Atividade Física 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ SISTEMA INTEGRADO DE GESTÃO DE ATIVIDADES ACADÊMICAS EMITIDO EM 09032025 0922 Componente Curricular FIS320 FÍSICA II B Carga Horária 32 horas Unidade Responsável INSTITUTO DE FÍSICA E QUÍMICA Tipo do Componente DISCIPLINA Ementa Fluidos estática e dinâmica Temperatura Calor e Primeira Lei da Termodinâmica Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica Modalidade Presencial Dados do Programa Objetivos Introduzir os conceitos fundamentais sobre estática e dinâmica dos fluidos e as leis da termodinâmica Conteúdo Fluidos estática e dinâmica Temperatura Calor e Primeira Lei da Termodinâmica Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica Bibliografia Básica 1 Física ResnickHallidayKrane Vols 2 Ed LTC quinta edição Bibliografia Complementar 1 Curso de Física Básica H Moysés Nussenzveig Ed Edgard BlucherVol 2 Segunda edição 2 Fundamentos de Física Halliday Resnik Walker Ed LTC Vol 2 Quinta Edição SIGAA DTI Diretoria de Tecnologia da Informação 35 36291080 Copyright 20062025 UFRN sigaa06unifeiedubrsigaa06 Física II B Dinâmica dos fluidos e as Leis da Termodinâmica FIS320 2 turmas 2025 prof Anderson Conteúdo 1 Fluidos Estática e dinâmica 2 Termodinâmica Temperatura calor e trabalho Energia interna e 1 Lei da Termodinâmica Entropia e 2 Lei das Termodinâmica Bibliografia dijun pdf Básica 1 Halliday e Resnick Fundamentos da Física vol 2 Ed LTC 2009 2 Moysés Nussenzveig Curso de Física Básica vol 2 Ed Blucher 2014 3 João Barcelos Neto Física Básica para Ciências Exatas vol 2 Ed LF 2020 4 Moisés José de Oliveira Termodinâmica Ed LF 2023 complementar em avancadas 5 H B Callen Thermodynamics and an Introduction to Thermostatics Ed John Wiley Sons 1985 6 K Huang Introduction to Statistical Physics Ed SpringerVerlag 1995 7 Walter Greiner Thermodynamics and Statistical Mechanics Ed SpringerVerlag 1995 Aula 1 I Fluidos Física II B 19032025 24032025 1 Dinâmica dos fluidos breve introdução forças superficiais dF P n dS P Pressão forças volumétricas dF dm g dF p dV g p densidade Forças superficiais não dependem da direção n dS dS cos θ dS projeção 1 Px m ds mm Px m ds cos θ equilibrio Px m Px m ds 0 xx Px m Px m Forças volumétricas ds dz g Po pressão atmosférica dFz p ds dz g Sz dV Sz pg Pxyzdz Pxyz Pz dz Neste caso Sz Pz Pz pg cuja solução P Po pg z De maneira geral p g P Observe que superfícies isolóricas não também equipotênciais dm g dF P F U dV dV P dUdV u dF u Aplicações líquido em rotação dF dm ω²r r dm g z força centrifuga força gravitacional dF p ω²r r pg z ddV S u ur r 1r uφ φ uz z Logo u 12 pω²r² pg z const ρ 12 p ω² r² p g z const parabola Princípio de Pascal P1 P2 h1 h2 P1 pg h1 P2 pgh2 h1 h2 F1A1 F2A2 Princípio de Arquimedes P2 P1 pgh empuxo P2 P1A E pghA mg massa do fluido deslocado Paradoxo Hidrostático plano geral d𝐹 P dS P P₀ ρgz V volume d𝐹 P₀ ρgzmdS dFz d𝐹 ẑ componente vertical Teorema da divergência Gauss Fz S P₀ ρgzẑ m dS V P₀ ρgzẑ dV ρgV variação da pressão atmosférica com a altitude isoterma Pz ρg P dV dNkT Pzpz Pz0pz0 PNV KT Sendo assim Pz p0P0 Pg PP λ z λ p0P0 g lnPP₀ λz P P₀ eλz Aula 2 26032025 24032025 Fluidos 1 Noções de Hidrodinâmica Como descrever o movimento no fluido Logrange 𝐫 𝐫 t 𝐫₀ t₀ Seguir a trajetória da partícula Euler 𝐯ᵉ 𝐯ᵉ𝐫 t Como a velocidade varia em um dado ponto do fluido Enraçamento estacionário 𝐯ᵉ𝐫 equação da continuidade para conservação da massa dm p ds v dt dV dmdt dΦ p v n ds j Teo de Gauss densidade de corrente ddt V p dV S j n ds V j dV pt j 1ª eq da Hidrodinâmica p1 A1 v1 p2 A2 v2 fluxo conservação do momento F m a dFxc Pxc Px dx ds referencial comóvel Px ds dxc dm d vcdt p d vcdt Px De maneira geral p d vdt P d vdt vt vt vx vt v v pt v v P S externa forças forças superficiais forças volumétricas segunda equação da Hidrodinâmica equação de Euler conceito de viscosidade escoamento laminar vx vod y Fxc A n d vxdy tensão superficial coeficiente de viscosidade análise dimensional FL² n LT L F M L T² n FL² T MT L Lei de Stokes 0 Força associada a viscosidade do meio é proporcional aos parâmetros r raio da esfera n naficie de viscosidade v velocidade