Centros de Gravidade e Centróides - Aula 10 de Mecânica dos Sólidos

EME311 Mecânica dos Sólidos 1 Prof Leonardo Kyo Kabayama Aula 10 Centros de Gravidade e Centróides EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 2 Centro de Gravidade G ou Baricentro É um ponto no qual se localiza o peso resultante de um sistema de pontos materiais 𝑊𝑅 𝑊 𝑀𝑅 𝑀 𝑥 𝑊𝑅 𝑥 𝑊 𝑥 𝑊𝑅 𝑥1 𝑊1 𝑥2 𝑊2 𝑥𝑛 𝑊𝑛 𝑦 𝑊𝑅 𝑦1 𝑊1 𝑦2 𝑊2 𝑦𝑛 𝑊𝑛 𝑧 𝑊𝑅 𝑧1 𝑊1 𝑧2 𝑊2 𝑧𝑛 𝑊𝑛 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 3 𝑥 𝑊𝑅 𝑥 𝑊 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑥 𝑥 𝑊 𝑊 𝑦 𝑦 𝑊 𝑊 𝑧 𝑧 𝑊 𝑊 Coordenadas do Centro de Gravidade G do sistema de pontos materiais Coordenadas de cada ponto material do sistema Soma resultante dos pesos de todos os pontos materiais do sistema 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑊 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 4 A Localização do Centro de Gravidade Coincide com o Centro de Massa 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑥 𝑥 𝑊 𝑊 𝑦 𝑦 𝑊 𝑊 𝑧 𝑧 𝑊 𝑊 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐷𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑊 𝑚 𝑔 𝑥 𝑥 𝑚 𝑔 𝑚 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑚 𝑔 𝑚 𝑥 𝑥 𝑚 𝑚 𝑦 𝑦 𝑚 𝑚 𝑧 𝑧 𝑚 𝑚 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 5 Centro de Gravidade G Centro de Massa Cm e Centróide de um Corpo Rígido Um corpo rígido é composto por um número infinito de partículas Considerase um elemento infinitesimal de volume dV e seu respectivo peso dW 𝑥 𝑥 𝑑𝑊 𝑑𝑊 𝑦 𝑦 𝑑𝑊 𝑑𝑊 𝑧 𝑧 𝑑𝑊 𝑑𝑊 𝛾 𝜌 𝑔 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑝𝑜 𝜌 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑝𝑜 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑥 𝑥 𝛾 𝑑𝑉 𝛾 𝑑𝑉 𝑦 𝑦 𝛾 𝑑𝑉 𝛾 𝑑𝑉 𝑧 𝑧 𝛾 𝑑𝑉 𝛾 𝑑𝑉 𝑥 𝑥 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 𝑦 𝑦 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 𝑧 𝑧 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 6 Centroide C É um ponto que define o centro geométrico de um objeto Se o material for uniforme e homogêneo a densidade ou o peso específico será constante por todo o corpo e consequentemente esse termo pode sair da chave de integração 𝑥 𝛾 𝑥 𝑑𝑉 𝛾 𝑑𝑉 𝑦 𝛾 𝑦 𝑑𝑉 𝛾 𝑑𝑉 𝑧 𝛾 𝑧 𝑑𝑉 𝛾 𝑑𝑉 𝑥 𝜌 𝑔 𝑥 𝑑𝑉 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 𝑦 𝜌 𝑔 𝑦 𝑑𝑉 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 𝑧 𝜌 𝑔 𝑧 𝑑𝑉 𝜌 𝑔 𝑑𝑉 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟ó𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑥 𝑥 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑦 𝑦 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑧 𝑧 𝑑𝑉 𝑑𝑉 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 7 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟ó𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 𝑥 𝑥 𝑑𝐴 𝑑𝐴 𝑦 𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝐴 𝑧 𝑧 𝑑𝐴 𝑑𝐴 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 8 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟ó𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑥 𝑥 𝑑𝐿 𝑑𝐿 𝑦 𝑦 𝑑𝐿 𝑑𝐿 𝑧 𝑧 𝑑𝐿 𝑑𝐿 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 9 Exemplo 1 Localize o centroide da barra na forma de um arco parabólico como mostrado na figura EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 10 1 Definição do elemento diferencial a Elemento diferencial dL localizado no ponto arbitrário xy b Como