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Modelos Lineares Distribuição Normal Multivariada II Cynthia Tojeiro Continuação de Distribuição Normal Multivariada aulas 1 e 2 Livro LINEAR MODELS IN STATISTICS Alvin C Rencher and G Bruce Schaalje Como 426 é uma função linear de x qualquer par de variáveis yi e yj em um vetor normal multivariado exibe uma tendência linear Eyiyj μi σijσjjyj μj Corolário 1 Se o vetor v y x1 xq y x com μ μy μx e Σ σ2y σtyx σyx Σxx então yx tem distribuição normal univariada com Eyx μy σtyxΣ1xxx μx 433 varyx σ2y σtyxΣ1xxσyx 434 Como 434 σtyxΣ1xxσyx 0 porque Σ1xx é positiva definida então varyx vary 435 Exemplo 44b Para ilustrar o Teorema 44D consideremos o vetor aleatório v N4μ Σ em que μ 2 5 2 1 e Σ 9 0 3 3 0 1 1 2 3 1 6 3 3 2 3 7 Se v é particionado como v y1 y2 x1 x2 então covyx Σyy ΣyxΣ¹xxΣxy Exemplo 44c Para ilustrar o Corolário 1 do Teorema 44D continuamos com um vetor v N4μ Σ em que μ e Σ são apresentados no Exemplo 44b i De 433 temos que Eyx1 x2 x3 μy σtyxΣ1xxx μx 2 0 3 3 1 1 2 1 x1 x2 x3 5 2 1 957 127 x1 67 x2 97 x3 Assim temos que yx1 x2 x3 N 957 127 x1 67 x2 97 x3 187 e que varyx1 x2 x3 187 257 vary 9 o que ilustra 435 45 CORRELAÇÃO PARCIAL Por conveniência usaremos a notação dos Teoremas 44C e 44D admitindo que o vetor v é formado por um subconjunto de ys que inclui as variáveis yi e yj é denotado por y e o outro subconjunto de ys é denotado por x Seja v Npqμ Σ e seja v μ e Σ particionadas como no Teorema 44C e 44D ou seja v y x μ Ev μy μx Σ covv Σyy Σyx Σxy Σxx A covariância entre yi e yj na distribuição condicional de y dado x será denotada por σijrsq em que yi e yj são duas variáveis do vetor de variáveis y e x yr ys yq é o vetor com as variáveis que terão seus valores fixados Dessa forma σijrsq é o ijésimo elemento da matriz covyx Σyy ΣyxΣ1xxΣxy Por exemplo σ13567 representa a covariância entre y1 e y3 na distribuição condicional de y y1 y2 y3 y4 dado x y5 y6 y7 σ22567 representa a variância condicional de y2 dado y5 y6 e y7 O coeficiente de correlação parcial populacional entre yi e yj na distribuição condicional de y dado x onde x yr ys yq é definido como ρijrsq σijrsq σiirsqσjjrsq 436 A matriz de correlações parciais de y dado x pode ser obtida a partir de 328 e de 427 como Pyyx D1yx Σyx D1yx em que Σyx covyx Σyy ΣyxΣ1xxΣxy e Dyx diagΣyx12 A menos que os vetores y e x sejam independentes Σyx 0 a correlação parcial ρijrsq em 416 é diferente da correlação usual ρij σijσii σjj podendo até ter sinal contrário Exemplo 45 Vamos comparar ρ12 com ρ1234 usando a matriz de variâncias e covariâncias Σ do Exemplo 44b v N4μ Σ em que μ 2 5 2 1 A correlação linear entre as variáveis y1 e y2 é igual a ρ12 σ12σ11 σ22 091 0 ou seja as variáveis y1 e y2 são não correlacionadas Com a partição sugerida podemos identificar Σyy 9 0 0 1 Σxx 0 1 1 2 e Σxy 3 1 3 2 Usando 427 obtemos a matriz de covariâncias condicionais de y₁ e y₂ dado y₃ e y₄ covyx Σyy ΣyxΣ¹xxΣxy 133 126 24 24 14 Daí ρ₁₂₃₄ σ₁₂₃₄σ₁₁₃₄ σ₂₂₃₄ 2433 126331433 0571 Ou seja dados conhecendofixando os valores das variáveis y₃ e y₄ a correlação parcial entre y₁ e y₂ é negativa ρ₁₂₃₄ 0571 e diferente da correlação linear simples ρ₁₂ 0