do objeto F a na rb vc K ma rb vc constante adimensional MLT2 MLT11 Lb LT1c a1 abc1 ac2 abc1 álgebra F K m r v K6Pi experimental Fd 6Pi n r v Fbv arraste drag velocidade terminal de uma esfera em queda livre em um fluido Fg pe ps g 43 Pi r3 esfera fluido Fg Fd 6Pi n r v pe ps 43 Pi r3 v 29 pe psn g r2 aplicação experimento de Milikan e a carga elétrica do elétron gotas de óleo Aula 3 Fluidos 03042025 Física II B 07042025 1 Equação de Navier Stokes derivação fenomenológica Quando levamos em conta a viscosidade a força atuando em um elemento de volume do fluido não é normal a superfície F1 A P11 P12 P13 F2 A P21 P22 P23 F3 A P31 P32 P33 Pij se comporta como um tensor pois não deve depender de sistemas de coordenadas fluido isotrópico P11 P22 P33 P Pij Pδij Pij termo devido a viscosidade Não existe momento angular intrínseco Pij Pji simétrico fluidos newtonianos incompresíveis Pij η vixj vjxi Traço nulo Pij m vixj vjxi 23 δij v Portanto ρt v v P S interno Pij δij P Pij equação de NavierStokes ondas sonoras fluido ρ v ρ v p v ρ v variações de 1ª ordem apenas ρt ρ v 0 ρ vt ²p ²pt² ρ vt 0 ²pt² ²p 0 ²p p p pr rr pr r p mV p mV² V Sendo assim p p ρ 1V Vp coeficiente de compressibilidade Ks Portanto ²pt² 1ρ Ks ²p 0 c² 1 ρ Ks velocidade do som 3 Equação de Bernoulli dm1 dm2 ρA1v1dt ρ A2 v2 dt conservação da massa δT 12 dm2 v22 12 dm1 v12 dm1 dm2 variação da energia cinética P1 A1 v1 dt P2 A2 v2 dt δm1 ρ δm2 ρ trabalho das forças de Pressão g dm2 z2 dm1 z1 trabalho realizado pela força gravitacional 12 v12 g z1 P1 ρ 12 v22 g z2 P2 ρ Logo 12 ρ v2 P ρ g z const conservação da energia Aplicação Fórmula de Torricelli 12 ρ vo2 Po ρ g h 12 ρ v2 Po vo 2gh FLUIDOS No capítulo anterior estudamos o corpo rígido que é um sistema de partículas onde as distâncias entre elas permanecem constantes Em outras palavras é um sistema de partículas cuja forma não varia durante o movimento Vamos aqui estudar fluidos onde tal característica não mais ocorre Os fluidos constituem os líquidos e gases Não levaremos em conta os efeitos da variação da energia interna bem como trocas de calor que serão tratados na parte de Termodinâmica Assim a temperatura não aparecerá em nossos desenvolvimentos só a pressão veremos o caso de fluids incompressíveis líquidos Poderemos incluir os compressíveis gases para a particular em que a densidade possa ser considerada constante Também não incluiremos efeitos de atrito do fluitemto como o movimento forte e o gradiente de águas sorvedouro Nossa finalidade é apenas fazer um estudo geral sobre fluids As leis de Newton ainda continuam nos seus fundamentos 91 EQUAÇÃO DE BERNOULLI Está é a relação fundamental no estudo dos fluids dentro da aproximação que estamos considerando Sua dedução é apoiada na segunda lei de Newton como mencionei a física continua a mesma Figura 841 Exercício 28 CAPÍTULO 8 CORPO RÍGIDO Seja o movimento de certo fluido Isolamos um pequeno elemento cilíndrico de seu volume dentro das suas linhas de movimento como mostra a Figura 91 Pela segunda lei de Newton 91 Vamos escrever as quantidades de forma conveniente e fazer alguns desenvolvimentos como A são p1 F1A e p2 F2A para os dois primeiros termos Na terceira linha usouse a expansão em série de potência Considerando ρ a densidade do fluido temos dm ρAdz Assim o último termo de 91 fica Mais formalmente o que fazemos na passagem para a segunda linha foi usar a definição de velocidade e substituir dz por dt Depois usando a definição de aceleração substituir dvdt por du Juntamos tudo na relação inicial Força na asa do avião Seja um avião deslocandose no ar A fim de aplicar a equação de Bernoulli consideremos o ar como um fluido elástico perfeito de densidade e constante Assim conforme o avião vai se deslocando as moléculas do ar vão voltando que é a equação de Bernoulli Só enfatizando ela é usada no movimento dos fluidos quando podemos considerar ρ constante e desprezar trocas de calor e variações de energia interna Seus termos são chamados pressão estática p pressão barométrica pgz e pressão dinâmica ρu22 APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI Veremos a seguir algumas aplicações