é um elemento infinitesimal as coordenadas xy serão 𝒙 𝒚 respectivamente 2 Definição de Comprimento dL e Braços de Momento 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝐿 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 1 𝑑𝑦 𝑥 𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦2 𝑑𝑥 2 𝑦 𝑑𝐿 2 𝑦 2 1 𝑑𝑦 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 11 3 Integração 𝑑𝐿 2 𝑦 2 1 𝑑𝑦 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑑𝐿 𝑑𝐿 0 1𝑚 𝑥 4 𝑦2 1 𝑑𝑦 0 1𝑚 4 𝑦2 1 𝑑𝑦 0 1𝑚 𝑦2 4 𝑦2 1 𝑑𝑦 0 1𝑚 4 𝑦2 1 𝑑𝑦 𝑥 06063 1479 0410𝑚 𝑦 𝑦 𝑑𝐿 𝑑𝐿 0 1𝑚 𝑦 4 𝑦2 1 𝑑𝑦 0 1𝑚 4 𝑦2 1 𝑑𝑦 𝑦 08484 1479 0574𝑚 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 12 Exemplo 2 Localize o centroide do segmento de fio circular mostrado na figura EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 13 1 Definição do elemento diferencial a Foi selecionado um arco circular diferencial dL que intercepta a curva em Rθ b Como é um elemento infinitesimal as coordenadas xy serão 𝒙 𝒚 respectivamente 2 Definição de Comprimento dL e Braços de Momento 𝑑𝐿 𝑅 𝑑𝜃 𝑥 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 14 3 Integração 𝑥 𝑥 𝑑𝐿 𝑑𝐿 0 𝜋 2 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅 𝑑𝜃 0 𝜋 2 𝑅 𝑑𝜃 𝑅2 0 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 𝑑𝜃 𝑥 2 𝑅 𝜋 𝑑𝐿 𝑅 𝑑𝜃 𝑥 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 𝑦 𝑑𝐿 𝑑𝐿 0 𝜋 2 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅 𝑑𝜃 0 𝜋 2 𝑅 𝑑𝜃 𝑅2 0 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 𝑑𝜃 𝑦 2 𝑅 𝜋 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 15 Exemplo 3 Determine a distância 𝒚 medida a partir do eixo x até o centroide do triângulo mostrado EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 16 1 Definição do elemento diferencial a Considerando um elemento retangular que tenha uma espessura dy e esteja localizado em uma posição qualquer de modo que intercepta o contorno da figura em xy 2 Definição da Área dA e Braços de Momento 𝑦 ℎ 𝑏 𝑏 𝑥 𝑥 𝑏 ℎ ℎ 𝑦 𝑑𝐴 𝑥 𝑑𝑦 𝑏 ℎ ℎ 𝑦 𝑑𝑦 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑥 𝑥 2 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 17 3 Integração 𝑦 𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝐴 0 ℎ 𝑦 𝑏 ℎ ℎ 𝑦 𝑑𝑦 0 ℎ 𝑏 ℎ ℎ 𝑦 𝑑𝑦 1 6 𝑏 ℎ2 1 2 𝑏 ℎ 𝑦 ℎ 3 𝐵𝑟𝑎ç𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 𝑑𝐴 𝑥 𝑑𝑦 𝑏 ℎ ℎ 𝑦 𝑑𝑦 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 18 Exemplo 4 Localize o centroide da área mostrada na figura EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 19 1 Definição do elemento diferencial a Considerando um elemento retangular que tenha uma espessura dx que intercepta a curva no ponto arbitrário xy e portanto tem altura y 2 Definição da Área dA e Braços de Momento 𝑦 𝑥2 𝑑𝐴 𝑦 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 2 𝑥2 2 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 20 3 Integração 𝑦 𝑥2 𝑑𝐴 𝑦 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 2 𝑥2 2 𝑥 𝑥 𝑑𝐴 𝑑𝐴 0 1𝑚 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 0 1𝑚 𝑦 𝑑𝑥 0 1𝑚 𝑥3 𝑑𝑥 0 1𝑚 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥4 4 𝑥3 3 0 1𝑚 1 4 1 3 3 4 075𝑚 𝑦 𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝐴 0 1𝑚 𝑦 2 𝑦 𝑑𝑥 0 1𝑚 𝑦 𝑑𝑥 0 1𝑚 𝑥2 2 𝑥2 𝑑𝑥 0 1𝑚 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥5 10 𝑥3 3 0 1𝑚 1 10 1 3 3 10 03𝑚 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 