Deflexão e Linhas Elásticas em Vigas: Análise da Resistência dos Materiais

A ação das forças externas provoca deflexão deslocamento vertical do eixo de uma viga em relação a sua posição inicial 2 INTRODUÇÃO Resistência dos Materiais 1 Dessa forma os valores de deflexão são frequentemente limitados de maneira a impedir desalinhamentos em elementos de máquinas eou deflexões excessivas das vigas É o diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga O traçado da linha elástica pode ser determinado a partir do seu diagrama de momento fletor e do conhecimento das restrições impostas pelos apoios 3 LINHA ELÁSTICA Resistência dos Materiais 1 Ponto de inflexão M 0 Dy 0 q 0 Dy 0 DMF LE 4 LINHA ELÁSTICA Resistência dos Materiais 1 Seja a viga dx ds q y d ds q d ds 5 RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA Resistência dos Materiais 1 Por definição ds ds ds y q d ds q y d ds Logo q q q d d d y y 1 ou 6 RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA Resistência dos Materiais 1 Curvatura k y 1 E y 1 I y M E y 1 1 E I M 1 Rigidez à flexão 7 RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA Para material com comportamento linearelástico E Lei de Hooke I y M Fórmula da flexão Resistência dos Materiais 1 A linha elástica é expressa matematicamente como v fx Para obter essa equação é necessário representar a curvatura 1 em termos da deflexão vx 8 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA Resistência dos Materiais 1 3 2 2 2 2 1 1 dx dv v dx d Do cálculo Equação infinitesimal não linear de segunda ordem 3 2 2 2 2 1 dx dv v dx d I E x M A solução dessa equação resulta na forma exata da linha elástica 9 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA Resistência dos Materiais 1 1 2 dx dv Considerando que a linha elástica seja uma curva rasa dx dv é pequena I E x M dx d v 2 2 3 2 2 2 2 1 dx dv v dx d I E x M Além disso para EI constante ao longo do comprimento da viga 10 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA I E x M dx d v 2 2 Resistência dos Materiais 1 dx V dM I E x V dx d v 3 3 dx w dV I E x w dx d v 4 4 Observações o Constantes de integração 11 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA Resistência dos Materiais 1 As constantes de integração são determinadas impondo as condições de contorno eou de continuidade Observações o Carregamento descontínuo e origem de cada coordenada x 12 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA Resistência dos Materiais 1 Observações o Convenção de sinal 13 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA dx q dv q tan o Inclinação Resistência dos Materiais 1 Observações o Condições de contorno 14 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA Resistência dos Materiais 1 Observações o Condições de continuidade a a v a a v 2 1 2 1 q q b a v b a v 2 1 2 1 q q 15 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DIRETA Resistência dos Materiais 1 EXEMPLO 1 A viga em balanço mostrada na figura abaixo está sujeita a uma carga vertical P em sua extremidade Determine a equação da linha elástica EI é constante Resistência dos Materiais 1 EXEMPLO 2 Para o carregamento mostrado na figura determinar a equação da linha elástica para a viga em balanço AB a deflexão e a inclinação na extremidade livre Considerar EI constante Resistência dos Materiais 1 EXEMPLO 3 Determinar a equação da linha elástica usando a coordenada x e especificar a inclinação no ponto A e a deflexão no ponto C Considerar EI constante Resistência dos Materiais 1 EXEMPLO 4 Para o carregamento mostrado na figura determinar a equação da linha elástica para a viga em balanço AB a deflexão e a inclinação na extremidade livre Considerar EI constante Resistência dos Materiais 1 EXEMPLO 5 Para o carregamento mostrado na figura determinar a equação da linha elástica no trecho AB a inclinação da viga no ponto A e a inclinação da viga no ponto B Considerar EI constante Resistência dos Materiais 1 EXEMPLO 6 Para o carregamento mostrado na figura determinar a equação da linha elástica para a viga AC a deflexão no meio do vão BC e a inclinação em B Considerar EI constante Resistência dos Materiais 1 EXEMPLO 7 Para o carregamento mostrado na figura determinar a equação da linha elástica para a viga em balanço AC a deflexão e a inclinação no ponto B Considerar EI constante Resistência dos Materiais 1 EXEMPLO 8 Para o carregamento mostrado na figura determinar o ponto de máximo deslocamento vertical e o valor deste deslocamento considerando que w0 60 kNm L 6 m E 200 GPa e que a seção transversal da viga é do tipo W460x74 I 333106 mm4 Resistência dos Materiais 1