Outras ficarão como exercícios Figura 92 Trajetória das moléculas de ar em relação à asa do avião A equação de Bernoulli aplicada aos pontos 1 e 2 fornece Não incluímos a variação da energia potencial gravitacional porque é muito pequena Como η é maior que as moléculas que passam por cima do percurso 1 e menor que por baixo o p1 é menor que p2 Há portanto uma força de baixo para cima dada por p2 p1A em que A é a área efetiva de atuação desta força Ela não é a única responsável pelo voo Caso fosse não teríamos como explicar Por exemplo as acrobacias quando os aviões ficam em posição invertida A força que mantém a colagem quando a velocidade ainda é relativamente baixa Depois a ação das turbinas das hélices contribuem Nos foguetes é este o agente principal Vejamos como os foguetes contribuem Velocidade dos foguetes Para facilitar consideremos um foguete movendose longe do campo gravitacional sem forças externas Temos então que o momento do foguete e dos gases ejetados pelo motor ou motores é constante Tratase de uma aproximação Nosso interesse está no aspecto qualitativo do exemplo Figura 94 Medidor de Venturi Cabe aqui uma explicação que será útil em casos parecidos Estamos considerando a velocidade do fluido suficientemente alta tal que a pressão seja a mesma em toda a seção do encanamento desprezando os efeitos com a altura Neste caso os manômetros poderiam ter sido colocados em qualquer ponto ao redor do encanamento São conhecidos p p A A e ρ densidade do fluido Obteremos V a partir desses dados Usando a equação de Bernoulli para os dois pontos indicados na figura temos A velocidade V não é conhecida Há outra equação decorrente de conservação da massa A quantidade de fluido que passa pela seção A no intervalo Δt é a mesma que passa por A no mesmo intervalo como ilustra a Figura 95 Combinando 98 e 99 obtémse910 Determinação da velocidade do fluido num tubo A Figura 94 esquematiza o dispositivo que dá a velocidade do fluido num tubo conhecido como medidor de Venturi M e M são dois manômetros onde são registradas as pressões p e p As seções retas nos dois trechos de encanamento são A e A cujas velocidades do fluido são V e V respectivamente Queremos determinar V Folhaseca topspin etc São denominações do futebol tênis etc ao acentuado da trajetória curva da bola Para entendêlo consideremos as duas etapas mostradas na Figura 93 Na primeira a bola apenas gira no sentido horário mas sem translação quando uma fina camada de ar é arrastada com seu movimento Na segunda a bola apenas translada mas sem girar As linhas correspondem às trajetórias das partículas de ar em relação à bola que se desloca para a direita No caso geral de rotação e translação as moléculas de ar em cima terão velocidades menores do que em baixo Pela equação de Bernoulli a pressão na parte superior será maior do que na inferior Haverá portanto uma força de cima para baixo explicando a curvatura acentuada Na Figura 96 estão colocados todos os dados deste exemplo bem como as linhas do fluxo de escoamento A e a são respectivamente as áreas das seções testadas da superfície líquida e por onde o líquido sai A velocidade com que a superfície líquida desce é v h e g pela equação de Bernoulli queremos determinar V em termos de A a h e g Po ρgh 12 ρv² Po 12 ρV² V² v² 2gh 911 Figura 96 Escoamento de fluido num tanque A conservação de massa fornece veja por favor o exemplo anterior 54 93 HIDROSTÁTICA Corresponde ao caso particular de o fluido não estar em movimento Vejamos também algumas aplicações 931 Macaco hidráulico O dispositivo está indicado na Figura 97 Aplicando uma força de módulo f no êmbolo do lado esquerdo vejamos o esforço F que o êmbolo do lado direito pode suportar As áreas de suas superfícies são a e A Desprezando a variação da energia potencial gravitacional temos que a equação de Bernoulli nos leva ao seguinte resultado p constante Ff Aa F Aa f 912 Combinando 911 e 912 encontramos Au αV V sqrt 2gh1 a²A² que não depende da natureza do fluido Se α A temos a aproximação V sqrt2gh resultado conhecido como equação de Torricelli 55 Só para se ter uma idéia quantitativa consideremos que os diâmetros