21 1 Definição do elemento diferencial a Considerando um elemento retangular que tenha uma espessura dy que intercepta a curva no ponto arbitrário xy e portanto tem um comprimento 1x 2 Definição da Área dA e Braços de Momento 𝑦 𝑥2 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 1 𝑥 𝑑𝑦 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑥 𝑥 1 𝑥 2 1 𝑥 2 𝑦 𝑦 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 22 3 Integração 𝑥 𝑥 𝑑𝐴 𝑑𝐴 0 1𝑚 1 𝑥 2 1 𝑥 𝑑𝑦 0 1𝑚1 𝑥 𝑑𝑦 1 2 0 1𝑚1 𝑦 𝑑𝑦 0 1𝑚1 𝑦 𝑑𝑦 1 4 1 3 3 4 075𝑚 𝑦 𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝐴 0 1𝑚 𝑦 1 𝑥 𝑑𝑦 0 1𝑚 𝑦 1 𝑥 𝑑𝑦 0 1𝑚𝑦 𝑦 3 2 𝑑𝑦 0 1𝑚1 𝑦 𝑑𝑦 1 10 1 3 3 10 03𝑚 𝑦 𝑥2 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 1 𝑥 𝑑𝑦 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑥 𝑥 1 𝑥 2 1 𝑥 2 𝑦 𝑦 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 23 Exemplo 5 Localize o centroide 𝒚 para o paraboloide de revolução da figura EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 24 1 Definição do elemento diferencial a Considerando um elemento com a forma de um disco fino Esse elemento tem espessura dy intercepta a curva de geração no ponto arbitrário oyz e portanto seu raio é r z 2 Definição do Volume dV e Braços de Momento 𝑧2 100 𝑦 𝑟 𝑧 𝑑𝑉 𝜋 𝑟2 𝑑𝑦 𝜋 𝑧2 𝑑𝑦 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑥 𝑧 0 𝑦 𝑦 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 25 3 Integração 𝑦 𝑦 𝑑𝑉 𝑑𝑉 0 100𝑚𝑚 𝑦 𝜋 𝑧2 𝑑𝑦 0 100𝑚𝑚𝜋 𝑧2 𝑑𝑦 100 𝜋 0 100𝑚𝑚𝑦2 𝑑𝑦 100 𝜋 0 100𝑚𝑚𝑦 𝑑𝑦 667𝑚𝑚 𝑧2 100 𝑦 𝑟 𝑧 𝑑𝑉 𝜋 𝑟2 𝑑𝑦 𝜋 𝑧2 𝑑𝑦 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑥 𝑧 0 𝑦 𝑦 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 26 1 Definição do elemento diferencial a Considerando um elemento com a forma de uma casca cilíndrica fina Esse elemento tem espessura dz intercepta a curva de geração no ponto arbitrário oyz e portanto seu raio é r z 2 Definição do Volume dV e Braços de Momento 𝑧2 100 𝑦 𝑟 𝑧 𝑑𝑉 2 𝜋 𝑟 𝑑𝐴 2 𝜋 𝑧 100 𝑦 𝑑𝑧 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑥 𝑧 0 𝑦 𝑦 100 𝑦 2 100 𝑦 2 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 27 3 Integração 𝑦 𝑦 𝑑𝑉 𝑑𝑉 0 100𝑚𝑚 100 𝑦2 2 𝜋 𝑧 100 𝑦 𝑑𝑧 0 100𝑚𝑚 2 𝜋 𝑧 100 𝑦 𝑑𝑧 𝜋 0 100𝑚𝑚 𝑧 104 104 𝑧4 𝑑𝑧 2 𝜋 0 100𝑚𝑚 𝑧 102 102 𝑧2 𝑑𝑧 667𝑚𝑚 𝑧2 100 𝑦 𝑟 𝑧 𝑑𝑉 2 𝜋 𝑟 𝑑𝐴 2 𝜋 𝑧 100 𝑦 𝑑𝑧 𝐵𝑟𝑎ç𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑥 𝑧 0 𝑦 𝑦 100 𝑦 2 100 𝑦 2 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 28 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑝𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑥 𝑊 𝑊 𝑦 𝑦 𝑊 𝑊 𝑧 𝑧 𝑊 𝑊 Coordenadas do Centro de Gravidade G do Corpo Composto Coordenadas do Centro de Gravidade de cada parte que compõe o corpo Peso Total do Corpo Composto 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑊 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 29 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑝𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑥 𝑊 𝑊 𝑦 𝑦 𝑊 𝑊 𝑧 𝑧 𝑊 𝑊 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 30 Exemplo 6 Localize o centroide do fio mostrado na figura EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 31 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 32 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑝𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑥 𝐿 𝐿 𝑦 𝑦 𝐿 𝐿 𝑧 𝑧 𝐿 𝐿 𝑥 𝑥 𝐿 𝐿 1131000 24850 4550𝑚𝑚 𝑦 𝑦 𝐿 𝐿 560000 