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Modelos Lineares Distribuição Normal Multivariada II Cynthia Tojeiro Continuação de Distribuição Normal Multivariada aulas 1 e 2 Livro LINEAR MODELS IN STATISTICS Alvin C Rencher and G Bruce Schaalje Como 426 é uma função linear de x qualquer par de variáveis yi e yj em um vetor normal multivariado exibe uma tendência linear Eyiyj μi σijσjjyj μj Corolário 1 Se o vetor v y x1 xq y x com μ μy μx e Σ σ2y σtyx σyx Σxx então yx tem distribuição normal univariada com Eyx μy σtyxΣ1xxx μx 433 varyx σ2y σtyxΣ1xxσyx 434 Como 434 σtyxΣ1xxσyx 0 porque Σ1xx é positiva definida então varyx vary 435 Exemplo 44b Para ilustrar o Teorema 44D consideremos o vetor aleatório v N4μ Σ em que μ 2 5 2 1 e Σ 9 0 3 3 0 1 1 2 3 1 6 3 3 2 3 7 Se v é particionado como v y1 y2 x1 x2 então covyx Σyy ΣyxΣ¹xxΣxy Exemplo 44c Para ilustrar o Corolário 1 do Teorema 44D continuamos com um vetor v N4μ Σ em que μ e Σ são apresentados no Exemplo 44b i De 433 temos que Eyx1 x2 x3 μy σtyxΣ1xxx μx 2 0 3 3 1 1 2 1 x1 x2 x3 5 2 1 957 127 x1 67 x2 97 x3 Assim temos que yx1 x2 x3 N 957 127 x1 67 x2 97 x3 187 e que varyx1 x2 x3 187 257 vary 9 o que ilustra 435 45 CORRELAÇÃO PARCIAL Por conveniência usaremos a notação dos Teoremas 44C e 44D admitindo que o vetor v é formado por um subconjunto de ys que inclui as variáveis yi e yj é denotado por y e o outro subconjunto de ys é denotado por x Seja v Npqμ Σ e seja v μ e Σ particionadas como no Teorema 44C e 44D ou seja v y x μ Ev μy μx Σ covv Σyy Σyx Σxy Σxx A covariância entre yi e yj na distribuição condicional de y dado x será denotada por σijrsq em que yi e yj são duas variáveis do vetor de variáveis y e x yr ys yq é o vetor com as variáveis que terão seus valores fixados Dessa forma σijrsq é o ijésimo elemento da matriz covyx Σyy ΣyxΣ1xxΣxy Por exemplo σ13567 representa a covariância entre y1 e y3 na distribuição condicional de y y1 y2 y3 y4 dado x y5 y6 y7 σ22567 representa a variância condicional de y2 dado y5 y6 e y7 O coeficiente de correlação parcial populacional entre yi e yj na distribuição condicional de y dado x onde x yr ys yq é definido como ρijrsq σijrsq σiirsqσjjrsq 436 A matriz de correlações parciais de y dado x pode ser obtida a partir de 328 e de 427 como Pyyx D1yx Σyx D1yx em que Σyx covyx Σyy ΣyxΣ1xxΣxy e Dyx diagΣyx12 A menos que os vetores y e x sejam independentes Σyx 0 a correlação parcial ρijrsq em 416 é diferente da correlação usual ρij σijσii σjj podendo até ter sinal contrário Exemplo 45 Vamos comparar ρ12 com ρ1234 usando a matriz de variâncias e covariâncias Σ do Exemplo 44b v N4μ Σ em que μ 2 5 2 1 A correlação linear entre as variáveis y1 e y2 é igual a ρ12 σ12σ11 σ22 091 0 ou seja as variáveis y1 e y2 são não correlacionadas Com a partição sugerida podemos identificar Σyy 9 0 0 1 Σxx 0 1 1 2 e Σxy 3 1 3 2 Usando 427 obtemos a matriz de covariâncias condicionais de y₁ e y₂ dado y₃ e y₄ covyx Σyy ΣyxΣ¹xxΣxy 133 126 24 24 14 Daí ρ₁₂₃₄ σ₁₂₃₄σ₁₁₃₄ σ₂₂₃₄ 2433 126331433 0571 Ou seja dados conhecendofixando os valores das variáveis y₃ e y₄ a correlação parcial entre y₁ e y₂ é negativa ρ₁₂₃₄ 0571 e diferente da correlação linear simples ρ₁₂ 0