dos pistões sejam 5 cm e 50 cm Calculemos a massa que deve ser colocada sobre o pistão menor para suportar duas toneladas no pistão maior 932 Princípio de Arquimedes Todo corpo total ou parcialmente imerso num fluido recebe uma força de empuxo dirigida de baixo para cima igual ao peso do fluido deslocado Vamos demonstrálo Seja por exemplo um cilindro de base A e altura h imerso num fluido de densidade ρ cuja seção vertical está mostrada na Figura 98 As pressões do fluido nas bases inferior e superior são p e p Respeitivamente A equação de Bernoulli nos dá p ρgh p 916 F p p A ρghA ρgV 917 onde a origem da coordenada vertical está na base inferior Como as forças sobre as bases são pA e pA temos que a força resultante F exercida pelo fluido de baixo para cima é Figura 97 Macaco hidráulico mg 2000 g x 5²50² m 20 kg 1 Um pequeno automóvel de massa m movese com velocidade V Sua forma é possivelmente lateral aproximadamente igual a um semicírculo como mostra a Figura 99 onde aparecem as linhas do fluxo de ar em relação ao carro O ar é considerado perfeitamente elástico assim podemos tomar v1 V Exercícios 1 a Mostre que o fluido exerce uma força sobre o carro atuando de baixo para cima dada por Exercício 1 Figura 99 Exercício 1 em que V volume do cilindro Para um corpo de forma geométrica qualquer basta considerálo constituído por vários cilindros infinitesimais O resultado final será o mesmo Figura 98 corpo imerso num fluido F 12 ρA π4 v² 1 v² ρgAR em que ρ é a densidade do ar e A é a área da base do carro A30 m² V 108 kmh ou 30 ms ρ13 kgm³ b Tomando m600kg V10ms² obtenha para o carro força que o carro exerce sobre o solo Verifique o termo ρgAR c Para que velocidade está força seria zero 2 Determine a pressão de estagnação pressão no ponto A da Figura 910 num fluido em movimento colocando um tubo de Pitot que mede a pressão ρ 10 x 10³ Kgm³ e que se move com velocidade uniforme V 20 ms Considere que o obstáculo modifique o fluido uniformemente A pressão na região não perturbada longe do obstáculo vale p 30 x 10³ Nm² Figura 910 Exercício 2 3 A Figura 911 mostra um navio que usa energia eólica Os dois grandes cilindros verticais giretes giratórios são como 1 ou mais que dois participam do processo Explicar como é possível 4 A Figura 912 é outro dispositivo para medir a velocidade do fluido chamado tubo de Pitot vemos na subseção 923 existem mais O tubo em ângulo reto não deve ocupar muito espaço e fim de não interferir no escoamento do fluido Obtém em termos de Δh 5 A Figura 913 mostra uma variante do tubo de Pitot O líquido que auxilia pelo encanamento possui densidade ρ A região mais escura do tubo é um líquido de densidade ρ ρ Obtenha V em termos de Δh ρ ρ Figura 911 Exercício 3 Figura 912 Exercício 4 6 O caso da Figura 914 é mais uma variante do tubo de Pitot também conhecida como tubo de Prandtl usada na determinação da velocidade do ar em relação ao avião que é a velocidade do avião em relação ao ar Como no exercício anterior a região mais escura do tubo auxiliar é um líquido de densidade ρ ρ Obtenha V em termos de Δh ρ e ρ 11 Dois grandes reservatórios estão ligados por um tubo como mostra a Figura 919 as velocidades de descida de suas superfícies são desprezíveis A área da seção reta do cano de escoamento reservatório superior é o dobro da região estrangulada Despreze a variação da pressão atmosférica com a altura a Obtenha a relação entre as alturas h₁ e h₂ b Justifique porque a água do reservatório superior não flui para o inferior através do tubo 14 Um cilindro de base A altura h e densidade ρ é colocado sobre uma líquido de densidade ρ Obtenha a tracção do cilindro que fica submersa Pela conservação da massa em caso de dúvida veja por favor a Figura 95 e as explicações correspondentes ΔV AV p 12 ρV² p 12 ρV² p p 12 ρ A²A² 1 V² Para os fluidos que estão no interior do tubo o problema é de hidrostática veja por favor a Figura C5 Nos pontos 1 e 2 a pressão é a mesma Escrevendoas em termos da altura dos líquidos de cada coluna temos ρgh₁ p ρgΔh ρgh Δh p p p ρgΔh Substituindo na expressão anterior obtemos V em termos dos dados conhecidos V 2p pg Δh A² ρ A² A² 34 