24850 2250𝑚𝑚 𝑧 𝑧 𝐿 𝐿 20000 24850 0805𝑚𝑚 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 33 Exemplo 7 Localize o centroide da área da placa mostrada na figura EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 34 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 35 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑝𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑥 𝐴 𝐴 𝑦 𝑦 𝐴 𝐴 𝑥 𝑥 𝐴 𝐴 4 115 0348𝑚 𝑦 𝑦 𝐴 𝐴 14 115 122𝑚 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 36 Exemplo 6 Localize o centro de massa da estrutura mostrada O Frustum Cônico tem uma densidade de 𝝆𝑪 𝟖 𝑴𝒈 𝒎𝟑 e o hemisfério tem uma densidade de 𝝆𝒉 𝟒 𝑴𝒈 𝒎𝟑 Existe um furo cilíndrico com raio de 25mm no centro do frustum EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 37 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 38 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 39 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 40 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 41 𝑚 𝜌 𝑉 1 𝑀𝑔 𝑚3 106 𝑘𝑔 𝑚𝑚3 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 42 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑝𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑥 𝑚 𝑚 𝑦 𝑦 𝑚 𝑚 𝑧 𝑧 𝑚 𝑚 Devido à simetria no em relação aos eixos x e y 𝑥 𝑦 0 Então o Centro de massa se localiza no eixo z 𝑧 𝑧𝑚 𝑚 45815 3142 146𝑚𝑚 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 43 Teorema de Pappus e Guldinus Pappus de Alexandria SecIIIdC Paul Guldin matemático 15771643 O Primeiro Teorema de Pappus e Guldinus afirma que a área da superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva de geração pela distância trafegada pelo centroide da curva na geração da área da superfície EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 44 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 45 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 46 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 47 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 48 Exemplo 7 Determine a área da superfície e o volume do sólido completo da figura a seguir EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 49 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 50 Exemplo 8 Determine a área da superfície e o volume de uma esfera EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 51 Resultante de um carregamento distribuído geral EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 52 Pressão de Fluído EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 53 Placa plana de espessura constante EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 54 Placa curva de espessura constante EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 55 Placa curva de espessura constante EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 56 Exemplo 9 Determine a intensidade e a localização da força hidrostática resultante sobre a placa retangular submersa AB mostrada na figura A placa tem uma largura de 15m EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 57 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 58 Exemplo 10 Determine a intensidade da força hidrostática resultante sobre uma barreira de contenção do mar na forma de uma parábola conforme mostrada na figura A barreira tem 5m de comprimento w1020 kgm3 EME311 Mecânica dos Sólidos Prof Leonardo Kyo Kabayama 59