centro de massa do fio γ t t 2t 3t 0 t 1 com densidade linear δxyz xyz Questão 5 Calcule a integral de linha γ xe²ˣ dx x⁴ 2x² y² dy onde γ é a fronteira da região limitada pelos círculos x² y² 1 e x² y² 4 positivamente orientada Questão 1 Considere o campo vetorial gxyz frr onde f R R é uma função derivável e r xi yj zk Calcule rot g gxyz fx² y² z² x i y j z k gxyz fx² y² z² x i fx² y² z² y j fx² y² z² 3 k x fx² y² z² y fx² y² z² y 2x2x² y² z² fx² y² z² y x x² y² z² z fx² y² z² y f x² y² z² 3y x² y² z² y fx² y² z² x f x² y² z² x y x² y² z² z fx² y² z² x f x² y² z² x 3 x² y² z² x fx² y² z² z f x² y² z² x z x² y² z² y fx² y² z² z f x² y² z² y z x² y² z² rot gxyz y fx² y² z² z z fx² y² z² y i z fx² y² z² x x fx² y² z² z j x fx² y² z² y y fx² y² z² x k rot gxyz 0 Questão 2 Seja φxy fxy onde fu é uma função real de uma variável real e derivável até a segunda ordem a Se Δφ 0 encontre uma equação diferencial que f deve satisfazer b Utilizando a determine f nãoconstante para que se tenha Δφ 0 a φxy fxy Δφ 0 ²φx² ²φy² 0 φx y fxy ²φx² y² fxy φy x fxy ²φy² x² fxy Logo ²φx² ²φy² 0 y² fxy x² fxy 0 x² y² fxy 0 x y 0 ou fxy 0 x y R f satisfaz a equação diferencial y 0 b Se d²fdu² 0 então dfdu a a R Portanto fu au b com a b R tomemos a1 e b0 fuu φxyfxyxy Δφ ²φx² ²φy² 000 Questão 3 Calcule γ dx ydy dz onde γ é a interseção do plano yx com a superfície zx² y² z2 sendo o sentido do percurso do ponto 112 para o ponto 112 Esboçar a figura γ é a interseção de yx e zx² y² yx zx² y² zx² x² 2x² Como 0 z 2 0 2x² 2 0 x² 1 Portanto 1 x 1 Assim γt tt 2t² com 1 t 1 γ1 112 e γ1 112 γ dx ydy dz 1¹ dt t dt 4t dt 1¹ 5 t 1 dt 5 t²2 t 1 ¹ 52 1 52 1 2 Questão 4 Calcule o centro de massa do fio γt t 2t3t 0 t 1 com densidade linear δxyz xyz Seja M a massa deste fio segue que M ₀¹ δγt γt dt ₀¹ 6 t³ 1 2 3 dt 6 ₀¹ t³ 149 dt 6 14 ₀¹ t³ dt 614 t⁴4 ₀¹ 614 14 0 3142 C x y z o centro de massa com x 1M ₀¹ t δγt γt dt x 2314 ₀¹ t6 t³ 1 2 3 dt 2314 ₀¹ 614 t⁴ dt 4 ₀¹ t⁴ dt 4 t⁵5 ₀¹ 45 y 1M ₀¹ 2 t δγt γt dt 2314 ₀¹ 2 t6 t³ 1 2 3 dt 2314 ₀¹ 1214 t⁴ dt 8 ₀¹ t⁴ dt 8 t⁵5 ₀¹ 85 z 1M 01 3t δγt γt dt 2314 01 3t 6t3 123 dt 2314 01 1814 t4 dt 12 01 t4 dt 12 t55 01 125 C 45 85 125 é o centro de massa Questão 5 Calcule a integral de linha γ x e2x dx x4 2x2 y2 dy onde γ é a fronteira da região limitada pelos círculos x2 y2 1 e x2 y2 4 positivamente orientada Pelo Teorema de Green γ x e2x dx x4 2x2 y2 dy R x x4 2x2 y2 y x e2x dA R 4x3 4xy2 dA 4 R x x2 y2 dA Tomemos x r cosθ com 0 θ 2π y r senθ 1 r 2 Portanto γ x e2x dx x4 2x2 y2 dy 02π 12 r cosθ r2 cos2 θ r2 sen2 θ r dr dθ 02π12 r3cosθ dr dθ 02π r4cosθ4 21 dθ 02π 16cosθ4 cosθ4 dθ 02π 15cosθ4 dθ 154 02π cosθ dθ 154 senθ 02π 154 0 0 0