Podemos ter feito uma aproximação mais suave para M m usando a expansão binomial em caso de dúvida veja por favor a Seção 34 dŪ 1M mM 1 mM Segundo os mesmos passos encontraríamos a velocidade final Ū Ū 2 m₀ M 2gh Ū² m₀ M 13 5M Poderíamos ir mais além e incluir outros termos da expansão Teríamos o resultado com a precisão desejada para o caso de M m₀ Mais ainda poderíamos ter partido da condição de expansão Teríamos a plataforma terem massa muito menor que a do líquido inicial M m₀ Neste caso a única dificuldade seria não poder considerar M m sempre Entretanto podemos supor que isto ocorra só num pequeno intervalo do movimento Assim desprezando M perante m₀ o elemento diferencial fica dŪ 2gρA² dmm E a velocidade final seria Ū 22gh que é que é bem maior que a dos casos anteriores Caso quiséssemos incluir a velocidade de descida da superfície líquida bastaria fazer a seguinte substituição nas relações obtidas observe 913 e 914 gg g1 aA² 35 M m dŪ dm Ū dm Ū 0 Embora o movimento seja numa dimensão estou colocando na notação vetorial explícita apenas para maior clareza como f2 na Subseção 922 O fator dm do segundo termo é a infinitesimal da massa do reservatório que é negativa e aparece no último termo que sai com velocidade Ū que relação à Terra deve ser positivo Esta é a razão do sinal menos inicial Tomemos os dois últimos termos da equação em que Ū é a velocidade de saída do líquido em relação ao reservatório Também pelo que vimos na Subseção 921 dm Ū Ū Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 1 2 ρV² p₁ p₂ p₁ ρgh₃ p atm p₂ ρgh₄ p atm Primeiramente usando a equação de Bernoulli para as duas regiões mostradas na Figura 915 temos p 12 ρV² p₂ 12 ρV² Na primeira relação v₂ 0 porque o ponto 2 é um ponto de estagnação veja por favor o exercício 2 Nos tubos do dispositivo o líquido está em repouso hidrostática o que levou as duas últimas relações As alturas foram tomadas a partir da linha dos pontos 1 e 2 dentro do líquido pelo que foi explicado na Subseção 923 Substituindo p₁ e p₂ duas últimas equações na primeira obtemos V 2 g Δh Este exercício é bem similar ao exemplo discutido na Subseção 923 em que os manômetros foram substituídos pelo tubo auxiliar contendo o fluido de densidade ρ Como foi explicado naquela oportunidade sendo a velocidade V suficientemente grande poderíamos ter colocado os manômetros em qualquer ponto ao redor do rotor do motor Aqui também nada impediria de colocar o tubo auxiliar na parte superior Exercício 97 Notamos que para R 1 o caso anterior é obtido V 5 g l Exercício 94 Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 1 e 3 e também entre 2 e 4 veja por favor a Figura C4 temos 12 ρV² pn p₂ Exercício 913 Seja a força no elemento de área indicado na Figura C7 onde a pressão é p dF pL dy p ρg Hy pL dy Estou omitindo a pressão atmosférica pois ela também provoca uma força no lado oposto Assim a força exercida pela água sobre a barragem é F 0H ρgL Hy dy ½ ρgH²L Usando este resultado para H 10 m e L 30 m temos F ½ 10³ 10 10² 30 15 10⁷ N E para o aquário de 10 m 10 m F 5 000 N equivalente ao peso de meia tonelada Figura C7 Exercício 913 262 Aula 1 03032023 Lei zero da termodinâmica e conceitos fenomenológicos variáveis termodinâmicas equilíbrio termodinâmico transformações trabalho calor temperaturas escalas e condução de calor A termodinâmica é uma teoria que descreve sistemas físicos macroscópicos sem a necessidade de utilizar explicitamente conceitos da estrutura microscópica da matéria Os efeitos macroscópicos são medidos em termos das variáveis termodinâmicas intensivas extensivas 1 Pressão P Volume V Temperatura T No equilíbrio termodinâmico as variáveis termodinâmicas não variam com o tempo regime estacionário Experimento influência externa A B estado de equilíbrio estado de equilíbrio Os sistemas físicos permanecem a maior parte do tempo em estados de equilíbrio termodinâmico Lei zero das Termodinâmica Dois sistemas termodinâmicos em equilíbrio com um terceiro estão em equilíbrio entre si Para um dado corpo em equilíbrio as variáveis termodinâmicas são relacionadas por meio de uma equação de estado SpVT 0 Uma mudança nas condições externas promove uma mudança no estado de equilíbrio do sistema Esta mudança é denominada por transformação termodinâmica Transformações reversíveis Transformações irreversíveis Em uma transformação reversível podemos considerar caminhos infinitesimais tais que JW PdV trabalho JQ CdT calor dependem do caminho capacidade térmica ΔQ C dT Cmc ΔQ mL Obserye que a Lei zero das termodinâmica juntamente com as equação de transformação de calor energia nos permite inferir quando 2 corpos em contato térmico entram em equilibrio atingem a mesma temperatura final Sendo a temperatura uma variável termodinâmica de profundo interesse podemos inferir escalas e maneiras de medila Escalas de Temperatura TTiTsTi const Ti Temperatura de fusão gelo Ts Temperatura de ebulição vapor Graus Celsius C Termómetro de mercúrio Dilatação térmica Δx α x ΔT ΔAA Δxyxy Δoxyxy x Δyxy ΔAA 2α ΔT ΔVV 3α ΔT Graus Kelvin K Termómetro de gás a volume constante P Po ρgh PV nRT PvaporPgelo T2Tg 13661 nul físico Graus Fahrenheit F água gelo pivado e sal corpo humano Ti Ts 3 condução de calor Fervier 1ds dQdt K T n fluxo de calor j K T entre dQ1 rai dQ3 barra T1 x xdx T2 T1 T2 dQ2 dQdt AK Tx dQ AK Tx balance de energia dQ2 dQ1 dQ3 mc Txtdt Txt p A dx K A dt Txx Txxdx Tt Kpc 2Tx2 De maneira geral eq da continuidade Qt j n dS j dV t pc T dV K 2T dV pc Tt K 2T difusão do calor Teor de Gauss Aula 2 10032023 1 Primeira Lei da Termodinâmica O trabalho realizado para levar um sistema termicamente isolado de um estado inicial para um estado final é independente do caminho Jcnile ΔU Wi5 onde definimos uma função de estado denominada energia interna U e usamos a convenção de W ser o trabalho realizado por um sistema sinal Agora levando em consideração a transferência de calor por um reservatório térmico a uma dada temperatura T teremos uma reservatório térmico uma expansão do gás com mesma temperatura interna e pelo princípio da conservação de energia δQ dU δW trabalho realizado pelo sistema calor variação da energia interna dU diferencial exata não depende do caminho que representa a variação de energia interna do sistema físico como U não depende do caminho tomado em uma transformação a mesma é uma função de estado U UpV dU Up dp UV dV U UpT dU Up dp UT dT U UVT dU UV dV UT dT Por outro lado δQ dU P dV δQ Up dp UV P dV δQ Up dp UT dT P dV Agora sendo dV Vp dp VT dT δQ Up P Vp dp UT P VT dT rende definimos a entalpia H U PV δQ Up P Vp dp HT dT δQ HT dT P const Podemos definir das equações anteriores a capacidade térmica a pressão e volume constante Cp HT p Cv UT V 2 2 Aplicação Gás ideal Experimentalmente no limite de baixa densidade e alta temperatura qualquer gás apresenta um comportamento determinado pela equação de estado PV nRT NKT Transformações termodinâmicas isotermas T const isobáricas P const isométricas V const adiabáticas δQ 0 sistema isolado Trabalho em transformações isotérmicas Wab ab P dV ab NKTV dV NKT ln VbVa P Va Vb V Transformações adiabáticas Q 0 W 0 expansão livre U 0 UV1T UV2T UT Agora U Cv T H U PV Cp T Cv T PV Cp T PV NKT Cp Cv NK Pois bem considerando uma transformação adiabática reversível U P V PV NK T U Cv T PV P V Cp Cv P V Cv Cv V P Cp P V δ ln P δ ln V δ Cp Cv ln PVδ 0 PVδ const 3 Observe que δ Cp Cv Cv NK Cv 1 relação entre energia interna U e energia cinética T Δpx Δt Fx 2 pxc Δt Δx Fx A A Δx p ΔV px 2 Δxc Δt vx P V Nm V V vx vx PV Nm vx2 p densidade PV Nm vx2 PV Nm vy2 PV Nm vz2 Energia cinética T 12 Nm vx2 12 Nm vx2 vy2 vz2 32 PV Logo U 32 PV 32 NKT Teorema da equipartição da energia Teorema da equipartição da energia e distribuições MaxwellBoltzmann Δpx Δt Fx 2 pxc Δt Δx Fx A A Δx p ΔV px 2 Δxc Δt vx p V Nm V V vx vx p p PV Nm vx2 Energia cinética PV Nm vx2 PV Nm vy2 PV Nm vz2 Ez 12 Nm vz2 médio 12 Nm vx2 vy2 vz2 32 PV gás ideal PV NKT Ec 32 NKT N1 T 12 kT 12 kT 12 kT partícula linear 1dime Ec doc dp Ecxp doc dp Sxp I distribuição média ponderada função de partícula α Ec Ec 12 KT Sxp e 2 gaussiana dp e α p22m Ec 1h dp e α p22m dx dy e α x2 y2 I2 dx e α x2 I2 2π 0 ds e α s I2 s x2 2π e α s 0 I2 I 2πα Ec ddα I I ddα πα2 m Ec 12 2m π α 32 α2 2m π α2 12α 12 KT α 1K T generalizando Et Ec Ep total cinética potencial Z doc dp h Sxp e Et kT oscilador harmónico Et p22m 12 K x2 Z 1h dp e p2 2m dx e 12 K α x2 α 1 KT 1h πα 2m π α K 2 2πα mK Et ddα Z Z α kT Et 12 kT 12 kT Para o caso de N partículas em potenciais gerais Z dx1 dx2 dxN dp1 dp2 d pN eEtkT onde ET Σi pi22m Viext 12 Σke Vke int ext 37 Substituindo as transformadas de Lorentz 1053 em 1052 mostre que é obtida se as relações 1054 1056 forem verificadas 38 Verifique que se 1044 para V0 0 e c 39 A região visível do espectro eletromagnético corresponde a uma faixa que vai da 4000 Å violeta a 7000 Å vermelho de comprimento de onda λ 105 cm Considere uma nave espacial viajando afastandose do observador Qual deve ser sua velocidade para que ele para cor amarela 5500 Å E para vêla vermelha O que acontece para velocidades superiores a esta E para a galáxia do exercício 362 Isto explica por que o Universo não é só explorado por telescópios mas por radiotelescópios também 40 Três radiotransmissores A B e C estão dispostos como mostra a Figura 1026 e transmitindo a mesma frequência f em relação aos seus próprios sistemas Qual a frequência recebida por C do sinal emitidos por B E do sinal emitido por A Considere que o problema seja relativístico Figura 1026 Exercício 40 41 A energia do fóton correspondente à radiação de frequência f é dada por E hf fuma parte do nosso curso Veremos sua origem em que h é a constante de Planck a frequência f fazendo o fóton perder energia e não é sua velocidade que muda ela é sempre c mas a frequência Considerando a interação gravitacional newtoniana obtenha a velocidade de escape para uma distribuição esférica de raio R e massa M Este capítulo corresponde ao passo inicial para chegar até lá Sua finalidade é apenas a familiarização com processos envolvendo trocas de calor e variações de temperatura sem a preocupação com a natureza de ambos Não aparece a realização do trabalho essência da primeira lei fe o que se costuma chamar de Termodinâmica De certa forma nada será muito diferente do que é visto no segundo grau Caso esteja se ache familiarizado com que será apresentado pode passar para o capítulo seguinte não haverá solução de continuidade Sugiro apenas que veja o comentário no início da resolução do exercício 5 CAPÍTULO 11 ANTES DAS LEIS DA TERMODINÂMICA A Termodinâmica fundamentase em duas leis A primeira nada mais é que e princípio de conservação da energia incluindo que o calor como forma de energia A segunda é bem diferente de tudo que vimos até agora bem diferente mesmo Os processos termodinâmicos ocorrem tendendo ao aumento da desordem que está relacionado ao aumento da entropia É portanto uma lei bem definida Tudo isto será visto com detalhes no capítulo seguinte Haverá mais um capítulo encerrando o livro que tratará da Termodinâmica Estatística CAPÍTULO 11 ANTES DAS LEIS DA TERMODINÂMICA Há também os conceitos de calor específico c Cm e calor molar cm Cn e a massa da substância e n o número de moles Assim a relação anterior também pode ser apresentada como Q mc ΔT Q ncm ΔT II12 II13 A primeira coluna da Tabela 113 contém os calores específicos de algumas substâncias nos estados sólido ou líquido Esses valores não permanecem exatamente os mesmos durante toda a fase da substância se variam de temperatura não precisamos definir a caloria usando a variação de temperatura por exemplo através do calor específico da fase de uma substância 1 calgºC No caso de gases é necessário distinguir o tipo de processo Existem os calores específicos à pressão e volume constantes veremos detalhes no capítulo seguinte Quando disse acima que a troca de calor corresponde de maneira geral a uma variação de temperatura é porque no caso da mudança de fase a temperatura não varia Por exemplo a mudança de fase do gelo para a água ou da água para vapor quando o líquido ambos a 0ºC Este é chamado de calor de transformação ou calor latente caracterizado pela constante L da relação Q mL II14 Nas segunda e terceira colunas da Tabela 113 estão os os calores latentes de fusão e vaporização respectivamente para algumas substâncias Sugiro ao estudante fazer os exercícios 1724 57 112 DILATAÇÃO A dilatação devido ao aumento de temperatura é um processo bem familiar Por exemplo uma barra aumenta de comprimento com o aumento da temperatura Consideremos que L0 seja seu comprimento na temperatura T0 e L na temperatura T A variação de temperatura não for muito grande para fins práticos até 100 C ou 100 K a variação do comprimento pode ser tomada como linear ΔL α L0 ΔT II4 em que α é o coeficiente de dilatação linear depende da natureza do material Tabela 111 Ponto triplo de outras substâncias CO2 Hidrogênio Neônio Nitrogênio Oxigênio Amônia Dióxido de enxofre Deutério Temperatura K 21555 1380 2456 6318 5436 1954 19768 1863 Pressão 105 Nm2 517 00704 0432 0125 0001052 00607 000167 0171 De forma semelhante podemos introduzir as dilatações superficial sólidos e volumétrica sólidos líquidos e gases ΔA β A0 ΔT II5 ΔV γ V0 ΔT II6 As quantidades β e γ são os coeficientes de dilatação superficial e volumétrica respectivamente Possuem os seguintes relacionamentos β 2α γ 3α II7 II8 que são diretamente demonstrados Por exemplo se V0 é o volume de um paralelepípedo de lados a b e c na temperatura T0 Aumentando a temperatura para T temos V a α b ΔT b α b ΔT c α c ΔT abc 1 α ΔT3 V0 1 3 α ΔT 58 113 CALOR E TROCAS DE CALOR Vamos até agora medidas de temperatura mudanças de escala e dilatação Nesta seção relacionaremos quantidade de calor e variação de temperatura Assim como não entramos em detalhes sobre o significado de temperatura dissociando de sua medida também não detalharemos relacionando calor Consideraremos simplesmene de maneira geral elevação de temperatura Ou seja também produziremos restitutos a sua medida que é expressa em caloria abreviatura cal Uma caloria corresponde aproximadamente à quantidade de calor cedida a uma grama de água para passar de 145 ºC a 155 ºC No capítulo seguinte veremos o caso geral incluindo não apenas a variação de temperatura mas a realização de trabalho conteúdo da primeira lei da termodinâmica Apenas mencionemos que o calor é uma forma de energia O relacionamento entre caloria e Joule é dado por 1 cal 41860 J 1 J 02389 cal II10 Assim como a associação entre dilatação e variação de temperatura depende da natureza do corpo o mesmo ocorre com o calor trocado A chamada capacidade térmica de um corpo representada por C é justamente a constante de proporcionalidade entre o calor e a variação de temperatura Q C ΔT II11 Existe a unidade inglesa BTU iniciais de British Thermal Unit que corresponde à quantidade de calor necessária para uma libra 0453 kg de água passar de 63F a 64F 1 BTU 252 cal Tabela 112 Coeficiente de dilatação volumétrica para algumas substâncias T C γ K1 ou C1 Álcool etílico Mercúrio Alumínio Cobre Aço Ferro Vidro comum Vidro pirex Água 0 60 0 100 20 100 25 100 0 100 0 100 20 100 20 80 110 x 105 78 x 105 71 x 105 51 x 105 44 x 105 37 x 105 27 x 105 10 x 105 16 a 60 x 105 Tabela 113 Calores específicos e latentes de algumas substâncias Água Álcool etílico Alumínio Ferro Cobre Zinco Prata Mercúrio Ouro Chumbo c calg C 1000 0580 0220 0110 0094 0093 0056 0033 0032 0031 Lf calg 80 25 95 64 49 24 21 27 15 6 Lv calg 540 204 2570 1510 1290 475 559 65 376 209 EXERCÍCIOS 1 Uma pessoa achou um termômetro que estava com a escala apagada e decide criar uma escala particular chamandoa de X Certo dia quando a temperatura estava a 30ºC ela marcou no termômetro 10 ºX noutro quando fazia 40ºC marcou 50 ºX Qual o relacionamento entre as escalas X e centígrada quando a temperatura é 0ºC qual o valor medido na escala X 2 Desejase construir uma escala termométrica X com os pontos de fusão do gelo e vapor da água padrões posicionados simetricamente às dadas escalas respectivamente a 0ºC é qual o valor medido na escala X e 30 ºX e 30 ºX Qual o relacionamento entre as escalas X e centígrada Em que temperatura registram o mesmo valor 3 Um médico durante sua visita diária aos pacientes de um hospital desconfiou que o termômetro estava defeito pois viu que um enfermeiro estava marcando 42 ºC Realmente após usar outros termômetros constatou que a temperatura correta daquele paciente era 39ºC Observou também que sua temperatura era 36ºC tanto nos